f1040 – mechanika a molekulová fyzika - physics.muni.czpetos/prednasky/f1040.pdf · 2010. 1....
TRANSCRIPT
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
1
F1040 – Mechanika a molekulová fyzika Typed by Petr Šafařík
F1040 – Mechanika a molekulová fyzika .................................................................................. 1 Zrychlení: ............................................................................................................................... 3
Pohyb po kružnici............................................................................................................... 4 Pohyb z hlediska různých pozorovatelů..................................................................................... 6 Pohybové rovnice hmotného bodu............................................................................................. 9
I. Newtonův zákon: ................................................................................................................ 9 II. Newtonův zákon ................................................................................................................ 9 III. Newtonův zákon............................................................................................................. 10 Tření ..................................................................................................................................... 14
Práce a kinetická energie.......................................................................................................... 15 Konzervativní silové pole..................................................................................................... 17 Práce gravitačního pole ........................................................................................................ 18 Potenciální energie ............................................................................................................... 18 Kinetická energie.................................................................................................................. 18
Zákon zachování mechanické energie...................................................................................... 19 ZZE částice v gravitačním poli. ........................................................................................... 19
Potenciální energie částice v gravitačním poli ................................................................. 19 Práce gravitačního pole .................................................................................................... 20
ZZE pružiny ......................................................................................................................... 20
Přechody mezi potenciálními energiemi
ℵ↔r
mMmgh ................................................. 20
Mechanika soustavy částic ....................................................................................................... 22 První impulsová věta:........................................................................................................... 22 Izolovaná soustava ............................................................................................................... 23
Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: ............................................................... 23 Neizolovaná soustava........................................................................................................... 23
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
2
Popis pohybu Hmotného body Hmotný bod – model reálného tělesa Popis polohy (pohybu) HB vzhledem k dané vztažné soustavě
Vztažná soustava souřadnic (kartézská) spojená s bodem na vztažném tělese.
Volný Hmotný Bod – je takový HB, že vliv okolních objektů je zanedbatelný (=neměřitelný) Inerciální vztažná soustava je taková soustava, jenž je spjatá s volným hmotným bodem.
Je-li ve středu této vztažné soustavy Slunce, poté se taková vztažná soustava nazývá Galileova.
Vstupní Experiment
Axiomy Principy
Fyzikální zákony
Ověřovací experiment
Matematický aparát
Těleso m, rozměry, tvar
Bod . Bezrozměrný, beztvarý
Hmotný bod . bezrozměrný, beztvarý, HMOTNÝ -model reálného tělesa, jehož rozměry zanedbáváme Zanedbatelnost: -vůči jiným tělesům -z hlediska experimentu
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
3
I.Newtonův zákon = vzájemný pohyb volných HB je rovnoměrný přímočarý, nebo klid. Soustava spojená se Sluncem =Galileova = inerciální Soustava spojená se Zemí = Laboratorní... Inerciální je pouze přibližně
( )trr
... polohový vektor; vektorová funkce času
[ ]tttr ∆+∆ ;
r... vektor posunutí v intervalu [ ]ttt ∆+;
[ ]t
rvv ttt
průrůměr ∆∆
== ∆+;r... průměrná rychlost v intervalu [ ]ttt ∆+;
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) rzyxdt
dz
dt
dy
dt
dx
t
tzttz
t
tytty
t
txttx
vt
trtttr
ttt
ttttt
&&&&
rrr
==
=
=
∆−∆+
∆−∆+
∆−∆+=
==∆
−∆+
→∆→∆→∆
∆+→∆→∆
;;;;
lim;lim;lim
lim;
lim
000
;00
( )
( ) ( ) ( )2
2
dt
rdtartvta
rtv
=⇒==
=r&&r&rr
&r
Zrychlení:
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
4
τr ... jednotkový vektor ve směru tečny 1=τr
nr
... jednotkový vektor ve směru normály 1=n
r
( ) ( ) ttt vv τrr =
ττ&
r
=dt
d
( )
( )
ττττττττ
ττ
ττττ
&&
&&
&
⊥⇒==+
=⋅⋅
=⋅°=∠
02
0
10cos
1
90;
dt
d
⇒=ττ&r
&rrn vektor dělený jeho velikostí je jednotkový vektor v tom směru.
va
va&rr
&
=
=
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttttt
tt vnvvvdt
vda ⋅⋅+=+== r&r&&&r ττττ
τ
( ) ( )ttv τ& … tečné zrychlení τar
( )tvn ⋅⋅ r&rτ … normálové zrychlení nar
Rovnoměrný pohyb ⇒=⇒= 0. vkonstv & nemění rychlost
0rr =τa
Přímočarý pohyb
⇒= 0τ&r nemění směr
0rr =na
Pohyb po kružnici Rovnoměrný
( )
( ) tRy
tRx
Ry
Rx
tt
tt
ωω
ϕϕ
sin
cos
sin
cos
==
=
=
R
va
aaR
va
n
n
2
2
=
=
=rr
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
5
Rovnoměrný pohyb znamená: tωϕ = … přímá úměra, kde ω je konstanta úměrnosti.
tRytRytRy
tRxtRxtRx
ωωωωωωωωωω
sincossin
cossincos2
2
−===−=−==
&&&
&&&
1sincos
sincossincos
22
22242242242
=+
=+=+=+=
tt
RttRtRtRyxa
ωω
ωωωωωωωω&&&&
R
va
R
vRv
2
=⇒=⇒= ωω
ϕω &±= , kde se znaménko určí pravidlem pravé ruky
0z ... jednotkový vektor Definice: úhlové rychlosti:
00
0
zz
z
ϕϕωεϕω
&&&&rr
&r
+==
=
00 =zϕ&
( )( )( ) °=∠
°=∠°=∠
=
90;
90;
90
ω
ωω
rr
rr
r
v
rv
R
Rv
R=r
rvrrr ⊗= ω
( )
vwa
ra
vwrwrwa
va
n
rrr
rrr
rrr&rrrr
&rr
⊗=⊗=
⊗+⊗=⊗=
=
ετ
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
6
Pohyb z hlediska r ůzných pozorovatel ů
každý pohyb se může rozložit na Translační/Rotační
tR ...vektor translace S´ vůči S.
( )Stttt zyx ;;=R
S... vůči který se pohybuje tw ... úhlová rychlost pohybu S´vůči S.
Obecný pohyb: A.) Translační B.) Rotační
A.) Translační:
0rr
=ω
´
´
´
zz
yy
xx
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
7
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ttt
ttt
ttt
Aaa
Vvv
Rrr
rrr
rrr
rrr
+=
+=
+=
´
´
´
Pro případ, že pohyb S´vůči S je rovnoměrný přímočarý:
( )
( )
( ) 0
0
rr
r
rrr
=
=
+=
t
t
t
A
konstV
RtVR
Galileova transformace:
( )
( ) ( )
( ) ( )tt
tt
t
aa
Vvv
RtVrr
´
´
´ 0
rr
rrr
rrrr
=
+=
++=
Galileův princip relativity: Zákony mechaniky jsou ve všech inerciálních soustavách stejné. Galileova transformace:
tt
tt
tt
zz
Vtyy
xx
´
´
´
=+=
=
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
8
B.) Rotační ( )( )S
S
a
vv
0;0;0
0;;0
==
( )
( )
( ) 0´
cos´
sin´
=
=
=
t
t
t
z
tvty
tvtx
ωω
( ) ( )St ttvtvtvtvv 0;coscos;cossin´ ωωωωωω −+=r
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
9
Pohybové rovnice hmotného bodu
I. Newton ův zákon: 1. Vzájemný pohyb volných hmotných bodů je rovnoměrný, přímočarý. 2. Volný hmotný bod se v inerciální vztažné soustavě pohybuje rovnoměrně přímočaře.
II. Newton ův zákon vmprr =
=ma Matematicky popsat, jak okolní objekty způsobují, že hmotný bod nebude volný hmotný bod.
( )amvmvmvm
dt
vmdp
dt
pd rr&
r&&r
r
&rr
+=+===
pro m=konst. bude
Fampmrr&r& ==⇒= 0
????=dt
pdr
Pokus: měření dt
pdr
bude se provádět pokus vzájemného působení pouze dvou objektů, aby se omezil vliv dalších složek sil
Newton: Fdt
pd rr
= , kde Fr
popisuje vliv okolního objektu(ů) na testovací objekt.
Silové zákony: 1. Gravitační síla:
2. Elektrická síla:
( )
−=r
r
r
MmFg
rr
12
κ
kde
r
rr
je jednotkový vektor ve směru rr
a
(-1) znamená, že síla působí obráceným směrem, než ukazuje jednotkový vektor
( )
−=r
r
r
MmFg
rr
12κ
=r
r
r
QqFe
rr
2κ
Elektrická síla je ale mnohonásobně větší, než síla gravitační, proto se gravitační může zanedbat
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
10
3. Síla působící na nabité těleso pohybující se v elektrickém poli indukčnosti B
4. Síla pružiny
5. Třecí síla
6. Tíhová síla
nV
výsledná
FFFF
Fdt
pd
rrrr
rr
+++=
=
...21
nFFFrrr
;...;; 21 jednotlivé síly… silový zákon… princip superpozice
III. Newton ův zákon Vzájemné působení objektů
ge FF fff
BvqFL
rrr×=
Lawrencova síla
0xkxFp
rr⋅−=
−=v
vNfT
rr
v
vr
jednotkový vektor ve směru v.
gmGrr
=
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
11
Příklad:
A
lt
Atl
TNgMAM
TNGAM
2
2
1 2
=
=
++=
++=rrrr
rrrr
Rozklad do složek:
MgN
A
MgNMAy
TMAx
y
y
x
=
=
−=
=
0
podmínka Vazební
:
:
… důsledek vazební podmínky, nikoli akce a reakce
TMAx x ==
Pro závaží platí:
mgTmay
max
Tgmam
y
x
−==
+=
´:
0:
´rrr
Vazební podmínka:
( ) ( ) ( ) aAaaaAA y =⇒−==∧= ;0;00;rr
ABBA FFrr
−=
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
12
( ) ´´
´ TTTmgmA
TMA
aA
Tmgam
TMA
=
+−=−=
=+−=−
=
Máme-li nehmotnou kladku, poté T=T´
( )
mM
mgA
mgAmM
TmgmA
TMA
+=
=++−=−
=
Příklad: Na klín položíme těleso, přičemž mezi klínem a tělesem je nulové tření, stejně jako mezi klínem a podložkou. Co se stane s klínem a tělesem?
Silový rozbor: Červené jsou síly působící na těleso m Zelené jsou síly působící na klín M Modré jsou jednotlivé složky zrychlení a tělesa m.
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
13
amdt
pd rr
= ... výslednice všech sil, jimiž okolní objekty působí na těleso m.
Amdt
Pd rr
= ... výslednice všech sil, jimiž okolní objekty působí na těleso M.
)( NPgMAM
Ngmamrrrr
rrr
−++=
+=
ααcos
sin0
Nmgma
Nma
y
x
+−=−=
ay
x
NPMgMA
NMA
cos
sin00
−+−=++= α
4 rovnice pro 6 neznámých:
NPAAaa yxyx ;;;;;
vazební podmínka: vertikální zrychlní klínu je nulové:
xy AAA =⇒= 0
Dodáme podmínku: a-relativní ( rela ) je rovnoběžné se skosenou hranou klínu.
rela ... zrychlení m vůči M.
Aaarel
rrr −=
αtgAa
Aa
xx
yy =−−
... z obrázku
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
14
( )
α
ααααα
α
αααα
α
cos0
sincos
sinsintan
sin
sincoscoscos
sin
NPMg
mAmgN
AaAaa
NMA
xmamg
ymaN
Nmgma
Nma
xxy
y
x
−+−=
−=−⇒−=
=
−+=
+−=−=
αsin
MAN =
( )
+=
+=
+=
+−=
=
αα
αα
ααα
ααα
2
2
sinsin
sin
cossin
sincos
cossinsin
mM
MmgN
mM
NmgN
mM
mgA
mgmAMA
NN
Pokud se klín nehýbe Přidá se, jakmile klín uvolníme
Tření Pokud se těleso pohybuje platí:
NfTd =
Pokud se těleso nepohybuje:
0NfTs = ... pouze maximální statická třecí síla.
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )ffgm
mgfmgfaNfKtFFmatt
K
mgftKfmgfNftTt
FTs
TFma
at
d
s
tt
s
−=−=⇒−=−=
=⇒=⇒=
=−=
00
00
0000000
00
:
:
...;0
f
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
15
Práce a kinetická energie
F je jedna ze sil působících na částici oblouk MN aproximujeme úsečkou
Fr
∆ bude na MN minimální a můžeme ji zanetbat
12A ... součet elementárních prací
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )dzdydxrd
zyxrC
drFrF
F
tttt
C
tvrtvr
tvr
,,
;;:
,,,,
,,
=
=
→∆ ∫∑
r
r
rrr
r
rrrr
rr
Pokud F... konst a F je rovnoběžná s r pak práce A je rovno:
FsA =12
Pokud F... konst a F není rovnoběžná s r pak práce A je rovno:
rFFsArr
∆== αcos12
Pokud F není konst a F není rovnoběžná s r α ... není konst.
