М е х а н і к а

90

УДК 629.75

О. П. Мариношенко, О. В. Папіжук

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДЕФОРМУВАННЯ КРИЛА

ЛІТАЛЬНОГО АПАРАТУ

В роботі виводиться повна математична модель коливальних процесів крила лі-

тального апарату під дією аеродинамічних навантажень. Приводиться готова для моде-

лювання система, що дає можливість подальшого визначення параметрів динамічної

взаємодії між коливальними процесами згину та кручення. Це дозволяє в подальшому

обчислити параметри навантаження кожного окремо виділеного силового елемента

(оболонки, стрингера, лонжерона), що дозволить виділити у профілі крила літального

апарату навантажені та ненавантажені зони.

В работе выводится полная математическая модель колебательных процессов

имеющих место в поперечном сечении крыла летательного аппарата под действием аэ-

родинамических нагрузок. В результате имеем готовую к моделированию систему, что

дает возможность дальнейшего определения параметров динамического взаимодейст-

вия между колебательными процессами изгиба и кручения. В дальнейшем это позволя-

ет вычислить параметры нагружения каждого отдельно выделенного силового элемента

(оболочки, стрингера, лонжерона), что позволит выделить в профиле крыла летательно-

го аппарата нагруженные и ненагруженные зоны.

In this paper a full model of oscillation processes of a wing under the aerodynamic

forces are deduced. Realized mathematic model makes a possibility to determine parameters

of the dynamic interaction between bend and torsion oscillation processes of the wing of air-

plane. In the future, the tension parameters of each element of construction (shell, stringer,

spar) can be calculated. It gives a possibility to detect heavy loaded and unloaded zones in

any cross-section of the wing.

Вступ

Розглядувана стаття є продовженням наукових досліджень викладе-

них в роботі [1], в якій наводиться новий підхід щодо визначення характе-

ристик напруженого і деформованого стану крила літака та обчисленню

приведених жорсткісних характеристик його конкретного поперечного пе-

рерізу.

У даній статті виводяться взаємозв’язані рівняння згінних, крутиль-

них та повздовжніх переміщень крила літального апарату (ЛА) з урахуван-

ням його внутрішньої структури та зовнішнього аеродинамічного наван-

таження, що діє на вказане крило. Це дозволяє в подальшому провести мо-

делювання взаємозв’язаних коливальних процесів, та дослідження явищ

втрати статичної та динамічної стійкості крила ЛА, відомих як флатер та

дивергенція.

М е х а н і к а

91

Постановка задачі

В роботі необхідно вивести математичну модель взаємозв’язаних по-

вздовжніх, згінних та крутильних коливальних процесів крила літального

апарату під дією аеродинамічних навантажень.

На основі отриманих результатів необхідно провести обчислення ха-

рактеристик напруженого і деформованого станів в конкретних попереч-

них перерізах крила ЛА.

Визначення приведених силових характеристик поперечного перері-

зу крила ЛА

Нагадуємо, що конфігурація описує недеформований стан систе-

ми, – деформований стан системи.

Розглянемо довільну точку перерізу в яка належить його ма-

теріальній частині, – вектор напруження, що прикладається в точці

довільного поперечного перерізу. Розкладемо вектор на наступні скла-

дові

.

Вказані напруження виразимо головним вектором і головним момен-

том від їх дії; за центр зведення обираємо центр мас перерізу (точку ).

Головний вектор і головний момент від дії вказаних напружень будуть ма-

ти наступний вигляд

, .

де – радіус вектор точки з початком в .

Повні вирази для головного вектора та головного моменту подано

у [1].

Головний вектор і момент можна представити і в такому вигляді

, .

Вирази для складових головного вектору і головного моменту наве-

дені в [1].

Для визначення шуканих функцій необхід-

но сформулювати граничні і початкові умови та скласти відповідні рівнян-

ня руху, в які будуть входити приведені інерційні та жорсткісні характери-

стики поперечного перерізу крила ЛА, що виражаються наступними фор-

мулами [1]:

0C

tC

*M tC

z *Mz

* * * * * *zzz z zx z zy zk i j

zC

z

z zzT d

z

z zz zM d

* *z z z z zx i y j

*M zC

* * * * * *2 1

zz z zT N k Q j Q i

* * * * * *1 2Cz K z z zM M k M i M j

0 0 1, , , , ,u z t w z t b z t

М е х а н і к а

92

(1)

(2)

(3)

(4)

Використання виразів (1)–(4) дає можливість виражати внутрішні

силові та моменті характеристики від дії напружень в конкретному попе-

речному перерізі крила.

