„exkurzia” do teórie pravdepodobností (tp)
DESCRIPTION
„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP). Často sa hovorí, že štatistika je “ aplikovaný počet pravdepodobností” Š tatistika popisná - vyčerpávajúce skúmanie (veda o štáte, popisná aritmetika) induktívna - výberové skúmanie (štatistické analýzy, výberové vzorky) . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/1.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 1
„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)
![Page 2: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/2.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 2
Často sa hovorí, že štatistika je “aplikovaný počet pravdepodobností”
Štatistika popisná - vyčerpávajúce skúmanie (veda o
štáte, popisná aritmetika) induktívna - výberové skúmanie (štatistické
analýzy, výberové vzorky) Most medzi oboma druhmi štatistiky tvorí teória pravdepodobnosti• tvorí teoretický základ pre posudzovanie spoľahlivosti a presnosti výberových postupov
![Page 3: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/3.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 3
Náhodná veličina je premenná, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov v závislosti na náhode. Náhodné veličiny budeme označovať X, a ich konkrétne hodnoty: xj, j=1,2…n
Na štatistické znaky môžme pozerať ako na náhodné veličiny……….
členenie NV:diskrétne (DNV) -nadobúdajú izolované, väčšinou
celočíselné hodnoty, napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov….
spojité (SNV) -môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty z ohraničeného, alebo neohraničeného intervalu,napr.: hmotnosť, výška človeka, chyby merania, príjem...
![Page 4: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/4.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 4
Výberové skúmanieKaždá skúška je výberovou analýzou. Z “debny” mozgu sú ťahané “guličky” vedomostí a nevedomostí a z nich sa usudzuje na celkový stav vedomostí v mozgu
![Page 5: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/5.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 5
Náhodná veličina je plne popísaná zákonom rozdelenia NV
Zákon rozdelenia NV je pravidlo, ktorékaždej hodnote náhodnej veličiny
priradí pravdepodobnosť nadobudnutia danej hodnoty (DNV),
alebo množine hodnôt z každého intervalu priradí pravdepodobnosť nadobudnutia hodnôt z intervalov (SNV)
![Page 6: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/6.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 6
Rozlišujeme 3 zákony rozdelenia NV:
pravdepodobnostná tabuľka xj , pj=P(X= xj )len pre DNV
distribučná funkcia F(x) = P(X x ) pre DNV, SNV
funkcia hustoty f(x) len pre SNV
Poznámka: NV môžme tiež popísať pomocou číselných charakteristík. Najčastejšími sú:E(X) stredná hodnota a D(X) rozptyl
![Page 7: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/7.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 7
Pravdepodobnostná tabuľka- rad rozdelenia pravdepodobností - popisuje len diskrétnu náhodnú veličinu (DNV)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
pj
výnos v %
Výnos akcie
výnos akciev % (xj)
pravdepo-dobnosť ( pj)
-2 0,2
5 0,515 0,3
Spolu 1
pj = P(X=xj)… analógia relatívnych početností
pj = 1
![Page 8: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/8.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 8
Distribučná funkcia F(x) = P(X x)slúži k popisu diskrétnej (DNV) aj spojitej (SNV) náhodnej veličiny
• Pre DNV platí F(x) = P(X x) = pj
pre všetky xj x výnosakciev % (xj)
pravdepo-dobnosť ( pj)
F(x)
-2 0,2 F(-2)=P(X -2) = 0.2
5 0,5 F(5)=P(X 5)=0.2+0.5=0.715 0,3 F(15)=P(X 15)=1
Spolu 1 x
![Page 9: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/9.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 9
Spojitá náhodná veličina (SNV)
Spojitou náhodnou veličinou nazveme X, pre ktorú existuje funkcia f(x) taká, že distribučná funkcia F(x) je rovná
);(-x pre ,x
dx)x(f)x(F
Ak má distribučná funkcia F(x) pre všetky x spojitú deriváciu f(x) = F’(x) budeme veličinu Xnazývať spojitá NV a funkciu f(x) hustotapravdepodobnosti náhodnej veličiny X v bode x
![Page 10: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/10.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 10
funkcia hustoty
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
x
F(x)
![Page 11: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/11.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 11
distribučná funkcia
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
F(x)
x
![Page 12: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/12.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 12
F(x) pre spojitú náhodnú veličinu
);(-x pre ,x
dx)x(f)x(F
x
Dokresli F(0),F(6)
![Page 13: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/13.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 13
6
0
dx)x(f)0(F)6(F)6X0(P
Dokresli do grafu !
