MATEMATICA INFORMATICA

LICENTA 2008

SUBIECTE PROPUSE LA MATEMATICA

Algebra I (structuri algebrice de baza: grup, inel corp)

1. Definitia notiunii de grup. Asociativitate si comutativitate generala. Reguli de calcul in grup (reguli de calcul cu puteri, simplificare, existenta si unicitatea solutiei pentru ecuatii de tipul ax = b, xa = b).

2. Definitia subgrupului. Subgrupurile grupului aditiv al numerelor intregi. 3. Echivalente asociate unui subgrup. Teorema lui Lagrange (enunt si demonstratie). 4. Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri si aplicatii la caracterizarea

grupurilor ciclice. 5. Constructia inelului factor. Inelul claselor de resturi modulo n: constructie si elemete

speciale in nZ (elemente inversabile, divizori ai lui zero, elemente nilpotente). 6. Demonstrati ca orice grup cu 6 elemente este izomorf cu grupul 6Z sau cu grupul

permutarilor de grad 3, 3S . 7. Determinati elementele inversabile, divizorii lui zero si elementele nilpotente ale inelului

de clase de resturi Ζ12. Aratati ca multimea elementelor inversabile formeaza grup cu inmultirea izomorf cu grupul lui Klein.

8. Sa se arate ca nu exista nici un subinel unitar al inelului matricelor patratice de ordinul 3, ),(3 RM izomorf cu corpul numerelor complexe.

9. Care este cel mai mare ordin al elemetelor inversabile ale inelului 40Z ? (Indicatie: Folositi Lema Chineza a Resturilor pentru a deduce izomorfismul de grupuri multiplicative )()()( 5840 ZUZUZU ×≅ .)

10. Fie grupul permutarilor de grad 9, .9S Determinati un element de ordin 20 in 9S si demonstrati ca nu exista elemnte de ordin 18 in acest grup. (Indicatie: folositi descompunerea unei permutari in produs de cicluri disjuncte.) Ecuatii diferentiale si ecuatiile fizicii matematice

11. Teorema de existenta si unicitate locala a lui Picard. 12. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai omogene. Structura spatiului

solutiilor, matrice fundamentala. 13. Teorema de caracterizare a solutiilor prelungibile la dreapta. 14. Teorema de caracterizare a solutiilor saturate la dreapta. 15. Stabilitatea sistemelor diferentiale liniare. 16. Sa se arate ca orice solutie a ecuatiei diferentiale converge la 0 cand

t → ∞

17. Sa se determine solutia problemei Cauchy

18. Sa se determine )(2 RC∈µ astfel incat ecuatia sa fie diferentiala totala exacta si sa se rezolve.

19. Sa se arate ca problema Cauchy admite solutie unica definita pe un interval marginit.

20. Fie doua functii continue de perioada T. a) Sa se arate ca ecuatia omogena are o solutie periodica, de perioada T, neidentic zero daca si numai daca b) Daca atunci ecuatia neomogena are o unica solutie periodica de perioada T. Geometrie I

21. Formula Gauss. Derivata covariantă. 22. Ecuaţiile Gauss şi Codazzi-Mainardi. 23. Consecinţe ale reperului Darboux asupra geodezicelor suprafeţelor. 24. Teoremele lui Lancret. 25. Reper Frenet. Relatiile lui Frenet. 26. Interpretarea geometrică a curburii Gauss. 27. Dacă d este distanţa de la origine la planul tangent la suprafaţa în punctul M şi K este

curbura Gauss a suprafeţei în M, suprafeţele pentru care

4 constantKd

=

se numesc suprafeţe Ţiţeica. Arătaţi că suprafaţa având ecuaţia algebrică 1=xyz

este suprafaţă Ţiţeica. 28. Se consideră suprafaţa

( )1 2 1 2 1 2 1( , ) cos cos , cos sin , sinf x x r x x r x x r x= , ( )1 2, , 0, 22 2

x xπ π π⎛ ⎞∈ − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Să se calculeze coeficienţii primelor două forme fundamentale. b) Să se calculeze curbura Gauss într-un punct oarecare.

29. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei c:R→ R3 , c(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t). 30. Se consideră curba: ( )3: , ( ) cos , sin , .t t tc c t e t e t e→ =R R Calculati elementele analitice

ale triedrului Frenet in punctul 0 0t = . Analiza III (elemente de teoria campurilor, analiza pe varietati)

31. Masuri numarabil aditive. Teorema lui Kolmogorov. 32. Functii masurabile si integrabile. Proprietati. 33. Teorema Beppo-Levi si lema lui Fatou. 34. Teorema de convergenta dominata a lui Lebesgue. 35. Spatiile Lp, 1 ≤ p < ∞, sunt spatii Banach. 36. Fie A ⊂ [a, b] o multime masurabila Lebesgue.

a ) Fie Rbaf →],[: , ]),[()( xaAxf ∩= λ Sa se arate ca f este functie Lipschitz, mai precis |)()(| yfxf − ≤ || yx − , ∀ ]1,0[, ∈yx

b) Sa se arate ca ∀ 0 ≤ θ ≤ λ(A) exista B ⊂ A, B masurabila Lebesgue, asfel incat λ(B) = θ.

37. Fie Q × Q = {(a1, b1), (a2, b2), ...} si Aj = ))2

1,2

1[)2

1,2

1([ jiijiiNi

jiijii bbaa ++∈

++ +−×+−U .

Sa se arate ca multimea A = INj

jA∈

are proprietatea ca aria(A) = 0 si este densa in R2

38. Sa se arate ca orice functie RRf →: care admite primitive este masurabila Borel si Lebesgue. Reciproca este adevarata?

39. Fie ϕ :[1, ∞) → [0, ∞) si f : [1, ∞) →R ])([)( xxf ϕ=

Aratati ca (L) ∫ ∑∞ ∞

=

=1

1)()(

nndxxf ϕ .

40. Fie h:[0, 1] ×[0, 1] → R, h continua. Sa se calculeze:

∫∞→

1

0),()(lim dxxxhL n

n

Matematici discrete

41. Definiti notiunile de: a) Drum si lant intr-un graf orientat; b) Subgraful generat de o submultime de varfuri, XA ⊂ , al unui graf G = (X, U); c) Graful partial al unui graf G = (X, U) generat de o submultime de arce UV ⊂ ; d) Componente tare conexe si componente conexe ale unui graf. e) Matrice de adiacenta, matricea drumurilor si matricea distantelor directe pentru un

graf orientat.

42. Descrieti algoritmul Roy – Warshall, de determinare a matricei drumurilor intr-un graf, definind in prealabil toate notiunile care apar.

43. Descrieti algoritmul Roy – Floyd, de determinare a drumurilor si distantelor minime intr-un graf, definind in prealabil toate notiunile care apar.

44. Definiti o retea de transport, enuntati Teorema Ford-Fulkerson, definind toate notiunile care apar in enunt si descrieti algoritmul Ford – Fulkerson.

45. Descrieti algoritmii lui Kruskal si Prim de determinare a arborelui minim pentru un graf conex, definind in prealabil toate notiunile care apar.(Descriere fara demonstratie!)

46. Sa se determine matricea drumurilor si componentele tare conexe pentru graful care are matricea de adiacenta:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 1 01 1 0 1 0 0 1 01 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 0

47. Pentru ca o persoana ce are locuinta in punctul 1 sa mearga la biblioteca aflata in punctul

9, ea poate folosi mai multe mijloace de transport . Datele cuprinzand punctele intermediare prin care trece precum si timpul mediu calculat pentru a ajunge ditr-un punct in altul sunt date in matricea distantelor directe data mai jos. Se cere sa se determine toate drumurile care realizeaza timpul minim cat si valoarea acestuia.

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 4 ∞ ∞ ∞∞ 0 2 5 8 ∞∞ ∞ 0 2 5 ∞∞ ∞ ∞ 0 3 5∞ ∞ ∞ ∞ 0 1∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

48. Sa se determine lungimea maxima si toate drumurile pe care se realizeaza aceasta pentru graful care are matricea distantelor directe:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 3 5 ∞ ∞ ∞ ∞∞ 0 2 ∞ ∞ ∞ 13 ∞∞ ∞ 0 ∞ 5 11 14 ∞∞ ∞ 2 0 6 8 ∞ 15∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 ∞ 9∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 2 6∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 4∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

49. In portul 1 se gasesc 35 vapoare care trbuie sa se deplaseze in portul 10. Deplasarea lor se face in etape astfel incat in prima etapa sa ajunga cat mai multe dintre ele in portul 10. In drumul lor vapoarele trebuie sa mai faca cate o escala in alte porturi intermediare, notate 2,3,...,9. Conditiile de primire, aprovizionare etc. Fac sa existe o limitare a rutelor folosite. Capacitatile corespunzatoare sunt date in matricea de mai jos:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 12 3 20 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ 0 ∞ ∞ ∞ 6 5 ∞ ∞ ∞∞ ∞ 0 ∞ 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ 0 5 ∞ ∞ ∞ 10 ∞∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 5 3 ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 3 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 13∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

Pozitiile notate cu infinit indica aici ca nu avem arc intre varfurile respective.

50. Sa se determine arborele minim pentru graful care are matricea distantelor directe:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 6 4 11 5 10 9 136 0 4 5 7 5 8 104 4 0 6 3 3 4 6

11 5 6 0 9 2 7 65 7 3 9 0 12 2 3

10 5 3 2 12 0 11 79 8 4 7 2 11 0 3

13 10 6 6 3 7 3 0

Analiza functionala I

51. Spatii normate si spatii Banach. Definitii. Operatori liniari si continui intre doua spatii normate. Norma unui operator liniar si continuu intre doua spatii normate.

52. Teorema categoriei a lui Baire. Enunt si demonstratie. 53. Principiul marginirii uniforme. Enunt si demonstratie. 54. Teorema aplicatiei deschise si teorema graficului inchis. Enunt si demonstratie. 55. Teorema Hahn-Banach, cazul real. Enunt si demonstratie. 56. Sa se arate ca operatorul U : C[0, 1] → C[0, 1],

∫=1

0)()( dttfexUf xt , f ∈ C [0, 1], x ∈ [0, 1]

este corect definit, este liniar ¸si continuu ¸si ||U|| = e − 1.

57. Determinati sirurile de numere reale (xn)n∈N ⊂ R care au proprietatea: un sir (an)n∈N ⊂ R

este convergent catre zero daca si numai seria nn

n xa∑∞

=1 este convergenta.

58. Sa se arate ca multimea

]1,0[|0 0

Caxan n

nn

n ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<∑ ∑∞

=

∞

=

este de prima categorie Baire ın C [0, 1], nu este rara si nici nu este deschisa ın C [0, 1].

