european virtual laboratory of mathematics - egyetemünk · semleges eleme az 1. hasonlóan az 5...

European Virtual Laboratory of Mathematics

Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436

Európai Virtuális Matematikai Laboratórium

Körtesi Péter

Gazdasági matematika online tankönyv

EVML e-könyvek Miskolc 2008

ISBN 978-963-661-853-7

Függvény fogalmának áttekintéseA függvény fogalma már a középiskolai oktatásban is jelen van, de a fogalom

pontos ismerete helyett az egyetemi, f½oiskolai tanulmányaik megkezdésekor a hall-gatók a függvényt a valós függvény fogalmával azonosítják, s½ot sokan annak is csak agra�kus képével, azon belül az els½o és másodfokú függvényekr½ol és esetleg az alapvet½otrigonometriai függvényekr½ol tudnak. A függvény fogalmának az áttekintése és azalapvet½o fogalmak tisztázása az egyetemeken azért is fontos, mert azt a hallgatóknagyon sokféle formában és sokszor eltér½o megközelítésben látják viszont kés½obbi tanul-mányaik során.Alapvet½o fogalmakHalmazok, elemek, halmazok megadása

Idézzük fel a halmaz, az elem és a hozzátartozás fogalmakat, amelyek alap-fogalmak, nem meghatározással, hanem példákon keresztül, induktív úton is-merhet½ok meg. Az alapfogalmak a tanulás során intuitív fogalom-képzetekformájában jelennek meg, és nagyon fontos a megfelel½o számú példa, amelyeklehet½oleg minél szélesebb körben szemléltetik a fogalom terjedelmét.A halmazok és elemeik közti összefüggést a hozzátartozás reláció fejezi ki,

egy adott e elemre és egy adott H halmazra pontosan az egyik igaz a következ½okét állítás közül:(a) e 2 H; ekkor azt mondjuk, hogy az e elem hozzátartozik a H halmazhoz,

rövidebben e eleme H-nak(b) e =2 H; ekkor azt mondjuk, hogy az e elem nem tartozik a H halmazhoz,

röviden e nem eleme H-nakA halmazok megadhatók:- tulajdonságaik leírásával, pl.: Legyen D a tízes számrendszer számjegyeinek

halmaza. Ugyanezt szokás mégD = fxjx a tízes számrendszer számjegyeg alak-ban írni.- elemeik felsorolásával általában a kevés elemet tartalmazó véges halmazok

adhatók meg, pl. D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g, de ez utóbbi lehet½oséget néhányegyszer½u végtelen halmaz megadására is szokás alkalmazni, például.

N = f1; 2; 3; 4; 5; :::g ;Z = f:::;�4;�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3; 4; :::g

Néhány halmaznak külön neve is van, az el½obbi N a természetes számok halmaza,Z az egész számok halmaza. Külön �gyelmet érdemel az üres halmaz, jele ?vagy f g, a számítástudományban a [ ] is ezt jelöli.A további fogalmak és a legfontosabb halmazm½uveletek már deduktív úton

is megadhatók, az addig kialakított intuitív fogalmakra támaszkodva.Részhalmaz

Meghatározás. Azt mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza B halmaznak,ha A minden eleme egyben B-nek is eleme. Jelölése A � B.Érdekes megjegyezni, hogy az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza,

és egy halmaz önmagának is részhalmaza, vagyis bármely A halmazra igaz, hogy

1

? � A; valamint A � A: Ezek a nem valódi részhalmazok, a többi (ha van ilyen)valódi részhalmaz.Halmazok metszete, egyesítése és különbsége

Az egyszer½uség kedvéért ezeket a m½uveleteket adott A és B halmazok eseténadjuk meg a következ½ok szerint:- az A és B halmazok metszetét A\B jelöli, A\B = fxjx 2 A és x 2 Bg ;- azA ésB halmazok egyesítésétA[B jelöli, A[B = fxjx 2 A vagy x 2 Bg ;- az A és B halmazok különbségét AnB jelöli, AnB = fxjx 2 A és x =2 Bg :Példa. Adottak az A ésB halmazok

A = f2; 3; 5g; B = f1; 3; 7g:

Ekkor A \B = f3g ; A [B = f2; 3; 5; 7g ; és A nB = f2; 5g ; :B nA = f1; 7gMegjegyzések.1. Ezeknek a fogalmaknak a rögzítését, elmélyítését szolgálhatják a hal-

mazm½uveletek tulajdonságainak tanulmányozása:

A \B = B \A; A [B = B [A; de A nB 6= B nA;

A \A = A; A [A = A; de A nA = ?;

A \? = ?; A [? = A; A n? = A; ? nA = ?;

A \ (B \ C) = (A \B) \ C; A [ (B [ C) = (A [B) [ C;

A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C) ; A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) :

2. Ez a tanulmányozás új fogalmak bevezetését is megkönnyíti:- Ha A \B = ?; akkor A és B idegen (diszjunkt) halmazok.3. A tulajdonságok viszonyíthatók az el½oz½oekben megadott részhalmaz fo-

galomhoz:- Ha A � B; akkor A \ B = A és A [ B = B; de ez a három állítás

tulajdonképpen egyenérték½u egymással, azaz bármelyikb½ol következik a másikkett½o.Descartes szorzat

Fogalmak. Bizonyos esetekben használjuk a rendezett elempár fogalmát,az a és b elemek rendezett elempárjának a jele (a; b). Jegyezzük meg, hogy(a; b) 6= (b; a) kivéve ha a = b. Hasonlóan vezethet½o be a rendezett elem-hármas,és a rendezett elem n-es fogalma, az a; b; c elemek rendezett elem-hármasát(a; b; c), az ai(i = 1; 2; :::; n) elemek rendezett elem n-esét (a1; a2; :::; an) jelöli.

2

Meghatározás. Az A és B halmazok Descartes szorzata az A�B; ahol

A�B = f(a; b) j a 2 A; b 2 Bg :

Hasonlóan három, vagy több halmaz Descartes szorzata

A�B � C = f(a; b; c)ja 2 A; b 2 B; c 2 Cg ,

illetve

A1 �A2 � :::�An = f(a1; a2; :::; an)jai 2 Ai; i = 1; 2; :::; ng :

Megjegyzés. Ha az adott halmazok nem különböznek, akkor használatosak akövetkez½o jelölések:

A�A = A2; A�A�A = A3; valamint A�A� :::�A| {z }n

= An:

Példa. Adottak az A, B és C halmazok

A = f2; 3; 5g; B = f1; 7g; C = f0; 4g;ekkor

A�B = f(2; 1); (2; 7); (3; 1); (3; 7); (5; 1); (5; 7)g ;B �A = f(1; 2); (7; 2); (1; 3); (7; 3); (1; 5); (7; 5)g ;

B2 = f(1; 1); (1; 7); (7; 1); (7; 7)g ;

A�B � C =f(2; 1; 0); (2; 7; 0); (3; 1; 0); (3; 7; 0); (5; 1; 0); (5; 7; 0);(2; 1; 4); (2; 7; 4); (3; 1; 4); (3; 7; 4); (5; 1; 4); (5; 7; 4)g

Nyilván A�B 6= B �AA sík pontjai például az R�R = R2 Descartes-szorzat elemei

R� R = f(x; y) j x 2 R; y 2 Rg

és a középiskolában tanult elemi függvények gra�kus képe mind az R2 síkrészhalmazai.Az el½obbi példában látott A�B és B�A Descartes szorzatok is ábrázolhatók

a síkban.Ha a szóban forgó halmazok mind egy úgynevezett teljes halmaz részei (Pl.:

a valós számok R halmazának részei, vagy az R2 sík részei), akkor értelmezetta kiegészítõ (komplementer) halmaz.

CTA = T nA = A

Pl.: T = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g ; A = f1; 3; 5; 7; 9g ;

3

CTA = A = f0; 2; 4; 6; 8gEzekre teljesülnek a de Morgan szabályok:

A [B = A \B; és A \B = A [B

SZÁMHALMAZOK:A leggyakrabban elõforduló számhalmazok:N = f0; 1; 2; 3; :::g természetes számokZ = f:::;�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3; :::g egész számokQ = fmn j m 2 Z; n 2 Z; n 6= 0g törtek (racionális számok)R = fx j x �abr�azolhat�o sz�amtengelyeng valós számok(számegyenes egy irányított egyenes kezd½oponttal és egységgel, és részhal-

mazai pl. a páros számok halmaza, vagy az irracionális számok halmaza).Nyilván, mint azt a �2 =2 N; 23 =2 Z;

p2 =2 Q összefüggések is mutatják, ezek

a számhalmazok egyre bõvebbek, azaz:

N � Z � Q � R

Használjuk még a következ½o jelöléseket is:

N� = N n f0g ; Z� = Z n f0g ; Q� = Q n f0g ; R� = R n f0g

A valós számok rendezése:A valós számok R halmaza teljesen rendezett a � reláció által, ami a szám-

egyenes irányításával adható meg. Az x�y azt jelenti, hogy y nem elõzi megx-et a számtengely növekvõ irányában.A rendezés tulajdonságai:x � x (re�exív)ha x�y és y�z, akkor x�z (tranzitív)ha x�y és y�x, akkor x=y (antiszimmetrikus)bármely x és y valós számra vagy x�y vagy y�x (a reláció teljes)A rendezés nem teljes az x<y esetén (csak elõrendezés a reláció)x<y azt jelenti, hogy x megelõzi y-t. Ez a reláció csupán tranzitív.A rendezéssel a valós számok fontos részhalmazai adhatók meg, az interval-

lumok:[a; b] = fx 2 R j a � x � bg(a; b) = fx 2 R j a < x < bg[a; b) = fx 2 R j a � x < bg; hasonlóan(a; b] = fx 2 R j a < x � bg[a;1) = fx 2 R j a � xg(a;1) = fx 2 R j a < xg; hasonlóan(�1; a] = fx 2 R j x � ag �es (�1; a) = fx 2 R j x < ag.

Pl.: (0;1) = R+ a pozitív valós számok halmaza R+ = fx j x > 0gvagy R� = (�1; 0), de szokás használni a Q+; ill. Q� jelöléseket és a pozitív

ill. negatív törtek (racionális számok) esetén.

4

Az intervallumokkal végezhetünk m½uveleteket, pl.:

[�2; 5) \ (�4; 4) = [�2; 4)(�2; 2) [ [1; 3] = (�2; 3]

de (�2; 2) \ (2; 4) = ?(�1; 0) [ [0;1) = R

Fontosak még az egy pontot tartalmazó, a pontra szimmetrikus interval-lumok is. Ezek megadhatók az abszolutérték felhasználásával is. Emlékeztetõülálljon itt az

jxj =�x; ha x � 0�x; ha x<0

meghatározása.Ezek szerint az jx� aj < " például azt jelenti, hogy x 2 (a� "; a+ ") ill.

jx� aj � " esetén x 2 [a� "; a+ "]:Ezeket az a pont szimmetrikus nyílt, illetve zárt "-környezetének is nevezik

és gyakran használjuk a határértékek, folytonosság vizsgálatánál.A valós számok részhalmazai (N;Z;Q; intervallumok) szintén teljesen ren-

dezettek a � relációra nézve.A valós számokban az értelmezett mûveletek, az összeadás és szorzás hasonló

tulajdonságain keresztül felfedezhetjük az alapvetõ algebrai struktúrákat.Tekintsük ezeket párhuzamosan:

+(összeadás) �(szorzás)1� x; y 2 R; x+y 2 R x; y 2 R; x�y 2 R (jól értelmezett)2� x+ y = y + x x � y = y � x (kommutatív)3� x+(y+z) = (x+y)+z x�(y�z) = (x�y)�z (asszociatív)4� x+0 = 0+ x = x x � 1 = 1 � x = x (van semleges

elem)5� x+ (�x) = (�x) + x = 0 x 1x =

1xx = 1 (ha x6=0)

(minden elemnek van szimmetrikusa)Vegyük észre, hogy a 4� pontban megadott tulajdonságot a mûvelettõl füg-

gõen más-más szóval fejezzük ki. Az összeadás semleges eleme a 0, a szorzássemleges eleme az 1. Hasonlóan az 5� pontban adott tulajdonság az összead-ásnál a szám ellentettjét jelenti, a szorzás esetén a szám fordítottját (inverz,reciprok).Ez a nagyfokú hasonlóság az oka annak, hogy beszélünk a mûveletekre

vonatkozó algebrai struktúrákról. Azt mondjuk, hogy a valós számok R hal-maza az összeadásra (R;+) és a szorzásra (R�; �) nézve, külön-külön kommutatív(Ábel) csoport. (R�� = R n f0g)A kétmûveletes algebrai struktúrák esetén gyakran kapcsolódik a két struk-

túra. A valós számok esetén: x�(y+z) = x�y+x�z; a disztributív tulajdonságbiztosítja azt, hogy (R,+,�) egy kommutatív test.Hasonló csoport vagy test struktúrákkal másutt is találkozunk, de ezek nem

merítik ki a fontos struktúrák összességét.

5

Figyeljük meg, hogy pl. (Q,+,�) is kommutatív test, de pl. (Z,+,�) nem,mivel (Z�, �) nem kommutatív csoport, ugyanis nem minden z 2 Z egésznekvan fordítottja a Z-ben.(2 fordítottja 1

2 =2 Z).Így (Z, �) csak kommutatív, egységelemes félcsoport, és így (Z, +, �) kom-

mutatív, egységelemes gyûrû.Ezek a leggyakrabban elõforduló struktúrák.A valós számok két alapmûveletének hasonlóságát fokozza az ismételt mûveletekre

használt jelölés, bár ez eléggé eltérõ:

a+ a+ a+ ::::+ a = n � a (együttható)a � a � a � ::: � a = an (hatványkitevõ)

és végig gondolhatjuk ezek hasonló tulajdonságait, pl.:

n � a+m � a = (n+m) � aan � am = an+m

n � a�m � a = (n�m) � aan

am = an�m

ezeknek az ellenõrzését az olvasó is elvégezheti. Ennek a hasonlóságnak azoka az az izomor�a, ami az (R, +) és (R+, �) között felfedezhetõ.Izomor�a áll fenn két algebrai struktúra között, ha olyan nagyfokú a hason-

lóság, hogy az egyik struktúra bármilyen mûveletsora �modellezhetõ�a másikkal.Ennek egy nagyon szép régi példája a logarléc: - itt az összeadás mûveleteivela szorzást modellezzük. A logarléc sok évtizeden keresztül a mérnökök egyiklegfontosabb eszköze volt a gyors számítások elvégzésére, ma már a zsebszá-mológépek helyettesítik és a logarléc csak mint tudománytörténeti eszköz maradtfenn. A logarléc, a logaritmus skála a 10-es alapú (log10x=lgx) hatványkitevõtmutatja és pl 2�4=8 szorzás helyett a 2-nek és 4-nek megfelelõ hatványkitevõkösszegénél a 8 hatványkitevõjére mutat, azaz a �leolvasáshoz�2 és 4-es �összege�helyett 2 és 4 szorzata, 8 áll. Így bátran tekinthetjük a logarlécet az analógszámítógépek õsének. Természetesen a logarléc használata nem csak a szorzásés osztás, hanem a hatványozás, gyökvonás és sok más számítás elvégzését islehetõvé teszi, ezekre meglehetõsen gyors és a logarléc méretétõl függõen elégpontos közelítõ számításokat tesz lehetõvé (minél nagyobb méretû, annál pon-tosabb a leolvasás).Hatványozás, gyökvonás, logaritmusA középiskolás anyagban fontos helyet foglalnak el a hatványozás és gyökvonás

tulajdonságai, és ezeket az elõbb említett izomor�a révén könnyen beláthatjuk.A továbbiakban a > 0 valós számot jelöl. m, n, k természetes számok

an

am= an�m , a0=1; s~ot

1

an= a�n

A gyökvonás sem több, mint a tört kitevõ használata:

npa = a

1n

npak = a

kn -re is érvényes.

6

Vegyük észre, hogy a kitevõk szintjén eggyel alacsonyabb rendû mûvelettükrözi a hatványmennyiségek közti mûveletet.

am � an = am+n, kitev½oben: összeadás (szorzat kitevõje a kitevõk összege)am

an = am�n; kitev½oben: kivonás (hányados kitev½oje a kitev½ok különbsége)

(am)n = am�n; kitev½oben: szorzás (hatvány hatványa a kitev½ok szorzata)npam = a

mn , kitev½oben: osztás (gyökmennyiség hatványa a kitev½ok hányadosa)

A törtkitev½ok használata megkönnyíti az irracionális kifejezések számolását:Pl.:

6

q3pa2 �

pa3 � 3

q6papa =

�a23 � a 32

� 16 ��a � a 12

� 16

� 13

=

= a19 � a 14 � a 1

18 � a 136 = a

4+9+2+136 = a

1636 = a

49 =

9pa4

Ezt a logaritmus tulajdonságai is kifejezik. Idézzük fel a logaritmus meghatározását:Ha ax = A akkor logaA = x; a > 0; a 6= 1: Külön jele van a = 10 és a = e

esetén log10A = lgA; logeA = ln e; az e számról kés½obb.Azt is mondhatnánk, hogy a logaA megmutatja azt az x hatványkitevõt,

amelyre ax = A:Az el½obb megfogalmazott négy tulajdonság, a logaritmus jelöléssel:

logaA �B = logaA+ logaB (szorzat kitevõje a kitevõk összege)loga

AB = logaA� logaB (hányados kitevõje a kitevõk különbsége)logaA

n = n � logaA (hatvány hatványa a kitevõ szorzata)loga

npA = loga A

n (gyökmennyiség hatványa a kitevõk hányadosa)

A logaritmus alapvetõ tulajdonságai még: x = loga ax és x = aloga x és

logaA = logbA � loga bHasználhatjuk ezeket a tulajdonságokat például a logaritmus egyenletek megoldása

során:

log2 x2 + log2 4 = 6 vagy log2 x

2 = log2 26 � log2 22

log2 x2 + 2 = 6 log2 x

2 = log2 24

log2 x2 = 4 x2 = 24

x2 = 24 x2 = 16

x2 = 16

x = �4 x = �4

de hasznosak lesznek a deriválás (logaritmikus deriválás) vagy határértékszámításnál is, ahol

f (x)g(x) helyett eln f(x)

g(x)

eloge f(x)g(x)

-et veszünk.

7

Más felhasználásúak pl az alábbi irracionális kifejezés kezelése:

lg

6

q3pa2pa3 � 3

r6

qapa

!= lg

6

q3pa2pa3 + lg

3

r6

qapa =

=1

6��lg

3pa2 + lg

pa3�+1

3� 16� (lg a+ lg

pa) =

=1

6��2

3lg a+

3

2lg a

�+1

18lg a+

1

36lg a =�

1

9+1

4+1

18+1

36

�lg a =

4

9lg a = lg a

49 = lg

9pa4

Feladatok1. Adott A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f2; 4; 6; 8g, C = f1; 3; 5; 7; 9g. Számítsa ki:a.) A [B;A [ C;A \B;A \ C;B [ C;B \ Cb.) (A [B) \ C; (A \ C) [ (B \ C); (A \B) [ C; (A [ C) \ (B [ C):Ezek között melyek egyenlõek és miért?c.) A nB;B nA;A n C;C nA;B n C;C nBd.) A�B;B �A;C � C; ezeket ábrázolja a sík ponthalmazaiként.2. Értelmezzük egy T teljes halmaz A;B;C; ...halmazok karakterisztikus

függvényét a következõ módon:

fA : T ! f0; 1g fA (x) =

�0; x =2 A1; x 2 A

Ennek a legfontosabb tulajdonsága az, hogy pontosan leírja az A halmazelemeit.Ha A = B, akkor fA(x) = fB (x) minden x-re, tehát alkalmas halmazok

egyenlõségének vizsgálatára.Igazolja, hogy a karaketrisztikus függvények rendelkeznek a következ½o tula-

jdonságokkal, amelyek jellemzik a halmazokkal végzett m½uveleteket:a. fA (x) � fA (x) = fA (x)b. fA (x) = 1� fA (x)c. fA\B (x) = fA (x) � fB (x)d. fA[B (x) = fA (x) + fB (x)� fA (x) � fB (x)e. fAnB (x) = fA (x)� fA (x) � fB (x)

Alkalmazásként bebizonyítjuk a De Morgan azonosságokat:

A [B = A \B; és A \B = A [B

fA[B (x) = 1� fA[B (x) = 1� [fA (x) + fB (x)� fA (x) � fB (x)] == 1�fA (x)�fB (x)+fA (x)�fB (x) = (1� fA (x)) (1� fB (x)) = fA\B (x) ;tehát: fA[B (x) = fA\B (x)fA\B (x) = 1� fA\B (x) = 1� fA (x) � fB (x) ugyanakkorfA[B (x) = fA (x) + fB (x)� fA (x) � fB (x) =

8

= 1� fA (x) + 1� fB (x)� (1� fA (x)) (1� fB (x)) = 1� fA (x) � fB (x) ;vagyis: fA\B (x) = fA[B (x) :Mindkét esetben azt kaptuk, hogy az adott halmazok karakterisztikus füg-

gvényei egyenl½ok, tehát maguk a halmazok is egyenl½ok.3. Igazolja (pl.: a 2. feladatot felhasználva)

(A [B) \ C = (A \ C) [ (B \ C)A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C(A \B) [ C = (A [ C) \ (B [ C)A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)

A \�B \ C

�= (A \B) [ (A \ C) =

�A [B

�[�A [ C

�A \B \ C = A [B [ C

4. Adja meg a következõ intervallumokat:[�2; 3] \ [�1; 4] =[�2; 3] [ [�1; 4] =(�2; 3) \ (�1; 4) =(�2; 0) [ (0; 1) =(�1; 0) \ [0; 2) =(�1; 1] \ (�1; 8) =fx 2 Rj jx� 2j � 1g =fx 2 Rj jx+ 4j < 4g =fx 2 Rj jx+ 1j > 3g =fx 2 Rj jx� 3j � 1g =fx 2 Rj jx� 1j � 1

100g =5. Írja fel az abszolut érték felhasználásával a következõ intervallumokat!(�2; 2) = fx j x 2 R; :::g[�1; 1] =[5; 7] =[�4; 0) =(0:99; 1:01) =

Relációk

Meghatározás. Legyen A és B két halmaz. Jelölje a�b azt, hogy az a 2 Aés b 2 B elemek � relációban vannak. Az A és B halmaz elemei között egy �reláció akkor ismert, ha pontosan tudjuk, hogy melyek azok az elemek, amelyek �relációban vannak, vagyis ha pontosan tudjuk, hogy melyek azok az összetartozó(a; b) elempárok, amelyekre a�b.Ezeknek az elempároknak az S� halmaza, az A � B egy részhalmaza lesz a

reláció tartóhalmaza, az

S� = f(a; b)ja 2 A; b 2 B; a�bg � A�B:

Az A és B halmazok elemei közti, S� tartóhalmaz által leírt, � relációt rö-viden (A;B; S�), vagy (A;B; �) jelöli.

9

FüggvényekMeghatározás. Két halmaz, az értelmezési tartomány (az els½o halmaz)

és az értéktartomány (a második halmaz), valamint az elemeik közti reláció,a megfeleltetés, pontosan akkor függvény, ha az alábbi két feltétel egyidej½ulegteljesül:(i) Az értelmezési tartomány minden elemének megfelel az értéktartomány-

nak legalább egy eleme.(ii) Az értelmezési tartomány minden elemének legfeljebb egy elem felel meg

az értéktartományból.

Megjegyzés. Az el½obbi két pont, (i) és (ii) helyett azt is mondhatnánkröviden, hogy az értelmezési tartomány minden elemének pontosan egy elemfelel meg az értéktartományban, de mint látni fogjuk érdemes megkülönböztetnia megfeleltetés két tulajdonságát, mintegy �alulról�és �felülr½ol�is behatárolniazt, mert ez két feltétel a szürjektív és injektív függvények meghatározásánakalapja. Ez a két feltétel nem azt a tartalmat fedi le, ami a deduktív fogalomal-kotás esetén genus proximum és di¤erentia speci�ca néven ismert.A függvények fogalma, pontosabban a megfeleltetés körülírása sokféleképpen

közelíthet½o meg, de ezek közül a legelterjedtebb, és talán a leghasznosabb arelációkon, és a Descartes szorzaton alapszik.Különböz½o jelölések, elnevezések

Az alábbiakban felsoroljuk a függvények esetén leggyakrabban használt jelölé-seket, elnevezéseket.Általában az A értelmezési tartomány elemeinek az f megfeleltetéssel a B

értéktartomány elemeit hozzárendel½o függvényt f : A! B , vagy Af7! B jelöli.

Ha az x 2 A független változónak a megfelel½oje az y 2 B , akkor ezt x f7! y, vagyx 7! y, jelöli és azt mondjuk, hogy x-nek a képe y, vagy y az x képe (képeleme).Egyes szerz½ok az y = f(x) jelöléssel fejezik ki ugyanezt a tényt, és azt mondják,hogy y a függvénynek az x változóban felvett értéke, röviden a függvény értékex-ben.

Példa. Azf : R! R; f(x) = x2;

vagy az

R f7! R; x f7! x2

ugyanazt a függvényt jelöli, de szokás, az értelmezési tartomány és az érték-tartomány megadása után, egyszer½uen csak az f(x) = x2, vagy az x 7! x2

függvényr½ol beszélni, bár ez utóbbi maga a megfeleltetés.Gyakori fogalomzavar a függvény gráfja és a függvény gra�kus képe, a függ-

vényábra körül, ezt a két fogalmat a hallgatók gyakran felcserélik, nem használ-ják megfelel½oképpen. Az itt használt függvény gráfja kifejezés a függvényrelációtartóhalmazának szokásos elnevezése, és nem tévesztend½o össze a gráfokkal, mintcsúcsokból és irányított, vagy irányítatlan élekb½ol álló alakzatokkal, amelyeknek

10

a meghatározása a függvények segítségével a szokásosnál pontosabban is megad-ható, lásd kés½obbiekben a Függvények néhány további alkalmazása c. fejezetet.Meghatározás. A függvény gráfja az értelmezési és értéktartomány Des-

cartes szorzatának az a része, Gf � A�B; amely az összes, a függvény megfelel-tetés szerint egymáshoz rendelt x független változót és y képelemet rendezett(x; y) elempárként tartalmazza. Az y = f(x) jelöléssel élve:

Gf = f(x; f(x)) j x 2 Ag :

Azoknak a függvényeknek az esetében, amelyeknek értelmezési és értéktar-tománya is a valós számok részhalmaza, ez a függvénygráf sok esetben szem-léltethet½o egy függvényábrával (ez a függvény gra�kus képe), rendszerint egygörbével, amely vázlatosan ugyan, de lehet½oséget adhat arra, hogy a függvényrejellemz½o független változó- képelem megfeleltetést vizuálisan is el tudjuk képzelni.Ennek a függvényábrának többféle elnevezése használatos (függvény gra�kusképe, függvény képe, rajza, görbéje stb.), és az analízis oktatása során gyakranfelmerül a függvény tanulmányozása (függvény menete, függvény-diszkusszió),és a függvényábra vázlatos elkészítésének ígénye.Példák1. Példa. Az el½obbiekben megadott f : R! R; f(x) = x2; röviden x 7! x2

gráfja:

Gf =�(x; x2) j x 2 R

� R� R = R2

és ennek a függvénynek az ábrája a csak egy véges részt hivatott �szemléltetni�:

x 7! x2

2. Példa. Ez a szemléltetés, f½oleg ha számítógépi programot használunk,nem biztos, hogy a függvénynek a �természetét�a legjellegzetesebb pontokbanábrázolja. Például az x 7! (x � 10)2 függvényábrát a program a következ½onek�látja�:

11

x 7! (x� 10)2

ami nyilván nem hibás, csak semmitmondó, hiszen ez a második függvény azel½oz½onek a jobbratolása, és így nyilván az program a függvénynek egy monotonszakaszát ábrázolja, ami nem jellemz½o a parabola - amúgy ismertnek mondható- alakjára. A hallgató számára viszont, aki esetleg nem ismeri ezt, azzal a veszél-lyel járhat egy ilyen �beépített funkció�használata, hogy téves következtetésrejuthat.Ráadásként ez a függvényábra még a valós változójú valós füg-

gvények esetében sem mindig készíthet½o el.