![Page 14: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/14.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 14
2x
1x
1221 dx)x(f)x(F)x(F)xXx(P
1)X(P)(F
0)X(P)(F
1;0)x(F
)xX(P)xX(P)x(FVlastnosti distribučnej funkcie SNV:
Pre SNV existuje “paradox nulovej
pravdepodobnosti”P(X= x) = 0
![Page 15: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/15.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 15
Zhrnutie o F(x)
Každá distribučná funkcia je funkciou
neklesajúcou, spojitou zľava a vyhovujúcou
podmienkam F(-) = 0 a F() = 1.
Každú funkciu,ktorá spĺňa uvedené
podmienky možno pokladať za distribučnú
funkciu
![Page 16: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/16.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 16
Vlastnosti funkcie hustoty f(x)
f(x) je nezáporná, t.j. f(x) 0, pretože je
deriváciou neklesajúcej funkcie
(nie je však pravdepodobnosť)
1)F( f(x)dx-
f(x)dx)xXx(P2x
1x
21
![Page 17: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/17.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 17
Základné modely rozdelení NV používané v Štatistike
Normálne rozdelenieŠpeciálne rozdelenia:
Studentovo rozdelenie ( t)
CHÍ- kvadrát rozdelenie ( 2 )
Fisherovo - Snedecorovo rozdelenie (F)
Zaslúžisi pozor-nosť
![Page 18: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/18.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 18
Normálne rozdelenie“Gaussovo - Laplaceovo”
Riadia sa ním spojité NV, ktoré vznikajú ako dôsledok pôsobenia väčšieho počtu nezávislých, resp. slebo závislých vplyvov,
možno ním aproximovať mnohé rozdelenia, aj rozdelenia DNV
príklady: úrody plodín, chyby merania,
![Page 19: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/19.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 19
Gaussovo Normálne rozdelenie
![Page 20: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/20.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 20
Quetélet meral obvod hrude 5738 škótskych
vojakov
![Page 21: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/21.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 21
Funkcia hustoty normálneho rozdelenia
2
2
2
)-(x -
2.
1 )(
exf
Parametre Normálneho rozdelenia: - stredná hodnota určuje polohu rozdelenia - smerodajná odchýlka, určuje variabilitu
tvaru rozdelenia
![Page 22: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/22.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 22
Funkcia hustoty a distribučná funkcia normálneho rozdelenia
funkcia hustoty
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribučná funkcia
![Page 23: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/23.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 23
Porovnanie normálnych rozdelení
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
fun
kcia
hu
sto
ty
N(0,1)
N(0,1.5)
N(1,1)
![Page 24: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/24.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 24
pravidlo 3 - sigma
-0.05
0.05
0.15
0.25
0.35
0.45
-3 -2 -1 0 1 2 3
- ++2-2
-3 +3
68,26%
95,45%
99,73%
Zamyslite sa dôsledne čo
hovorí!!!
![Page 25: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/25.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 25
Normované normálne rozdelenie( štandardizované )
• X….N(µ,2) N(0,1)
Normálne rozdelenie Normované (existuje nekonečne mnoho normálne normálnych rozdelení) rozdelenie
je tabelované!
-X
U
![Page 26: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/26.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 26
Tabelované hodnoty F(u) a f(u) pre N(0,1)
F(- u) = 1 - F(u)f(- u) = f(u)
-u u
![Page 27: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/27.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 27
Využitie rozdelenia N(0,1)• Každé normálne rozdelenie vieme takto
transformovať na normované normálne rozdelenie a využívať tabuľkové hodnoty F(u) a f(u).
• Príklad: priemerný mesačný nominálny príjem občana SR predstavuje 11tis. Sk a má približne normálne rozdelenie so smerodajnou odchýlkou 6tis. Sk. Koľko percent občanov je pod hranicou priemerného príjmu 5 tis. Sk a koľko nad 17 tis.Sk? Odhadnite koľko percent občanov zarába v priemere viac ako 23tis. Sk.
![Page 28: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/28.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 28
CHÍ - kvadrát rozdelenie
0 20 40 60 80 100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2(10)
2(40)40
![Page 29: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/29.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 29
2 (s.v. = 12) 2 (s.v. = 40)
CHÍ - kvadrát rozdelenie
P(2 > 2 ) =
2
![Page 30: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/30.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 30
t(s.v.= 12) t(s.v.= 40)
Studentovo rozdelenie (t)
P(|t| > t (s.v.)) =
t(s.v.)
![Page 31: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/31.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 31
Fisherovo F - rozdelenie
0 1 2 3 4 5
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
F(10,10) F(40,40)
P(F > F(s.v.1;s.v.2)) =
F(s.v.1;s.v.2 )
![Page 32: „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062500/5681587d550346895dc5dde3/html5/thumbnails/32.jpg)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 32
Koniec “exkurzie” do teórie pravdepodobnosti