exercices etudes de fonctions logarithmes à base a · 2016. 2. 3. · exercices etudes de...

LGL Cours de Mathématiques 2016 _______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________ AB Beran - BCD-EtudesFonctionsLogarithmes.DOC Etudes de fonctions - 1 -

Exercices Etudes de fonctions logarithmes à base a

Avant de faire des études de fonctions plus compliquées, rappelons les connaissances-clés à savoir sur les fonctions af et ag données par :

: : log avec 1a a af x f x x a par exemple : lnef x x et : : log avec 0 1a a ag x g x x a

' 0 ' 0

0 0

: :

lim pas d' lim pas d'

lim 0 de direction lim 0 de direction

lim 0 lim 0

1 1' 0 ' 0ln ln

a f f a f f

a ax x

a ax x

ax x a

a a

f D D g D D

f x AH g x AH

f x g xBP Ox BP Ox

x xf x AV x x AV x

f x g xx a x a

En voici deux exemples de graphes de fonctions, représentatifs de la situation :

3 0 3 3 0,5 0 ,5 0,5: : log : : logof x f x x g x g x x



Etudes de fonctions logarithmiques

Ces premiers exercices servent à expliquer les notions de branche parabolique de direction Ox et de direction asymptotique y m x . Ils sont à faire en connection avec la distribution de l’organigramme sur les limites à l’infini.

21) ln 2) ln 2 ln 2 . .

3) ln 4) 2 1 ln . .2

f x x f x x x B P Ox

xf x x x f x x D A y m x

Exercices d’études de fonctions - exercices pêle-mêle

2

2

20

2

2

1) : : ln

log2) : :

1 ln3) : :

14) : : ln1

5) : : ln ln

6) : : 1 2ln Dérivabilité en 027) : : 1 ln3

ln8) : :

9) : :

f x f x x x x

xf x f x

xxf x f x

xx xf x f x

x xf x f x x

f x f x x x xxf x f x xx

xf x f xx

xf x f x

3

2

ln

10) : : ln 2 4 1

x

f x f x x x

Exercices d’études de fonctions complètes (points d’inflexion et concavité compris)

2

1) : : ln

2) : : ln1

1 ln3) : :

f x f x x x

xf x f xx

xf x f x

x

Exercices d’études de fonctions avec paramètre

1: : ln m xf x f xx m



Exercices faits en classe – 1D(G)

2

1) ln 2 2) ln 2 31 ln 23) 4) 1 ln

3

f x x x f x x xx xf x f x x

x x

Etudes de fonctions exponentielles faites au cours d’appui 2016 - 1D1

22

2

2

20

2

21

2

4

) ) 1;0

) lim ) lim 0 0

lim . . lim 0

lim 0 0 lim 1

lim

lim . .

) '

x

x

f f

x x

x

x x

x

x x

H

x

x

ef x x e f xx x

a D a D

b f x b f x AH y

f x eB P dir Oy AV xx x x

ef x AH y AV xx x

f x

f xB P dir Oy

x

c f x

22 2

22

2

3 22 4 ) '2 1

1,236 0,563 17' 0 1 5 ' 03,236 3,562

) '' 4 2

0,45'' 0 2 6

4,45

xx

x

x xx x e c f x ex x

f x x f x x

d f x x x e

f x x



Exercices faits en classe Rédaction à venir ! Suite aux prochaines pages !



Exercices faits en classe parallèle

2 1

3 00

ln140 1) et 2) ln ln 2 et

ln ln 1 1143 3) lim 4) lim 5) lim lncot 1

f x e f x

x xx

xExercice f x D t f x x x D tx

x x xExercicex x x x

Etudes de fonctions logarithmiques faites en classe

2ln144 6) 7) ln 1 en tout détail !

ln1) 2) ln2 1

Problème d'annulation de la dérivée Etude complète2 13) 2 3 ln

24) ln 1x

xExercice f x f x xx

x x e xExercices feuille f x f x xx x

xf x x DADx

f x e DAD

_______________________________________________________________________________________

Exercice 3 : Etude de la fonction : 2 12 3 ln2

xf x xx

'

