K141 Hydraulika 0

Základy hydrodynamiky

Fakulta stavební ČVUT v Praze

Katedra hydrauliky a hydrologie

Předmět HYA2

K141 FSv ČVUT

Doc. Ing. Aleš Havlík, CSc., Ing. Tomáš Picek PhD.

K141 Hydraulika 1

POHYB TEKUTINY

popis pohybu tekutiny - je třeba znát vlastnosti ve všech

bodech prostoru, který zaujímá.

vlastnosti tekutiny proměnné v prostoru a čase:

- rychlost, tlak, hustota, viskozita, teplota,

stlačitelnost, vnitřní energie, entropie,

tepelná vodivost...

chování proudu popisují 3 složky rychlosti v jakémkoliv bodě i čase.

charakteristické bilanční veličiny pro tekutinu jako fyzikální systém:

hmotnost, hybnost a mechanická energie

K141 Hydraulika 2

Fyzikální systémy

- uzavřený:

hmotnost, hybnost i mechanická energie hranicemi neprocházejí

platí zákony (věty) o jejich zachování

- otevřený:

pro tyto veličiny lze sestavit rovnice bilance

Popis pohybu

- kinematický: neuvažuje se působení sil

- dynamický: kromě kinematických charakteristik

se uvažuje s působením sil

K141 Hydraulika 3

Síly uplatňující se při pohybu tekutin:

síla tlaková

síla objemová

síla setrvačná

síla třecí

t

uV

t

umF

aVamF

SpF

působí za klidu a

pohybu tekutin

působí výhradně

za pohybu tekutin SF

síla kapilární LF

K141 Hydraulika 4

EULEROVY POHYBOVÉ ROVNICE

platí pro ideální kapalinu

( =0 )

dxx

pp

dzz

pp

dyy

pp

p

p

p

x

z

dy

dz

dx

a

az

ay

ax

z

xdz

dydx

K141 Hydraulika 5

y

z

uy

uz

u ux

x

uy

dy

dz

dx

p – tlak [Pa]

a – zrychlení [m.s-2]

ax, ay, az – složky zrychlení

ve směru os x, y, z

u – rychlost proudění [m.s-1]

ux, uy, uz – složky rychlosti

ve směru os x, y, z

dx, dy, dz – rozměry elementárního

hranolu

Význam použitých veličin

K141 Hydraulika 6

dt

dudzdydx x

Působení sil ve směru osy x

dzdydxx

pp,dzdyp

tlakové síly:

dzdydxax objemová síla:

setrvačná síla:

D´Alembertův princip – setrvačné síly jsou v rovnováze

s ostatními silami a mají opačný smysl.

K141 Hydraulika 7

Rovnováha sil ve směru osy x

0dt

du

x

pa xx

0dt

dudzdydxdzdydx

x

pdz.dy.dxa x

x

dt

du

x

p1a xx

pro substanciální derivace funkce f (x,y,z,t) dle času

z

fu

y

fu

x

fu

t

f

dt

dfzyx

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

dt

du xz

xy

xx

xx

pro f = ux:

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

x

p.1

a xz

xy

xx

xx

(rov. 1a)

(rov. 1b)

(dosazením 1a do 1b)

K141 Hydraulika 8

Eulerovy pohybové rovnice pro ideální kapalinu:

Výsledný tvar – soustava 3 diferenciálních rovnic

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

z

p.1

a

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

y

p.1

a

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

x

p.1

a

zz

zy

zx

zz

y

z

y

y

y

x

y

y

xz

xy

xx

xx

K141 Hydraulika 9

ROVNICE SPOJITOSTI

ux, uy, uz – složky rychlosti

ve směru os x, y, z

dx, dy, dz – rozměry elementárního

hranolu

- měrná hmotnost elem.hranolu

ux

uy

dxx

uu xx

dy

dx

dzz

uu zz

dyy

uu y

y

x

y

z

uz

dz

K141 Hydraulika 10

dzdydxz

udzdydx

y

udzdydx

x

u zyx

změna hmotnostního průtoku ve směru os x, y, z

změna měrné hmotnosti v čase dtt

dtt

celková změna hmotnostního průtoku protékajícího hranolem

dzdydxz

udydxdz

z

uudydxu

dzdydxy

udzdxdy

y

uudzdxu

dzdydxx

udzdydx

x

uudzdyu

zzzz

yy

yy

xxxx

K141 Hydraulika 11

změna hmotnosti elementárního hranolu vlivem změny

hmotnostního průtoku za čas

0tz

u

y

u

x

u zyx

Rovnice spojitosti (kontinuity)

Vyjadřuje zákon zachování hmoty.

musí být vyvážena změnou hmotnosti hranolu vlivem změny jeho

měrné hmotnosti

dtdzdydxt

dm

dtdzdydxz

udzdydx

y

udzdydx

x

udm zyx

K141 Hydraulika 12

VĚTA O HYBNOSTI PROUDU TEKUTINY

z mechaniky hmotného bodu

12i

i

u

u

uuQFd

udQFd

udQFd

dt

uddtQFd

dtQdm,dt

uddmadmFd

2

1

12

ii

vvQF

vuFFd

pro celý proud

umHHybnost hmotného bodu

K141 Hydraulika 13

FFi

1v

12 vvQF

AR FF

A21 FGFFF

FR

1

2

F

F

v

v

G F

1

1

2

2

A

x

y

K141 HYA Základy hydrodynamiky

vnější síly na vymezený

objem kapaliny:

F1 = p1S1 ... tlaková síla na vstupním profilu

F2 = p2S2 ... tlaková síla na výstupním profilu

FA ... síla stěny na kapalinu

FR ... síla kapaliny na stěnu

- vstupní

rychlost

- výstupní 2v

K141 Hydraulika 14

MOŽNOSTI ZJEDNODUŠENÍ OBECNÝCH ROVNIC

• proudění nestlačitelné kapaliny 0t

konst

• ustálené proudění 0t

u

• jednorozměrné (1D) proudění

0u,0uuu,uu zyzxyx

• dvourozměrné (2D) proudění

0uuu,uu zzyzx

• kapalina v klidu 0uuu zyx

• při výsledném zrychlení = g ga,0aa zyx

K141 Hydraulika 15

hgpp.konstg.

ph e

0uuu,ga,0a,0a zyxzyx

h

0

p

p

dhgdpdhgdpe

kapalina v klidu v gravitačním poli

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

z

p.1

a

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

y

p.1

a

z

uu

y

uu

x

uu

t

u

x

p.1

a

zz

zy

zx

zz

y

z

y

y

y

x

y

y

xz

xy

xx

xx

ZJEDNODUŠENÍ EULEROVY HYDRODYNAM. ROVNICE

K141 Hydraulika 16

ZJEDNODUŠENÍ ROVNICE

SPOJITOSTI

• nestlačitelná tekutina (kapalina)

0

tkonst 0

z

u

y

u

x

u zyx

Rovnice spojitosti pro 1D proudění

změna průtoku v trubici délky dL

dtdll

Q

dl

l

QQQ

změna objemu vody

změna průtočné plochy trubice za čas dt

dtt

SSS

změna objemu vody dldt

t

S

0t

S

l

Q

Aplikace : výpočet neustáleného

proudění v otevřených korytech

0tz

u

y

u

x

u zyx

K141 Hydraulika 17

• 1D ustálené proudění

0t

S.konstS.konstD

0

l

Q0

t

S

proudění v potrubí

průtočná plocha dána stálými vnitřními rozměry potrubí

.konstSvQ

proudění v otevřených korytech

průtočná plocha dána konstantní úrovní hladiny vody

v profilu konstantní hloubka vody

0t

S.konstS.konstH

K141 Hydraulika 18

ROVNICE ENERGIE (BERNOULLIHO)

Neustálené proudění ideální kapaliny v proudové trubici (1D)

v gravitačním poli.

dldz

dll

pp

p

a

g

0,ga,0a,0a zyx

dl

dzgcosga

K141 Hydraulika 19

Tlaková síla

Objemová síla

Setrvačná síla

Sdll

pS.dl

l

ppSp

dt

dudlS

dlSdl

dzg

2

u

lt

u

dt

du 2

t

u

g

1

g.2

u

g.

pz

l

2

dt

du

l

p1

dl

dzg

l

z

dl

dz

Rovnováha sil

K141 Hydraulika 20

Integrace podle „l“ od profilu 1 do profilu 2

L

0

L

0

2

dl.t

u

g

1dl

g.2

u

g.

pz

l

L

0

2

111

2

222 dl

t

u

g

1

g2

u

g

pz

g2

u

g

pz

Bernoulliho rovnice

pro neustálené

proudění

hs – setrvačná výška

s

2

111

2

222 h

g2

u

g

pz

g2

u

g

pz

Vyjadřuje zákon zachování mechanické energie

K141 Hydraulika 21

0t

u,0,ga,0a,0a zyx

g2

u

g

pz

g2

u

g

pz

2

222

2

111

E

2

h.konstg2

u

g

pz

energetická výška hE g

p

g2

u2

Ustálené proudění ideální kapaliny v proudové trubici (1D) v

gravitačním poli.

Bernoulliho rovnice pro

ustálené proudění ideální

kapaliny

polohová výška z

tlaková výška

rychlostní výška

K141 Hydraulika 22

E

2

it

u

g

1

g2

u

g

pz

l

iE – sklon čáry mechanické energie proudu

Neustálené proudění skutečné kapaliny v proudové trubici

(1D) v gravitačním poli.

