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Fecha de límite de entrega: viernes 07 de mayo
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Segundo periodo
Guía 3
MATEMÁTICAS – Grado NOVENO
11. FECHA DE PUBLICACIÓN DE ESTA GUÍA
Lunes 19 de abril
2. FECHA LÍMITE PARA ENTREGAR LA
GUÍA Viernes 7 de mayo
3. FORMA Y MEDIO DE ENTREGA El trabajo se debe realizar en Word, nombrar el archivo
Apellido_Nombre_Curso_Guia1 (Ejemplo: Segura_María_1102_Guía1) y cargarlo
en tareas de TEAMS al equipo de matemáticas de su respectivo curso.
4. HABILIDADES QUE EL ESTUDIANTE
ADQUIERE
Establece relaciones de orden de los números complejos, para ubicar adecuadamente
estas cantidades en la recta numérica.
Analiza problemas en contexto, identificando el lenguaje matemático apropiado para
relacionarlo área superficial, área total y volumen, para dar solución.
Interpreta la relación entre el área y el volumen, de sólidos para identificar su
funcionalidad en el entorno.
Generaliza propiedades de adición, sustracción, producto, cociente, de números
complejos, para caracterizar su relación con los reales.
Profesora: Nohora Quevedo
Profesor:
901 903 902 904
905 907 906 908
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5. ACTIVIDADES Desarrolla cada uno de las siguientes actividades
1. Realiza las operaciones en tu cuaderno y ubica en cada tabla el resultado
Sumar 𝟓𝒊 −𝟐𝒊 𝟖𝒊 + 𝟕
𝟗𝒊
𝟐𝒊 − 𝟓
𝒊 − 𝟏
𝒊
𝟐
Multiplicar 𝟓𝒊 −𝟐𝒊 𝟖𝒊 + 𝟕
𝟗𝒊
𝟐𝒊 − 𝟓
𝒊 − 𝟏
𝒊
𝟐
Dividir 𝟓𝒊 −𝟐𝒊 𝟖𝒊 + 𝟕
𝟗𝒊
𝒊 − 𝟏
2. Ubica en el plano cartesiano los siguientes imaginarios y complejos:
𝒊
𝟐 √−𝟓 −
𝒊
𝟒
𝟐 + 𝟑𝒊
𝒊 − 𝟐 𝒊𝟐 𝟑𝒊 − 𝟐 √𝟔 + √−𝟔
3. Resuelve los siguientes problemas:
a) La construcción de una piscina circular se proyecta con medida de 12
metros de diámetro una profundidad regular de 1,7 metros, en el borde se
pegará una cinta antideslizante y en el piso de la piscina se usará tableta
azul claro mientras que el lateral será verde. Calcula la capacidad
aproximada de agua que cabe en la piscina, la cantidad de cinta
antideslizante y tableta azul que se va a usar.
b) Carol construye una caja de regalo en forma de hexaedro usando cartón
decorativo, para guardar un estuche cilíndrico de radio 8,2 cm y altura 45
cm que contiene chocolates, cuánto cartón debe utilizar y que espacio
vacío quedará en la caja.
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c) Qué área de pizza llevó el ratón
d) Encuentra el área de la región sombreada si el
cuadrado tiene lado 7,2 metros
TEORÍA Y MATERIAL DE CONSULTA Retomemos algunos conceptos: en la guía anterior estudiamos el conjunto de los
números reales sus operaciones y propiedades. Ahora nos concentraremos en el
conjunto de los imaginarios y finalmente los números complejos.
Pero de de donde surge?
Según la operación de la potenciación al tener la expresión 𝑥2 = −1 esta igualdad en
los números reales no es posible que suceda. Sin embargo puede suceder que al despejar
ecuaciones, numericamente surja una una raíz con suradical negativo. Este enigma llevó
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al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor de
1545. Es así que la solución la encontramos pero en el sistema de los números complejos.
Utilidad
Parece que la idea de imaginarse números no sea muy convincente, pero realmente
son de gran utilidad. Dado el anterior ejemplo, los números imaginarios dan
respuesta a problemas que los números reales no pueden.
Ahora cuando nos encontremos con una raíz negativa ya podremos solucionar el
problema.
Aplicación
Los números imaginarios se emplean mucho en el campo de la electricidad, en la
mecánica cuántica, en las transformaciones de Fourier y, combinados con números
reales, crean los números complejos, muy utilizados también en el campo de las
matemáticas.
Por ejemplo, en ingeniería eléctrica, se usan números complejos, en los cuales
el imaginario es usado para indicar la amplitud y la fase de una oscilación eléctrica,
como puede ser una señal de audio, o el voltaje eléctrico doméstico. De este uso se
ha derivado usos en telecomunicaciones, radar, y neurociencias.
Curiosidad
A los números imaginarios se los nombró imaginarios con motivo de burla dado que
eran concebidos como un conjunto numérico imposible y contrarios a los números
reales.
¿Geométricamente que sucede?
La recta numérica es exclusiva para los números reales, es decir para aquellos que cumplan las propiedades de los números reales, Si el numero NO REAL también existe, ¿dónde lo ubicamos en el plano? En el eje vertical, guardando las características de infinito, positivo, negativo, equidistancia entre puntos.
