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CHAPITRE 4 : Etudes de fonctions 1 Sens de variation d’une fonction ..................................................................................................... 2
2 Fonctions de référence .................................................................................................................... 3
2.1 Fonctions affines ..................................................................................................................... 3
2.2 Fonction carré ......................................................................................................................... 4
2.3 Fonction inverse ...................................................................................................................... 5
2.4 Fonction valeur absolue .......................................................................................................... 6
3 Fonction racine carrée ..................................................................................................................... 8
4 Positions relatives des réels et ............................................................................................ 9
5 Opérations sur les fonctions et sens de variation ......................................................................... 12
5.1 Fonction ...................................................................................................................... 12
5.2 Fonction ........................................................................................................................... 13
5.3 Fonction ......................................................................................................................... 14
5.4 Fonction ............................................................................................................. 15
5.5 Somme de deux fonctions .......................................................................................... 16
5.6 Produit de deux fonctions ............................................................................................... 18
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CHAPITRE 4 : Etudes de fonctions
1 Sens de variation d’une fonction Définitions :
Soit une fonction définie sur un intervalle de .
est strictement croissante sur l’intervalle si, pour tous réels et de l’intervalle tels
que on a .
est strictement décroissante sur l’intervalle si, pour tous réels et de l’intervalle tels
que on a .
est monotone sur l’intervalle si elle est croissante ou bien décroissante sur .
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2 Fonctions de référence
2.1 Fonctions affines Une fonction où et est une fonction dite « affine ». Sa représentation
graphique est une droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine .
Si alors est croissante sur .
Si alors est décroissante sur .
Si alors est constante sur .
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2.2 Fonction carré La fonction carré est une fonction décroissante sur
Exemple :
Quel que soit , et . De plus .
Donc car la fonction carré est décroissante sur .
La fonction carré est une fonction croissante sur
Exemple :
Quel que soit , et . De plus
Donc car la fonction carré est croissante sur .
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2.3 Fonction inverse
La fonction inverse
est une fonction décroissante sur
Exemple :
Quel que soit , et . De plus
d’où
car la fonction inverse est décroissante sur .
La fonction inverse
est une fonction décroissante sur
Exemple :
Quel que soit , et . De plus
d’où
car la fonction inverse est décroissante sur .
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Ne pas dire :
« La fonction inverse est décroissante sur car cela signifierait :
« pour tous réels et de tels que on a
» ce qui est faux :
2.4 Fonction valeur absolue Définition de la valeur absolue d’un réel
Soit . Sour une droite munie d’un repère on considère le point .
On appelle valeur absolue de la distance . Ce nombre est noté .
Exemples :
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Définition de la fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur par .
D’après la définition précédente,
Exemples : si alors si alors
La fonction valeur absolue est donc une fonction affine par intervalles (on dit aussi affine par
morceaux) :
Propriétés
La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle.
Les valeurs absolues de deux nombres opposés sont égales.
Exemple :
Pour tout réel
La fonction valeur absolue est définie sur . Elle est décroissante sur et croissante
sur .
Exemple :
Quel que soit , et De plus
d’où car la fonction valeur absolue est décroissante sur
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3 Fonction racine carrée Définition :
La fonction racine carrée est la fonction définie sur par .
Exemples : si alors si alors
La courbe de la fonction racine carrée est une demi parabole.
Propriété :
La fonction racine carrée est strictement croissante sur
Démonstration :
Soir et deux réels tels que . On a donc ce qui s’écrit aussi .
Pour étudier le sens de variation de la fonction , on cherche à comparer et .
Pour comparer et , on étudie le signe de la différence .
On multiplie et on divise par le réel non nul (qui est l’expression conjuguée1 de ).
Or et donc est positif.
1 Le but de la multiplication par l’expression conjuguée est de faire apparaitre
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Conclusion :
et sont deux réels tels que et
donc la fonction est strictement croissante sur .
Exemple :
Quel que soit , et .
De plus .
Donc car la fonction racine carrée est croissante sur .
Ecriture de la valeur absolue à l’aide d’une racine carrée
Pour tout ,
4 Positions relatives des réels et Premier cas : si
Si alors
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Démonstration :
En multipliant les trois membres par le réel positif on a :
Et :
car la fonction est croissante sur
Donc, en rapprochant les deux résultats :
Deuxième cas : si
Si alors
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Démonstration :
En multipliant les trois membres par le réel positif on a :
Et :
car la fonction est croissante sur
Donc, en rapprochant les deux résultats :
Interprétation graphique :
Soit la courbe de la fonction , la courbe de la fonction et la courbe de la
fonction
Si alors est en-dessous de qui est elle-même en-dessous de .
Si alors est au-dessus de qui est elle-même au-dessus de .
Exemple :
Quel que soit , comparer les trois réels , et .
Réponse :
Pour tout réel on a :
Donc on a aussi
Faisons le changement de variable
On a donc :
Donc :
Finalement : pour tout réel .
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5 Opérations sur les fonctions et sens de variation
5.1 Fonction Définition :
Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel.
La fonction notée est la fonction pour tout
Exemple :
Soit la fonction définie pour tout par .
La fonction est la fonction définie pour tout par .
La fonction est la fonction définie pour tout par .
Sens de variation de
Les fonctions et ont le même sens de variation sur l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction définie sur par . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
avec et . Or est croissante sur . Donc est croissante sur
.
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5.2 Fonction Définition :
Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel.
La fonction notée est la fonction pour tout
Exemples :
Soit la fonction définie pour tout par .
La fonction
est la fonction définie pour tout par
.
La fonction est la fonction définie pour tout par .
Sens de variation de
Si alors les fonctions et ont le même sens de variation sur l’intervalle .
Si alors les fonctions et ont des sens de variation contraires sur l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction définie sur par . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
avec et . Or est croissante sur et . Donc est
décroissante sur .
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5.3 Fonction Définition :
Soit une fonction définie sur un intervalle et telle que pour tout ,
La fonction inverse de est notée
. C’est la fonction
pour tout
Exemple :
Soit la fonction définie pour tout par . Puisque pour tout ,
alors la fonction
est la fonction définie pour tout par
.
Sens de variation de
Si pour tout réel , ne s’annule pas et garde la même signe, alors la fonction
et la
fonction ont des sens de variation contraires sur l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction définie sur par . Dresser le tableau de variation de
.
Réponse :
avec , et .
, et .
et sur donc a le sens de variation contraire de .
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5.4 Fonction Soit une fonction définie sur un intervalle et telle que pour tout ,
La fonction racine de est notée . C’est la fonction pour tout
Exemple :
Soit la fonction définie pour tout par . Puisque pour tout ,
alors la fonction est la fonction définie pour tout par .
Sens de variation de
Si pour tout réel , reste positive ou nulle, alors la fonction et la fonction ont le
même sens de variation sur l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction définie sur par . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
avec , et .
, et .
et sur donc a le même sens de variation que .
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5.5 Somme de deux fonctions Soit et deux fonctions définies sur un intervalle .
La fonction est la fonction définie pour tout par .
Exemple :
Soit la fonction définie pour tout par et soit la fonction définie pour
tout par
.
Alors la fonction est la fonction définie pour tout par
Sens de variation de 1er cas
Si pour tout réel , et sont croissantes alors la fonction est croissante sur
l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction définie sur . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
avec et
est croissante sur et est croissante sur .
Donc, par somme, est croissante sur .
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Sens de variation de 2èmr cas
Si pour tout réel , et sont décroissantes alors la fonction est décroissante sur
l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction
définie sur . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
avec et
avec donc a le sens de variation contraire de la fonction racine carrée.
Donc est décroissante sur et est décroissante sur .
Donc, par somme, est décroissante sur .
Sens de variation de 3ème cas
Si pour tout réel , est croissante et est décroissante alors on ne peut pas connaitre a
priori le sens de variation de la fonction sur l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction
définie sur . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
est croissante sur et
est décroissante sur
Donc on ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de
sur (Voir le
graphique précédent).
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5.6 Produit de deux fonctions
Soit et deux fonctions définies sur un intervalle .
La fonction est la fonction définie pour tout par .
Exemple :
Soit et les fonctions définies pour tout par et .
Alors la fonction est la fonction définie pour tout par .
Sens de variation de
On ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de la fonction sur l’intervalle .
Exemple :
Soit la fonction définie sur . Dresser le tableau de variation de .
Réponse :
est le produit des fonctions et
Donc on ne peut pas connaitre a priori le sens de variation de sur
(Voir le graphique précédent).