eu-8-64 – diferenciÁlnÍ poČet (shrnutí a opakování na příkladech)

Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-64 – DIFERENCIÁLNÍ POČET(shrnutí a opakování na příkladech)

Anotace

Na 105 úlohách rozdělených do 21 cvičení po 5 příkladech si mohou žáci zopakovat a procvičit základy diferenciálního počtu počínaje limitami až po průběh funkce. V závěru prezentace je uvedeno 15 slovních úloh na hledání globálního extrému. V každém cvičení je pětice úloh od nejjednodušších až po úlohy mírně náročné. Úlohy lze použít pro individuální i skupinovou práci žáků, z úloh lze sestavovat testy či písemné práce.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák dovede aplikovat získané poznatky diferenciálního počtu alespoň na nejjednodušších úlohách jednotlivých cvičení.

Klíčová slova Limita, spojitost, derivace funkce, průběh funkce, slovní úloha.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 4. 1. 2014

VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 1

32lim1

xx

1

3lim

22 x

xx

x

xx cos1

sin1lim

0

x

xx 1

46lim

2

x

xex ln1

lnlim

Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 203 – cvičení 194.

Vypočítejte

1. 5

2. 1

3.

4. 2

5.

2

1

2

1

výsledkyúloh


x

xx

644lim

3

0

2012

65lim

2

2

2 xx

xxx

8

23lim

3

3

2 x

xxx

1

1lim

21 x

xx

Nnmx

xn

m

x

,...,

1

1lim

1


Vypočítejte

1. 48

2.

3.

4.

5.

4

3

n

m

8

1

4

1

výsledkyúloh


x

xx 7

5sinlim

0

20

cos1lim

x

xx

30

sinlim

x

xtgxx

11

4sinlim

0 x

xx

xx

xx sin

2cos1lim

0


Vypočítejte

1.

2.

3.

4. 8

5. 2

2

1

7

5

2

1výsledkyúloh


2

1lim2 xx


Vypočítejte

a) b) c) a) b) c)

1. + - neexistuje

2. + + +

3. + - neexistuje

4. - neexistuje neexistuje

5. + - neexistuje

2

1lim2 xx

2

1lim

2 xx

22 2

1lim

xx

22 2

1lim

xx

22 2

1lim

xx

3

52lim3 x

xx

3

52lim3 x

xx

3

52lim

3 x

xx

xx

lnlim0

xx

lnlim0

xx

lnlim0

4

1lim

22 xx

4

1lim

22 xx

4

1lim

22 xx

výsledkyúloh

GRAF FUNKCE A VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 5


1. Načrtněte graf funkce a vypočítejte 0

2. Načrtněte graf funkce a vypočítejte

3. Načrtněte graf funkce a vypočítejte 0, 0

4. Načrtněte graf funkce a vypočítejte +, 0

5. Vypočítejte 2

2

1:

x

yf .2

1lim

xx

25

32:

x

xyf .

25

32lim

x

xx

1

1:

2 x

yf .1

1lim

1

1lim

22 xa

x xx

5

2

xeyf : .limlim x

x

x

xeae

.11

lim22

x

xxx

výsledkyúloh

DEFINICE DERIVACE FUNKCE – CVIČENÍ 6


1. Je dána funkce

f: y = - 4 x + 1 a číslo x0. Vypočítejte - 4

2. Je dána funkce

f: y = x2 + 1. Vypočítejte 4

3. Je dána funkce

a číslo x0. Vypočítejte

4. Je dána funkce

f: y = x3 + 1. Vypočítejte 3

5. Je dána funkce

f: y = sin x a číslo x0. Vypočítejte cos x0

20 1

2

x

.)()(

lim0

0

0 xx

xfxfxx

.)()(

lim0

0

0 xx

xfxfxx

.)()(

lim0

0

0 xx

xfxfxx

.2

)2()(lim

2

x

fxfx

1

2:

x

yf

.1

)1()(lim

1

x

fxfx

výsledkyúloh

TEČNA K FUNKCI V BODĚ DOTYKU – CVIČENÍ 7


1.Napište rovnici tečny grafu funkce

Proveďte příslušný náčrtek.f: y = x2 - 1 v bodě dotyku T [ 1; y0 ]. y = 2 x - 2


Proveďte příslušný náčrtek.f: y = x3 + 1 v bodě dotyku T [ 0; y0 ]. y = 1


Proveďte příslušný náčrtek.v bodě dotyku T [ -1; y0 ].


Proveďte příslušný náčrtek.f: y = - x2 + 4

v bodě dotyku T [ - 2; y0 ]. y = 4 x + 8


Proveďte příslušný náčrtek.f: y = ex v bodě dotyku T [ 0; y0 ]. y = x + 1

4

1:

x

yf 5

11

25

1 xy výsledky

úloh

ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE – CVIČENÍ 8


1. Určete asymptoty grafu funkcey = 0, x = - 2,

x = 2

2. Určete asymptoty grafu funkce y = 2, x = 5

3. Určete asymptoty grafu funkce y = x, x = 1

4. Určete asymptoty grafu funkce y = 0, x = 3

5. Určete asymptoty grafu funkce y = x + 2, x = 2

.4

1:

2 x

yf

.5

32:

x

xyf

.1

1: x

xyf

.

3

1: 2

x

yf

.2

:2

x

xyf

výsledkyúloh

POUŽITÍ DEFINICE DERIVACE FUNKCE – CVIČENÍ 9


1. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x0 D(f):

a) f: y = 1

b) f: y = a x + b

a) f / (x0) = 0

b) f / (x0) = a

2. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x0 D(f): f: y = a x2 + b x + c f / (x0) = 2 a x0 + b



5. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x0 D(f): f: y = cos x f / (x0) = - sin x0

.1

:bax

yf

.1

:2x

yf 30

0/ 2

)(x

xf

20

0/ )(

bax

axf

výsledky

úloh

POUŽITÍ VĚT O DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ – CVIČENÍ 10


1.Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) f / (x) = x2 – 4 x + 5; f / (1) = 2

a) b) f: y = 5 x3 – 3 x5 b) f / (x) = 15 x2 – 15 x4; f / (1) = 0

2.Vypočítejte f / (x) a f / (2) pro funkci: a) f / (x) = a; f / (2) = a

a) f: y = a x + b b) f: y = a x2 + b x + c b) ) f / (x) = 2 a x + b; f / (2) = 4a + b

3.Vypočítejte f / (x) a f / (0) pro funkci: a)

a) b) b)


a) b) b)


a) b) b)

1523

1: 23 xxxyf

1

32:

x

xyf

dcx

baxyf

:

1)0(;

1

1)( /

2/

fx

xf

2/

2/ )0(;)(

d

bcadf

dcx

bcadxf

21

1:

xyf

21:

x

xyf

2

1)1(;

1

2)( /

22

/

fx

xxf

3: xxyf 1: xxyf

0)1(;1

1)( /

22

2/

f

x

xxf

6

5)1(;

3

1

2

1)( /

3 2

/

fxx

xf

2

5)1(;1

2)( //

f

x

xxxf

výsledkyúloh

POUŽITÍ VĚT O DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ – CVIČENÍ 11


1.Vypočítejte f / (x) a f / (/4) pro funkci: a)

a) f: y = 4 sinx + 3 cosx b) f: y = tgx - cotgx b)

2.Vypočítejte f / (x) a f / () pro funkci: a) f / (x) = sinx + x cosx; f / () = -

a) f: y = x sinx b) b)

3.Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) f / (x) = x (2 lnx + 1); f / (1) = 1

a) f: y = x2 lnx b) b)

4.Vypočítejte f / (x) a f / (0) pro funkci: a) f / (x) = ex (1 + x); f / (0) = 1

a) f: y = x ex b) b)

5. Vypočítejte f / (x) pro funkci

x

xyfln

:

1)(;

sincos)( /

2/

f

x

xxxxf

x

eyf

x

:

1)1(;ln1

)( /2

/

fx

xxf

.)0(;

1)( /

2/ defneníf

x

xexf

x

x

xyfsin

:

2

2

4;sin3cos4)( //

fxxxf

44

;cossin

1)( /

22/

f

xxxf

xx

xxyf

cossin

cossin:

12sin

2)(/

xxf

výsledkyúloh

DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE – CVIČENÍ 12


1.Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = 8x ( x2 + 1)3

a) f: y = ( x2 + 1)4 b) f: y = (ax2 + bx + c)2 b) f / (x) = 2 (ax2 + bx + c) (2ax + b)

2.Vypočítejte f / (x) pro funkci: a)

a) b) b)

3.Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = 2 sinx cosx = sin2x

a) f: y = sin2 x b) f: y = sin x2 b) f / (x) = 2x cos x2


a) b) f: y = tg (x2 + 1) b)


a) b) b)

xgyf cot:

2

/

1)(

x

xxf

1cos

2)(

22/

x

xxf

21: xyf 3 232: xyf 3

/

323

4)(

xxf

xxxf

2

/

sin2

1)(

3

3: xyf xxyf 10:

3

33ln3)( 2/ xxxf

)10ln1(10)(/ xxf x

výsledkyúloh

DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE – CVIČENÍ 13


1.Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = cotgx

a) f: y = ln(sinx) b) f: y = ln(cosx) b) f / (x) = - tgx


a) b) b)


a) b) b)

4.Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = ex ( sinx + cosx )

a) f: y = ex sinx b) f: y = ex cosx b) f / (x) = ex ( cosx - sinx )

5.Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = 4x sinx2 cosx2

a) f: y = sin2 x2 b) f: y = ln ln lnx b)

1ln: 2 xyf 21ln: xxyf

2

: xeyf xeyf1

:

xxxxf

lnlnln

1)(/

1

2)(

2/

x

xxf

2

/

1

1)(

xxf

2

2)(/ xxexf

2

1

/ )(x

exf

x

výsledkyúloh

TEČNA A NORMÁLA V BODĚ FUNKCE – CVIČENÍ 14


Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T[ x0; y0 ]:

1. f: y = x2 + x + 1, x0 = 1

2.

3. f: y = sin x, x0 = 0 t: y = x, n: y = – x

4. f: y = ex, x0 = 0 t: y = x + 1, n: y = – x + 1

5.

3

10

3

1:,3: xynxyt

2

154:,1

4

1: xynxyt2,

1: 0 x

xyf

2

32:,1

2

1: xynxyt1,

1

1: 02

xx

yf

výsledkyúloh

MONOTÓNNOST FUNKCE – CVIČENÍ 15


Určete intervaly monotónnosti funkce:

klesající rostoucí

1. f: y = x2 – x + 1

2. f: y = 2 x2 – x4

3.

4.

5.

21:

x

xyf

x

xyfln

:

2

: xexyf

;2

12

1;

1;0;1; ;1;0;1

);1;1; 1;1

;e e;0

);2

2;

2

2;

2

2;

2

2

výsledkyúloh

EXTRÉMY FUNKCE – CVIČENÍ 16


1. Určete lokální extrémy funkcev bodě 0 lokální maximum, f(0) = 0

v bodě 4 lokální minimum, f(4) = - 32

2. Určete lokální extrémy funkce v bodě 3 lokální maximum, f(3) = 3

3. Určete lokální extrémy funkcev bodech -1 a 1 lokální maxima, f(-1) = f(1) = 0,5

v bodě 0 lokální minimum, f(0) = 0

4. Určete globální extrémy funkce v daném intervalu:

globální minima v bodech -2 a 2, f(-2) = f(2) = - 24

globální maxima v bodech -1 a 1, f(-1) = f(1) = 3

5. Určete globální extrémy funkce v daném intervalu:

globální minimum v bodě 0, f(0) = 0

globální maximum v bodě 4, f(4) = 8

.6: 23 xxyf

.6: 2xxyf

.1

:4

2

x

xyf

.2;2

63: 24

x

xxyf

.4;0

2:

x

xxyf

výsledkyúloh

KONVEXNOST, KONKÁVNOST A INFLEXNÍ BODY FUNKCE – CVIČENÍ 17


konvexnost v intervalu (intervalech)

konkávnost v intervalu (intervalech) inflexní body

1. Vyšetřete konvexnost, konkávnost

a inflexní body funkce f: y = 3 x4 – 4 x3.