2

ln 2

2 1 1) : 0 ; 2 ; car réunion d'intervalles ouverts2 2

2 1) lim 2 3 ln2

f f

x

xa CE D Dx

xb x AHx

2 1Remarque : est une fraction algébrique2

xx

Comme 2 1lim ln lim φ ln 22x x

x xx

est une constante et

que la première partie de l’expression de la fonction est du premier degré, cette fonction admet donc

2 3 ln 2AO y x comme asymptote oblique à la courbe, comme nous pouvons le constater sur le graphique ci-contre ! Au cas où ce raisonnement ne serait pas accepté, ou que vous ne le constatiez pas, les deux formules de Cauchy vous mènent au même résultat, comme indiqué ci-dessous :

2 0fraction

algébrique

2 1ln ln 22 3 21) lim lim 2

2

x x

xf x x x

x x x

a



ln 2

2 12) lim 2 lim 3 ln 3 ln 2 3 ln 22

2 3 ln 2

x x

xf x x bx

AO y x

2 7

142

0

2 1 3lim 2 3 ln 2

2 0

2 1 0 1lim 2 3 ln 3 222

x

x

xx AV x

x

xx AV x

x

c) '2: ' 2f

xx D f x 2

2 2 2 1 12 1 2

x xx x

2 4 2 1 32 22 1 2 2 1 2x xx x x x

Le deuxième terme est toujours positif, car – le numérateur étant positif - il ne devient négatif que si x se trouve entre les racines, mais cet intervalle ne fait partie du domaine de définition. Si vous ne voyez pas cette astuce – ce qui n’est pas grave – vous devez réduire au DC :

2 2

'

2 3 4 10 4 3 4 10 7'2 1 2 2 1 2 2 1 2

) : : Δ 0 pas de racine, donc: x

2 1 22

D : 0

1: 2, ( )2

12) :

2

2'

1

f

f

x x x xf xx x x x x x

i Racines N x N x

D x x

x xx

x cf D

xii Tds

f x

x

d) Graphique : voir plus haut ! _______________________________________________________________________________________



Exercice 4 : Etude de la fonction : ln 1xf x e

'00

1

0

) : 1 0 car intervalle ouvert

) lim ln 1 0 0

lim ln 1

xf f

x

x

x

x

a CE e tjs vrai D D

b e AHG y

e AH

ln 1 1? lim lim lim lim 1 11

1lim lim ln lim ln ln 1

lim

11

xx xH Hx

xx x x x

xx

x x xx x

x

eef x eeAO a

x x e

ee

f x x x e xe

x

1ln 1 x xe

0

1lim ln 1 0xx e

La fonction admet donc AO d’équation AOD y x

c) 1: ' 01 1

xx

x x

ex f x ee e

d) 2 2

1: '' 0

1 1

x x x x x

x x

e e e e ex f xe e

e) TV :

'''

0

xf xf x

f x

f) Intersection avec :Oy 0 ln 2 (0;ln 2)f A g) Graphique : _______________________________________________________________________________________



Rappelons d’abord quelques notions de base vraiment élémentaires :

L’argument d’une fonction logarithmique doit être strictement supérieur à 0

Pour résoudre une (in-)équation logarithmique (fonction ln), on rencontre essentiellement 3 cas de figure :

o : ln ln expressions en ln du premier degréfx D A B A B o ln: ln utilisation de la bijection réciproqueA Bfx D A B A e e

o 2: ln ln 0 Δ ... expression en ln du second degréfx D a x b x c

dérivée internede la fonction ln

1: ln ' 'fx D f x u x f x u xu x

La fonction ln est une fonction strictement monotone croissante. Il s’ensuit :

o Le signe d’une expression du type 4 3ln 52 x se détermine comme le signe d’une expression 2 3x , c.-à-d. « signe du coefficient de x, à droite de la racine ».

o Le signe d’une expression du type 2 22 3ln 5 4 ln 5 4 5x x se détermine comme le signe d’une expression 22 3 5x x , c.-à-d. « signe de a, sauf entre les racines ».