59. Fie 1 ≤ p < ∞, a = (an)n∈N un sir de numere reale cu proprietatea

∀ x = (xn)n∈N∈ lp, rezulta (anxn)n∈N ∈ lp si Ma : lp → lp operatorul de multiplicare, Ma((xn)n∈N) = (anxn)n∈N. Sa se arate ca: i) Ma este corect definit, este liniar si continuu si ca a ∈ l∞. ii) ||Ma|| = ||a||∞=

Nn∈sup |an|

60. In spatiul normat R2 inzestrat cu norma euclidiana, consideram subspatiul liniar G = {(x, y) ∈ R2 | 2x − y = 0 }

si functionala liniara f : G → R, f(x, y) = x. Aratati ca exista o unica prelungire a lui f la R2 cu pastrarea normei si gasiti aceasta prelungire. Cercetări operaţionale

61. Condiţiile de optimalitate Kuhn-Tucker in programarea neliniară. 62. Duala în sens Wolfe. Teorema directă de dualitate. 63. Metoda direcţiilor admisibile pentru programarea convexă cu restricţii liniare: testul de

optimalitate si îmbunătăţirea soluţiei. 64. Metode de punct interior. Algoritmul de scalare afină pentru o problemă de programare

liniară. 65. Caracteristicile modelului de aşteptare cu o staţie de servire, sosiri Poisson şi timp de

servire exponenţial in cazul staţionar. 66. Se consideră problema de programare neliniară: Inf (x1

2+x22-4x1-2x2+5)

cu restricţia: x1

2+0.25x22-1≤0

a) Să se scrie funcţia Lagrange asociată; b) Să se scrie condiţiile de optimalitate Kuhn-Tucker; c) Să se calculeze soluţia optimă.

67. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f: R→R, f(x,y)= x3+y3+3xy

68. Să se rezolve:

Inf (x1

3+x23-12x1-3x2)

cu restricţiile: x2 ≥ x1+1

x1 ≥ 0 69. Se consideră jocul de două persoane cu sumă nulă, cu funcţia de câştig dată de matricea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛854167

a) Să se verifice dacă jocul are soluţii in strategii pure; b) Să se determine o soluţie optimă in strategii mixte si valoarea jocului.

70. Se consideră un fenomen de aşteptare în care sosirile sunt poissoniene iar serviciile sunt exponenţiale. Numărul mediu de clienţi care sosesc intr-o zi (24 ore) este de 96. Durata medie de servire este de 10 minute. Să se determine numărul mediu de clienţi aflaţi in sistem, numărul mediu de clienţi din firul de aşteptare, durata medie de aşteptare in firul de aşteptare tf , durata medie de aşteptare in sistem ts , probabilitatea ca numărul clienţilor din sistem să nu depăşeasca 5 şi probabilitatea ca un client să nu aştepte. Probabilitati statistica I

71. Parametri de poziţie in statistica descriptivă: definiţii, proprietaţi si exemple. 72. Parametri de imprastiere in statistica descriptivă: definitii proprietati si exemple. 73. Probabilitate clasica: definitie, proprietati si exemple 74. Functia de repartitie a variabilei aleatoare (f.r. a v.a.): definitie si teorema despre

proprietatile caracteristice ale f.r. 75. Legea Numerelor Mari (formele Cebâsev şi Bernoulli) 76. Demonstrati ca probabilitatea clasica verifica axiomele din definitia probabilitatii

discrete. 77. Un juriu format din trei arbitri functioneaza in felul urmator: fecare arbitru ia decizie

corecta independent de ceilalti, primii doi cu aceeasi probabilitate p, 0<p<1, iar cel de al treilea arbitru pentru luarea deciziei arunca o moneda”perfecta”. Decizia finala se ia pe baza de majoritate de voturi. Cu ce este egala probabilitatea ca in final se va lua o decizie corecta.

78. Avem un rând format din 2n scaune pe care se aseaza la intamplare 2n persoane din care n femei si n barbati. Cu ce este egala probabilitaea ca nici un barbat nu va nimeri alaturi de barbat.

79. Demonstrati ca suma a doua v.a. independente identic repartizate Bernoulli cu parametrul p, 0<p<1, este o variabila aleatoare Binomial repartizata cu parametrii n=2 si p.

80. Consideram v.a. Z=max(X,Y) , unde X,Y reprezinta numarul de puncte aparute la aruncarea unui zar “perfect” de 2 ori succesiv, respectiv la prima si a doua aruncare. Calculati valoarea medie şi dispersia v.a. Z. Probabilitati statistica II

81. V.a. in caz general: definitie, proprietati şi exemple. 82. Functii caracteristice: definitie, proprietati şi exemple. 83. Teorema Limita Centrala (pentru v.a.i.i.r). 84. Aplicatii ale Teoremei Limite Centrale (forma Moivre-Laplace) la Modelarea Statistica

(Metoda Monte-Carlo). 85. Caracteristici de selectie (media, dispersia de selectie si functia empirica): definitie si

proprietati in calitate de estimatori ai mediei, dispersiei si functiei teoretice de repartitie. 86. Fie (x1, … , xn) ~ X : Bi(n;p), adica este dat un esantion de volum n generat de o variabila

aleatoare X binomial repartizata cu parametrii n si p, n = 1, 2, …, p ∈(0,1). De exemplu, X poate fi interpretata ca numarul total de steme inregistrate la aruncarea unei monede de n ori. Consideram urmatoarele ipoteze: a) H: moneda este de aur; b) H: moneda nu este perfecta; c) H: moneda nu este perfecta, n fiind cunoscut, adica n = n0; d) H: moneda este perfecta, n fiind necunoscut. Care din ele sunt ipoteze statistice si de ce tip? Argumentati raspunsurile.

87. Fie (x1, … , xn) ~ X : N(m;σ2), adica este dat un esantion de volum n generat de o variabila aleatoare X ~ N(m;σ2). Presupunem ca σ2 este cunoscuta. In acest caz la testarea ipotezelor despre parametrul m este folosit faptul ca statistica:

),1,0(~ N

n

mxσ−

pentru orice m ∈ R. Demonstrati acest fapt, folosind metoda functiilor caracteristice.