2.Vyšetřete konvexnost,

konkávnost a inflexní

body funkce

3.Najděte taková čísla a a b, aby bod x = 1 byl

pro funkci f: y = x3 + a x2 – 3 x + b inflexním

bodem.

a = – 3, b = 6

4.Je-li počátek inflexním bodem grafu funkce

f: y = a x3 + b x2 + c x + d, potom je její graf

středově souměrný podle počátku. Dokažte.

Počátek [ 0; 0 ] leží na grafu funkce, musí tedy platit d = 0.

Současně je počátek inflexním bodem, tedy 2. derivace funkce f v bodě 0 se musí rovnat nule.

Potom dokážeme lichost funkce.

5.Vyšetřete konvexnost, konkávnost a

inflexní body funkce f: y = x2 e –x.

.1

1:

2xyf

;3

2

,0;

3

2;0

3

2,0 xx

;3

3

,3

3;

3

3;

3

3

3

3,

3

3 xx

;22

,22;22;22

22

,22

x

x

výsledkyúloh

VYŠETŘETE PRŮBĚH FUNKCE – CVIČENÍ 18


Vyšetřete průběh funkce f.

1. graf funkce

2. graf funkce

3. graf funkce

4. graf funkce

5. graf funkce

53 35: xxyf

21:

x

xyf

24: xyf

xyfcos

1:

21ln: xyf

SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 19


1. Rozložte číslo a na dva sčítance tak, aby jejich součin byl největší.

2. Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jestliže součet jejich třetích mocnin je nejmenší možný. 6, 6

3. Určete vzdálenost bodu Q [ 1; 2 ] od paraboly

4.Drát dlouhý se rozdělí na dva kusy. Z jednoho kusu se zhotoví čtverec a z druhého rovnostranný trojúhelník. Jaké by měly být délky kusů, aby součet obsahů obou obrazců byl minimální?

Délka strany čtverce:

Délka strany trojúhelníku: 3 cm.

5. Na souřadnicové ose x najděte bod, jehož součet vzdáleností od bodů A [ 0; 4 ] a B [ 4; 2 ] je minimální.

aa2

1

2

1

2.4

1 2xy

0;3

8

.3 cm cm349

výsledkyúloh



1. Pravoúhelník má obvod 100 cm. Určete délky jeho stran a, b tak, aby jeho obsah byl maximální.

a = 25 cm

b = 25 cm

2. Do trojúhelníku se základnou z a výškou v je vepsán pravoúhelník maximálního obsahu. Určete jeho obsah S.

3.Z lepenky tvaru čtverce o straně délky a se v rozích vyříznou stejně velké čtverce a ze zbylé části se slepí krabička. Jak velká musí být strana vyříznutého čtverce, aby byl objem krabičky největší?

4. Určete maximální obsah S lichoběžníku, jehož tři strany mají danou délku b.

5.Dvě chodby široké 2,4 m a 1,6 m se protínají pod pravým úhlem. Jaký nejdelší žebřík lze ve vodorovné poloze ještě přenést z jedné chodby do druhé?

asi 5, 6 cm

zvS4

1

a6

1

234

3bS

výsledkyúloh



1. Najděte výšku v a poloměr r válce, který má při daném povrchu S maximální objem.

2. Kouli o poloměru r je vepsán kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku v kužele.

3.Krabice má tvar kvádru a její délka je dvojnásobkem její šířky.

a) Jaký má nejmenší možný povrch (včetně dna a víka), je-li její objem 72 cm3?

b) Jaký má největší možný objem, je-li její povrch 108 cm2?

a) 108 cm2

b) 72 cm3

4.Do rotačního kužele o podstavě poloměru r a výšce v vepište rotační válec maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku h hledaného válce.

5.Navrhněte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem a objemem 32 m3 tak, aby na vyzdění jeho stěn včetně dna bylo potřeba nejmenší množství materiálu.

4 m x 4 m x 2 m

6,2

Srrv

rvr3

4,8

3

1

vhr3

1,

3

2

výsledkyúloh

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

CVIČENÍ 18 - úloha 1


zpět na cvičení 18

eu-8-64 – diferenciÁlnÍ poČet (shrnutí a opakování na příkladech)

Documents