Euler Buch

Download Euler Buch

Post on 29-Dec-2015

269 views

Category:

Documents

21 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • El Legado Matemtico de Leonhard Eulera Trescientos Aos de su Nacimiento

  • UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA

    Dr. Jos Lema LabadieRector General

    Dr. Oscar A. Monroy HermosilloRector de la Unidad Iztapalapa

    Dr. Adrin de Garay SnchezRector de la Unidad Azcapotzalco

    M. en C. Jos ngel Rocha MartnezDirector de la Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera, Azcapotzalco

    Dra. Vernica Medina BauelosDirectora de la Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera, Iztapalapa

    Dr. Mario Pineda RuelasJefe del Departamento de Matemticas, UAMIztapalapa

  • El Legado Matemtico de Leonhard Eulera Trescientos Aos de su Nacimiento

    Alfonso Anzaldo MenesesJoaqun Delgado

    Felipe Monroy PrezEditores

  • Queda rigurosamente prohibida, sin la autorizacin escrita de los titulares del , bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin parcial o total de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendiendo la reprografa y el tratamiento informtico. El Legado Matemtico de Leonhard Euler a Trescientos aos de su Nacimiento 2007, Alfonso Anzaldo Meneses, Joaqun Delgado, Felipe Monroy Prez D.R. 2007 por Innovacin Editorial Lagares de Mxico, S.A. de C.V. lamo Plateado No. 1, Int. 402 Fracc. Los lamos Naucalpan, Estado de Mxico

    C.P. 53230 Telfono: (55) 5240-1295 al 98 Email: editor@lagares.com.mx

    Diseo de Portada: Alfonso Anzaldo Meneses ISBN: 978-970-773-375-6 Primera edicin octubre, 2007 IMPRESO EN MXICO / PRINTED IN MEXICO

  • ndice general

    Prefacio VII

    1. Vida y obra de Leonhard Euler 1Jos Luis Huerta Flores y F. Monroy-Prez1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. La figura de Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Esbozo biogrfico de Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3.1. Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. San Petersburgo I (1727-1741) . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3. Berln (1741-1766) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4. San Petersburgo II (1766-1783) . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4. Las matemticas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Opera omnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2. El problema de los dos centros fijos 21Joaqun Delgado y Martha lvarez Ramrez2.1. Euler y el problema de los dos centros fijos . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. La integral de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4. La integral de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. De motv corporis (1766) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.5.1. Movimiento hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.2. Movimiento elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3. Solucin completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.6. Integrales elpticas y lemniscatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7. El problema de las curvas algebraicas (1768) . . . . . . . . . . . . . 46

    2.7.1. Reduccin de la ecuacin integral . . . . . . . . . . . . . . . 472.8. La ecuacin integral reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.8.1. La ecuacin integral para = 2, = 1 . . . . . . . . . . . . 522.8.2. La ecuacin integral para = 3, = 1 . . . . . . . . . . . . 532.8.3. La ecuacin integral para , enteros . . . . . . . . . . . . . 54

  • II NDICE GENERAL

    2.9. De motv corporis (1767) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10. La solucin de Jacobi de los dos centros fijos . . . . . . . . . . . . . 57

    2.10.1. La ecuacin de HamiltonJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10.2. Coordenadas elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3. La hidrodinmica de Euler 65Jorge A. Esquivel Avila y Marisela Guzmn Gmez3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2. La obra de Euler en mecnica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.2.1. Descripciones material y espacial . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2. Conservacin de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.3. Balance de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . 733.2.4. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.5. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.6. Paradoja de Euler-DAlembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3.3. Un problema del milenio en hidrodinmica . . . . . . . . . . . . . . 83

    4. Euler y la cuerda vibrante 91Gulmaro Corona Corona y Salvador Arellano Balderas4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4.2.1. Sobre el siglo XVIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2. Antecedentes del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.3. Solucin de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.4. Solucin de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.5. La controversia entre Euler y DAlembert . . . . . . . . . . . 974.2.6. La solucin de Daniel Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.7. El trabajo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4.3. La cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4. La ecuacin de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    5. Euler y la funcin zeta 113J. Cruz Sampedro, S. Hernndez H. y M. Tetlalmatzi M.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2. La funcin zeta y los nmeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3. Irracionalidad y trascendencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4. Irracionalidad, un mtodo reciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

  • NDICE GENERAL III

    6. Euler y la teora de nmeros 147V. Janitzio Meja Huguet y Arturo Cueto Hernndez6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2. La teora de nmeros antes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3. Euler en la teora de nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    6.3.1. Nmeros perfectos y amigables . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3.2. Nmeros de Mersenne y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.3. Generalizacin del pequeo teorema de Fermat . . . . . . . . 1636.3.4. Sumas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.3.5. El problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

    6.4. Despus de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.4.1. Nmeros perfectos y primos de Mersenne . . . . . . . . . . . 1726.4.2. Nmeros de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    7. Las curvas elsticas de Euler 181A. Anzaldo-Meneses y C. Romero-Melndez7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2. Marcos mviles en hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.3. El principio mximo de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.4. Curvas elsticas en R2, S2 y H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.5. El pndulo y las integrales elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.6. Elsticas en el plano Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.7. Elsticas en la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.8. Elsticas en el plano hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    8. El mtodo de los mximos y los mnimos 205H. N. Nez Ypez y A. L. Salas Brito8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    8.1.1. El principio de mnima accin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.2. El mtodo de los mximos y los mnimos. . . . . . . . . . . . . . . . 209

    8.2.1. El mtodo variacional de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.2.2. El clculo variacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.2.3. La resolucin general de problemas variacionales. . . . . . . 2128.2.4. Las ecuaciones de Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . 2168.2.5. La curva de longitud mnima. . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    8.3. Ejemplos del uso del clculo variacional. . . . . . . . . . . . . . . . 2178.3.1. El principio de mnima accin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.3.2. Determinismo versus teleologa. . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    8.4. La descripcin cuntica de la realidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.4.1. La amplitud cuntica de 1 a 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.4.2. Integrales de Feynman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.4.3. El principio de mnima accin, demostrado. . . . . . . . . . . 222

  • IV NDICE GENERAL

    8.4.4. La vlidez del principio de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . 2238.5. El legado del clculo de variaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . 223

    8.5.1. La derivada funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.5.2. Una serie de potencias funcional. . . . . . . . . . . . . . . . 2268.5.3. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.5.4. Un poco ms de formalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    8.6. Conclusin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    9. Estabilidad mediante funcionales 231L. Aguirre y P. Seibert9.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.2. Sistemas dinmicos y semidinmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.3. Conceptos de estabilidad. Criterio

    de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .