』

2018年10月24日「微分積分」小テスト解答

／ 、

IR2上の関数

/("'") :=2z;2_"zﾉ＋y2－釘+Z/ー ‐＝ ‐

の停留点を求めて， ノの最小点であることを示しましょう．、 ノ

(ず'L)M=Tx; ＞（ナv)M_=j-,7<さらにノの2階の導関数を求めると

解答まず停留点を求めます．

{f三雲手堺】 三 ：を解いて(",y)=(:,-;)がノの唯一の停留点であることが分かります．

ん麺＝4’ん,＝ん麺＝－1’んz/=2H(E))

）一一

となりますから,R2上4 －1

-1 2九麺=4>0, det(H(/))= ＝7＞0

が成立することから

((--)箒(*-:')'(",y)>/(音､-:)イ イ

が成立することが分かります．

、〆

IIp,9,1>0とします．生産関数

雌,9) ;＝鰯音y昔 (",y>0)

に対して，利潤関数

汀(",y) ;＝『/(",zﾉ)一m－9y1 坐

を考えます師の停留点を求めましよう ご卜'c31s- Pメー8チＬ ノ

ーー 可

解答１－３２－３

”ツー

２’３刷り

’１－３

釘ｚ

Ｔ六Ｊγ一旬口｛

００

ｐ９

7T"

7TIJ

二＝＝

吾＝＝

ﾆーー

ニニニ

延べノ

、夕坐

Ｉｋ

延

曲兇一＄一一

一一

ｎへ一へ。堅一勺。

１１

叶一３人３

－ｃｘ

９すなわち

｛窯三豊丁。

γ

(1)2×(2), (2)2×(1)から－

_, 27p29 _ 1z ＝－テテ, "

ｊｌ

ｌ２

が汀の停留点が満たす条件です．

27pq2γ3

､L

一Ｆ

〃、Ｄ

込ｐｌ

ｎｊ２

＝＝

’一洲し一ワ

又Ｉ

すなわち ＝

7373

ZFW' !/=釣＝＝

27p92

卜3－

2qPz<b

29

卜

JcQPI<1,V､)=

:(P,11v-)

一一

哩之

，手近間§

翻需ｌ

モー

、ｚｑＯ

｜仰

も一脈ぃ二

ー

』

i主塞尋再~工 1王毒手易

ゴ~(x/n

－

－11一

桧A是 呑蒐

X、

答'王毒f品痛 {-主1老弐や

三(萱(可 ｜詞嘩奇!（ /ire－ぅや

rlW･ (x いす 君 ､1－CX, Px,、 もう一一

一－

「

一

が停留点となります．

補足生産関数1 1

ﾉ(",I/)="al/3

に対して利潤関数

汀(",Iﾉ)､･/(",zﾉ)－”－“

を最大化するのが

”(,,蝋一読両, ,(,｡‘,隼為い r3

で生産要素需要関数と呼びます． ir"--'af-r, 'ir,==塁上Ⅲ"=す※' 1，－『,T,=誉補足さらに汀の2階の偏導関数を計算します．

27 5 ， 7， 2_2 2r L－旦

汀麺麺=-す" 31/3, 汀廼ﾘ==7Tym==ず31ﾉ 37 汀""=-=すz3Z/ 3

か,三､拝音の占pｲ,,。 ，ハ匡口2 . 1了対｜ ，了 《十・ ぅ ‐_－ ．－－ ．－． ．－．<十 K十 （ 。

27 5 ，

汀麺麺＝－す〃 31/3,

から任意の点P("（ ユ

ﾆ

処－３

』Ｈず

Ａ３ｆｌ

,9)ER#+に対して洋一ぅ

－１ケ

ーさ

--FT: irえうglﾄｭ,亡す＄~す81

7T""(P)=-苓鰯-:y;

det(H(/)(P))=に割が成立しますからPo(零璽,響旦)において

５－３

２－３

２－叩１－“

一錘翫－９

Ｔｌｑ）’

１’

０ン

４－３

〃

４’３範

混一”

7r(P)<7r(Po) (PER4+,p≠Po)

が成立します.すなわちPoにおいて7Tは最小であることが分かります（しかも，唯一の最小点です)．

30

■■ ‐ ‐

極大。極小の判定

R2の開集合U上の関数':U→R

(復習）

'が(",6)EUで極小・極大ならば八(",6)=jj(",6)=0』

このとき(α’6)をずの停留点という。停留点が極大・極小になる十分条件を与える。

す、､､･UE_C2齢＆

定理 ①寸澪,丁圃，丁芙苓､､.§恥一再底③丁'寸垂,丁》,丁恭奈(α,6)EUがた(α,")=jj(",6)=0を満たす。ん(",6)>0,ん(",6)ん(",6)－ん(α,")2>0

< k!