3. Példa. A

� : R! R; �(x) =�1 ha az x 2 Q0 ha az x =2 Q

ún. Dirichlet függvény képének csak bizonyos pontjait tudjuk megrajzolni,hiszen a függvényértékek �s½ur½un�lefedik az y = 0 és y = 1 egyeneseket.

4. Példa. Az

f : R! R; f(x) =�

sin 1x ha az x 6= 00 ha az x = 0

képe �csak�az origó környezetében nem rajzolható meg, még a gép �igyekezete�ellenére sem, a számítógép diszkrét aritmetikája miatt:

sin 1x

5. Példa. Az el½obbi két példában a függvényábra elkészítésének lehetetlen-sége abból is adódik, hogy ezek a függvények nem folytonosak (az egyik sehol

12

sem az, a másik csak az origóban), de ha az el½oz½o példának a mintájára azorigóban is folytonos

f : R! R; f(x) =�x sin 1

x ha az x 6= 00 ha az x = 0

függvényt tekintjük, akkor a számítógép által �megrajzolt� ábrákon az origókörnyékén az egyre �pontosabb függvényábrán�azt látjuk, hogy minél apróbbrészleteket nagyítunk ki, a függvényábra annál �kaotikusabban�viselkedik.

x sin 1x

A Plotting curves c. MT- projekt alkalmazása során a hallgatók kife-jezetten ezeket a kérdéseket tanulmányozhatják a MacInstosh számítógépekenalkalmazható Mathematical MacTutor szoftver segítségével, lásd a CD-melléklet-ben a MacTutor projects könyvtárat.

A függvény fogalmának pontosításaMeghatározás. Az (A;B;Gf ) relációt, az A halmazbeli változójú B hal-

mazbeli értékekkel rendelkez½o f függvénynek nevezzük, ha egyid½oben teljesül akövetkez½o két feltétel:(i) Bármely x 2 A független változó esetén létezik legalább egy y 2 B, a-

melyre (x; y) 2 Gf .(ii) Bármely x 2 A független változó esetén legfeljebb egy olyan y 2 B létezik,

amelyre (x; y) 2 Gf .Megjegyzés. Az (A;B;Gf ) jelölés helyett szokás még a következ½o jelölések

egyikét használni:

13

(A;B; f); f : A! B; vagy Af7! B:

Példa. Vegyük az A = f1; 2; 3g , B = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g halmazokat,valamint az A�B Descartes szorzatuknak egy részhalmazát, a

Gf = f(1; 1); (2; 4); (3; 9)g � A�B

Az (A;B;Gf ) hármas egy függvény, aminek az értelmezési tartománya A, érték-tartománya B. Ugyanez a függvény még megadható az (A;B; f); f : A ! B ,

vagy Af7! B alakok egyikével, ahol f(x) = x2 , x

f7! x2, vagy csak egyszer½uenx 7! x2.Megjegyzés. A függvények megadására használt különböz½o alakok más és

más szemléletet hivatottak hangsúlyozni, ezért alkalmazásuk a félreérthet½oségés a hibák elkerülése végett fokozott körültekintést igényel, lásd Kósa András:Vírusok a matematikában c. könyvét.A függvényfogalom mélyebb megértéséhez célszer½u a függvények egyenl½oségét,

kiterjesztését, és lesz½ukítését tanulmányozni.Függvények egyenl½osége, kiterjesztése, és lesz½ukítése

Meghatározás. Két függvény, az (A1; B1; Gf1) és (A2; B2; Gf2); pontosanakkor egyenl½ok, ha A1 = A2, B1 = B2, és Gf1 = Gf2 . Jelölése másképp:(A1; B1; f1) = (A2; B2; f2).Példa. Vegyük ismét az A = f1; 2; 3g és B = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g hal-

mazokat, és a függvény gráfja legyen

14

Gf = f(1; 1); (2; 4); (3; 9)g � A�B

Vegyük továbbá a C = f1; 2; 3g és D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) halmazokat.és a g : C ! D függvényt, ahol g(x) = x2: Az (A;B;Gf ) függvény egyenl½o lesza (C;D; g) függvénnyel a különböz½oképpen alkalmazott jelölések ellenére, hiszenértelmezési tartományaik, értéktartományaik rendre megegyeznek, és a megfelel-tetés során az értelmezési tartomány minden x elemének pontosan ugyanazt azy képelemet rendelik hozzá.Ugyanakkor az (A;E; h); ahol h(x) = x2, E = f1; 4; 9g ; esetén (A;B;Gf ) 6=

(A;E; h) annak dacára, hogy f(x) = h(x) minden x 2 A esetén; mivel az érték-tartományuk különböz½o, s½ot, mint azt kés½obb látni fogjuk (A;E; h) bijektív,miközben (A;B;Gf ) nem az.Ugyanakkor az (A;B;Gf ) az (A;E; h)-nek egy kiterjesztése, és (A;E; h)

az (A;B;Gf ) egy lesz½ukítése. A függvénykiterjesztés, és a függvénylesz½ukítésérintheti a függvény értelmezésében szerepel½o bármely elemet, nem csak azértéktartományt.Meghatározás. Ha az (A;B;Gf ) és (C;D;Gg) függvények esetén A � C ,

vagy B � D vagy Gf � Gg, akkor (A;B;Gf ) egy lesz½ukítése a (C;D;Gg)�nek,illetve (C;D;Gg) egy kiterjesztése az (A;B;Gf )-nek :Függvény inverze, szürjektív, injektív és bijektív függvények

Meghatározás. Legyen (A;B;Gf ) egy függvény, és tekintsük a

Gf� = f(y; x) j (x; y) 2 Gfg

halmazt. Ha (B;A;Gf�) szintén függvény, akkor ez az (A;B;Gf ) függvényinverze:Megjegyzés. Általában (B;A;Gf�) nem függvény, (csak az inverz reláció).Példa. Vegyük az A = f�1; 1; 2; 3g , és B = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g halma-

zokat és aGf = f(�1; 1); (1; 1); (2; 4); (3; 9)g � A�B

Nyilvánvalóan (A;B;Gf ) függvény, de (B;A;Gf�), ahol

Gf� = f(1;�1); (1; 1); (4; 2); (9; 3)g � B �A

már nem függvény, hiszen a függvény meghatározásában szerepl½o feltételekegyikét sem teljesíti, 3 2 B elemnek egyáltalán �nincs visszafele képe�, nincsolyan a 2 A amire (3; a) 2 Gf� , ugyanakkor például az 1 2 B elemnek egynéltöbb �képe van visszafele�, hiszen (1;�1) 2 Gf� ;mellett (1; 1) 2 Gf� .Ez az ellenpélda arra is jó, hogy világossá váljon az a két feltétel, ami az

inverz függvény létezéséhez szükséges, vagyis az inverz függvény csak akkorlétezhet, ha a a függvényben minden értéktartománybeli elemnek �van visszafeleis legalább egy képe� és egyik értéktartománybeli elemnek �sincs egynél többképe visszafele�. Ezt a két tulajdonságot egy függvény külön-külön is teljesít-heti, ez vezethet el a szürjektív és injektív függvények fogalmához.

15

Meghatározás. Legyen egy (A;B;Gf ) függvény. Ha bármely y 2 B elemesetén létezik legalább egy x 2 A, amelyre (x; y) 2 Gf , akkor (A;B;Gf ) egyszürjektív függvény.Meghatározás Legyen egy (A;B;Gf ) függvény. Ha bármely y 2 B elem

esetén legfeljebb egy olyan x 2 A létezik, amelyre (x; y) 2 Gf , akkor (A;B;Gf )egy injektív függvény.Meghatározás. Az (A;B;Gf ) függvény bijektív, ha egyidej½uleg szürjektív

és injektív.Megjegyzés. A bijektív függvényeknek van inverze, hiszen teljesítik az in-

verz függvény létezésének feltételeit, az (A;B;Gf ) függvény inverze a (B;A;Gf�);ahol Gf� = f(y; x) j (x; y) 2 Gfg. Az (A;B;Gf ) inverz függvényét rendszerint(B;A;Gf�1) jelöli, ahol f�1 az inverz reláció jele. Másként jelölve: Az (A;B; f)bijektív függvény inverze a (B;A; f�1).1. példa. Az A = f�1; 1; 2; 3g , B = f1; 4; 9g, valamint a

Gf = f(�1; 1); (1; 1); (2; 4); (3; 9)g � A�B

esetén (A;B;Gf ) szürjektív függvény (de nem injektív).2. példa. Az A = f�1; 2; 3g , B = f0; 1; 4; 7; 9g, valamint a

Gf = f(�1; 1); (2; 4); (3; 9)g � A�B

esetén (A;B;Gf ) injektív függvény (de nem szürjektív).3. példa. Az A = f�1; 2; 3g , B = f1; 4; 9g, valamint a

Gf = f(�1; 1); (2; 4); (3; 9)g � A�B

esetén (A;B;Gf ) bijektív függvény (szürjektív és injektív egyidej½uleg).Ennek a bijektív függvénynek van inverze, és ez az inverz a (B;A;Gf�1);

aholGf�1 = f(1;�1); (4; 2); (9; 3)g :

Érdekes megjegyezni azt, hogy az (A;B;Gf ) függvény egy más jelöléssel azf(x) = x2 alakban is megadható, ugyanakkor ennek a függvénynek az inverzenem írható f�1(x) =

px alakban, mivel ez az 1-hez az 1-et és nem �1-et

rendelné.Értelemszerûen, ha egy függvény injektív és szürjektív, akkor megfordítható

(bijektív), azaz van inverze. Az f�1jelû inverz függvényre f�1 : B ! AEnnek egyik nagyon szép példája a középiskolában tanult exponenciális és

logaritmus függvény.Pl. ha f : R! (0;1) ; f(x) = 2x akkor f�1 : (0;1)! R; f�1(x) =

log2 xegymás inverzei.A számhalmazokon értelmezett elemi függvények (Pl.: f : R ! R a val�os

f �uggv�enyek) az R2=R� R Descartes koordináta rendszerben ábrázolhatók.Pl.: f : R! R f(x) = x2 jólismert ábrája a parabola.Azt, hogy egy függvény injektív, a függvényábra is elárulhatja. Ez esetben

ugyanis bármilyen y = b vízszintes legfeljebb egyszer metszi a függvénygörbét.

16

A függvény szürjektív, ha minden y = b (b 2 B) metszi (legalább egyszer) agörbét.(Pl.: az adott f : R! R f(x) = x2 nem injektív, mert (f(�1) = f(1) =1) Az adott példa f : R ! R, f(x) = x2 nem is szürjektív, hiszen y = �1 nemmetszi az ábrát. .Tehát az f : R ! R , f(x) = x2 nem injektív, sem szürjektív. Ennek a

függvénynek lehet olyan leszûkítését venni, ami viszont bijektív.Lásd például az f : [0;1)! [0;1) f(x) = x2-et.Az inverz függvények ábrája szimmetrikus a koordináta rendszer I. negyedének

szögfelezõjére nézve, ezt érdemes megjegyezni az ábrák elkészítésénél.

Függvény és inverzének gra�kus képeÉrdekes kapcsolat van a függvény és inverzének gra�kus képe között, ha

ugyanabban a koordinátarendszerben, egymás mellett ábrázoljuk ½oket.Az el½obbi 3. példában említett függvényhez hasonlóan, ha tekintjük az

A = [0;1), a B = [0;1) halmazokat és az (A;B; f) függvényt, amelyref(x) = x2, valamint a (B;A; f�1) inverz függvényt, amelyre f�1(x) =

px és

mindkett½ot egyidej½uleg ábrázoljuk a koordinátarendszerben, akkor a következ½ofüggvényábrákat kapjuk.Észrevehet½o, hogy a két függvényábra az els½o negyed szögfelelz½ojére, másképp

az y = x egyenesre (vagy f(x) = x, els½ofokú függvényre) szimmetrikus:

Az inverz függvény megkereséseIsmét az el½obbi 3. példában említett függvényre hagyatkozunk, ha tekintjük

az A = [0;1), a B = [0;1) halmazokat és az (A;B; f) függvényt, amelyref(x) = x2, valamint a (B;A; f�1) inverz függvényt, amelyre f�1(x) =

px: A

kérdés az, hogy miként juthatunk el általában egy függvény inverz függvényéneka kifejezéséhez, ha az adott függvényr½ol tudjuk, hogy bijektív, tehát van inverze?Az említett példában tekinthetjük az adott függvénykapcsolatot kifejez½o y =

x2 kétváltozós egyenletet. Ha ezt "megoldjuk" x-re, vagyis ha most nem az y

17

függ½o változót fejezzük ki az x független változóval, hanem fordítva, akkor azx =

py , és x = �py értékek adódnak.

Az inverz függvényhez vezet½o inverz relációt egyszer½u "változócsere" adja,ugyanis az inverz függvényben a független változó az eredeti függvény füg-gvényértéke, illetve, a függvényértéke az eredti függvény független változója lesz.Valóban ez a két lehet½oség, ami közül választhatunk.Ha az els½ot választjuk, akkor az x =

py relációban az y =

px "változóc-

sere", elvezet a (B;A; f�1) inverz függvényhez, amely a B = [0;1) halmaztképezi le az A = [0;1) halmazra, amelyre f�1(x) =

px. Érdemes tudni azt is,

hogy egy másik inverzet is értelmezhetünk, ha az eredeti függvény helyett tek-intjük az A = (�1; 0], a B = [0;1) halmazokat és az (A;B; f) függvényt, ame-lyre f(x) = x2, és a második lehet½oséget választjuk az inverz relációban, azazha az x = �py relációban végezzük el a "változócserét, és így y = �

px vezet

el a(B;A; f�1) inverz függvényhez, amely a B = [0;1) halmazt képezi le azA = (�1; 0] halmazra, amelyre f�1(x) = �

px.

Ekkor az eredeti függvény az f : (�1; 0]! [0;1); f(x) = x2 és ábrája:

ugyanakkor az inverz függvény az f : [0;1) ! (�1; 0]; f(x) = �px és

ábrája:A függvények megnevezése

Az oktatás során gyakran kell megemlíteni bizonyos függvényeket, és gyakranhasználjuk bizonyos függvények gy½ujt½onevét, ezekben is sok tévedési lehet½oségrejlik. A valós függvény, a kétváltozós függvény, vagy a vektorfüggvény el-nevezések helyett talán az a járható út, ha a függvényeket �hosszú nevükön�nevezzük, egy szövegkörnyezetben legalább az els½o alkalommal.Helyes tehát a valós változójú valós függvény (a valós függvény helyett),

továbbá nyugodtan használhatók a két- (valós) változós valós függvény, a kom-plex változójú valós függvény és a 2 dimenziós vektor változójú valós függvény

18

elnevezések, hiszen ezek dacára a hasonlóságnak, más és más értelmezési tar-tományra utalnak. Ez a négy - alapjában különböz½o - eset mind beilleszthet½o avalós függvény elnevezésbe, de ugyanakkor félreértésre is okot adhat.Hasonlónak tekinthet½ok és mégis mást-mást jelentenek a három- (valós)

változós valós függvény, és a 3 dimenziós vektor változójú valós függvény el-nevezések is.Bár kínosan precíznek t½unik, talán helyesebb, az el½obbi fenntartással élve, a

skalár-vektor, vektor-skalár és vektor-vektor függvények helyett, a pontosabb fo-galmat használni, például kétdimenziós vektor változójú háromdimenziós vektorérték½u függvényr½ol beszélni.

Az elemi függvények áttekintése

Az úgynevezett elemi függvények sok fontos tulajdonsággal rendelkeznek, ésa függvénytranszformációk ismeretében a gra�kus képük ábrázolása, illetve afüggvénygörbe vázlatos megrajzolása is lehet½ové válik. Ugyanez az analízis es-zközeivel, a határértékek, a deriváltak alkalmazásával még pontosabban elvégezhet½o.1. HatványfüggvényekAzt az f : R ! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) = xn; n �

1; :n 2 N, hatványfüggvénynek nevezzük.Meg kell különböztetnünk két hatványkitev½o típust, a páros és páratlan

kitev½oket külön-külön tárgyaljuk.Ha n páros, azaz n = 2k; akkor a függvénycsaládnak az y tengely a szim-

metriatengelye, és az alapfüggvényhez, az egyszer½u (másodrend½u) paraboláhozhasonlít. A következ½o ábrák az f(x) = xn függvényt ábrázolják rendre ; f(x) =x2; f(x) = x4; f(x) = x6, majd egy összehasonlítás végett együtt a három, a"legmeredekebb" természetesen az utóbbi.

; f(x) = x2

f(x) = x4

f(x) = x6

20

f(x) = x2; f(x) = x4; f(x) = x6

MAPLE: plot([x^2,x^4,x^6],x=-2..2, y=0..4);Észrevehet½o, hogy mindhárom függvényábra áthalad a (�1; 1); (0; 0) és (1; 1)

pontokon, ennek a függvénytípusnak ez a három "�xpontja"van.Ha n páratlan, azaz n = 2k + 1; akkor a függvénycsaládnak az origó a

szimmetriapontja, és az alapfüggvényhez, az ún. harmadrend½u paraboláhozhasonlít. A következ½o ábrák az f(x) = xn függvényt ábrázolják rendre ; f(x) =x3; f(x) = x5; f(x) = x7, majd egy összehasonlítás végett együtt a három, a"legmeredekebb" természetesen az utóbbi.

f(x) = x3

f(x) = x5

f(x) = x7

f(x) = x3; f(x) = x5; f(x) = x7

22

Ha az els½o negyed szögfelez½ojét is feltüntetjük, kiderül, hogy ennek a füg-gvénycsaládnak is van három �xpontja, és ezek a f(x) = x; az I.-III.-negyedszögfelez½oje mentén vannak, azaz a (�1;�1); (0; 0) és (1; 1) pontok.

f(x) = x; f(x) = x3; f(x) = x5; f(x) = x7

MAPLE: plot([x, x^3,x^5,x^7],x=-2..2, y=-2..2);2. Hatványfüggvények negatív kitev½ovel

Azt az f : R�f0g ! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) =x�n; n � 1; n 2 N, negatív kitev½os hatványfüggvényeknek, vagy reciprok füg-gvényeknek nevezzük, mivel általában a fordított arányosságot jellemzik.Az alapfüggvény, és egyben a függvénycsalád névadója az f : R�f0g ! R

valós változójú, valós függvény, amelyre f(x) = x�1; és amely a fordítottanarányos mennyiségekre jellemz½o.

f(x) = x�1

Ennek a függvénycsaládnak az 0 nem tartozik az értelmezési tartományához,viszont a függvényábrát célszer½u gondolatban egy "segédegyenessel", az x = 0egyenlet½u függ½oleges egyenessel (ez tulajdonképpen maga az y tengely) kiegészíteni,ezt függ½oleges asszimptótának nevezik, és az a szerepe, hogy a függvénynek egy"kiegyenesed½o" szakaszát jellemezze. Ugyanennek a függvénynek van két vizsz-intes asszimptótája is, az y = 0 ( az x tengely), mindkét irányban, ezeket azx!1 ; és az x! �1 "irányoknak" nevezzük.Ebben az esetben is a két hatványkitev½o típust, a páros és páratlan kitev½oket

külön-külön tárgyaljuk.Ha n páros, azaz n = 2k; akkor a függvénycsaládnak az y tengely a szim-

metriatengelye. A következ½o ábrák az f(x) = x�n függvényt ábrázolják rendref(x) = x�2; f(x) = x�4; f(x) = x�6, majd egy összehasonlítás végett együtt ahárom, a "legmeredekebb" természetesen az utóbbi.

24

f(x) = x�2

f(x) = x�4

f(x) = x�6

f(x) = x�2; f(x) = x�4; f(x) = x�6

MAPLE: plot([1/x^2,1/x^4,1/x^6],x=-4..4, y=-4..4);Észrevehet½o, hogy mindhárom függvényábra áthalad a (�1; 1) és (1; 1) pon-

tokon, ennek a függvénytípusnak ez a két "�xpontja"van, az origo most nemtartozik a függvény értelmezési tartományához.Ha n páratlan, azaz n = 2k + 1; akkor a függvénycsaládnak az origó a sz-

immetriapontja. A következ½o ábrák az f(x) = x�n függvényt ábrázolják rendref(x) = x�1; f(x) = x�3; f(x) = x�5; f(x) = x�7, majd egy összehasonlításvégett együtt a négy, a "legmeredekebb" természetesen az utóbbi.

f(x) = x�1

f(x) = x�3

f(x) = x�5

f(x) = x�7

f(x) = x�1; f(x) = x�3; f(x) = x�5; f(x) = x�7

Ha az els½o negyed szögfelez½ojét is feltüntetjük, ismét kiderül, hogy ennek afüggvénycsaládnak is van két �xpontja, és ezek a f(x) = x; az I.-III.-negyedszögfelez½oje mentén vannak, azaz a (�1;�1) és (1; 1) pontok.MAPLE: plot([1/x, 1/x^3,1/x^5,1/x^7],x=-4..4, y=-4..4);Azt a tényt, hogy a függvénygörbe szimmetriatengelye az y tengely, és ami a

páros kitev½okre jellemz½o a következ½o egyenl½oséggel fejezhetjük ki: f(�x) = f(x);bármely x 2 R, ezeket a függvényeket PÁROS FÜGGVÉNYEKNEK nevezzük.

26

Azt, hogy a függvénygörbe szimmetriapontja az origo, és ami a páratlankitev½okre jellemz½o a következ½o egyenl½oséggel fejezhetjük ki: f(�x) = �f(x);bármely x 2 R, ezeket a függvényeket PÁRATLAN FÜGGVÉNYEKNEK nevez-zük.Páros függvény lesz pl. az f : R ! R valós változójú, valós függvényt,

amelyre f(x) = cosx, de az f : R! R valós változójú, valós függvényt, amelyref(x) = sinx páratlan.A páros és páratlan függvények fogalma nemmeríti ki a függvények összességét,

vagyis van olyan függvény is, ami se nem páros, se nem páratlan, pl. f :R�f0g ! R, amelyre f(x) = x+ x2, mivel f(�x) = �x+ x2 és ez nem egyezikmeg sem az f(x) = x+ x2, sem a �f(x) = �x� x2 értékével. A függvénygörbenem lesz szimmetrikus sem az y tengelyre, sem az origóra.

f(x) = x+ x2

MAPLE: plot(x+ x^2,x=-4..4);A függvények szimmetriája általánosabban is megfogalmazható:Ha egy függvénynek van függ½oleges szimmetriatengelye, az pl. az x = a

egyenes, akkor teljesül az, hogy f(a� x) = f(a+ x), bármely x 2 R.Ha egy függvénynek az (a; b) pont szimmetriapontja (b = f(a)), akkor az

teljesül, hogy b� f(a� x) = f(a+ x)� b, bármely x 2 R.Ez utóbbi szemléletesebben azt jelenti, hogy b = f(a�x)+f(a+x)

2 :Ilyen szimmetriát mutatnak azok az elemi függvények, amelyek a páros, vagy

páratlan függvényekb½ol bizonyos függvénytranszformációval kaphatók.

További elemi függvényekA leggyakrabban el½oforduló függvények az exponenciális- és logaritmusfüg-

gvények, a trigonometrikus függvények, valamint ezek inverzei. Az e szám

31

bevezetése lehet½ové teszi a hiperbólikus és area függvények tanulmányozásátis, és a függvény fogalma kiterjeszthet½o a polár koordinátás és paraméteres gör-békre is. Fontos szerepet kapnak a kúpszeletek, amelyek leginkább Déscarteskoordinátás alakjukban ismertek.

1. Az exponenciális- és logaritmus függvények

Az f : R ! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) = ax, ahola > 0, és a 6= 1, a alapú exponenciális függvénynek nevezzük.Pl. f : R! (0;1); f(x) = 2x :

f : R! (0;1); f(x) = 2x

Ha most az a alap szerepére vagyunk kiváncsiak, akkor beláthatjuk, hogykülön-külön eseteknek vehet½o az a > 1, és a 1 > a > 0.Az els½o esetben (a > 1), az exponenciális függvény n½o, és annál meredekebb

minél nagyobb az a :

f(x) = 2x; f(x) = 3x; f(x) = 4x( a legmeredekebb az utóbbi)

MAPLE: plot([2^x,3^x,4^x],x=-4..4, y=-4..4);Ha 1 > a > 0, akkor csökken½o a függvény, és annál "meredekebben", minél

közelebb van az a 0-hoz.

32

f(x) =�12

�x; f(x) =

�13

�x; f(x) =

�14

�x( a legmeredekebb az utóbbi)

MAPLE: plot([(1/2)^x,(1/3)^x,(1/4)^x],x=-4..4, y=-4..4);Látható, hogy az exponenciális függvények �xpontja a (0; 1) pont, az alaptól

függetlenül.Fontos megjegyezni, hogy a hatványmennyiségek tulajdonságai szerint a

függvényérték ax > 0, bármely x esetén. Tehát pontosíthatunk:az exponen-ciális függvény értékhalmaza ugyan általában véve a valós számok halmaza, deÉRTÉKKÉSZLETE a pozitív számok, a (0;1) intervallum, és az exponenciálisfüggvénynek van egy vizszintes aszimtótája, az y = 0, az x tengely, pontosabbanannak az egyik "vége", az a alaptól függ½oen: ha a > 1, akkor a �1 irányban,ha pedig 0 < a < 1, akkor a +1 irányban.Tehát az exponenciális függvényt célszer½u a következ½oképpen értelmezni: f :

R ! (0;1); f(x) = ax, ahol a > 0, és a 6= 1 (mert ekkor létezik az inverze,a logaritmus függvény). Az inverz függvény, az a alapú logaritmus pontosan afordított megfeleltetést követi:f : (0;1)! R; f(x) = loga x, ahol a > 0, és a 6= 1:Ez abban megnyilvánul, hogy ha ugyanabban a koordinátarendszerben ábrá-

zoljuk az exponenciális függvényt, és a megfelel½o logaritmusfüggvényt is, akkor akét görbe egymásnak tükörképe az els½o negyed szögfelez½ojére, hiszen a függvényés inverzének képe szimmetrikus az y = x egyenesre.A következ½o ábra az f : R ! (0;1); f(x) = 2x, és az f : (0;1) ! R;

f(x) = log2 x függvénygörbéket ábrázolja:

MAPLE: plot([2^x,log[2](x),x],x=-4..4, y=-4..4);

34

Hasonló a helyzet, ha összehasonlítjuk pl. az f : R ! (0;1); f(x) = (13 )x,

és az f : (0;1)! R; f(x) = log 13x függvénygörbéket.

MAPLE: plot([(1/3)^x,log[1/3](x),x],x=-4..4, y=-4..4);Az exponenciális függvény elemzéséb½ol következtethetünk a logaritmus füg-

gvényre is, az a alap ugyanolyan szerepet játszik itt is, külön-külön eseteknekvehet½o az a > 1, és a 1 > a > 0, és a logaritmus függvénynek az x = 0 (ytengely) függ½oleges asszimptótája.Ha a > 1, a logaritmus függvény n½o, és annál meredekebb minél nagyobb az

a :

35

MAPLE: plot([log[2](x),log[3](x),log[4](x)],x=-4..4, y=-4..4);Ha 1 > a > 0, akkor csökken½o a függvény, és annál "meredekebben", minél

közelebb van az a értéke 0-hoz:

MAPLE: plot([log[1/2](x),log[1/3](x),log[1/4](x)],x=-4..4, y=-4..4);Látható, hogy a logaritmus függvények �xpontja amint az várható a (1; 0)

pont, az alaptól függetlenül.

