8/17/2019 Exemple Subiecte Licenta M

1/2

Facultatea de Matematic¼a

Secţia Matematic¼a

Licenţ¼a iulie 2015

Subiectele generale G1 şi G2 sunt obligatorii pentru toţi candidaţii. Fiecare candidat 

va rezolva unul din subiectele S1 - S5, în funcţie de tematica lucr ¼ arii de licenţ ¼ a.

Fiecare subiect este notat între  0   şi  3  puncte. Un punct se acord ¼ a din o…ciu.

Subiecte generaleG1 Se consider¼a curba parametrizat¼a regulat¼a,

 : R! R3 ;   (s) = (3 cos(s=5); 3sin(s=5); 4s=5)

şi vectorii  t = (=5; 3=5; 4=5),  n = (1; ; ).

a) Determinaţi   2  R  astfel încât  t  şi  n   sunt ortogonali. Determinaţi vectorulunitar b, ortogonal pe  t  şi n, astfel încât baza  ft; n; bg este orientat¼a pozitivîn  R3.

b) Determina̧ti vectorii unitari ai tangentei, normalei principale şi binormaleila curba , în punctul P 1(3; 0; 0).

c) Scrieţi ecuaţia dreptei   , care trece prin punctul  P 1  şi are ca vector directorpe   n. Ar¼ataţi c¼a dreapta     şi axa  Oz   sunt concurente, determina̧ti unghiulformat de dreapta     şi axa  Oz.

d) Calculaţi curbura şi torsiunea curbei în punctele  P 1(3; 0; 0), P 2(3; 0; 8=5)  şiP 3(3; 0; 16=5). Ce observa̧ti?

G2 Fie funcţia f   : [1; 1] ! R;

f (x) =

  sinx

x  1;   dac¼a x 2 [1; 0)

sin x2 + sin(1 x2) sin1;   dac¼a x 2 [0; 1]:

(i) S¼a se studieze derivabilitatea lui  f  pe domeniul s¼au de de…niţie şi s¼a se calculezef 0 in domeniul de derivabilitate.(ii) S¼a se studieze varia̧tia lui  f   şi s¼a se determine punctele sale de extrem;(iii) S¼a se arate c¼a

sin1 <

Z   1

0

sin x2dx +

Z   1

0

sin(1 x2)dx

8/17/2019 Exemple Subiecte Licenta M

2/2

2

S2 (Analiz¼a matematic¼a) Fie  f   : R! R. S¼a se demonstreze c¼a:(a) dac¼a  f   este continu¼a în  x  2  R  şi (xn)n  este un şir cu  limn xn  = x, atunci şirul(f (xn))n  este m¼arginit;(b) dac¼a f  este continu¼a în x 2 R, atunci exist¼a r > 0  astfel încât  f  este m¼arginit¼ape  [x r; x + r];(c) f  este m¼arginit¼a pe mulţimea  D R dac¼a şi numai dac¼a oricare ar … şirul  (xn)ndin D   şirul (f (xn))n  este m¼arginit;

(d) dac¼a  f   : R !

 R este o funcţie continu¼a pe muļtimea compact¼a  K  

 R, atunciexist¼a  r > 0  astfel încât  f  este m¼arginit¼a pe mulţimea

K r  :=[x2K 

[x r; x + r]:

S3 (Geometrie) Se consider¼a curba parametrizat¼a regulat¼a,

 : R! R3 ;   (s) = (3 cos(s=5); 3sin(s=5); 4s=5)

şi vectorii  t = (0; 3=5; 4=5),  n = (1; 0; 0), b = (0;4=5; 3=5).Se consider¼a cilindrul  S , de ecuaţii parametrice  x(u; v) = 3cos u,  y(u; v) = 3sin u,

z(u; v) = v, u; v 2 R.a) Ar¼ataţi c¼a toate punctele curbei   aparţin cilindrului dat.b) Ar¼ataţi c¼a vectorii t şi n sunt tangenţi cilindrului, iar vectorul b este perpen-

dicular pe cilindrul S .c) Determina̧ti coe…cienţii formei întâi fundamentale a cilindrului.d) Calcula̧ti unghiul sub care se intersecteaz¼a, în punctul  P 1(3; 0; 0), curba   şi

generatoarea cilindrului prin P 1.

S4 (Probabilit¼a̧ti) (a) O urn¼a conţine  30  de bile, dintre care  18  sunt albe.

(1) Se extrag succesiv  3  bile f ¼ar¼a întoarcere. Care e probabilitatea ca toate cele3  bile s¼a …e albe?(2) Aceeaşi problem¼a dac¼a extragerea se face cu întoarcere.

(b) Se consider¼a o a doua urn¼a, aparent identic¼a cu prima, care conţine  7  bile albeşi 14  bile negre. Se extrage o bil¼a la întâmplare din una dintre urne.

(1) Cu ce probabilitate bila extras¼a este alb¼a?(2) Ştiind c¼a bila extras¼a este alb¼a, cu ce probabilitate a fost ea extras¼a din

prima urn¼a?

S5 (Ecuaţii diferenţiale)  (i) S¼a se rezolve ecuaţia caracteristic¼a ataşat¼a ecuaţiei :

x00 + 3x0 + 2x = 0:

(ii)  S¼a se determine un sistem fundamental de solu̧tii pentru ecua̧tia precedent¼a.(iii) S¼a se rezolve problema Cauchy(

  x00 + 3x0 + 2x = t; t 2 R;

x(0) = 0; x0(0) = 0: