estudio de la estabilidad de las fresas de perfil ondulado.dombovari/downloads/2010_proc18... ·...

18 Congreso de Máquinas-Herramienta y Tecnologías de Fabricación10-12 nov 2010

Donostia-San Sebastián

Estudio de la Estabilidad de las Fresas de Perfil Ondulado.

J. Muñoa 1 , Z. Dombovari1,2 , A. Iglesias1 , G. Stepan 2

1IDEKO-IK4, Arriaga Industrialdea, 20870, - Elgoibar2 Departamento de Mecánica Aplicada, Universidad de Tecnología y Economía de Budapest, H-1521,

Budapest – Hungría

RESUMEN

El chatter regenerativo o retemblado es uno de los principales factores que limita la productividad de procesos como el desbaste de piezas monolíticas de aluminio a alta velocidad. El cortar constantemente en condiciones inestable conduce a malos acabados superficiales, roturas de herramienta y una reducción considerable en la vida de los rodamiento de los electrohusillos. La geometría de la herramienta es uno de los factores que tienen una influencia clara en la estabilidad del proceso de fresado, y es por ello que diversas geometrías han sido propuestas en la literatura especializada para eliminar este tipo de vibraciones. En este articulo se estudiá la influencia de las fresas enterizas de perfil ondulado o aserrado que están siendo utilizadas en la industria en proceso de desbaste de aluminio y titanio. En el articulo se demuestra, analizando la fuerzas, que se tratan de fresas muy eficientes desde el punto de vista energético y con interesantes propiedades para evitar vibraciones autoexcitadas. Estas fresas dan lugar a grandes variaciones en la estabilidad variando únicamente el avance por diente.

1. INTRODUCCIÓN

Las vibraciones autoexcitadas o chatter se producen principalmente debido al efecto regenerativo [1][2]. El efecto regenerativo inestabiliza el corte creando acabados superficiales inaceptables, roturas de herramienta y reducción de la vida de diferentes elementos mecánicos. Es posible mejorar la productividad y la calidad superficial mediante la identificación de condiciones de corte estables o mediante el diseño de herramientas de corte y máquinas herramienta de alta rigidez dinámica. Las teorías de estabilidad pioneras de Tlusty[1] y Tobias[2] predicen las velocidades de giro y profundidades de corte libres de chatter modelizando la interacción entre las vibraciones estructurales y las operaciones de corte ortogonal. Tlusty y Tobias modelizaron la dinámica del proceso mediante ecuaciones diferenciales de retardo (DDE) y resolvieron su estabilidad, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

Desde entonces, han habido avances significativos en la resolución de la estabilidad de operaciones de corte más complejas, tanto en el dominio de frecuencia como en el de tiempo. La dinámica del proceso de fresado ha sido modelizada asociando ecuaciones diferenciales de retardo, lineales y no lineales, con parámetros periódicos en el tiempo. De este modo, es

1



posible construir gráficos de estabilidad por medio de modelos de estabilidad lineal basados, tanto en el dominio de frecuencia (solución de orden cero [3], solución de multifrecuencia [4],

[5]) como en el dominio del tiempo (semi-discretización [6], [7], elementos finitos temporales [8]). El efecto de las no linealidades puede ser estudiado más a fondo analíticamente [9], [10] o bien haciendo uso de algoritmos de continuación [11], [12], [13].

En el caso de una fresa convencional, la zona más productiva libre de chatter se obtiene seleccionando una velocidad de giro que coincida con el valor de la principal frecuencia modal estructural dividida entre el número de dientes de la fresa. Las subsiguientes zonas de estabilidad se encuentran al dividir esta velocidad principal entre los números enteros [14]. Si la maquinabilidad obliga a elegir un número entero alto (superior a 5), la fricción entre el flanco de la herramienta y las ondas dejadas sobre la superficie dan lugar a amortiguamiento alto que estabiliza el corte [15],[16]. Sin embargo, en estas condiciones la mejora que se puede obtener de una velocidad a otra se reduce. Las aleaciones resistentes de níquel y titanio se mecanizan a bajas velocidades donde no existen zonas de estabilidad de alta productividad. Por ello, en el desbaste de materiales térmicamente resistentes es común utilizar herramientas de geometría irregular tratando de impedir la regeneración de ondulaciones en las superficies de corte. Como bien recoge la bibliografia, las fresas con perfil ondulado o aserrado poseen propiedades que estabilizan el corte si las ondas talladas en los distintos filos se encuentran desfasadas entre ellas. Merdol et al.[17] presentaron un modelo geométrico e indirectamente analizaron la estabilidad de fresas de perfil ondulado mediante simulaciones en el dominio de tiempo. Los resultados de este análisis fueron empleados por Ferry et al.[18] para la optimización de la velocidad de avance en el contorneado de impellers en cinco ejes. En el presente trabajo, se presenta el modelado completo de la geometría, mecánica y estabilidad dinámica del fresado mediante fresas de perfil ondulado utilizando el método de semi-discretización.

2. MODELADO DE LA FUERZA DE CORTE DE FRESAS DE PERFIL ONDULADO

Las fresas de perfil ondulado o aserrado presentan ondas que pueden ser descritas mediante polinomios cúbicos tal y como se describe en Merdol et al[17]. De este modo, el perfil ondulado se ha modelizado por medio de una función adimensional dependiente de dos parámetros: la amplitud pico a pico y la longitud de onda. La descripción matemática del proceso resulta complicada debido a la geometría de la fresa que provoca continuas salidas de la zona de corte y que la regeneración de viruta no se produzca entre filos consecutivos. Por ello, el primer paso ha sido la obtención analítica del espesor de viruta instantáneo para el caso general de fresado en 3 ejes en función de la geometría y del avance. En todo el trabajo se ha supuesto que el avance f coincide con la dirección (x), tal y como se muestra en la figura 1a.

2



Figura 1. Geometría de una fresa de perfil ondulado o aserrado.

2.1. Modelado del perfil del filo

La ondulación es generada al variar el radio local (Ri) de un filo de corte i definido como

),()( zRRzR ii ∆−=

donde R es el radio del contorno primitivo de la herramienta cilíndrica y z es la coordenada axial medida a partir de la punta de la herramienta. Para considerar cualquier tipo de ondulación o perfil aserrado, se ha descrito la variación del radio ∆ri (z) mediante una función de perfil adimensional ρ.

−=∆

π2)( i

i LzazR ψρ

siendo a la amplitud pico a pico de la onda. El parámetro ψi indica el desfase que posee particularmente el filo i que, en la práctica, es una división uniforme de una revolución expresada como

∑−

==

1

1,p

i

kki ϕψ ,

donde ϕp, k es el ángulo de paso entre dos filos consecutivos (figura 1b).

3



2.2. Retardos regenerativos entre filos ondulados

El perfil ondulado es tallado de forma que el desfase entre filos varía si se considera una misma altura, es decir, los picos y los valles de los distintos filos no están a la misma altura. Esta geometría da lugar a desfases regenerativos irregulares durante el mecanizado que dificultan la aparición de chatter. Obsérvese que los filos no cortan material cuando la carga de viruta es inferior a la amplitud de la ondulación de la arista de corte, lo que duplica o triplica el ángulo de paso efectivo en esa zona en particular. Así, en vez de tener lugar un único desfase, es decir, un único periodo de pasada como en el caso de fresas convencionales, el sistema experimenta múltiples retardos de fase en el tiempo. En esa situación, para una determinada coordenada axial z, la posición angular de los filos i e i+l tiene que ser idéntica:

),,(),( ,1 liii tztz τϕϕ −= +

donde la posición angular del filo i en z se puede definir del siguiente modo:

.)(),(1

1,p∑

−

=−+Ω=

i

kki zttz ηϕϕϕ (1)

Este ángulo ha sido medido en sentido horario tomando como referencia el eje (y) (figura 1ab). Se distinguen tres partes, la debida al propio giro de la herramienta, el aumento debido al paso entre filos consecuencia de la posición relativa del filo i respecto al filo de referencia y, finalmente, el retraso debido a la hélice de la herramienta

,tan)( ηϕ η Rzz =

donde η es el ángulo de hélice de la fresa (figura 1a).

El retardo temporal entre el filo actual i y el anterior que ha producido la marca i+l puede ser expresado como:

.1 1

1mod)( p,, ∑

−

=+Ω

=l

kNkili ϕτ

El retardo es el tiempo que tarda la herramienta en recorrer un ángulo ϕi, l entre los dientes i e i+l a velocidad de giro constante (rad/s) (figura 1Ω b). En el caso de herramientas de perfil ondulado de paso diferencial uniforme pueden darse un máximo de N retardos diferentes, mientras que en el caso de fresas de perfil ondulado de paso no uniforme, el número máximo de retardos es de N – ( N – 1 ).

