T.C.

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EULER KİRİŞ TEOREMİ VE BURKULMA ANALİZİ

BİTİRME PROJESİ

Serkan KURT 2002508049

Yrd. Doç. Dr. M. Evren TOYGAR

OCAK, 2007 İZMİR

1

TEZ SINAV SONUÇ FORMU

Bu çalışma … / … / …. günü toplanan jürimiz tarafından BİTİRME PROJESİ olarak kabul

edilmiştir.

Yarıyıl içi başarı notu 100 (yüz) tam not üzerinden ……… ( …………….…. ) dir.

Başkan Üye Üye

Makine Mühendisliği Bölüm Başkanlığına,

………………….. numaralı ………………… jürimiz tarafından … / … / …. günü saat …… da

yapılan sınavda 100 (yüz) tam not üzerinden ……. almıştır.

Başkan Üye Üye

ONAY

2

TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı başından sonuna kadar hazırlamamda emeği geçen kıymetli hocam Yrd.

Doç. Dr. Evren Toygar hanıma ve yardımlarını esirgemeyen Araştırma Görevlileri Hasan

ÖZTÜRK ve Yusuf ARMAN hocalarıma ve çalışmalarım sırasında desteğini eksik etmeyen

arkadaşım Fatih S. ERDEM ve değerli aileme teşekkürü bir borç bilirim.

Serkan KURT

3

ÖZET

Euler kirişleri narin elemanlar oldukları için bu gibi yapılarda burkulma çok önemli bir yer tutmaktadır.Bunun için bu tür elemanların burkulmaya başladığı kritik yükün hesabı makine mühendisliğinde geniş bir yer tutar. Bu kritik yük hesabı için geliştirilmiş çeşitli formülasyonlar vardır. Euler kirişlerinde kesit kenar uzunluğunun kiriş uzunluğu yanında küçük kalması sonucu kesme kuvvetleri ihmal edilerek teorik olarak sonuçlara ulaşılmıştır. Kesme kuvvetinin de hesaba katılması ile incelenen kirişler timoshenko kirişleri olarak da bilinir.

Bu çalışmada Euler kirişlerinin genel yapıları ve kesit çeşitlerine, eğilmelerine genel olarak bir bakış atılmıştır. Kirşlerde burkulma analizini daha iyi incelemek üzere Euler kirişlerinde teorik olarak formülasyonları çıkartılmıştır.

Sonlu elemanlar metodu ile çalışan Ansys 10 programı ile belirlediğimiz kiriş tipimizin teorik sonuçları bulunmuştur. İnceleme sonucunda göreceğimiz gibi teorik olarak bulduğumuz kritik yük değerleri ile Ansys analiz sonucları ile karşılaştırılacaktır.

Kulandığımız kare kesitli lineer kiriş ve lineer değişken kesitli (tapered) kiriş tiplerinin kritik burkulma yüklerini hesap ederek karşılaştıracağız. Ansys sonuçları ile teorik hesapları da karşılaştırdığımızda elde ettiğimizde değerin uyuştuğunu göreceğiz. Daha karmaşık yapılarda oluşacak burkulmanın, kritik burkulma yükü değerini teorik olarak elde etmek güçleşecektir. Bu durumda Ansys programında modellenen kirişlerin analizinden elde edilen kritik burkulma yükü değerlerine güveneceğiz. .

4

İÇİNDEKİLER

Sayfa İçindekiler……………………………………………………………………… 4

Şekil listesi…………………………………………………………………….. 6

Resim listesi…………………………………………………………………… 6

Bölüm Bir

1. Giriş……………………………………………………………………........ 7

Bölüm İki

2.Euler-Bernoulli Kirişleri…………………………………………………….. 8

2.1 Basit eğilme………………………………………………………. 8

2.1.1 Bazı önemli sınırlamalar……………………………….. 8

2.1.2 Euler Kirişlerinde temel kinematik kabuller…………… 8

2.2 Euler Kirişlerinde eğilme formülasyonları………………………. 10

2.2.1 Elastik eğilme formülü…………………………………. 10

2.3 Simetrik kesitli olmayan kirişlerin basit eğilmesi……………….. 12

2.4 Atalet momentinin hesap yöntemi………………………………. 13

2.5 Eğilme formülü üzerine bazı uyarılar…………………………….. 14

2.6 Kirişlerde elastik olmayan gerilme………………………………. 15

2.7 Gerilme yığılmaları………………………………………………. 16

Bölüm Üç

3.Burkulma 3.1Burkulmanın genel tanımı…………………………………….......... 18

3.1.1 Bir ucu serbest bir ucu ankastre kiriş…………………….. 19

3.1.2 Bir ucu mafsallı bir ucu ankastre kiriş…………………… 20

3.2 Elastik burkulma formüllerinin geçerlilik sınırı………………….. 22

3.3 Sonlu elemanlar metodu…………………………………………. 23

Bölüm Dört

4.Ansys 10 Analizi…………………………………..…………………………... 23

4.1 Ansys 10 ile ilgili temel bilgiler……………………………….. 23

4.2 Ansys 10 da kare kesitli Euler kirişinin modelinin oluşturulması ve

Burkulma analizi…………………………………………………… 24

4.2.1 Problem tipinin tanımlanması…………………………….. 24

4.2.2 Malzeme özellikleri………………………………………. 25 4.2.3 Modelin oluşturulması……………………………………. 27

5

4.2.4 Meshing işlemi…………………………………………… 28 4.2.5 Sınır şartlarının belirlenmesi ve Çözüm………………….. 30 . Sayfa

4.3 Ansys 10 da Lineer değişken kesitli Euler kirişinin modelinin Oluşturulması ve Burkulma analizi…………………………….. 37

Bölüm Beş

5. Sonuç …………………………………………………………………. 39

6

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa

Şekil 2.1 Bazı değişik kiriş kesitleri……………………………………… 9

Şekil 2.2 Eğilme durumunda kiriş liflerindeki değişim …………………. 10

Şekil 2.3 Simetrik olmayan kirişin ağırlık merkezi ……………………… 13

Şekil 2.1 Atalet merkezinin pozisyonu…………………………………… 14

Şekil 2.5 Elastik olmayan gerilme dağılımı ……………………………… 15

Şekil 2.6 Elastik ve plastik sınırlar ………………………………………. 16

Şekil 3.1 Bir ucu ankastre diğer ucu serbest kiriş ………………………. 18

Şekil 3.2 Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre kiriş ………………………. 20