88. Ce tip de erori au fost comise, daca in urma testarii ipotezelor: a) ipoteza alternativa a fost respinsa, ea fiind de fapt adevarata? b) ipoteza alternativa a fost acceptata, ea fiind de fapt falsa?

89. Fie (x1, … , xn) ~ X : N(m;σ2), adica este dat un esantion de volum n generat de o variabila aleatoare X ~ N(m;σ2). Presupunem ca m2 este cunoscut. In acest caz la testarea ipotezelor despre dispersia σ2 este folosit faptul ca statistica:

)(~)( 2

2

2

2

2

nmxSn i ℵ

−=

⋅ ∑σσ ,

adica este o variabila aleatoare ℵ patrat repartizata cu n grade de libertate. Folosind metoda functiilor caracteristice si definitia variabilei aleatoare ℵ2(n), demonstrati acest fapt.

90. Experienta anterioara arata ca durabilitatea unei anvelope auto poate fi considerata o variabila aleatoare X ~ N(30000km,(800km)2). Se face o schimbare la procesul de productie. O selectie de 100 de anvelope are x = 29000km. Pe baza acestei selectii si la un prag de semnificatie α = 0.05, putem noi oare spune ca noua metoda conduce la scaderea durabilitatii anvelopelor ? Nota: Pentru α = 0.05 valoarea α-cuantilei xα = -1.64, adica Φ(-1.64) = 0.05. Calcul numeric

91. Teorema de aproximare pentru polinoame Bernstein. 92. Metoda Newton de aproximare a soluţiilor ecuaţiilor neliniare pe R – teorema de

convergenţă. 93. Principiul contracţiilor pe ).2( ≥nRn 94. Descompunere Choleski pentru matrice simetrice şi pozitiv definite – teorema de

existenţă. 95. Condiţii suficiente ca o matrice să admită descompunere LU – demostraţi una din

teoreme. 96. Folosind principiul contracţiilor, aproximaţi 23 cu o eroare mai mică decât 10-4.

97. Folosind regula trapezelor, aproximaţi 1

2

0

ln( 1)x dx+∫ cu o eroare mai mică decât 1/2400.

98. Aproximaţi soluţia următoarei probleme cu valori iniţiale, folosind metoda Taylor de ordinul 2, pentru 1.0=h şi ].2.1,1[∈t

.1)1(

'2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

yty

tyy

99. Pentru matricea 1 4 0 02 1 3 si 62 0 1 2

A b⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, rezolvaţi sistemul Ax=b, găsind mai întâi o

descompunere LU pentru A a) direct b) folosind eliminarea Gauss.

100. Pentru matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

=

21001210

01210012

A , determinaţi A-1 folosind metoda Gauss-

Jordan.

SUBIECTE PROPUSE LA INFORMATICA

Informatica II

1. Descrieti structura unui program, tipuri de variabile, operatori si expresii (in Java). 2. Descrieti declararea si utilizarea tablourilor de date (in Java). 3. Descrieti modalitatile de utilizare a intrarilor si iesirilor – tastatura, ecran si fisiere (in

Java). 4. Instructiuni de decizie si repetitive (in Java). 5. Subprograme si recursivitate – declarare si utilizare (in Java). 6. Scrieti un program pentru determinarea numarului combinarilor de 1234 elemente luate

cate 567 (atentie: rezultatul are 369 cifre!). 7. Se considera functia 7 3( ) ( 1) xf x x x e= + + . Derivata de ordin 8 a functiei ( )f x este

7 67 6 1 0( ) ( ... ) xg x a x a x a x a e= + + + + . Scrieti un program care sa determine cel mai mare

numar prim care apare in descompunerile coeficientilor polinomului din functia ( )g x . 8. Scrieti un program pentru determinarea tuturor radacinilor rationale ale unei ecuatii cu

coeficienti intregi. 9. Scrieti un program pentru descompunerea unui numar natural ca suma de cat mai putini

termeni din sirul Fibonacci ( 0 1 1 20, 1, , 2k k kF F F F F k− −= = = + ≥ ). 10. Fie 1x si 2x radacinile ecuatiei 2 3 2 0x x− + = si 1 2

n nnS x x= + . Sa se scrie un program

care determina numarul divizorilor lui 50S .

Algoritmi si structuri de date

11. Metoda “backtracking” varianta iterativa – descriere si exemple. 12. Metoda “backtracking” varianta recursiva – descriere si exemple. 13. Metoda “divide et impera” – descriere si exemple. 14. Metoda “programare dinamica” – descriere si exemple. 15. Metoda “greedy” – descriere si aplicare pentru determinarea arborelui partial minim

(algoritmul lui Prim sau Kruskal). 16. Scrieti un program care sa determine cea mai mica valoare a lui n astfel incat

1 21234567 ... nx x x= + + + si { }, ,1kx k k k n∈ − ≤ ≤ . 17. Scrieti un program care sa afiseze toate triangulatiile unui poligon convex cu 7 laturi. 18. Scrieti un program care sa afiseze toate partitiile lui 32 ca suma de numere naturale

impare (nu conteza ordinea termenilor). 19. Scrieti un program care sa determine un subsir crescator maximal dintr-un sir de 100 de

numere naturale preluat dintr-un fisier text. 20. Se preia dintr-un fisier text o matrice cu 30 linii si 40 coloane. Elementele matricei sunt

numai valori 0 sau 1. Scrieti un program care sa determine un “dreptunghi de arie maxima” in aceasta matrice, care sa contina numai elemente nule (dreptunghiul va fi determinat de cele doua linii si cele doua coloane intre care se afla valorile indicilor elementelor care fac parte din acest dreptunghi).