36

Az exponenciális- és logaritmus függvények amellett, hogy egymás inverzeikénttükörképei egymásnak az els½o negyed szögfelez½ojére, de további tengelyes szim-metriát is mutatnak.Az f : R ! (0;1); f(x) = ax, ahol a > 0, és a 6= 1, és az f : R !

(0;1); f(x) =�1a

�x, ahol a > 0, és a 6= 1 exponenciális függvények képei az y

tengelyre szimmetrikusak, míg a megfelel½o logaritmus függvények az x tengelyre,pl. f : R! (0;1); f(x) = 2x és az f : R! (0;1); f(x) =

�12

�xf : R! (0;1); f(x) = 2x és az f : R! (0;1); f(x) =

�12

�x

MAPLE: plot([2^x,(1/2)^x],x=-4..4, y=-4..4);Ugyanilyen viszonyban vannak a függvények inverzei, csak azok az x tenge-

lyre tükörképei egymásnak.Pl: Az f : (0;1)! R; f(x) = log2 x; és az f : (0;1)! R; f(x) = log( 12 ) x

ábrái egymásnak az x tengelyre tükörképei:

MAPLE: plot([log[1/2](x),log[2](x)],x=-4..4, y=-4..4);Megjegyzések.1. A negatív kitev½ok, tizedes törtek használatával az el½obbi függvények

másképp is írhatók, pl.:�12

�x= 2�x; vagy log( 12 ) x = log0:5 x:

2. Az analízis tanulmányok során szempontjából fontos szerepe van az ealapú exponenciális (ex) és logaritmus függvényeknek (lnx), (az e számot kés½obb

37

vezetjük be mint az�1 + 1

n

�nsorozat határértékét: lim

n!1

�1 + 1

n

�n= e), az e

számról egyel½ore elég azt megjegyezni, hogy értéke 2 és 3 közt van, pontosabbane � 2:7182: Függvényábrájuk:MAPLE: plot([exp(x),ln(x)], x=-4..4, y=-4..4);2. A trigonometriai függvények és inverzeik

A trigonometriai függvények bevezetésekor megismerkedtünk a szögek mértékével.Ha a szögeket a derékszög 1

90�ed részével mérjük, akkor hatvanas váltójúfokokról beszélünk, mivel 1

90der�eksz�og = 1� = 600; 10 = 60":

Ha a szögeket a derékszög 1100�ed részével mérjük, akkor százas váltójú

fokokról beszélünk, mivel 1100der�eksz�og = 1

g = 60c; 1c = 60cc:A kétfajta fok mértani mértéke a szögeknek, és szokás a szögek radián-

mértékér½ol is beszélni, ami a középponti szögek szokásos mértékének álatlánosítása.Ha egy szöget egy r sugarú kör középpontjában tekintünk, akkor a kör száraiközé es½o körív hosszának és a kör sugarának aránya a szög radiánban vettmértéke és ez a hasonlóság miatt nem függ a kör sugarának nagyságától, csakisa szög nagyságától. Ez utóbbi mérték bevezetése lehet½ové teszi azt is, hogy aszögek fogalmát általánosítsuk.Az egység sugarú kört egy derékszögú koordinátarendszer középpontjába

szokás elhelyezni (trigonometriai kör), ekkor a szög radiánban vett mértékeegyenl½o a szög szárai közé es½o körív hosszával. Ugyanez az elrendezés lehet½ovéteszi a pozitív és negatív szögek , valamint a teljes fordulatot meghaladó szögekfogalmának bevezetését. Egy szöget akkor mondunk pozitívnak, ha az óramu-tató járásával ellentétes irányban "vesszük" fel, a negatív szögek az óramutatójárásával megegyez½o irányú "forgást" jelentenek.

38

Az egység sugarú kör és a koordinátarendszer bevezetése azért is hasznos,mivel ezek segítségével, mint vetületekkel értelmezhet½ok a trigonometriai alapfüg-gvények. Ha a trigonometriai körben az ox pozitív féltengely irányát 0 radiánnakvesszük, akkor az x szöget egy, az origó körül forgó vektor által leírt xszögnekvehetjük, és a függ½oleges illetve a vizszintes tengelyekre es½o vetületei adják asinx, illetve a cosx értékét.A szögfüggvények egyik legfontosabb tulajdonsága éppen ebb½ol a "körforgás-

ból" adódik. Mindkét függvény 2� radián után, (egy teljes fordulat mértéke) is-mét ugyanazt az értéket veszi fel, azaz sin(x+2�) = sinx, és cos(x+2�) = cosx:Mindkét függvényre az jellemz½o, hogy elég a függvényképet megrajzolni az

els½o, ún. f½operiódusban, hiszen periódusonként minden ugyanúgy ismétl½odik.Az f : R ! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) = sinx ,

sinusfüggvénynek; az f : R! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) =cosx; cosinusfüggvénynek nevezzük.

f(x) = sinx

f(x) = cosx

Az inverz függvényeket csupán a függvények egy-egy monoton szakaszánértelmezhetjük, hiszen a periodikusság miatt a függvények nyilván nem injek-tívek.A két függvénynek a következ½o lesz½ukítését szokás venni az inverz trigonometrikus

függvények értelmezéséhez:

39

Az f :��2 ;

�2

�! [�1; 1] függvénynek, amelyre f(x) = sinx az inverze az

f : [�1; 1]!��2 ;

�2

�függvény, amelyre f(x) = arcsinx

MAPLE:>plot([sin(x),arcsin(x)], x=-Pi/2..Pi/2);és az f : [0; �] ! [�1; 1] függvénynek, amelyre f(x) = cosx az inverze az

f : [�1; 1]! [0; �] függvény, amelyre f(x) = arccosx:

MAPLE:>plot([cos(x),arccos(x)], x=-1..Pi);Az alapfüggvényeket kiegészíthetjük az f(x) = tgx; és az f(x) = ctgx

függvényekre, amelyeket szintén be lehetne vezetni a trigonometriai körben,de szokás ½oket az alapfüggvények arányaként is megadni, tgx = sin x

cos x ; ctgx =cos xsin x :Ezekre a függvényekre a magyar nyelv½u szakirodalomban használt tg ill.ctg jelölése helyett az angolszász irodalomban a tan ill. cot jelölést használják,így pl. zsebszámológépeken is.Az f : R�

�2k+12 �

! R, f(x) = tgx; és az f : R�fk�g ! R, f(x) = ctgx

elegend½o lenne csak egy félperióduson ábrázolni, az el½obbi egy teljes ívét a(��

2 ;�2 ), míg az utóbbi a (0; �) nyílt intervallumon veszi fel, és mindkét füg-

gvényre jellemz½o, hogy az adott intervallumok végpontjaiban függ½olges assz-imptótái vannak:

f : R��2k+12 �

! R, f(x) = tgx

MAPLE: plot(tan(x),x=-4..4, y=-4..4);f : R�fk�g ! R, f(x) = ctgx

MAPLE: plot(cot(x),x=-4..4, y=-4..4);

41

Látható, hogy az els½o, a tg szakaszonként növekv½o, a második, a ctg sza-kaszonként csökken½o, tehát egy-egy ilyen szakaszon léteznek az inverzeik, pon-tosabban: Az f :

��2 ;

�2

�! R, f(x) = tgx inverze az f : R !

��2 ;

�2

�,

f(x) = arctgx :

MAPLE:>plot([tan(x),arctan(x)], x=-Pi/2..Pi/2, y=-Pi/2..Pi/2);és az f : (0; �)! R, f(x) = ctgx inverze az f : R! (0; �), f(x) = arcctgx :

MAPLE:>plot([cot(x),arccot(x)], x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi);A természetes alapú exponenciális függvény, az ex segítségével megadhatók

az ún. hiperbólikus függvények:f : R! R; f(x) = shx = ex�e�x

2

MAPLE:>plot(sinh(x), x=-4..4, y=-4..4);és az f : R! R; f(x) = chx = ex+e�x

2

MAPLE:>plot(cosh(x), x=-4..4, y=-4..4);A trigonometriai függvényekhez hasonlóan értelmehet½ok a f : R! R; f(x) =

thx = shxchx =

ex�e�xex+e�x ,

MAPLE:>plot(tanh(x), x=-4..4, y=-4..4);valamint az f : Rn f0g ! R; f(x) = cthx = chx

shx =ex+e�x

ex�e�x

MAPLE:>plot((exp(x)+exp(-x))/(exp(x)-exp(-x)), x=-4..4, y=-4..4);Az inverzeik értelmezése

43

Az f : R ! R; f(x) = shx = ex�e�x2 inverze az f�1 : R ! R; f�1(x) =

arshx: ennek az explicit formája (kifejezése) a szokásos módon kapható, haaz y = ex�e�x

2 direkt relációból kifejezzük az x-et, a számítás lépései: e2x �

2yex � 1 = 0; innen ex =2y�p4y2+4

2 és mivel ex > 0, az egyetlen megoldás

ex =2y+p4y2+4

2 : Az egyszer½usítés után ex = y +py2 + 1; vagyis x = ln(y +p

y2 + 1) amib½ol a "változók szerepcseréje" után kapjuk az inverz függvényexplicit alakját: f�1 : R! R; f�1(x) = arshx = ln(x+

px2 + 1) :

MAPLE:>plot(ln(x+sqrt(x^2+1)), x=-4..4, y=-4..4);Az f : [0;1) ! [1;1); f(x) = chx = ex+e�x

2 inverze az f�1 : [1;1) !R; f�1(x) = archx: ennek az explicit formája (kifejezése) a szokásos módonkapható, ha az y = ex+e�x

2 direkt relációból kifejezzük az x-et, a számítás

lépései: e2x � 2yex + 1 = 0; innen ex =2y�p4y2�42 és ennek megoldásai ex =

2y�p4y2�42 : Az egyszer½usítés után ex = y�

py2 � 1; vagyis x = ln(y�

py2 � 1)

, de most a "változók szerepcseréje" után az inverz függvény explicit alakjátkétféleképpen válszthatjuk meg, ezek közül a szokásos az: f�1 : [1;1) ![0;1); f�1(x) = archx = ln(x+

px2 � 1) :

MAPLE:>plot(ln(x+sqrt(x^2-1)), x=0..4, y=0..4);mivel ez felel meg a feltételeknek:

MAPLE:>plot([cosh(x),ln(x+sqrt(x^2-1))], x=0..4, y=0..4);Az elemi függvények egy másik családja a polinomok és ún. törtfüggvények,

vagy racionális függvények.A másodfokú és harmadfokú polinom gyökeir½ol

47

Ismert, hogy a másodfokú polinom által értelmezett f : R ! R; f(x) =ax2 + bx + c függvény, röviden másodfokú függvény képe egy parabola és márközépiskolás ismeretek alapján a hallgatók többsége ismeri a parabola szimme-tria tulajdonságainak következményeit: a parabolának szimmetria tengelye leszaz x = � b

2a , azaz például a gyökök is szimmetrikusan helyezkednek el ehhez azértékhez képest: f(� b

2a � x) = f(�b2a + x), bármely x-re teljesülni fog.

Els½oként megismételjük a már jól ismert f : R! R; f(x) = x2 ábráját:

f(x) = x2

A másodfokú polinom ábrázolása tehát meglehet½osen egyszer½u.Biztosan tudható, hogy a parabola csúcsa a (� b

2a ; f(�b2a )) pont, ez utóbbi

még a (� b2a ;

4ac�b24a ) alakban is megadható, tehát a fenti f(x) = x2 esetén a

(0; 0).Tudott továbbá, hogy a parabola metszheti az x tengelyt 2 különböz½o pont-

ban, ha a polinom gyökei valósak és különböz½ok (ennek feltétele, hogy a dis-zkrimináns � = b2 � 4ac > 0 teljesüljön, illetve csak egy pontban érinti azt, haa � diszkrimináns éppen 0, és egyáltalán nincs közös pontja az x tengellyel, haa diszkrimináns negatív.Még az is ismert, hogy az y tengelyt mindig metszi, mégpedig az y = f(0) = c

pontban, ez a polinom szabad tagjának a mértani jelentése.Még csak azt kell megjegyezni, hogy ha a legmagasabb fokú tag együtthatója,

az a > 0, akkor konvex, felfele nyitott, ha pedig a < 0, akkor lefele nyitott,konkáv a parabola képe. Els½o esetben a csúcspontban minimuma, a másodikesetben maximuma van.

Vegyük most és elemezzük a függvénygörbéket a fenti szempontok alapján:1. f : R! R; f(x) = x2 � 6x+ 5;

- csúcsa (3;�4),- � = 16;tehát gyökei valósak, x1 = 1; x2 = 5 pontban metszi az x tengelyt,

49

- y = f(0) = 5�ben metszi az y tengelyt,- a = 1 > 0, konvex, tehát minimuma van,

f(x) = x2 � 6x+ 5

2. f : R! R; f(x) = 2x2 + 5x+ 2- csúcsa (� 5

4 ;�98 ),

- � = 9;tehát gyökei valósak, x1 = � 12 ; x2 = �2 pontban metszi az x

tengelyt,- y = f(0) = 2�ben metszi az y tengelyt,- a = 2 > 0, konvex, tehát minimuma van,

f(x) = 2x2 + 5x+ 2

3. f : R! R; f(x) = �x2 + 2x� 1- csúcsa (1; 0),- � = 0;tehát gyökei valósak, egybees½oek, x1 = x2 = 1 pontban érinti az x

tengelyt,- y = f(0) = �1�ben metszi az y tengelyt,- a = �1 < 0, konvex, tehát maximuma van,

f(x) = �x2 + 2x� 1

4. f : R! R; f(x) = 4x2 + 4x+ 3- csúcsa (� 1

2 ; 2),- � = �32;tehát gyökei nem valósak, nem metszi az x tengelyt,- y = f(0) = 3�ben metszi az y tengelyt,- a = 4 > 0, konvex, tehát minimuma van,

50

f(x) = 4x2 + 4x+ 3

Az a kérdés, hogy a harmadfokú polinom által értelmezett f(x) = ax3 +bx2 + cx + d, röviden harmadfokú függvény rendelkezik-e valamilyen hasonlószimmetria tulajdonsággal?A válasz az, hogy valóban létezik egy pontszerinti szimmetria.Az f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d valós együtthatós harmadfokú polinom esetén

a gyökök természetének vizsgálata nem ilyen egyszer½u. A függvényábrázolássegítségével mégis tárgyalható a gyökök természete.Az f polinomhoz rendelt f(x) = ax3 + bx2 + cx + d függvény els½orend½u

deriváltja f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c. Jelöljük az els½orend½u derivált gyökeit �-val és �-val. Az f polinom gyökei akkor és csakis akkor valósak és egymástólkülönböz½ok, ha f(�)f(�) < 0 (a függvény széls½o értékei ellentétes el½ojel½uek). Haf(�)f(�) = 0, akkor kétszeres gyöke, ha pedig f(�)f(�) > 0, akkor egy valósés két konjugált komplex gyöke van az f polinomnak.A H = f(�)f(�) kifejezés szimmetrikus �-ra és �-ra nézve:H = (a�3 + b�2 + c�+ d)(a�3 + b�2 + c� + d) == a2�3�3 + ab�2�2(�+ �) + ac��(�2 + �2) + ad(�3 + �3)++b2(�2 + �2) + bc��(� + �) + bd(�2 + �2) + c2�� + cd(� + �) + d2, tehát

kifejezhet½o az � és � összegének és szorzatának segítségével:�+ � = � 2b

3a és � � � =c3a :

A számítások elvégzése után a :H = 4ac3�b2c2+4b3d�18abcd+27a2d2

27a2 kifejezéshez jutunk, ami a következ½o alak-ban is felírható:H = 3(bc�3ad)2+4(ac3�b2c2+b3d)

27a2 :1. Megállapítás: Az f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d polinomnak tehát:(a) H<0 esetén három különböz½o valós gyöke van;(b) H=0 esetén van egy kétszeres valós gyöke is;(c) H>0 esetén egy valós és két komplex gyöke van.

52

Megjegyzés: A harmadfokú egyenlet megoldására ismert képlet feltételezi azegyenlet x2 + px+ q = 0 alakú felírását és akkor a megoldások:x1 = u+ vx2 = "u+ "

2vx3 = "

2u+ "valakúak, ahol " = � 1

2 + ip32 ;

és u = 3

q� q2 +

p( q2 )

2 + (p3 )3; v = 3

q� q2 �

p( q2 )

2 + (p3 )3:

A megfelel½o helyettesítéssel a H kifejezés:H = 4p3+27q2

27 vagy H = 1542

�(p3 )

3 + ( q2 )2�alakú, és bebizonyított, hogy

az egyenlet gyökei csak akkor valósak, ha H<0, csak akkor van egybees½o valósgyöke, ha H=0 és két komplex gyöke csak H>0 esetén van. Ez a bizonyítás csakalgebrai úton történik, de a gyökök komplex felírása miatt nagyon hosszadalmas.

A másodfokú f = ax2 + bx + c polinom szimmetria tengelye az x = � b2a

egyenes. A harmadfokú f = ax3 + bx2 + cx + d polinom nem tengelyesenszimmetrikus, hanem szimmetria középponttal rendelkezik.2. Megállapítás: Az f = ax3 + bx2 + cx + d valós együtthatós polinomhoz

rendelt függvény gra�kus képe szimmetrikus az S = ( b3a ; f(�b3a )) pontra nézve.

Bizonyítás: Elégséges belátni, hogy bármilyen valós x esetén:f(� b

3a )� f(�b3a � x) = f(�

b3a + x)� f(�

b3a );

vagyis2f(� b

3a ) = f(�b3a + x) + f(�

b3a � x)

f(� b3a ) = a(�

b3a )

3 + b(� b3a )

2 + c(� b3a ) + d

f(� b3a + x) = a(�

b3a + x)

3 + b(� b3a + x)

2 + c(� b3a + x) + d

f(� b3a � x) = a(�

b3a � x)

3 + b(� b3a � x)

2 + c(� b3a � x) + d;

vagyisf(� b

3a ) = �ab3

27a3 + bb2

9a2 � cb3a + d

f(� b3a + x) = �a

b3

27a3 + 3ab2

9a2x� 3ab3ax

2 + ax3 + b b2

9a2 � 2bb3ax+

+bx2 � c b3a + cx+ d:f(� b

3a � x) = �ab3

27a3 � 3ab2

9a2x� 3ab3ax

2 � ax3 + b b29a2 + 2bb3ax+

+bx2 � c b3a � cx+ d;tehátf(� b

3a + x) + f(�b3a � x) = �2a

b3

27a3 + 2b3

9a2 � 2bc3a + 2d = 2f(�

b3a ):

Ha most az f : R! R; f(x) = ax3+bx2+cx+d harmadfokú parabola ábrá-zolását t½uzzük ki célul, akkor a fenti megjegyzéseket �gyelembe véve, felírhatjuka harmadfokú parabola szimmetria pontját, az S = ( b3a ; f(�

b3a )), ahol f(�

b3a ) =

�a b3

27a3 + bb2

9a2 � cb3a + d:

f : R! R; f(x) = x3 + 4x2 + 4x+ 3, szimmetriapontja S(� 43 ;

6527 )

A szimmetriapont tulajdonságának szemléltetésef : R! R; f(x) = x3 � 4x2 + 4x+ 3, szimmetriapontja S( 43 ;

9727 )

A szimmetriapont tulajdonságának szemléltetése

53

A törtfüggvények, vagy racionális függvények rövid áttekintéséhez fel kellelevenítenünk a függ½oleges asszimptóta (pólus), a vízszintes asszimptóta, a tenge-lyekkel történ½o metszéspontok és a hézagpontok fogalmát.A függvénynek van hézagpontja az x = a pontban, ha a nevez½oje és a szám-

lálója egyaránt tartalmazza az (x�a) szorzót, vagy annak ugyanazt a hatványát.Ekkor a függvényábra egybeesik a leegyszer½usítés után nyert függvényábrával,csak annak az x = a pontban felvett értéke helyett egy hézagpont áll, ezt egykis "üres" karikával szokás jelezni.Pl.: az f : Rn f�1g ! R; f(x) = (x2�4)(x+1)

(x+1) függvény ábrája egybeesik az

x2 � 4 parabolával, csak az x = �1 pontban van egy hézagpontja:Ha a lehetséges egyszer½usítések elvégzése után marad a nevez½oben x�a, vagy

annak hatványa, akkor a hatvány párosságától függ½oen páros, illetve páratlanpólusról beszélünk, azaz a függvény rendelkezik egy függ½oleges asszimptótávalaz adott pontban.Páros pólus esetén mindkét oldalról egyaránt ugyanolyan 1; pl. +1, mint

az f : Rn f0g ! R; f(x) = 1x2 függvény esetén az x = 0-ban.

Páratlan pólus azt jelenti, hogy a függvény el½ojelét½ol függ½oen az asszimptótakét oldalán különböz½o el½ojelet kapunk, tehát pl. balról �1, jobbról pedig +1;amint az az f : Rn f0g ! R; f(x) = 1

x esetén történik.Ha a számlálóban marad x � a, vagy annak hatványa, akkor a hatvány

párosságától függ½oen páros esetben érintési pontról, illetve páratlan esetbenmetszéspontról beszélünk.Pl. az f : Rn f�1g ! R; f(x) = (x2�4)(x+1)

(x+1)3 függvénynek az x = �1 benpáros pólusa, és x = 2; x = �2 metszéspontjai az x tengellyel,de az f : Rn f�1g ! R; f(x) = (x2�4)(x+1)5

(x+1)3 függvénynek nincs pólusa azx = �1 ben, csak egy érint½opontja lenne az x = �1 ben, ha ez a pont éppen

56

nem hézagpont lenne.Függvénytranszformációk

Az elemi függvények görbéjének, és más függvénygörbéknek az ismeretelehet½ové teszi bizonyos, függvénytranszformációkkal származtatott újabb füg-gvények görbéjének az ábrázolását. Ezek a függvénytranszformációk a füg-gvény jellegét megtartják, de a görbe helyének megváltoztatását, vagy alakjánakarányos átalakítását eredményezik.A függvénytranszformációk ismerete lehet½ové teszi, hogy a legegyszer½ubb el-

emi függvények gra�kus ábrázolását alkalmazzuk az ezekb½ol transzformációkkalszármaztatott, már nem annyira egyszer½u függvények ábrázolására.Lényegében négy alapvet½u függvénytranszformációt kell megértenünk, ezek

a függ½oleges és a vizszintes irányban történ½o párhuzamos eltolása a függvénygör-bének, valamint a függ½oleges, illetve vizszinte irányba történ½o arányos nyújtás,illetve "összenyomás" .Ezeket a transzformációkat a már ismert függvények, illetve, azoknak a tran-

szformáció utáni képének az ismeretével lehet megérteni.1. Függ½oleges eltolásAz f : A ! B függvény, amelynek az y = f(x) görbéje ismert, hozzásegít

ahhoz, hogy megértsük mi lesz az y = f(x) + k összefüggéssel értelmezett f :A! B függvény görbéje.Az eltolás eredményeként nem változik az értelmezési tartomány, de minden

pontjában megváltozik a függvényérték, az eddigi f(x) helyett f(x) + k; azazminden függvényérték függ½olegesen eltolódik k-val, (ha k � 0, akkor "fölfele",ha k � 0, akkor "lefele).Pl. Tekintsük az f : R! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) =

x2;ennek a görbéje közismert:

57

f(x) = x2

Ha most egybevetjük az f : R ! R valós változójú, valós függvénnyel,amelyre f(x) = x2 + 2 akkor:

f(x) = x2 + 2

Ábrázoljuk most ugyanabban a koordinátarendszerben az f(x) = x2; f(x) =x2 + 2 és f(x) = x2 � 1 függvényeket:

f(x) = x2; f(x) = x2 + 2 és f(x) = x2 � 1

A "legalsó" nyilván az f(x) = x2 � 1;míg a "legfels½o" az f(x) = x2 + 2:Ugyanez történne, ha pl. az f(x) = 1

x ; f(x) =1x + 2; f(x) =

1x � 1 füg-

gvénygörbéket hasonlítanánk össze:

59

2. Vízszintes eltolásAz f : A ! B függvény, amelynek az y = f(x) görbéje ismert, hozzásegít

ahhoz, hogy megértsük mi lesz az y = f(x � c) összefüggéssel értelmezett f :A! B függvény görbéje.Az eltolás eredményeként nem változik az értelmezési tartomány, de minden

pontjában megváltozik a függvényérték, az eddigi f(x) helyett f(x � c); azazha c � 0, akkor "jobbra" tolódik c-vel, ha c � 0, akkor "balra".Pl. Tekintsük az f : R! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) =

x2;ennek a görbéje közismert:

f(x) = x2

Ha most egybevetjük az f : R ! R valós változójú, valós függvénnyel,amelyre f(x) = (x� 2)2 akkor:

f(x) = (x� 2)2

Ábrázoljuk most ugyanabban a koordinátarendszerben az f(x) = x2; f(x) =(x� 2)2 és f(x) = (x+ 1)2 függvényeket:

f(x) = x2; f(x) = (x� 2)2 és f(x) = (x+ 1)2

A "jobboldali" nyilván az f(x) = (x � 2)2;míg a "baolodali" az f(x) =(x+ 1)2:Ugyanez történne, ha pl. az f(x) = x3; f(x) = (x � 1)3; és f(x) = (x +

3)3 függvénygörbéket hasonlítanánk össze, a baloldali most f(x) = (x + 3)3, ajobboldali pedig f(x) = (x� 1)3 :

60

Az összetett transzformáció lehet például egy vizszintes és egy függ½olegeseltolás, pl. az f(x) = (x�2)2+3 függvényábra az f(x) = x2 ábrája jobbratolva2 egységnyit, és függ½olegesen felfele tolva 3 egységnyit:3. Függ½oleges nyújtásAz f : A ! B függvény, amelynek az y = f(x) görbéje ismert, hozzásegít

ahhoz, hogy megértsük mi lesz az y = af(x) összefüggéssel értelmezett f :A ! B függvény görbéje, azaz a függvényábra a-szoros függ½oleges nyújtása -Prokrusztész-nyújtás- (amplitúdó változás, ha a � 1, akkor amplitúdó növelés,ha a � 1, akkor amplitúdó csökkenés, ugyanakkor ha pl. a = �1, akkor tükrözésaz x tengelyre vonatkozólag). A függ½oleges nyújtást a szögfüggvényeken érdemesmegérteni, hasonlítsuk össze tehát:

f(x) = sinxf(x) = 3 sinx

f(x) = sinx; f(x) = 3 sinx

MAPLE: plot([sin(x),3*sin(x)],x=-7..7, y=-7..7);A negatív szorzó szerepe a következ½o példán látható, tekintsük ismét az

f : R! R valós változójú, valós függvényt, amelyre f(x) = x2;ennek a görbéjeközismert:

f(x) = x2

Most hasonlítsuk össze az f(x) = �x2 és az f(x) = �2x2 görbékkel:

63

A két "lefele" görbül½o az f(x) = �x2 és az f(x) = �2x2

MAPLE: plot([x^2,-x^2,-2*x^2],x=-4..4, y=-4..4);3. Vízszintes nyújtásAz f : A! B függvény, amelynek az y = f(x) görbéje ismert, hozzásegít ah-

hoz, hogy megértsük mi lesz az y = f(ax) összefüggéssel értelmezett f : A! Bfüggvény görbéje, azaz a függvényábra a-szoros vízszintes összenyomása (elongá-ció változás, ha a � 1, akkor elongáció csökkenés, ha a � 1, akkor elongációnövekedés). A vizszintes nyújtást a szögfüggvényeken érdemes megérteni, mivelezeknek a periódusa is megváltozik, hasonlítsuk össze tehát az f(x) = cosx,és az f(x) = cos(3x) ábráit, majd a szokásos módon ábrázoljuk ugyanabban akoordinátarendszerben.

f(x) = cosxf(x) = cos(3x)

f(x) = cosx, f(x) = cos(3x)

MAPLE: plot([cos(x),cos(3*x)],x=-7..7,y=-7..7);Elongáció növekedést akkor kapunk, ha a függvényváltozóz "osztjuk" egy

számmal, pl. f(x) = cos(x2 ) :

f(x) = cosx,f(x) = cos(x2 )

66

MAPLE: plot([cos(x),cos(x/2)],x=-7..7,y=-7..7);Természetesen ezeket a transzformációkat is összetehetjük:pl.: f(x) = 3 sin 2x ábrája az f(x) = sinx ábrájából 3-szoros amplitúdónövekedés-

sel, és 2-szeres elongáció csökkenéssel kapható meg:

f(x) = sinx; f(x) = 3 sin 2xMAPLE: plot([sin(x),3*sin(2*x)],x=-7..7,y=-7..7);

S½ot, ha most még többféle transzformáció összetételére példa az f(x) =3 sin 2(x+2)�4, ahol az el½oz½o összetételehez még 2 egységgel balra és 4 egységgellefele történ½o párhuzamos eltolás is társul:

f(x) = sinx; f(x) = 3 sin 2(x+ 2)� 4MAPLE: plot([sin(x),3*sin(2*(x+2))-4],x=-7..7,y=-7..7);

A függvények egyre pontosabb ábrázolását, és részletes leírását, tanulmány-ozását az analízis eszközei az ún. in�nitezimális számítás, a határértékszámítás,a deriválás, di¤erenciálszámítás, és az integrálszámítás teszi lehet½ové.

A továbbiakban néhány elemi függvény gra�kus képét, illetve transzfor-máltjaik képét ábrázoljuk a MAPLE kompjuter algebra programcsomag füg-gvényábrázoló (plot) alkalmazásának segítségével.Ismerkedjünk meg el½obb az egyszer½u függvénytranszformációk ábrázolásával.

Ha az f : A ! B; A � R, B � R függvény megfeleltetését x f7! f(x) jelöli(x 2 A; y 2 B), akkor a legegyszer½ubb transzformációk a következ½ok:

69

1. A függvény képe (és így annak minden pontja) függ½oleges irányban ön-

magával párhuzamosan eltolódik c magasságba: xf17! f(x) + c; f1 : A ! B;

A � R, B � R.Pl. f : R! R; x f7! x2 és x

f17! x2 + 4 képe a következ½o:

MAPLE: plot([x^2,x^2+4],x=-4..4, y=-1..7);2. A függvény képe (és így annak minden pontja) vizszintes irányban ön-

magával párhuzamosan eltolódik d távolságra (d � 0 akkor d értékkel jobbra,ha d � 0; akkor �d értékkel balra:

xf27! f(x� d); f2 : A! B;A � R; B � R:

Pl. Az f : R! R; x f7! x2 és xf17! (x� 3)2

MAPLE: plot([x^2,(x-3)^2],x=-2..6, y=-1..7);3. A függvény képe (és így annak minden pontja) k-szoros függ½olegesen

Prokrusztész nyújtást "szenved el" (illetve amplitúdója k- szorosra n½o, vagycsökken):

xf37! k f(x); f3 : A! B;A � R; B � R:

Pl. Az f : R! R; x f7! x2 és xf17! 4 (x)2

MAPLE: plot([x^2,4*x^2],x=-4..4, y=-1..7);

vagy a f : R! R; x f7! sinx és xf1

7! 3(sin x) :

70

MAPLE: plot([sin(x),3*sin(x)],x=-1..15, y=-8..8);4. A függvény képe (és így annak minden pontja) 1/k-szoros vizszintes

Prokrusztész nyújtást "szenved el" (illetve k � 1 a változás k-szorosra n½o (gy-orsabb), vagy k � 1 csökken):Pl. Az f : R! R; x f7! cosx és x 7! cos 4x) :

MAPLE: plot([cos(x),cos(4*x)],x=-1..15, y=-8..8);

Pl. Az f : R! R; x f7! cosx és x 7! cos x2 ) :

MAPLE: plot([cos(x),cos(x/2)],x=-1..15, y=-8..8);Feladatok

1. Állapítsa meg az alábbi függvények értelmezési tartományát!

a) f(x) = logx+2x2�4x�5p

x�5b) f(x) = 4

px2 � 9 + 1p

2�xc) f(x) = 3

px2 + x� 1 + ln(ln (cosx+ 1)) + logx2�4x+4 x

d) f(x) =px� 3 + log3 1p

4�xe) f(x) = lg tg3x

f) f(x) =qlog 2

3(2x� 1)

g) f(x) = 2x

sin x

2. Ábrázolja a következ½o függvényeket:

a) f : R! R; x f7! x3

b) f : R! R; x f7! x4

73

c) f : R! R; x f7! x2 � x+ 1d) f : R! R; x f7! 4x2 � 4x+ 4e) f : R! R; x f7! (x� 1)(x� 2)(x� 3)f) f : R! R; x f7! (x� 1)(x� 2)(x� 3) + 4

2. Ábrázolja a következ½o függvényeket:a) f : R n f�2g ! R; f(x) = (x2�1)(x+2)

(x+2)3

b) f : R n f�1; 3g ! R; f(x) = (x2�4)(x�1)(x+1)2(x�3)

c) f : R n f�3g ! R; f(x) = (x2�9)(x�2)(x+3)3

d) f : R n f3g ! R; f(x) = x2(x+1)(x�3)3

e) f : R n f1g ! R; f(x) = (x2+4)(x�1)2(x�1)3

f) f : R! nf�1; 0g ! R; f(x) = (x2�4)2(x+1)x(x+1)2


a) f : R! R; x f7! cos 2x

b) f : R! R; x f7! sin x4

c) f : R! R; x f7! 2x

d) f : R! R; x f7! 3�x

e) f : (0;1)! R; x f7! log2 x

f) f : [�2; 2]! R; x f7!p4� x2


a) f : R! R; x f7! ex + e�x = 2 sinhx

74

b) f : (0;1)! R; x f7! 3� 2 ln 2xc) f : R! R; x f7! 0:5e�2x

d) f : R! R; x f7! 11+x2

e) f : R n f�2; 2g ! R; x 7! 44�x2

f) f : R! R; x f7! 11+x+x2

5. Rajzolja fel az alábbi függvények gra�konjait a maximális értelmezésitartományukon!a) f(x) = (x+ 4)2 � 1b) f(x) =

��x2 � 5x+ 6��c) f(x) = 2jx�1j+x

d) f(x) = 3jlog3 xj

e) f(x) =px2 � 6x+ 9

f) f(x) = 3 sin�x2

�+ 1

g) f(x) = [3 sin 2x+ 1]h) f(x) = 1�

px� 2

i) f(x) =��log 1

2(x� 1)

��j) f(x) = log2

1x+1

k) f(x) = 3x+2

22x�1

l) f(x) = tg�x� �

4

�+ 1

m) f(x) =

8<:0; ha x < �2;2�x; ha � 2 � x � 1;

2jx�2j�x; ha 1 < x:

6. Határozza meg az f(�2); f��12

�; f(0); f

�43

�helyettesítési értékeket, ha

a) f(x) a 5. m) feladatban adott,

b) f(x) =

8<: sin (�x) ; ha x < �1;j2x� 1j � 3; ha � 1 � x < 0;3x2 � 6; ha 0 � x:

7. Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a következ½o két-két füg-gvényt:

a) Az f : R! R; x f7! sinx és x 7! sin x4

b) Az f : R! R; x f7! sinhx és x 7! sinh x2

c) Az f : R! R; x f7! e�x és x 7! �e�3x

d) Az f : (0;1)! R; x f7! ln 2x és x 7! 3 ln x2

e) Az f : R! R; x f7! sinx+ cosx és x 7! �2 sin(x� �)� 2 cos(x� �)f) Az f : R! R; x f7! 1� x+ x2 � x3 és x 7! �1 + x� x2 + x3


75

a) Az f : R n f0g ! R; x f7! 1x és f : R n f�4g ! R; x 7! cos 1

x+4

b) Az f : R! R; x f7! és x 7! cos x2

c) Az f : R! R; x f7! 11+x2 és x 7!

�41+4x2

d) Az f : R! R; x f7! 11+x+x2 és x 7! � 1

10+10x+10x2

e) Az f : (�1;1)! R; x f7! ln x+12 és x 7! ln 2x+1

f) Az f : R! R; x f7! 0:5e�2x és x 7! 5e�0:2x


a) Az f : R n f0g ! R; x f7! 1x2 és x 7!

1x4

b) Az f : R! R; x f7! cosx és x 7! cosx3

c) Az f : R! R; x f7! cos 3x és x 7! �13 cosx

3

d) Az f : (0;1)! R; x f7! � lnx és x 7! � ln sinxe) Az f : R! R; x f7! cos ex és az f : R n f�2g ! R; x 7! cos x

2+x

f) Az f : R n f0g ! R; x f7! � cosh 2x és x 7! cosh

�� 2x

�9. Keresse meg a következ½o függvények inverzét és ábrázolja az R2 síkon!a.) f1 : R! R; f1 (x) = 2x� 5b.) f2 : R! R; f2 (x) = �x+ 3c.) f3 : [0;1)! [1;1); f3 (x) = x2 + 1d.) f4 : R! (0;1); f4 (x) = 3x�1e.) f5 : R! (2;1) ; f5 (x) =

�12

�x+ 2

f.) f6 : (1;1)! R; f6 (x) = log3(x� 1):

10. Legyen f(x) = x3, g(x) =psinx+ �

2 és h(x) = lg�x2 + 1

�.

Képezze az f � g; g � f; h � g; f � g � h összetett függvényeket!

11. Vizsgálja meg, hogy monotonak-e a következ½o függvények?

a) f(x) = 4� x2; x < 2b) f(x) = 2

x�3 ; x 6= 3c) f(x) = x

1�x2 ; x 6= �1d) f(x) = sgn

�ln�x2��; x 6= 0

12. Vizsgálja meg korlátosság szempontjából az alábbi függvényeket!

a) f(x) = x+2x+1 ; x > 1

b) f(x) = 21+x2 ; �1 < x <1

c) f(x) = sin xx+1 ; x > 0

13. Állapítsa meg, hogy az alábbi függvények közül melyik páros és melyikpáratlan!a) f(x) = sin2 2x� 3x4 + 4b) f(x) = cos3 x� x+ 3

76

c) f(x) = 2x+12x�1

d) f(x) = 5x sinx+ lg jxj

Sorozatok I.A sorozat fogalmának intuitív megközelítéseA sorozat számok egy rendezett felsorolása, a számokat sorozat tagjainak

nevezzük. Egy példaként magukat a természetes számok említhetjük:1, 2, 3, 4, . . .Egy másik példa ugyanezeknek a számoknak a négyzete:1, 4, 9, 16, . . .Mindkét példában a három pont azt jelzi a tagok felsorolása után, hogy így

folytatható �akármeddig�. Ha a felsorolás �akármeddig�folytatható, akkor aztmondjuk, hogy a sorozat végtelen, ellenkez½o esetben végesnek mondjuk.Azt a tényt, hogy a sorozat egy rendezett felsorolás, pontosabban leírhatjuk,

ha a sorozat tagjait az 1, 2, 3, . . . , n, . . . sorszámokhoz rendeljük. Ebbenaz értelemben, rendre a sorozat 1., 2., 3., . . . , n., . . . tagjáról beszélhetünk,azaz minden természetes n számhoz egyértelm½uen hozzárendeljük a sorozat n.tagját. Ezt az általános n. tagot an, és magát a sorozatot röviden (an)n2Njelöli. Például az el½obbi 1, 2, 3, 4, . . . sorozat általános tagja az an = n, míg az1, 4, 9, 16, . . . sorozat esetén an = n2.Tekintsük most azt a sorozatot, amelynek mondjuk an = 2n�1 az általános

tagja. A sorozat els½o tagjait is felírhatjuk:1, 3, 5, 7, . . .Gyakran szükség van az adott eljárás megfordítására: Ha adott a sorozat

néhány kezd½o tagja, lehet, hogy észrevehetünk egy �szabályszer½uséget�, mintát,ami lehet½ové teszi, hogy kitaláljuk a sorozat általános tagját. Ha pontosabbanfogalmazunk, akkor a kezd½o tagok számától függetlenül, nem elég csupán felírniaz általános tag képletét. Ez azért van, mert a megadott tagok esetleg többképletbe is beilleszthet½ok.A gyakorlatban ennek ellenére az általános tagot gyakran a hétköznapi logiká-

val, �józan paraszti ésszel�találjuk ki.Például, ha a sorozat tagjai rendre:2, 4, 6, 8, 10, . . .akkor �észszer½unek�t½unik, hogy an = 2n általános tagot írjuk fel.Megjegyzésként megadhatunk egy másik képletet az an �re, ami ugyanezt

az öt els½o tagot adná:an = 2n+ 1000(n� 1)(n� 2)(n� 3)(n� 4)(n� 5)de mégis sokkal �észszer½ubb�an = 2n képlet használata.Az a gondolkodási út amelynek a során egy szabályszer½uség meg�gyelésével

egy képletet �találunk ki�, az induktív gondolatmenet. Nem az a célunk, hogyegy ismert tényb½ol, szabályból következtetést fogalmazunk meg (ez a deduktívgondolatmenet), hanem a meg�gyelések alapján mintegy megsejtjük, megjó-soljuk az eredményt.

77

1. Feladat. Az alábbi sorozatokat a kezd½o tagok felsorolásával adtuk meg.Próbálja meg kitalálni a szabályszer½uséget, és írja fel a sorozat következ½o háromtagjáta) 7, 13, 19, 25, _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _b) 3, 1, �1, �3, �5, _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _c) 6, , 9, ,12, _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _

Meg kell jegyeznünk, hogy nem minden sorozat rejt ilyen szabályszer½uséget.Például a következ½o sorozat3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, . . .tagjai nem tartalmaznak semmilyen szabályszer½uséget, de egyesek felismer-

hetik a kör kerületének és átmér½ojének az arányát kifejez½o nevezetes = 3,141592653589. . . szám számjegyeit, mint a sorozat tagjait.

Haladványok

A haladványok olyan �szabályszer½uséget� tartalmazó sorozatok, amelyeketmár az ókorban is ismertek, tanulmányoztak. A következ½o fejezetekben a legis-mertebb haladványokat, a számtani, mértani és harmonikus haladványokat tanul-mányozzuk.Ezek meghatározását a következ½o sorokban adjuk megMeghatározás szerint egy számtani haladvány bármely tagját úgy kaphatjuk

meg, hogy a sorrendben el½otte lév½ohöz ugyanazt az állandót adjuk hozzá. Haennek az állandónak az értéke r, akkor az (an)n2N számtani haladványban:a2 = a1 + r; a3 = a2 + r; a4 = a3 + r; a5 = a4 + r; : : :Megjegyzend½o, hogy r = a2 � a1 = a3 � a2 = a4 � a3 = a5 � a4 = : : : , azaz

az állandó különbség bármely tag és az ½ot megel½oz½o tagnak a különbsége.2. Feladat. A következ½o számtani haladványokban keresse meg a haladvány

állandó különbségét, majd segítségével írja fel a haladványok hiányzó tagjait:a) 14 ;

12 ;

34 ; 1;

54 ; _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _

b) �10;�4; 2; 8; 14;_ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _c) � 9

10 ;�45 ;�

710 ;�

35 ;�

12 ; _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _

Meghatározás szerint egy mértani haladvány bármely tagját úgy kaphatjukmeg, hogy a sorrendben el½otte lév½ot ugyanazzal az állandóval megszorozzuk. Haennek az állandónak az értéke r, akkor az (an)n2N mértani haladványbana2 = a1r; a3 = a2r; a4 = a3r; a5 = a4r, . . .Megjegyzend½o, hogy ha minden annullától különböz½o, akkor r =

an+1an

azaz az állandó hányados bármely tag és az ½ot megel½oz½o tagnak a hányadosa.

3. Feladat. Keresse meg a következ½o mértani haladványok állandó hánya-dosát, majd írja fel a hiányzó tagokat:a) 8; 4; 2; 1; 12 ; _ _ _ _ _, _ _ _ _ _b) 1;�3; 9;�27; 81; _ _ _ _ _, _ _ _ _ _c) 4;� 4

3 ;49 ;�

427 ;

481 ; _ _ _ _ _, _ _ _ _ _

d) 20, 5, 54 ,516 ,

564 , _ _ _ _ _, _ _ _ _ _

78

Meghatározás szerint egy (an)n2N ,nullától különböz½o tagokat tartalmazó,

sorozatot harmonikus haladványnak nevezünk, ha az�1an

�n2N

, a sorozat tag-

jainak inverzeib½ol álló sorozat, egy számtani haladvány.Például:1, 12 ;

13 ;

14 ;

15 ; :::

egy harmonikus haladvány, mivel az inverzek1, 2, 3, 4, 5, . . .sorozata számtani haladvány.4. Feladat. Írja fel a következ½o harmonikus haladványok két hiányzó tagját:a) 3

11 ,312 ,

313 ,

314 ,

315 , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _

b) 18 ,111 ,

114 ,

117 ,

120 , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _

c) 1, 14 ,17 ,

110 ,

113 , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _

d) 3, 37 ,313 ,

319 , _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _

5. Feladat. Tanulmányozza a következ½o sorozatokat. El½oször írja fel ahiányzó tagokat, majd döntse el, hogy szabályszer½uség számtani, mértani, vagyharmonikus haladványt vagy a felsoroltak egyikét sem jelenti. Ahol lehetséges,írja fel az adott sorozat következ½o két tagját.a) 2, 3, 4, 5, 6, . . . .b) 2, 4, 8, 16, . . . ..c) x, 5x, 25x, . . . .d) 23 , 2,

103 , 3, . . .

Elkövetkezett az a pillanat, amikor a haladványok történetér½ol is érdemesnéhány szót ejtenünk.A számtani és mértani haladványok mintegy négyezer éves matematikai fe-

ladatokban gyökereznek. Például az egyiptomi Rhind Papirusz (kb.1850 i.e.)azt a kérdést teszi fel, hogy miként lehet szétosztani 300 szelet kenyeret 5 emberközt a következ½o feltételekkel: a harmadik ugyanannyi szelettel kap többet amásodiknál, mint amennyivel a második többet kapott az els½onél, és így továbbmindenki a sorban pontosan annyival kap többet az ½ot sorban megel½oz½onél,mint amennyivel az többet kapott, mint a sorban el½otte lév½o. Továbbá azutolsó három együtt hétszer annyit kapott, mint az els½o kett½o. Számítsa kia kenyérszeletek számát, amit az emberek külön- külön kaptak.A válasz a számtani haladványokhoz vezet. Ugyanabban a papiruszban egy

másik feladat a mértani haladványokon alapszik. Az a feladat, hogy határozzukmeg a házak, macskák, egerek és búzaszemek számát, ha tudjuk, hogy a hétházban mindegyikében hét macska van, minden macska hét egeret fogott, ésminden egér hét szem búzát evett meg.A számtani és mértani haladványok egy alapos leírása megtalálható az ókori

görög matematikusok munkáiban. A kérdést az ókori Pithagorászi iskola képvisel½oikezdték tanulmányozni, akik ismerték a számtani sorozat összegének számítását.Hasonlóan Euklidész az Elemekben megadta a mértani haladvány összegké-pletét. Mindezt sok görög matematikus használta, és fejlesztette, alkalmaztaa matematika különböz½o területein.Középértékek

79

Meghatározás. Az a és b számok számtani közepe:

ma =a+ b

2

Ha a és b azonos el½ojel½u számok (azaz ab 0), akkor a számok mértaniközepe:

mg =pab

és ha a és b nullától különböz½oek, akkor a számok harmonikus közepe:

mh =2

1a +

1b

Például ellen½orizhet½o, hogy a kocka csúcsainak (v) száma az élek (e) és azoldallapok (f) számának harmonikus közepe:

v =2

1e +

1f

azaz1

e+1

f=2

v

és a számokkal:1

12+1

6=2

8.

Az el½obbi három középértéket, és további hetet, már a Pithagoreusok (azókori Pithagorászi iskola képvisel½oi) is ismerték, de másként (azzal egyenérték½umódon) határozták meg azokat. Az eredeti meghatározások a következ½ok:Meghatározás (Nicomachus, Introduction to Arithmetic alapján) Az (ma)

számtani közép, (mg) mértani közép, és az (mh) harmonikus közép rendre elegettesz a következ½oknek:

a�ma

ma � b=a

a;a�mg

mg � b=

a

mg; �es

a�mh

mh � b=a

b.6. Feladat. Igazolja, hogy a három középértékre megadott de�níció ekvi-

valens.Bizonyítás. Ha a�ma

ma�b = 1, a Pithagoreusok meghatározása szerint, akkora�ma = ma � b, és így 2ma = a+ b. Ez utóbbi nyilván az ma számtani középmeghatározásával egyenérték½u. Az állítás fordítottja a bizonyítás lépeseinekfordított sorrendjében következik.Ha most az a�mg

mg�b =amg

egyenl½oségb½ol indulunk ki, akkor (a�mg)mg =

(mg � b) a, így m2g = ab, és tehátmg =

pab . A fordított irányban is egyszer½uen

következik.

80

Végül, ha a�mh

mh�b =ab , akkor (a�mh) b = (mh � b) a, tehát 2ab = amh +

bmh. Ez utóbbi egyenl½oséget ab- vel elosztva 2 = mh(1a +

1b ), ami azt jelenti,

hogy mh =2

1a+

1b

. A lépéseket fordított sorrendben követve, a bizonyítás teljes

egészében befejezhet½o.Érdekességként megjegyezhet½o, hogy a számtani, mértani és harmonikus

közép fogalmaknak mértani értelmezései is jól ismertek. Ezek egy részét tar-talmazzák a következ½o feladatok.7. Feladat. Jelölje az ABCD trapézban az AB és CD párhuzamos oldalakat,

és AB = a;CD = b. Ha E és F rendre az AD és CD középpontjait jelöli, (és ígyEF párhuzamos AB és CD-vel) és EF = x, igazolja, hogy

x =a+ b

2

(lásd 1. ábra).

1. ábra

8. Feladat. Tekintsünk egy csonka gúlát.Igazolja, hogy az alapoktól egyenl½o távolságra lév½o metszet M területének

négyzetgyöke számtani közepe a T és t alaplapterületek négyzetgyökének, azaz

pM =

pT +

pt

2

(a 2. ábra az egyszer½u szemléltetés kedvéért háromszög alapú csonkagúlát tar-talmaz):

2. ábra

9. Feladat. Bármely derékszög½u háromszögben az átfogóra mer½oleges mag-asság mértani közepe az átfogón általa meghatározott két szakasznak (3. ábra).

3. ábra

10. Feladat. Bármely derékszög½u háromszög akármelyik befogója mértaniközepe, az átfogónak és az átfogóra es½o vetületének (3. ábra).

81

11. Feladat. Jelölje c valamely, az ABCD trapéz a és b hosszúságú alap-jaival párhuzamos szakasz hosszát. Ha ez a c hosszúságú szakasz a trapézt kétegyenl½o T1, T2 (T1 = T2) részre bontja, akkor igazolja, hogy

c2 =a2 + b2

2

(4. ábra).

4. ábra

12. Feladat. Ha ABC háromszög A szögének bels½o és küls½o szögfelez½ojea szemben fekv½o BC oldalt rendre a D és E pontokban metszi, akkor igazolja,

82

hogy ez a négy pont egy ún. harmonikus pontnégyes (5. ábra), azaz teljesül akövetkez½o összefüggés:

2

BC=

1

BD+

1

BE

5. ábra

.13. Feladat. Az ABCD trapézban. amelynek párhuzamos alapjai AB és

CD, tekintsük azt az alapokkal párhuzamos EF szakaszt (legyen E az AD és F aBC pontja), amely tartalmazza az AC és BD átlók H metszéspontját. Igazolja,hogy EF az AB és CD alapok harmonikus közepe:

2

EF=

1

AB+

1

CD

Haladványok további tulajdonságai

Könnyen bizonyítható a meghatározás alapján, hogy a számtani haladványbármely három egymást követ½o an�1; an; an+1 tagjára teljesül a következ½o össze-függés:

an =an�1 + an+1

2

Fordítva, ha egy (an)n2N sorozat bármely n > 1 esetén teljesíti a fenti össze-függést, akkor (an)n2N egy számtani haladvány. Néha a feladatok megoldáskor

83

szimmetria okokból a haladvány három, egymást követ½o an�1; an; an+1 tagjátérdemes az a � r; a; a + r alakban írni. Hasonlóan, a számtani haladványokszokásos jelölései és a1 = a, a2 = a+ r ekkor nyilván a3 = a+ 2r, a4 = a+ 3r ,és általában an = a+ (n� 1)r. Ebb½ol könnyen belátható, hogy:a1 + an = a2 + an�1 = a3 + an�2 = a4 + an�3 = ::: (*)14. Feladat. Igazolja a számtani haladvány bármely három "egyenl½o köz½u"

an�k; an; an+k tagjára a következ½o összefüggést:

an =an�k + an+k

2

15. Feladat. Igazolja, hogy a számtani haladvány els½o n tagjának Snösszege a következ½oképpen számítható ki:

Sn = a1 + a2 + a3 + :::an = na1 + an2

= n2a+ (n� 1)r

2

(másképpen Sn = na+n(n�1)

2 r).(Ötlet: Írja fel az összeg alá ugyanazt fordított sorrendben. Ezeket összeadva

alkalmazza (*) összefüggést.16. Feladat. Igazolja, hogy

a) 1 + 2 + 3 + :::+ n =n(n+ 1)

2

b) 1 + 3 + 5 + :::+ (2n� 1) = n2

Könnyen belátható a meghatározás alapján, hogy a mértani haladvány bármelyhárom egymást követ½o an�1; an; an+1 tagjára teljesül a következ½o összefüggés:

an =pan�1an+1

Fordítva, ha egy (an)n2N sorozat bármely n > 1 esetén teljesíti a fenti össze-függést, akkor (an)n2N egy mértani haladvány. A feladatok megoldáskor sz-immetria okokból a haladvány három, egymást követ½o an�1; an; an+1 tagjátérdemes az a

r ; a; ar alakban írni. A mértani haladványok szokásos jelöléseia1 = a, a2 = ar ekkor nyilván a3 = ar2, a4 = ar3 , és általában an = arn�1.17. Feladat. Igazolja a mértani haladvány bármely három "egyenl½o köz½u"

an�k; an; an+k tagjára a következ½o összefüggést:

an =pan�kan+k

18. Feladat. Igazolja, hogy a mértani haladvány els½o n tagjának Sn összegea következ½oképpen számítható ki:

Sn = a1 + a2 + a3 + :::an = a1� rn1� r :

(Ötlet: az adott összeg az alakban írható, ezt r-el szorozva: . A kett½okülönbsége a megoldás kulcsa.)

84

19. Feladat. Igazolja, hogy a mértani haladvány els½o n tagjának Pn szorza-tára igaz:

Pn = a1a2a3:::an = anr

n(n�1)2

Könnyen belátható a meghatározás alapján, hogy a harmonikus haladványbármely három egymást követ½o, nemnulla an�1; an; an+1 tagjára teljesül a következ½oösszefüggés:

2

an=

1

an�1+

1

an+1

Fordítva, ha egy (an)n2N nemnulla sorozat bármely n > 1 esetén teljesíti afenti összefüggést, akkor (an)n2N egy harmonikus haladvány.Megjegyezzük, hogy a fenti bekezdésben nyilván fontos feltenni, hogy a

sorozat tagjai nullától különböz½oek. Ugyanakkor néha még további feltételeketis meg kell adni. Vegyük a következ½o példát: Tegyük fel, hogy az a1 = 6; a2 =8; a3 = 12 egy harmonikus haladvány els½o három tagja, és számítsuk ki akövetkez½o tagjait. Az a4 értékére a fenti összefüggés alapján számítva, a 2

a3=

1a2+ 1

a4azaz 2

12 =18 +

1a4; 1a4 =

16 �

18 =

124 tehát a4 = 24 adódik. Tovább

számítva, az a5 értékéhez felhasználjuk a 2a4= 1

a3+ 1

a5összefüggést, és azt

kapjuk, hogy 1a5= 2

a4� 1

a3= 2

24 �112 = 0, ami lehetetlen.