2.3. Espesor de viruta.

El espesor de viruta se define en este trabajo como la distancia local entre dos superficies consecutivas de corte, medida en la dirección del vector normal local del filo ni(z). La geometría de viruta i cortada por los filos i e i+l se define como

4



,)(),(,,, ztzh ililig nr≈ (2)

cuyo valor no tiene porqué ser positivo y, en cualquier caso, no es una representación real del espesor de viruta. El movimiento local relativo entre los filos i e i+l en la misma posición angular (figura 1b) viene definido por,

.0

),(cos))()((),(),(sin))()((

)(),(),(),(,

,,,

−

+−+∆=−−= +

+

+ tzzRzRtzftzzRzR

ttztztz ilii

liilii

lililiili ϕϕ

τ rrrr

Donde ri(z, t) y ri+l(z, t –τi,l) son los vectores que sitúan la punta de cada filo en el sistema de coordenadas absoluto a una altura z determinada, mientras que fi,l (z, t) es el correspondiente movimiento de avance durante τi,l. La regeneración entre los filos i e i+l puede ser expresada como

.)()()( ,, lili ttt τ−−=∆ rrr

Nótese, cómo el movimiento relativo del centro de la herramienta ha sido representado en un sistema de coordenadas cartesiano como r(t)=(x(t), y(t), z(t))T. El vector normal al filo i en z viene definido como

.)(cos

),(cos)(sin),(sin)(sin

)(

−=

ztzztzz

z

i

ii

ii

i

κϕκϕκ

n

El ángulo de posición puede ser expresado mediante la derivada espacial del radio,

.d

)(d))(cot(

zzR

z ii =κ

El espesor de viruta geométrico efectivo es el espesor de viruta geométrico mínimo considerando todos los espesores de viruta arrancados por cada uno de los filos anteriores [19],

.),(min);,(:),( ,,g1

,,g,g tzhtzhtzh liN

lieeiie

=== τ (3)

Debido a que el número de salidas de la zona de corte varía en función de z y del filo del que se trate, es posible simplificar las expresiones del índice efectivo y el retardo efectivo

.),(:y),(: , tztzee ieiiei ττ ==

El espesor de viruta del filo i a una altura z puede expresarse como

,),(),(),(:),( ,g tzhtzgtzhtzh ieiiei ==

donde la función de conmutación

),(),(),( ,,ri tzgtzgtzg ihii =

5



es producto de la multiplicación de dos funciones diferentes. La primera relacionada con la inmersión radial,

<<

=casos, demás losen ,0

,)π2mod),((,1),( exen

,riϕϕϕ tz

tzg ii

y con el efecto de la salida de la zona de corte debida al perfil sinusoidal.

>

=.casos demás losen ,0

,0),(,1),( ,g

,tzh

tzg ieih (4)

Los ángulos de entrada (ϕen) y de salida (ϕex) se han medido en sentido horario a partir del eje y (1).

2.4. Fuerza de corte.

A la hora de calcular la fuerza de corte generada con fresas de geometría compleja se opta por discretizar la fresa en discos infinitesimales. En cada disco se ha definido la fuerza de corte por unidad de profundidad axial (figura 2a) según un sistema de coordenadas locales (tra):

,)),((:),(, tzhtz iitra ff −=

donde f(h) representa el vector de fuerzas de corte en las direcciones tangencial (t), radial (r) y axial (a) y puede ser considerado, bien como una función lineal o bien como una función no lineal del espesor de viruta. La fuerza de corte tiene dos componentes, una debida a la mecánica de corte y, la otra, debida al rozamiento de filo,

,),,,(),()( rcre hnhnh ηαα KKf +=T

e,e,e,e ][ art KKK=K y Tc,c,c,c ][ art KKK=K (5)

siendo Ke(N/m) y Kc(N/m2) los coeficientes de rozamiento de filo y de corte[20]. Proyectando las fuerzas de corte específicas en los ejes cartesianos (xyz):

,),(),(),(),( , tztztzgtz itraiii fTf =

donde la matriz de transformación entre coordenadas (tra) y (xyz) tiene la siguiente forma

−−=

ii

iiiii

iiiii

i tzκκ

κϕκϕϕκϕκϕϕ

sincos0coscossincossincossinsinsincos

),(T

siendo ϕi:=ϕi(z, t) y κi:=κi(z, t).

Se han calculado las fuerzas de corte diferenciales a lo largo de la longitud del filo de corte y se ha realizado el sumatorio de todas ellas a fin de obtener la fuerza de corte resultante que actúa sobre la fresa (figura 2b),

6



Figura 2. Discretización de la fresa ondulada y cálculo de la fuerza de corte.