Reţele de calculatoare I

21. Rutare dinamica: Algoritmul Dijkstra – pseudocod + exemplificare numerica 22. Rutare dinamica: Algoritmul Bellman-Ford - pseudocod + exemplificare numerica 23. Nivelul legǎtura de date: protocoalele Ethernet - IEEE 802.3; 24. Subalocarea unei adrese de retea date (Subnetting) : algoritm si exemplificare 25. Utilizarea mastilor de retea de lungime variabila (VLSM) : algoritm si exemplificare 26. Aplicatie subnetting:

O nouă reţea este proiectată pentru companie. Folosind un IP de reţea de Clasă C, ce mască de subreţea va pune la dispoziţie câte o subreţea utilizabilă pentru fiecare departament, în timp ce se permit suficiente adrese de host utilizabile pentru fiecare department specificat în figură? Sa se scrie adresele IP pentru toate gazdele din figura, organizate pe departamente, specificand totodata adresele de subretea si de broadcast pentru fiecare departament.

27. Considerând reteaua din figura, în care etichetele reprezenta distanta, se cere determinarea tabelei de rutare pentru nodurile 1 si 4, folosind algoritmul Dijkstra

28. Considerând reteaua din figura, în care etichetele reprezenta distanta, se cere determinarea tabela de rute completa, folosind algoritmul Bellman Ford

29. Comunicare TCP la client – Aplicatie Java 30. Comunicare TCP la server - Aplicatie Java

Baze de Date I

31. Algoritmul de traducere a diagramelor Entităţi - Asociaţii în schemele MRD corespunzătoare şi teorema sa de caracterizare (enunţ şi demonstraţie).

32. Algoritmul de traducere a schemelor MMED în schemele MRD corespunzătoare şi teorema sa de caracterizare (enunţ şi demonstraţie).

33. Să se enunţe si demonstreze teorema principiului propagării cheilor. 34. Să se enunţe şi demonstreze teorema de caracterizare a funcţiilor structurale. 35. Algoritmul de asistenţă a proiectării cheilor şi teorema sa de caracterizare (enunţ şi

demonstraţie) 36. Fie funcţiile CodNumericPersonal : PERSOANE ↔ NAT(13),

Prenume : PERSOANE → CHAR(32), Nume : PERSOANE → CHAR(32), DataNaşterii : PERSOANE → DATE şi LocNaştere : PERSOANE → LOCALITĂŢI. a) Să se demonstreze că are loc următoarea funcţional dependenţă: CodNumericPersonal → Prenume • Nume • DataNaşterii • LocNaştere b) Are loc şi următoarea funcţional dependenţă ? De ce ?

CodNumericPersonal → Prenume•Nume•DataNaşterii•LocNaştere•CodNumericPersonal c) Dar LocNaştere → Prenume•Nume•DataNaşterii•CodNumericPersonal ? De ce ?

37. Fie funcţiile Continent : ŢĂRI → CONTINENTE, Ţara : JUDEŢE → ŢĂRI, DenŢara : ŢĂRI ↔ CHAR(32), #Continent : CONTINENTE ↔ NAT(2) şi #Ţara : ŢĂRI ↔ NAT(3)

a) Care din aceste funcţii pot fi şi care trebuie să fie propagate unde ? De ce ? b) Care dintre funcţiile propagate sunt injective? De ce? c) Se poate propaga #Continent în JUDEŢE ? Dacă da, este recomandabil?

Dar DenŢara în JUDEŢE ? De ce ?

38. Fie funcţiile Ţara : LOCALITĂŢI → ŢĂRI, Capitala : ŢĂRI ↔ LOCALITĂŢI, DenŢara : ŢĂRI ↔ CHAR(32), Populaţie : ŢĂRI ↔ NAT(16), #Localităţi : LOCALITĂŢI ↔ NAT(8) şi #Ţara : ŢĂRI ↔ NAT(3)

a) Să se demonstreze că are loc următoarea funcţional dependenţă: Capitala → Populaţie ° Ţara ° Capitala

b) Există vreo funcţie f : CHAR(32)→ NAT(8) care să facă comutativă următoarea diagramă? Câte cu totul sunt posibile? De ce?

Capitala ŢĂRI LOCALITĂŢI

DenŢara #Localităţi

CHAR(32) NAT(8) f

c) Dacă f există, în ce condiţii ar fi ea injectivă ?

39. Fie relaţia matematică ÎMPRUMUTURI ⊆ CĂRŢI × CITITORI × DATE_ÎMPR. a) Câte funcţionalităţi interne ar putea avea în total? Care sunt cele neredundante şi

pline? De ce? b) Câte sunt triviale? Care sunt cele netriviale, neredundante, pline şi minimale? De

ce? c) Care este numărul maxim de chei structurale pe care l-ar putea avea simultan

această relaţie teoretic? Câte are ea de fapt? Care sunt ele? De ce?

40. Fie relaţia matematică CONDIŢIONĂRI ⊆ PRECONDIŢII × CURSURI, unde PRECONDIŢII ⊆ CURSURI.

a) Modelaţi-o cu ajutorul unei asociaţii. b) Modelaţi-o echivalent fără ajutorul nici unei asociaţii. c) Ce s-ar întâmpla dacă graful acestei relaţii ar fi ciclic ? De ce ?

Sisteme de operare

41. Stările proceselor în sistemele cu multiprogramare şi mecanismele, bazate pe întreruperi, pentru modificarea stării unui proces.

42. Problematica comunicării între procese prin memorie comună şi soluţia de principiu.

43. Memoria virtuală: definiţie şi modele. Tabela de pagini văzută ca funcţie şi mecanismul de obţinere a adresei fizice din adresa virtuală.

44. Structurile de date utilizate de sistemul de operare pentru implementarea gestiunii fişierelor cu index-noduri.

45. Justificaţi necesitatea apelului sistem open (deschidere fişier). Cum sunt utilizate rezultatele produse de executarea sa?