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
16
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫∫ ⋅====
=⋅
⋅=
=⇒=
2
1 ;;
2
1
2
112
;;
;;
t
t ttvr
t
t
t
t t
C
xttt
ttt
tt
dtvFdtvFdtfrdFA
fvtvrF
dtvtvrFrdF
dtvrdvdt
rd
tt
rrrrrr
rrr
rrrrr
rrrr
Př: z=konst.=0... pohyb v rovině
[ ]
( )
( ) [ ]∫∫ =−+==
−+=+=
−=−=
===
====
===
−
1
0
234
24
2
4222
2
12,12
2
1
30
122
2
2
1
1...
JdttttrdF
ttttyFxFvF
ttxyF
tttyxF
tyty
xtx
msty
tx
C
yx
y
x
rr
&&rr
&
&
χχχ
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ][ ]1
3
2;;
1
1
;;
−
−
==
−==
Nmb
Nma
xybyaxFFF yxyyxxr
rrrr
( )( )NNF
r
3,0,02,0
5,0;2,0´
=
=r
r
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
17
( )
[ ]∫ =
=+=
=
==
==
1
0
3
33
2
2
4
1
0
0;
1
1:
JdttA
ttvF
tF
y
x
ty
txC
rr
r&
&
Konzervativní silové pole Pole, které splňuje následující podmínky, se nazývá konzervativní silové pole. Jaké jsou podmínky na silové pole, aby práce 12A po křivce C nezávisela na tvaru C, ale pouze na počátečním a koncovém bodě A,B. Tvrzení: Centrální pole je konzervativní. Důkaz:
( )
( )dr
rdrrdrdt
drrr
dt
rddt
drrr
dt
dr
dt
rdrr
dt
rd
rrrrr
rr
rdrdrF
drFA
r
rC
C
C
θ
θ
==
=
+=+
⋅==⋅
==
= ∫
rr
rr
rrr
r
rr
r
rrr
r
2
...
( )∫=B
A r rdrA θ... ve výsledku nefiguruje r, ale pouze r, takže není závislý na tvaru trajektorie.
( ) rr
F
r
rFF r
iCentra
rr
r r
±=
±=ln
( )r
r
r
Fθ=
±
r
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
18
Práce gravita čního pole
−−ℵ=
ℵ−=−ℵ=ℵ−=
ℵ−=ℵ−=ℵ−=
−ℵ=
∫ ∫
12
2
1
2
1 22
233
2
11
2
1
rrMmA
r
Mm
r
drMmdr
r
MmA
drr
Mmrdr
r
Mmrdr
r
MmrdF
r
r
r
MmF
AB
r
r
r
r
r
r
g
g
rrrr
rr
Potenciální energie Pro:
∞→→
2
1
r
rr
Platí:
( )rur
MmA =ℵ−= ... potenciální energie částice v gravitačním poli v bodě r.
Kinetická energie Na částici působí více různých sil, které vykonávají různé práce:
( ) ∫∫ ∑∑∫∑
∫
∫
====
=
=
−
−
−
C
v
C
j
C
jj
C
C
rdFrdFdrFAA
rdFF
rdFF
rrrrr
r
r
1212
2122
1121
rmaddr
maFVr
r
== ...fyzikální vyjádření
( )
( )21
22
2
1 2
1vvmmvdvrdF
mvdvrdvmdtvdt
dvmrmad
v
vv −==
===
∫∫rr
rrrr
Kinetická energie 2
2
1mvEk =
Celková práce všech sil které na částici působí určuje změnu kinetické energie částice.
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
19
Zákon zachování mechanické energie
Pohyb v silovém poli ( )rF r
r
( )rF r
r… jediná síla působící na m.
( ) ( )
( )∫
∫
=−
=∆ →
C
r
C
rk
rdFmvmv
rdFE
rr
rr
r
r
21
22
21
2
1
2
1
ZZE částice v gravita čním poli.