У роботі [1] розглянуто методику розрахунку коефіцієнтів

, які виражаються виразами (1)–(4); наведемо лише їх чис-

лові значення:

[ н м2],

[ н м2],

[н м2],

[ н м2],

[ н м2].

Векторні рівняння руху крила літального апарату

В деформованому стані виділимо двома площинами , які

перпендикулярні лінії, що з’єднує центри ваги поперечних перерізів крила

ЛА, елементарну його частинку. Позначаємо через масу одиниці довжи-

ни крила ЛА; через , вектори зовнішніх силових і моментних наван-

тажень. Маємо ситуацію, зображену на рис.1.

2* 0 0

2

* * . . . . * . . . .. . . . . .

1 1

* * . . . . * . . . .. . . . . .

1 1

,

,

,

n lc c о в о в о н о н

z p z m z mp m

n lc c о в о в о н о нx p x m x m

p m

u wN A B

z z

A E E E

B E I E I E I

* 12

. . . . . . . .. . . . . .

1 1

,

,n l

c c о в о в о н о нy p y m y m

p m

bQ H

z

H I I I

* 1

. . . . . . . .. . . . . .

1 1

,

,

k

n lc c о в о в о н о н

y p y m y mp m

bM C

z

C J J J

2* 0 01 2

* * . . . . * . . . .. . . . . .

1 1

,

.n l

c c о в о в о н о нx p x m x m

p m

u wM B D

z z

D E J E J E J

, , , ,A B C D H

92.77 10A92.38 10B125.799 10C

111.232 10D103.644 10H

,z z dz

zq

zP

zm

М е х а н і к а

93

Рис. 1. Силові і моменті навантаження на елементі крила ЛА

Позначимо вектор інтенсивності поверхневого навантаження

, де – дугова координата контуру поперечного перерізу

крила ЛА при заданій координаті . Приведемо вказане зовнішнє наван-

таження до центру мас перерізу. Тоді головний вектор і головний момент

від дії зовнішнього навантаження будуть визначатися формулами:

,

де – радіус вектор від центру мас до точок, що знаходяться на контурі

поперечного перерізу крила ЛА.

Для виводу рівняння, що описує рух центру мас виділеного елемен-

та, застосуємо теорему про зміну кількості руху, маємо

,

де – головний вектор зусиль від дії напружень в конкретному попереч-

ному перерізі крила, – вектор переміщення точок виділеного попереч-

ного перерізу крила ЛА.

Застосовуючи теорему про зміну кінетичного моменту, одержуємо

друге векторне рівняння, що описує обертальний рух елемента навколо

центра мас

,f f z s

s zL

z

, , ,

z z

z z L

L L

P f z s ds m r f z s ds

Lr

20

2

z

z z

u Tq P

zt

zT

0u

М е х а н і к а

94

,

де – вектор кінетичного моменту виділеного елемента крила,

- головний момент від дії внутрішніх напружень, які розраховуються на

одиницю довжини балки, – орт вздовж осі локальної системи ко-

ординат в конфігурації .

В загальному, кінетичний момент виділеного елемента можна пред-

ставити у наступному вигляді:

.

Тут величини , , … – компоненти тензора інерції крила ЛА;

– вектор кутової швидкості обертання виділеного

елемента навколо миттєвої осі, що проходить через його центр мас .

В площині крило ЛА має велику жорсткість на згин відносно

осі , тому припускаємо , а та будемо визначати згідно на-

ступних формул

де , – кути повороту виділеного елемента крила ЛА навколо осей

та відповідно.

Вважаємо, що розглядуване крило ЛА має площину матеріальної си-

метрії – площину , тоді вираз для кінетичного моменту спрощується

до наступного виду

,

де , .

Остаточно отримаємо два векторних рівняння руху виділеного еле-

мента крила ЛА:

*z

z

C zC z

MK k T mt z

zCK

zCM

*zk

z zC z

tC

z

z z zz zx zy

z z zC xz x xy

z z zyz yx y

J J J

K J J J

J J J

zzJ

zxJ

zyJ

z x yk i j

xCz

Cy 0y z x

1z

b

t

21

x

w

z t

1b0w

z

C z C x

xCz

z zz zx

z z z zC C z C z z z zx x x x zx z zK K k K i J J k J J i

201z z

Czz z zx

wbK J J

t t z

20 1z z

Czx x zx

w bK J J

t z t

М е х а н і к а

95

(5)

Формулювання скалярних рівнянь руху

В рівняння (5) необхідно підставити вирази для визначення компо-

нент вектора переміщення і компонент зовнішніх і внутрішніх силових на-

вантажень у виділеному елементі крила ЛА в конфігураціях і , тоді ці

вирази приймуть наступний вигляд:

,

,

,

,

.