46. Creaţi un fişier de comenzi Linux (script) care se va lansa cu un parametru (nume reprezentând ID-ul unui utilizator) şi va executa, succesiv, următoarele operaţii:

a) crearea structurii: /home/myname DD1 DD2

DD3 DD4 DD5

DD6

b) transferul controlului către utilizator pentru a-i permite editarea cu vi a unui text ce va fi salvat în fisierul exercitiu în directorul DD4,

c) copierea fişierului exercitiu in DD6, d) afişarea listei utilizatorilor conectaţi şi redirectarea ei către fişierul cine din DD3, e) căutarea în acest fişier a utilizatorului cu numele dat ca parametru de intrare în

script şi afişarea liniei corespunzătoare acestuia, dacă e conectat, sau afişarea mesajului “ nume doarme “ dacă nu e conectat.

47. Într-un sistem cu multiprogramare, fie procesele p1, p2 şi p3 care produc ieşiri sub formă

de caractere utilizând rutina “putc”. Ele se sincronizează folosind două semafoare: “L” şi “R”. a. Precizaţi numărul de caractere „D” ce vor fi afişate la executarea acestui set de

procese. Explicaţi. b. Demonstraţi că secvenţa de caractere CABABDDCABCABD nu este o ieşire posibilă

a acestei execuţii.

semaphore L=3, R=0 /*definire şi iniţializare semafoare*/ /*cod P1*/ /*cod P2*/ /*cod P3*/ L1: L2: L2: DOWN(L); DOWN(R); DOWN(R); putc(‘C’); putc(‘A’); putc(‘D’); UP(R); putc(‘B’); UP(R); goto L1; goto L2; goto L3;

48. Într-un sistem cu multiprogramare, fie procesele p1, p2 şi p3 care produc ieşiri sub formă de caractere utilizând rutina “putc”. Ele se sincronizează folosind două semafoare: “L” şi “R”. a. Indicaţi numărul minim de caractere „A” ce se pot afişa. Explicaţi. b. Demonstraţi că secvenţa de caractere CABACDBCABDD este o ieşire posibilă a

acestei execuţii.

49. Fie un sistem de operare ce execută gestiunea memoriei virtuale cu tabele de pagini pe un singur nivel. Memoria fizică este de 1 Goct. iar adresele în cadrul programelor sunt reprezentate pe 32 biţi (adresarea făcându-se la nivel de octet). Dacă tabela de pagini are 220 intrări, calculaţi dimesiunea paginii şi numărul de biţi pe care este reprezentat numărul cadrului de pagină.

50. Câte operaţii cu discul sunt necesare pentru a aduce în memorie i-nodul fişierului

/home/studenti/cursSO/subiecte.txt ? Presupuneţi că i-nodul directorului rădăcină este deja în memorie, dar nimic altceva pe parcursul căii de mai sus nu este adus în memorie. De asemenea, se presupune că fiecare director ocupă doar un bloc de pe disc. Explicaţi. Calcul paralel

51. Descrieti modelul unui calculator paralel cu memorie partajata. 52. Descrieti modelul unui calculator paralel cu memorie distribuita. 53. Descrieti un calculator paralel virtual de tip “arbore” in Parallaxis. 54. Descrieti un calculator paralel virtual de tip “grila” in Parallaxis. 55. Descrieti transferurile de informatii intre procesoare in Parallaxis. 56. Scrieti un program sau descrieti un algoritm pentru determinarea numerelor prime dintr-

un interval dat folosind un calculator cu mai multe procesoare. 57. Scrieti un program sau descrieti un algoritm pentru calcul valorii unei integrale definite

folosind un calculator cu mai multe procesoare. 58. Scrieti un program sau descrieti un algoritm pentru determinarea unui arbore de cost

minim intr-un graf neorientat folosind un calculator cu mai multe procesoare (de exemplu, algoritmul lui Prim).

59. Scrieti un program sau descrieti un algoritm pentru determinarea distantei minime dintre doua noduri ale unui graf neorientat ponderat folosind un calculator cu mai multe procesoare (de exemplu, algoritmul lui Dijkstra).

60. Scrieti un program sau descrieti un algoritm pentru rezolvarea ecuatiei Laplace folosind un calculator cu mai multe procesoare (de exemplu, algoritmul SOR).

semaphore L=3, R=0 /*definire şi iniţializare semafoare*/ /*cod P1*/ /*cod P2*/ /*cod P3*/ L1: L2: L2: DOWN(L); DOWN(R); DOWN(R); putc(‘C’); putc(‘A’); putc(‘D’); UP(R); putc(‘B’); UP(R); goto L1; goto L2; goto L3;

Sisteme informatice

61. Descrieţi pe scurt etapele şi fazele principale ale procesului de elaborare a produselor de program.

62. Metodica Rational Unified Process de determinare a necesarului de forţă de muncă pentru elaborarea şi implementarea unui produs de program.

63. Diagrama variantelor de utilizare: descrierea elementelor principale, scopul elaborării, reguli euristice pentru elaborare, documentarea variantelor de utilizare.

64. Prezentarea şablonului de proiectare Singleton. Exemple. 65. Stereotipurile folosite în diagramele de clase şi specificarea lor la nivel de cod. 66. Prezentaţi un exemplu de diagramă de clase, care respectă şablonul de proiectare Modell-

View-Controller. Explicaţi-l. 67. Indicaţi principiul de proiectare OO, care este încălcat în următoarea diagrama de clase

(Figura 1). Prezentaţi o diagramă de clase nouă, care să respecte principiul determinat mai sus. Aduceţi explicaţiile necesare.