‘〈'一｝(cI

〔スノ7〕

は正定値－－■ ■■ ■ ）そ罫守兵輔)二い簿粟,苛諒室， I

このとき(",6)で極小となる。 ヨミ〉・ ナCX,号

（一点

＜

）つ丁cQ(C,』

[X(洲キCq(6，/ <xAj)eBS(､(t･)}

I~pR(),IE(､T) 関数の凹凸と2階微分戸瀬信之 (IT()HE

’ 零藍--窪ゞ ‐← ‐ ＝

証明のために必要な連続関数の性質

L)

oR2の開集合U上の関数G:U－→Rは連続とする

。（α,6)EUに対してG(",6)>0とする。

・このとき正数6＞0が存在して

(C･)

G(x,y)>0 ((x!,y)EB6(",6))

14戸瀬信之 (IT()FIEPR()JE({T) 関数の凹凸と2階微分

需垂工

再

艶玉

琴 藍 ＝

証明

ナェx.CQ(B･)>o 3S(

～） 丁エae(PJ>o (Pe

端I･んとんん一 。

2

丁'‘狸寸洲一ナ,心､ ‘子曇瀧込

:,tx&PJ)ず的(P｡)- オメj(fb)>D･たx(x,y)>0((x,y)EB6(",b))

:,tx(んん-/a>0((x,y)EB6(",6))

～、 ナェェを満たす正数が＞0が存在。

・凸性の定理を用いると(x,y)EB6(",6)が(x,

S

w'i $,､[S',ざし)>o： 一一

2018年5月(emath2018)画′玲

禺 胃戸瀬信之 (IT()REPR()JE(T) 関数の凹凸と2階微分 龍

味 》 ｒ ）

1〆 叩 や 。 ） 〃 坪 》 〔 つ α ） ″ ０

計 〔 × 〆 免 α ） 刎 歴 亀 。 ）

一 Ａ Ｃ

エ 〔 坐 ） 〔 訳 ）

〕 》 〆 ‐ 〔 わ 〃 ） ￥ 》 》 （ 、 。 ）

↓ 一 ア

’

