estudio de dificultades y errores en estudiantes de...
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ESTUDIO DE DIFICULTADES Y ERRORES EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS
NUBIA PAOLA VEGA VARGAS
YEISON ANDRÉS GUERRERO OSORIO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C., MAYO 2016
ESTUDIO DE DIFICULTADES Y ERRORES EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO
EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS
NUBIA PAOLA VEGA VARGAS
Código. 20112145003
YEISON ANDRÉS GUERRERO OSORIO
Código 20112145036
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar por el título de
Licenciado(a) en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas
Director: JOSÉ TORRES DUARTE
Magister en Docencia
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C., MAYO 2016
Nota de aceptación
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Firma del director José Torres Duarte
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Firma del evaluador Edwin Alfredo Carranza
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Agradecimientos
Agradecemos a nuestros padres por creer en nosotros y ofrecernos su incondicional apoyo en
el transcurso de nuestra carrera universitaria.
Agradecemos a nuestro director de trabajo de grado José Torres por su gran colaboración y
apoyo a lo largo de la realización de este trabajo.
Dedicatoria
Este trabajo está dedicado a todas las personas que nos ayudaron a crecer como personas y
docentes en este largo camino. Especialmente a nuestros padres, y amigos que siempre nos
apoyaron en el transcurso de nuestra vida universitaria.
Resumen
El presente trabajo de grado se desarrolló con el fin de identificar y clasificar los errores y
dificultades trigonométricas que presentan los estudiantes de grado décimo, específicamente
abordando situaciones problema de resolución de triángulos, utilizando una metodología de
análisis cualitativa, transitando por las fases de investigación, identificación del problema,
diseño, validación, aplicación, recolección y análisis de resultados, base para la categorización
y posterior análisis de los errores y dificultades encontrados.
Para el análisis de los resultados se utilizó uno de los organizadores curriculares que plantea
Socas (1997) Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la
educación secundaria, el cual nos permitió identificar el origen dichos errores, plantear nuevas
categorías y finalmente concluir cuales son los principales errores y dificultades que presentan
los estudiantes al resolver problemas de este tipo.
Palabras clave
Dificultad, error, situación problema, resolución de problemas, resolución de triángulos.
Contenido
INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 9
PROBLEMA ............................................................................................................................. 10
OBJETIVOS .............................................................................................................................. 11
General ................................................................................................................................... 11
Específicos ............................................................................................................................. 11
JUSTIFICACIÓN ...................................................................................................................... 12
MARCO TEÓRICO .................................................................................................................. 13
Dificultades ............................................................................................................................ 13
Errores .................................................................................................................................... 14
Resolución de problemas ....................................................................................................... 15
Relación entre dificultades y errores ..................................................................................... 16
Relación resolución de problemas dificultades y errores ...................................................... 17
Teorema de Pitágoras ............................................................................................................. 19
Semejanza de triángulos ........................................................................................................ 20
Teorema del seno y el coseno ................................................................................................ 21
METODOLOGÍA ...................................................................................................................... 22
Metodología de investigación ................................................................................................ 22
Fases de la investigación ........................................................................................................ 23
Cronograma ........................................................................................................................... 24
Diseño de la Prueba. .............................................................................................................. 24
Validación de la prueba ......................................................................................................... 30
Aplicación de la prueba ......................................................................................................... 31
ANÁLISIS ................................................................................................................................. 31
Categorías de análisis ............................................................................................................. 31
Recolección y análisis de resultados ...................................................................................... 34
CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 71
Bibliografía ................................................................................................................................ 74
Anexos ....................................................................................................................................... 74
Lista de Tablas
Tabla 1 Relación de resolución de problemas Schoenfeld (1992) con dificultades. ................. 19
Tabla 2 Cronograma de actividades. ......................................................................................... 24
Tabla 3 Ejemplos de categoría A1. ............................................................................................ 32
Tabla 4 Ejemplos de la categoria A2 ......................................................................................... 32
Tabla 5 Nomenclatura de evidencias. ........................................................................................ 34
Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A ...................................................................... 43
Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A...................................................... 44
Tabla 8 Errores relacionados con la dificultad B ...................................................................... 57
Tabla 9 clasificación de errores asociados a la dificultad B ...................................................... 58
Tabla 10 Emociones pregunta 1 entrevista ................................................................................ 61
Tabla 11 Emociones pregunta 2 entrevista ................................................................................ 62
Tabla 12 Emociones pregunta 3 entrevista ................................................................................ 63
Tabla 13 Emociones pregunta 4 entrevista ................................................................................ 65
Tabla 14 Emociones pregunta 5 entrevista ................................................................................ 65
Tabla 15 Emociones pregunta 6 entrevista ................................................................................ 66
Tabla 16 Emociones pregunta 1 encuesta.................................................................................. 66
Tabla 17Emociones pregunta 2 encuesta................................................................................... 67
Tabla 18 Emociones pregunta 3 encuesta.................................................................................. 67
Tabla 19 Emociones pregunta 4 encuesta.................................................................................. 68
Tabla 20 Emociones pregunta 5 encuesta.................................................................................. 69
Tabla 21 Emociones pregunta 6 encuesta.................................................................................. 69
Tabla 22 clasificación de errores asociados a la dificultad C .................................................... 70
Lista de Ilustraciones
Ilustración 1Relación entre dificultades y errores ..................................................................... 17
Ilustración 2 Autores de resolución de problemas y sus fases .................................................. 18
9
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de grado busca profundizar en el estudio de dificultades y errores que
se pueden presentar en trigonometría, específicamente al tratar de resolver problemas en los que
se hagan necesarios encontrar alguno o algunos elementos de triángulos. Esta idea nace de una
práctica de aula desarrollada en una institución educativa de Bogotá, donde al abordar este tema
y tratar de hacer su posterior análisis se identificó la poca documentación existente respecto a
los errores y dificultades que los estudiantes pueden tener al resolver problemas en los cuales
tengan que hacer uso de la trigonometría.
Se proponen unas posibles categorías de análisis basado en Socas (1997) las cuales son:
dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, asociadas a los procesos de
pensamiento matemático y asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. que buscan
identificar el origen de las dificultades y errores que se dan en la resolución de problemas
trigonométricos, se considera que en el marco de la educación matemática actual no tiene
sentido realizar un análisis de errores y dificultades aislando la resolución de problemas, sino
que al contrario es fundamental realizar el análisis en contextos problémicos, partiendo de esta
idea se realiza el diseño de tres pruebas diferentes que abarcan la semejanza de triángulos, el
teorema de Pitágoras y el teorema del Seno y del Coseno, conceptos fundamentales para la
resolución de cualquier tipo de triángulo.
En el presente documento reportaremos desde el planteamiento del problema asociado a
los errores encontrados al abordar problemas de resolución de triángulos, como también la
justificación del desarrollo del trabajo y unos objetivos que marcaron el rumbo del presente
trabajo
Este trabajo se sustenta con un marco teórico donde se reflejan los aspectos más
importantes como los errores y dificultades en la matemática, pero también referentes teóricos
que definen algunos conceptos matemáticos que se involucran en las situaciones problema,
además se presenta el diseño metodológico por fases mostramos las pruebas realizadas,
categorías de análisis y una relación entre los errores evidenciados y la teoría que los sustenta,
finalmente se plantea un análisis general de los datos y las conclusiones a las que se llegaron
con el desarrollo de la presente monografía.
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PROBLEMA
Como docentes en formación y futuros docentes investigadores, es de gran importancia
tener las bases necesarias para analizar los resultados obtenidos antes y después de realizar
actividades didácticas en clase, lo ideal sería apoyarse en la teoría existente para identificar y
clasificar, por ejemplo, los errores y dificultades que presentan los estudiantes al abordar un
problema a partir de la metodología resolución de problemas, posteriormente realizar una
planeación y diseño de actividades que potencialicen los conocimientos de los estudiantes y
ayuden a superar estos errores y dificultades.
Con esta idea el problema a tratar en la presente monografía nació en una de las prácticas
intermedias del proyecto curricular LEBEM, ya que a lo largo de la carrera hemos observado
que un aspecto importante para cualquier profesor no solo es diseñar actividades de enseñanza
aprendizaje, sino también reflexionar sobre los resultados obtenidos al aplicar estas mismas, en
la práctica intermedia III (énfasis de gestión en el aula) del periodo 2014-1, desarrollada en
grado décimo del colegio OEA, se asignó el trabajo con resolución de triángulos, para abordarlo
se utilizaron las metodologías de situaciones didácticas de Brousseau y resolución de problemas,
pero al intentar, realizar el análisis de los resultados obtenidos específicamente al buscar teoría
que sustente los errores y las dificultades que presentan los estudiantes al abordar este tema, nos
encontramos con un gran vacío: la poca y limitada información de la clasificación de los errores
y dificultades cuando hablamos de trigonometría.
Por esta razón, la idea de este trabajo se centró en poder aplicar actividades y situaciones
problema que involucren el tema de resolución de triángulos como tema fundamental de la
trigonometría en grado décimo y poder desarrollar una clasificación y análisis de dichos errores
y dificultades que presentan los estudiantes al abordar este tipo de problemas matemáticos. De
aquí se generó la pregunta:
¿Cuáles son los errores y dificultades (E-D) que presentan los estudiantes en el abordaje
y resolución de situaciones problema que involucren la resolución de triángulos en grado
décimo?