Figura 1

68. Consideraţi automatul bancar. Contruiţi o diagramă a variantelor de utilizare a lui. (De exemplu, automatul bancar de la BRD).

69. Fie avem următoarea diagramă de clase (Figura 2). Presupunem că vrem sa testăm clasa Employee, dar nu vrem ca în rezultatul testării să scriem ceva în baza de date. Cum ar trebui să modificăm diagrama de clase dată pentru a atinge acest scop? Explicaţi.

Figura 2

70. Fie avem codul Java (instanceSpooler.java, vezi Figura 3) al unor clase Java. Ce şablon

de proiectare OO este implementat? Explicaţi.

/* * Fisierul instanceSpooler.java */ public class instanceSpooler { static public void main(String argv[]) { iSpooler pr1, pr2; //open a printer--this should always work System.out.println("Opening one spooler"); pr1 = iSpooler.Instance(); if(pr1 != null) System.out.println("got 1 spooler"); //try to open another printer --should fail System.out.println("Opening two spoolers"); pr2 = iSpooler.Instance(); if(pr2 == null) System.out.println("no instance available"); } class iSpooler { static boolean instance_flag = false; private iSpooler() {} static public iSpooler Instance() { if (! instance_flag) { instance_flag = true; return new iSpooler(); } else return null; } public void finalize() { instance_flag = false; } } }

Figura 3. Fisierul instanceSpooler.java Programare orientata spre obiecte

71. Moştenire şi polimorfism. Implementarea in Java a relatiei de generalizare/specializare. 72. Clase abstracte si interfete. Realizarea mostenirii multiple prin folosirea interfetelor. 73. Tratarea evenimentelor de catre componentele grafice AWT. 74. Tratarea intrarilor/iesirilor in Java. 75. Colectii de obiecte. 76. Sa se scrie un program (applet) care sa ajute un elev sa invete înmulţirea a două numere

formate din câte o cifră. Programul ar trebui sa genereze aleator numere intre 0 şi 9, inclusiv şi să afişeze în bara de stare a applet-ului mesaje de genul : “Cat face 6 ori 7?” Elevul raspunde intr-un câmp de text şi apasă Enter, iar programul verifica raspunsul. Daca este corect, programul alege la intamplare unul din mesajele “Foarte bine!”, “Raspunsul este corect”, “Excelent!”, “Corect”, il afiseaza si apoi generează şi afişează o

alta intrebare. Daca raspunsul este gresit, afiseaza unul din raspunsurile generate tot aleator: “Nu. Mai incearca!”, “Gresit. Mai incearca o data”, “Ai gresit, dar nu renunta”, “Nu este rezultatul corect”. Apoi lasa elevul sa raspunda la aceasta intrebare pana cand da raspunsul corect. In plus, programul ar trebui sa contorizeze raspunsurile corecte si incorecte. Dupa ce elevul a raspuns de 10 ori, programul ar trebui sa calculeze procentul raspunsurilor corecte. Daca acest procent este mai mic de 75, se va afisa mesajul: “Ar trebui sa te meditezi” si se va reseta programul, astfel incat un alt elev sa-l incerce.

77. O companie aeriana foloseste un sistem automat de rezervare a locurilor unui avion. Sa se scrie un program care realizeaza acest lucru pentru un singur avion cu capacitatea de 10 locuri la fiecare zbor. Programul ar trebui sa afiseze urmatorul menu de alternative: Alegeti 1 pentru sectiunea de Fumatori

Alegeti 2 pentru sectiunea de Nefumatori

Daca persoana alege 1, atunci programul ar trebui sa rezerve un loc in sectiunea fumatori (1..5). Altfel, se alege un loc la nefumatori (locurile 6-10). Apoi programul ar trebui sa afiseze un mesaj cu numarul locului si sectiunea fumatori sau nefumatori a avionului. Rezervarea unui loc ar trebui marcata printr-un 1.

Cand o sectiune este plina, programul ar trebui sa intrebe clientul daca doreste sa i se rezerve un loc la cealalta sectiune. Daca da, se face rezervarea respectiva. Altfel, se afiseaza mesajul “Urmatorul zbor este in 3 ore.” Acelasi mesaj va fi afisat si daca nu mai exista nici un loc liber.

78. Să se scrie un program care afişează într-o arie de text a unei ferestre codul sursă al unei clase Java. Numele clasei este ales dintr-o lista ascunsa (memorata ca elemente ale unei componente grafice Choice sau JComboBox) din directorul curent al programului. Interfata programului este urmatoarea:

Dupa cum se observa, interfata mai contine doua butoane Previous şi Next a căror acţiune determina afişarea unor liste (in niste ferestre de dialog) ce conţin numele claselor ce au fost deschise înaintea, respectiv dupa ce codul clasei curente fost afişat. Aceste liste permit reafişarea continurilor claselor ce au mai fost afişate cel putin o dată.

79. Sa se realizeze un applet care simuleaza jocul: “Ghiceste numarul”. Applet-ul afiseaza mesajul: “Ghiceste un numar intre 1 si 1000” langa un camp de text, iar numarul ar trebui generat aleator intre 1 si 1000. Utilizatorul introduce un numar in campul de text si apasa Enter. Daca valoarea este incorecta, programul ar trebui sa afiseze in bara de stare a applet-ului unul din cele doua mesaje “Numarul introdus este prea mare. Mai incearca” sau “Numarul introdus este prea mic. Mai incearca”, in functie de numarul introdus. Apoi programul ar trebui sa stearga numarul introdus in campul respectiv. Cand utilizatorul a

introdus o valoare corecta, se va afisa in bara de stare mesajul: ”Felicitari.Ai ghicit numarul!”. In plus, programul va contoriza incercarile de a ghici ale jucatorului. Daca numarul de incercari este mai mic sau egal cu 10, se va afisa mesajul: “Ori stii secretul, ori esti norocos!”. Daca jucatorul ghiceste numarul in exact 10 incercari, programul afiseaza mesajul: “Stii secretul!”, iar daca l-a ghicit in mai mult de 10 incercari, ar trebui sa afiseze: “Ar fi trebuit sa ghicesti numarul pana acum!”.

80. Proprietarul unei librării a hotărât să cumpere un program de gestiune a vânzării cărţilor ce se află în magazinul său. Toate informaţiile despre o carte: autor, titlu, editura si preţ sunt memorate în fişierul “stoc.txt”. De exemplu, acest fişier contine următoarele informatii:

N. Labiş_Moartea caprioarei_Agora_1986_50000 Tanasa, St. Andrei, Olaru_Java de la 0 la expert_ Polirom_2003_500000 I. Athanasiu et al._Java. O perspectiva pragmatica_Agora_1998_150000 B. Eckel_Thinking in Java_Prentice Hall_1998_1000000 Cand se primesc cărţi in librărie, un angajat al librariei accesează programul şi introduce datele despre fiecare titlu primit cu ajutorul următoarei interfeţe grafice:

Dupa fiecare titlu introdus, angajatul apasă butonul “Adauga carte”. Cand a terminat, apasă butonul “actualizeaza stoc” care permite actualizarea fisierului stoc.txt cu noile date. In plus, programul permite căutarea şi afişarea tuturor cărtilor în ordine alfabetică de la o anumită editură. Pentru aceasta, programul afisează următoarea interfaţă grafică.:

Utilizatorul va introduce in câmpul de text „Editura” numele unei edituri si va apăsa butonul „Cauta”. Se vor afişa intr-o arie de text toate cartile acelei edituri (autor, titlu, preţ). Baze de date II

81. Vizualizarea datelor dintr-o tabela folosind obiectul recordset. 82. Actualizarea unei tabele folosind obiectul recordset. 83. Actualizarea unei tabele folosind evenimentul de tratare al erorilor pentru obiectul form. 84. Filtrarea inregistrarilor dintr-o sursa de date folosind obiectul form. 85. Pozitionarea pe inregistrarile ce indeplinesc o conditie data, folosind obiectul recordset. 86. Se da schema relatiei persoane(Nume, DataNasterii, Salariu). Sa se descrie structura unui

obiect form pentru adaugarea de noi inregistrari. Se vor efectua validari pentru integritatea cheii si pentru tipul de date numeric si data calendaristica. Se vor preciza procedurile eveniment aferente.

87. Se da schema relatiei persoane(Nume, DataNasterii, Salariu). Sa se descrie structura unui obiect form pentru stergerea unei inregistrari. Se vor preciza procedurile eveniment aferente.

88. Se da schema relatiei persoane(Nume, DataNasterii, Salariu). Sa se descrie structura unui obiect form pentru modificarea campurilor dintr-o inregistrare. Se vor efectua validari pentru integritatea cheii si pentru tipul de date numeric si data calendaristica Se vor preciza procedurile eveniment aferente.

89. Se dau schemele relatiilor Produse(DenP, Um, Pret) Doc(DataDoc, NrDoc, Client, CodDoc, Valoare)

DocLinie(CodDoc, Nrc, Denp, Um, Pret, Cantitate, Valoare)

Sa se descrie structura unui obiect form pentru adaugarea unui document. Se vor efectua validari pentru integritatea cheii si pentru tipurile de date numeric si data calendaristica. Se vor preciza procedurile eveniment aferente.

90. Se da schema relatiei persoane(Nume, DataNasterii, Salariu). Sa se descrie structura unui obiect form pentru operatiile de adaugarea, stergere si modificare inregistrari. Se vor efectua validari pentru integritatea cheii si pentru tipul de date numeric si data calendaristica folosind evenimentul On error. Se vor preciza procedurile eveniment aferente. Retele de calculatoare II

91. Metoda RSA de criptare cu chei publice : criptare, decriptare, securitate, exemplificare. 92. Arhitectura OSI a securitatii : servicii si mecanisme de securitate 93. Determinarea mastii de inlocuire : definitie ; algoritm ; verificarea corectitudinii 94. Point to Point Protocol(PPP) : moduri de operare, functionalitate, parametrii de

configurare a legăturii si setarea acestora.

95. Criptosistemul El Gamal: criptare, decriptare, securitate, exemplificare. 96. Protocolul SSL Handshake - Autentificarea serverului; Autentificarea clientului 97. Metoda RSA de criptare cu chei publice aplicata intr-o retea de calculatoare, intre host-

urile A si B, in scopul realizarii serviciilor de criptare si autentificare. Aplicatie numerica : A alege nr. prime pA=2357 si qA=2251; B alege nr prime pB=137 si qB=313.

98. Se cere determinarea mastilor de inlocuire pentru toate enunturile listei de acces corespunzatoare domeniului adreselor IP cuprinse intre: 175.100.38.0/24 - 175.100.92.0/24. Se vor preciza enunturile listelor de acces si se va face verificarea corectitudinii mastilor de inlocuire obtinute

99. Metoda Rabbin de criptare cu chei publice aplicata intr-o retea de calculatoare, intre host-urile A si B, in scopul realizarii serviciilor de criptare si autentificare. Aplicatie numerica : A alege nr. prime pA=277 si qA=331; B alege nr prime pB=137 si qB=313.

100. Metoda El Gamal de criptare cu chei publice aplicata intr-o retea de calculatoare, intre

host-urile A si B, in scopul realizarii serviciilor de criptare si autentificare. Aplicatie numerica : A alege nr. prim pA=2357; B alege nr prim pB=137.