Şekil 5.1 Lineer kiriş …………………………………………………….. 39

Şekil 5.2 Düzgün Değişken kesitli kiriş …………………………………. 39

RESİM LİSTESİ

Resim 4.1 Element tipi BEAM 3 olarak seçilir…………………………… 25

Resim 4.2 Girilecek birimler kullanıcının tercihine bırakılır……………… 25

Resim 4.3 Malzeme özelliklerinin girilmesi………………………………. 26

Resim 4.4 Ansys modeli…………………………………………………… 28

Resim 4.5 Mesh boyutunun belirlenmesi…………………………………. 29

Resim 4.6 Mesh edilmiş model…………………………………………… 30

Resim 4.7 Kullanılacak parametrelerin seçimi……………………………. 30

Resim 4.8 Ankastre sınır şartlarının uygulanması………………………… 31

Resim 4.9 Uç taraftaki nodun seçimi……………………………………… 31

Resim 4.10 Üst alana birim kuvvet uygulanması………………………….. 32

Resim 4.11 “Prestress ON”………………………………………………… 32

Resim 4.12 Statik analizin çözümlenmesi………………………………… 33

Resim 4.13 “Eigen buckling” seçimi………………………………………. 33

Resim 4.14 “Subspace” , “NMODE” secimi……………………………… 34

Resim 4.15 “SUBSIZ” girişi………………………………………………. 35

Resim 4.16 “All items” seçimi……………………………………………. 35

Resim 4.17 Statik analizin tekrar yapılması………………………………. 36

Resim 4.18 “Expansion pass”…………………………………………….. 36

Resim 4.19 “NMODE”…………………………………………………… 36

Resim 4.20 Burkulma analizi çözümü……………………………………. 36

Resim 4.21 Kritik Burkulma yükü………………………………………… 37

7

Bölüm 1 1.GİRİŞ

Makine ve İnşaat Mühendisliğinde hatanın önceden tahmin edilmesi , tasarlanacak

yapıların güvenliği açısından önemli , hattâ kritik bir yer tutar. Belki de en yaygın olarak kullanılan yapı elamanı yüklenmiş kirişlerdir. Bundan dolayı kirişlerin bükülme ve stabilitelerine dâir malûmata geniş bir ilgi ve bu konulara dâir bir çok uygulama vardır. Kirişlerin davranışlarını tanımlamak için geliştirilmiş komplekslikleri ve geçerlilikleri değişik birçok kiriş teorisi vardır. Bunlardan biri olan Timoshenko Kiriş Teori’si kabûl görmüş Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi’nin , kesme kuvvetlerinden doğan deformasyonun da hesaba katılarak geliştirilmesiyle doğmuştur.

Günümüzde burkulma konusu mühendisliğin tasarım ve boyutlandırma proseslerinde ,

üzerinde titizlikle durulması gereken konulardandır. Eskiden yapı ve makine elemanlarında bu konu fazla önemli değildi. Çünkü o zamanlarda elde bulunan mevcut malzemelerin mukavemetleri düşüktü ve bunun sonucunda da yapı ve makine elemanlarının kesit alanian büyük yapılmaktaydı. Kesit alanlarının büyük olmasından dolayı burkulmaya karşı dayanıklıydı. Ancak ilerleyen zaman içersinde yapı ve makine elemanlarında yüksek mukavemetli çeliklerin kullanılmasıyla birlikte elemanların kesit talanları da küçüldü. Kesit alanının küçülmesinin büyük ve ağır elemanlardan kurtulunması avantajı yarımda, elemanlarda çok daha kolay burkulma olayının olabilmesi dezavantajını yaratmıştır. Bu yüzden geçmişten günümüze gelindikçe burkulma olayı önem kazanmıştır.

Burkulma olayına birçok sistemde rastlamak mümkündür. Örneğin çekme kuvvetine karşı

oldukça dayanıklı olan ince plakalar basınç naklederken oldukça zayıftır. Yine aynı Şekilde yanal olarak takviye edilmemiş ince dar kirişler yana doğru eğilerek uygulanan eksenel kuvvetin tesiri altında burkularak kırılabilirler. Füzelerin ince kaplamaları da ateşlemenin bazı kademelerinde yüksek basınç kuvvetine maruz kaldıkları için burkulabilirler. Bu örnekleri daha da arttırmak mümkündür.

Burkulma konusunun daha iyi anlaşılabilmesi için şu örnekleri verebiliriz ; çapı D olan ve

eksenel basınç kuvvetine maruz bir çubuk düşünelim. Kolon olarak çalışan bu çubuğun boyu eğer D çapına eşit olsaydı hiç bir stabilite sorunu yaşanmayacaktı. Diğer taraftan aynı çubuğun yüksekliği çapın yüksekliği çapın birkaç katı daha fazla inşa edilmiş olsaydı ikinci halde çubuğun taşıyabileceği yük önceki çubuğa göre daha küçük olacaktı. Yani ikinci çubuğumuz daha küçük bir yük altında yana doğru burkularak kırılacaktır. Bu durumdaki sistemlerin yalnızca mukamevetini incelemek yeterli değildir.

Yapı ve makine elemanlarının seçimi yapılırken dikkat edilmesi gereken üç karekteristik

nokta vardır. Bunlar mukavemet , rijitlik ve stabilitedir. Şekil değiştiren cisim mekaniğinde dış etkiler altında dengede bulunan bir sistem için iki soru önemlidir. Birinci soru sistemde zorlamalar tehlikeli sayılan sınıra ne kadar yakındır. Bu sistem içindeki gerilme dağılışıyla ilgilidir.

Eğer en büyük gerilme o cismin müsaade edilen değerini aşmış ise artık sistemimizde istenilen

emniyet kalmamıştır. Bu tip problemlere kısaca gerilme problemi diyoruz, ikinci soru ise , sistemin incelenen denge durumu acaba kararlımıdır. Bu tip problemlere de stabilite problemleri denmektedir. Burkulma olayında da bir stabilite problemi söz konusudur. Böyle problemlerde verilen konum veya deformasyonun mümkün olup olmadığının bulunması gereklidir. Bu projede

8

yalnızca kirişlerin burkulması konusu incelenecektir. Burkulma konusunun uygun bir şekilde incelenmesi, stabilite olayının temel özelliklerini ve onun analiziyle ilgili bazı analitik çözüm yollarını ortaya çıkarmaktadır. Burkulma olayının incelenmesinde ilk olarak hem eksenel kuvvete hem de eğilmeye maruz kalan ince elemenların davranışları araştırılarak yapılır. Böyle elemanlar kiriş-kolon olarak isimlendirilir. Kiriş-kolon probleminin kendine has özelliklerine ek olarak burkulmanın meydana geldiği kritik yükün tayini de mümkün olmaktadır.

Konsantirik olarak yüklenmiş euler kirişinin burkulması bundan sonra incelenecektir. Bu

inceleme ile kiişlerin teorik olarak kritik yüke ulaşma halleri gösterilecektir ve Ansys 10 paket programı yardımıyla çeşitli kesitlerdeki kritik yükler incelenecektir.

BÖLÜM 2

2.EULER-BERNOULLİ KİRİŞLERİ 2.1 BASİT EĞİLME Bir kiriş kesitinde bulunabilecek kuvvetler sistemi , eksenel kuvvet (normal kuvvet) ,

kesme kuvveti ve eğilme momentinden ibârettir. Euler-Bernoulli kirişlerinde kuvvetler sisteminin bir üyesi olan eğilme momentinin kirişlere yaptığı tesirler incelenecektir. Bazı hallerde kirişin parçası yalnız eğilme momentinin etkisi altında dengede olabilir. Başlı başına bir problem olan bu hâle basit eğilme veya bükülme adı verilir. Çoğu yerde Euler-Bernoulli çözümlemeleri istenilen sonucu yakalamamızı sağlar. Eğilme momenti ile , sonuç olarak ortaya çıkan gerilme arasındaki bağıntı incelenerek hem elastik hem de elastik olmayan malzeme davranışları için çözümler elde edilecektir. Fakat bazı hallerde kesitde eğilme momentine ek olarak aynı anda normal ve kesme kuvvetleri de bulunabilir. Bu durum karmaşık çözüm yolları arz eder.

2.1.1.Bazı Önemli Sınırlamalar Kirişlerin üzerine etkiyen bütün kuvvetlerin şok veya darbe tipi tesir yapmadıkları

kabul edilecektir. Kirişlerin, etkisinde bulunduğu kuvvetler altında stabil kaldığı varsayılacaktır.

Basınca çalışan kirişlerin çok ince olmadığı kabul edilmelidir. Böyle hallerde elemanın

stabilitesi önemli bir rol oynar. Buna örnek olarak bir kağıt yaprağının ince kenarlarından biri üzerinde kiriş olarak kullanılma olasılığını düşünebiliriz. Böyle kirişler, üzerine etkiyen kuvvetler sonunda burkulur ve kırılır. Bu gibi stabil olmayan kirişler kullanılmayacaktır.

2.1.2.Euler-Bernoulli Kirişlerinde Temel Kinematik Kabuller Dik kesit alanının simetri ekseni düşey olan ve kendisi de yatay olarak uzanan

prizmatik bir çubuk düşünelim (şekil 2.2). Dik kesit alanlarının ağırlık merkezlerini birleştiren doğru parçası kirişin ekseni olarak tanımlanacaktır. Bundan sonra , kiriş eksenine dik , eksene paralel ve yatay olarak uzanan bir seri düzlemler düşünelim. Yandan bakıldığında bu düzlemler dikdörtgen şeklinde bir ızgara oluştururlar(şekil2..2-a). Böyle bir kirişin uçlarından pozitif bir eğilme momenti etkidiğinde , eksene dik düzlemler hafifçe döner ve ayrıca yatay düzlemler eğrisel bir hâl alırlar. Örneğin , AB ve CD gibi hatlar doğrusal kalır. Bu gözlem ile Euler-Bernoulli kirişlerinin hipotezini ortaya atabiliriz ; Kiriş eksenine dik olarak alına düzlemsel kesitler deformasyondan sonra da düzlem olarak kalırlar.

Bu kabûl basit gerilmeye mâruz elastik ve dikdörtgen kesitli levhâlar için tam olarak

geçerlidir. Fakat kesitde kaymada mevcûtsa sağlıklı sonuç elde edemeyiz. Pratik olarak söylemek gerekirse , derinliği açıklığına göre çok küçük olan elastik ve plastik malzemeden

9

yapılmış kirişler için bu kabûller yeter bir doğrulukla uygulanabilir. Çökme hesaplarında kullanılacak eğrilik yarıçapının hesabı da bu kabûle dayanmaktadır(şekil 2.2-b).

Gerilme analizi için gerekli olacak temel kinematik kabulleri farklı bir tarzda yeniden ifade

etmek lâzımdır. Örneğin, deformasyondan önceki durumu ABCD(şekil 2.2-a) ile belirtilen elemanın deformasyondan sonraki durumu A’B’C’D’(şekil 2.2-b) ile gösterilsin. Başlangıçta düşey olan düzlemler arasında kalan bütün elemanlar birbirine benzediğinden ve aynı deformasyona mâruz kaldığından düşey düzlemlerden biri A’B’ olan bir elemanı incelemek oldukça uygun düşmektedir. Bu elemanın büyütülmüş görünüşü (şekil 2.2-c) ‘de gösterilmiştir. Bu diyagramdan görüleceği gibi ab yüzeyi üzerinde bulunan liflerin boyu değişmemektedir. Ayrıca seçilen bu eleman keyfî olduğundan gerilme ve şekil değiştirmeye mâruz kalmayan lifler kirişin bütün uzunluğu ve genişliği boyunca sürekli olarak mevcûttur. Bu liflerin oluşturduğu yüzeye kirişin nötr yüzeyi, buna dik eksenel bir düzlem ile bu yüzeyin arakesitine ise nötr eksen adı verilir. Her iki tanımda da eğilmeye maruz kirişin bu noktalarındaki gerilme ve şekil değiştirmenin bölgesel olarak 0 olduğunu ifâde eder.

Nötr yüzeye paralel ve bundan y mesafesinde bulunan tipik bir ef lifini düşünelim. Eğilme

esnasında bu lifte meydana gelen uzamayı du ile gösterelim. Bu uzama miktarı elemanın dx başlangıç uzunluğuna bölünürse lineer εx şekil değiştirmesi elde edilir.

εx = lim dx→0 (du/dx)= du/dx Başlangıçta eşit uzunlukta olan liflerin eksenel uzamaları nötr eksenden olan uzaklıkla

lineer olarak değiştiğinde şekil 2.2-c kabulümüzü: eğilmeye maruz kirişteki bir lifin şekil değiştirmesi bu lifin nötr yüzeyinden olan uzaklığı ile lineer olarak değişir şeklinde yeniden ifâde edebiliriz.

Eğilme problemlerinde simetri ekseni olan doğru eksenli kirişler incelenecektir. Tatbik

edilen eğilme momentinin kiriş ekseninden geçen simetri düzlemi içerisinde bulunduğu farzedilecektir. Ayrıca basitliği nedeniyle, taslak çizilirken simetri ekseni düşey olarak alınacaktır. Bu şartları sağlayan çeşitli kiriş kesit alanları şekil 2.1 de gösterilmiştir.

Şekil 2.1 Bazı değişik kiriş kesitleri

10

Şekil 2.2 Eğilme durumunda kiriş liflerindeki değişim

2.2.EULER-BERNOULLİ KİRİŞLERİNDE EĞİLME FORMÜLASYONLARI 2.2.1.Elastik Eğilme Formülü Bir kirişin eksenel şekil değiştirmesinin nötr eksenden olan uzaklık ile orantılı olduğu

söylenmişti. Yatay eksen etrafında bükülmüş bir kirişin εx ‘in böyle bir lineer değişimi şematik olarak şekil 2.3’te gösterilmiştir. Lineer elastik malzemeye göre xx Eεσ = şeklinde verilir. Lineer bir kirişte eğilmeden meydâna gelen бx gerilmesinin nötr eksenden olan uzaklık ile orantılı olması gerektiği sonucu çıkar. Diagramatik olarak şekil3-b de gösterilmiş olan bu husûs analitik olarak da

yBx *=σ

şeklinde ifâde edilir. Burada B bir sabit olup değişken olan y ise pozitif ve negatif değerleri alabilir.

Şekil 3-b de gösterilen kiriş elemanı için yazılacak olan iki denge şartı istenilen sonuca

ulaştırır. Bunlardan birincisi , x ekseni doğrultusundaki kuvvetlerin toplamı 0 etmelidir

11

00 →=∑ xF , 0=∂∫ dAA

x

Buradaki A indisi elemana etkiyen kuvvetlerin bütün kiriş kesiti alanı üzerinde toplanması

gerektiğini göstermektedir. Denklemler sadeleştirilirse aşağıdaki durum gözlenir :

∫ ∫ ==A A

ydABBydA 0

∫ =A

ydA 0

AyydA

A∫ =

Burada y , kiriş alan ağırlık merkezinin mukayese çizgisinden , yani nötr eksenden olan

mesâfesini göstermektedir. O halde y*A= 0 şartında A 0’dan farklı olduğunda y=0 olmalıdır. Anlaşıldığı gibi nötr eksen kesitin ağırlık

merkezinden geçmelidir. Buna göre dik kesit alanının ağırlık merkezini bulmak suretiyle nötr eksen tâyin edilebilir.

İkinci şart olarak z ekseni etrafındaki momentlerin toplamı 0 olmalıdır.

0=∑ aM

0)( =∂+ ∫ ydAMA

x

Buradaki y alana etkiyen бx *dA kuvvetinin nötr eksene göre moment koludur. Bu ifâde

düzenlendiğinde şu şekli alır. Y’nin ağırlık merkezinden itibaren ölçülmesi halinde mekanikde bu integrale , kesit

alanının ekseni etrafındaki atalet momenti denir. Bilinen bir kesit için bu büyüklük sabit olup I ile gösterilecektir. Kiriş için değerler yerine yazıldığında eğilme formülü;

бx = - M*y/ I

olarak gösterilir. Bu formülde değerlerin pozitif olması halinde бx basınç, y ‘ nin negatif olması halinde ise бx cekidir.

Verilen bir kesit için M ve I sabit olduğundan бx in en büyük değerine y nin en büyük

olduğu durumda ulaşılır. Y’ nin maksimum olduğu durumu c ile göstermek alışılagelmiş bir durum olmuştur. C maksimum değer olduğuna göre ;

12

бmax =M*c / I Basit bir birim analizi yapmak gerekirse бx gerilmesinin ölçülmesi istenen nokta arasındaki

mesafe y [cm] cinsinden ölçülür. Formülde görüldüğü gibi c değeri y negatif veya pozitif yönde maksimum değeri aldığı zaman c ile gösterilir. Bu durumda ise бx değeri бmax değerini alır.bu denklemdeki I kiriş kesit alanının nötr eksen etrafındaki atalet momentidir. I [cm4] boyutuna sahiptir. Bu I değerinin çeşitli alanlar için değerleri ve hesaplamaları daha sonra verilecektir. б gerilme boyutu [ kg-cm] [cm] / [cm4] =[kg/cm2] olarak gösterilir.

Bu incelemeyi bir sonuca bağlarken poison oranı nedeniyle basınç gerilmesine mâruz

kısımlar yana doğru şişer ( herhangi bir lastiğe basınç ile bu gözlemlenebilir ) diyebiliriz. Bu durumda çekme bölgeleri yanal olarak daralır. y ve z doğrultusundaki şekil değiştirmeler εy = εz = -ν*εx ve εx = б x / E denklemleriyle verilir. Bu sonuç gerçek çözüm ile tam bir uyum içerisindedir.

Dikkat edilmesi gereken bir husus, eğilme formülü elde edilirken daha önce belirlenen

kavramlar aynen burada da kullanılmıştır. Bazılarını şöyle özetleyebiliriz :

• Deformasyon, şekil değiştirmeyi nötr eksenden olan uzaklık ile lineer yapacak tarzda kabul edilmiştir.

• Gerilme ve şekil değiştirmeyi birbirine bağlayan maddî özellikler kullanılmıştır.

• Nötr eksenin yerini ve gerilme dağılımını bulmak için denge şartları

kullanılmıştır. 2.3SİMETRİK KESİTLİ OLMAYAN KİRİŞLERİN BASİT EĞİLMESİ Buraya kadar olan kısımda simetrik kesitli kirişlerin basit eğilmesi incelenmişti. Görüldü ki

tatbik edilen moment simetri ekenine göre hesaplandı.eğer eğilme momenti kesit asal eksenine paralel bir düzlem içerisinde etkirse simetri eğilme formülleri aynen kullanılabilir. Simetrik olmayan kesitlerde gerilmeler, alan ağırlık merkezinden geçen eksenden olan uzaklık ile lineer olarak değiştiğini söyleyebiliriz. Birim elemanter alana etkiyen kuvvetler BydA olarak verilri. Bu kuvvetlerin z ekseni etrafındaki momentlerinin toplamı iç eğilme momentini verir. Halbuki kesitte simetri kaybolduğundan , bu kuvvetler y ekseni etrafında da bir eğilme momenti inşa decektir. İşte bu etkiyi göz önünde bulundurarak simetrik olmayan kesitlerin eğilmesini inceleyeceğiz.

13

Şekil 2.3 Simetrik olmayan kiriş ağırlık merkezi y ekseni etrafında oluşacak moment kolu z ‘ e eşittir. O halde ;

∫∫ ==AA

yy yzdABBydAzM

Eğer kullanılan eksenler asal eksenler ise oluşacak moment 0 a eşittir. Şekilde görülen

eksenler asal eksenlerdir. Dolayısıyla 0=yyM , dolayısıyla daha önce verilen eğilme momenti burada da geçerlidir.

2.4.ATALET MOMENTİNİN HESAP YÖNTEMİ Görülüyor ki eğilme momenti kuvveti formullerini uygulayabilmek için atalet momentini

hesaplamak gereklidir. Bu büyüklüğün değeri dAy 2 ifadesinin bütün kesit alanı üzerinde integrali olarak tanımlanmıştı. Teorinin uygulanabilir olması için atalet momenti nötr eksen üzerinden hesaplanmalıdır. Bu eksenin alan ağırlık kesitinden geçtiğini de biliyoruz. Ayrıca simetrik kesitlerde nötr eksen simetri eksenine diktir.

Atalet momentini hesaplayabilmek için uygulanması gereken ilk adım alan ağırlık merkezini hesaplamaktır. İkinci adım olarak ise ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre

dAy 2 ‘ nın integrasyonunu bulmaktır. Dikdörtgen, üçgen şekil alanların integrasyona uygulaması yapılarak daha birçok karmaşık alanın bu gibi alanlara ayırmak süretiyle integrasyon hesabına gidilebilir. Örnek olarak ;

14

Şekil 2.4 Atalet merkezinin posizyonu Şekilde gösterilen ağırlık merkezinden geçen yatay eksen etrafındaki atalet momenti

dAyI ∫= 20 olarak tanımlanır. Aynı alanın başka bir z-z yatay ekseni etrafındaki zzI atalet

momenti ;

dAydIA

zz ∫ += 2)(

ile verilir. İfade açıkca yazılıp sadeleştirmeler yapıldığında aşağıdaki formül ile karşılaşırız.

2

0 AdII zz +=

Paralel eksen olarak bilinen bu denklemin ifadesi şudur : bir alanın bir eksene göre atalet momenti o alanın kendi ağırlık merkezinden geçen ve bu eksene paralel olan eksene göre atalet momentiyle, bu alan ile eksenler arasındaki mesafenin karesinin çarpılıp toplanmasına eşittir.

2.5.EĞİLME FORMÜLÜ ÜZERİNE BAZI UYARILAR Kirişin herhangi bir noktasındaki gerilmeyi formüllerle gösterdik. Ayrıca kirişteki

maksimum gerilmenin en dış noktalarda olduğunu (y=c olduğu zaman) da gösterdik. бmax =M*c / I formülünü en basit haliyle göstermek bizim işimizi çoğu zaman kolaylaştıracaktır. Bu formüldeki I/c i bir sabit olarak S ile gösterebiliriz. Bu S ifadesine elastik kesit modülü adı verilir.bu notasyonla denklem бmax =M/S şeklini alacaktır.

Kullanımı kolaylaştırmak için standart malzemelerin fabrika çıkışlarında kesit modülleri

tablolar halinde sunulur.

15

2.6.KİRİŞLERDE ELASTİK OLMAYAN GERİLME

Şu zamana kadar açıklanan ifadeler gerilmenin doğrusal olduğu zaman geçerlidir. Bu

kısımda ise hooke kuralına uymayan kirişlerde ki eğilme durumlarını inceleyelim. En başta yaptığımız kiriş kabulune göre kiriş eksenine dik alınan kesitler eğilmeden sonra yine düzlem olarak kalırlar şeklinde ifade etmiştik. Şu anda malzeme elastik olmayan bir tarzda deforme olsa bile bu durum geçerlidir. Daha fazla bir kabule ihtiyaç olmadan liflerdeki şekil değiştirmeler nötr eksenden olan uzaklık ile orantılı olduğu sonucu kolaylıkla görülür.

Eğilmeye maruz dikdörtgen kesitli bir kiriş düşünelim. Malzemenin bası ve çekmedeki

gerilme – şekil değiştirme eğrilerinin aynı olduğu kabul edilecektir (şekil 6-a). Kirişe gittikçe artan moment uygulandığında şekil değiştirmeler şekil 6-b gösterildiği gibi ardışık olarak ε1 , ε2

, ε3 değerlerini alacaktır. Bu şekil değiştirmeler ve onların nötr eksenden doğrusal olarak değişmelerine karşılık gerilme dağılımı şekil 6-c dekine benzeyecektir. Ayrıca şekil simetrik olduğundan şekil ağırlık merkezi ile nötr eksen üstüste düşer. Bu değerler çekme deneyleri ile tespit edilip şekil 6 daki gibi tablolaştırılabilir.

ε1 ε2 ε3

σ1

σ3

σ2

ε1ε2

ε3

σ1 σ2 σ3

Şekil 2.5 Elastik olamayan gerilme dağılımı

16

Örneğin , elastik-plastik malzemeden yapılmış başka bir dikdörtgen malzeme düşünelim.

Aşağıdaki şekilden de görüldüğü gibi malzeme elastik taşıyabileceği yükten sonra plastik deformasyona uğramıştır. Mesela kirişe uygulanan şekil değiştirmenin değeri akmanın 2 katı ise kesitin sadece yarısı elastik olarak kalır. Bu halde dıştaki kısımlar tamamen plastik bölgeye girmişlerdir. Şekil değiştirme büyüdükçe elastik kalan çekirdek bölge daha da küçülecektir.

Şekil 2.6 Elastik ve plastik sınırlar

Bu kısımdan da anlaşılacağı gibi kiriş basit eğilmeye çalışmaktadır. Eğilme formülü elde

edilirken kullanılan statik denklemler burada da kullanılacaktır. Daha önceden de olduğu gibi kullanılan bağıntılar ;

00 →=∑ xF , veya 0=∂∫ dA

Ax

0=∑ zM , veya MdAy

Ax =∂− ∫

şeklindedir.

2.7.GERİLME YIĞILMALARI

Şu ana kadar geliştirdiğimiz eğilme formülleri sabit kesitli kirişler için geçerlidir. Böyle kirişler prizmatik kirişler olarak bilinir. Eğer kiriş kesiti eksen boyunca tedrici olarak değişirse anlattığımız gerilme formüllerinde bir değişiklik olmaz. Ama kirişte delik, oluk, çentik, civata

17

delikleri varsa veya kesit alanında ani bir değişiklik oluyorsa bölgesel olarak yüksek gerilmeler ortaya çıkar.

(σ m) nominal =

Mc / I

σ max

Şekil 2.7 Değişken kesitte yığılan gerilmeler

K= (σmax) gercek / (σmax) nominal

Esas amaç maksimum gerilmeyi bulmak olduğuna göre , gerilme yığılma kavramını kullanmak gerekecektir. Minimum alanlı kesitteki en büyük gerçek gerilme ile, hesap sonucu bulunan en büyük gerilme arasındaki oran K yığılma faktörünü verir.

Euler- bernoulli kiriş teoremine göre yapılan açıklamalar kiriş teoremini anlamaya yeterlidir. Çözülecek örnekler ile işlem takibi yapılabilir. Euler- bernoulli teoremine göre nötr eksen ile kesit alanı arasındaki açı değişmiyordu. Fakat bazı durumlarda bu teorem yetersiz kalmaktadır. Bazı durumlarda nötr eksen ile kesit alanı arsındaki açı eğilme sonucu sabit kalmayabilir. Bunun nedeni kesit içinde oluşacak kayma gerilmeleridir. Bunun açıklandığı konu Timoshenko Kiriş Teoremi olarak bilinir.

18

BÖLÜM 3

3.1. BURKULMANIN GENEL TANIMI Mukavemet ve yapı elemanlarının boyutlandırılmasında üç temel karakteristik bulunmaktadır.

Bunlar, mukavemet (akma veya kırılma), rijitlik ve buna bağlı olarak deformasyon ve stabilitedir. Stabilitede kritik parametreler diğerlerinden çok daha farklıdır. Akma ve kopmada sistemdeki gerilmeler belirli bir değeri aşmışsa sistemde emniyet kalmamıştır denir. Bu tip problemlere gerilme problemi denir. Burkulmada ise bir denge problemi söz konusudur. Eğer denge konumu kararlı değilse sistemde doğabilecek en küçük bir farklılık sistemde çok büyük şekil değiştirmelere sebep olur ve sistemin tekrar ilk konumuna gelmesi imkansızlaşır. Bu tip problemlere kısaca denge (stabilite) problemleri ismi verilir. Burkulmada karşılaştırma kriteri kritik burkulma yüküdür.

Çeşitli mesnet hallerinde formüllemeler farklılık göstermektedir. Biz tek taraftan ankastre, diğer taraftan serbest kiriş için incelememizi yapacağız. Çeşitli mesnet halleri;

Klasik haller veya diğer adıyla Euler halleri: a) Bir ucu serbest bir diğer ankastre kolon b)Bir ucu ankastre diğer ucu mafsallı kolon c) iki ucu ankastre kolon d)İki ucu mafsallı kolon

3.1.1 Bir ucu serbest bir diğer ankastre kolon Aşağıdaki şekillerde de görüldüğü gibi,

Şekil 3.1 Bir ucu ankastre diğer ucu serbest kiriş

19

Eksenel basınç kuvvetlerinin şiddeti, kritik yük denilen, bir limit değere vardığı zaman,

uygulanma noktasının en ufak bir yer değiştirmesine veya eksenel yükün şiddetinin en ufak bir artışına karşı, kirişin çökmesi son derece hassas bir hale gelir ve kirişin eğilmesi, birden bire karakteristik yanal bir burkulma halini alır. Uygulanan bir P eksenel kuvveti için çubuğun çökmesi Q yanal kuvveti ile orantılıdır.

Çubuğa etkiyen eksenel kuvvet aynı kalmak şartıyla, Q yanal kuvvetine bir Q1 kuvveti ilave edilirse, neticede çökme, Q’dan ve Q1’den dolayı meydana gelen çökmelerin süperpozisyonu ile elde edilir.

P kuvveti kritik değerin altında oldukça, çubuk ancak eksenel bir basınca maruzdur diyebiliriz. Bu durumda çubuk doğrusal kalır. Elastik dengenin bu doğrusal konumu kararlıdır, yani yanal bir kuvvet neticesinde küçük bir çökme meydana gelirse, yanal kuvvet kaldırıldıktan sonra çubuk tekrar doğrusal konumuna gelir. Doğrusal denge konumunun kararsız olduğu eksenel yükte uygulanan yanal kuvvet sayesinde ortaya çıkan çökme, yanal kuvvetin kaldırılmasıyla kaybolmaz. Buda gösterir ki, kritik yük, çubuğun hafifçe eğilmiş bir şekli muhafaza edebilmesi için kâfi gelen eksenel yüktür.

Bir ucu serbest diğer ucu ankastre bir çubuk için kritik yük değeri,

k2= P/EI olmak üzere: kL = (2n+1) π/2 n=0,1,2,… dir. Bu denklemi sağlayan en küçük n değeri (n=0) yerine konursa, kL= L P / EI =π/2 olur. Buradan da, P=Pcr=π2EI/4L2 (N) elde edilir. Yani böyle bir çubuğu hafif eğik bir konumda tutabilecek en küçük eksenel yüktür ve bu da kritik burkulma yükü adını alır. n’nin diğer değerleri için, P=9π2EI/4l2 (N) P=25π2EI/4l2 (N) değerlerini alır.

20

3.1.2.Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre

Kendi ekseni doğrultusunda eksenel bir basma kuvvetinin etkisi altında kalan bir çubuk bu

kuvvetin şiddeti, kopma kuvvetinin altında belirli bir değere eriştiğinde eğer kesit boyutları uzunluğuna oranla küçük ise kararsız durumdadır Bu durumda kuvvetin veya mesnetleme sisteminin yer değiştirmesi çubuğun ani olarak burkulmasına yol açar.

Boyu uzun kesiti değişmeyen bir çubuğun bir ucu sabit mafsallı diğer ucu kuvvet

doğrultusunda hareketli kayıcı mafsallı olarak eksenel kuvvetle basmaya zorlandığını

düşünelim.

F basma kuvveti altında bu çubuğun herhangi bir sebeple şekildeki gibi burkulduğunu ve

bu durumda dengede durduğunu kabul edelim.

N = F.cosQ

Q = F.sinQ

Şekil değiştirme malzemenin elastik sınırları altında kaldığı takdirde elastik

eğrinin eğimi çok küçük olacağı için

Şekil 3.2 -Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre kiriş

21

cos Q = 1 . sin Q = 0 alınabilir. Q=0, N=F olur Elastik eğrinin diferansiyel denklemi;

Euler burkulma yükü, kritik yük bulunur.

22

Elastik alanda flambaj (Burkulmanın meydana gelmesi için AFbr *1σ≤ (N)

olması gerekir. brbrbr AF σσ >= / (MPa) olduğunda Euler formülü kullanılmaz.

Euler formülünün uygulanabilmesi için :

ebr σσ ≤ olmalıdır.

3.2.ELASTİK BURKULMA FORMÜLLERİNİN GEÇERLİLİK SINIRI Burkulma yükünün tayin edilmesinde, malzemenin lineer elastik davrandığı bölge içinde

Euler formülü kıülandabilinir. Euler formülünün kullanılma alanının belirlenmesi gereklidir. Çünkü elastik olmayan bölgede Euler formülü kritik yük için doğru sonuçlar vermez.

2

2

4LIEPcr

π= (N)

I incelenen kesitin en küçük atalet momenti olmalıdır ki Euler formülü en küçük kritik burkulma yükünü versin. Atalet yarıçapı ( r ), minumum atalet momenti için minumum olmalıdır

rAI 2= (mm4)

2

22

LArEPcr

π= (N)

2

2

)/( rLE

APcr

crπσ == (MPA)

Kritik gerilme kritik yükün A kesit alanı üzerine üniform olarak dağıtılmasından elde

edilmiştir. Kolon uzunluğunun atalet yarıçapına oranı narinlik oranı olarak tanımlanır. Narinlik oranı burkulma mukavemetinde kolonların kalınlık ve incelikleri ile ilgilidir. Kalın çubuklar için narinlik oranı ,ince çubuklara göre daha küçük değere sahiptir.

Narinlik oranı

kritik gerilme formülünde yerine konulursa

2

2

λπσ E

cr = (MPA) elde edilir. Buradan kritik gerilmenin narinlik

oranını karesiyle ters orantılı olduğu görülür.

23

3.3 SONLU ELEMANLAR METODU

Mühendisler uğraştıkları kompleks problemlere doğrudan yaklaşamadıkları zaman ya dadoğrudan yaklaşımla çözümün daha zor olduğu durumlarda ana problemi daha kolayanlaşılabilen.alt problemlere ayırıp, sonra bu alt problemlerin çözümünden orijinalproblemin çözümünü elde etmeleri çoğu zaman kullanılan tabii metodtur.

Problemin çözümünde, iyi tanımlanmış sonlu sayıda eleman kullanarak yeterli bir model elde edilebilir. Böyle problemler sonlu olarak adlandırılır. Bazı problemler matematiksel sonsuz küçük kurgusuyla tanımlanabilir. Bu tanım diferansiyel denklemlere veya sonsuz sayıda eleman kullanımına götürür. Bu sistemler sürekli olarak vasıI1andmhr. Gerçekte elastik sürekli ortamda elemanlar arası bağlantı noktalarının sayısı sonsuzdur. Sonlu elemanlar metoduyla bu sonsuz sayıdaki bağlantı sonlu bir sayıya indirgenir. Cisim sanki sadece bu noktalardan birbiriyle bağlıymış gibi düşünülür. Sonlu sayıda bu bağlantı noktaları ne kadar çoğaltılırsa bu metodla yapılan çözümdeki hata oranı o kadar küçülür. Diğer taraftan bu sayımın çok fazla artması da sayısal çözümlemede büyük zorluk getirir. Bilgisayarlar yardımıyla bu zorluk bir derece giderilmiştir. Sonlu eleman metodunun önemli bir öze1liği, tüm problemi temsil etmek üzere elemanları bir araya koymadan önce, her bir elemanın ayrı formüle edilebilmesidir. Eğer bir gerilme analizi problemi ile uğraşıyorsa her bir elemana etki eden dış kuvvetler ile elemanın düğüm noktalarının, yer değiştirme bağıntıları bulunduğunda tüm sistem çözülmüş olur. Bu şekilde kompleks bir problem oldukça basit bir probleme dönüşür. BÖLÜM 4

4.1 ANSYS 10 İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER Program, bir çeşit tümevarım yöntemi esasına dayanır. Sonlu elemanlarına ayırma yöntemi ile

sonuca gidilir. Sonlu elemanlar metodunun temel prensibi, bir elemana ait sistem özelliklerim içeren denklemlerin çıkartılıp, daha sonra tüm sistemi temsil edecek şekilde eleman denklemlerim birleştirerek sisteme ait lineer denklem takımının elde edilmesidir.

Sonlu elemanlar metodu, sürekliliğe sahip bir yapının çok sayıda elemana bölünerek

incelenmesini mümkün kılar. Mühendislik problemlerinde, teorik hesaplamaların karmaşık yapıdaki modellere uygulanmasının zorluğundan dolayı, inceleme (kabul görülen tolerans sınırlan içindeki hassasiyete) modelin belirli sayıdaki elemanlara bölünmesi ife yapılır. FEM (Finite Elemeots Method) programlarından ANSYS'in kullanılarak modelin tasarlanması ve belli geometrideki parçaların, değişik yükleme durumunda mukavemet analizleri, değişik sıcaklıklarda termodinamik davranışları ve çalışma esnasındaki titreşim özellikleri incelenerek konstrüksiyon yönlendirilebilir. Bu sayede çeşitli yükleme ve ortam şartlarında emniyetli bir biçimde çalışabilecek malzemeler minimum maliyetle üretilebîîirîer.

Ansys ile: -Yapısal analiz -Termal analiz - Elektromagnetik analiz - Akışkan analiz analizleri yapılabilinir.

24

4.2ANSYS 10.0 ‘DA KARE KESİTLİ EULER KİRİŞİNİN MODELİNİN OLUŞTURULMASI VE BURKULMA ANALİZİ 4.2.1 Problem tipinin tanımlanması - PREFERENCES tıklanarak aşağıdaki menüden structural seçilir ve OK basılır.

25

4.2.2 Malzeme Özellikleri 1)PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD EDIT DELETE / ADD / STRUCTRAL BEAM / 2D ELASTIC 3

Şekil 4.1 Element tipi BEAM3 olarak seçilir 2)PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL LIBRARY / SELECT UNITS / USER

Şekil 4.2. Girilecek birimler kullanıcının tercihine bırakılır.

