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Instituto de AstronomíayCentro de Radioastronomía y Astrofísi aEXAMEN DE ADMISIÓNOtoño de 2012

6 y 7 de Junio de 2012-La dura ión del examen es de 1.5 horas por área de ono imiento.Son 5 áreas de ono imiento: Me áni a Clási a, Ele tromagnetismo, Físi a Cuán-ti a, Físi a Térmi a, y Astronomía GeneralReali e las áreas pertinentes. Sele ione 2 problemas por área.Responda las preguntas en hojas separadas (por una sola ara).Es riba su lave en ada una de las hojas utilizadas.

Parte IMe áni a Clási a

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3[ 1 Un planeta de masa m se mueve en una órbita plana alrededor de una estrellade masa M , on M ≫ m.a) Utilizando oordenadas polares, (r, φ), en uentre la energía inéti a T y laenergía poten ial U del planeta. Es riba la fun ión LagrangianaL(r, φ, r, φ).b) Construya el Hamiltoniano H(r, φ, pr, pφ) y explique por qué H y pφ son onstantes del movimiento. ) ¾Cuál es el signi ado físi o de H y pφ?[ 2 Dos esferas de a ero, una de radio 2a y la segunda de radio a, se dejan aer almismo tiempo, on la esfera hi a olo ada sobre la esfera grande, desde unaaltura h (medida desde el entro de la esfera grande, ver Figura 1). Asumaque los entros de las esferas siempre se mantienen en la misma línea verti aldespués del rebote y que las olisiones son elásti as.a) ¾ uál es el o iente de las masas de las esferas?b) ¾ uál es la máxima altura que al anza la esfera pequeña después del rebote?Exprese su resultado en términos de a y h.Hint: piense que primero rebota la esfera grande ontra el suelo, y sale ha iaarriba antes de pegarle a la esfera pequeña

Figura 1

4[ 3 Un ilindro uniforme de radio r rueda bajo la a ión de la gravedad sobre un ilindro esta ionario de radio R (ver Figura 2).a) Es riba las e ua iones de movimiento y la ondi ión para que el ilindrosuperior ruede sin deslizarse.b) Usando las e ua iones anteriores, obtenga la expresión para onserva iónde la energía.

Figura 2

Parte IIEle tromagnetismo

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6[ 1 Un ele trón es a elerado hasta que tiene una energía total de 1 MeV. ¾Cuál essu energía inéti a? ¾Cuál es su velo idad en tal momento?[ 2 Una orriente esta ionaria I uye através de un able largo ilíndri o de radioR (ver Figura 3). En uentre el ampo magnéti o ~B tanto afuera omo adentrodel able si:

Figura 3a) La orriente está uniformemente distribuida sobre la super ie del able.b) La orriente está distribuida de tal forma que ~J es dire tamente propor- ional a s, la distan ia radial desde el eje del ilindro.[ 3 Utilizándo la ley de Biot-Savart para un ir uito (Figura 4) por el que ir ulauna orriente I1, uya expresión es→

B(→

r 2) =µ0

4πI1

∮

1

d→

l 1 × (→

r 2 −→

r 1)∣

∣

∣

→

r 2 −→

r 1

∣

∣

∣

3,a) al ule el ve tor de indu ión magnéti a →

B a lo largo del eje zb) al ule el ve tor de indu ión magnéti a en el entro del ír uloAhora se juntan mu hos de estos anillos y se forman solenoides. En la Figu-ra 5 se muestra un solenoide de radio a1 y longitud b1 que se lo aliza en elinterior de un solenoide más largo de radio a2 y longitud b2. El número totalde vueltas en el solenoide interior es de N1 y en el exterior es de N2. Obtengauna fórmula para la indu ión mutuaM en términos de todas las variables aquímen ionadas. Supóngase que ai << bi (i = 1, 2) de modo que la magnitud del ampo magnéti o produ ido por un solenoide se puede expresar omo:B =

µ0NI

L

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X

Y

Z

R

I1

Figura 4: Anillo de orriente I1 on entro en el origen y oplanaral plano XY.dondeB = Magnitud del ampo magnéti o a lo largo del eje del solenoideN =Número de vueltasI =Corriente que ir ula por el solenoideL =Longitud del solenoide

b2

b1

N vueltas1

N vueltas2

2a2

2a1

Figura 5: Solenoide pequeño dentro de un solenoide más grande.

Parte IIIFísi a Cuánti a

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9[ 1 Un sistema se en uentra ini ialmente en el estado |α(t = 0)〉 = 1

15(2|γ1〉 −

3|γ2〉 + |γ3〉 + |γ4〉), donde |γn〉 on n = 1, 2, 3, 4 son los eigenestados delhamiltoniano,. tal que H|γn〉 = n2B|γn〉 on B una onstante.a) Si se mide la energía del sistema, ¾ uáles valores son posibles y on uálesprobabilidades?b) Considere el operador Ω uyo efe to es Ω|γn〉 = (n − 1)P |γn+1〉 on P una onstante. ¾Cuáles valores son posibles si se mide Ω? ) Si medimos un valor de 4B para la energía y de inmediato medimos Ω, ¾ uálvalor obtenemos? ¾Cuál será su estado un tiempo t después de esta medi ión?d) ¾Importa si medimos Ω antes de medir la energía?[ 2 El Hamiltoniano de una partí ula libre en presen ia de un ampo magnéti o onstante B = (0, 0, B) esta dado porH =

1

2m

(

p+e

cA)2

,en dondeA es el poten ial ve torial orrespondiente (re uerde que B = ∇×A).a) Es riba explí itamente el Hamiltoniano en la norma de Landau en dondeA = B(−y, 0, 0).b) Dado que el Hamiltoniano anterior no depende de x, el momento px es onstante y enton es podemos separar las variables x, y. Proponga que laseigenfun iones son de la forma ψ(x, y) = eipxxφ(y). En uentre la e ua iónde S hroedinger efe tiva para la parte φ(y) ) Compare el Hamiltoniano efe tivo para φ(y) on el problema de un os- ilador armóni o desplazado, y demuestre que el espe tro de energía(niveles de Landau) estan dados por

En = hωc(n+ 1/2) , on ωc =eB

mc= fre uen ia i lotróni a .

n = 0, 1, 2 . . .d) ¾Cómo es el movimiento de la partí ula en la dire ión del ampo mag-néti o? ¾Cuál es la fuerza de Lorentz en la dire ión del ampo?

10[ 3 Considere un poten ial de pozo esféri o dado porV (r) =

0 si r > r0

−V0 si 0 < r < r0En uentre la e ua ión que determina las energías de los estados ligados onℓ = 0. ¾Qué ondi iones debe satisfa er el poten ial para que exista un estadoligado (−V0 < E < 0) on momento angular ℓ = 0?La e ua ión de S hroedinger para la parte radial en oordenadas esféri as es

−h2

2m

d2χ

dr2+

[

h2ℓ(ℓ+ 1)

2mr2+ V (r)

]

χ = Eχ ,en donde R(r) = χ(r)/r. Tome en uenta que lımr→0 χ(r) → 0 para que R(r)sea nita en r = 0.Hint: Introduz a las variables adimensionales u ≡ kr0 y v ≡ κr0. Puede utilizarlas grá as de la Fig. 6 para ayudarse.

Figura 6: (Izquierda) Grá as de v = u tan(u) y u2 + v2 = R2.(Dere ha) Grá as de v = −u cot(u) y u2 + v2 = R2.

Parte IVFísi a Térmi a

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12[ 1 Una máquina de Carnot trabaja entre las temperaturas Th y Tc=300 K. Elpro eso de expansion isotérmi a toma Q = 2000 J y el ambio de la entropía es∆S=4 J/K.a) Des riba la 2a ley de la termodinámi ab) Cal ule la e ien ia de la máquina, el trabajo total y el ambio de laentropía ∆S por la ontra ión isotérmi a ) En el aso que los pro esos son irreversibles, al ule el ambio de la entropía

∆S por la ontra ión isotérmi a[ 2 Considere un ontenedor ompuesto de dos re ipientes uno separado del otropor una rejilla (ver Figura 7). El re ipiente de la izquierda ontiene un gas onpresión P1, volumen V1, y temperatura T1, el de la dere ha, del mismo volumen,está va ío. El ontenedor se en uentra aislado térmi amente. Cuando se abre larejilla, el gas se expande libremente o upando todo el volumen del ontenedor.Usando la primera ley de la termodinámi a, en uentre el ambio de alor queo urre durante el pro eso. Sugeren ia: para un gas ideal dU = CV dT .Figura 7: Expansión libre de gas.[ 3 Una antidad de aire (índi e γ = 1.4) se expande adiabáti a y uasiestáti amentedesde una presión ini ial de 2atm y volumen de 2L a temperatura ambiente(20C) hasta dos ve es su volumen original.a) ¾Cuál es la presión nal del gas?b) ¾Cuál es la temperatura nal del gas? ) ¾Cuál es el trabajo realizado por el gas?

Parte VAstronomía General

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14[ 1 La siguiente tabla lista las magnitudes absolutas y las distan ias desde la Tierraa tres estrellas de una onstela ión. ¾Cuál es el orden de brillos aparentes, demenos brillante a más brillante, de estas estrellas?Estrella Magnitud Distan iaAbsoluta [parse I −6.70 236II −2.73 75III −6.41 417a) II, III, Ib) III, II, I ) II, I, IIId) I, III, II[ 2 ¾A qué o iente de intensidades orresponde una diferen ia de in o magni-tudes?a) 2.512b) 100,000 ) 100d) 1000[ 3 ¾A qué distan ia de nosotros se en uentra una estrella que tiene ángulo deparalaje de 0.1 segundos de ar o (0.1′′)?a) 10 parse b) 100 parse ) 10 unidades astronómi asd) 100 unidades astronómi as[ 4 El período de rota ión τ de una estrella binaria es 1 año, y el semi-eje mayora de la órbita es de una unidad astronómi a (AU). Si la masa de una de lasestrellas es 0.5 M⊙. ¾Cuál es la masa de la ompañera?a) 1.0 MT ierrab) 2.0 M⊙ ) 0.5 M⊙d) 1.0 MJupiter

15Cuadro 1: Algunas estrellasN0 mag. aparente tipo espe tral1 15 G2V2 20 M3Ia3 15 B9V4 10 M5V[ 5 Considere las estrellas indi ates en la Tabla 1.En las siguientes op iones marque la que señala las estrellas más aliente y másfría; y las intrínse amente más luminosa y menos luminosa:a) más aliente y más fria 1 y 3, más luminosa y menos: 2 y 3b) más aliente y más fria 1 y 4, más luminosa y menos: 2 y 1 ) más aliente y más fria 3 y 4, más luminosa y menos: 2 y 4d) más aliente y más fria 4 y 3, más luminosa y menos: 4 y 2[ 6 La longitud de onda que orresponde a la intensidad máxima del espe tro del Soles 5026 Å y la temperatura efe tiva del Sol es 5770 K. ¾Cuál es la temperaturaefe tiva de una estrella uyo espe tro tiene su máximo en 8056 Å?a) 4560 Kb) 7020 K ) 9250 Kd) 3600 K[ 7 Una estrella de 3 M⊙ tiene una tiene una luminosidad de 93 L⊙ por lo que sudura ión en la se uen ia prin ipal, es aproximadamentea) 3.2× 106 añosb) 3.2× 107 años ) 3.2× 108 añosd) 3.2× 109 años[ 8 Los pro esos CNO (Carbono-Nitrógeno-Oxígeno) y pp (protón-protón) des riben:a) la quema de Hidrógeno en Helio.b) la quema de Helio en Carbono. ) la quema de Hidrógeno y de Helio.

16 d) la quema de elementos más pesados que el Hidrógeno y el Helio.[ 9 Se observa que una estrella de tipo espe tral B0 V que tiene un índi e de olorB − V= 0.20. Considerando que el olor intrínse o de una estrella B0 es −0.2,el ex eso de olor y la absor ión en magnitudes Av que tiene esta estrella son:a) E(B-V) = 0.4 mag, AV=1.2 magb) E(B-V) = -0.4 mag, AV=1 mag ) E(B-V) = 0 mag, AV=12 magd) E(B-V) = 0.4 mag, AV=12 mag[ 10 El espe tro ara terísti o de una region HII onsiste dea) líneas de re ombina ión y líneas de ex ita ión olisionales intensasb) un ontinuo plano ) un ontinuo tipo uerpo negro, on líneas en absor iónd) espe tro tipo estelar on líneas en emisión[ 11 Un horro de átomos de hidrógeno moviéndose a 100 km/s ho a on una nubemuy densa de modo que toda la energía inéti a del horro se transforma en alor. ¾Qué temperatura tendrá el gas del horro después del hoque?a) 4.0× 103 Kb) 4.0× 104 K ) 4.0× 105 Kd) 4.0× 106 K[ 12 Las nebulosas planetarias representan:a) el gas alrededor de sistemas planetarios, omo por ejemplo la orona delSistema Solarb) la etapa nal de la evolu ión de estrellas no muy masivas ) regiones donde hay forma ión de planetasd) material perdido por planetas grandes, omo por ejemplo Júpiter y Saturno[ 13 La "línea de 21 m se reere a:a) radia ión en radio por hidrógeno neutro, a una fre uen ia de 1.42 GHzb) una transi ión de la serie de Balmer, la más roja de esta serie ) un detalle des ubierto en la super ie de Marte, en la base del ráter Galed) una transi ión de la serie Pfund de hidrógeno neutro

