examenes anteriores 07 08 09.pdf

1PROBLEMAS DE EXAMEN RESUELTOSCURSOS 2006-2007, 2007-2008 y 2008-2009

FUNDAMENTOS FSICOS DE LA INGENIERA

E.T.S. Agrnomos UCLM (Albacete)

Equipo docente: Antonio J. Barbero, Mariano Hernndez, Alfonso Calera

2008 / 20092007 / 20082006 / 2007Problemas de exmenes ECTS del curso

CINEMCINEMTICATICA Problema 07.01 pag. 02 Problema 08.01 pag. 04 Problema 09.01 pag. 06

Problema 08.02 pag. 10 DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAA Problema 09.02 pag. 17 Problema 07.02 pag. 08

Problema 08.03 pag. 14

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICO Problema 09.03 pag. 28 Problema 07.03 pag. 22 Problema 08.04 pag. 25

ESTESTTICATICA Problema 07.04 pag. 31 Problema 08.05 pag. 32 Problema 09.04 pag. 35

Problema 07.05 pag. 38 Problema 08.06 pag. 49

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDO Problema 09.05 pag. 57 Problema 07.06 pag. 41 Problema 08.07 pag. 51


Problema 07.08 pag. 60 Problema 08.08 pag. 69 Problema 09.06 pag. 74

FLUIDOSFLUIDOS Problema 07.09 pag. 63 Problema 08.09 pag. 71 Problema 09.07 pag. 77


Problema 07.11 pag. 80 Problema 08.10 pag. 84 TERMODINTERMODINMICAMICA Problema 09.08 pag. 93

Problema 07.12 pag. 81 Problema 08.11 pag. 88

2CINEMCINEMTICATICAP07.01. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007

Un avin vuela horizontalmente a una altura h sobre el suelo, con velocidad constante v0. En cierto instante deja caer un paquete, y en ese mismo momento un tirador situado exactamente debajo del avin realiza un disparo con el ngulo y velocidad apropiados para impactar en el avin en el mismo momento en que el paquete toque el suelo. Se supone que el rozamiento es despreciable. Usando los datos numricos que aparecen abajo, se pide:a)b)c)

Determinar a qu distancia de la posicin del tirador caer el paquete.La altura del paquete sobre el suelo un segundo antes de estrellarse contra l.

Calcular con qu ngulo debe disparar el tirador, y cul ha de ser la velocidad inicial de la bala para que haga blanco en el avin.

Datos numricos: h = 500 m; v0 = 200 m/s; g = 9.8 m/s2

3CINEMCINEMTICATICAP07.01.EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIN)

X

Y

vB

h

Avin

Bala

Paquete

d

Posicin del avin como funcin del tiempotvx 0=

hy =Posicin del paquete como funcin del tiempo

tvx 0= 2 21 tghy =

Ecuacin de la trayectoria del paquete (eliminando el tiempo)

220

2

xvghy =

ghvdx y

20

)0(2===Abscisa del punto de choque del paquete con el suelo (y = 0)

222 cos2

tan xv

gxyB =

2 21 sin tgtvy BB =

tvx BB cos=

+= 2 211 sin s

sB tght

v

sB t

dv cos =

Trayectoria de la bala

s

ss

B

B

td

tght

vv

/

211

cossintan

2

+==

cos sB tdv =

3.26=

( )10 = stvx( )21

21 = stghy

Tiempo que emplea el paquete en caer al suelo:

0vdts =

Posicin del paquete 1 s antes de tocar el suelo (t = ts-1):

m 3.2020=

m 1.94=

4950.0=

m/s 2.223=

(son desconocidos , v0)Movimiento vertical de

la bala

Movimiento horizontal de

la bala

(Ntese que la bala y el paquete estn volando el mismo tiempo durante el que recorren la altura h y la distancia horizontal d)

4CINEMCINEMTICATICAP08.01. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008

Dos pequeos objetos que se encuentran en un suelo horizontal separados por una distancia de 40 m son lanzados en el mismo instante verticalmente hacia arriba con velocidades de 120 y 180 m/s. Calcular la distancia entre los dos objetos cuando el ms rpido se encuentra a la mxima altura que puede alcanzar. Si todos los datos se conocen con una precisin del 1%, calcular el error absoluto en el resultado obtenido.Para facilitar los clculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.

Objeto A: Av0

( )AB vv 00 >Tiempo invertido por B en alcanzar la altura mxima: cuando llega a la altura mxima su velocidad es nulaObjeto B:

gvt BB 0=0 0 =BB t-gv

Tomamos la posicin inicial del objeto A como origen de coordenadas.

Posicin de ambos objetos en cualquier instante

( ) ( )AA ytr ,0=r( ) ( )BBB yxtr ,=r

( ) 20 21 tgtvty AA =

( ) 20 21 tgtvty BB =

A BX

Y

( )trBAr

( )trAr ( )trBr

Bx

5A BX

Y

( )trBAr

( )trAr ( )trBr

Bx

( ) ( ) ( ) ( )ABBABBA yyxtrtrtr == ,rrr

( ) ( ) ( ) 2200222 tvvxyyxtr ABBABBBA ++=++=rDistancia AB en

cualquier instante

Cuando t = tB( ) 20 2

1 BBABA tgtvty =( ) ( ) 22002 BABBBBA tvvxtr ++=r( ) 20 2

1 BBBBB tgtvty =Clculo de errores ( ) 22002 BABB tvvxu +=Variable auxiliar

BB

AA

BB

BB

ttuv

vuv

vux

xuu

++

+= 0

00

0

BBBB

xxxxu =

2 ( ) BBABBB

vtvvvvu

02

0000

2 =

( ) ABABAA

vtvvvvu

02

0000

2 = ( ) BBABB

Bttvvt

tu =

2 200

( ) utr BBA = r ( ) uuutr BBA

= r uu

=2

1

gvt BB 0= gg

vvg

t BBB += 2001

( ) ( )m 801080 =BBA trr

Porcentaje error: 1

v 0A (m/s) = 120 1,2v 0B (m/s) = 180 1,8

x B (m) = 40 0,4g (m/s2) = 10 0,1

t B (s) = 18 0,36

r AB (m) = 1081 76

7,0%

CINEMCINEMTICATICAP08.01. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN)

6P09.01. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 CINEMCINEMTICATICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(m) X

(m) Y

jrrr 0 =

La velocidad de una partcula que se mueve en el plano XY est dada en funcin del tiempo por la relacindonde v est en m/s y t en s.La posicin para t = 0 es a) Determine la ecuacin de la trayectoria de la partcula y dibuje su grfica en el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 1 s.

jtivrrr 24 2 2+=

b) Calcule el vector de posicin y la aceleracin para t = 1 s.c) Calcule los mdulos de las componentes de la aceleracin cuando t = 0.75.

( ) jtitr rrr 81 2 3++=( ) ( ) jtyitxr rrr +=

( ) ( ) 381 2 ttyttx +==( ) ( )321 tty +=

31 xy +=Ecuacin trayectoria

a) Clculo de vector de posicin y trayectoria

( ) CdtjtiCdtvr rrrrrr ++=+= 24 2 2Cjtitrrrrr ++= 8 2 3

t (s) X (m) Y (m)0,00 0,00 1,000,10 0,20 1,010,20 0,40 1,060,30 0,60 1,220,40 0,80 1,510,50 1,00 2,000,60 1,20 2,730,70 1,40 3,740,80 1,60 5,100,90 1,80 6,831,00 2,00 9,00

0=t

1=t

25.0=t50.0=t

75.0=t

jrtrr 0 0 ==Condicin inicial:

( ) jtitr rrr 81 2 3++=jC rr =

7P09.01. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 (CONTINUACIN) CINEMCINEMTICATICA

b) Calcule vector de posicin y aceleracin para t = 1 s.

( )jtidtd rr 24 2 2+=

dtvdarr = jta rv 48=31 xy +=Ecuacin trayectoria Aceleracin( ) jtitr rrr 81 2 3++=

( ) (m) 9 2 1 jir rrr +=Posicin

( ) )(m/s 481 2ja rv =Para t = 1 sPara t = 1 sc) Calcule los mdulos de las componentes de la aceleracin cuando t = 0.75.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(m) X

(m) Y 1=t

( ) jir rrr 9 2 1 +=dtdvat =

jtivrrr 24 2 2+=

( )222 242 tv += 44 14412 7654 tt +=+=Tangencial

4

3

1441

765

t

t

+=

Para t = 0.75 s 2m/s 61.35=tajtarv 48= 2m/s 36.750 48 ==a

Normal 22 tn aaa =222 m/s 28.561.3536 ==na

75.0=t

8Un bloque de masa m1 est sujeto a una cuerda de longitud L1 fija por un extremo. Este bloque est situado sobre una superficie plana horizontal muy bien pulida, en la que el rozamiento puede considerarse despreciable, y se mueve describiendo una trayectoria circular en torno al punto de sujecin. Un segundo bloque m2 se une al primero mediante una cuerda de longitud L2, y se mueve tambin en trayectoria circular concntrica con la primera (vase esquema). Dibujar el diagrama fuerzas para cada masa y determinar la tensin en cada una de las cuerdas si el tiempo que los bloques tardan en describir una rbita completa (periodo) es T.

DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAAP07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007

L1L2

m2

m1

9DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAAP07.02. EXAMEN A1. CURSO 2006/2007 (CONT)

gm r1

1L

gm r2

2Nr

2Fr

1121 NamFFrrr =

2Nar

21

22

2222 LLvmamF N +==

1Fr

1Nar

1Nr

2Fr

222 NamFrr =

1

21

1121 LvmamFF N ==

21 LL +1L

( ) ( )21212 2 LLTLLv +=+=

1112 LT

Lv ==

amF rr =

amF rr =

[ ]

+++

= 2212

2

21

2212

2

1

11

44 LLTLL

mLTL

mF

( )[ ]2121122

14 LLmLmT

F ++=

( )21222

24 LLmT

F += 21

22

2222 LLvmamF N +==

1

21

1121 LvmamFF N ==

21

22

21

21

11 LLvm

LvmF ++=

Masa 2

Masa 1

10

DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAAP08.02. EXAMEN A1. CURSO 2007/2008

Tenemos un cajn de peso W situado sobre suelo horizontal. Pretendemos mover el cajn tirando de una cuerda enganchada en su parte anterior, que forma un ngulo con la horizontal. Los coeficientes de rozamiento esttico y dinmico entre cajn y suelo son E y D respectivamente.

a) Determinar la fuerza mnima que debe aplicarse al tirar de la cuerda de manera que el cajn empiece a moverse. Dibuje el diagrama de slido libre para el cajn a punto de moverse.

b) Si se tira de la cuerda con una fuerza 10% mayor que la calculada en el apartado anterior, determinar la aceleracin del cajn, as como el trabajo realizado por esta fuerza y el trabajo disipado por la fuerza de rozamiento cuando se haya desplazado una distancia L. Dibuje el diagrama de slido libre.

c) Repita los apartados a) y b) suponiendo que el cajn no se encuentra situado sobre suelo horizontal, sino que queremos moverlo hacia arriba en un plano inclinado sobre la horizontal. El ngulo es en este caso el ngulo que la cuerda forma con la superficie del plano inclinado..

Exprese los resultados numricos en unidades S.I. Tome g = 9.8 m/s2.

Apartados a) y b) Apartado c)

11

DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAAP08.02. EXAMEN A1. CURSO 2007/2008 (CONT)

Haremos todos los clculos necesarios siguiendo el enunciado del apartado c), cuando el cajn estsituado sobre un plano inclinado , y luego particularizaremos para el caso = 0, lo que nos darel resultado para el caso de suelo horizontal.