Lássuk, mit tehetnénk az ellentmondásnak a kiküszöbölésére? Jelölje a és aharmonikus sorozat els½o és második tagját rendre a1 = a, és a2 = a + r. Azel½obb is felhasznált 2

an= 1

an�1+ 1

an+1összefüggés alapján könnyen levezethet½o,

hogy

a1 = aa+ r

a+ r; a2 = a

a+ r

a; a3 = a

a+ r

a� r ; a4 = aa+ r

a� 2r ; :::

és általánosanan = a

a+ r

a� (n� 2)r :

Tehát, az ellentmondás kiküszöböléséhez, annak a szükséges feltétele, hogya nevez½o nullától különböz½o legyen, pontosan az, hogy az a ne legyen az rpozitív többszöröse (ellenkez½o esetben az nevez½o értéke 0 arra az n-re amelyrea = (n� 2)r).Visszatérve most az el½oz½o példához, azt kapjuk, hogy ha egy harmonikus ha-

ladvány els½o három tagja 6, 8, 12 akkor a = 6; r = 2 így az a pozitív többszöröseaz r-nek, tehát ez okozná az ellentmondást. Ha például ugyanezt a három tagot,de a 12, 8, 6 sorrendben vesszük egy sorozat els½o három tagjának, akkor viszonta = 12; r = �4 tehát a nem pozitív többszöröse az r-nek. Ez azt is jelenti, hogyaz adott számok ebben a sorrendben már lehetnek egy harmonikus haladványtagjai, és a haladvány további tagjait is ki lehet számítani.20. Feladat. Igazolja a harmonikus haladvány bármely három "egyenl½o

köz½u", nemnulla an�k; an; an+k tagjára a következ½o összefüggést:

2

an=

1

an�k+

1

an+k

85

21. Feladat. Igazolja, hogy a harmonikus haladvány els½o n tagjánakreciprokának összegére igaz a következ½o összefüggés:

Rn =1

a1+1

a2+1

a3+ :::+

1

an=n

2

�1

a1+1

an

�=n(2a� (n� 3)r)

2a(a+ r)

22. Feladat. Keresse meg annak a feltételét, hogy a egy derékszög½u három-szög oldalai egy számtani haladvány tagjai legyenek.Megoldás. Jelölje a derékszög½u háromszög oldalait rendre b � r; b, és b + r.

Pithagorász tétele alapján

(b� r)2 + b2 = (b+ r)2

amib½ol b = 4r következik. Tehát a háromszög oldalai rendre 3r; 4r; 5r. (ezt a3r; 4r; 5r alakú ún. Pithagorász-i számhármast már az ókorban is ismerték, s½otmár a Mezopotámia-i agyagtáblákon is felfedezhet½ok).22. Feladat. Feltéve, hogy egy háromszög oldalai egy számtani haladványt

képeznek, igazolja, hogy ez a háromszög akkor, és csakis akkor lehet derékszög½u,ha az oldalak állandó különbsége (a haladvány konstansa) éppen a háromszögbeírt körének sugara.

Megoldás. Ha a háromszög derékszög½u, akkor az oldalai az el½oz½o példaalapján 3x; 4x; 5x alakban írhatók, és a beírt kör sugara r, a háromszög Tterületének, és p félkerületének arányaként írható fel :

r =T

p; azaz r =

3x:4x2

3x+4x+5x2

= x

Tehát r = x = 4x� 3x = 5x� 4x, így a feltétel szükségességét beláttuk.

Fordított irányban, ha feltesszük, hogy a háromszög oldalai olyan számtanihaladványt képeznek, aminek állandó különbsége egyenl½o a beírt kör r sugarával,akkor az oldalak a = b� r; b, és c = b+ r, és a háromszög területe T = p:r; aholp a félkerület. Héron képletét (T =

pp(p� a)(p� b)(p� c)) alkalmazhatjuk és

így tehát 3br2 =q

3b2 (

b2 � r)

b2 (

b2 + r)

más szavakkal , tehát , és így b = 4r. Következik, hogy a = 3r; b = 4r ésc = 5r, éppen egy derékszög½u háromszög oldalai.23. Feladat. Tegyük fel, hogy egy háromszög oldalainak négyzetei egy

számtani haladványt képeznek. Igazolja, hogy ekkor a háromszög súlyvon-alainak (egy csúcsot a szemközti oldal középpontjával összeköt½o szakasz) né-gyzetei is egy számtani haladvány tagjai. Igaz-e a fordított állítás?Ötlet: Az A ponthoz tartozó ma súlyvonal hosszának négyzete

m2a =

2(b2 + c2) + a2

4:

24. Feladat. Vegyük a következ½o sorozatokat:

86

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37. . .4, 15, 26, 37, 48, 59, . . .

Keresse meg a két számtani haladvány közös tagjait, és igazolja, hogy azokis számtani haladványt képeznek. Általánosítsa a feladatot!25. Feladat. Tekintsük egy sorozat a1; a2; a3; : : : ; an; : : : tagjait. Igazolja,

hogy ez a sorozat akkor, és csakis akkor számtani haladvány, ha:

1

a1a2+

1

a2a3+

1

a3a4+ ::::+

1

an�1an=n� 1a1an

; b�armely n 2 N eset�en.

26. Feladat. Két �atal állásinterjúra jelentkezik. Mindketten a következ½okérdést kapják a gondolkodó képességeik ellen½orzésére:

Ha a munkáltató elégedett a munkájával, akkor az alkalmazott magadöntheti el, hogy miként emeljék az 1000 eurót kitev½o kezd½o �zetését: vagy a)minden négy hét eltelte után 15 euró �zetéssel többet kap, vagy b) minden kéthét eltelte után 5 euró �zetésemelést kap. Ha Ön kellene válaszoljon helyettük,melyik lehet½oséget választaná?Magyarázza meg a válaszát!27. Feladat. Tekintsünk egy olyan egyenl½oszárú trapézt, amely kör köré

írható. Legyen 2a; 2b és r rendre a trapéz alapjai, és a beírt kör sugara. Igazolja,hogy r2 = ab , vagyis a; r; b egy mértani haladványt képez (6. ábra).

6. ábra

28. Feladat. Keresse meg annak a feltételét, hogy egy derékszög½u három-szög oldalai mértani haladványt képezzenek.Megoldás. Ha a derékszög½u háromszög oldalai egy mértani haladvány egymás

utáni tagjai, akkor hosszúságuk jelölésére alkalmas az a; ar; és ar2. Pithagorásztétele alapján a2 = (ar)2+(ar2)2, tehát, feltéve, hogy a 6= 0; 1 = r2+r4, így r2 =�1�

p5

2 , és a feltételeknek megfelel½o egyetlen valós megoldás r =q

�1+p5

2 . Arra

a következtetésre jutottunk, hogy a derékszög½u háromszög oldalai a; aq

�1+p5

2 és

a�1+p5

2 , ahol a pozitív.29. Feladat. Ha a következ½o feltételek egyidej½uleg teljesülnek:

87

a, b, c számtani haladványt képeznek,b, c, d mértani haladványt képeznek,c, d, e harmonikus haladványt képeznek,

akkor a, c, és e mértani haladványt képeznek.30. Feladat. A Miskolci Csokoládégyár új csokoládétermékét népszer½usíti,

amelynek minden táblája egy szelvényt tartalmaz. Két ilyen szelvény beválthatóegy újabb tábla csokoládéra (amelyben szintén van egy újabb szelvény). Mitérhet valójában egy ilyen tábla csokoládé?

(Ötlet: A számítások szerint 1 + 12 +

122 +

123 + :::tábla csokoládét jelent,

amely �végs½o soron összegez½odik�, és ez az, egyre több tagot számláló sorozat"összege" végül �2�).Rekkurencia képlettel megadott sorozatok

A sorozatok fogalma gyakran megjelenik (számsorozatok és alkalmazá-suk a mindennapi élet része, pl. napi h½omérséklet, évi termés, stb), és gyakranel½ofordul, hogy a sorozat tagjait az ½oket megel½oz½o egy vagy több tag értékét fel-használó szabályszer½uséggel adjuk meg (például a népesség növekedése, vagy egybankbetét növekedése a pillanatnyi értékkel arányosan). Az ilyen szabályokat�rekurrencia�relációknak nevezzük.

A rekurrencia relációkkal megadható sorozatokra fontos példák az el½oz½oek-ben tanulmányozott számtani, mértani és harmonikus haladványok. Valóban akövetkez½o szabályok kötik össze a haladvány egy tagját az ½ot megel½oz½ovel:

számtani haladvány esetén: an+1 = an + r, ahol a1 és r adott,mértani haladvány esetén: an+1 = anr, ahol a1 és r adott, ésharmonikus haladvány esetén: 1

an+1= 1

an+ r, ahol a1 és r adott.

A két els½o rekurrencia relációt lineáris rekurrencia relációknak nevezzük,mivel a benne szerepl½o tagok els½o hatványát tartalmazzák (a harmadik esetébenaz an-ek �1 hatványa szerepel. Az els½o kett½ot els½orend½u lineáris rekurrenciánaknevezzük, mivel an+1 az ½ot közvetlenül megel½oz½o tagra épül.Rekurrencia képletek közt talán az a leghíresebb ami Fibonacci Liber Abaci

cím½u könyvében jelent meg.Ez azt jelenti, hogy an+2 = an+1 + an. Megjegyzend½o, hogy most mindkét

els½o tagot, az a1 és a2-t egyaránt ismerni kell, ahhoz, hogy az egész sorozatfelírható legyen.A Fibonacci rekurrencia képlet szintén lineáris, de már másodrend½u.Fibonacci a Liber Abaci c. munkájában a következ½o feladatot fogalmazza

meg:�Egy ember vett egy pár kisnyulat (anyaállat és apaállat), egy hónap alatt

ivarérettek lettek és a második hónap után szaporodni kezdtek a következ½okszerint: minden hónapban egy pár kisnyúl született, ugyanolyan összetételben,mint az eredeti vételkor, és minden új pár ugyanazt a szaporulatláncot követte:egy hónap alatt ivarérettek lettek és a második hónap után szaporodni kezdtek.Mennyi a nyulak száma rendre a következ½o hónapokban?�Ellen½orizhet½o, hogy:

Els½o hónapban: 1

88

Második hónapban: 1Harmadik hónapban: 2Negyedik hónapban: 3

Ötödik hónapban: 5Könnyen belátható, hogy ha az n: hónapban a nyulak an, akkor teljesül a

következ½o összefüggés an+2 = an+1+ an, és az els½o két tag a1 = 1 és a2 = 1. Ezaz ún. Fibonacci sorozat1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...31. Feladat. Írja fel az el½obb ismertetett Fibonacci sorozat három hiányzó

tagját:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _

_ _

Mit mondhatunk a Fibonacci sorozat általános tagjáról? Ebben az esetbennem olyan egyszer½u a válasz, mint az el½oz½o kérdésekben.

Sorozatok II.

Ez a fejezet is a sorozatokról szól. Ajánljuk, hogy ezt megel½oz½oen a hallgatóa Sorozatok I. c. részt tanulmányozza, amelyben f½oként a Számtani, Mértaniés Harmonikus Haladványokat ismerheti meg. Az alábbiakban röviden össze-foglaljuk az említett fejezet néhány eredményét.A Sorozatok I. a sorozatok egy intuitív leírását tartalmazza. Ha egy pontos

de�níciót akarunk, akkor az a következ½oképpen adható meg:De�níció. Egy (végtelen) sorozat a természetes számok egy leképzése a valós

számokra, azaz egy f : N! R függvény.A sorozatot meghatározó függvényt rendszerint nem nevezzük meg, és a

szokásos f(1); f(2); f(3); ... függvényérték jelölés helyett azokat egyszer½uen asorozat els½o, második, harmadik, . . . tagjának nevezzük, és a jelölésük:a1; a2; a3; :::Magát a sorozatot tömören (an), vagy (an)n2Njelöli, és an �t a sorozat ál-

talános tagjának nevezzük.Néha véges sorozatokról beszélünk, és egy végtelen sorozat kezd½o tagjait

értjük alatta. Például a1; a2; a3; a4; a5; a6; a7; a8 egy nyolc tagú véges sorozat.Egy sorozat megadható az általános tagjával, például , vagy egy rekurrencia

relációval amely a sorozat egy tagját az ½ot megel½oz½o tag, vagy tagok segítségéveladja meg. Például a Fibonacci sorozat tagjait a következ½oképpen adhatjuk meg:a1 = 1; a2 = 1 és an+2 = an+1 + an (ha n � 1)Lineáris rekurrencia relációval adhatók meg a számtani, mértani, és har-

monikus haladványok tagjai is például.

Valóban, hogy ha egy (véges, vagy végtelen) sorozat bármely három, egymástkövet½o an�1; an; an+1 tagjára teljesül a következ½o összefüggés:

an =an�1 + an+1

2

89

akkor a sorozatot számtani haladványnak nevezzük.Ha egy sorozat bármely három, egymást követ½o an�1; an; an+1 tagjára tel-

jesül a következ½o összefüggés:

an =pan�1an+1

akkor a sorozat mértani haladvány.Végül, ha egy nullától különböz½o tagokat tartalmazó sorozat bármely három,

egymást követ½o an�1; an; an+1 tagjára teljesül a következ½o összefüggés:

2

an=

1

an�1+

1

an+1

akkor a sorozat egy harmonikus haladvány.Ugyanez a három haladvány megadható rekurrencia relációval (rekurzív úton)

a következ½ok szerint:an+1 = an + r, ahol a1 és r adott, egy számtani haladvány,an+1 = anr, ahol a1 és r adott, egy mértani haladvány, és1

an+1= 1

an+ r, ahol a1 és r adott, (és ahol a1 nem pozitív többszöröse

r-nek), egy harmonikus haladvány.Az el½obbi három haladvány általános tagja is megadható, ezek rendre:an = a+(n�1)r, an = arn�1, és an = a a+r

a�(n�2)r , ahol a = a1 és r adottak.1. Feladat. Igazolja, hogy a de�nícióhoz hasonló tulajdonság mindhárom

haladvány esetén igaz bármely három: an�k; an; an+k �egyenl½o távolságra lév½otagra�, azaz a megfelel½o haladványoknál rendre teljesülnek az:an =

an�k+an+k2 ; an =

pan�kan+k és 2

an= 1

an�k+ 1

an+kösszefüggések.

Számtani haladványok típusfeladatai2. Feladat. Egy számtani haladvány els½o három tagja rendre 20, 16.5 és

13. Számítsa ki a tizenötödik tagot!

Megoldás. Az adott számtani haladvány állandó különbsége -3.5 és els½otagja 20. Tehát az n. tag képlete an = a + (n � 1)r szerint a15 = a + 14r =20 + 14:(�)3:5 = �29

3. Feladat. Ha a számtani haladvány harmadik tagja, a3 = 2, valamint akilencedik tagja,a9 = 20, keresse meg a hatodik tagot!Megoldás. A feladat adatainak és az an = a + (n � 1)r képletnek a fel-

használásával: a+ 2r = 2;és a + 8r = 20. A kapott egyenletrendszer megoldásai: a = �4 és r = 3 ,

majd kiszámítható a6 = a+ 5r = �4 + 15 = 11.Észrevehet½o, hogy a feladat még egyszer½ubben is megoldható, ha az egyenl½o

köz½u tagokra vonatkozó tulajdonságot alkalmazzuk: a6 = a3+a92 = 2+20

2 = 11.

Mértani haladványok típusfeladatai

90

4. Feladat. Ha a mértani haladvány harmadik tagja 5, hatodik tagja -40,keressük meg a nyolcadik tagját!Megoldás. Alkalmazzuk a mértani haladvány az n: tagjának képletét, így

ar2 = 5, és ar5 = �40. A két egyenletb½ol r3 = �8, ennek egyetlen valómegoldása r = �2, továbbá a = 5

4 , így aztán a8 = ar7 = 54 (�128) = �160,

tehát a8 = �160.

A mértani haladványoknak valószín½uleg a leghíresebb feladata a sakkmesterfeladat:Egy király azt ígérte a sakkmesternek, hogy bármit megad, amit az kíván,

ha megnyeri a játékot, és természetesen a sakkmester könnyedén nyert. Asakkmester csak annyit kért, hogy a sakktábla els½o négyzetére egy szem búzáttegyen a király, majd kétszer annyit tegyen a másodikra, és így folytassa minda 64 négyzetre, mindig kétszer annyit tegyen a következ½o négyzetre, mint amen-nyit az el½oz½ore tett. Mit gondol, örvendett-e a király a �szerény�kívánságnak?Lehet, hogy els½o hallásra egyszer½uen teljesíthet½onek gondolta, de végiggondolva,már nem. Mi az ön véleménye?

Lineáris rekurrencia relációval adott sorozatokA haladványok mellett más jól ismert példákat adhatunk a rekurrencia relá-

ciókkal megadható sorozatokra. A leghíresebb talán a Fibonacci sorozat, amitaz an+2 = an+1+an másodrend½u lineáris rekurrencia reláció és az a1 = 1; a2 = 1kezdeti feltételek határoznak meg. Tagjai rendre:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...Mit mondhatunk az általános tagjáról? Létezik-e az an-t leíró képlet? Erre

a kérdésre nem is olyan egyszer½u a válasz, de a következ½oképpen kereshet½o meg:Lényeges megállapítani, hogy az adott rekurrencia reláció és a kezdeti feltételek

(els½o két tag) teljesen meghatározzák a sorozatot. Valóban ha (bn) is egy olyansorozat amire és b1 = a1, b2 = a2 , akkor kijelenthetjük, hogy bn = an mindenn-re (nem csupán n = 1 vagy n = 2 esetén). Valóban rendre:b3 = b2 + b1 = a2 + a1 = a3,így aztán b4 = b3 + b2 = a3 + a2 = a4,és általában, induktív úton belátható, hogy bn = an minden n esetén.Az általános taghoz a következ½oképpen juthatunk el: Egy (bn) sorozatot

keresünk, amire és b1 = a1 = 1; b2 = a2 = 1.Els½ore keressük az adott másodrend½u lineáris rekurziónak egy nullától külön-

böz½o bn = rn alakú megoldását.Helyettesítsük be a bn = rn kifejezést az adott relációba, majd a közös

tényez½ovel egyszer½usítve eljutunk az:r2 = r + 1.ún. karakterisztikus egyenlethez, amelynek r megoldása kell legyen:Ennek az egyenletnek két gyöke r1 = 1+

p5

2 és r2 = 1�p5

2 .

Tehát, mindkett½o, azaz bn = rn1 =�1+p5

2

�nés bn = rn2 =

�1�p5

2

�nkielégíti

a rekurrencia relációt. Ezt akár ellen½orizhetjük is.

91

Ha bn = rn1 =�1+p5

2

�n, akkor

bn+2 � (bn+1 + bn) = rn+21 ��rn+11 + rn1

�= rn1

�r21 � (r1 + 1)

�= 0

Hasonló a bn = rn2 =�1�p5

2

�neset is.

Megjegyezzük, hogy a rekurrencia reláció linearitása miatt az adott megoldá-sok egy tetsz½oleges lineáris kombinációja is megoldás, azaz:

bn = Arn1 +Br

n1 = A

�1+p5

2

�n+B

�1�p5

2

�n(�)

bármely A;B állandók esetén kielégíti a rekurrencia relációt. Ennek az el-len½orzése egyszer½u feladat, és azt az olvasóra bízzuk. Most csupán az marad,hogy az A és B állandókat úgy válasszuk meg, hogy a b1 = a1 = 1; b2 = a2 = 1kezdeti feltételek is teljesüljenek.Behelyettesítve az n = 1 és n = 2 értéket a (*) összefüggésbe:

A�1+p5

2

�1+B

�1�p5

2

�1= 1

és

A�1+p5

2

�2+B

�1�p5

2

�2= 1

A kapott rendszer megoldásai A és B -re, A = 1p5�es B = � 1p

5

A fenti megjegyzéseket és számításokat összegezve:an = bn = 1p5

�1+p5

2

�n�

1p5

�1�p5

2

�n.Azaz valóban megtaláltuk a Fibonacci sorozat általános tagjának képletét.Vegyünk egy másik, hasonló példát:Keressük meg az általános tag képletét, ha a rekurrencia reláció: an =

3an�1 � 2an�2 (n � 2) , valamint a kezdeti feltételek : a0 = 3 és a1 = 7Az el½oz½o esethez hasonlóan a megoldást an = rn alakban keresve, azt a

rekurrencia relációba behelyettesítve, az egyszer½usítés után a következ½o karak-terisztikus egyenletet kapjuk:r2 = 3r � 2.Ennek gyökei: r1 = 1 és r2 = 2. Tehát a megoldás várható alakja: an =

Arn1 +Brn2 = A+B � 2n, ahol az A;B állandókat a következ½o kezdeti feltételek

alapján határozzuk meg: a0 = 3 és a1 = 7 és Ez lesz a következ½o feladat.

5. feladat. Igazolja, hogy an = A+B � 2n (n = 0, 1, 2, ... ) egy megoldásaaz an = 3an�1 � 2an�2 (n � 2) rekurrencia relációnak. Határozza meg az A ésB állandók értékét, úgy, hogy a következ½o kezdeti feltételek teljesüljenek: a0 = 3és a1 = 7Megoldás. ( Direkt úton amennyiben lehetséges, ha nem akkor az el½ob-

biekre támaszkodva). Els½o lépésként a javasolt megoldást a rekurrencia relá-cióba helyettesítjük. Ekkor annak baloldala, azaz an = A + B � 2n éppen . Ajobboldalon álló kifejezés kiszámítására felírjuk az an�1 = A + B � 2n�1 és azan�2 = A+B�2n�2 tagokat. Így a jobboldal 3an�1�2an�2 = 3

�A+B � 2n�1

��

2�A+B � 2n�2

�. Tehát ellen½oriznünk kell, hogy teljesül-e:

an = A+B � 2n = 3�A+B � 2n�1

�� 2

�A+B � 2n�2

�92

bármely n � 2 esetén. Ez egy egyszer½u számítás. A jobboldalból indulvarendre felírható:

3�A+B � 2n�1

��2�A+B � 2n�2

�= 3A�2A+3B�2n�1�2B�2n�2 = A+4B�2n�2

ami pont a baloldal, azaz A+B � 2n.Most határozzuk meg azt az A és B értékét úgy, hogy az a0 = 3 és a1 = 7

kezdeti feltételek teljesüljenek.Az n = 0 és a0 = 3, a következ½o egyenletet adja: 3 = A + B � 20 = A + B.

Hasonlóan n = 1 és a1 = 7, a 7 = A+B � 21 = A+ 2B egyenlethez vezet. Megkell oldanunk tehát a következ½o lineáris egyenletrendszert:

A+B = 3;

A+ 2B = 7

Egyszer½u számítással az A = �1és B = 4 adódik. Tehát a rekurrenciarelációnak és az adott kezdeti feltételeknek egyetlen megoldása an = Arn1 +Brn2 = �1+ 4 � 2n = 2n+2 � 1. Ugyanez a képlet azt is jelenti, hogy direkt útonkiszámíthatjuk az a7 = 29 � 1 értékét, anélkül, hogy egyenként, az összes tagotki kellene számítani, amíg megjelenik az a7.Összegezhetjük tehát: Az el½obbi két példa alapján világos, hogy az an+2 +

pan+1 + qan = 0 másodrend½u lineáris rekurrencia megoldása során, amelynekels½o két tagja, a1; a2 adott, els½oként az r2 + pr + qr = 0 másodfokú egyenletekell megoldanunk, majd ha annak két különböz½o r1 és r2 valós gyöke van, arekurzió általános tagja an = Arn1 + Br

n2 alakú. Az A és B meghatározható

a1; a2 segítségével.Tulajdonképpen ez az ötlet általánosítható egyan+k + p1an+k�1 + :::+ pkan = 0alakú k-ad rend½u lineáris rekurzióra, ha az ebb½ol származórk + p1r

k�1 + :::+ pk = 0k-ad fokú karakterisztikus egyenletnek k különböz½o valós gyöke van. Ekkor

az általános tag alakja:an = A1r

n1+A2r

n2+:::+Akr

nk ahol azA1; A2; :::; Ak együtthatók meghatározásához

ismerni kell az els½o k tag értékét.Monoton sorozatok. Korlátos sorozatokA következ½o két fejezetben a sorozatok gyakran el½oforduló tulajdonságait

tanulmányozzuk, mint a monotonitás, korlátosság, vagy konvergencia.A pontosde�níciókat a következ½ok tartalmazzák. Ennek a két fejezetnek az ismeretébenolyan kérdésekre tudunk majd válaszolni mint például:Kérdés. Tekintse a következ½o (an) sorozatot:p2,p2 +

p2,q2 +

p2 +

p2, ... ,

p2 + an�1 , ...

Növekv½o-e a sorozat? Korlátos-e a sorozat? Van-e határértéke a sorozatnak?

Következzen néhány de�níció.

93

De�níció. Az (an)n2N sorozat nem csökken½o, ha an � an+1 minden n 2N esetén. Ha az egyenl½otlenség szigorúan teljesül (an < an+1 minden n 2N esetén), akkor a sorozat növekv½o. Hasonlóan értelmezzük a nem növekv½osorozatot (ha an � an+1 minden n 2 N esetén), és a csökken½o sorozatot (an >an+1 minden n 2 N esetén). Azokat a sorozatokat, amelyek nem csökken½ok,vagy nem növekv½ok monoton sorozatoknak nevezzük, a növekv½o, illetve csökken½osorozatok szokás szigorúan monoton sorozatoknak nevezni.De�níció. Az (an)n2N sorozat felülr½ol korlátos, ha létezik egy olyan M 2 R

szám, amelyre an � M minden n 2 N esetén. Ezt az M -et a sorozat egy fels½okorlátjának nevezzük. Hasonlóan, az (an)n2N sorozat alulról korlátos, ha vanegy olyan m 2 R szám, amelyre m � an minden n 2 N esetén. Egy ilyen m-et a sorozat egy alsó korlátjának nevezzük. Végül az (an)n2N sorozatot akkornevezzük korlátosnak, ha egy id½oben alulról is és felülr½ol is korlátos.Néhány példa.Az an = n sorozat a) növekv½o, b) alulról korlátos és c) felülr½ol nem korlátos.A bn = 1 sorozat a) nem csökken½o, b) nem növekv½o és c) korlátos.A cn = 1

n sorozat a) csökken½o, b) alulról korlátos és c) felülr½ol is korlátos.Megjegyzend½o, hogy ha van fels½o korlátja egy sorozatnak pl. M , akkor az

nem egyértelm½u, mivel például M + 12 vagy M + 1 is fels½o korlátai ugyanannak

a sorozatnak. Hasonló tulajdonság teljesül az alsó korlátokra is.6. feladat. Igazolja, hogy egy (an)n2N sorozat akkor és csakis akkor korlá-

tos, ha létezik egy olyan M > 0 amelyre janj �M(minden n-re)7. Feladat. Tanulmányozza a következ½o sorozatok monotonitását:

a) xn = 1n , b) xn = 1�

1n , c) xn =

nn+1 , d) xn = 3

�23

�n,

e) xn = (�1)n 1n , f) xn = 1 + (�1)n 1

n , g) xn = (�1)n nn+1 , h) xn =

3�� 23

�n.

8. feladat. Tanulmányozza a következ½o sorozatok monotonitását:a) xn = n2

n+1 , b) xn = n�1n , c) xn =

n2

n2+1 , d) xn = 3�53

�ne) xn = (�1)n

pn2 + 1, f) xn = n+ (�1)n n

n+1 , g) xn = (�1)n n2n

n+1 , h)

xn =n2

n2+1

�23

�n.

9. feladat. Vizsgálja meg, hogy a következ½o sorozatok korlátosak-e?a) xn = 1

n , b) xn = 1�1n , c) xn =

nn+1 , d) xn = 3

�23

�n,

e) xn = (�1)n 1n , f) xn = 1 + (�1)n 1

n , g) xn = (�1)n nn+1 , h) xn =

3�� 23

�n.