,d)),(())(,(1

∑ ∫=

=N

i i

iiit tztσ

σσθ frF

donde σi es la coordenada que define la longitud de arco de la arista de corte del filo i (figura 2b), y rt (θ ) =r(t+θ ) es la función[21] que representa que la fuerza F depende de la regeneración de la posición de la herramienta con múltiples retardos constantes, de ahí que θ∈[−Τmax , 0]. Expresando la fuerza de corte en función de la profundidad axial de corte

.d)(sincos

),())(,(

1

p

0∑ ∫

==

N

i

a

i

it z

ztz

tκη

θf

rF (6)

De este modo, se obtiene una aproximación numérica de la fuerza de fresado, resultante del sumatorio de fuerzas de corte en una serie de puntos discretos ubicados a lo largo del eje z.

3. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DEL MODELO DE FUERZA

Antes de incorporar los modelos de espesor de viruta y de fuerzas de corte en el modelo de estabilidad, se ha procedido a validar experimentalmente el modelo mediante pruebas de corte estables realizadas sobre una placa dinamométrica.

Debido a que la distribución del espesor de viruta es extremadamente irregular a lo largo de las aristas de corte de todos los filos, es muy complicado trabajar con coeficientes de corte obtenidos mediante métodos experimentales inversos de identificación. Para superar esta limitación, los coeficientes de fuerzas de corte han sido obtenidos mediante un modelo de transformación de parámetros caracterizados en corte ortogonal a corte oblicuo [20].

Siguiendo esta aproximación, los parámetros de corte ortogonal del material de trabajo AL7075-T6 dependen del tamaño de viruta h (mm), de la velocidad de corte vc (m/min) y del ángulo de incidencia αr (º), los cuales se definen como

7



)MPa(05.105.297 rs ατ +=

)º(3.00049.067.3620.24 rcc αφ +++= vh

)º(2561.00076.07.679.18 rcr αβ +−+= vh

(7)

donde τs , φc y βr son la tensión de cizalladura, el ángulo de cizalladura y el ángulo de fricción respectivamente. De igual manera, el vector de coeficientes de rozamiento de filo es

)mm/N(0

51.00011.016.3526.00014.041.23

2rc

rc

e

−−−−

= αα

vv

K

Siguiendo la expresiones de Armarego[20] , es posible obtener el valor de de los coeficientes de corte para cada disco diferencial teniendo en cuenta el espesor de viruta y ángulo de desprendimiento específico de cada disco.

A modo de ejemplo, en la figura 2b se muestran los resultados de las simulaciones de corte realizadas en condiciones estables. En la figura, se presentan las componentes tangencial, radial y axial de la fuerza de corte, tanto de fresas de perfil ondulado como de fresas convencionales. Las fresas convencionales generan fuerzas de corte periódicas y uniformes, mientras que la fuerzas generadas por las fresas de perfil ondulado tienen una amplitud no uniforme variable en cada pasada debido a la distribución irregular de la carga de viruta a lo largo del filo. Sin embargo, las fresas de perfil ondulado presentan una respuesta periódica cuyo periodo es la velocidad de rotación del husillo tal y como se puede observar en la figura 2b (ver 1-2-3-4). La causa de que la respuesta sea una función periódica del giro son los cambios de fase ψi que tienen lugar debido a que las zonas de corte de la herramienta son diferentes en cada filo.

A pesar de que las fresas de perfil ondulado y las convencionales extraen la misma cantidad de material en una revolución del husillo, la fuerza media de corte, el par y la potencia consumida en este último caso es menor. Esto se debe al efecto tamaño en relación al espesor de viruta. Para explicar este fenómeno, hay que tener en cuenta que cuanto más grande es el espesor de viruta, menor es la fuerza específica o el coeficiente de corte, con lo que en términos relativos se requiere menos fuerza para el mismo área de viruta. La clave de las fresas de perfil ondulado es que permiten que el mismo material se arranque con espesores de viruta mayores, con lo que se reducen la energía consumida para ello. Sin embargo, los filos de corte pueden desgastarse más rápido que en el caso de fresas convencionales debido a que el espesor de viruta es mayor.

Las pruebas de corte se han llevado a cabo en una fresadora horizontal de 3 ejes, y la pieza de trabajo utilizada a fin de validar el modelo en una amplio rango de velocidades de rotación y profundidades de pasada ha sido AL7075-T6. El modelo matemático planteado es, sin embargo, válido para cualquier metal a mecanizar. Se montó una herramienta de carburo (Herramienta 1 en la tabla 1) en un portaherramientas térmico tratando de reducir la excentricidad. En las pruebas, se midieron mediante una placa dinamométrica las tres componentes espaciales de la fuerza de corte Fx, Fy y Fz..

8



Figura 3. Correlación teórico-experimental de la fuerza de corte con fresas onduladas . Las líneas continuas gruesas y finas indican respectivamente la fuerza simulada y medida, mientras que la discontinua es la fuerza teórica que generaría un fresa convencional de iguales características.

(ap=3mm, n=5000rpm, 50% de empañamiento en concordancia).

En la figura 3abc se pueden comparar uno de los resultados obtenidos en tres ensayos experimentales con los resultados obtenidos mediante simulaciones, tanto en fresas de perfil ondulado como en fresas convencionales, para diferentes avances.

Nombre Referencia N D(mm) η(º) a(mm) L(mm)

Herramienta 1 MITSUBISHI VCSFPRD1600416 4 16 20 0.38 1.8

Herramienta 2 MITSUBISHI AMMRD2000 3 20 37.5 0.67 3.25

Tabla 1. Herramientas de perfil ondulado utilizadas en la verificaciones experimentales

Un parámetro muy importante de entender el comportamiento de las fresas de perfil aserrado o ondulado es el avance por diente normalizado respecto a la amplitud pico a pico:

.t

Naf

af

==ε

9



El avance adimensional indica como afecta el incremento del avance a la amplitudε de las fuerzas de corte. En las gráficas se han representado las respuestas experimentales (línea fina) y las predicciones (línea gruesa), y como se puede observar, ambas son similares excepto en la dirección z debido a que el modelo no tiene en cuenta los filos secundarios y que en las pruebas de corte ortogonal no se pueden obtener coeficientes de rozamiento de filo en dirección axial. La línea discontinua marca la fuerza teórica que tendría una fresa convencional equivalente trabajando en las mismas condiciones.

Utilizando este modelo de fuerza, se ha calculado el par medio para diferentes avances adimensionales. En la figura 3d, se han representado el par predicho (curva gruesa) y el par requerido por una herramienta convencional equivalente (línea discontinua). Estas características del par implican claramente que las fresas de perfil ondulado necesitan un par motor menor para extraer la misma cantidad de material y con una velocidad de avance menor que su equivalente convencional. Sin embargo, a grandes avances adimensionales ( ~1),ε ese efecto se desvanece y la fresa se comporta como una fresa convencional. En la figura 3d, 'o' representa el par motor medio resultante del cálculo de las medidas de fuerza. Por lo tanto, se concluye que los avances por diente a utilizar tienen que ser menores que la amplitud de la ondulación del perfil de la fresa, si se quiere obtener una reducción en la fuerza y par necesario para cortar un material.

4. ESTABILIDAD DE LAS FRESAS DE PERFIL ONDULADO

El modelo de fuerza ha sido aplicado en el análisis de chatter de fresas de perfil ondulado. La dinámica del proceso para el caso de fresas de perfil ondulado se ha modelizado mediante una serie de ecuaciones diferenciales definidas en el espacio modal. La estabilidad lineal del proceso ha sido analizada mediante un método de semi-discretización (SD). Además, se ha estudiado la influencia de la avance en la estabilidad del proceso.

4.1. Dinámica del proceso.

Las vibraciones de la herramienta se han descrito por medio de coordenadas modales q=(q1, q2, ..., qn)T y vectores modales Pk, k =1,2,...., n. La matriz modal Pk=[ P1, P2, ... , Pn] se ha normalizado considerando la masa modal mk

),(diag kcPU =

donde los elementos de la diagonal son ck=(mk PkTPk) –1/2.

La fuerza de corte en la herramienta ha sido definida por medio de coordenadas cartesianas, por lo que se utiliza la matriz correspondiente para transformarla a coordenadas modales r(t) = Uq(t) Finalmente, la dinámica del sistema puede ser representada en el espacio modal del siguiente modo:

,))(,()(][)(]2[)( T2,n,n θωωξ tkkk tttt qUFUqqq =++ (11)

10



donde ]2[ ,n kk ωξ y ][ 2,n kω son matrices diagonales que contienen las frecuencias naturales y

los amortiguamientos relativos obtenidos experimentales para cada uno de los modos considerados. La transpuesta de la matriz de transformación modal normalizada U proyecta la fuerza de corte a las coordenadas modales q. La fuerza de corte está sujeta al efecto regenerativo de viruta se puede expresar mediante qt(θ )=q( t+θ ), θ ∈[−Τmax , 0], y representa todos los términos regenerativos, incluso las salidas de corte anteriormente definidas mediante (3) y (6). La solución de las principales ecuaciones diferenciales de retardo (11) puede dividirse en dos términos

),()()( p ttt uqq += (12)

donde la solución estacionaria qp(t)=q( t+Τ ) es una función periódica cuyo periodo es el del giro del husillo T=2π/Ω y su perturbación u(t), teóricamente pequeña, que está directamente relacionada con el fenómeno de chatter. El sistema variacional puede ser obtenido por linealización de la fuerza de corte:

,))()(()()())(,(1

p ∑=

−−+≈τ

τθN

jjjt ttttt uuHUFqUF (13)

Fp(t) y Hj (t) son funciones periódicas (de periodo T ) obtenidas reescribiendo (6) con múltiples retardos finitos constantes Fj(t), j=1, 2, ..., Nτ :

)),(,()( pp ttt qFF =

)).(,()(

)( pT tt

tt

jj q

qFUH

τ−∂∂

=

(14)

Si el modelo de fuerzas es lineal no es necesario calcular la solución periódica qp , ya que ninguna de las derivadas en (14) dependerá de las coordenadas modales q. Si, por el contrario, el modelo de fuerzas no es lineal, se determinará qp mediante un problema no lineal de valores límite [11], [12] de gran costo computacional. Debido a que el modelo de fuerzas de corte depende del espesor de viruta h como puede observarse en (7), han sido calculados los

valores promedio de los coeficientes de corte cK para un periodo de husillo T. De este modo,

se ha logrado linealizar el sistema dinámico resultante de fuerzas de corte

.),,,(),()( rce hnhnh r ηαα KKf += (15)

Sustituyendo (13) y (12) en (11) se obtiene el siguiente sistema variacional:

,)()()(][)(]2[)(1

2,n,n ∑

=−=++

ττωωξ

N

jjjkkk ttttt uHuuu (16)

donde

11



.)()(1

∑=

=τN

jj tt HH

La estabilidad de las ecuación diferencial lineal con retardo lineal (16) es equivalente a la estabilidad de la respuesta periódica estacionaria qp(t).

4.2. Análisis de estabilidad mediante métodos de semi-discretización

En este caso, las soluciones en el dominio de la frecuencia no son apropiadas, ya que las características fundamentales del problema varían con la con profundidad de corte [3], [4], [5]. En este trabajo se ha aplicado la técnica de semi-discretización a la hora de obtener la estabilidad de fresas de perfil ondulado. Esta técnica se adapta bien a la variabilidad con la profundidad de corte, considera que los parámetros son periódicos y que tienen lugar múltiples retardos.

En este artículo no se van a describir todos los detalles del modelo de semi-discretización. El método ha sido descrito de modo completo en diferente trabajos de la bibliografia[7]

. Tan sólo se describirán las particularidades relacionadas con un filo de perfil ondulado o aserrado. Grosso modo, se puede decir que el método de la semi-discretización discretiza la zona de corte en un número de puntos en los que se considera su estado. Combinado con el teorema de Floquet, el método consigue relacionar el estado presente )(θty con el estado anterior

)(θTt +y mediante la matriz de transición Φ. Los valores propios de esta matriz también llamados multiplicadores lµ son capaces de describir directamente la estabilidad. Si el valor de todos estos multiplicadores es menor que uno, el corte permanece estable, mientras que en caso contrario el chatter hace acto de presencia.

ιι zz Φ=+ r , 012r1r ... BBBB −−= Φ

En el método de semidicretización se estudia directamente la matriz de transición Φ para cada condición y se estudian sus multiplicadores. Se puede decir que se estudia directamente la estabilidad sin obtener los niveles de vibración. La obtención de los diagramas de estabilidad exige que se realice un barrido en el dominio de interés punto por punto.

Centrándonos en la aplicación del método de semidiscretización con fresas de perfil ondulado, la forma original (3) del espesor de viruta actual no es válida para determinar las salidas de corte que tienen lugar debido a la ondulación de la fresa. En este caso, en vez de el espesor de viruta geométrico hg,i,l(z,t), es posible definir el espesor de viruta únicamente mediante su componente estática, que tiene la siguiente forma (ver (2)):

),(sin)(sin),()(sin))()((),( ,.,gst, tzztzfzzRzRtzh iiliiliili ϕκκ +−= +

y el índice efectivo puede determinarse como

12



),(min);,( ,gst,1,gst, tzhtzh liN

lieei ==τ (20)

necesario para predeterminar las diferentes componentes de la fuerza resultante (6) de acuerdo con los retardos τj que tienen lugar en el modelo dinámico de las fresas de perfil ondulado. Las partes de salida de corte de la función de interrupción gh,i en (4) tiene que ser modificada de forma similar a (20).

Figura 4. Esquema semi-discretización.

4.3. Efecto del avance en la estabilidad

En la figura 5 se ha representado una serie de gráficas de estabilidad, tanto de una fresa convencional como de una fresa con perfil ondulado para 6 velocidades de avance diferentes. La herramienta utilizada consta de N=3 filos helicoidales y sus parámetros geométricos se muestran en la tabla 1 (herramienta 2). Los parámetros dinámicos del conjunto herramienta/portaherramientas/husillo han sido calculados experimentalmente ( ver tabla 2). Las gráficas de estabilidad correspondientes a la fresa de tres filos de perfil ondulado (línea gruesa) han sido comparadas con las correspondientes a fresas equivalentes convencionales de tres y un filo (líneas fina y discontinua, respectivamente).

La operación puede ser caracterizada mediante un número no entero de filos equivalentes:

1+−= eNÑ . (21)

Se ha calculado el número de salidas de corte medio en un periodo de tiempo T a lo largo de las aristas de corte como,

13



,d),(11

1∑ ∫

==

N

i i

ii

tzeN

eµ

µµ

donde

)0),(|],0[],0[),((: p >×∈= tzgTatz ii µµ

es una medida definida sobre una superficie espacial teórica desarrollada según la dirección axial de la herramienta y en un periodo de tiempo durante el cual las aristas están cortando.

Figura 5. Estabilidad de la herramienta 2 de perfil ondulado (linea continua gruesa) frente a la una fresa convencional de un filo (línea discontinua) y de tres dientes (linea fina continua) para diferentes

avances. Se recoge el avance adimensional ( ε ) y el número equivalente de filos en corte (Ñ).

Globalmente, al aumentar la velocidad de avance el límite de estabilidad mínimo desciende, y la estabilidad del sistema se aproxima a la estabilidad de una fresa convencional de tres filos. El número de filos equivalente se obtiene mediante (21) [20].

5. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DEL MODELO DE ESTABILIDAD

Se ha validado experimentalmente el modelo de estabilidad propuesto para el caso de mecanizado de una pieza de trabajo de material AL7075-T6 para un amplio rango de condiciones por medio de una herramienta de 3 filos sin recubrimiento (herramienta 2, tabla

14



1). La herramienta se montó mediante un portaherramientas térmico con un voladizo considerable (L0=105 mm). Las funciones de respuesta en frecuencia (FRF) medidas estaban sujetas a ajustes mediante métodos polinomiales de fracciones racionales. En la tabla 2 se muestran los parámetros modales medidos.

k kf ,n (Hz) kξ (%) kk (N/µm) TkP

1 668 3.9 18.2 (1,0,0)

2 995 3.4 12.8 (1,0,0)

3 640 6.4 11.7 (0,1,0)

4 923 2.4 19.6 (0,1,0)

Tabla 2. Datos experimentales herramienta 2.

Las pruebas de corte se han llevado a cabo en una fresadora horizontal con una cantidad mínima de lubricante (MQL) a fin de evitar la acumulación de material en los filos de la herramienta. Además, se han realizado pruebas de corte a tres velocidades de avance diferentes (0.1, 0.2, 0.3 mm/diente) con el objetivo de estudiar como afecta la velocidad de avance a la estabilidad. La distancia recorrida en cada caso corresponde a 500 rpm, de modo que la longitud mecanizada en cada caso será diferente, tal y como se muestra en la figura 6. Inicialmente, se realizaron pruebas con una profundidad de pasada a p inferior al límite de estabilidad esperado (figura 5) y , a continuación, se fue incrementando paso a paso la profundidad de pasada hasta alcanzar el límite de chatter. Durante la realización de las pruebas se midieron el nivel de ruido y la aceleración en el husillo tanto en la dirección de avance como en la dirección normal.

El fenómeno de chatter fue identificado, por una parte, debido al incremento de los picos característicos en ambos espectros (ver figura 6), el de aceleración y el de nivel de ruido, y por otra parte, debido a las marcas de chatter observadas en la superficie de la pieza de trabajo (ver figura 6).