X

Y F

W

cosF

sinF

cosW

sinW Cuando el cajn est a punto de moverse, la fuerza de rozamiento esttica alcanza su mximo valor FRE mx

N

REF

NF ERE La fuerza de rozamiento esttica es

NF ERE =mx Aplicamos la 2 ley de Newton cuando est a punto de moverse

sincos FWN =En el eje YVase que la normal N depende de la fuerza aplicada F. Dicha fuerza F es la que debemos determinar en el momento en que el cajn est a punto de moverse. Cajn a punto de moverse

Por la relacin existente entre la fuerza de rozamiento esttica mxima y la normal tenemos que

( ) sincosmx FWF ERE =mx sincos REFWF += sincossincos FWWF EE +=

mx REF

En el eje X

Fuerza mnima a aplicar para que empiece a moverse( ) ( ) cossinsincos EE WF +=+

sincoscossin

E

EWF ++=

12


X

Y 'F

W

cos'F

sin'F

cosW

sinW

'N

RDF

Llamamos F a la fuerza que tira del cajn cuando se mueve a lo largo del plano inclinado. En este caso, las fuerzas que actan sobre l son las mismas que hemos indicado antes, con la diferencia de que la fuerza de rozamiento ahora es el rozamiento dinmico FRD en lugar del esttico, y que la normal tendr un nuevo valor N.

'NF DRD =Si se tira del cajn con una fuerza 10% mayor que la calculada en el apartado anterior, F es:

sincoscossin1.1'

E

EWF ++=

La fuerza neta en sentido ascendente (eje X) es:

sincos' WFFF RDX =

( ) sin'cos FWD =

( ) sinsin'coscos' WFWFF DX =( ) ( ) cossinsincos' DDX WFF ++=

Cajn en movimiento

WFg

gWFa XXX == /

La aceleracin aX que dicha fuerza produce a lo largo del plano inclinado (eje X) es:

( ) ( ) cossinsincos

sincoscossin1.1 DD

E

EX gga +++

+=

13

P08.02. EXAMEN A1. CURSO 2007/2008 (CONT) DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAACuando el cajn se ha movido una distancia L a lo largo del plano inclinado, el trabajo disipado por la fuerza de rozamiento es:

( )LFWLNLF DDRDdis sin'cos' ===

cot

sincoscot 1.1E

Ddis LW +

=LWE

EDdis cot

cossincos 1.1

++=

El trabajo hecho por la fuerza Fa lo largo de ese recorrido es:

tan1

cossin 1.1cos''E

EF LWLF +

+==

Fuerza mnima a aplicar para que empiece a moverseResultados cuando el cajn se mueve en un plano horizontal: entonces = 0

sincossincos0cos0sin

E

E

E

E WWF +=++=

sincos1.1'

E

EWF +=Trabajo disipado( ) WFF DDX += sincos'

WFg

gWFa XXX == /

EDdis LW

+= cotcot 1.1

Aceleracin en un plano horizontal

Trabajo realizado por F( ) ( )0cos0sinsincossincos0cos0sin1.1 DD

E

EX gga

++++=

tan1 1.1'

E

EF LW +=( ) DDE

EX gga

++= sincossincos1.1

14

Un carrito de masa 12 kg se deja caer por un rail en pendiente que conduce a un rizo circular de radio 2 m.

A) Calcule la altura h mnima desde la que debe soltarse el carrito para que recorra el rizo entero sin desplomarse, y determine qu velocidad llevar en el punto ms bajo B y en el ms alto A (3 puntos).

B) Suponiendo que la velocidad del carrito cuando alcanza el punto A es la mnima necesaria para no desplomarse, calcule la reaccin normal del rail en el punto P para el ngulo = 30indicado en la figura (2 puntos).Para facilitar los clculos, tome g = 10 m/s2. Se supone ausencia de rozamiento.

P08.03. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAA

B

A

R

B

A

RP

h

g (m/s2) = 10 v A min (m/s) = 4,47m (kg) = 12 v B min (m/s) = 10,00R (m) = 2 h min (m) = 5,00 () = 30 N P min (N) = 48,23

Resultados numricos (vase solucin del problema en hojas siguientes)

15

DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAAP08.03. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 (CONT)

B

A

Rh

Tomamos como referencia de energas potenciales el plano donde se encuentra el punto B.

2

21

Bmvmgh =

( )Rmgmvmv AB 221

21 22 +=

Conservacin de la energa

Entre la posicin inicial y B

Entre A y B

B

A

R

mg

AN

CAF

2

21

Bvgh =

gRvv AB 221

21 22 +=

En este momento no son conocidos ni h, ni vA ni vB

DSL del carrito en el punto A

AA

CA NmgRmvF +==

2

Esta ecuacin indica que a menor velocidad, menor debe ser la reaccin normal del rail. Y puesto que el valor mnimo posible de la reaccin normal es cero, hacer NA = 0 nos da la condicin de velocidad mnima necesaria.

mgR

mvF ACA ==2

minmin gRvA =2 min gRvA =min

gRvv AB 42

min2

min += gRvB 5min =

2minmin 2

1Bvg

h =2

5min

Rh =

16

DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAAP08.03. EXAMEN B1. CURSO 2007/2008 (CONT)

B

A

R

P

cosmg

sinmg

mg

PN

cosR

( )cos1RP

PCP NmgR

mvF +== cos2

( )cos121

21 22 += mgRmvmv AP

Estudio en el punto PFuerza centrpeta en P

Conservacin energa entre A y P

( )cos1222 += mgR

mvR

mv APMultiplicando ambos miembros por 2/R CPF=

( ) PA NmgmgRmv +=+ coscos12

2

( ) coscos122 mgmgR

mvN AP += ( )cos322

+= mgR

mvN AP

( )cos322 minmin += mgRmvN APSegn el enunciado, debe calcularse NP para vA = vAmin

( ) ( ) cos13cos32min =+= mgmgmgNPgRvA =minNtese que cuando = 0 estamos en el punto A (P = A) y entonces NAmin = 0.

17

Una partcula de masa m = 50 g resbala partiendo del reposo a lo largo de un tramo de pista circular AB sin rozamiento cuyo radio es R1 = 40 cm. El ngulo que indica su posicin inicial es 0 = 45 (vase figura). Cuando llega al punto B se encuentra sobre un tramo horizontal cuya longitud es L = 50 cm y donde el coeficiente de rozamiento dinmico es = 0.08 (tramo BC de la figura). Finalmente entra en otro tramo de pista circular CD sin rozamiento y de radio R2 = 30 cm Calcule a partir de argumentos de trabajo y energa, y explicando siempre los pasos intermedios que sea oportuno realizar, los valores de las siguientes magnitudes:

1R2R

A

B C

Dm

0

1R 2R

a) Cul es el valor del ngulo cuando la partcula se detiene en el tramo CD (punto E de la figura).

b) Determine si la partcula llega o no al punto B despus de alcanzar el punto E. En caso afirmativo, calcule la velocidad que lleva en ese momento.

Ec) En caso de que la respuesta del apartado anterior sea que la partcula efectivamente alcanza el punto B en su viaje de regreso, calcule en qu posicin a la derecha de Bse detendr finalmente.

P09.02. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAA

Apartado a)Tramo AB

1RA

B

m0

( )01 sin1 R

No hay rozamiento, por lo tanto cuando la partcula resbala en este tramo hacia abajo la energa potencial inicial (medida respecto al nivel del tramo horizontal BC) se convierte en energa cintica.

( )01 sin1 = RgmUK = ( )inicialBinicialB UUKK =

0 0

inicialB UK =

18

1R2R

A

B C

Dm

0

1R 2R

E

Tramo BC Existe una fuerza de rozamiento dada por gmNFR ==

RF

gm

N

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energa

KWexteriores = desplazamientoApartado a)

P09.02. EXAMEN A1. CURSO 2008/2009 (CONT) DINDINMICA/TRABAJO Y ENERGMICA/TRABAJO Y ENERGAA

Ni el peso ni la normal contribuyen al trabajo de las fuerzas exteriores Wexteriores, porque ambos son perpendiculares al desplazamiento. Slo contribuye el trabajo de la fuerza de rozamiento, que es negativo por su sentido opuesto al desplazamiento.

Rexteriores WW = LgmLFR == BC KKK ==

( )01 sin1 = RgmKB

LgmKK BC =( ) LgmRgmKC sin1 01 =

Tramo CD La partcula llega hasta el punto E, lo cual supone que se eleva una altura ( )sin12 RLa energa cintica en C se va convirtiendo en energa potencial a medida que sube.

UK = ( )CECE UUKK = CEKU =0 0 ( ) LgmRgm sin1 01 =

( )sin1 2 = RgmU E2

sin1Rgm

U E= ( )

2

01 sin11sinR

LR =

19


Apartado a) ( )2

01 sin11sinR

LR = 48=Valores numricosUnidades SI

m (g) = 50,0 0,05R 1(cm) = 40,0 0,40

R 2 (cm) = 30,0 0,30L (cm) = 50,0 0,50

0 () = 45,0 0,7854 = 0,08 0,08

g = 9,80

K B = 0,0574W R = 0,0196K C = 0,0378

sin = 0,7428 () = 48,0 0,8373

La energa cintica en B es igual a la energa potencial inicial (KB = 0.0574 J). Vase que el trabajo de rozamiento a lo largo del tramo BC consume WR = 0.0196 J: esta es la prdida de energa que sufrir la partcula cada vez que atraviese este tramo. Por lo tanto, la energa cintica en C la primera vez que la partcula llega all es KC = 0.0574-0.0196 = 0.0378 J.

Lo que ocurre una vez que la partcula llega a C: su energa cintica se va convirtiendo en energa potencial, hasta que su energa cintica se reduce a cero en el punto E. A partir de ah la partcula retrocede hasta llegar de nuevo a C, reconvirtiendo en energa cintica la energa potencial, y desde C en adelante, hace el camino CB (en sentido inverso al de antes) sometida de nuevo a la fuerza de rozamiento.

20


Apartado b) Para saber si la partcula vuelve a alcanzar el punto B, hay que calcular la energa cintica que tendr la segunda vez que pase por el mismo, aplicando de nuevo el teorema del trabajo y la energa e iguales consideraciones que en el apartado anterior.

Rexteriores WW = LgmLFR == ''' CB KKK ==(Si al hacer dicho clculo el valor resultase negativo, esto indicara que no se alcanza el punto B)

( ) LgmRgm sin1 01 =CC KK ='donde( ) LgmRgm 2sin1 01 =LgmKK CB '' =

Conclusin: La partcula alcanza de nuevo el punto B en su viaje de vueltaJ 0182.0

' +=BKSustituyendo numricamente resulta

Velocidad que lleva la segunda vez que pasa por B:

1R2R

A

B C

Dm

0

1R 2R

ERF

gm

N

desplazamiento

( )01 sin1 = RgmKB( ) LgmRgmKB 2sin1 01' =

mKv BB

'' 2= m/s 85.0=2''

21

BB vmK =

21


Apartado c) Una vez la partcula sobrepasa B, en su movimiento ascendente por la pista de radio R1 sin rozamiento no se disipa energa, por lo que cuando regrese una tercera vez al punto B , ahora dirigindose hacia el punto C, su energa cintica seguir siendo

J 0182.0''' +== BB KKVase que este valor numrico es menor que el de la energa disipada por rozamiento en un trayecto completo BC (WR = 0.0196 J), lo que nos indica que la partcula se detendr antes de llegar a C.Para calcular en qu punto se detiene, aplicamos de nuevo el teorema del trabajo y la energa, siendo x la posicin a la derecha del punto B en que la partcula queda en reposo.

''' BfinalBfinalfinalR KKKKxgmW ===

0 0

1R2R

A

B C

Dm

0

1R 2R

E

gm

RFN

desplazamiento

( )01 sin1 = RgmKB( ) LgmRgmKB 2sin1 01' =

xSe detiene aqu

'

gmKx B= m 46.0=

22

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICOP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007

0L

L

AM

M

(a) (b) (c)

Se dispone de un muelle de longitud natural L0 = 20 cm -figura (a)-. Cuando una masa M = 400 g se cuelga del muelle, su longitud se incrementa en L = 50 cm figura (b)-. Finalmente, la masa colgante se hace oscilar despus de haber estirado el muelle una longitud A = 20 cm figura (c)-. Conteste las siguientes preguntas:

Cul es la constante del muelle?Calcular el periodo de la oscilacin.Calcular la posicin de la masa 6.98 s despus de comenzar las oscilaciones.Calcular el periodo de oscilacin si se hubiese colgado la misma masa M de dos muelles idnticos a ste colocados paralelamente entre si.

a)b)c)

d)

0.5 p0.5 p

1.0 p

2.0 p

23

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICOP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONT)

Ley de Hooke: LkF =L

Mgk =

Mg

F

MgF

a)

= N/m 125.640.08.925.0 ==

2a ley de Newton:

kMT 2= s 27.1

125.625.02 == c) ( ) += tAy cos m 10.0=A

Mk= rad/s 95.4

25.0125.6 ==( )ty .954cos1.0

b)=

Elegimos t = 0 cuando y = A ( ) m 01.098.6.954cos1.0 ==y Ay =lo cual implica = 0d) 2a ley de Newton: MaMgFF =++ 21

(Los muelles son idnticos)

Ley de Hooke: ykF 1 = ykF 2 =

Mgykdt

ydM += 222

gyMk

dtyd += 22

2

24

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICOP07.03. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 (CONT)

M

1F 2F

Ecuacin de la oscilacin con dos muelles:

y gyMk

dtyd =+ 22

2

am

Escribamos la ecuacin como

La solucin de esta ecuacin es

gydt

yd =+ 222

donde

2Mk=

( ) ++= tAgk

My cos2

El periodo es 2

22'k

MT == s 0.90

125.6225.02 ==

La pareja de muelles idnticos en paralelo se comporta como un nico muelle de constante 2 k.

Mg

25

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICOP08.04. EXAMEN A2. CURSO 2007/2008

En el laboratorio de fsica se dispone de los siguientes equipos: 1) Un pndulo simple consistente en una lenteja, que puede tratarse como masa puntual, sujeta del techo por un hilo inextensible de longitud L. 2) Un bloque de masa M que puede desplazarse oscilando horizontalmente sobre un carril sin rozamiento, que est unido a un resorte ideal de constante k.El pndulo se separa un ngulo 0 de la vertical, y el bloque sujeto por el muelle se separa una distancia x0 de su posicin de equilibrio. Ambos se liberan en el mismo instante iniciando las respectivas oscilaciones.

a) Cul debe ser la masa de la lenteja del pndulo para que la energa total de los dos osciladores sea la misma?.

b) Suponiendo que la masa del pndulo es la que verifica la solucin correcta del apartado anterior, calcular (en m/s) la velocidad de la lenteja y del bloque cuando ambos pasan por su posicin de equilibrio.

c) Cul es la tensin del hilo del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio?

Valores numricos

g (ms-2) = 9,8L (m) = 2,25 0 () = 5

M (kg) = 0,125k (N/m) = 20

x 0 (m) = 0,05

26

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICOP08.04. EXAMEN A2. CURSO 2007/2008 (CONT)

20

20

Lgxkm =

Ecuacin del movimiento del bloque Ecuacin del movimiento del pndulo

txtx cos)( 0= Mk=2 tt cos)( 0= L

g=2

txtx sin )( 0=& tt sin )( 0=&tLtLtv sin )( )( 0== &

Vel. angularVelocidad

Velocidad

La velocidad es mxima al pasar por la posicin de equilibrio, cual sucede por primera vez cuando 1sin 2/ 4/ === ttTt

0 xxmx =& 0 Lvmx =Velocidad mxima Velocidad mximaEnerga total: tomando el nivel cero de energa potencial en el punto de equilibrio, la energa total coincide con la energa cintica correspondiente a la velocidad mxima.

20

22 21

21 xMxME mxtotal == & 20222 2

121 LmvmE mxtotal ==

20 2

1 xkEtotal =Mk=2

Lg=2 20 2

1 LgmEtotal =

27


(b) Clculo de las velocidades al pasar por la posicin de equilibrio (hecho en el anlisis anterior)

txtx sin )( 0=& tLtLtv sin )( )( 0== &Bloque Pndulo

VelocidadVelocidad

0 xxmx =& 0 Lvmx =Velocidad mxima Velocidad mxima

Mk=2

Lg=2

Mkxxmx 0=& 0 Lgvmx =

(b) Bloque

20

20

Lgxkm =(a)

(b) Pndulo

( )20 1 += gmT(c)

Mkxxmx 0=&

0 Lgvmx =

0,298

0,632

0,410

2,94

(kg)

(m/s)

(m/s)

(N)DSL

L

(c) Tensin del hilo del pndulo cuando pasa por la posicin de equilibrio

mxvr

Tr

gmr

CFr

Lvm mx

2 =CFmgT = LLm 20

22 =

( )20 1 += gmT

28

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMNICONICOP09.03. EXAMEN A2. CURSO 2008/2009

Dos pndulos simples de la misma longitud L que cuelgan de un eje horizontal se separan de la vertical los ngulos 10 y 20 en sentidos contrarios segn se muestra en la figura, y despus se liberan al mismo tiempo de modo que pueden oscilar libremente. Tmese la aceleracin de la gravedad g = 9.80 m/s2. a) Determinar el periodo de los pndulos y escribir la ecuacin = (t) para cada uno. b) Calcular la velocidad angular de cada pndulo cuando pasa por la vertical. c) Si la masa del pndulo 1 es m, calcular la tensin del hilo cuando el pndulo pasa por la vertical.

10 20

20

10

1

2 12

Datos numricosg 50 8 10 mm 559 A 2010 ==== mL g 40 8 10 mm 993 B 2010 ==== mL g 50 10 12 mm 1551 C 2010 ==== mL g 40 10 12 mm 2234 D 2010 ==== mL

ngulos negativos ngulos

positivosngulos negativos

ngulos positivos

Vista de frente

29


gLT 2=

TLg 2==

a) Ambos pndulos tienen pequea amplitud (< 15), por lo que puede considerarse con buena aproximacin que su movimiento es armnico simple.

( ) ( )110 1 cos += tt

A B C DT (s) = 1,50 2,00 2,50 3,00

(rad/s) = 4,19 3,14 2,51 2,09 10 () = 10 10 12 12

10 (rad) = 0,1745 0,1745 0,2094 0,2094 20 () = 8 8 10 10

20 (rad) = 0,1396 0,1396 0,1745 0,1745( ) tt cos10 1 =( ) 101 0 0 ==t 0 1cos cos 11110 10 ===

( ) tt cos20 2 =( ) ( )220 2 cos += tt ( ) ( ) += tt cos20 2 ( ) 202 0 0 ==t rad 1cos cos 22220 20 ===

Cuando pasa por la vertical t = T/4b) Velocidad angular

( ) ( ) 10 10 1 1 4 2sin4/4/ =

== T

TT

dtTd &

( ) ( ) 20 20 2 2 4 2sin4/4/ =

== T

TT

dtTd &

( ) ( ) ttdt

td sin10 1 1 == &( ) tt cos10 1 =( ) ( ) tt

dttd sin20 2 2 == &( ) tt cos20 2 =

A B C D-0,7308 -0,5483 -0,5265 -0,4387

0,5846 0,4386 0,4387 0,3656

( ) 10 1 4/ =T&( ) 20 2 4/ =T&

30


c) Tensin del hilo

L

m

F

mg

Lv = 11 &

CF

LvmmgFFC

21==

( )LvgmF += 21 A B C D

-0,4085 -0,5445 -0,8165 -0,98

0,4947 0,4038 0,5417 0,4778)N(F

)m/s(1v

31

ESTESTTICATICAP07.04. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007

Una varilla rgida de longitud L = 1.80 m y masa M = 6 kg est unida a una articulacin (punto O de la figura). La varilla se mantiene inclinada mediante un cable de acero unido a la pared. Los ngulos entre el cable, la varilla y la pared son 1 = 60 y 2 = 50respectivamente. Un contrapeso m = 4 kg cuelga del extremo opuesto de la varilla. a) Dibuje el diagrama de slido libre para la varilla (2 p).b) Calcular la tensin en el cable y las componentes rectangulares de la reaccin en el punto O (2 p). M

12

mL

O

290 22

1

OMg

mg

T

xRyR

X

Y

DSL

21180 =

180

180

1180

L

( ) ( ) ( ) 0180sin180sin180sin2 1

=+= TLmgLLMgOgmMT

2

sinsin

1

+=

( ) 090cos 2 == TRF xx gmMRx 2 sinsin sin 1 2 += ( ) 090sin 2 =+= mgMgTRF yy

( ) gmMgmMRy 2sincos sin

1

2

++=

N 2.50 N; 0.57 N; 4.74 === yx RRT

32

Un tambor de radio r que une simtricamente dos cilindros de radio R lleva arrollado un hilo del cual se tira horizontalmente segn se muestra en las figuras. El conjunto de tambor y cilindros est colocado sobre una plataforma plana y apoyado sobre un escaln de altura h. El peso del conjunto es W, y se supone que el hilo arrollado sobre el tambor no se desliza cuando se somete a tensin. Se pide:a) Calcule el ngulo que forma con la horizontal la fuerza que el escaln hace sobre el slido.

Determine el valor de la reaccin normal de la plataforma sobre el slido cuando la tensin del hilo es T newton.

b)

c) Calcule qu tensin mnima hay que aplicar al hilo para que el slido remonte el escaln.

ESTESTTICATICAP08.05. EXAMEN A3. CURSO 2007/2008

R

r

hh

A B C D/Er (m) = 0,15 0,05 0,08 0,05R (m) = 0,30 0,10 0,10 0,12h (m) = 0,05 0,01 0,04 0,04

W (kp) = 0,200 0,200 0,200 0,200T (kp) = 0,050 0,050 0,050 0,050

Valores numricos

33

ESTESTTICATICAP08.05. EXAMEN A3. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN)a) Calcule el ngulo que forma con la horizontal la fuerza que el escaln hace sobre el slido.

Se trata de un sistema plano de fuerzas concurrentes que proceden de tres direcciones distintas (la vertical, la horizontal y la direccin de la fuerza que el escaln aplica sobre el slido). Por tanto, habr equilibrio esttico cuando las tres direcciones sean concurrentes: el punto comn es la parte superior del tambor, y a partir de ah determinaremos la direccin de la fuerza F aplicada por el escaln sobre el slido.