10. Feladat. Vizsgálja meg, hogy a következ½o sorozatok korlátosak-e?a) xn = n2

n+1 , b) xn = n�1n , c) xn =

n2

n2+1 , d) xn = 3�53

�ne) xn = (�1)n

pn2 + 1, f) xn = n+ (�1)n n

n+1 , g) xn = (�1)n n2n

n+1 , h)

xn =n2

n2+1

�23

�n.

11. feladat. Igazolja, hogy az (sn)n2N sorozat, ahol sn = 11+

12+

13+ :::+

1n ,

nem korlátos.Felhasználható a következ½o egyenl½otlenség: x � log(1 + x) ha x � 0 (ami

analízis segítségével könnyen igazolható).Megoldás. Az adott egyenl½otlenség alapján rendre:

94

11 +

12 +

13 + :::+

1n � log(1 + 1) + log(1 +

12 ) + log(1 +

13 ) + :::+ log(1 +

1n )

= log�213243 :::

n+1n

�= log(n+ 1)

tehát az adott összeg nem korlátos felülr½ol.A rekurrencia relációval adott sorozatokat is tanulmányozhatunk monotonitás

vagy korlátosság szempontjából. Lássuk ezt a következ½o példában.12. feladat. Igazolja, hogy az an+1 =

p2 + an rekurrencia relációval

értelmezett sorozat, amelyre a1 =p2, egy növekv½o, korlátos sorozat.

Megoldás. Pozitív sorozatok esetén elegend½o a fels½o korlátot megtalálni(hiszen pl. 0 egy alsó korlát).Tudjuk, hogy a1 =

p2 < 2, tehát a2 =

p2 +

p2 < 2.

Indukcióval bizonyítjuk, tehát, tegyük fel, hogy an < 2, egy n = k -ra. Ekkorn = k + 1-re azt kapjuk, hogy: an+1 =

p2 + an < 2,

tehát az indukció teljesül, és így a sorozat felülr½ol korlátos.A monotonitás vizsgálatakor össze kell hasonlítani az an+1-t az an-el. Mivel

tudjuk, hogy a1 < a2, próbáljuk meg bebizonyítani, hogy minden n-re teljesülan < an+1, azaz an <

p2 + an.

Mindkét oldalt négyzetre emeljük, és az egyenl½otlenséggel ekvivalens a2n <2 + an egyenl½otlenséggel folytatjuk, amit átírva kapjuk az a2n � an � 2 < 0egyenl½otlenséget. Most elemezzük az x2 � x � 2 parabola el½ojelét (hiszen eza baloldalon álló kifejezés). Gyökei �1 és 2, tehát minden x-re ami teljesítia �1 < x < 2 feltételt, a parabola negatív. Az els½o részben viszont éppenazt igazoltuk, hogy 0 < an < 2, minden n-re, tehát a2n � an � 2 < 0. Ebb½olkövetkezik, hogy an <

p2 + an, azaz an < an+1 amint az feltehet½o volt.

(Megjegyzés: Mivel igazoltuk, hogy a sorozat növekv½o, a korlátok helyett a�javított�korlátok vehet½ok.Megemlíthet½o, hogy az el½oz½o példában tanulmányozott sorozat pontosan az

a sorozat, amely a fejezet elején kérdésként jelenik meg. Feleltünk tehát az ottfeltett kérdések közül kett½ore. Meg kell válaszolnunk azt a kérdést is, hogy asorozatnak van-e határértéke, ezt a következ½o fejezetben tárgyaljuk.Sorozatok konvergenciája

A következ½okben a sorozatok konvergenciáját tárgyaljuk. Els½o megközelítés-ben (a pontos de�níció alább következik) az (an)n2N sorozat akkor �közelítimeg�vagy �konvergál�az L határértékhez, miközben az n n½o, ha egy tetsz½oleges�t½uréshatár mellett�, a sorozat tagjai legfeljebb -nal ( > 0) térnek el L-t½ol.Pontosítva:A konvergencia de�níciója.Az (an)n2N sorozat konvergens az L valós számhoz, és ezt lim

n!1an = L

jelöli, ha bármely adott > 0 esetén van egy N természetes szám úgy, hogybármely n > N , esetén an teljesíti a következ½ot:

jan � Lj < �

Ha a sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük.Az L számot az (an)n2N sorozat határértékének nevezzük.

95

A limn!1

an = L jelölés helyett néha a rövidebb lim an = L vagy az an ! L

jelölést használjuk.Néha el½onyösebb a de�nícióban szerepl½o egyenl½otlenséget a következ½o, azzal

ekvivalens alakban írni: L� � < an < L+ �:

Megjegyezhet½o, hogy ha (an)n2N konvergens, akkor a de�nícióban szerepl½oNnem egyértelm½u: ha egy tetsz½oleges N esetén az egyenl½otlenség teljesül bármelyn > N -re, akkor az N helyett egy nála nagyobb szám, pl. N + 1; N + 10is vehet½o. Szintén fontos tudni, hogy általában N értéke függ -tól. Ha -tmegváltoztatjuk, rendszerint N -et is másként kell kiválasztani.Egy másik tudnivaló, ami a de�nícióból azonnal következik, az, hogy ha az

(an)n2N sorozat konvergens akkor az (an+1)n2N sorozat is az, és

limn!1

an = limn!1

an+1

. Ez a gondolat folytatható: bármely k 2 N esetén limn!1

an = limn!1

an+k

Példák. a) A konstans (an)n2N sorozat, azaz ha an = c minden n 2 N-re,konvergens, és lim

n!1an = lim

n!1c = c.

Bizonyítás. Nyilván, adott > 0 esetén, bármely N -re (N 2 N) teljesül,hogy ha n > N akkor:c� < c < c+ ; azaz c� < an < c+b) Az (an)n2N sorozat, amelyre an = 1

n sorozat, röviden az an =1n konver-

gens a 0-hoz, azaz limn!1

an = 0.

Bizonyítás. Vegyünk egy adott > 0 értéket. esetén, és legyen N egy olyan(N 2 N) szám amelyre teljesül teljesül, hogy N > 1

� vagyis1N < �:Ha most

n > N akkor az is igaz, hogy 1n <

1N ; tehát:

� < 1n < + ; azaz � < an < + és így lim

n!11n = 0:

Vagyis a de�níció szerint igazoltuk a sorozatok konvergenciáját, a határértéklétezését.A következ½o két feladatot a kés½obbiekben leírt tételekkel könnyen meg lehet

oldani, de az olvasónak azt javasoljuk, hogy oldja meg ½oket direkt a de�nícióalapján.13. feladat. Igazolja, hogy a 2

n ,1n2 és

1pnsorozatok 0-hoz konvergensek.

14. feladat. Igazolja, hogy: lim nn+1

n!1= 1, lim

n!1n2�1n2+1 = 1 és limn!1

1�2n3n+2 = �

23 .

15. Feladat. Igazolja, hogy az an = (�1)n sorozat nem konvergens 0-hoz.Általánosabban mutassa ki, hogy egyáltalán nem konvergens semmilyen L-hezsem.(Utasítás az els½o részhez: Igazolható, hogy � > 0 (pl. � = 1

2 ) esetén nemlehetséges egy olyan N -et találni, amelyre ha n � N akkor � < an < + ,azaz � 1

2 < an < + 12 hiszen a sorozat tagjai csak az �1 ill. 1 értékeket veszik

fel).16. Feladat. Igazolja, hogy ha egy (an) sorozatra teljesül lim

n!1an = L,

akkor limn!1

janj = jLj. Igaz-e a fordított állítás?

96

Megoldás. Azonnal belátható a következ½o egyenl½otlenség alapján:0 � jjanj � jLjj < jan � Lj. A fordított állítás hamis, amint azt az el½oz½o

példa is igazolja: láthattuk, hogy an = (�1)n nem konvergens, ugyanakkorjanj = j(�1)nj = 1; mint konstans sorozat konvergens.Miel½ott további példákat adunk a sorozatok konvergenciájára, bizonyítsunk

be néhány, a továbbiakban felhasználható tételt.1. Tétel. Minden konvergens sorozat korlátos.Bizonyítás. Legyen az (an) egy konvergens sorozat, amelyre lim

n!1an = L.

Alkalmazzuk a konvergencia de�nícióját > 0-re. Erre az > 0 értékre létezikegy N úgy, hogy minden n > N esetén: L�� < an < L+�, tehát Válasszuk ki azM = maxfjL� �j ; jL+ �j ; ja1j ; ja2j ; :::; jaN j ; g értéket. Most már nyilvánvaló,hogy minden n 2 N-re janj < M , azaz a sorozat korlátos.Megjegyzés. A tétel fordítottja nem igaz, hiszen például a (�1)n sorozat

korlátos, de nem konvergens.17. Feladat. Tegyük fel, hogy az (an) nullától különböz½o tagokat tartal-

mazó sorozat konvergens és limn!1

an = L, ahol L 6= 0(L > 0). Igazolja, hogy az�1an

�sorozat is korlátos. (Ezt az eredmény felhasználva igazolni fogjuk, hogy a

második sorozat is konvergens).(Utasítás. Legyen � = L

2 > 0. Létezik tehát olyan N , amelyre bármelyn � N esetén jan � Lj < L

2 és így janj <L2 , tehát

1janj <

2L ).

2. Tétel. Ha az (an); (bn) és (cn) három olyan sorozat, amelyre an � bn �cn minden n-re és lim

n!1an = lim

n!1cn = L, akkor lim

n!1bn = L.

Bizonyítás. Legyen egy adott � > 0. Mivel limn!1

an = limn!1

cn = L, létezik

egy olyan N1 amelyre minden n � N1 esetén:(1) L� � < an < L+ �Hasonlóan létezik egy olyan N2 is, amelyre minden n � N2 esetén:(2) L� � < cn < L+ �LegyenN = max(N1; N2). Ha tehát n � N , az (1) és (2) egyidej½uleg teljesül,

tehátL� � < an � bn � cn < L+ � .Ez azt jelenti, hogy bármely n N esetén L � � < bn < L + �, tehát (bn)

konvergens és limn!1

bn = L.

3. Tétel. Tegyük fel, hogy az (an); (bn) olyan konvergens sorozatok, ame-lyekre lim

n!1an = L1 és lim

n!1bn = L2 és vegyük a p; q 2 R állandókat.

Ekkor a (pan + qbn) konvergens sorozat és limn!1

(pan + qbn) = pL1 + qL2,

valamint az (anbn) konvergens sorozat és limn!1

(anbn) = L1L2: Ha még a

feltételeken felül minden n-re bn 6= 0 és L2 6= 0, akkor limn!1

anbn= L1

L2:

Bizonyítás. Legyen egy adott � > 0 valós szám. Ekkor �2jpj+1> 0 is igaz.

Használjuk fel ezt a de�níció értelmében. Ha limn!1

an = L1, létezik egy olyan

N1 , hogy minden n � N1 esetén:jan � L1j < �

2jpj+1 (1)Hasonlóan, létezik egy olyan N2 , hogy minden n � N2 esetén:

97

jbn � L2j < �2jqj+1 (2)

Legyen N = max(N1; N2). Most minden n � N esetén az (1) és (2) egyide-j½uleg teljesül, és ezek alapján:

jpan + qbn � pL1 � qL2j = jpan � pL1 + qbn � qL2j < p�

2 jpj+ 1+q�

2 jqj+ 1 <�

2+�

2= �

Útmutatás a limn!1

(anbn) = L1L2 bizonyítására. Használjuk a következ½oket:

janbn � L1L2j � janbn � L1bn + anL2 � L1L2j � j(an � L1)bn + (an � L1)L2j �j(an � L1j jM j+ jan � L1j jL2jahol M a (bn) (konvergens) sorozat egy fels½o korlátja.Útmutatás a lim

n!1anbn= L1

L2bizonyítására. Els½oként megjegyezzük, hogy az

el½oz½oek értelmében elegend½o azt bizonyítani, hogy limn!1

1bn= 1

L2

Használjuk fel, hogy�� 1bn � 1

L2

�� = ��L2�bnbnL2

�� M��L2�bnL2

�� ahol M egy fels½o

korlátja az�1bn

�sorozatnak, ami a 17. feladat szerint létezik)

18. feladat. Igazolja, hogy az�1n sin(n

7 � 3n2 + 17)�sorozat 0-hoz kon-

vergens.(Útmutatás. Felhasználható, hogy: � 1

n �1n sin(n

7 � 3n2 + 17) � 1n és

limn!1

�� 1n

�= lim

n!1

�1n

�= 0.)

19. Feladat. Számítsa ki a következ½o határértéket: limn!1

�5n3�11n2+5n�34n3�2n2�n+21

�.

Megoldás. A törtet n3 -el egyszer½usítve és a 3. Tételt alkalmazva:

limn!1

�5n3�11n2+5n�34n3�2n2�n+21

�= limn!1

�5� 11

n +5n2� 3n3

4� 2n�

1n2+ 21n3

�= 5�0+0�04�0�0+0 =

54 .

20. Feladat. Legyen a1 = 23 és an+1 = an +

1(n+1)(n+2) ha n � 1. Keresse

meg an-et és igazolja, hogy az (an) sorozat konvergens.

Megoldás. Számítsuk ki a sorozat néhány további tagját: a2 = a1+ 13�4 =

23+

112 =

34 , és a3 = a2+

14�5 =

34+

120 =

45 : "Kitalálhatjuk", hogy a sorozat általános

tagja an = n+1n+2 (ezt indukcióval bizonyítani is lehet), így (an) konvergens és

limn!1

an = 1.

21. Feladat. Tegyük fel, hogy (an) egy pozitív tagú konvergens sorozat,amelyre lim

n!1an = L. Igazolja, hogy lim

n!1

pan =

pL valamint, általánosabban,

limn!1

kpan =

kpL bármely rögzített k 2 N esetén.

(Útmutatás. Ha L 6= 0 felhasználhatjuk a következ½o azonosságot és egyen-l½otlenséget :

��pan �pL�� = jan=Ljpan+

pL� jan=Ljp

L)

Függvények határértéke egy adott pontban, füg-gvény pontbeli folytonosságaA függvények pontbeli határétéke értelmezhet½o a sorozatok nyelvén is.

98

Tekintsük az f : A ! B függvényt, ahol A � R és B � R; és legyen a egyolyan pont, amire van olyan (xn) � A sorozat, amelyrexn ! a; azaz lim

n!1xn = a; vagyis a eleme, vagy határpontja az A értelmezési

tartománynak.Ha minden olyan (xn) � A sorozatra, amelyre xn ! a a függvényértékek

sorozata is konvergens, és f(xn)! l, azaz limn!1

f(xn) = l; akkor a függvénynek

van határértéke az a pontban, ez a határéték l, és erre a következ½o jelölésthasználjuk: lim

x!af(x) = l:

A függvények pontbeli határétéke értelmezhet½o a sorozatok nélkül a pontkörnyezetének segítségével. Ez a két de�níció egyenérték½u, ennek bizonyításáralásd pl. Balázs-Kolumbán, 1978.

De�níció. Tekintsük az f : A ! B függvényt, ahol A � R és B � R; éslegyen a egy olyan pont, aminek bármely (a� �; a+ �) környezetére igaz, hogyvan olyan (a� �; a+ �) \A 6= ?, azaz a pont minden környezetében vannak azfüggvény értélmezési tartományának pontjai,vagyis a eleme, vagy határpontjaaz A értelmezési tartománynak. Ha bármely � > 0 esetén létezik olyan � >0, amelyre ha jx� aj < � akkor jf(x)� lj < �, akkor lim

x!af(x) = l; azaz a

függvénynek az a pontban l a határértéke.De�níció. Tekintsük az f : A ! B függvényt ahol, A � R és B � R

és legyen a 2 A. A függvény az a pontban folytonos, ha létezik limx!a

f(x), és

limx!a

f(x) = f(a):

Ha létezik limx!a

f(x) de limx!a

f(x) 6= f(a), akkor a-ban a függvénynek sza-

kadáspontja van.

Megjegyzések

1. A függvény hatérétéke tehát vizsgálható az értelmezési tartomány pon-tjaiban, és az értelmezési tartomány ún. határpontjaiban, de folytonosságrólbeszélni csak az értelmezési tartomány ponjaiban lehet.2. Ha a függvény határértékének a fogalmát általánosabban vizsgáljuk,

akkor külön- külön értelmezhet½o a függvény baloldali pontbeli határétéke illetvejobboldali pontbeli határértéke, ha a fenti feltételek mellett, csak az x � a,illetve x � a független változókra teszünk kikötést, ezek szokásos jelölései:lim

x!a;x�af(x) = lb = lim

x%af(x), illetve lim

x!a;x�af(x) = lj = lim

x&af(x):

Ebben az esetben a függvénynek az adott pontban akkor van határértéke,ha lb = lj és ezt a közös értéket általában l jelöli.3. Ha a függvény jobb- illetve baloldali határértéke nem egyezik meg, vagy

valamelyik nem létezik, akkor a függvény nyilván nem lehet folytonos, hiszenmég a a határértéke sem létezik, de beszélhetünk az adott pontban balrólfolytonos (lb = f(a) 6= lj), illetve jobbról folytonos (lb 6= f(a) = lj) függvényr½ol.4. Ha lb 6= f(a) 6= lj , de lb = lj , akkor a függvénynek a-ban ún. els½o fajú

(megszüntethet½o) szakadáspontja van, mivel ha ebben a pontban a függvénymás értéket, az f(a) = lb = lj értéket veszi fel, akkor folytonos lesz.

99

5. Ha lb = lj , de a =2 A, akkor a függvénynek a-ban ún. els½o fajú (megszünte-thet½o) hézagpontja van, ebben az esetben a függvény folytonosan kiterjeszthet½oaz a pontban, az el½obbi módon, de az a ponttal ki kell b½ovíteni az értélemzésitartományát.6. Más esetekben ún másodfajú, vagy meg nem szüntethet½o szakadáspon-

tokról, illetve hézagpontokról beszélünk.7. A függvény pontbeli folytonossága, illetve a pontbeli hatérték létezése

azt is kifejezi, hogy ha az x változójú függvény egy folyamatot, jelenséget írle "képletszer½uen", akkor ahhoz, hogy az "eredményt" (f(x)-et, ill. l-et)egy el½ore megadott � -nál kisebb eltéréssel kapjuk meg, elegend½o az "bemen½o"adat értékét, az x-et az �� pontosságon belül megadni. Pl.: a T : (0;1) !(0;1) ; T (x) = �x2 kifejezi az x sugarú kör területét, és ahhoz, hogy a számításkét tizedes pontosságú legyen, azaz a terület értékét 2 tizedesjegy pontossággalkapjuk, elegend½o az x sugár értékét egy tizedessel megadni, hiszen a de�níciószerint a � = 1

100 esetén elegend½o az � =110 értéket választani, mivel a változó

négyzete szerepel a "képletben" (természetesen emellett a � értékét két tizedesselkell megadni, hiszen azt nem hatványozzuk).

Folytonos függvényekEgy f : A! B függvény, ahol A � R és B � R; folytonos, ha az értelmezési

tartomány összes pontjában folytonos, azaz bármely a 2 A esetén, limx!a

f(x), és

limx!a

f(x) = f(a):

FONTOS tudnivaló az, hogy az elemi függvények az értelmezési tartományukonfolytonosak. Ez ellentmondani látszik a szemléletnek, hiszen például a trigonome-triai függvények közül a tg és ctg folytonos ugyan de csak szakaszonként, viszontazok a "kényes" pontok, ahol a függvények a függ½oleges asszimptóta mentén"ugrani látszanak" +1 és �1 között, nincsenek a függvény értelmezési tar-tományába. Értelemszer½uen ezekben a pontokban nem beszélhetünk folytonossá-gról. Az elemi függvények transzformáltjai és azok az összetett függvények,amelyeket elemi függvények összetételével kapunk, szintén folytonosak, de azösszetétel során ügyelnünk kell az értelmezési tartományok változására.A függvények határértékének számítása a kritikus pontokban lehet½ové teszi a

függvények pontosabb megismerését, illetve a függvényábra pontosabb elkészítését.A függvények menetének tanulmányozása a határértékek vizsgálata mellett afüggvények deriváljainak a vizsgálatát is feltételezik.Az intervallumon folytonos függvények egyik lényeges tulajdonsága, hogy

csak úgy válthatnak el½ojelet, ha közben felveszik a 0 értéket is.Tehát egy intervallumon folytonos függvény két egymást követ½o 0 helye közt

nem válthat el½ojelet, és ennek a következményeként meg tudjuk oldani az egyen-l½otlenségeket.Pl. 2 sin2 x�3 sinx+1 � 0; a baloldali polinom felbontható a következ½okép-

pen:2 sin2 x� 3 sinx+ 1 =

�2 sin2 x� sinx

�� (2 sinx� 1) =

= sinx (2 sinx� 1)� (2 sinx� 1) = (2 sinx� 1) (sinx� 1) :

100

Tehát a 2 sin2 x � 3 sinx + 1 kifejezés csak a 2 sinx = 1 és a sinx = 1egyenletek gyökeinek megfelel½o pontokban válthat el½ojelet.Mivel a függvény periódikus, és periódusa 2�, elegend½o a [0; 2�] intervallumot

ún f½operiódust vizsgálni, az ezen kivül es½o pontokra már a periódikusság miattis "ismétl½odik" függvény változása.Tehát a példában szerepl½o függvény esetén a függvény el½ojelet csak az x1 = �

6, x2 = �

2 illetve az x3 =5�6 pontokban válthat.

Függvények határértékszámításaA függvények pontbeli határtértékére, illetve a folytonos függvényekre tel-

jesülnek a következ½o, ún. linearitási tulajdonságok:

1. Ha limx!a

f(x) = l1 és limx!a

g(x) = l2; akkor limx!a

(f(x) + g(x)) = l1 + l2 ,

illetveha lim

x!af(x) = f(a)és lim

x!ag(x) = g(a); akkor lim

x!a(f(x) + g(x)) = f(a)+g(a)

2. Ha limx!a

f(x) = l és c 2 R; akkor limx!a

cf(x) = cl , illetve

ha limx!a

f(x) = f(a) és c 2 R; akkor limx!a

cf(x) = cf(a)

3. Az el½oz½o két tulajdonság sokkal általánosabban is felírható:Ha lim

x!af(x) = l1 , lim

x!ag(x) = l2; és c1; c2 2 R; akkor lim

x!a(c1f(x) + c2g(x)) =

c1l1 + c2l2 , illetveha lim

x!af(x) = f(a) , lim

x!ag(x) = g(a); és c1; c2 2 R; akkor lim

x!a(c1f(x) + c2g(x)) =

c1f(a) + c2g(a)4. A függvényekkel végzett alapm½uveletek esetén még a szorzás és osztás is

hasonló tulajdonságokkal rendelkezik:Ha lim

x!af(x) = l1 és lim

x!ag(x) = l2; akkor lim

x!a(f(x) � g(x)) = l1 � l2 , illetve

ha limx!a

f(x) = f(a)és limx!a

g(x) = g(a); akkor limx!a

(f(x) � g(x)) = f(a) � g(a) ,továbbáha lim

x!af(x) = l1 és lim

x!ag(x) = l2 6= 0; akkor lim

x!a

�f(x)g(x)

�= l1

l2, illetve

ha limx!a

f(x) = f(a)és limx!a

g(x) = g(a) 6= 0; akkor limx!a

�f(x)g(x)

�= f(a)

g(a) :

A függvények határértékszámítása sok esetben hasonló eljárásokat ígényel,mint a sorozatok határérték számítása.Pl. : lim

x!1x2+3x+22x2�3x+1 =

12 lesz, a lim

n!1n2+3n+22n2�3n+1 =

12 mintájára.

MAPLE:>Limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=in�nity)=limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=in�nity);Ugyanakkor újabb, eddig nem tanulmányozott eseteket is meg kell oldanunk,

pl. : limx!1

x2+3x+22x2�3x+1 :

MAPLE:>Limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=1)=limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=1);Ebben az esetben a gondot az jelenti, hogy az x = 1 nincs az f(x) = x2+3x+2

2x2�3x+1függvény értelmezési tartományában (f : R n

�12 ; 1! R), csupán annak határ-

pontja.

101

A határérték számítás egyik alapvet½o módszere az, hogy megpróbáljuk közvetlenbehelyettesítéssel a függvény értékét kiszámítani, azza, "feltesszük", hogy a füg-gvény folytonos. Ez az el½obbi példában az ún. 3

0 "típusú" határozatlanságravezet, tehát meg kell közelebbr½ol vizsgálni, hogy "felodható-e" ez a határozat-lanság? Ugyanis bizonyos esetekben (ha ez a pont els½o fajú hézagpont), akkora függvénynek lesz határértéke az adott pontban.Sajnos nem ez a helyzet a példánkban, és ezt a racionális függvények ábrá-

zolása fel½ol érthetjük meg leghamarabb.Ha a függvény számlálóját és nevez½ojét egyaránt szorzatra bontjuk, akkor

f(x) = x2+3x+22x2�3x+1 =

(x+1)(x+2)(x�1)(2x�1) : Most már "belátható", hogy az x=1 "közvetlen

közelében" rendre az x+ 1 szorzótényez½o értéke 2�höz, az x+ 2 szorzótényez½oértéke 3�hoz,a 2x � 1 osztótényez½o értéke 1�hez közelít, de a nevez½oben lév½ox � 1 tényez½o a 0 értéket, ami a "galibát" okozza, "balról", tehát 1-nél kisebbértékekre, negatív számokon keresztül közelíti, míg "jobbról", azaz 1-nél nagy-obb értékekre, pozitív számokon keresztül közelíti meg. Tehát a függvénynekazért nem lesz határértéke x=1-ben, mivel ez a 0-hoz tartozó tényez½o hol negatív,hol pedig pozitív számokat eredményez. Ha tüzetesebben megvizsgáljuk, akkortulajdonképpen lim

x%1

x2+3x+22x2�3x+1 = �1 és lim

x&1

x2+3x+22x2�3x+1 = +1; és ez a mag-

yarázata annak, hogy nem létezik a limx!1

x2+3x+22x2�3x+1 határérték.