Règles de calcul sur les fonctions logarithmiques

o 0 1 : log 1 0 et log 1a aa a o 0 0, 1 ; , ; :a b x y r

1 log log loga a aR x y x y Propriété fondamentale

21log log log et log loga a a a a

xR x y yy y

3 log logra aR x r x

4

log lnlog

log lnb

ab

x xR x

a a Formule de changement de bases

A Exemples d’études de fonctions ln, résolus lors du cours du 29-01-2016



Résolution en bref de ces études de fonctions

2

3ln

3 0 0) : 0;1 1;3 3 'ln 0 1 1

xf xx

x xa CE D Df fx x x

Remarque : Avant de continuer, il convient de remarquer, que cette fonction se laisse étudier avec

la donnée non modifiée, mais que l’emploi de la formule 3R permet une nette

simplification de cette étude, tout en travaillant sur le même domaine !

2

3 1: ln 3 ln3 lnf

xx D x x f xx

Comme les élèves n’ont pas vu cette simplification, la résolution se fait comme chez les élèves, mais il serait très utile de contrôler comment l’utilisation de cette formule de simplification a des répercussions sur la difficulté de cette étude de fonction. Les résultats simplifiés sont mis en bleu dans un cadre à part.

2

30 0

0) lim lim 0

lnx xxb f x AVx

2

31 1

2

11

3

3

1lim lim 1

ln 0

2lim lim . . lim 1ln

x x

H

x x x

xx

xf x AV xx

x xf x f ix

x

23 x

2lim3xx x

AH

2mais ? lim limx x

f x xAOx

x 3

3

. .ln

1lim 1H

x

f ix

x

23 x

1lim de direction 3xx BP Oy

3 2

'

2 ln) : 'f

x x xc x D f x

3x

3

2 3 2 3

3

3 1

2

3 3 2 2

2ln 1'

2 ln 3

ln ln

' 0 2ln 3 0 car 0

3l2

3ln

n

x xf x

x

x x

x x

f x x x

x x e x e e

Tableau des signes de la dérivée première :

3

2 3

0 1

2ln 3 0

ln 0

' 0

x e

x

x

f x



3

'

2 ln 3) : ''f

x xd x D f x

32x

2 3ln x x

3 3 32 ln 3 2lnx xx

4 3

3

ln

ln

x

x

2 3 3 34

2ln 3ln 12ln 18

ln

x x x

3 3

2 3 3

3 3

2 3 3

3 2

2

3

2ln 9ln 18''

ln

' 0 2ln 9ln 18 0

Posons : ln 2 9 18 0 pas de racine

Pas besoin de revenir à . Le signe du numérateur est donc toujo

2ln 3

urs positif (2nd deg

ln 2

r

'3 n

é)

'l

x

x xf x

x

f x x x

x t t t

x

x xf x

x

Tableau des signes de la dérivée seconde:

2 3 3

3 3

0 1

2ln 9ln 18

ln 0

''

x

x x

x

f x

e) Tableau de variation :

0

0 1' 0'' 0

min2

1 3

x ef xf x

f x AV ex

f) Graphique



ln1

xg xx

Expressions de f sans valeur absolue :

1 0

01

ln ln ln1 1 1

xx

xx x xg x

x x x

a) CE : 1 0

0 ) : 1 0 ) : 01 1

xx xi racines x x ii tds

x x

'; 1 1;0 0;f fD D b) Limites et asymptotes

1car quotientalgébrique

1 11 1

0 00 0

0 0

lim ln 0 01

lim ln lim ln 11 1

lim ln lim ln 01 1

x

x xx x

x xx x

x AH yx

x x AV xx x

x x AV xx x

c) Dérivée(s) et extrema éventuels

1; 1 0; : ' xx f x 2

1 1 1

1

x xx x

11

11;0 : '

x x

xx f x

21 1 1

1

x xx x

'

