etude math atique et simulation de la dynamique neuronale · 2016. 12. 19. · introduction mod`ele...
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IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Etude mathematique et simulation de la
dynamique neuronale
Kevin Polisano
Encadre par :Arnaud Tonnelier
23 Mai 2012
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 1 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
1 IntroductionObjet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
2 Modele de Hodgkin-HuxleyModelisation physiqueSimulation numerique du modele
3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyElimination de 2 variablesEtude du modele reduit
4 Modeles integre-et-tirePresentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
5 ConclusionBilanPerspectives futures
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 2 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
Sommaire
1 IntroductionObjet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
2 Modele de Hodgkin-Huxley
3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-Huxley
4 Modeles integre-et-tire
5 Conclusion
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 3 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
IntroductionObjet d’etude : le neurone biologique
Bicouche lipedique
Types de canaux
Types d’ions
Echanges transmembranaire
Potentiel de repos aenviron −70 mV
Flux d’ions et polarisation
Potentiel d’action (spike)
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 4 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 5 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
IntroductionDemarche suivie
Plan d’attaque
Presentation du modele de Hodgkin et Huxley
Reduction du modele et etude mathematiques
Modeles integre-et-tire avec un nouveau type de seuil
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 6 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
IntroductionDemarche suivie
Plan d’attaque
Presentation du modele de Hodgkin et Huxley
Reduction du modele et etude mathematiques
Modeles integre-et-tire avec un nouveau type de seuil
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 6 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie
IntroductionDemarche suivie
Plan d’attaque
Presentation du modele de Hodgkin et Huxley
Reduction du modele et etude mathematiques
Modeles integre-et-tire avec un nouveau type de seuil
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 6 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Modelisation physiqueSimulation numerique du modele
Sommaire
1 Introduction
2 Modele de Hodgkin-HuxleyModelisation physiqueSimulation numerique du modele
3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-Huxley
4 Modeles integre-et-tire
5 Conclusion
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 7 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Modelisation physiqueSimulation numerique du modele
Modelisation physiqueEquations de Hodgkin-Huxley
Equation des canaux
Fraction de portesαi (V )−−−−→ Fraction de portes
fermees 1 − pi (t) ←−−−−
βi (V )ouvertes pi (t)
dpidt
= αi (V )(1− pi (t)) − βi (V )pi (t) =p∞(V )−pi (t)
τi (V )
p∞(V ) =αi (V )
αi (V )+βi (V )et τi (V ) = 1
αi (V )+βi (V )
Equation du circuitloi des mailles : IC + INa + IK + IL = 0
loi d’ohm : Ii = gi (V − Ei )
Equations de Hodgkin-Huxley
cMdVdt
= −gNam3h(V − ENa)
−gK n4(V − EK )−gL(V − EL) + Iapp
dndt
= φ[αn(V )(1− n) − βn(V )n]
dmdt
= φ[αm(V )(1− m) − βm(V )m]
dhdt
= φ[αh(V )(1− h) − βh(V )h]
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 8 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Modelisation physiqueSimulation numerique du modele
Stimulation par un echelon de courant de 4 µA
0 50 100−100
−50
0
50
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
potentiel membranaire V
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
n
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
m
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
h
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 9 / 33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Modelisation physiqueSimulation numerique du modele
Stimulation par un echelon de courant de 10 µA
0 50 100−100
−50
0
50
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
potentiel membranaire V
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
n
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
m
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
h
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 10 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Sommaire
1 Introduction
2 Modele de Hodgkin-Huxley
3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyElimination de 2 variablesEtude du modele reduit
4 Modeles integre-et-tire
5 Conclusion
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 11 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Reduction dimensionnelleElimination de 2 variables
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
n+h pour 4uA
n + h ≃ 0.87
−80 −60 −40 −20 0 20 40 600
1
2
3
4
5
6
7
8
9
V (mV)τ
(ms)
Constantes de temps
τm
τn
τh
m(t) ≃ m∞(V (t))
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 12 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Reduction dimensionnelle
Equations du modele reduit
dVdt
= 1CM
[Iapp − Iion(V , n)] ≡ f (V , n)
dndt
= φ(n∞(V )−n)τn(V )
≡ g(V , n)
Iion(V , n) = gCam∞(V − ECa)− gKn(V − EK )− gL(V − EL)
Interets du modele reduit
Representation des variables dans le plan de phase
Interpretations geometriques du comportement neuronal
Etude du systeme dynamique (stabilite, bifurcation, etc)
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 13 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Stimulation par un echelon de courant de 60 mAReponses temporelle et dans le plan de phase
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
potentiel membranaire solution
V3V2VR
−60 −40 −20 0 20 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
V
n
Diagramme de phase
(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullCline
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 14 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Stimulation par un echelon de courant de 100 mAReponses temporelle et dans le plan de phase
0 50 100 150 200 250 300−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
temps (ms)
pote
ntie
l (m
V)
potentiel membranaire solution
V3V2
−60 −40 −20 0 20 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