MAPLE:>Limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=1, left)=limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=1, left);MAPLE:>Limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1),x=1,right)=limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-

3*x+1),x=1,right);Megjegyzés. Ha az el½obbi példát egy "kicsit" megváltoztatjuk, pl. lim

x!1

x2+3x+22x2�3x+1 :

1x�1 =

limx!1

(x+1)(x+2)

(x�1)2(2x�1) =1:MAPLE:>Limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-3*x+1/(x-1)),x=1)=limit((x^2+3*x+2)/(2*x^2-

3*x+1)/(x-1),x=1);Egy más változtatás azt eredményezheti, hogy az x=1 megszüntethet½o héza-

gpont lesz:limx!1

(x+1)(x+2)(x�1)(x�1)(2x�1) = lim

x!1

(x+1)(x+2)(2x�1) = 6 ( 2�31 ):

MAPLE:>Limit(((x+1)*(x+2)*(x-1))/((2*x-1)*(x-1)),x=1 )=limit(((x+1)*(x+2)*(x-1))/((2*x-1)*(x-1)),x=1);MAPLE:>Limit(((x+1)*(x+2))/(2*x-1),x=1 )=limit(((x+1)*(x+2))/(2*x-

1),x=1);

Ismét más esetben, pl.: limx!1

(x+1)(x+2)(x�1)3(x�1)2(2x�1) = 0:

MAPLE:>Limit(((x+1)*(x+2)*(x-1)^3)/((2*x-1)*(x-1)^2),x=1 )=limit(((x+1)*(x+2)*(x-1)^3)/((2*x-1)*(x-1)^2),x=1);

Feladatok1. Határozza meg a következ½o határértékeket!

a) limx!2

x2�3x+22x2�4x b) lim

x!�1x3+1

x2�2x�3 c) limx!a

a2�x2x3�a3

102

d) limx!4

px�2

2x2�5x�12 e) limx!1

�2

1�x2 �3

1�x3

�f) lim

x!1x3+3x�2p

3x4+2x+3x�1 g) limx!1

�px2 + 23x� 2x

�h) lim

x!1

�1� 5

3x

�2x�3i) limx!1

�3x+13x�4

� x+23

j) limx!0

sin 4x7x k) lim

x!0

x2

sin2 x3

l) limx!0

sin 6x3 sin 5x

m) limx!0

tg2 2x5sin 3x n) lim

x!0

p1�2x�1sin 3x

2. Vizsgálja meg az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából! (Holés milyen szakadása van a függvényeknek?) Számítsa ki a szakadási helyeken ajobb- illetve baloldali határértékeket!

a) f(x) = 1x�3 b) f(x) =

�� x�2x2�x�2

��c) f(x) =

�� 12x � 2

�� d) f(x) = sgn�log5

1x

�e) f(x) =

8<: (2� x)2 ; ha x < 1;x2; ha 1 � x < 2;�3x; ha 2 � x:

f) f(x) =

8<:0; ha x < �2;2�x; ha � 2 � x � 1;

2jx�2j�x; ha 1 < x:

3. Megadható-e az a paraméter értéke úgy, hogy az alábbi f(x) függvénynekne legyen szakadási helye? Ha igen, adja is meg az a paramétert! (Válaszátindokolja!) (4 pont)

f(x) =

�sin2 5xx2 ha x 6= 0a ha x = 0

�4. Vázolja az alábbi racionális egész függvények gra�konját!

a) f(x) = x3 � 2x2 + x b) f(x) =�4x2 � 4x+ 1

�(x2 � 4x+ 3)

c) f(x) = x5 � 4x3 + x2 � 4

5. Határozza meg, hogy hol és milyen szakadása van az

a) f(x) = x2+x�2x�1 ,

b) f(x) = x�3x2�x�6 függvénynek!

Vázolja is a függvényeket!

6. Ábrázolja az alábbi racionális törtfüggvényeket! Vizsgálja meg, hogyanviselkednek a függvények a szakadási helyek környezetében és a végtelenben!

a) f(x) = x2+x�2x3�1 b) f(x) = (x2+4x+4)(x�1)

(x2�2x+1)(x+3)2 c) f(x) = 4x2�4x+12x�1

103

d) f(x) = x2�3x+4x2+6x+9 e) f(x) = x3+1

x+1 f) f(x) = x3�8x2�4x+4

g) f(x) =�� x+2x2�1

�� h) f(x) =�� x2x�1

��+ 27. Vizsgálja meg, hogy a következ½o függvényeknek van-e inverzük. Ha van,

adja meg az inverz függvényt és ábrázolja is!

a) f(x) = x2 � 9 b) f(x) = x2 � 3x+ 2; ha x � 2c) f(x) = 2 log9(x+ 1) d) f(x) = 1

2x�3

e) f(x) = log 13(x� 1)2 f) f(x) = log 1

2(x+ 2)

2; ha x < �2

g) f(x) = 2 sinx+ 1, ha ��2 � x � �

2 h) f(x) = �px2 � 2x+ 1

8. Ábrázolja az alábbi arkuszfüggvényeket! Adja meg a függvények értelmezésitartományát és értékkészletét is!

a) f(x) = arcsin(x� 1) + �2 b) f(x) = 2 arccos(x+ 2)� �

c) f(x) =��arctg(x+ 2)� �

2

�� d) f(x) = 12arcctgx+

�3

e) f(x) =��arccos(2� x)� �

2

��A függvények pontbeli deriváltja (di¤erenciál-

hányados)El½obb egy ehhez közelálló fogalommal, a di¤erenciahányadossal ismerkedünk.Ennek a fontos fogalomnak a megértéséhez vegyünk egy hétköznapi kérdést,

az átlagsebesség fogalmát, és elemezzük azt.

A �zikából ismert az átlagsebesség fogalma, ha a mozgó pont t 7�! S(t)megfeleltés szerint mozog, ahol t az id½ot, S(t) a t id½opontig megtett útat jelöli(egy kezdeti t0 id½opontban történt indulást feltéve), akkor két adott, t1 és t2id½opont között a mozgó pont átlagsebessége:

vk =S(t2)� S(t1)t2 � t1

Ezt az S(t) függvény di¤erenciahányadosaként is szokás említeni (itt S :(t0;1)! R)Ha a mozgás egyenletes sebességgel történik, akkor az el½obbi vk átlagsebesség

egyben a mozgó pontnak a pillanatnyi sebességét is kifejezi, egy t id½opontban apont v(t) sebességére igaz, hogy v(t) = vk: A gyakorlatból viszont a legtöbbtárgy, pont nem állandó sebességgel mozog, hanem létezik egy t 7�! v(t),megfeleltetés, s½ot a változó sebességgel mozgó pont mozgására egy másik men-nyiség, a gyorsulás is jellemz½o, tehát létezik egy t 7�! a(t) megfeleltetés is.A pillanatnyi sebesség jól közelíthet½o az átlagsebességgel, amennyiben a vizs-

gált id½otartam elég rövid ahhoz, hogy azon belül a sebesség �lényegesen� ne

104

változzon. Tehát szokás mondani, hogy ha t0 id½oponthoz �elég közel van�t1 ést2 akkor

v(t0) �S(t2)� S(t1)t2 � t1

Ezt még pontosabban megfogalmazhat az út t 7! S(t) függvényb½ol képezettdi¤erenciahányados határértékeként a t0 pontban következ½oképpen:

v(t0) = limt!t0

S(t)� S(t0)t� t0

Ezt, a di¤erenicahányados határértéket nevezzük di¤erenciálhányadosnak,másként a függvény adott pontbeli deriváltjának.Hasonlóképpen átlaggyorsulás (a t1 és t2 id½opontok között)

ak =v(t2)� v(t1)t2 � t1

és a pillanatnyi gyorsulás viszonya, a t0 id½oponthoz �elég közeli� t1 és t2esetén:

a(t0) �v(t2)� v(t1)t2 � t1

Ez a pillanatnyi gyorsulás pontosabb megfogalmazásához vezet, ha azt a t 7!v(t) sebességfüggvényb½ol képezett di¤erenciahányados t0 pontbeli határértékévelértelmezzük, azaz a sebességfüggvény di¤erenciálhányadosa, vagy deriváltja agyorsulás:

a(t0) = limt!t0

v(t)� v(t0)t� t0

Természetesen ennek a fogalomnak szoros köze van a függvényábrához is,és érdekes a mértani jelentése a függvény adott pontbeli di¤erenciálhányadosá-nak, deriváltjának. Miel½ott ebbe belevágnánk, adjunk magyarázatot a kett½oselnevezésre. A di¤erenciálhányadost a di¤ferenciahányados elnevezésb½ol is szár-maztathatjuk, de a di¤erenciálról önmagában is érdemes beszélni.A derrivált elnevezés azt érzékelteti, hogy a függvényb½ol származó, újabb

függvényr½ol van szó, a függvény deriváltjáról, vagy deriváltfüggvényr½ol, ami apontonként értelmezett derivált segítségével adható meg.De�níció. Tekintsünk egy f : A ! B függvényt, ahol A � R és B � R,

továbbá az értelmezési tartománynak egy x0 2 A bels½o pontját, azaz egy olyanpontot amely egy nyílt (x0 � �; x0 + �) � A; (� > 0) környezettel együtt az Arésze, tehát x0 2 (x0 � �; x0 + �) � A teljesül.

Ha limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 létezik és véges, akkor azt az adott függvény x0 pontbeli

deriváltjának, vagy di¤erenciálhányadosának nevezzük, és az

105

f�( x0) = limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 , vagy df

dx jx=x0 = limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 jelöléseket használjuk.

Az adott függvény deriváltja (deriválfüggvénye, di¤erenciálhányados-függvénye)az az f�: A�! R függvény (ahol az A�az A bels½o pontjainak halmaza), amelyref�( x0) = lim

x!x0

f(x)�f(x0)x�x0

Ezekb½ol együtt származtatható (a kérdés leegyszer½usítésével) a df(x) =f�(x)dx jelölés, amit a függvény di¤erenciáljának nevezünk.

Példa: Számítsuk ki az f : R ! R, f(x) = x2 függvény deriváltját egytetsz½oleges x0 pontban.A de�níció szerint:f�( x0) = lim

x!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!x0

x2�x20x�x0 = lim

x!x0

(x�x0)(x+x0)x�x0 = lim

x!x0

(x�x0)(x+x0)x�x0 =

limx!x0

(x+ x0) = 2x0:

Ez azt jelenti, hogy a függvényhez tartozó deriváltfüggvény (derivált) azadott x0 pontban 2x0: Tehát általában f�( x0) = 2x0; azaz f� : R ! R; f�(x) = 2x lesz. Ennek rövid jelölése (x2)�= 2x:Vegyünk még egy példát, számítsuk ki az f : (0;1) ! R; f(x) = lnx

deriváltját.De�níció szerint:

f�( x0) = limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = lim

x!x0

ln x�ln x0x�x0 = lim

x!x0ln�xx0

� 1x�x0

= limx!x0

ln�x0+x�x0

x0

� 1x�x0

=

= limx!x0

ln�1 + x�x0

x0

� 1x�x0

= limx!x0

ln

8<:��1 + x�x0

x0

� x0x�x0

� x�x0x0

9=;1

x�x0

= limx!x0

ln

�ex�x0x0

� 1x�x0

=

ln e1x0 = 1

x0,

tehát (lnx)�= 1x .

Hasonlóan számíthatók ki az elemi függvények deriváltjai (illetve egyes füg-gvények deriváltjának számítása az inverz függvényekre vonatkozó szabályokbólkövetkezik):1. k 2 R; (k)�= 0;2. (x)�= 1;3. (xn)�= n � xn�1; pl: : (x2)�= 2x; (x3)�= 3x2;4. (x�)�= ��x��1; pl: : ( 1x )�= (x

�1)�= �x�2 = � 1x2 ; (

px)�= (x

12 )�= 1

2x� 12 =

12px; (x�3)�= �3x�4

5. (ex)�= ex; (ax)�= ax ln a; pl: : (2x)�= 2x ln 2; (�13

�x)�=

�13

�xln�13

�;

6. (lnx)�= 1x ; (loga x)�=

1x ln a ; pl: : (lg x)�=

1x ln 10 :

7. (sinx)� = cosx; (cosx)� = � sinx; (tgx)� = 1cos2 x = 1 + tg2x; (ctgx)� =

� 1sin2 x

= �1� ctg2x8. (shx)�= chx; (chx)�= shx; (thx)�= 1

ch2x ; (cthx)�=1

sh2x9. (arcsinx)�= 1p

1�x2 ; (arccosx)�= � 1p1�x2 ; (arctgx)�=

11+x2 ; (arcctgx)�=

� 11+x2 :

10. (arshx)�= 1px2+1

; (archx)�= 1px2�1

106

A deriválási szabályok és az elemi függvények deriváltjának ismerete lehet½ovéteszi a többi összetettebb függvény deriváltjának kiszámítását, és el½okészítiaz integrálást. A deriválási szabályok a függvényekel végzett m½uveletekre, azösszetett függvényre és az inverz függvényre vonakoznak:1. (c � f(x))�= c � f�(x);2. (f(x) + g(x))�= f�(x) + g�(x);3. (c1f(x) + c2g(x))�= c1f�(x) + c2g�(x);4. (f(x) � g(x))�= f�(x) � g(x) + f(x) � g�(x);5.�f(x)g(x)

��= f�(x)�g(x)�f(x)�g�(x)

g2(x) ;

6. (f(g(x)))�= f�(g(x)) � g�(x);7.�f(x)g(x)

��=�eln(f(x)

g(x))��=�eg(x) ln f(x)

��= eg(x) ln f(x)�(g(x) ln f(x))�=

= eln(f(x)g(x))

�g�(x) ln f(x) + g(x) f�(x)f(x)

�= f(x)g(x)

�g�(x) ln f(x) + g(x) f�(x)f(x)

�:

8. Az inverz függvény deriváltjáról tudható, hogy ha egy (x0; y0) pontban afüggvény deriváltja m1 = tg� , akkor az inverz függvény deriváltja a megfelel½o(y0; x0) pontbanm2 = tg(

�2��)mivel a függvény és inverze egymás tükörképei

az els½o negyed szögfelez½ojére, tehát m2 = tg(�2 � �) = ctg� = 1tg� ; vagyis

m2 =1m1

Példa: Láttuk, hogy a (lnx)�= 1x , ahol y = lnx, és így x = ey , tehát az

inverz, az (ey)�= 11x

= x = ey:

De tudjuk, hogy az inverz függvényben a szokásos a "változócsere, tehát(ey)�= ey helyett (ex)�= ex írható.Ezt az eredményt el½olegeztük meg tulajdonképpen az elemi függvények de-

riváltjainak fenti felsorolásában is (lásd 5.).Hasonlóan számítható ki az arcsinx; arccosx; arctgx; arcctgx stb. derváltja

is.A derivált mértani jelentéseA pontbeli derivált mértani jelentésének megértésére vizsgáljuk meg, mit is

jelent az f(x)�f(x0)x�x0 di¤erenciahányados.

Ha egy egyszer½u esetet vizsgálunk (pl. x0 < x), akkor észrevehet½o, hogy azf(x)�f(x0)

x�x0 di¤erenciahányados az adott függvény (x0; f(x0)) és (x; f(x)) pontjaitösszeköt½o húr és az Ox tengely által bezárt � szög ún. iránytangense, azaztg� = f(x)�f(x0)

x�x0 : A szokásásos módon tekintsük most a di¤erenciahányadosnaka határértékét, ennek a mértani jelentése az adott pontban a görbéhez húzottérint½o íránytangense, azaz az érint½o és az Ox tengely által bezárt �0 szögre:tg�0 = lim

x!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = f�( x0):

Következmények.1. Egy adott deriválható függvény görbéjének (x0; f(x0)) pontjában húzott

érint½o egyenlete felírható, ha az (x0; y0) ponton áthaladó és m iránytényez½ovel

107

rendelkez½o egyenes egyenletébe: y�y0 = m(x�x0) helyettesítjük az y0 = f(x0)függvényértéket és az m = f�( x0) iránytényez½ot, azaz y�f(x0) = f�(x0)(x�x0):Példa: Tekintsük az az f : R ! R, f(x) = x2 függvényt és gra�kus képét.

Írjuk fel a görbe (2; 4) pontjában az érint½o egyenletét.Az el½obbi számítás szerint f�( x) = (x2)�= 2x, tehát az x = 2 pontban az

érint½o irénytényez½oje m = f�( 2) = 2 � 2, tehát a keresett érint½o egyenlete:y � 4 = 4(x� 4):

Feladatok1. Deriválja az alábbi függvényeket! Hozza egyszer½ubb alakra a deriváltakat!a) f(x) = x3

2 +ex � �

b) f(x) = 23px� 3px3 + 5

x4

c) f(x) = 5

r3

q4x

d) f(x) = (tgx+ lnx)�x3 + 1

�e) f(x) = sin x+cos x

sin x�cos xf) f(x) = 3

pcos2 2x

g) f(x) = lnq

e2x

e2x+1

h) f(x) = 4

qlg�sin3 x cos2 x

�i) f(x) = 2sin

2(4x�1)

j) f(x) = arccos(1� x)2k) f(x) = arctg ln cos 2xx

108

l) f(x) = arcsin�sinp1� x2

�2. Deriválja az alábbi függvényeket!a) f(x) = x2x

b) f(x) = xctgx

c) f(x) = xpcosx

d) f(x) =�1x

�2x3. Hány fokos szög alatt metszik az X tengelyt a következ½o függvények

görbéi?a) f(x) = x�1

1+x2

b) f(x) = ln(3� x)c) f(x) = (x� 2)54. Határozza meg az f(x) = (x+ 1) 3

p3� x függvény görbéjének a (�1; 0)

pontjába húzott érint½o egyenletét.

A deriváltak alkalmazásaiA l�Hospital szabályBizonyos határértékek számítása során azt találjuk, hogy azok 0

0 vagy11

típusúhatározatlanságot tartalmaznak.Tétel. Tekintsük a fenti határozatlansághoz vezet½o lim

x!x0

f(x)g(x) határértéket,

ahol tehát vagy az teljesül, hogy limx!x0

f(x) = 0 és egyidej½uleg limx!x0

g(x) = 0;

vagy éppen az, hogy limx!x0

f(x) =1 és egyidej½uleg limx!x0

g(x) =1:

Ha tudjuk, hogy limx!x0

f�(x)g�(x) = l, akkor létezik a lim

x!x0

f(x)g(x) is, és limx!x0

f(x)g(x) = l:

Példák.1. Számítsa ki a lim

x!�1x3+1

x2�2x�3 határértéket. Észrevehet½o, hogy az adott

határérték a limx!x0

f(x)g(x) =

00 típusba sorolható, tehát alkalmazható a l�Hospital

szabály. Írjuk fel tehát a nevez½o és számláló deriváltjait, (f(x))�=�x3 + 1

��=

3x2; (g(x))�=�x2 � 2x� 3

��= 2x�2 és számítsuk ki a lim

x!�1f�(x)g�(x) = lim

x!�13x2

2x�2 =

� 34 , tehát az eredeti határérték is létezik és lim

x!�1x3+1

x2�2x�3 = �34 :

2. Számítsa ki a limx!1

ex+x�1x2�2x�3 határértéket. Észrevehet½o, hogy az adott

határérték a limx!x0

f(x)g(x) =

11 típusba sorolható, tehát alkalmazható a l�Hospital

szabály. Írjuk fel tehát a nevez½o és számláló deriváltjait, (f(x))�= (ex + x� 1)�=ex+1; (g(x))�=

�x2 � 2x� 3

��= 2x�2 és számítsuk ki a lim

x!1f�(x)g�(x) = lim

x!1ex+12x�2 =

11 , tehát ismételten alkalmazható a l�Hospital szabály, (e

x + 1)�= ex , (2x� 2)�=2;és lim

x!1ex

2 =1 így az eredeti határérték is létezik és limx!1

ex+x�1x2�2x�3 =1:

109

3. Nem alkalmazható a l�Hospital szabály a limx!1

x3+1x2�2x�3 határérték kiszámítására,

hiszen ez a határérték egyszer½u behelyettesítéssel� 12 ; de ha az els½o példa alapján,

a szabály helytelen alkalmazásával számolnánk, akkor éppen a limx!1

f�(x)g�(x) limx!1

3x2

2x�2határérték jelentené a gondot, mivel az nem is létezik.

Deriválható függvények helyi széls½oértékeiDe�níció. Tekintsünk egy f : A! B deriválható függvényt, ahol A � R és

B � R, továbbá az értelmezési tartománynak egy x0 2 A bels½o pontját, azaz egyolyan pontot, amely egy nyílt (x0 � �; x0 + �) � A; (� > 0) környezettel együttaz A része, tehát x0 2 (x0 � �; x0 + �) � A teljesül.Az x0 2 A pontban a függvénynek helyi (lokális) maximuma van, ha van

olyan � > 0, amelyre bármely x 2 (x0 � �; x0 + �) elemref(x) < f(x0), ha x 6= x0:Az x0 2 A pontban a függvénynek helyi (lokális) minimuma van, ha van

olyan � > 0, amelyre bármely x 2 (x0 � �; x0 + �) elemref(x) > f(x0), ha x 6= x0:

Tétel.Tekintsünk egy f : A ! B deriválható függvényt, ahol A � R és B � R,

továbbá az értelmezési tartománynak egy x0 2 A bels½o pontját, azaz egy olyanpontot, amely egy nyílt (x0 � �; x0 + �) � A; (� > 0) környezettel együtt az Arésze, tehát x0 2 (x0 � �; x0 + �) � A teljesül.Ha az (x0; f(x0)) pont a függvénynek egy heyli széls½oértékpontja, akkor

f�(x0) = 0, azaz a függvény deriváltja 0 ebben a pontban.

Deriválható függvények monotonitása

De�níció. Tekintsünk egy f : A ! B deriválható függvényt, ahol A � Rés B � R, továbbá az értelmezési tartománynak egy x0 2 A bels½o pontját, azazegy olyan pontot, amely egy nyílt (x0 � a; x0 + b) � A; (� > 0) környezettelegyütt az A része, tehát x0 2 (x0 � a; x0 + b) � A teljesül. Ha ezen felülbármely x1; x2 2 (x0 � a; x0 + b) amelyre x1 < x2 esetén f(x1) < f(x2) (ill.f(x1) > f(x2) ) is teljesül, akkor a függvény az (a; b) intervallumon növekv½o(ill. csökken½o).Tétel.Tekintsünk egy f : A ! B monoton deriválható függvényt, ahol A � R

és B � R, továbbá az értelmezési tartománynak egy x0 2 A bels½o pontját, azazegy olyan pontot, amely egy nyílt (x0 � a; x0 + b) � A; (� > 0) környezettelegyütt az A része, tehát x0 2 (x0 � a; x0 + b) � A teljesül.Ha a függvény növekv½o az (a; b) intervallumon, akkor f�(x) > 0, bármely

x 2 (x0 � a; x0 + b) esetén.Ha a függvény csökken½o az (a; b) intervallumon, akkor f�(x) < 0, bármely

x 2 (x0 � a; x0 + b) esetén.

Következmények, tulajdonságok

110

A fenti tétel fordítottja is igaz, ha f : A ! B egy deriválható függvényt,ahol A � R és B � R, továbbá az értelmezési tartománynak egy x0 2 A bels½opontját, azaz egy olyan pontot, amely egy nyílt (x0 � a; x0 + b) � A; (" > 0)környezettel együtt az A része, tehát x0 2 (x0 � a; x0 + b) � A teljesül, ésminden x 2 (x0 � a; x0 + b) esetén f�(x) > 0, akkor a függvény növekv½o az(a; b) intervallumon, illetve ha minden x 2 (x0 � a; x0 + b) esetén f�(x) < 0,akkor a függvény csökken½o az (a; b) intervallumon.Vagyis, ha egy deriválható függvény esetén a derivált zérushelyeit tekintjük,

akkor a derivált el½ojele alapján megállapítható, hogy az adott pont maximum-e,minimum-e, vagy esetleg csak egy ún. in�exiós, áthajlási pontja a görbének,ahol a görbület megváltozik, és az görbe érint½oje vizszintes.Az ilyen pontokat együttesen stacionárius pontoknak nevezzük (f�(x0) =

0).A függvénygörbületre vonatkozó információt az x0 pontban ún. másodrend½u

derivált el½ojele szolgáltatja, jelölése f��(x0), ha f��(x0) > 0 a függvény konvex azx0 pont egy adott környezetén, és ha f��(x0) < 0 a függvény konkáv az x0 pontadott környezetén. Az in�exiós pontra jellemz½o, hogy ott f��(x0) = 0:A fenti tétel fordítottja is igaz, ha f : A ! B egy legalább kétszere-

sen deriválható függvényt, ahol A � R és B � R, továbbá az értelmezésitartománynak egy x0 2 A bels½o pontját, azaz egy olyan pontot, amely egynyílt (x0 � a; x0 + b) � A; (� > 0) környezettel együtt az A része, tehát x0 2(x0 � a; x0 + b) � A teljesül, és minden x 2 (x0 � a; x0 + b) esetén f��(x) >0, akkor a függvény konvex az (a; b) intervallumon, illetve ha minden x 2(x0 � a; x0 + b) esetén f��(x) < 0, akkor a függvény konkáv az (a; b) intervallu-mon. A függvény konvex és konkáv szakaszai közti ún. in�exiós, vagy áthajlásipontban f��(x0) = 0; de szükséges az is, hogy ennek a pontnak a két "oldalán"különböz½o legyen a második derivált el½ojele.A második deriválttal a függvény helyi (lokális) széls½oértékei is jellemezhet½ok,

a minimum pontban f��(x) > 0; illetve a maximum pontban f��(x0) < 0 teljesül.

Ezeket a tulajdonságokat a széls½oértékek számításánál és a füg-gvények teljes vizsgálatánál is hasznosíthatjuk!Az f : A! B, ahol A � R és B � R esetén teljes függvényvizsgálat lépései

a következ½ok:1. A függvény értelmezési tartományának a pontosítása, a kritikus pontok,

az értelmezési tartomány határpontjainak megállapítása.2. A függvény értékkészletének a vizsgálata, amely a függvény lokális (a

kritikus pontokban) és globális határértékeinek kiszámítását jelenti, valamint afüggvény el½ojele, ha van rá mód.3. A függvényábra és a koordinátatengelyek metszéspontjainak vizsgálata

(fx 2 Ajf(x) = 0g ; y0 = f(0).4. A függvény deriváltja és annak gyökei, el½ojelének változása.5. A függvény második deriváltja és annak gyökei, el½ojelének változása.6. A el½oz½o pontok eredméynét összesít½o táblázat.7. A függvényábra elkészítése.Feladatok

111

1. Számítsa ki a következ½o határértékeket!a) lim

x!0

sin2 3x5x2

b) limx!0

ex�1sin 2x

c) limx!�

4

1�tgxcos 2x

d) limx!1

arctg(ln x)x�1

e) limx!�

2+0

tgxtg5x

f) limx!0+0

ln xln sin x

g) limx!1�0

tg �x2ln(x�x2)

h) limx!1�0

�2

1�x2 �3

1�x3

�i) limx!0+0

�1

sin x � ctgx�

j) limx!+1

x�e1x � 1

�k) lim

x!0+0(1� e2x)ctgx

l) limx!1

(ln(2� x)) tg �x2m) lim

x!0+0x

1ln(ex�1)

n) limx!+1

��2 � arctgx

� 1x

o) limx!0+0

(ctgx)sin x

p) limx!0

�2� arccosx

� 1x

r) limx!1

(2� x)tg�x2

2. Határozza meg az alábbi függvények széls½oértékeit!a) f(x) = x4 + x3

b) f(x) = sinx� sin 2x2

c) f(x) = x� arctg2xd) f(x) = x ln2 xe) f(x) = x3e�x

f) f(x) =p2x� x2

3. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvények esetén! Készítseel a függvény gra�konját is!a) f(x) = 3x� x3b) f(x) = (x� 3)

px

c) f(x) = x(1�x2)2

d) f(x) = x ln2 xe) f(x) = ln

�x+

px2 + 1

�f) f(x) = e2x�x

2

g) f(x) = xarctgxh) f(x) = x+ arctgxi) f(x) = ex

1+x

112

4. Egyenes fal mellett elhelyezked½o, 200m2 nagyságú téglalap alakú területetkell kijelölni úgy, hogy a három oldalához szükséges kerítés hossza a lehet½olegkisebb legyen. Mekkorák a téglalap oldalai?5. Az R sugarú gömbbe írjunk maximális térfogatú hengert!6. Egy adott hajóúton a hajózás napi költsége két részb½ol tev½odik össze:

az egyik állandó, naponta a forint, a másik pedig a hajó sebességének köbévelarányosan növekedik. Milyen sebesség esetén lesz a hajózás a lehet½o leggazdasá-gosabb?

A határozatlan integrál fogalma

Primitív függvény fogalma

De�níció. Ha az f : A! B (egy derivált) függvény esetén, ahol A � R ésB � R, létezik egy olyan F : A�! B (A � A�) deriválható függvény, amelyreF�(x) = f(x), bármely x 2 A, akkor az F : A�! B függvény az f : A ! Bprimitív függvénye.Azonnal belátható, hogy ha F1 : A�! B és F2 : A�! B, akkor F1(x) =

F2(x)+c, ahol c 2 R egy tetsz½oleges, de rögzített állandó, hiszen csak a konstansfüggvények deriváltja 0 (lásd ott).A határozatlan integrál fogalma

De�níció. Ha az f : A ! B (derivált) függvény esetén, ahol A � R ésB � R, létezik egy olyan F : A�! B (A � A�) deriválható függvény, amelyreF�(x) = f(x), bármely x 2 A, akkor az F : A�! B függvény az f : A ! Bprimitív függvénye és az F (x)+c függvénycsaládot az f : A! B határozatlanintegráljának nevezzük és jelölése:

Rf(x)dx = F (x) + c:

Szokás még a határozatlan integrál elnevezés mellett a primitív függvényekcsaládja,és néha az antiderivált fogalmát használni.A határozatlan integrál tulajdonságai

A deriváltak megfelel½o tulajdonságai (linearitás) alapján beláthatók a határozat-lan integráltak linearitási tulajdonságai.