11
OBJETIVOS
General
Realizar una clasificación y análisis de los E-D que presentan los estudiantes de grado
décimo al trabajar problemas de resolución de triángulos a partir de la metodología resolución
de problemas.
Específicos
● Diseñar un instrumento para identificar y clasificar los E-D presentes al abordar la
resolución de triángulos.
● Realizar una clasificación de los E-D encontrados en el desarrollo del instrumento.
● Analizar el origen de los E-D presentes en procesos de enseñanza aprendizaje de
resolución de triángulos.
12
JUSTIFICACIÓN
La identificación y clasificación de los errores y dificultades (E-D) que presentan los
estudiantes ante determinado objeto matemático, es fundamental para cualquier profesor al
realizar las planeaciones de sus prácticas, ya que estas se diseñan de tal manera que ayuden a
superarlos, según (Socas ,1997) las dificultades que se presentan en los estudiantes tienen
distintos orígenes que pueden ser agrupados en cinco categorías: las que provienen de la
complejidad del objeto matemático, las asociadas a los procesos de pensamiento matemático,
las que se dan debido al proceso de enseñanza de las matemáticas, las que están ligadas a los
procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos y por último, las relacionadas con actitudes
afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Este trabajo se desarrolló y abordo tres de estas
cinco categorías ya que lo que se busca es realizar una clasificación y análisis de E-D que pueden
presentar los estudiantes en cualquier aula de clase, es decir los que se originan por la
complejidad del objeto matemático, por los procesos de pensamiento matemático y las asociadas
a las actitudes afectivas y emocionales; por tanto no se tendrán en cuenta las ligadas a aspectos
didácticos o NEES que presenten los estudiantes.
Al indagar en la teoría sobre los E-D presentes en los estudiantes en procesos de
enseñanza aprendizaje de la trigonometría, encontramos varias propuestas de enseñanza en las
cuales los abordan de manera específica, es decir, como resultado de la aplicación de una
secuencia de actividades en las cuales simplemente se mencionan estos mismos y no el ¿Por qué
se presentan? o ¿Cuál es su origen?, por otra parte al indagar en textos de didáctica de las
matemáticas como: invitación a la didáctica de la geometría, encontramos que tampoco existe
una clasificación de estos y se abordan de una manera muy general, como asociándolos con los
niveles planteados por Van Hiele, también encontramos un artículo reciente de Escudero y
Domínguez (2014) en el cual se evidencia una clasificación de forma general de los errores en
el aula de bachillerato, allí presentan algunos errores frecuentes al trabajar trigonometría de
manera superficial con algunos ejemplos, por esto consideramos necesario analizar y categorizar
los E-D para brindar una base a los docentes a la hora de diseñar y reflexionar sobre sus prácticas
educativas.
13
MARCO TEÓRICO
Dificultades
El aprendizaje de las matemáticas genera dificultades en los alumnos (Socas, 1997),
estas dificultades pueden tener diversos orígenes los cuales están ligados con la complejidad de
un objeto matemático, con los procesos de enseñanza o con procesos cognitivos o afectivos de
los estudiantes; las dificultades a medida de la práctica se convierten en obstáculos y en los
estudiantes se presentan en forma de errores.
Socas (1997) estructura las dificultades mediante la agrupación en cinco categorías, las
dos primeras hacen referencia a la disciplina como tal "objetos matemáticos y procesos de
pensamiento, la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las matemáticas, la cuarta en
conexión con los procesos cognitivos de los alumnos y una quinta, relacionada con la falta de
una actitud racional hacia las matemáticas (Socas, 1997 pág. 126)"
Las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, se dan
básicamente por la forma en cómo se comunican los objetos matemáticos; es decir la
combinación del lenguaje nativo con el lenguaje matemático, se pueden generar dificultades
debido al uso de términos comunes para hacer referencia a conceptos matemáticos o al usar
palabras propias de las matemáticas, las cuales son poco frecuentes en la cotidianidad del
estudiante lo cual genera una dificultad; otra dificultad que se puede presentar es cuando la
palabra tiene el mismo significado en los dos contextos, entonces el estudiante podría pensar
que el término tiene otro significado en las matemáticas.
Las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático están
representadas en la naturaleza de la lógica matemática, es decir, tal como lo propone Socas
(1997) siempre ha existido un temor en cuanto a los aspectos deductivos formales, esto ha
generado que las demostraciones formales hayan sido eliminadas de los currículos de
matemáticas de secundaria de algunas instituciones, sin embargo es necesario que como
docentes reflexionemos sobre este tipo de posturas ya que "los modelos implícitos que generan
ciertos modos de pensamiento se convierten en dificultades para el proceso en el conocimiento
matemático (Socas, 1997 pág. 133)" entonces de acuerdo a lo propuesto por este autor algunas
cosas no se pueden evitar. Pero es nuestro papel como docentes prevenir este tipo de dificultades
evidenciadas en los errores.