V
n
Diagramme de phase
(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullCline
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 15 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Analyse theorique du systeme
Etude de stabilite du point fixe
On examine les valeurs propres de la matrice jacobienne :
[
−∂Iion(VR , nR)
∂V/CM −gK (VR − EK )/CM
φn′∞(VR)/τn(VR) −φ/τn(VR)
]
=
[
a b
c d
]
Nature du point fixe
a 6 0 le point fixe est stable
a > 0
si −a/b > −c/d alors le point fixe est instablesinon stable si a+ d < 0 et instable si a+ d > 0
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 16 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Interpretations dans le plan de phase
−60 −40 −20 0 20 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
V
n
Diagramme de phase
(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullCline
Iapp = 60 mA : stable
−60 −40 −20 0 20 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
V
n
Diagramme de phase
(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullCline
Iapp = 100 mA : Instable
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 17 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Interpretations dans le plan de phase
−60 −40 −20 0 20 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
V
n
Diagramme de phase
(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullcline
Iapp = 90 mA : Bistabilite
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 18 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit
Theorie des bifurcations
Bifurcation de Hopf
Stabilite du systeme dynamique dependante de Iapp
Pour Iapp < 94 et Iapp > 212 point fixe stable
Pour Iapp ∈ [94, 212] point fixe instable
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 19 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Sommaire
1 Introduction
2 Modele de Hodgkin-Huxley
3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-Huxley
4 Modeles integre-et-tirePresentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
5 Conclusion
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 20 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Presentation du modele IFFormulation mathematiques
Forme generale d’un modele IF
v = F (v )− w + Iappw = a(bv − w)si v > vseuilalors v ← vresetet w ← w + d
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 21 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Presentation du modele IFSimulation du modele IF d’Izhikevich
Modele d’IzhikevichF (v) = 0.04v2 + 5v + 140, a = 0.02, b = 0.2, vseuil = 30 mV , Iapp = 20
0 20 40 60 80 100 120−80
−60
−40
−20
0
20
40Modele RS (Regular Spiking)
vreset = −65 mV , d = 8
0 20 40 60 80 100 120 140 160−80
−60
−40
−20
0
20
40Model CH (chattering)
vreset = −55 mV , d = 2
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 22 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Introduction d’un nouveau type de seuilDetermination d’une fonction seuil
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 23 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Introduction d’un nouveau type de seuilDetermination d’une fonction seuil
n = 0.0188V + 1.4322
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 24 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Introduction d’un nouveau type de seuilSimulation de HH reduit muni du seuil
0 50 100 150 200 250−80
−60
−40
−20
0
20
40
temps (ms)
V (
mV
)
Modele HH reduit avec et sans seuil soumis a un courant aleatoire
vreset = −75 mV , nreset = 0.7
HH reduit avec seuil affine
dVdt
= f (V , n) + input(V , t)dndt
= g(V , n)si n < 0.0188V + 1.4322alors v ← vresetet n ← nreset
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 25 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Extraction d’un modele IFApproximation des nullclines
Equations approchees
P(V ) = 1, 27.10−3V
2 + 0, 16V + 5, 21
n = 0, 0159V + 1, 343
Probleme : perte d’information !
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 26 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Extraction d’un modele IFApproximation des surfaces
Equations des surfaces approchees
z = f (V , n) ≃L2 z = 3V 2 + 374V + 10552− 1170nz = g(V , n) ≃L2 z = 4.104V + 0, 27− 0, 27n
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 27 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Extraction d’un modele IFProjection des surfaces sur z = 0
Visualisation dans le plan de phase
Probleme : courbes nullcline etpoint fixe incoherents
Solution : minimisation souscontraintes des nullclines
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 28 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil
Discussion : application a des donnees biologiquesChallenge de l’INCF
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 105
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
pote
ntie
l (m
V)
temps (ms)
Reponse d’un neurone biologique soumis a un courant aleatoire
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 29 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
BilanPerspectives futures
Sommaire
1 Introduction
2 Modele de Hodgkin-Huxley
3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-Huxley
4 Modeles integre-et-tire
5 ConclusionBilanPerspectives futures
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 30 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
BilanPerspectives futures
ConclusionBilan
Recapitulation de la demarche
Presentation du modele complet de Hodgkin-Huxley
Reduction du modele a 2 variables
Determination d’un seuil naturel
Introduction de ce seuil dans le modele reduit
Interets du nouveau type seuil
Biologiquement plus plausible
Gain de temps en simulation
Amelioration du pouvoir predictif
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 31 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
BilanPerspectives futures
ConclusionPerspectives futures
Pistes a suivre
◮ Terminer l’extraction du modele IF
◮ Soumettre ce modele aux donnees biologiques duchallenge et analyser statistiquement son pouvoir predictif
◮ Appliquer ce nouveau type de seuil aux modeles dejaexistants et l’etendre aux reseaux de neurones
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 32 /
33
IntroductionModele de Hodgkin-Huxley
Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire
Conclusion
BilanPerspectives futures
Questions ?
Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 33 /
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