Cuando sumamos un número imaginario con un número real obtenemos una coordenada, la distancia entre el punto de origen (0,0) y la coordenada es el numero complejo:
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IMAGINARIOS PUROS
La unidad del número imaginario la llamaremos i que corresponde a la la raiz negativa del 1
De este modo √−2 = 2𝑖 √−3 = 3𝑖 y así sucesivamente
Observemos que sucede si le operamos con potencia el
número i, (teniendo en cuenta que 𝑖 = √−1 entonces
𝑖 =−1
𝒊 = √−1
𝒊𝟐 = √−12 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 = −1
𝒊𝟑 = 𝑖 ∗ 𝑖2 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 √−1 ∗ −1 = √−1
𝒊𝟒 = 𝑖2 ∗ 𝑖2 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 (−1)(−1) = 1
𝒊𝟓 = 𝑖4 ∗ 𝑖 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 1 ∗ √−1 = √−1
𝒊𝟔 = 𝑖4 ∗ 𝑖2 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 1 ∗ (−1) = −1
𝒚 𝒂𝒔í 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒊
O si lo expresamos en términos de 𝑖 sería:
NUMEROS COMPLEJOS
Como observamos en el plano, cuando mezclamos un imaginario con un real
formamos un número complejo; este sistema numérico es igualmente infinito,
cumple propiedades y puede realizarse operaciones en él.
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AREA Y VOLUMEN
Enfoquémonos ahora en el mundo geométrico.
Analizaremos algunos cuerpos geométricos,
observemos sus partes el área superficial y el
volumen que ocupan.
Pensemos en uno muy usado en nuestro mundo:
el cubo
Observa los siguientes videos que te ayudarán a analizar más en detalle:
https://www.youtube.com/watch?v=fUb_CCLwwC8
https://www.youtube.com/watch?v=4G4aOfXFwoc
Ahora recordemos algunos conceptos:
FIGURA GEOMÉTRICA: es un conjunto de puntos delimitado a partir del cierre de
un espacio con superficies o líneas.
CUERPO GEOMÉTRICO: Un cuerpo geométrico es una figura geométrica
tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto, que ocupa un lugar en el
espacio y que por lo tanto PERIMETRO: es la longitud del contorno de una figura
geométrica.
NUMERO PI: es un número irracional constante que surge de la división entre el
perímetro de la circunferencia y el diámetro de la misma.
AREA: es la medida de la superficie de una figura plana. Se mide en unidades
cuadradas.
VOLUMEN: es la cantidad de espacio que ocupa dicho cuerpo en, se mide en
unidades cubicas.
El volumen es una característica que comparten todos los cuerpos. Se conoce como
sólidos a los cuerpos con tres dimensiones: ancho, largo, y alto. Los sólidos se
pueden clasificar como:
Poliedros. Son sólidos que solamente tienen superficies planas. Algunos ejemplos
son:
Cubo. Es un prisma cuyas seis caras son iguales.
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Cuboide. Se trata de un prisma cuyas caras opuestas son iguales.
Pirámide. Este sólido tiene como base un polígono y sus caras triangulares se
encuentran en un vértice que tiene lugar en la punta de la pirámide.
No poliedros. Son sólidos que tienen por lo menos una superficie curva. Algunos
ejemplos son:
Esfera. Es un sólido en el que todos los puntos de su superficie se encuentran
a la misma distancia del centro.
Cilindro. Se trata de un sólido cuyas caras paralelas están definidas por una
circunferencia, y se unen por medio de una superficie curva.
Cono. Este sólido tiene una base definida por una circunferencia, y se conecta
a su punto más alto, llamado ápice, por medio de una superficie curva.
El cono y el cilindro tienen bases circulares, entonces vamos a recordar algunos
conceptos básicos la circunferencia.
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Denominamos circunferencia al conjunto seguido
de puntos que están a la misma distancia de otro
punto llamado centro, esta corresponde al
perímetro del círculo (es decir que la
circunferencia no incluye el área). En la figura se
evidencian algunas de las líneas de la
circunferencia.
Denominamos circulo a la superficie
delimitada por una circunferencia
á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄í𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐: 𝝅 (𝒓𝟐)
7. EVALUACIÓN
A continuación, describimos los criterios de evaluación que se tendrán en cuenta en cada uno de los ítems de la actividad que se desarrollará, en cada uno se establece con claridad las acciones a realizar y la forma como serán enviadas las evidencias de dicho trabajo.
Criterios de Evaluación
1 Indica que cantidades son imaginarias puras y cuales son complejas a
través de la operación (1)
2 Ubica correctamente complejos en el plano cartesiano (2).
3 Calcula la capacidad aproximada de agua que cabe en la piscina, la
cantidad de cinta antideslizante y tableta azul que se va a usar.(3a)
4 Encuentra el área superficial para establecer, cuánto cartón debe utilizar y
que espacio vacío quedará en la caja. (3b)
5 Halla el área de pizza que se llevó el ratón (3c)
6 Halla el área sombreada
7 Resuelve problemas usando área superficial y volumen (3).
8 Entrega las fotos de los procesos en un archivo PDF en orden.
9 Asiste, permanece y participa en los encuentros programados
10 Entrega a tiempo las actividades y de acuerdo a los parámetros
establecidos.