0t

u,0,ga,0a,0a zyx

zs

2

222

2

111 hh

g2

v

g

pz

g2

v

g

pz

LiZh Ez

hs – setrvačná výška

hZ – ztrátová výška

L

0s dl

l

u

g

1h

l

hi EE

K141 Hydraulika 23

0t

u,0,ga,0a,0a zyx

E

2

ig2

u

g

pz

l

Ustálené proudění skutečné kapaliny v proudové trubici (1D) v

gravitačním poli.

zE

2

222

2

111 hLi

g2

u

g

pz

g2

u

g

pz

Bernoulliho rovnice pro

ustálené proudění

skutečné kapaliny

K141 Hydraulika 24

ROVNICE ROVNOMĚRNÉHO PROUDĚNÍ

rovnoměrné proudění - zvláštní případ ustáleného proudění

podmínky v podélném směru S = konst, v = konst.

výskyt proudění s volnou hladinou v prizmatických korytech

(sklon čáry energie iE rovnoběžný se skonem i0 dna a hladiny)

tlakové proudění v přímém úseku potrubí o konst. průměru

(sklon čáry energie iE rovnoběžný se sklonem tlakové čáry)

Rovnoměrné proudění v potrubí

S

Qvv.konstS.konstD 21

K141 Hydraulika 25

aplikace věty o hybnosti v podélném směru

vnější síly :

• tíha kapaliny ve směru osy proudu

• rozdíl hydrostatických sil působících v profilech 1 a 2

• síla třením

Et

0 iRgL

ZRg

21 hhSgsinLSgsinG

SppFF 2121

LOF 0t

rovnováha sil LOppShhSg 02121

S

LO

gg

ph

g

ph 02

21

1

Pro v1=v2 vyjadřuje levá

strana rovnice ztráty Zt

O

SR hydraulický poloměr

K141 Hydraulika 26

Rovnoměrné proudění v otevřených korytech

složka váhy vody ve směru proudění musí být v rovnováze s

třecí silou

dLi0

dL

g2

v2

y

0i

Ei

G

hF

hF

sinG

dLO0

aplikace věty o hybnosti

v podélném směru

y=konst. Fh=konst.

Fh – tlakové síly

y=konst. i0=iE

v=konst. ·Qv=konst.

dlOsindlSg 0

0isin pro malé úhly E0 iRg

K141 Hydraulika 27

LAMINÁRNÍ A TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ

laminární proudění

- částice se pohybují po hladkých souběžných drahách

- nedochází k fluktuacím rychlostí

turbulentní proudění

- bodová rychlost tekutiny i tlak se nepravidelně mění

(fluktuace rychlostí z hlediska času i prostoru)

- pohyb má náhodný (stochastický) charakter

- zvětšuje vnitřní tření, difuzi a vodivost tepla

K141 Hydraulika 28

LAMINÁRNÍ PROUDĚNÍ

výskyt laminárního proudění :

• pohyb vody v potrubí, ve štěrbinách a kapilárách (Poiseuilleovo

proudění).

• proudění způsobené relativním pohybem stěn (Couetteovo

proudění).

K141 Hydraulika 29

Laminární proudění v přímé kruhové trubici

kruhové potrubí přechod na polární souřadnice

symetrické proudění vzhledem k ose u=f(r), u≠f()

D

r

u

2

uv max

maxu

or

r

dS

dr

parabola

K141 Hydraulika 30

TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ

výskyt turbulentního proudění

• obtékání tuhých těles

• pohyb tekutiny v omezeném prostoru (tuhé stěny, hladina)

K141 Hydraulika 31

Turbulentní proudění v přímé kruhové trubici

2*E0E0 virg

2

1iRg tečné napětí

třecí rychlost

0EiRgv

tečné napětí dvojího druhu

t0

- vazké napětí

t - turbulentní napětí

δr

or

r

δu

u dy

δ

du

ypřechodná částturbulentní mezní vrstvy

vazká podvrstva

δ

jádro turbulentního proudu

K141 Hydraulika 32

Prandtlova teorie turbulence a mezní vrstvy

• vazká podvrstva – uplatňuje se vliv vazkosti tekutiny

0 , t0

částice jsou vedeny tuhým povrchem, proudění je laminární

• přechodná oblast – fluktuace a turbulentní víry nejsou

plně vyvinuty

• jádro turbulentního proudu – uplatňuje se vliv turbulentního

tečného napětí

0t 0

plně se projevují turbulentní fluktuace a probíhají

přenosové jevy

K141 Hydraulika 33

Porovnání rozdělení rychlostí v jednotlivých oblastech

• laminární proudění

• přechodná oblast proudění

Re=2700

• turbulentní proudění

Re=106 Re=108

maxu5.0v

max

maxu75.0v

maxu86.0v

maxu90.0v

K141 Hydraulika 34

PŘECHOD Z PROUDOVÉ TRUBICE NA PROUD

KONEČNÉHO ROZMĚRU

potrubí

bilance průtoku S

dSuQ SvdSvdSvQSS

S

dSu

v S

bilance kinetické energie

m

22

dm2

uEdm

2

udE dldSdVdm

dtudSdmdtudldt

dlu

S koryto

v

umax

K141 Hydraulika 35

S S

33

dSu2

dtdSdt

2

uE

Sv2

dtdSv

2

dtdSdt

2

vE 3

S S

33

Sv2

dt

dSu2

dt

E

E

3

S

3

Coriolosovo číslo

EE

Sv

dSu

3S

3

proudění v kruhové trubici

laminární proudění = 2 turbulentní proudění = 1.05

proudění mezi dvěma deskami

laminární proudění = 1.54 turbulentní proudění = 1.045

Altšul 1+2.65