Ｃ ｎ 一 ア〆

一

少、

や 。 、妙

弓叶 再 で ， 吋

升 傍 が 〆 摩 〆 升 厘 股 一

嘩 が 。 〆 一

､

（ 州 ） Ⅱ が 刀 十

刀叶 戸 Ｕ （ 一 》 ）

〃Iノ

ぐ~、

一 ○ じ （ 、 学 ） 川 岬

〃

〃〃

I1

急'一斗

~_ノ

ｗ × 〆 寸 采 又 い 匪 十 牌 一 例 ‐

>k

一（ 玉 （ 州 ） 』 （ 出 ） ）

○ の 〆

鉦 牌 十

I

Ｈ 》 十 》 “ Ｉ

武 毎（ 咄 ）

｜

、_ノ

〆ﾃ、

夢メ

ーーノ 〃

〃

V〃

／~、ニダノ

ゴノ

そ

豆jざ

、ノ戸」

で~、

<-雪，､ﾉw

堅_ノ

II

（ 畑 押 ㈱ ‐ 鵬 ぴ 一

一 戸 Ｕ （ 、 》 ） Ⅱ Ｕ 戸 １ Ｖ 〔 呼 斗 ‐ 》 〆 ‐

〆

（

↓ ） ″ 帥

回 桐 〆 献 封 岬

元 〃 （ 刃 の ）

ll

〃

Ｊざ 一 十 (-j3 ぐう」

（ ｅ 掲 畔 ゴ 竺一

坪 〔 叉 卜 へ 》 ） 〃

（ 一 一 〃|ノ

'1|

ノ

Ⅱ ＊ （ 蝿 ィ 米 碑 ９

Ｊ

が 刀 ィ 召 す で

（ 列 副 ） 一 〃 ）

Y

叩 メ ド 十 千 又 い 》 寸 戸 》 、 〆

（ 彦 （ 》 ） 』 （ 幸 一 ）

い ⑦ Ｉ ビ ア の

蛍 亙 の ○ し い の 、_ノ

〆 ゴ ジ

＞ Iノ

（ 四 浬 ）

ｊ ｊ

弓 一 へ 弓 ざ｜⑦

）言

I。 ／ ｒ

一

11

句 が

行列に関する補足(2)回転行列

足

NobuyukiTOSE

October18,2017

N《,|》'lv1l葱i l （ )hl l丁りりに閑すど‘痛炉1重）

'一、いし

F

1 ' ' | '|iA･けダリ

脇-(:濡訓)ゞ雌(R)を圃転行列と呼ぶ～1

Y~(

）_Sin82

COS92

）2 -CoS81sin82-Sin91COS62

2 -sine,sin82+cose,cosO2

）82）

92）

(:澱sin8,sin9

(職訓‘）COSO,COS82-bO3sinO,cos82+cos81sin82

-sin(9,+"2

COS(8,+82)COS(",+"2)sin(6,+92)

から

/b,Rb2=R01+92

行列l開する補足（2）

Rz､ Rへ亨kek e

NobuVu＜iTOSE

,‐当

Re,､621j＝ユ

「や

|｢il l脳行列

Re(+6zRe!Rez"ー

～

I｢1'liA行'｣の逆は|nllﾙﾐ行リ

）○ 一SiXO

O しOSO

特に61＝α, 82＝－a （81＝－α, 82＝α） とすると S○ －Sイ

（二"。 ‐凡R_α=R_α凡＝品＝/2

から回転行列凡は正則で

（83－

）（:綱そ:卿） ‐（凡)-'＝尺α＝

（里謡詮:） ＝丁、＝二

L

，（ ）話:|に:野 =tRQ:日三三

に闇』 Z痛犀（Z）ｨ寸巧ロー″N〔,lJMvI｣Ki l 【 )H'

念(瀬）≦ （誌 駐遙）

なぜliil 1li人？

夢ll

(話:訓)繭-(謡湖）R"

→

U

からR"がベクトルを角度0回転することが分かります．

0

Nobuu輿iTOSE 了列I 弱する禰呈 12）

､

’一 一 一 Ｉ

HFごI

Ｈ く

ア

Ij

し｝

一一、

（ 一 ）、 × ヘ ヅ ゾ 、 Ⅱ Ｕ ｎ 帆

や し ぷ へ ぐ

云〉ｐ （ か Ｐ 八 二 戸

一 一 糾 鏡 一 Ｍ 似

ア／_、 ソ

II

” ノ(J

トノ 、_ノ

ｎ Ｕ ハ （ Ｊ Ｊ

ア 研 ｐ 一 一

0夕

〈 科 覗 防 （ 防 評

一 ｙ Ⅲ 作

V〆 〆

C

ﾄノ〃

Ｉ Ｉ Ｐ

ン － ん １

⑰イ 似 汲 十

／計 Ｑ 〆

‐ず

渤 食ハ

ム

ア か 叫 ） ″ ○

Ｌ

Ｕ ｎ ｗ一一

グ 言

ー

ll『､ノ

伽

fJJ

○瓦 fJﾉー

舞

千際 包

=J

器 悟 汗

{ノ (J

ノ一 一

P

で 〉 ｒ ， ’

P

』乱 〃 〃

卵 討

へ

震ド ノ

ざ！ｎ 叫 ソ 〃 咄 ゾ ハ Ⅱ Ｕ

酬 苧

一

一毎 一 夕

、 一 ）(J

〆 納

／

ソ 小 声 〆 斗 ， ヲ 調

~

Ｈ ン 夕 抑

罰一

一

寺 ” 什 訓 訓 。

周一

ｎ Ｕ （ へ 型 ｖ Ｏ

一 ア 一 斗

淵イ ノ Ⅷ パ乳 １

１ Ｍ 川 引 周り

C

ン

1－ノ