26

3)PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD EDIT DELETE /ADD/ OK

AREA =900 mm2 IZZ =67500 mm4 HEIGHT =400 mm Değerleri girilir. 4)PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL MODELS / STRUCTURAL/LINEAR / ELASTIC / ISOTROPIC

Şekil 4.3 Malzeme özelliklerinin belirlenmesi 4.2.3 Modelin oluşturulması

27

5)PROCESSOR / MODELING / CREATE /KEYPOINTS / IN ACTIVE CS

APPLY denir

X=0, Y=200 değeri girilir ve APPLY denir.

X=0, Y= 400 değeri girilir ve OK denir. 6)PROCESSOR / MODELING / CREATE /LINES / LINES /STRAIGHT LINE

28

Şekil 4.4 Ansys modeli 1-2 ve 2-3 keypointleri tıklanarak lines oluşturulur. 4.2.4. Meshing İşlemi 7)PREPROCESSOR / MESHING/MESHTOOL Aşağıda çıkan menüden SIZE CONTROLS / GLOBAL.... SET... SIZE=10 değeri girilir.

29

Şekil 4.5 Mesh boyutunun belirlenmesi 8)PREPROCESSOR / MESHING/MESHTOOL / MESH / PICK ALL

30

Şekil 4.6 Mesh Edilmiş Model 4.2.5. Sınır Şartlarının Belirlenmesi ve Çözüm 9)PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD DOF// UX UY UZ ROTX ROTY ROTZ

Şekil 4.7 Kullanılacak parametrelerin seçimi

31

10)SOLUTION / DEFINE LOADS / APPLY / STRUCTRAL /DISPLACEMENT / ON NODES .... uç bölgedeki node seçilir.

Şekil 4.8 Ankastre sınır şartının(ALL DOF=0) uygulanması

Şekil 4.9 Uç taraftaki nodun seçimi 11)UTILITY MENU/ PLOT CONTROLS / PAN ZOOM ROTATE/FIT

32

12) SOLUTION / DEFINE LOADS / APPLY/FORCE-MOMENT/ON NODES/ ….uç kısım seçilerek kuvvet uygulanır.

Şekil 4.10 Üst alana birim kuvvet uygulanması (DIRECTION= FY,VALUE=-1) 13)SOLUTION/(UNABRIGDEG MENU)/ANALYSIS TYPE/ ANALYSIS OPTIONS

Şekil 4.11 Statik analiz yapılırken prestress ON açık bulunmalı

33

14) SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS

Şekil 4.12 Statik analizin çözümlenmesi Solutıon Done penceresi kapatılır. 15)SOLUTION / NEW ANALYSIS / EIGEN BUCKLING

Şekil 4.13 Burkulma analizi yapmak için EIGEN BUCKLING seçimi

34

16)SOLUTION)/ANALYSİS TYPE/ ANALYSİS OPTİONS

Şekil 4.14 Subspace, Nmode=1

Şekil 4.15 Subspaces working size=1

35

17)SOLUTION / LOAD STEP OPTS / OUTPUT CTRLS / SOLUPRINTOUT

Şekil 4.16 All items sekmesine gelinir. 18) SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS

Şekil 4.17 Statik analizin tekrar çözümlenmesi Solutıon Done penceresi kapatılır. 19) FINISH

36

20)SOLUTION / ANALYSIS TYPE> EXPANSIONPASS

Şekil 4.18 Expansion pass on olarak ayarlanır. 21)SOLUTION / LOAD STEP OPTS / EXPANSIONPASS / EXPAND MODES

Şekil 4.19 NMODE =1 olarak girilir. 22) SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS

Şekil 4.20 Statik Burkulma analizin çözümlenmesi

37

23) FINISH 24) GENERALPOSTPROCESSOR/ RESULT SUMMARY

Kritik burkulma yükü değeri belirlenmiş olur.

4.3.ANSYS 10.0 ‘DA LINEER DEGISKEN KESİTLİ EULER KİRİŞİNİN MODELİNİN OLUŞTURULMASI VE BURKULMA ANALİZİ

Bir önceki analizde yapılandan farklı olarak sadece element type ve real constant

basamaklarında değişiklik yapılarak ANSYS 10 analizinde sonuca ulaşabiliriz. Aşağıda adım numaralarına göre değişiklikler yapılarak analiz tekrar yapılsın.

1)PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD EDIT DELETE / ADD / STRUCTRAL BEAM / 2D TAPERED 54

38

3)PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD EDIT DELETE /ADD/ OK

AREA 1 =900 mm2 IZ 1 =67500 mm4 HYT 1 =400 mm AREA 2 =1600 mm2 IZ 2 =213333.33 mm4 HYB 2 =400 mm Değerleri girilir

39

24) GENERALPOSTPROCESSOR/ RESULT SUMMARY

Kritik burkulma yükü değeri belirlenmiş olur. BÖLÜM 5

5.SONUÇ

Şekil 5.1 Lineer kiriş Şekil 5.2 Düzgün değişken kesitli kiriş

40

1. Model boyutları: 2. Model Boyutları

a=30 mm a1=30 mm a2=40 mm

b =30 mm b1=30 mm b2=40 mm

H=400 mm H=400 mm

Ansys programı ile yaptırdığımız çözümde bulduğumuz sonuç;

Pcr =208190 N

Teorik Formullerden kritik yük hesabı yaparsak ;

22

42

)(400*4)(67500*)(200000*

mmmmMPaPcr

π= N

Pcr = 208186.96 N çıkmaktadır.

Ansys programı ile yapılan çözüm ve teorik formüller ile yapılan çözüm birbirine çok

yakın değerlerdedir. Euler kirişi kabuluyle modelimiz üzerinde yapılan çözüm doğru sonuç

vermektedir. İkinci modelimiz için üst kesit alanını (a=30 mm , b=30 mm ) sabit tutarak alt

kesit alanı genişletilmiştir.

İkinci bir model olarak düzgün değişken kesitli (tapered) kirişimizde ansys ile yapılan

sonuçta kritik yükün belli bir seviyede arttığı gözlenmektedir. Bu modelin teorik çözümü

birinci modelimize göre daha karmaşıktır. Fakat görüldüğü gibi Ansys analizinde kritik yük

değerini elde edebiliriz. Daha karmaşık yapıların burkulma analizinde Ansys ile bulunan kritik

burkulma yük değerine güveneceğiz.

41

KAYNAKÇA

1. Prof. Dr. Egor P. POPOV “Mukavemet Katı Cisimlerin Mekaniğine Giriş” , 1976

2. S. TIMOSHENKO “ Cisimlerin Mukavemeti” 1960

3. S. TIMOSHENKO, James M. GERE “Theory of Elastic Stability” 1961

4. Saeed MOAVENI “Finite Element Analysis”