( )
( )
( )
12
21
22
2
1
21
22
2
1
2
12
3
2
11
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
rmM
rmMmvmv
rmMmvmv
rmMdr
r
mMrdF
rdrr
mMF
r
r
r
mMF
r
r
r
rC
r
r
r
ℵ−ℵ=−
ℵ=−
ℵ=ℵ−=
ℵ−=
ℵ−=
∫∫rr
rrr
rr
r
r
r
ℵ−+=
ℵ−+
2
21
1
21
1
2
11
2
1
rmMmv
rmMmv …tento součet se zachovává pro libovolný bod.
Neboli: 01
21 .
1
2
1Ekonst
rmMmv ==
ℵ−+ … celková mechanická energie
Potenciální energie částice v gravita čním poli
( ) r
mMU r
ℵ−= … potenciální energie částice m v gravitačním poli částice M.
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
20
Práce gravita čního pole
∞==
→
ℵ−ℵ=2
11221
rrrr
mM
r
mMW … práce, kterou gravitační síla vykoná na posunut.
ZZE pružiny ( )
( ) 21
22
21
22
2
1 2
1
2
1
2
1
0
0;0;
mvmvxxkkxdxrdF
dzFdyF
dzFdyFdxFrdF
kxF
r
ŕ
zy
zyx
−=−−=−
=++
+++=
−=
∫rr
rr
r
022 .
2
1
2
1Ekonstkxmv ==+ … celková mechanická energie
Přechody mezi potenciálními energiemi
ℵ↔r
mMmgh
( )( )
konstmghmv
EkonstR
mMmgh
R
mMmv
EUE
gR
M
hR
Mm
R
mM
R
h
R
mM
R
hR
mMU
xx
x
x
x
x
R
hR
mMU
hR
mMU
hRr
k
=+
==ℵ−=+ℵ−
=+
=ℵ
ℵ+ℵ−=
−ℵ−=+
ℵ−=
−=−−=
−−⋅
+
+⋅ℵ−=
+ℵ−=
+=
2
02
0
2
2
2
2
1
2
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
&
zanedbatelné
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
21
Příklad: Střela o hmotnosti m a počáteční rychlosti 0v narazí do kyvadla a vychýlí ho o úhel 0ϕ .
v... společná rychlost soustavy bezprostředně po srážce Jaká byla rychlost 0v ?
Před srážkou: Celková hybnost soustavy střela + kyvadlo:
00
00rr
rr
=+=
V
VMvmPC
Po srážce:
( )( )vMmvmPP
vMmP
Crrrr
+=⇒=+=
00
0
0,vv rr ... stejný směr
vm
Mmv
vm
Mmv
+=
+=
0
0rr
Mechanická energie
Stav 1.: ( ) 02
1 211 ++=+ vMmUEk
Stav 2.: ( ) 022 cos...0 ϕllhghMmUEk −=++=+
( ) ( ) ( )
( )
( )00
0
02
cos12
cos12
cos12
1
−+=
−=
−+=+
glm
Mmv
glv
glMmvMm
ϕ
ϕ
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
22
Mechanika soustavy částic
Okolní objekty i-té částice A) Nii mmmm ;...;;;...; 111 +−
B) αM
Síla, kterou působí j-tá částice na i-tou
αi
extijji
ji
F
FF
F
r
rr
r
−=
int
αiFr
...nepatří do soustavy, proto nás nyní nezajímá.
0:
11
rr
rrr
=
+= ∑∑=
≠=
ii
Kext
i
N
ijj
extij
i
Fmedodefinuje
FFdt
pd
αα
První impulsová v ěta: Celková hybnost=součet všech hybností
∑=
=M
iipP
1
rr
=+=+=
+=== ∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑= ==
≠== =
≠=
extVV
N
i
Kext
i
N
i
N
iji
ij
N
i
Kext
i
N
iji
iji
i FFFFFFdt
pdp
dt
d
dt
Pd rrrrrrr
rr
int
1 11 1
int
1 11
int
αα
αα
0int rr=VF ...akce a reakce
...1.Impulsová věta (důsledek II. a III. Newtonova zákona)
extVF
dt
Pd rr
=
F1040 Mechanika a molekulová fyzika Petr Šafařík F1040 –Přednášky
23
Izolovaná soustava
Zákon zachování hybnosti izolované soustavy: 0rr
=extVF resp. 0
rr=ext
iFα
konstPdt
Pd =⇒=rr
r
0
Neizolovaná soustava pro kterou platí, že 0
rr=ext
VF
konstPdt
Pd =⇒=rr
r
0