eu-8-53 – derivace funkce ix (derivace exponenciálních a logaritmických funkcí)
DESCRIPTION
EU-8-53 – DERIVACE FUNKCE IX (derivace exponenciálních a logaritmických funkcí). PŘÍKLAD 1: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci. f: y = 2 x ; D(f) = R; H(f) = (0; + ) f -1 : x = 2 y log 2 x = log 2 2 y log 2 x = y . log 2 2 y = log 2 x - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace
Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616
Název projektu: Inovace výuky
Číslo a název šablony klíčové aktivity:
EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol
Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)
EU-8-53 – DERIVACE FUNKCE IX(derivace exponenciálních a logaritmických funkcí)
AnotaceZopakování exponenciálních, logaritmických funkcí a pojmu inverzní funkce. „Rychlé“ nalezení rovnice inverzní funkce k funkci logaritmické (exponenciální). Odvození (důkaz) derivací logaritmických a exponenciálních funkcí.
Autor PaedDr. Milan Rieger
Jazyk Čeština
Očekávaný výstupŽák chápe odvození derivace exponenciálních a logaritmických funkcí, odvozené vzorce dovede používat při řešení úloh.
Klíčová slova Exponenciální funkce, logaritmická funkce, inverzní funkce, derivace exponenciální a logaritmické funkce.
Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy
Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace
Cílová skupina Žák
Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání
Typická věková skupina 17 – 19 let
Datum vytvoření 30. 1. 2013
PŘÍKLAD 1: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.
f: y = 2x; D(f) = R; H(f) = (0; + )f -1: x = 2y log2x = log22y log2x = y . log22 y = log2x
D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R
Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 2x-1 + 4.
14log:
14log4log1
2log14log
2log4log
2442:
)()();;4()()(
);4()(;)(
42:
21
22
22
122
111
11
1
xyf
xyxy
yx
x
xxf
RfDfHfHfD
fHRfD
yf
y
yy
x
xya
aaxaxxyRaRyx loglog;1;;;0
PŘÍKLAD 2: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.
f: y = ex; D(f) = R; H(f) = (0; + )f -1: x = ey logex = logeey ln x = y . ln e y = ln x
D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R
Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = ex+1 – 3.
13ln:
13ln3ln1
ln13ln
ln3ln
33:
)()();;3()()(
);3()(;)(
3:
1
1
111
11
1
xyf
xyxy
eyx
ex
exexf
RfDfHfHfD
fHRfD
eyf
y
yy
x
xy exexxyRyx lnln;;;0
PŘÍKLAD 3: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.
f: y = 2–x =0,5x; D(f) = R; H(f) = (0; + )f -1: x = 0,5y log0,5x = log0,50,5y log0,5x = y . log0,50,5 y = log0,5x
D(f-1) = H(f) = (0; + ); H(f-1) = D(f) = R
Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 0,5x+1 –3.
xya
aaxaxxyRaRyx loglog;1;;;0
13log:
13log3log1
2
1log13log
2
1log3log
2
133
2
1:
)()();;3()()(
);3()(;)(
32
1:
21
1
21
21
21
21
1
21
21
111
11
1
xyf
xyxy
yx
x
xxf
RfDfHfHfD
fHRfD
yf
y
yy
x
ANIMACE – PŘÍKLAD 3: Inverzní funkce k exponenciální (logaritmické) funkci.
13log:32
1:
21
11
xyfyfx
PŘÍKLAD 4: Inverzní funkce k logaritmické (exponenciální) funkci. f: y = log2x; D(f) = (0; + ); H(f) = Rf -1: x = log2y log22x = log2y y = 2x
D(f-1) = H(f) = R; H(f-1) = D(f) = (0; + )
Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = log2(x–2)+1.
xya
aaxaxxyRaRyx loglog;1;;;0
);2()()(
;)()(
)();;2()(
1)2(log:
1
1
2
fDfH
RfHfD
RfHfD
xyf
22:
2222
)2(log2log
)2(log1
1)2(log:
11
11
21
2
2
21
x
xx
x
yf
yy
y
yx
yxf
ANIMACE – PŘÍKLAD 4: Inverzní funkce k logaritmické (exponenciální) funkci.
22:12log: 112 xyfxyf
DERIVACE exponenciální funkce y = ex (nejdříve jedna důležitá limita)
DERIVACE exponenciální funkce y = ex (odvození derivace funkce pomocí definice derivace)
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
1
1limlim
1lim
1
limlim
00
00
/
xx
xx
xx
x
xx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
xxxx
x
ee
xx
ee
xx
ee
xx
ee
e
xx
eee
Při odvození derivace funkce použijeme následující úvahy:x x0 (x – x0) 0; položíme-li h = x – x0 h 0
xx eeRx /
;
Funkce y = ex se derivací nemění!
y = y/ = ex
DERIVACE exponenciální funkce y = ax
Při odvození derivace funkce použijeme následující:1. y = ln x ey = x elnx = x (definice přirozeného logaritmu);2. dosadíme-li v rovnici elnx = x za x = a, dostaneme elna = a (a>0);3. potom platí ax = (elna)x = ex.lna.
y = ax y/ = (ax)/ = (ex lna)/ =
[použitím derivace složené funkce dostaneme]
= ex lna . (x . lna)/ = ex lna . [(x)/ . lna + x . (lna)/ ] =[použití derivace součinu funkcí]
= ex lna . [ lna + 0 ] = ex lna . lna = ax . lna
x R; a R+ – {1};(ax)/ = ax . lna
Dosadíme-li do odvozeného vzorce za a = e, dostaneme:
(ex)/ = ex . lne = ex . 1 = ex.
DERIVACE logaritmické funkce y = logax
Při odvození derivace funkce y = logax použijeme derivaci inverzní funkce
y = logax x = ay
x (0; + ); y R; a R+ {1}
01
0
1)(
yfxf
axaaa
xy yya ln
1
ln
11log /
//
Dosadíme-li za a = e dostaneme:
xeeee
xxy yyye
11
ln
11lnlog /
///
SHRNUTÍ – DERIVACE EXPONENCIÁLNÍCH A LOGARITMICKÝCH FUNKCÍ
xx
xx
ee
aaa
/
/ln
x
x
axxa
1ln
ln1
log
/
/
AUTOTEST – VYPOČÍTEJTE DERIVACE FUNKCÍ:
xxy
xy
ey
xy
y
xx
x
cos3sin5ln.5
45ln.4
.3
log.2
7.1
25
3
2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.