17[ 14 ¾Cuál es la diferen ia entre los úmulos estelares abiertos y los úmulos estelaresglobulares:a) sus velo idades y distribu iones en la Galaxiab) sus edades y omposi iones quími as ) el número de estrellas y su on entra iónd) todo lo arriba indi ado[ 15 A partir de los diagramas observados (V, BV) de dos úmulos galá ti os, ¾Quéelementos se utilizan para determinar sus distan ias relativas?a) Se igualan las magnitudes de las estrellas más brillantesb) Se igualan las magnitudes de las estrellas más débiles ) Se iguala el olor promediod) Se empalman las se uen ias prin ipales de ambos[ 16 ¾Por qué (y ómo) se utilizan las variables tipo efeida para determinar lasdistan ias?a) Porque son del mismo tamañob) Porque son del mismo brillo ) Porque las de mayor período son más brillantesd) Porque las de menor período son más brillantes[ 17 La ley de distribu ión de brillo de de Vau ouleurs, ono ida omo R1/4, se apli aa galaxias elípti as y des ribe, para estas galaxias:a) la masa de las galaxiasb) la existen ia de materia os ura ) el brillo super ial omo fun ión de la distan ia al entrod) la rota ión galá ti a[ 18 Las diferen ias prin ipales entre las galaxias Seyfert 1 y Seyfert 2 son:a) la visibilidad, o no, de la líneas an has de HI (Balmer), HeI y HeIIb) la presen ia, o no, de brazos espirales, respe tivamente ) la presen ia, o no, de un nú leo ompa to, respe tivamented) sus edades[ 19 La rela ión Tully-Fisher se reere a:

18 a) una orrela ión entre metali idad y magnitudes absolutas para galaxiaselípti asb) una orrela ión entre edades y dispersiones de velo idad para galaxias elíp-ti as ) una rela ión entre la luminosidad de una galaxia espiral y su velo idad derota iónd) una orrela ión entre metali idad y masa para galaxias espirales[ 20 Considere dos galaxias lejanas on velo idades de re esión de 1100 km/s y 6900km/s, lo alizadas a 15 Mp y 90 Mp , respe tivamente. De estas observa iones,el valor que se deriva para la onstante de Hubble es:a) 500 km/s/Mp b) 50 km/s/Mp ) 75 km/s/Mp d) 10 km/s/Mp

19Números útilesVelo idad de la luz c 3.00 × 108 m s−1Carga del ele trón e 1.60 × 10−19 CMasa del ele trón me 9.11 × 10−31 kgConstante de Plan k h 6.63 × 10−34 J s−1

h 1.054× 10−34 J s−1

h 4.14 ×10−15 eV shc 12.4 keV ÅConstante de Stefan-Boltzmann σ 5.67× 10−5 erg m−2 K−4 s−1Constante de radia ión a = 4σ/c 7.566× 10−15 erg m−3 K−4Constante de gravedad G 6.67 × 10−11 N m2 kg−2Permitividad del va ío ǫ0 8.85 10−12 N−1 m−2 C2Permeabilidad magnéti a del va ío µ0 1.26 × 10−6 m kg C−2Número de Avogadro NA 6.02 × 1023 mol−1Constante de Boltzmann k 1.38 × 10−23 J K−1Constante de los gases R 8.31 J K−1 mol−1Magnetón de Bohr µB = eh

2mec5.788 × 10−9 eV G−1.Ele trón volt 1 eV 1.602 × 10−19 JJoule J 107 ergAngstrom A 10−10m = 0.1 nmstatvolt/ m ( ampo elé tri o) statv/ m 3× 104 volt/m (volt/m =N/C)Atmósfera atm = 1.01325 bar = 101, 325PaConstante gravita ional G 4,299× 10−9Mp M−1

⊙ (km/s)2Masa solar 1 M⊙ 1.99× 1033 gRadio solar 1 R⊙ 6.96× 1010 mLuminosidad solar 1 L⊙ 3.827× 1033 erg s−1Unidad Astronómi a 1 AU 1.496× 1013 mParse 1 p 3.086× 1018 m