R

r

h

T

yF

xF

F

W

N

R

r

h

R

hR

r

L

LhRr +=tan

RhR =cos

Punto de concurrencia

sinRL = 2cos1= R ( ) 22 /1 RhRR = ( )hRhRR += 2222 22 hhR =

+=

21

2tan

hhR

hRr22tan hhRhRr

+=

34

ESTESTTICATICAP08.05. EXAMEN A3. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN)

R

r

h

T

yF

xF

F

W

N

Determine el valor de la reaccin normal de la plataforma sobre el slido cuando la tensin del hilo es T newton.

b)

0=+ XFT0=+ WNFY

TFX =NWFY =

tanXY FF =

TNW tan = TWN tan =

Calcule qu tensin mnima hay que aplicar al hilo para que el slido remonte el escaln.

c)

a)b)

c)

A B C D/E Fr (m) = 0,15 0,05 0,08 0,05 0,05R (m) = 0,30 0,10 0,10 0,12 0,15h (m) = 0,05 0,01 0,04 0,04 0,06

W (kp) = 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200T (kp) = 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050

W (N) = 1,960 1,960 1,960 1,960 1,960T (N) = 0,490 0,490 0,490 0,490 0,490

(rad) = 1,1778 1,2690 1,0517 0,9682 0,8622 () = 67,5 72,7 60,3 55,5 49,4N (N) = 0,778 0,386 1,103 1,248 1,388

N (kp) = 0,079 0,039 0,113 0,127 0,142T min (N) = 0,813 0,610 1,120 1,349 1,680T min (kp) = 0,083 0,062 0,114 0,138 0,171

El slido remonta cuando el mdulo de la normal es nulo (en ese momento la componente vertical de la fuerza Fequilibra al peso)

tan minWT =

35

ESTESTTICATICAP09.04. EXAMEN A3. CURSO 2008/2009

Una pesa W = 0.50 kp est colgada de una anilla A sujeta por un muelle AB y un cable AC. El muelle sin tensin tiene una longitud natural l0 = 32 cm, mientras que cuando sujeta la anilla en la situacin mostrada en la figura 1.a su longitud es l = 36 cm. El cable AC es inextensible y su longitud es d = 40 cm. La anilla se encuentra situada una altura h = 20 cm por debajo de la lnea horizontal BC. Se pide:a) Determinar la tensin del cable AC y la constante elstica del muelle (en N/m).b) Si la misma pesa W se cuelga de la anilla segn muestra la figura 1.b, habiendo reemplazado el cable AC por un muelle idntico al AB de tal manera que la anilla est ahora a una distancia h = 25 cm por debajo de los puntos de fijacin de ambos muelles cul ser ahora la longitud de cada muelle y qu ngulo forman entre s?

W

C

hl

d

Figura 1.a

h

Figura 1.b

W

36

ESTESTTICATICAP09.04. EXAMEN A3. CURSO 2008/2009 (CONTINUACIN)

h

Cld

( )0llkF =

W

F

T

1 2

X

Ylh=2sindh=1sin

Apartado a)

conocidos , 21

= dh1

1 sin

= lh1

2 sin

Datos Wlldh , , , , 0

0sinsin 21 =+= WFTFY 0coscos 21 =+= FTFX 0cossinsincos 2111 =+ FT

12111 cossincossincos =+ WFT( ) 12121 cossincoscossin =+ WF

( ) 121 cossin =+ WFUna vez obtenido el valor de F, la constante elstica del muelle se determina de ( ) ( )21

1

0 sincos

+= ll

Wk

( )211

sincos

+= WF Unidades sistema internacionalA B C D A B C D

h (cm) = 20 20 20 20 0,20 0,20 0,20 0,20d (cm) = 40 40 40 40 0,40 0,40 0,40 0,40l (cm) = 36 36 36 36 0,36 0,36 0,36 0,36

l 0 (cm) = 32 32 32 32 0,32 0,32 0,32 0,32W (kp) = 0,50 0,40 0,30 0,20 4,90 3,92 2,94 1,96

1 (rad) = 0,5236 0,5236 0,5236 0,5236 1 () = 30,00 30,00 30,00 30,00

2 (rad) = 0,5890 0,5890 0,5890 0,5890 2 () = 33,75 33,75 33,75 33,75F (N) = 4,73 3,79 2,84 1,89

k (N/m) = 118,3 94,6 71,0 47,3T (N) = 4,54 3,63 2,73 1,82

Wlldh , , , , 0

( )212

sincos

+= WT

37

P09.04. EXAMEN A3. CURSO 2008/2009 (CONTINUACIN) ESTESTTICATICAApartado b) Se pideDatos ,lWlkh , , , 0

Ahora la fuerza en cada muelle es la misma, dada la simetra del problema. Sea F dicha fuerza.

h

W

Suma de fuerzas en el eje verticall

lF F ( ) 02/ cos2 = WF

2/-90

( )0llkF =

Geometra del problema

( )lh=2/-90sin

Ecuacin del muelle

( )lh=2/cos (*)

Sustituyendo las ecuaciones (*) y (**) en la suma de fuerzas en el eje vertical ( )(**)

02 0 = W

lhllk

hkW

lll

=

20 l

hkWll = 20 021 lhk

Wl =

02

2 lWhk

hkl =

A B C D Unidades sistema internacionalh' (m) = 25 25 25 25 A B C D

h' (m) = 0,25 0,25 0,25 0,25l 0 (m) = 0,32 0,32 0,32 0,32

k (N/m) = 118,3 94,6 71,0 47,3W (N) = 4,90 3,92 2,94 1,96l' (m) = 0,35 0,35 0,35 0,35

cos(/2) = 0,7165 0,7165 0,7165 0,7165 (rad) = 1,5440 1,5440 1,5440 1,5440 () = 88 88 88 88

Wlkh , , , 0h (cm) =

( )lh=2/cos

( )02

22/coslk

Whk=

Puesto que

= 0

1

22cos2

lkWhk

38

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007

El mecanismo dibujado en la figura se compone de dos barras rgidas, cada una de ellas de la misma longitud L = 25 cm. La barra AB gira en torno a la rtula A con velocidad angular AB = 0,50 rad/s. La barra BC se une a la barra AB y puede girar en torno al extremo B, mientras que el extremo C desliza sobre el suelo. En el instante representado en el dibujo, los ngulos son 1 = 60 y 2 = 50 . Se pide:

a) La velocidad del punto B, vB, y el ngulo formado por vB con la horizontal. 2 p

4 pb) La velocidad angular de la barra BC, BC, y la velocidad del extremo C, vC.

AC

AB

LL

1

2

B

39

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIN)

a) Clculo de la velocidad vB y del ngulo formado por vB con la horizontal.

Definicin producto escalar:

A

AB

L

1

B

ABABAB rvv /rrrr +=

( ) ( )11 sincos 0 jiLkv ABB rrrr ++=Varilla AB

ABr /r

( )11/ sincos jiLr AB rrr += jrir

kr

0=Avr

( )kABAB rr = ( )11 cossin jiLv ABB rrr =( ) jik rrr = ( ) ijk rrr = Vase que

Bvrir

11 cossin ji rr

( ) cos cossin cossin 1111 ijiiji rrrrrr =( )

ijiiji rrrrrr

cossin cossincos

11

11

=

1sincos = ( )190cos = 190 =

40

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.05. EXAMEN B1. CURSO 2006/2007 CONTINUACIN)

b) Clculo de la velocidad angular BC y de la velocidad vC.

( )0cossin

00cossin 11

LL

kjijiLiv BCABC

+=

rrrrrr

BCBCBC rvv /rrrr +=

Sabemos que:( )11 cossin jiLv ABB rrr = ( ) sincoscossin 11 LjLijiLiv BCBCABC rrrrr ++=BCr /

rVector Esta ecuacin vectorial corresponde a dos

ecuaciones escalares, una por componente:

C

L2 Bv

r

BCr /r

Cvr

BC

kBCBCrr =

A

AB

L

1

B

jr

ir

kr

190 9021 +

( ) ( )( )90cos90sin 2121/ ++= jiLr BC rrr

Aunque no sepamos sus valores, podemos escribir la velocidad angular y la velocidad de Ccomo:

ivv CCrr =

BC y vC son las cantidades

a calcular. C desliza sobre el suelo

1sincos LLv ABBCC =1cossin LL ABBC =

( )90sincos

sincos

21

11

+==

ABABBC

+= 11 sincossincos

Lv ABC( )( )

++

+= 1121

21 sincos90sin90cos

Lv ABC

( ) cossin / jiLr BC rrr =9021 += Lets call

41

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007

Una varilla rgida y delgada de longitud 2L = 180 cm est formada por dos mitades homogneas hechas de materiales diferentes, cuyas densidades lineales respectivas son A = 8 kg/m y B = 12 kg/m. La varilla se cuelga por sus extremos mediante unos hilos, segn se muestra en la figura. Se pide:a) Determinar la posicin del CM de la varilla (1 p)

b) Determinar la tensin de cada uno de los hilos usados para colgar horizontalmente lavarilla (1 p)c) Determinar el momento de inercia respecto al punto A (1 p)

d) Suponiendo que en un momento dado se corta el hilo B, determinar la velocidad angular y la aceleracin angular de la varilla cuando el ngulo entre la varilla y la horizontal es 45 (2 p).

A B

LL

A B

42

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.06. EXAMEN A2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIN)

A B

0=x LLA B

CMx

mg

AT BT

Apartado a) Puesto que las dos mitades son homogneas, las respectivas posiciones de los centros de masas sern

2/LxA = 2/3LxB =

Masa de cada mitad:

Posicin del CM del conjunto:

Lm AA =Lm BB =

BA

BBAACM mm

xmxmx ++=

( ) ( )BA

BACM mm

LmLmx ++= 2/32/ ( ) ( )LL

LLLLxBA

BACM

++= 2/32/

23 Lx

BA

BACM

++=

Masa total: ( )Lm BA +=

Y

02 =+= LTxmg BCMA LxmgT CMB 2 =0 =++= BAy TTmgF = Lxmg CM21 BA TmgT =

( ) gLT BAB 341 +=( )

+++=

BA

BABAB gLT

341

++=

BA

BACM

Lx

3

41

2 ( )

+++=

BA

BABAA gLT

3411 [ ] gLT BAA 3 4

1 +=

43


Apartado b) Momento de inercia respecto de A

A

LL

A B

0=x

A B

L

LB

L

Axx

2

3

0

3

3

3

+

= ( )333 8

31

31 LLL BA +=

( ) 73

3

BAALI +=

mg

CMx

90

( ) 90sin ACMA Imgx ==

'AT

cos

A

CM

Imgx =

( )Lm BA +=2

3 LxBA

BACM

++=

( ) ( )

cos 23

73

3 gLL

L BABABA

BA

+

++

+=

Lg

BA

BA

2cos3

73

++=

mg

dx

x

dxdm =

+= LL

B

L

AA dmxdmxI

2

2

0

2 += LL

B

L

A dxxdxx

2

2

0

2

Apartado c) Aceleracin angular y velocidad angular

Cortando el hilo B, la varilla cae rotando alrededor de A.

44


Regla de la cadena

Lg

BA

BA

2cos3

73

++=

dtd

Lg

BA

BA =

++=

2cos3

73

dd

dtd

dd ==

++= 00

cos23

73 d

Lgd

BA

BA d

Lgd

BA

BA

2cos3

73

++=

sin

23

73

Lg

BA

BA

++=

sin23

732

Lg

BA

BA

++=

x CM (m) = 0,9900

T A (N) = 97,02T B (N) = 79,38

I A (kg m2) = 22,36

(rad s-2) = 5,52 (rad/s) = 2,35

A (kg/m) = 8,00B (kg/m) = 12,00

L (m) = 0,90g (m s-2) = 9,80

() = 45 (rad) = 0,7854

SOLUCIN NUMRICA

45


La figura muestra un disco de radio 3R, con cuatro agujeros circulares, cada uno de radio R. Estos agujeros estn distribuidos como se indica en la figura. La densidad superficial del disco es (kgm-2). El disco se mueve sobre suelo horizontal. Conteste a las siguientes preguntas para los valores numricos dados abajo:a) Calcular el momento de inercia Izz del disco, donde Z es el eje perpendidular que pasa a travs de su centro de simetra (no se muestra en la figura). (2 p)

b) La velocidad angular inicial del disco cuando entra en contacto con el suelo es 0 en sentido horario, mientras que la velocidad lineal del CM es nula. El coeficiente de rozamiento dinmico es . Dibuje el DSL teniendo en cuenta las fuerzas externas que actan sobre el disco, y calcule: el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizar, la velocidad del centro de masas y la velocidad angular del slido en el momento en que empieza la rodadura (4 p).

Halle los resultados numricos de las cuestiones anteriores:R = 14,7 cm, = 50 kgm-2, 0 = 0,60 rad/s, = 0.15

46

SSLIDO RIGIDOLIDO RIGIDOP07.07. EXAMEN B2. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIN)

Z normal al plano, no se muestra en el dibujo

Momento de inercia de un disco (densidad superficial, radio a)Respecto a un eje normal que pasa por su centro de simetra (Izz) ( ) 42 2

1)(21 aRadioMasaI zz ==

1. Disco macizo de radio a = 3R, densidad superficial = . En nuestro problema tenemos discos de dos tipos:( ) 441 2

813 21 RRI zz ==

Los agujeros estn dispuestos simtricamente alrededor del centro de simetra del disco, la distancia entre cada centro de agujero y el centro de la figura es 2R.

42 2

1 RI zz =Momento de inercia de cada agujero respecto al eje perpendicular que pasa por su propio centro:

Hay que calcular el momento de inercia de cada agujero respecto al eje Z que pasa por el centro de simetra. Aplicamos el teorema de Steiner:

( )( ) 4222'2 292 RRRII zzzz =+=( ) 441 2

813 21 RRI zz ==( )( ) 4222'2 292 RRRII zzzz =+=

Eje Z 44'22 245

294

2814 RRIII zzzzzz =

=+=

3R

2R

R2R

2R

4 245 RI zz =

2. Cuatro agujeros que se tratarn como discos de radio a = R y densidad superficial = -.

47


t > 0, pero antes de rodar sin delizar

Situacin inicial

)(tr

C

( ) ( )jRkvC rrr = 300 ( )iR r= 03Situacin inicial:

X

Y

Z

( )kr0

( )jR r 3

Esto significa que el punto C se mueve inicialmente hacia la izquierda, luego la fuerza de rozamiento dinmica se dirige hacia la derecha.

00 =CMvr

2a Ley de Newton:

CM

CMRx amFFrrr == gaCM =

iamigm CMrr

=0Cv

rRFr

( ) rrrr 3 CMRCM IFjR ==Rotacin del disco:k

IRgm

CM

rr 3 =( ) rrr 3 CMIigmjR =

CMIRgm 3 =

El momento de inercia ICM es el mismo IZZ calculado antes, ya que nuestro disco es una figura plana; la aceleracin angular es entonces:

donde la masa m es ( ) 222 5 43 RRRm ==

La velocidad angular decrece mientras la velocidad del centro de masas se incrementa

r4

245 RII zzCM ==

( )( )

y el momento de inercia es

kRg rr

3 2 =4

2

2/45 5 3

RRgR

=

Rg

3 2=

RFr

Antihorario

48


Ecuaciones de traslacin y rotacin tgtatv CMCM )( == tRgtt

3 2 )( 00

==

t > 0, pero antes de rodar sin deslizar

)(tr

RFr

r)(tvCM

Condicin de rodadura Rttv ffCM 3)()( =

ff tRRgRtg 3

3 23 0

=g

Rt f 0

=

Cuando comienza la rodadura tenemos:

ffCMfCM tgtatv )( == 0 R=

fff tRgtt

3 2 )( 00

== 03 1 =

4 245 RI zz =

Rg

3 2 =

R = 14,7 cm, = 50 kgm-2, 0 = 0,60 rad/s, = 0.15SOLUCIN:IZZ = 1.65 kgm2 = 6.67 rads-2 tf = 0.060 s vCM(tf) = 8.8210-2 m/s (tf) = 0.20 rad/s

49


Un disco homogneo de radio R y masa M rueda sin deslizar hacia abajo en un plano inclinado de ngulo que tiene una ranura, segn se muestra en la figura. El disco va montado sobre un eje concntrico de radio r y masa muy pequea.

a) Determine la aceleracin del CM y la aceleracin angular del disco.b) Calcule la fuerza de rozamiento entre el eje y el plano inclinado.c) Calcule la velocidad angular del disco cuando haya recorrido una

distancia L a lo largo del plano, suponiendo que parti del reposo.

g (ms-2) = 9,8 () = 30

M (kg) = 1,25R (m) = 0,40r (m) = 0,05L (m) = 1,50

Valores numricos

R

r

Apartado a)

Mg

N

RF

CMR aMFMg sin =

CMa

CMR IrF =(Paralelamente al plano inclinado)Traslacin:

Rotacin: (Sentido horario)

raCM =Rueda sin deslizar:Momento inercia: 2

21 RMICM =

rIF CMR

= 22 21

raRM CM=

CMCM aMarRMMg

21sin 2

2=

(La masa del eje es despreciable)

sin2

1 22

gar

RCM =

+ ( )22 2/1 sin rRgaCM += ( )rRr graCM 2/sin2+==

50


Apartado b) Fuerza de rozamiento.

CMR IrF =A partir de la ecuacin de rotacin y los resultados anteriores

( )22 2/1 sin rRgaCM +=

( )rRr graCM 2/sin2+== r

IF CMR =

2

raI CMCM=

( )2/sin21 222 Rr gMRFR += sin2 222

MgrR

RFR +=

Apartado c) Velocidad angular cuando ha recorrido la distancia L a lo largo del plano inclinado

Es un movimiento uniformemente acelerado, calculamos primero la velocidad del CM:

( )2/sin2 22 Rr gL+= ( )22 2/1 sin2 rRgL+= Lav CMCM 2= 22 r Larv CMCM ==

a CM (ms-2) =

(rads-2) =F R (N) =

v CM (m/s) = (rad/s) =

0,152,975,940,67

13,35

A B C D E

0,214,20

16,800,92

18,33

0,091,90

10,250,62

12,32

0,102,039,750,459,01

0,071,344,830,458,97

Solucin numrica

51


Un cilindro hueco y homogneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ngulo sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide:

a) Determinar la aceleracin del CM y la aceleracin angular del cilindro.b) Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el

plano inclinado y la velocidad angular del slido en ese instante.c) Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P

indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

Rr

PX

Y

B

A

L

Posicin del CM al inicio del movimiento

r

R

52


Rr

X

Y

mg

RF

sinmgCMR amFgm sin =

IRFR = RIFR

=

Apartado a) Fuerzas que intervienen en el movimiento a lo largo del plano (en rojo)

CMa

Sea m la masa (desconocida) del

cilindro hueco

I es el momento de inercia respecto al eje principal de

simetra que pasa por el CM

CMamRIgm sin =

( )2221 rRmI +=

Rueda sin deslizar:

R

aCM=Momento de inercia respecto a su eje principal de simetra de un cilindro hueco de radios r y R:

( ) 22221 RarRmRI CM+= CMamRr 121 22

+= CMamC =

C

CM

CMCM amamCgm sin =CMamRIgm sin = Por tanto la relacin puede escribirse como

CgaCM += 1

sin

+= 2

21

21

RrC

( )

donde

CRg

+= 1sin De aqu la aceleracin angular vale

53


Apartado b)

Rr

X

YL


Velocidad del CM y velocidad angular cuando ha recorrido una distancia L partiendo del reposo

Lav CMCM 22 = L

Cg

+= 1sin 2 L

CgvCM += 1

sin 2 L

Cg

RRvCM

+== 1sin 21

+= 2

21

21

RrCdonde Observacin: cuanto ms prximos sean los valores de r y R, mayor es el valor de C y menor ser la velocidad lineal y la velocidad angular.

Componentes vectoriales en el sistema de referencia dado:

( )kLC

gR

rr += 1sin 21 iL

CgvCM

rr 1

sin 2+=

i

CgaCM

rr 1sin +=

(El eje Z positivo es normal al plano XY y saliente)

( ) ( )kCRg rr += 1sin

54


Apartado c)

Rr

PX

Y

B

A

L


CMACMA vvv /rrr += CMACM rv /rrr +=

Punto superior (A)

iLC

gvCMrr

1sin 2+=

iC

gaCMrr

1sin +=

( )kLC

gR

rr += 1sin 21

jRr CMArr / =

( )jkRLC

gR

iLC

gvArrrr +++= 1

sin 21 1

sin 2

+= 2

21

21

RrC

iLC

gvArr

1sin 22 +=

CMACMACMA rraa /2

/ rrrrr +=

( ) ( )kCRg rr += 1sin ( )( ) ( ) jRLCR gjkRCRgiCgaA rrrrr ++++= 1sin 21sin 1sin 2

+= jRLi

CgaA

rrr 1

sin 2

55


Apartado c) Continuacin

Rr

PX

Y

B

A

L


iLC

gvCMrr

1sin 2+=

iC

gaCMrr

1sin +=

( )kLC

gR

rr += 1sin 21

+= 2

21

21

RrC


CMBCMB vvv /rrr += CMBCM rv /rrr +=

Punto delantero (B)iRr CMBrr / =

( )ikRLC

gR

iLC

gvBrrrr +++= 1

sin 21 1

sin 2

jLC

giLC

gvBrrr

1sin 2

1sin 2

++=

CMBCMBCMB rraa /2

/ rrrrr +=

( ) ( ) ( ) iRLCR gikRCRgiCgaB rrrrr ++++= 1sin 21sin 1sin 2 j

Cgi

RL

CgaB

rrr 1sin 2 -1

1sin

+

+=

56


Apartado c) Continuacin

Rr

PX

Y

B

A

L


iLC

gvCMrr

1sin 2+=

iC

gaCMrr

1sin +=

( )kLC

gR

rr += 1sin 21

+= 2

21

21

RrC


CMPCMP vvv /rrr += CMBCM rv /rrr +=

Punto inferior (P)jRr CMPrr / =

( )( )jkRLC

gR

iLC

gvPrrrr +++= 1

sin 21 1

sin 2

( ) 0 1

sin 2 1

sin 2 =+++= iLCgiL

CgvP

rrr

CMPCMPCMP rraa /2

/ rrrrr +=

( ) ( )( ) ( ) ( )jRLCR gjkRCRgiCgaP rrrrr ++++= 1sin 21sin 1sin 2 j

RL

CgaP

rr 1

sin 2+=

El punto P es el centro instantneo de rotacin. Su velocidad es nula pero su aceleracin no.

57


Una varilla delgada de longitud L desliza a lo largo de dos guas, una vertical y otra horizontal, segn se indica en el esquema. Cuando el ngulo formado por la varilla y la horizontal es , la velocidad del extremo A es vA y su aceleracin es aA, ambas dirigidas hacia la derecha. Determine segn los ejes coordenados de la figura: a) las componentes vectoriales de la velocidad del extremo B y de la velocidad angular en ese instante.

A vA = 20 cm/s L = 0.80 m = 30 aA = 1 cm/s2 (hacia la derecha)

b) las componentes vectoriales de la aceleracin del extremo B y de la aceleracin angular en ese instante.