1 11 1

1 01 1: ' '1 1

f

x x x x

xx D f x f xx x x x

d) Tableau de variation

0

0

1 0'x

f x

f xAV AV

e) Graphe de la fonction



2 1 2lnh x x x

a) CE : '0 0;f fx D D b) Limites et asymptotes

2lim 1 2lnx x x AH

2

? limx

xAO

1 2ln xx

4

2 2

0 0 0 0 002 4

de direction

21 2ln 2lim 1 2ln . . lim lim lim lim 01 1 22

H

x x x x x

BP Oy

x xxx x f i xx xx

x x

La courbe « part » donc du point 0;0O .

c) 2' : ' 2 1 2lnfx D f x x x x 2x

2 1 2ln 1 4 lnx x x x

' 0 0 ou ln 0 1fD

f x x x x

d) ' : '' 2 ln 4fx D f x x x 1x

2ln 4x

2 21'' 0 ln 2f x x x ee


2

24 4

40

0 1' 0 1 1 1 2 0 1'' 0 1 51 2 2. .

15

x ef x ff x

f ep i Max e ef xe

f) Graphe de la fonction :



21 ln3

xj x xx

fait en classe de 1D(G)




3 2'''

3 2

xf xf x

f x AV AVx x

f) Graphique _______________________________________________________________________________________

21 ln x

k xx

a) CE : '0 0 0;f fx x D D b) Limites et asymptotes

2

0

2

1 lnlim 0

012 1 ln1 ln 1 ln 1lim . . lim 2 lim 2 lim 0

10

x

H H

x x x x

xAV x

x

xx xxf ix x x

AHD y



c)

2

' 2 2

12 1 ln 1 ln 1 1 ln 2 1 ln: 'f

x x x x xxx D f xx x

2

2 2

1 ln 1 ln 1 lnx x xx x

1' 0 ln 1 ou ln 1 ouf x x x x x ee

d) '

12ln: ''f

xxx D f x

2x 24

1 ln 2x x

x

2 2

4 3

2 ln 1 ln 2 ln ln 1x x x x xx x

2

2

1 5 1 52 2

'' 0 ln ln 1 0

1 5 1 5Posons : ln 1 02 2

Revenons à : 0,53 5,04

f x x x E

t x E t t t ou t

x x e ou x e


1 5 1 52 2

1 201

21 1

1 5 1 52 2

1 5 1 52 2

10

' 0 0'' 0 0

min0 0,27 1,364

1 1 41 ln 0 0 1,47

7 3 5 7 3 50,27 1,362 2

x e e ee

f xf x

MaxI If x

e

f e e e e f ee e

f e f ee e

f) Graphique



Voici les études de fonctions posées récemment aux examens de fin d’études secondaires

L’année 2015

0

2

106 / 2015 2 9 1 2ln 201

limites et asymptotes + position Etude complète + aire 0 α 1

lim α

06 / 2015 5 3 28

Etude complète + tangente extérieurepar le point P 1;0

lim

x

x

x

x

e xf x x pts f x x ptse x

Aire

R f x x e pts

λ

1

λ , λ 0

1 ln09 / 2015 2 19 17

Etude complète Etude + Aire 1 et

volume autour de

xx

Aire

xf x x e pts f x ptsx

x x e

Ox

L’année 2014

3 306 / 2014 ln 17

Etude complète + aire 0 α

ln 22 3 7

2 4comportement asymptotique et positionpar rapport à AO 2 - 3

ln09 / 2014 2 22 1 83

Etude complète comportement asym

x

x

f x x x x pts

e

xf x x pts

y xx xf x x e pts f x pts

x

λ

ptotique et positionlim λ , λ 2Aire

L’année 2013

2

2

2

2 2

λ

2 ln06 / 2013 17 1 4

Etude complète + aire 0 α comportement asymptotique

2 3 Aire entre ln et ln 7

Dérivabilité et dérivée

09 / 2013 1 19

Etude complètelim

x

x

x

x x xf x pts f x x ptse x

e

f x x pts f x x g x x pts

f x x e pts

A

λ , λ 1ire

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