En general, la correlación entre la experimentación y el modelo teórico presenta diferencias apreciables especialmente a la mayor velocidad. A pesar de todo, la tendencia natural es bien recogida especialmente a velocidades bajas. Hay que tener en cuenta que el modelo se basa en numerosas linealizaciones.

En las figuras 6abc se muestran las frecuencias de chatter en Hz a diferentes velocidades de corte. Dichas frecuencias son similares a las frecuencias de los modos medidas experimentalmente (ver tabla 2).

Tal y como se puede observar en la figura 6, a bajas velocidades de avance, las fresas de perfil ondulado tienen un comportamiento similar a las fresas convencionales de un solo filo (la línea fina y la discontinua prácticamente coinciden). Al incrementar la velocidad de avance, sin embargo, los límites de estabilidad de la fresa de perfil ondulado de tres filos se aproximan gradualmente a los límites de estabilidad de las fresas convencionales de tres filos (figura 6). Cuanto mayor sea la velocidad de avance de la herramienta, más aristas de corte

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participarán, y el efecto de salida de corte disminuirá. Es decir, la herramienta de perfil ondulado empezará a comportarse como una fresa convencional.

Figura 6. Verificación experimental realizada con tres avance diferentes. Se recogen los espectros de vibraciones y los acabados superficiales de las pruebas indicadas con la flecha.

Las pruebas de corte realizadas confirman que con los perfiles ondulados y aserrados permiten una mayor estabilidad siempre que el avance relativo sea pequeño. Con estas fresas es posible regular la estabilidad del proceso cambiando el avance relativo.

6. CONCLUSIONES

En este documento se han estudiado la mecánica, dinámica y estabilidad de la fresas de perfil ondulado o aserrado. Los filos de perfil ondulado provocan cambios de fase en cada arista de corte, lo que da lugar a generación de viruta de geometría no uniforme, tanto a lo largo de un filo como entre los diferentes filos de los que consta la herramienta. Este proceso es un proceso periódico con la velocidad de giro. El tiempo de retardo puede variar de punto a punto de la arista de corte debido a la geometría ondulada de ésta, la amplitud de las ondas generadas y la velocidad de avance. Debido a estos factores, la dinámica del proceso ha sido modelizada mediante una serie de ecuaciones diferenciales con múltiples retardos y parámetros periódicos en el tiempo. La estabilidad del sistema ha sido estudiada mediante el método de la semi-discretización.

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Además, se ha demostrado que cuando el espesor de viruta es menor que la amplitud de las ondas generadas en el corte, parte de los filos pierden el contacto con el material a mecanizar. Como resultado, el número de retardos aumenta, la regeneración de ondas se atenúa y los límites de estabilidad aumentan. Al aumentar la velocidad de avance, por el contrario, el material en contacto con los filos de perfil aserrado aumenta, los límites de estabilidad disminuyen y el proceso se vuelve semejante al proceso de mecanizado mediante fresas convencionales. Como regla aproximada, la estabilidad de las fresas de perfil sinusoidal puede ser N veces mayor que la estabilidad de una fresa convencional, siendo N el número de dientes, siempre que el avance sea menor que la amplitud de las ondas generadas. Este efecto es contrario al causado por las fuerzas de corte características en fresado convencional, donde a velocidades bajas de avance el proceso tiende a desestabilizarse debido a que los coeficientes de corte son más altos. Las fresas de perfil ondulado, a bajas velocidades de avance, se comportan de modo similar a las fresas convencionales de un solo filo, es decir, los ángulos de paso no uniformes no afectan a la estabilidad. A la hora de seleccionar una velocidad de avance productiva y eficiente para el caso de desbaste de aleaciones de difícil mecanizado mediante fresas de perfil ondulado, se deben tener en cuenta otros factores como son los posibles fallos y los desgastes de arista debidos a grandes cargas de viruta.

Finalmente, hay que decir que la combinación de la transformación ortogonal oblicuo con el método de semi-discretización permite simular la mecánica y la dinámica de fresas de geometría muy compleja y condiciones variables a lo largo del eje axial de la fresa.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido parcialmente realizado dentro del proyecto OPENAER financiado por el CDTI a través de sus convocatorias CENIT. Los autores agradecen también a la fundación de investigación científica húngara y al programa intergubernamental hispano-húngaro de cooperación científico-técnica por el apoyo recibido. Finalmente agradecer al profesor Yusuf Altintas y a la Universidad de British Columbia por la colaboración prestada.

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