B vA = 15 cm/s L = 0.80 m = 30 aA = 2 cm/s2 (hacia la derecha)C vA = 10 cm/s L = 0.80 m = 15 aA = 3 cm/s2 (hacia la derecha)D vA = 5 cm/s L = 0.80 m = 15 aA = 4 cm/s2 (hacia la derecha)

A

B

L

X

Y

Z

58


X

Y

Z

A

B

L

ivv AArr =

jvv BBrr =

( )krr = ( ) ( )[ ]jiLr AB rrr += sincos /

ABr /r

Apartado a) :datos LvA :determinar a BvABAABAB rvvvv //

rrrrrr +=+=

0sincos100

+=kji

Livjv AB

rrrrr

( )[ ]jiLivjv AB rrrr ++= cossin( ) jLiLvjv AB rrr += cossin

( )kL

vA rr = sin sin= LvA0sin = LvAIgualando

componentesjvv ABrr = cotcot= AB vv cos= LvB

Resultados numricos

A B C Dv A (m/s) = 0,20 0,15 0,10 0,05

L (m) = 0,80 0,80 0,80 0,80 () = 30,00 30,00 15,00 15,00

(rad) = 0,5236 0,5236 0,2618 0,2618

A B C D (rad/s) = 0,50 0,38 0,48 0,24v B (m/s) = 0,35 0,26 0,37 0,19

59


X

Y

Z

A

B

L

iaa AArr =

jaa BBrr =

( )krr = ABr /

r

( ) ( )[ ]jiLr AB rrr += sincos /

Apartado b) :datos LaA :determinar a BaABABAB rraa /

2/

rrrrr +=

0sincos100

kji

L

rrr

[ ]jiL rr sincos2iaA r[ ]jiL rr += cossin

[ ] [ ]jiLjiLiaja AB rrrrrr ++= sincoscossin 2[ ] [ ] jLLiLLaja AB rrr +++= sincoscossin 220cossin 2 =+ LLaA Resultados numricos

sincos2

+=

LLaA A B C D

a A (m/s2) = 0,01 0,02 0,03 0,04

L (m) = 0,80 0,80 0,80 0,80 () = 30,00 30,00 15,00 15,00

(rad) = 0,5236 0,5236 0,2618 0,2618( )kL LaA r += sin cos2

Igualando componentes

sincos 2 += LLaB A B C D (rad/s2) = 0,46 0,29 1,02 0,41a B (m/s

2) = 0,42 0,26 0,83 0,33( ) jLLaB r+= sincos 2

60

FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007

En una tubera por la que se suministra agua a un embalse se han colocado unos tubos piezomtricosabiertos a la atmsfera (vase figura 1).

1. Si la diferencia de alturas entre los tubos es h = 25 cmy las secciones de la conduccin en la parte ancha y en la parte estrecha son S1 = 350 cm2 y S2 = 200 cm2, respectivamente, determinar el caudal y el flujo msico que circula por la tubera.

S1

h

1 2S2

Figura 1

H

0cP

Figura 2

2. Del embalse toma agua una bomba P que eleva 3000 kg de lquido por minuto y la expulsa a una altura H = 4 m con una velocidad c0 = 8 m/s (figura 2). Qu potencia debe tener la bomba si despreciamos las prdidas por rozamiento?.

Datos. Aceleracin de la gravedad g = 9.8 m/s2; densidad del agua = 1.00 g/cm3

61

FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACION)

Ecuacin de Bernoulli

S1y1

h

1 2

1211 2

1 gycP ++

S2

y2

2222 2

1 gycP ++=

c1 c2z2

z1

11 gzPP atm +=22 gzPP atm +=

( )212221 21 ccPP = ( )2121 zzgPP =

ghPP = 21

Apartado 1

1

221 S

Scc =

= 2

1

222

22221 2

1SSccPP

Ecuacin de continuidad

gh=

( )2122 12

SSghc = ( )21222 1

2SS

ghSVV ==&& ( )21222 1

2 SS

ghSmm == &&

62

FLUIDOSFLUIDOSP07.08. EXAMEN A3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACION)

2. Del embalse toma agua una bomba P que eleva M kg de lquido por minuto y la expulsa a una altura H con una velocidad c0 (figura 2). Qu potencia debe tener la bomba si despreciamos las prdidas por rozamiento?. H

0cP

S

0

SSS yc

ggP ++ 2

21

020

0

21 ycgg

P ++= PH+Sy

0y

0

SP yycgH += 0202

1

PHgmW =

PHgdtdm

dtdWW ==& mHgW P && =

kg/s 601

(s) 60(kg) MMm ==&

PHgMW 601=&

Aplicamos la ec. de Bernoulli en funcin de las alturas

La presin en S y en 0 es la misma La velocidad de la superficie libre del embalse es nula

H

Hcg

H P += 2021

Trabajo realizado por la bomba para elevar una masa de agua m a la altura H

Figura 2

(kg/m3) = 1000g (m/s2) = 9,8

h (m) = 0,25S1 (m

2) = 3,50E-02S2 (m

2) = 2,00E-02

P1-P2 (Pa) = 2450c2 (m/s) = 2,70c1 (m/s) = 1,54V (m3/s) = 5,39E-02m (kg/s) = 53,95

g (m/s2) = 9,8M (kg/min) = 3000

c0 (m/s) = 8H (m) = 4

HP (m) = 7,27W (watt) = 3560,00

Potencia necesaria:

La bomba eleva M kg por minuto:

63

FLUIDOSFLUIDOSP07.09. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007

Una esfera hueca (radio interno R1, radio externo R2), hecha de un material de densidad 0, flota en un lquido de densidad L. Cuando el hueco se rellena con un material de densidad m la esfera flota completamente sumergida con su parte superior justamente a ras de la superficie. (a) Calcule la fraccin de volumen de la esfera hueca que flota por encima de la superficie antes de rellenarla. (b) Calcule la densidad m.

0

1R

2R

L

( )313200 34 RRM = 320 34 RV =

gM 0

E (a) Volumen y masa de la esfera hueca:

0 (g/cm3) = 0,80 L (g/cm3) = 1,60

R 1 (m) = 0,10R 2 (m) = 0,20

Datos numricos

Por el principio de Arqumedes, la esfera sufre un empuje E igual al peso del fluido dsplazado. Como la esfera flota, E debe ser igual a su peso M0g.

gVE LL =LV VL es el volumen de la parte sumergida

gMgVE LL 0 == ( ) gRR 34 31320 = Igualando E con el peso, calculamos VL( )

== 3

2

310

32

31

320

0

-1 RR

RRR

VV

LL

L

( )31320 34 RRV LL =

Fraccin sumergida

64

FLUIDOSFLUIDOSP07.09. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIN)

(b) Cuando el interior de la esfera se rellena con un material de densidad m, la esfera flota con su parte superior justo a ras de agua.

0

1R

2R

L

m

'E

'0 MgM +

El empuje E iguala al peso del fluido desplazado. Dicho peso es igual al peso de un volumen de fluido igual al volumen de la esfera.

( ) gMMgVE L ' ' 00 +== 00 ' MVM L = ( )3132032 34 34' RRRM L =

( ) 310320 34 -

34' RRM L +=

La masa del material de relleno es 0 (g/cm3) = 0,80L (g/cm3) = 1,60

R1 (m) = 0,10R2 (m) = 0,20

VL/V0 = 0,44

m (g/cm3) = 7,20

31 3

4' RM m=Solucin numricaIgualando las dos expresiones para M

( ) 31

32

00 - RR

Lm +=

65

FLUIDOSFLUIDOSP07.10. EXAMEN B3. CURSO 2006/2007

Un tanque de forma cilndrica es utilizado para almacenaje de agua. El rea de su base es S m2. Un grifo en la parte superior aporta un flujo msico de C1 kg/s, mientras que un desage situado en la parte inferior deja salir fuera C2 y kg/s, donde y representa la altura de la superficie del lquido sobre el fondo plano del tanque. Adems, existe un rebosadero a una altura h m por encima del desage. Suponiendo que al comienzo de una jornada el tanque contiene inicialmente V0 litros, y que se abren al mismo tiempo el grifo de entrada y eldesage, calcular:

a) El tiempo que tarda la superficie del agua en alcanzar el rebosadero (si es que lo alcanza).

b) En caso de que no hubiese rebosadero, calcular el mximo nivel sobre el fondo que puede alcanzar el agua. c) Haga una grfica de la altura alcanzada por el agua en funcin del tiempo, sealando en la misma los valores obtenidos en los apartados a) y b).

66


0y

1m&

2m&

Rebosadero

h

)( ty

0V

S

)(tV

Ecuacin de continuidad 21 mmdtdm && =

)( )( )( tyStVtm ==S

Vy 00 =

agua del densidad

)( 21 tyCCdtdm =

(kg/s) 11 Cm =&

s))kg/(m( 222 = CyCm&

dtdyS

dttdV

dtdm )( ==

yCCdtdyS 21 =

dtSyCC

dy 1

21 = = ty

y

dtSyCC

dy

021

1

0

( )yCCLn

Cudu

CyCCdy

212221

11 == du

CdyyCCu

221

1 ==

( ) ty

y

tS

yCCLnC

0

21

2 11

0= tS

CyCCyCCLn

2

021

21

=

( )

= t

SCyCCyCC

exp 202121

= t

SCy

CC

CCy

exp 20

2

1

2

1

67


= t

SCy

CC

CCy

exp 20

2

1

2

1

==0

2

1

2

1

2

yCC

hCC

LnC

St hya) El tiempo que tarda la superficie del agua en

alcanzar el rebosadero (si es que lo alcanza).

b) En caso de no existir rebosadero, calcular el mximo nivel sobre el fondo que puede alcanzar el agua.

=

t

SCy

CC

CCy

tmx

exp 202

1

2

1lim 21

CC=

Valores numricos

V 0 (litros) = 100V 0 (m

3) = 0,1S (m2) = 10 (kg/m3) = 1000C 1 (kg/s) = 0,6C 2 (kg/m.s)= 0,5

y 0 (m) = 0,01C 1/C 2 (m) = 1,2C 1/C 2-y 0 = 1,19C 2/ S = 0,00005h (m) = 1

( )ty 00005.0exp19.12.1 =( )

( ) s 3566801.02.112.1

00005.01 =

== Lnt hy

=

t

SCy

CC

CCy

tmx

exp 202

1

2

1lim

m 20.12

1 ==CCymx

0y

1m&

2m&

Spillway

h

)( ty

0V

S

)(tV

68


c) Nivel de agua frente a tiempo

= t

SCy

CC

CCy

exp 20

2

1

2

1

( )ty 00005.0exp19.12.1 =

0,0 2,0x104 4,0x104 6,0x104 8,0x104 1,0x105 1,2x105 1,4x1050,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

t (s)

y (m)

El nivel de agua llega al rebosadero

y = h = 1 m

t = 35668 s

Altura mxima si no hubiese rebosadero

1.20 m

69

Un cilindro de seccin S lleno de agua est cerrado por su parte superior mediante un pistn hecho con un material muy ligero que ajusta muy bien y sobre el que hay una pesa de masa M. Por debajo del nivel del agua, a una profundidad h, hay una llave que al abrirse permite el paso del agua a travs de un conducto de seccin efectiva A.

a) Determinar la velocidad de salida del agua en el momento en que se abre la llave.b) Calcular el flujo de agua (en kg/s) y el caudal (en litro/s) en el instante en que se abre la llave.

h

M

Datos numricos: cm 60 ;cm 1 ;cm 400 kg; 20 22 ==== hASM


Sean 1 y 2 los puntos sealados en la figura, entre los que aplicaremos Bernoulli

h

M

AS1

2

22221

211 2

1 21 hgcPhgcP ++=++

Punto 1

Velocidad c1: la suponemos nula pues S >> A, y eso quiere decir que la bajada del pistn ser muy lenta. Presin P1: debe ser igual a la atmosfrica ms la ejercida por la pesa; despreciamos el peso del pistn al ser muy ligero.

SMgPP atm +=1

Altura h1: tomando como nivel de referencia el del orificio de salida, es evidente que h1 = h.

70

FLUIDOSFLUIDOSP08.08. EXAMEN A3. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN)

h

M

AS1

2

Punto 2

Velocidad c2: es la incgnita a determinar.

Presin P2: es igual a la presin atmosfrica ya que se trata de un extremo abierto.

Altura h2: tomando como nivel de referencia el del orificio de salida, es evidente que h2 = 0.

La ecuacin de Bernoulli queda

222

21 2

1 21 hgcPhgc

SMgP atmatm ++=+++

00

+= hS

Mgc

22 2 cAmFlujo msico:

Flujo volumtrico:

=&

2 cAmV == &&

Velocidad de salida:

DATOS ENUNCIADOA B C D

M (kg) = 20 40 20 40S (cm2) = 400 500 400 500A (cm2) = 1 0,5 1 0,5h (cm) = 60 50 90 80

S (m2) = 0,04 0,05 0,04 0,05A (m2) = 1,0E-04 5,0E-05 1,0E-04 5,0E-05h (m) = 0,60 0,50 0,90 0,80

DATO CONOCIDO (kg/m3) = 1000 1000 1000 1000c 2 (m/s) = 4,64 5,05 5,24 5,60

0,46 0,25 0,52 0,280,46 0,25 0,52 0,28

=(kg/s) m&=(litro/s) V&Con los datos del enunciado multiplicamos por 103 para obtener el resultado en litro/s)

71


En la azotea de un edificio de tres pisos, a 12 m de altura sobre el nivel de la calle, hay un depsito de agua para servicio de la comunidad. La superficie del agua en el depsito alcanza una altura de 1 m sobre el fondo, y este nivel puede considerarse invariable aunque varios vecinos abran los grifos a la vez, pues el volumen almacenado en el depsito es grande comparado con el caudal de salida y adems hay un mecanismo de alimentacin que deja entrar agua de la red pblica para compensar el gasto de agua. Las alturas sobre el nivel de la calle de los grifos de los distintos pisos se dan en la tabla adjunta.

Piso 1: 4 mPiso 2: 7 mPiso 3: 10 m

Se sabe que las prdidas de carga en las tuberas son de 8000 Pa/m, y dada la configuracin de la fontanera de la finca, se puede admitir que la distancia de los grifos de cada piso a la tubera principal de bajada es despreciable.

m12

m1Se pide:

a) Considerando que cada grifo tiene una abertura de salida equivalente a 0.40 cm2, y que siempre se abren al mximo, determinar cunto tiempo tardar en llenar un cubo de 20 litros el vecino del 1, el vecino del 2 y el vecino del 3.

b) Un fin de semana en que el fontanero est ilocalizable, hay una avera en la alimentacin del depsito, que queda interrumpida, y como resultado el depsito se va vaciando lentamente. El vecino del 2 llena una jarra de agua de 1 litro a las 12 h, y observa que tarda 4 segundos en llenarse. Cuando vuelve a llenar la misma jarra a las 14 h, el tiempo de llenado es de 5 segundos. Calcular cunto ha descendido el nivel del depsito en ese intervalo.

Tome la aceleracin de la gravedad como 10 m/s2, y la densidad del agua como 1000 g/cm3.

72


Apartado a)(Pa/m) sen tubera carga de Prdida=D

0h

H

0y

y 1

2

3L

0 ygcPLDygcP 21

21 2

0200 ++=++

( ) ( ) /2 2 0 LDyygyc =yHL =

( ) ( ) /2 2 0 yHDyyg =( ) /2/2 2- 2 0 yDHDgygyyc +=

( ) ( ) ( )gDyggHDhHgyc /1 2- / 2 0 +=00 hHy +=( ) ( ) ( )[ ]gDygDHhgyc /1- /1 2 0 +=

Cada piso se caracteriza por su diferente valor de y (altura sobre el suelo). El flujo volumtrico (caudal) al abrir el grifo en el piso situado a la altura y est dado por:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]gDygDHhgSycSyQ /1- /1 2 0 +==El tiempo que tarda en llenarse un recipiente de 20 litros ser:

( ) ( )ycSyQt ==

33 10201020)20( (unidades S.I.)

73


Apartado a) continuacin

( ) ( ) ( )[ ]gDygDHhgyc /1- /1 2 0 +=( ) ( )ycSyQt

== 33 10201020)20(

( ) ( ) ( ) ( )[ ]gDygDHhgSycSyQ /1- /1 2 0 +==Piso 1: y1 = 4 mPiso 2: y2 = 7 mPiso 3: y3 = 10 mg (m.s-2) = 10

(kg.m-3) = 1000h 0 (m) = 1H (m) = 12

D (Pa/m) = 8000S ( m2) = 4,00E-05

c 1 (m/s) = 7,21c 2 (m/s) = 6,32c 3 (m/s) = 5,29

m3/s litro/sQ 1 = 2,88E-04 0,29Q 2 = 2,53E-04 0,25Q 3 = 2,12E-04 0,21

t (s)t 1(20 l) = 69,3t 2(20 l) = 79,1t 3(20 l) = 94,5

Apartado b)Cuando empieza a disminuir lentamente el nivel del depsito, la velocidad de salida en un piso situado a la altura y sobre el suelo sigue siendo ( ) ( ) ( )[ ]gDygDHhgyc /1- /1 2 0 +=

pero el valor de h0 va disminuyendo lentamente.( ) ( ) ( )gDygDHgych /1 /1

2

2

0 +=

cSQ = ( ) ( )gDygDHSg

Qh /1 /1 2

22

0 +=Puesto que

llenado tiempocapacidad=Qdonde

El vecino del 2 registra diferentes valores del caudal a diferentes horas:

( ) ( )S

hQhc 12 12 22 =

( ) ( )S

hQhc 14 14 22 =

t llenado 1 l litro/s m3/s c (m/s) Nivel agua mA las 12 h 4 Q 2 (12 h) = 0,25 2,500E-04 6,25 h 0 (12 h) = 0,95A las 14 h 5 Q 2 (14 h) = 0,20 2,000E-04 5,00 h 0 (14 h) = 0,25

m 70.0=h

74


Una pesa de plomo de forma cbica con una arista a = 5 cm se adhiere firmemente al centro de una plancha cuadrada de corcho de espesor e = 6 cm (vase figura 2.a). A continuacin el conjunto se introduce en una cubeta de agua con la pesa hacia arriba y se observa que flota de manera que la superficie del agua es rasante con la cara superior del corcho (figura 2.b).a) Determine cuanto sobresaldr el corcho de la superficie del agua si el conjunto se coloca al revs (es decir, calcule la distancia d en la figura 2.c). b) Si se colocase otra pesa exactamente igual a la primera encima del corcho de la figura 2.c, se hundira el conjunto, o continuara flotando? Raznese la respuesta.Datos de densidades (g/cm3): plomo 11.4; corcho 0.16

ae

Figura 2.b

aea

a

ae

Figura 2.c

d

Figura 2.a

75


ae

Figura 2.b

ae

Figura 2.c

d

a) Determine cuanto sobresaldr el corcho de la superficie del agua si el conjunto se coloca al revs (distancia d en la figura 2.c).

Principio de Arqumedes:

Cualquier slido sumergido en un fluido sufre un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado.CW

EPW

Usaremos los subndices: C para el corcho, P para el plomo, A para el agua. Sea S la superficie del corcho, que tendremos que determinar para calcular su volumen.

El conjunto flota porque la parte sumergida (el corcho) sufre unempuje hacia arriba igual al peso total del corcho ms la pesa.

gSeW CC = gaW PP = 3

gSeWE AA == PCAWWWE +==

gagSegSe PCA += 3 ( ) eaSCA

P

=

3

Cuando se coloque al revs (figura 2.c) estar sumergida la totalidad de la pesa de plomo y parte de la plancha de corcho, un volumen igual a S(e-d). Por lo tanto el nuevo empuje ser ( ) gagdeSWE AAA +== 3''

( ) gagSegagdeS PCAA +=+ 33 ( )

SaeSed

A

APC

+=

3A B C D

282,7 339,3 424,1 565,516,8 18,4 20,6 23,80,44 0,37 0,29 0,22

= )(cm 2S= (cm) lado= (cm) d

76


b) Si se colocase otra pesa exactamente igual a la primera encima del corcho de la figura 2.c, se hundira el conjunto, o continuara flotando? Raznese la respuesta.El cuerpo cuya flotacin hay que estudiar est compuesto por tres partes: dos pesas iguales y la plancha de corcho. Las masas y volmenes de cada parte se denotan por MP , VP y MC, VC . a

e

a

CM

PM

PM

CV

PV

PV

La masa total es 322 aeSMMM PCPCT +=+= 322 aeSVVV PCT +=+=El volumen total es Si al calcular esta densidad

media resulta un valor mayor que la densidad del agua, el conjunto se hundir; si es menor, flotar.

Por lo tanto su densidad media es 33

22

aeSaeS

VM PC

T

T

++==

Haciendo los clculos, la densidad resulta 3g/cm 60.1=La conclusin es, por lo tanto, que se hundir.

77


Un depsito de agua para riego tiene forma cilndrica, siendo el rea de su seccin recta S = 4 m2. El depsito se alimenta por medio de una conduccin (1) que aporta un flujo de entrada constante de 7.8 kg/s. En el fondo del depsito hay dos tuberas de salida: la tubera principal (2) de dimetro 5 cm, y la tubera auxiliar (3), de dimetro 2 cm.

1

hV

S

a) Por las maanas la tubera (2) est abierta y la tubera (3) estcerrada. As se mantiene un volumen constante de agua en el depsito, alcanzando su nivel una altura h (vase esquema). Calcular la altura h, el volumen V contenido en el depsito y la velocidad de salida del agua por la tubera (2). 23

b) Por las tardes las tuberas (2) y (3) estn ambas abiertas. El nivel de agua del depsito tambin se mantiene constante, pero a una altura diferente h. Calcular la altura h, el volumen Vcontenido en el depsito y la velocidad de salida del agua por las tuberas (2) y (3).

Densidad del agua: 1 g/cm3

78


Por las maanas la tubera (2) est abierta y la tubera (3) estcerrada. As se mantiene un volumen constante de agua en el depsito, alcanzando su nivel una altura h (vase esquema). Calcular la altura h, el volumen V contenido en el depsito y la velocidad de salida del agua por la tubera (2).

a) 1

23

hV

S

kg/s 8.71 =m&021 == mmdt

dm && 12 mm && =Ecuacin de continuidad

Puesto que la superficie libre del agua del depsito tiene velocidad nula, la velocidad de salida c2 est dada por la ec. de Torricelli)

hgc 22 = 2A22

2

21

21

Am

gh =

&( ) m 805.010963.11000 8.78.92 1 232

2=

= hgA 22 = 2221 cAmm == &&

4

22

2DA = 232 m 10963.1

405.0 ==

Una vez calculada la altura h, se determinan el volumen del depsito y la velocidad de salida

hSV = 3m 22.3805.04 ==hgc 22 = m/s 97.3.8050.892 ==

79


Por las tardes las tuberas (2) y (3) estn ambas abiertas. El nivel de agua del depsito tambin se mantiene constante, pero a una altura diferente h. Calcular la altura h, el volumen Vcontenido en el depsito y la velocidad de salida del agua por las tuberas (2) y (3).

b) 1

23

'h'V

S

2A3A0321 == nnmdt

dm &&&

Ecuacin de continuidad: aqu llamaremos 32 , nn && a los flujos desalida por las tuberas 2 y 3 para distinguirlos de los del apartado a)

kg/s 8.71 =m&

321 nnm &&&

donde sigue siendo

+=222 'cAn = & ' 22 hgA = 333 'cAn = & ' 23 hgA =

Como antes, la superficie libre del agua del depsito tiene velocidad nula, y las velocidades de salida c2 y c3 estn dadas por la ec. de Torricelli (ambas son iguales pues la entrada a las dos tuberas est a la misma profundidad ( ) ' 2321 hgAAm += &

( )232221

21'

AA

mg

h += &

' 2'' 32 hgcc ==

m 598.0=

'' hSV = 3m 39.2598.04 ==m/s 42.3.5980.892 ==' 2'' 32 hgcc ==

243

232

m 10142.3

m 10963.1

==

A

AUna vez calculada la altura h, se determinan el volumen del depsito y la velocidad de salida

80

10 moles de un gas ideal monoatmico inicialmente a 20 C se expanden reversiblemente de acuerdo con la relacin p = aV, donde p, V representan la presin y el volumen, respectivamente, y a es una constante. El volumen al final de la expansin es el doble del volumen inicial. La constante universal de los gases es R = 8.314 J/(Kmol)1. Representar el proceso en un diagrama p-V (1 p).2. Determinar la temperatura final (1.5 p).3. Calcular el trabajo en la expansin (1.5 p).

p

V

1

2

V1 V2=2V1

aVp = 11aVp =

22 aVp =nR

VpT 111 =

nRVpT 222 =

Conocemos T1 = 20 C = 293 K

Debemos encontrar una relacin que nos permita hallar el valor de T2 sabiendo T1 y la relacin de volmenes inicial y final.

22

11

2

1

VpVp

TT =

2

1

2

1

VV

pp =

2

2

1

=VV

12 mVV =21

=

m 12

2 TmT =

(en este caso m = 2)

C 899K 11729322 212

2 ==== TmTTrabajo en la expansin:

[ ] 2 1 22

1

2

1

2

VV

V

V

V

V

VadVVapdVW === [ ] [ ] 2122122 1 2 2 VmaVVaW ==nR

aVT2

11 =a

nRTV 121 =

[ ] 12 1 2 TmnR =[ ] J 36540932 12

2314.810 2 ==W

TERMODINTERMODINMICAMICAP07.11. EXAMEN A4. CURSO 2006/2007

81

TERMODINTERMODINMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007

Un gas ideal de coeficiente adiabtico = 1.4 ejecuta un ciclo de potencia formado por las siguientes etapas:12.

El gas se expande politrpicamente (ndice de politropa k1 = 1.35) desde las condiciones V1 = 1 litro, P1 = 7.87 bar, hasta que su volumen se duplica.

23. El gas se enfra a volumen constante, hasta que su temperatura es T3 = 280 K.

31.

El gas se comprime politrpicamente hasta restituir las condiciones iniciales (sea k2 el ndice de politropa de este proceso, que deber determinarse).

Se supone que todas las etapas son reversibles. La masa de gas es n = 0.20 moles, y la constante universal de los gases es R = 8,314 J/(Kmol). Se pide:A) Calcular las coordenadas de presin y temperatura en todos los puntos notables del ciclo (2 p).

C) Calcular el trabajo asociado con cada una de las etapas del ciclo, discutiendo su signo (2 p).

D) Calcular el calor asociado con cada una de las etapas del ciclo, discutiendo su signo (2 p).

E) Determinar el rendimiento del ciclo (1 p).F) Calcular la variacin de entropa de cada una de las etapas del ciclo (2 p).

B) Determinar el ndice k2 y representar grficamente el ciclo en un diagrama de Clapeyron (P-V) (2 p).

82

TERMODINTERMODINMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIN)

R (J/K.mol) 8,314n (mol) 0,2V1 (l) 1P1 (bar) 7,87V2 (l) 2T3 (K) 280k1 1,35 1,4

V1 (m3) 0,001

P1 (Pa) 787000V2 (m

3) 0,002k1 1,35 P1V1

k1 70,141449V3 (m

3) 0,002k2 1,7573 P1V1

k2 4,2073464cv (J/K.mol) 20,785

T (K) V (m3) P (Pa)1 473,3 0,001 7870002 371,3 0,002 3087343 280,0 0,002 232792

En azul, los datos iniciales

Clculo del ndice k2

233

211

kk VpVp =

123 2VVV ==

( )( )31

132 ln

lnVVppk =

Se calcula p3usando la ley de los gases ideales

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,02

3

4

5

6

7

8 1

2

3

1k

2k

)bar( p

)litros( V

1=

kVpVp

W ffiiopolitrpic

11 +

= iiffffii

opolitrpic

VpVpk

VpVpQ ( ) ( )( )

=

11

kkTTnR if

( )1

=k

TTnR fi

0>W

0Q

0Q

Observe que en la etapa 12 se verifica0 0 112

83

TERMODINTERMODINMICAMICAP07.12. EXAMEN B4. CURSO 2006/2007 (CONTINUACIN)

Q (J) W (J) U (J)Polit 12 60,55 484,38 -423,83Isoc 23 -379,71 0,00 -379,71Polit 31 379,13 -424,41 803,54Qin, Wout 439,68 59,97 0,00

Calor y trabajo

( )1

=k

TTnR fi1

=k

VpVpW ffiiopolitrpic

11 +

= iiffffii

opolitrpic

VpVpk

VpVpQ ( ) ( )( )

=

11

kkTTnR if

( )23 TTcnQ VV =1321

1321

++==

politpolit

politpolit

in

out

QQWW

QW 136.0

68.43997.59 ==Rendimiento

Incremento de entropa (politrpicas)Clculo entropasVolumen auxiliarV(k1) (m

3) 0,00109V(k2) (m

3) 0,00371S12 (J/K) 0,144 PolitropicaS23 (J/K) -1,174 IsocoraS31 (J/K) 1,030 PolitropicaSciclo (J/K) 0,000

( )1/1

=

ii

ff

VpVp

V( )1/1

=

ii

ff

VpVp

VVVnRS iln=

Incremento de entropa (isocrica)

=== ifT

T

vV

TTRn

TdTnc

TQS

f

i

ln1

84

Una muestra de 0.25 mol de gas ideal monoatmico, cuyo coeficiente adiabtico es = 5/3, describe un ciclo de potencia que puede asimilarse a un ciclo ideal de Carnot de rendimiento 40%. Los volmenes y presiones conocidos de este ciclo se dan en la tabla adjunta. Rellene los cuadros de resultados, usando las unidades indicadas, para cada uno de los apartados siguientes:

Etapa 12 Expansin isotermaV 1 (litros) = 3,50

P 1 (bar) = 4,00V 2 (litros) = 7,00

a) Calcule los calores especficos del gas a presin y a volumen constante. Dato: R = 8,314 JK-1mol-1

b)

Coordenadas V, p, T .V (m3) p (Pa) T (K)

1234

c P (J/mol.K) =c V (J/mol.K) =

Determine el trabajo, el calor y la variacin de energa interna en cada etapa del ciclo.

c)

W (J) Q (J) U (J)12233441

Determine todas las coordenadas V, p, T de los puntos notables del ciclo que no estn dadas en el enunciado. Haga una grfica del ciclo usando el reverso de esta hoja, numerando dichos puntos notables en el sentido de recorrido del ciclo.

e) Calcule el ndice politrpico del proceso que une directamente el punto de mayor presin del ciclo con el punto de mayor volumen del ciclo.

d) Calcule la variacin de entropa de cada etapa del ciclo.

k =

Cada resultado correcto (total = 40):

Apartado a) +2 Apartado b) +1 Grfica: +5

Apartado c) +1 Apartado d) +1 Apartado e) +6

S (J/K)12233441

P08.10. EXAMEN A4. CURSO 2007/2008 TERMODINTERMODINMICAMICA

85

TERMODINTERMODINMICAMICAP08.10. EXAMEN A4. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN)

Calcule los calores especficos del gas a presin y a volumen constante. Dato: R = 8,314 JK-1mol-1

1

311TT

TT

A

BR ==

( ) 13 1 TT R =

V

P

cc= ( )1

=

RcP( )1= RcV

Rcc VP =a) c P (J/mol.K) = 20,785

c V (J/mol.K) = 12,4713/5=

b)

Coordenadas V, p, T .V (m3) p (Pa) T (K)

1234

Determine todas las coordenadas V, p, T de los puntos notables del ciclo que no estn dadas en el enunciado. Haga una grfica del ciclo usando el reverso de esta hoja, numerando dichos puntos notables en el sentido de recorrido del ciclo.

1p

2

22 V

nRTp =

nRVpT 111 =1V

2V2T=

(isoterma 12)

4T=(isoterma 34)

1

2

3

4

AT

BTAdiabtica

Adiabtica

V

p Grfica cualitativa. Vase la grficas cuantitativa ms adelante.

133

122

= VTVT

( )11/

3

223

=

TTVV

3

33 V

nRTp =

144

111

= VTVT

( )11/

4

114

=

TTVV

4

44 V

nRTp =Las coordenadas de cada punto se calcularn usando la ecuacin estado del gas ideal (cuando se conozcan dos coordenadas de un punto) o la ecuacin de la adiabtica (en forma de relacin T-Ven otro caso).

(adiabtica 23) (adiabtica 41)

86

TERMODINTERMODINMICAMICAP08.10. EXAMEN A4. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN)

Determine el trabajo, el calor y la variacin de energa interna en cada etapa del ciclo.

c)

W (J) Q (J) U (J)12233441

Procesos isotermos: U = 0

isotisot WQ =i

f

VV

TR ln =Procesos isotermos: calor y trabajo

1212 isotisot WQ =1

21 ln V

VTR=3434 isotisot WQ =

3

43 ln V

VTR=

Procesos adiabticos: Q = 0Procesos adiabticos: trabajo

( )1

3223

= TTRWadiab

( )1

1441

= TTRWadiab

Procesos adiabticos: adiabWU =

2323 adiabWU =

4141 adiabWU =

d) Calcule la variacin de entropa de cada etapa del ciclo.

S (J/K)12233441

TQS isotisot =

1

1212 T

QS isot=1

3434 T

QS isot=

0= adiabS(reversible)

( )1

= fi

adiabTTR

W

e) Calcule el ndice politrpico del proceso que une directamente el punto de mayor presin del ciclo con el punto de mayor volumen del ciclo.

kk VpVp 3311 =3311 lnlnlnln VkpVkp +=+

( ) 1331 lnlnlnln ppVVk =( )( )31

13

/ln/lnVVppk =

87

P08.10. EXAMEN A4. CURSO 2007/2008 (CONTINUACIN) TERMODINTERMODINMICAMICA

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00

V (litros)

P

(

b

a

r

)

(1)

1

2

34

c P (J/mol.K) = 20,785R (J/mol.K) = 8,314 c V (J/mol.K) = 12,471

= 1,67n (mol) = 0,25

V 1 (litros) = 3,50 3,50E-03 m3P 1 (bar) = 4,00 4,00E+05 Pa

V 2 (litros) = 7,00 7,00E-03 m3 R = 0,40

T A = T 1 (K) = T 2 (K) = 673,6T B = T 3 (K) = T 4 (K) = 404,1

Apdo e) k = 1,350

( ) ARB TT = 1( )( )31

13

/ln/lnVVppk =

1

2

3

4

AT

BT

Adiabtica

Adiabtica

(1) (2-6) (3) (4-5) = 1,67 1,67 1,67 1,67

n (mol) = 0,25 0,15 0,45 0,35V

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