Приймаючи до уваги таблицю напрямних косинусів [2], отримаємо:

,

,

,

,

,

,

,

,

(

6)

Підставимо (6) в (5) і отримаємо систему нелінійних скалярних взає-

мозв’язаних рівнянь повздовжніх, згінних та крутильних переміщень кри-

ла ЛА

* *

2* 0

2

*

,

.z z

z

z

c czz

uTp

t t

M Km k T

z t

0C tC

0 0 0z zu u k w j

* * * * * *0 2 1 2 1z z z z z zT N k Q j Q i Nk Q j Q i

* * * *z zz z zy z zz z zy zP P k P j P k P j

* * * *z zz z zx z zz z zx zm m k m i m k m i

* * * * * *1 2 1 2Cz k z z z k z z zM M k M i M j M k M i M j

* *0 021

u wN N Q

z z

* *02 2 21

wQ N b Q

z

* *0 01zz zz zy

u wP P P

z z

* *021zy zz zy

wP P b P

z

* *01zz zz zz

um m m

z

* *11zx zx zxm m c m

* *01k k k

uM M M

z

* *1 1 1 11M M c M

М е х а н і к а

96

(7)

З формул (7) виключаємо величини :

Після проведення громіздких аналітичних перетворень та ряду

спрощень одержуємо наступні скалярні рівняння руху, при цьому не буде-

мо враховувати рівняння згінних переміщень в площині .

Рівняння крутильних переміщень

(8)

рівняння повздовжніх переміщень

(9)

рівняння прогинів в площині

20

, 2

20

2 , 2

20

1 , 2

0 0, 2 1

0 02 , 1

0 01 , 2

,

,

,

,

1 ,

1 .

z z

z y

z x

zk z z

yz y

xz x

uN pz t

wQ pz t

vQ pz t

v w KM m Q Qz z z t

Ku vM m Q Nz z z t

w u KM m N Qz z z t

1 2,Q Q

01 2 ,

02 1 ,

,

.

yz y

xz x

KvQ M m N

z z t

w KQ M m N

z z t

zCx

* * * * *0 0 0, 1 1 ,

3 32 2* 0 01 1, 1 2 2 2 2

,

k z z k z z

z z z zz x yx yz zx z

w w wM m M M b mz z z z z

w wb bm b J J J J

t z t t z t

2** * 0 0, , 2

,z z z y

w uNp p

z z t

zCy

М е х а н і к а

97

(10)

Для визначення зовнішнього навантаження використовуємо форму-

ли, що наведені в роботі [9]

, (11)

де – густина набігаючого незбуреного повітряного потоку, – дов-

жина хорди крила , – довжина крила, – початковий кут атаки крила.

Для проведення конкретних обчислень вибираємо апроксимації для

опису переміщень крила ЛА, які наведені в [8]

– для кручення: де: ,

(12, а)

– для прогину:

де , . (12, б)

Підставляючи вирази (1)-(4), (11), (12а), (12б) в (8)-(10), і нехтуючи

усіма зовнішніми навантаженнями як малими в порівнянні з та ,

після громіздких обчислень, проведення інтегрування по довжині крила, та

підстановки значень приведених жорсткостей, отримуємо рівняння згину

та кручення досліджуваного крила ЛА. При цьому були використані на-

ступні значення характеристик крила:

– площа крила 83,23 ,

– моменти інерції =118 , =48 , =2600 .

Остаточно маємо наступні рівняння згінно–крутильних переміщень

крила ЛА:

– рівняння кручення

,

– рівняння згину

** * * * 01, 1 , 2 0

3 22* * *0 0 01, , , 12 2 2

,

z y z x

z zx xz z z z y z x

wMm b m N Q w

z z z zz

w w wbJ J p p p b

z zt z t t

*1 0

* 21 0

2 sin ,2

sin .2

zy пов

zz пов

zp vb v b t v

l

zm vb v b t v

l

пов b

l 0

1 1 1( , ) ,b z t b t z 1 sin2

zz

l 1l

0 1 1( , ) ,w z t c t z

41 1 1 .z p z q z 1 1p 1q

*,z zm *

,z yp

S2м

zzJ

2кг м zzxJ

2кг м zxJ

2кг м

11 51 1 11052 6,51 10 ( ) 2,77 10 3578b t b t c t

6 131 1 1 14,36 10 4,35 10 672 29419 ( ) 2567.c t c t b t b t

М е х а н і к а

98

Розв’язком даної системи диференціальних рівнянь є функції

, які описують амплітудні коефіцієнти згинних та крутильних

переміщень. Використовуючи знайдені амплітудні коефіцієнти можна

проводити обчислення деформацій та напружень, які виникають в конкре-

тних поперечних перерізах крила ЛА. Як приклад обчислень на рис. 2

наведемо розподіл напружень та деформацій в поперечному перері-

зі при розмаху крила ЛА. При проведенні математичного моделю-

вання всі параметри системи були попередньо приведені до безрозмірного

виду, зокрема, розміри крила віднесені до довжини його хорди.

,t c

Рис. 2. Розподіл напружень zy та деформацій zy в крилі ЛА

Висновки

В роботі продовжено дослідження щодо виведення математичної

моделі деформування крила ЛА. Використовуючи приведені жорсткості на

розтяг згин і кручення для розглядуваних поперечних перерізів крила, які

були отримані в роботі [1], виведено математичну модель взаємозв’язаних

повздовжніх згінних та крутильних переміщень крила ЛА.

Проведене математичне моделювання отриманої системи диференці-

альних рівнянь, як результат, отримані параметри динамічної взаємодії між

коливальними процесами крила ЛА, та визначені напруження та деформа-

ції в точках конкретного поперечного перерізу.

В подальших роботах авторів буде проведене обчислення параметрів

навантаження кожного окремо виділеного конструктивно-силового елеме-

нта крила ЛА (оболонки, стрингера, лонжерона), що дозволить визначити

навантажені та ненавантажені ділянки поперечних перерізів та провести

більш детальний аналіз їх напружено-деформованого стану.

1 1, ( )c t b t

zy zy

0,5l

МПаzy ,

b

ct,

b

zy

М е х а н і к а

99

Список використаної літератури

1. Папіжук О.В., Мариношенко О.П. Розробка методу розрахунку інер-

ційних та приведених жорсткістних характеристик крила літального апара-

ту. Механіка гіроскопічних систем. К.: НТУУ “КПІ”, випуск №19 – 2008. –

С.65-76.

2. Мариношенко О.П. Каюк Я.Ф. Про один новий підхід до побудови

характеристик напруженого і деформованого стану крил літаків// ІV Між-

народна науково-технічна конференція. "Гіротехнології, навігація, керу-

вання рухом і конструювання авіаційно-космічної техніки”. – Тези допові-

дей. – 2007. – С.148-156.

3. Кан С.Н. Расчет самолета на прочность. – М.: Оборонгиз, 1958.-292с.

4. Галкина Н.С. Исследование НДС элементов авиационных конструк-

ций и их соединений.-М.: ЦАГИ,1979. –73с.

5. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. –

М.: Машиностроение, 1964. - 284с.

6. Ляховенко И.А. Расчет НДС неоднородных балок при динамическом

нагружении.-М.,1973. –27с.

7. Маркелов В.А. Исследование НДС натурных авиационных конструк-

ций методом фотоупругих покрытий. – Новосибирск,1986. – 16с.

8. Келдыш М.В. Избранные труды: Механика.-М.: Наука, 1985. 568с.

9. Theodore Teodorsen. General theory of aerodynamic instability and the

mechanism of flutter. NASA Report № 496, 1934.

10. Украинцев Г.В. Методика расчета на прочность тонкостенных конс-

трукций переменного поперечного сечения. – М.,1970.- 25с.

УДК 629.7.047

Є. А. Пахнюк, М. Т. Савченко, В. В. Сухов, О. Б. Туріщев

ДОСЛІДЖЕННЯ ДОЦІЛЬНОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ СИСТЕМ

КОЛЕКТИВНОГО ЖИТТЄЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ПАСАЖИРСЬ-

КИХ ЛА У СВІТЛІ СУЧАСНИХ ТЕНДЕНЦІЙ РОЗВИТКУ АВІ-

АІНДУСТРІЇ

У статті піднято питання доцільності застосування систем колективного спасін-

ня у світлі сучасних тенденцій зростання пасажиромісткості та обсягів пасажиропере-

везень авіатранспортом. Розглянуто питання порівняння безпеки двох літаків: нового

літака, безпека якого підвищена традиційними способами, і літака, обладнаного систе-