A határozott integrál fogalmaA függvénygörbe alatti terület egyre pontosabb megközelítése, "felülr½ol",

többlettel, a szemlélt½o ábrákon az f : [0; 4] ! [1; 17], ahol f(x) = x2 + 1függvénygörbéhez a [0; 4] intervallumnak rendre 4, 16, ill. 64 egyenl½oköz½u rész-intervallumához tartozó téglalapokkal:

A függvénygörbe alatti terület egyre pontosabb megközelítése, "alulról",hiánnyal, a szemlélt½o ábrákon az f : [0; 4] ! [1; 17], ahol f(x) = x2 + 1

113

függvénygörbéhez a [0; 4] intervallumnak rendre 4, 16, ill. 64 egyenl½oköz½u rész-intervallumához tartozó téglalapokkal::

A határozott integrál tulajdonságai

1. Számítsa ki a következ½o integrálokat!a)Re2x+1dx

b)R

3

q1�x2 dx

c)R

1x ln 3xdx

d)R

x2

x3��dx

e)R

sin x4pcos3 x

dx

f)Rx 3p4� x2dx

g)R p

1�x2(1�x2) arccosxdx

h)R

ex+1ex+e�x+2dx

i)R

1

cos2 xp1�tg2x

dx

j)R

4x

1+16x dx

k)Rx2ex

3

dx

116

l)R

19+x2 dx

m)R

1x2+8x+20dx

2. Számítsa ki a következ½o integrálokat a parciális integrálás módszerével!a)Rxe2xdx

b)Rx22x�1dx

c)Rx sin(3x� 1)dx

d)R �x2 + 1

�cos x2dx

e)Rarctgxdx

f)Rxarctgxdx

g)Rln(x� 1)dx

h)Rln xx2 dx

i)Rarcsin 2xdx

3. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki a következ½o integrálokat!a)Repx�1dx

b)R

dxpx(1+

px3)

c)R p

2x � 1dxd)R cos

pxp

xdx

e)R p

1� 4x2dxf)R p

3� 2x� x2dx

4. Határozza meg az alábbi trigonometrikus függvények integrálját!a)Rsin3 x cos7 xdx

117

b)Rsin6 x cos5 xdx

c)Rsin2 x cos4 xdx

d)Rsin3(2x+ 1) cos2(2x+ 1)dx

5. Számítsa ki a következ½o függvények integrálját!a)R

dx1�4x2

b)R

x+1x2�5x+6dx

c)R

x2+1x3+4x2+4xdx

d)R

dxx2+4x+13

e)Rx2+4x+1x4+x2 dx

f)Rx4+4x3�1dx

g)R

dx4x�2�2x+1

h)R

dxex+e�x+2

6. Alkalmazza a megfelel½o módszereket az alábbi határozott integrálokkiszámítására!

a)�3R0

cos(�4 � x)dx

b)2R0

(x+ 2) exdx

c)3R1

�23px+ 32x�1

�dx

d)5R�2j3� 2xj dx

e)5R3

xpx�2dx

f)2R�2

p4� x2dx

Balázs M.; Kolumbán J.: Matematikai Analízis, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár,1978, 195-198.;324-331.

118

INTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL (Változócsere)

1. Integrálás helyettesítéssel – az alapötlet Az integrálszámitás egyik leghatékonyabb módszere a

helyettesítéses módszer. Több hasznos helyettesítés létezik, amit integrálok kiszámitására használhatunk. A legfontosabbak közül néhányat bemutatunk a következő fejezetekben. A helyettesitők használatának legfőbb célja az, hogy találjunk egy másik integrált, ami könnyebben megoldható.

Az alapötlet, hogy kicseréljük az független változót az x( )f x dx∫ integrálban egy új t változóra a következő egyszerű formula

segitségével ( )x = tϕ . Ebből következik: ( ) ( )x tx ' t '= ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦ϕ ( )1.dx ' t dt=ϕ és ( )f tϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Következésképpen ( ) ( ) ( )f x dx f t . ' t dt= ϕ ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ amit remélhetőleg könnyebben tudunk megoldani.

Bizonyos esetekben hasznosabb a ( )t x=ψ helyettesítést használni.

( )∫ f x dxAlgoritmus a helyettesítéssel történő megoldására. 1. lépés A problémától függően legalkalmasabb helyettesítő formula meghatározása. Step 2. Helyettesitsük t-re az x-et az integrálandó függvényben, számoljuk ki dx-et a helyettesítő formula segitségével és határozzuk meg az új integrált ( ) ( )f t . ' t dtϕ ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ . Step 3. Számoljuk ki az integrált. Step 4. Az ( )F t eredményt alakitsuk át az x változónak

megfelelően.

Maple parancsok. >I:=int(f,x); >Int(f,x);

Az f függvény integráljának meghatározása, ahol x egy változó; >with(student):changevar(x=t^2,I);

Függelék: Változócsere és parciális integrálás hagyományosan és MAPLE-ben

A t változó helyettesítése x –el a képletben (jelen esetben ) az I integrálban.

2x t=

>I1:=value(%); A végeredmény kiszámitása ahogy a Maple program használja.

Példa. Számoljuk ki a következő integrált

( )0 2 1dxI

x x=

+∫ .

Matematikai megoldás. 20 2x t x t dx tdt= > ⇒ = ⇒ = . Ebből A helyettesítés

( )0 22

212 1

tdt dtI arctgt C arctg x Ctt t

= = = + =++∫ ∫ + .

Megoldás a Maple segitségével. >I0:=int(1/(2*(x+1)*sqrt(x)),x);

( )0I : arctg x=

Részletes megoldás a Maple-ben. 1) az integrál definiálása a STUDENT programba: >with(student): >I0:=Int(1/(2*(x+1)*sqrt(x)),x);

( )

102 1

I : dx x

=+

x∫

2) helyettesítsük -el -et: 2t x>changevar(x=t^2,I0);

( )2 2

2

2 1

t dtt t+∫

3) számoljuk ki az uj integrált: >I0:=value(%);

( )

0 2

t.arctan tI

t=

4) alakitsuk vissza -re: x>I0:=subs(t=sqrt(x),I0);

ii


( )0I arctan x=


1 2 4

dxIx x

=−∫ .

Matematikai megoldás.

22 2x dx dtt t

⎧ ⎫= ⇒ = −⎨ ⎬⎩ ⎭

A helyettesítés . Ebből

2

2 2

2

1 12 44 4 14

t

x x tt t

= =− −−

⇒

2

1 22 2

2 1 124 1 1

tI dt dttt t

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠− −∫ ∫ =

1 12 2

arcsint C arcsin Cx

= − + = − +2 .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart: with(student): >I1:=Int(1/(x*sqrt(x^2-4)),x): >changevar(x=2/t,I1); I1:=value(%); >I1:=subs(t=2/x,I1);

1 212

I : arcsinx

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Példa. Számoljuk ki a következő integrált 3

21

x

x

e dxIe

=−∫ .


A helyettesítés { }1 0xe t− = > annak érdekében, hogy szabad

integral legyen.

iii


Ebből ( )21x ln t= − ⇒ 22

1tdx dtt

−= ⇒

−.

( ) ( )2 33 1 2

2 2 2

12 21 1

ln t te tI . dt dtt t t

− −−= = −

− −∫ ∫ =

( )222 1 t dt= − − =∫3 5

2 23 5t tt C

⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠=

( ) ( )3 52 12 1 1 13 5

x x xe e e⎛ ⎞

= − − − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

C .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I2:=Int(exp(3*x)/sqrt(1-exp(x)),x); >changevar(sqrt(1-exp(x))=t,I2); >I2:=value(%); >I2:=subs(t=sqrt(1-exp(x)),I2);

( )( ) ( )( )5 2 3 22 42 2 1 1 15 3

/ /x x xI : e e e= − − − − + − .


3 42

1sin x.cos xI dxcos x

=−∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }2cos x t= . Ebből ( )2dt cos x. sin x dx= − .

3 2 1dtI arct gt C

t= − = − + =

−∫ ( )2arctg cos x C+

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I3:=Int(2*sin(x)*cos(x)/(cos(x)^4-1),x); >changevar(cos(x)^2=t,I3); >I3:=value(%); >I3:=subs(t=cos(x)^2,I3); ( )( )23I : arctanh cos x= .

iv



4

4 4 3

sin xdxIx

= ∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }4 x t= . Ebből 4 34x t ,dx t dt= = ⇒

3

4 34 4 4sint. t dtI sintdt cost C

t= = = −∫ ∫ + =

44cos x C= − + . Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I4:=Int(sin(x^(1/4))/(x)^(3/4),x); >changevar(x^(1/4)=t,I4); I4:=value(%); >I4:=subs(t=x^(1/4),I4); ( )( )1 44 4 /I : cos x= − .

2. A függvény integrálása helyettesítéssel ( ) ( 2f x = ax + bx + x) A következő tipusú integral megoldását mutatjuk be

helyettesítéssel:

1 2Mx NJ dx

ax bx c+

=+ +∫ ,

2 2

Mx NJ dxax bx c

+=

+ +∫ .

Ebből

2 2

222 4

b c bax bx c xa a a

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

a helyettesítés 2bxa

t+ = vagy 2bx ta

= − és dx dt= .

v



5 22 2

2 2xI dx

x x−

=− +∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }1x t− = 1. Ebből 2 22 2x x t− + = + és

( ) ( )25 2 2 2

2 1 2 2 1 11 1 1

t tI dt dt dt t t+ −

= = =+ + +∫ ∫ ∫ t + =

2 21 2ln t C ln x x C= + + = − + +2 .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I5:=Int((2*x-2)/(x^2-2*x+2),x); >changevar(x-1=t,I5); I5:=value(%); >I5:=subs(t=x-1,I5);

( )( )25 1 1I : ln x= − +

>simplify(I5);

.( )25 2I : ln x x= − + 2


6 2 4 8dxI

x x=

+ +∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }2x t+ = 4. Ebből 2 24 8x x t+ + = + és

6 21 12 2 2 24

dt t x 2I arctg C arctg Ct

+⎛ ⎞= = + = ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ + .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I6:=Int(1/(x^2+4*x+8),x); >changevar(x+2=t,I6); I6:=value(%); >I6:=subs(t=x+2,I6);

vi


1 16 12 2

I : arctan x⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.


7 23 1

4 5xI dx

x x−

=+ +∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }2x t+ = 1. Ebből 2 24 5x x t+ + = + és

7 2 2 23 7 3 7

1 1t tI dt dt

t t t−

= = −+ +∫ ∫ ∫ 1

dt=

+

( )22

3 1 1 72 1

d t arctgtt

= + −+∫ =

23 1 72

ln t arctgt C= + − + =

( )23 4 5 7 22

ln x x arctg x C= + + − + + .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I7:=Int((3*x-1)/(x^2+4*x+5),x); >simplify(changevar(x+2=t,I7)); >I7:=value(%); >I7:=simplify(subs(t=x+2,I7));

( ) ( )237 4 5 72

I : ln x x arctg x= + + − 2+ .


8 27 8

2 3 1xI dx

x x−

=− +∫ .

Matematikai megoldás. 34

x t⎧ ⎫− =⎨ ⎬⎩ ⎭

. Ebből 2 2 12 3 1 216

x x t⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

. A helyettesítés

vii


8 22

1 1 8 8 1812 16 116

t tI dt dttt

− −= = −

−−∫ ∫ =

( ) ( )2 2

1 28 8 44 1 4 1

tdt . dtt t

= −− −∫ ∫ =

( )

( ) 22 21 12 4 32

16 14 1d t dt

tt= −

−−∫ ∫ =

24 1 2 16 14 1tln ln t Ct−

= − − ++

=

4 1 4 1 2 4 1 2 4 1ln t ln t ln t ln t C= − − + − − − + + = 4 1 3 4 1ln t ln t C= − − − + + = 4 4 3 4 2ln x ln x C= − − − − + = 4 1 3 2 3 2 1ln ln x ln ln x C= − − − − − − + = 5 2 1 3 2 1ln ln x ln x C= − − − − − + = .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I8:=Int((7-8*x)/(2*x^2-3*x+1),x); >I8:=simplify(changevar(x-3/4=t,I8)); >I8:=value(%); >I8:=simplify(subs(t=x-3/4,I8)); ( ) ( ) ( )8 5 2 3 2 1I : ln ln x ln x= − − − − −1 . Példa. Számoljuk ki a következő integrált

9 2

2 2

2 2

xI dxx x

−=

− +∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }1x t− = 1. Ebből 2 22 2x x t− + = + és

( ) ( )29 2 2 2

2 1 2 2 1 11 1 1

t tI dt dt dt t t

+ −= = =

+ + +∫ ∫ ∫ t + =

2 22 1 2 2 2t C x x= + + = − + +C .

viii


Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I9:=Int((2*x-2)/sqrt(x^2-2*x+2),x); >I9:=simplify(changevar(x-1=t,I9)); >I9:=value(%); >I9:=simplify(subs(t=x-1,I9));

29 2 2I : x x= − + 2


10 2

3 5

9 6 3

xI dxx x

−=

+ −∫ .

Matematikai megoldás. A helyettesítés { }1x t− = . Ebből ( )2 29 6 3 3 4x x t+ − = − és

10 2 2

1 3 2 3 2 13 3 34 4 4

t t2

I dt dt dtt t

−= = −

− −∫ ∫ ∫ t=

−

( )22

1 23 4232 4

td t arcsin Ct

= − − − + =−∫

( )2 23 423tt arcsin C= − − − + =

2 2 19 6 323

xx x arcsin C−= − + − − + .

Részletes megoldás a Maple-ben. >restart:with(student): >I10:=Int((3*x-5)/sqrt(9+6*x-3*x^2),x); >I10:=simplify(changevar(x-1=t,I10)); >I10:=value(%); >I10:=simplify(subs(t=x-1,I10));

22 1 110 3 9 6 33 2 2

I : arcsin x x x⎛ ⎞= − − − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

ix


3. Gyakorlás Oldja meg a következő integrálokat helyettesítéssel:

2

11 4 9

x

xeI dx

e=

+∫ ,

Megoldás. 2

1116 3

xeI arctg C⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

( )12 3 23 1

dxIx x

=−∫ ,

Megoldás. 312

3 12

I ln x C= − +

13 22

dxIax x

=−∫ , helyettesítés ( )1x a t= − ,

Megoldás. 13a xI arccos C

a−

= ± +

1411

x

xeI dxe+

=−∫ ,

Megoldás. ( )214 1xI ln e x C= − − + .

15 24 3

2 2 1xI dx

x x+

=+ +∫ ,

Megoldás. ( )215

1 2 12

I ln x x arctg x C= + + + + +

16 22 5

4 5xI dx

x x−

=+ +∫ ,

Megoldás. ( )216 4 5 9 2I ln x x arctg x C= + + − + +

17 21

3 6 2xI dx

x x+

=+ +∫ ,

Megoldás. 217

1 226 3

I ln x x C= + + + ,

x


18 22

3 6 2xI dx

x x+

=+ +∫

Megoldás.

( )218

1 2 12 36 3 3

3I ln x x arctg x C= + + + + +

19 21

2 3xI dx

x x−

=−∫

Megoldás. 19

21 2 1 33 3 2

xI ln x ln C

x

−= − − + +

20 2

2 4

3 5

xI dxx x

−=

+ +∫ ,

Megoldás. 2 220

32 3 5 7 3 52

I x x ln x x x= + + − + + + + +C

21 2

2 3

3 5

xI dxx x

+=

+ +∫ ,

Megoldás. 221 3 5I x x= + + +C

22 2

4 2

2 1

xI dxx x

+=

− +∫ ,

Megoldás. 2 222

3 22 2 1 2 2 12 4

I x x ln x x x= − + + − + − + C+

23 2 4 3

dxIx x

=− −∫ ,

Megoldás. 223 2 4 3I ln x x x C= + + − − +

xi


4. Gyakorló teszt Oldja meg a következő integrálokat:

5

24 5 4

co s xdxIx

= ∫ ,

. 25 442 4

sin xdxIcos x

=+∫ ,

26 4

2

1

sin xdxIcos x

=+∫ ,

2 3

27 2 3

xeI dxx

−

=−∫ ,

28 210

dxIx x

=−∫ ,

29 23 3

2 1xI dx

x x+

=− −∫ ,

30 2

3 2

2 3

xI dxx x

−=

− +∫ .

5. Gyakorló kérdések

1) Magyarázza el a helyettesítéssel történő integrálás módját. 2) Mutasson példát a helyettesítéssel történő integrálásra. 3) Magyarázza meg a következő Maple parancsok jelentését: with(student), changevar(x=t^2,I1), simplify(changevar(x=t^2,I1)), I11:=value(%),I1:=subs(t=sqrt(x),I1), I1:=simplify(subs(t=sqrt(x),I1)).

xii


PARCIÁLIS INTEGRÁLÁS

1. Parciális integrálás. Példák

Legyenek a ( ) ( ) ( ) ( )f x ,g x , f ' x ,g' x függvények folyamatosak

az [ ]a,b intervallumban. Ebből

( ) ( ) ( ) ( )f x g' x dx f x dg x= =∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f ' x dx= − ∫ vagy (1) , udv uv vdu= −∫ ∫ahol ( ) ( )u f x , dv g' x dx= = az integrálandó függvény részei.

Az (1) képlet ilyen integrálokra vonatkozik:

1) ( ) kxnP x e dx∫ , ( )nP x sinkxdx∫ , ( )nP x cos kxdx∫ ,

ahol ( )nP x az alapú polinom-ja, és állandó. Az ilyen tipusú x n kintegrálok megoldása magába foglalja:

a) az u változónak polinom-nak kell lennie, pl. ( )nu P x= ; b) az (1) képlet n alkalommal való felhasználását.

2) ( )nP x ln xdx∫ , ( )nP x arcsin xdx∫ , ( )nP x arccos xdx∫ ,

( )nP x arctgxdx∫ , ( )nP x arcctgxdx∫ ,

ahol ( )nP x az n alapú polinom-ja. A megoldás magába foglalja: xa) ( ) ( )nu f x P x= ≠ ; b) az (1) képlet felhasználását.

3) , axe cosbxdx∫ axe sinbxdx∫ahol bármely állandó. A megoldás magába foglalja: a,b

a) u vagy u s ; cosbx= inbx=b) az (1) képlet 2 alkalommal való felhasználását.

xiii


Maple parancsok. Az alábbi alprogram használatával könnyű megérteni az

integrálok megoldásának folyamatát >with(student):

a parancs >intparts(A,u));

ahol А az integrál >A:=Int(f,x);

és az u függvényt az 1) ÷ 3) szabályok határozzák meg. Szintén hasznos lehet a simplify parancs használata az

egyszerűbb végeredmény érdekében. Példa. Számoljuk ki a következő integrált ( )1 6 3 2I x sin xd= −∫ x .

Matematikai megoldás. 6 3 6

12 22

x u du dx

sin xdx dv v cos x

− = ⇒ =⇒

= ⇒ = −∫ ∫

( )

116 3 22

uv

I x d cos x⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫1424314243

( ) ( )1 16 3 2 2 6 32 2

u uv v

x cos x cos x d x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=∫14243 1424314243 14243

( ) 1 16 3 2 2 62 2

x cos x cos x. d⎛ ⎞= − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

x =∫

6 3 32 22 2

x cos x sin x C−= − + + .

Megoldás a Maple segitségével. >I[1]:=int((6*x-3)*sin(2*x),x);

( ) ( ) ( )13 32 3 2 22 2

I : sin x xcos x cos x= − +

Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student):

xiv


>A:=Int((6*x-3)*sin(2*x),x); ( ) ( )6 3 2A : x sin x= − dx∫

>J:=simplify(intparts(A,6*x-3));

( ) ( )6 3 2 3 22

xJ : cos x cos x−= − + =dx∫

A ( )1 3 2J co s x dx= ∫ integral megoldása, mint általában: >J[1]:=int(3*cos(2*x),x);

( )13 22

J : sin x=

A megoldás:

( )1 16 3 2

2xI cos x J−

= − + =

( ) ( )6 3 32 22 2

x cos x sin x C−= − + + .

Példa. Számoljuk ki a következő integrált ( )2 2I x co s xd= + x∫ .

Matematikai megoldás. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x d sin x x sin x sin xd x= + = + − + =∫ ∫ I

( ) ( )2 2x sin x sin xdx x sin x cos x C= + − = + + +∫ .

Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int((x+2)*cos(x),x); ( ) ( )2A : x co s x d= + x∫ >J:=simplify(intparts(A,x+2)); ( ) ( ) ( )2J : x sin x sin x dx= + − ∫ >J[1]:=int(sin(x),x); ( )1J : cos x= − A megoldás: ( ) ( )2 12 2I x sin x J x sin x cos x= + − = + + +C . Megoldás a Maple segitségével (ellenőrzés).

xv


>A:=int((x+2)*cos(x),x);

Példa. Számoljuk ki a következő integrált 2

3I x sin xdx= ∫


2 2u x du xdx

dv sin xdx v cos x

⎧ ⎫= ⇒ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎬= ⇒ = −⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫

{ { ( )2 23

u udv v

I x sin xdx x d cos x= = −∫ ∫123 =14243

( )2 2 2 2x cos x cos xd x x cos x cos x. xdx= − + = − + =∫ ∫

u x du dx

dv cos xdx v sin x

= ⇒ =⎧ ⎫⎪ ⎪⇒⎨ ⎬= ⇒ =⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫{ ( )2

3 2u v

I x cos x xd sin x= − + =∫ 123

2 2x cos x x sin x sin xdx⎡ ⎤= − + − =⎣ ⎦∫ . 2 2 2x cos x x sin x cos x C= − + + +

Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int(x^2*sin(x),x): >J:=simplify(intparts(A,x^2)); ( ) ( )2 2J : x cos x cos x xdx= − + ∫ >B:=2*Int(cos(x)*x,x): >J[1]:=simplify(intparts(B,x)); 1 2 2J : x sin x sin xdx− ∫ >J[2]:=int(2*sin(x),x): ( )2 2J : cos= − x A megoldás: 2

2 2 2I x cos x x sin x cos x C= − + + +


xvi


24

xI e co s xd−= x∫ .


2 22x xu e du e dx

dv co s xdx v sin x

− −⎧ ⎫= ⇒ = −⎪ ⎪⇒⎨ ⎬= ⇒ =⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫

{ { ( )2 24

x x

u udv v

I e co s xdx e d sin x− −= = =∫ ∫14243 123

( )2 2x xe sin x sin xd e− −= − = {{2 22x x

v ue sin x sin xe dx∫ − −+ =∫

2 22x xu e du e dx

dv sin xdx v co s x

− −⎧ ⎫= ⇒ = −⎪ ⎪⇒⎨ ⎬= ⇒ = −⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫

{ ( )2 24 2x x

u v

I e sin x e d co s x− −= + − =∫ 14243

2 22 2 2x x xe sin x e cos x co s xde− −= − + − =∫ \

2 2 22 4x x xe sin x e cos x e sin xdx− − −= − − ⇒∫

2 24 42 4x xI e sin x e cos x I− −= − − ⇒

( )24

1 25

xI e sin x cos x−= − C+ .

Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int(exp(-2*x)*cos(x),x): >J:=simplify(intparts(A,exp(-2*x)));

( ) ( ) ( ) ( )2 22x xJ : e sin x e sin x dx− −= + ∫

Ebből ( ) ( )2

1xJ : e sin x J−= + .

1J számitása: >B:=2*Int(exp(-2*x)*sin(x),x): >J[1]:=simplify(intparts(B,exp(-2*x)));

xvii


( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 4x xJ : e co s x e sin x d− −= − − x∫

Eképpen, ( ) ( ) ( ) ( )2 22 4x xJ : e sin x e co s x J− −= − − . Ebből következik, hogy

( ) ( )21 25

xJ : e sin x co s x−= − C+ .

Megoldás a Maple segitségével (ellenőrzés). >J:=int(exp(-2*x)*cos(x),x); Példa. Számoljuk ki a következő integrált

2

5 2 2xI dx

x a=

+∫ .

Megjegyzés. Ennek ez integrálnak a neve “100 000”, mivel 100 000 diák bukott meg a matematika vizsgáján emiatt az integral miatt.


( ) ( )( )

( )

2 22 22 2 2 2

2 2

1 12

12

u x du dxxdv dx d x a

x a x a

vx a

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⇒ =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = + ⇒⎨ ⎬⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎪ ⎪⇒ = −⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

{ ( )5 2 21

2u

v

I x dx a

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫144

=

2443

( ) ( )2 2 2 2

1 122

x dxx a x a

= − + =+ +∫

xviii


( )2 2

122

x xarctg Ca ax a

= − + ++

.

Részletes megoldás a Maple-ben. >with(student): >A:=Int(exp(-2*x)*cos(x),x): >J:=simplify(intparts(A,exp(-2*x))); ???

2. Gyakorlás 1) Számoljuk ki a következő integrálokat 6 2 1I arctg x d= −∫ x ,

27 4 1I ln( x )dx= +∫ ,

28

xI x e dx= ∫ ,

39 2xI e sin xd= ∫ x ,

10I sinln xdx= ∫ .

6I matematikai megoldása.

( )22 1

1 2 12 2 1 2 2 11 2 1

arctg x u

du dx dxx x xx

dx dv v x

− = ⇒

= ⋅ = ⇒− −+ −

= ⇒ =∫ ∫

612 1

2 2 1I x.arctg x x dx

x x= − − ⋅ =

−∫

2 12 2 1

dxxarctg xx

= − − =−∫

12 1 2 12

xarctg x x C= − − − +

xix


6I megoldása Maple segitségével. >I[6]:=int(arctan(sqrt(2*x-1)),x);

( ) ( ) ( )61 1 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2

I : x arctg x x arctg x= − − − − + −

Megoldás a Maple segitségével. >I[7]:=int(ln(4*x^2+1),x);

( ) ( )27 4 1 2 2I : xln x x arctan x= + − +

>I[8]:=int(x^2*exp(x),x); 2

8 2 2x x xI : x e xe e= − + >I[9]:=int(exp(3*x)*sin(2*x),x);

( ) ( ) ( ) ( )3 39

2 32 213 13

x xI : e cos x e sin= − + x

>I[10]:=int(sin(ln(x)),x);

( )( ) ( )( )101 12 2

I : cos ln x x sin ln x= − + x

2) Számoljuk ki a következő integrálokat

211I x sin xdx= ∫ ,

12I xln xdx= ∫ ,

2 513

xI x e dx= ∫ ,

25

14xI x e dx= ∫ ,

( )315 2 2xI e sin x cos x d= − x∫ ,

( )216I x arctgx dx= ∫ ,

17 21

x.arctgxI dxx

=+∫ ,

2

18 21x arctgxI dx

x=

+∫ ,

xx


19 1arcsin xI dx

x=

−∫ ,

4 320

xI x e sin xdx= ∫ ,

( )221 2I ln x dx= +∫ ,

( )222 1I x ln x dx= +∫ .

3. Gyakorló teszt Számoljuk ki a következő integrálokat 23I arctg xdx= ∫ ,

224

xI e co s xdx= ∫ ,

225I ln xdx= ∫ ,

26 3ln xI dxx

= ∫ .

4. Gyakorló kérdések

4) Magyarázza el a Parciális integrálás lényegét. 5) Hogyan tudná meghatározni az u függvényt a Parciális

integráláshoz? 6) Magyarázza meg a következő Maple parancsok jelentését:

with(student): A:=Int(f,x); intparts(A,u)); simplify

xxi

european virtual laboratory of mathematics - egyetemünk · semleges eleme az 1. hasonlóan az 5...

Documents