14
En lo relacionado a la institución, al currículo, a los métodos de enseñanza se observan
las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza, es necesario que la institución tenga una
organización mediante la cual se busque la reducción de las dificultades que se puedan presentar
en el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, para esto resulta indispensable tener
en cuenta los recursos, las estructuras, la formación, la capacitación entre otras cosas.
Para las dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos, es necesario
considerar aspectos relacionados a la naturaleza de los procesos para de esta forma conocer el
nivel de; dificultades, posibles formas de realizar acciones y respuestas (esto es esperado por
parte del estudiante); en cuanto a las actitudes afectivas y emocionales, el autor (Socas, 1997)
propone que es necesario reconocer el temor que existe hacia y por las matemáticas (por parte
de los alumnos) lo cual es considerado como una dificultad que se puede presentar en este
proceso ya que los estudiantes se enfrentan a miedos y/o temores lo cual ya es una barrera para
el aprendizaje de estas.
Errores
Los estudios realizados sobre errores en matemáticas según Socas (1997) busca hacer
un abordaje de los mismos considerando el papel de estos errores en el conocimiento matemático
como algunos procedimientos erróneos, aprovechables didácticamente. Lakatos citado por
Socas; M (1997) muestra como las discusiones de los errores encontrados en algunas teoría
dejan hacer transformaciones para el enriquecimiento de las mismas. Pues esto permitiría
explicar el desarrollo de algunos conceptos y el surgimiento de unas nuevas teorías. Y es
importante resaltar que destacados investigadores matemáticos como lo es Cauchy tuvo
diferentes errores que se dieron no por falacias sino por la inadecuada interpretación de lo que
plateaba. Pero aun así Lakatos tuvo otra concepción de los errores como" concepciones
limitadas." Siendo este el auge de la historia de las matemáticas.
Sin embargo esta difiere de los errores que presentan los estudiantes puesto que muchos de éstos
pueden explicarse a través de los métodos que ellos desarrollan con el tiempo, siendo dichos
métodos válidos en algunos casos solamente.
Con frecuencia tenemos en Aritmética, Álgebra o Geometría demostraciones
aparentemente correctas pero que chocan con la intuición y el sentido común: Son curiosidades
o acertijos como: Puedo probar matemáticamente que “4 es igual a 5”.
15
Una gran variedad de errores son posibles de encontrar cuando de demostraciones se trata, pero
en el contexto escolar puede aprovecharse en el abortamiento de las diferentes propiedades que
allí están ocultas. Donde lo que se busca es plantear el propio error como un problema
matemático.
De los errores que se pueden presentar los estudiantes, se realiza una clasificación como
plantea Socas (1997):
1. Errores que tienen su origen en ausencia de sentido, en este caso se diferencian tres
errores de etapas distintas.
● Errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética.
● Errores de procedimientos, el uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de
procedimientos”.
● Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico. Se
diferencian de la primera etapa de errores siendo de naturaleza algebraica a causa de su
amplio campo de aplicaciones, que se manifiesta en diferentes procesos matemáticos,
tales como: generalización, simplificación, eliminación, complicación estructural y
particularización
2. Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales.
Resolución de problemas
¿Qué se entiende por resolución de problemas? no existe un acuerdo sobre que es la
resolución de problemas matemáticos, dependiendo de las concepciones y posiciones filosóficas
que se tengan esta puede tomar diversos significados. Para este trabajo nos basaremos en la
concepción de (Andalucía 2010):
La resolución de problemas debe entenderse como la esencia fundamental del
pensamiento y el saber matemático; y en este sentido, ha de impregnar e inspirar todos
los conocimientos que se vayan construyendo en esta etapa educativa, considerándose
como eje vertebrador de todo el aprendizaje matemático y orientándose hacia la
reflexión, el análisis, la concienciación y la actitud crítica ante la realidad que nos rodea.
Tanto en la vida cotidiana como respecto a los grandes problemas que afectan a la
humanidad (pág. 2).
16
De acuerdo con el autor creemos que la resolución de problemas recoge todos los
procesos de interpretación, representación y abstracción de un objeto matemático, siendo una
actividad que potencia el desarrollo de estrategias heurísticas y algorítmicas fundamentales no
solo en el campo de la matemática si no en cualquier otro contexto.
Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, para
sortear un obstáculo, para alcanzar un objetivo que no sea inmediatamente alcanzable.
Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el
don específico de los humanos: se puede considerar la resolución de problemas como la
actividad más característica del ser humano (D´Amore, 2010 Pág. 20)
La resolución de una situación problema no tiene caminos inmediatos, al enfrentaros a
un problema muchas veces podemos tomar caminos equivocados, encontrar dificultades
cometer errores etc. Lo cual nos ayuda a fortalecer nuestros procesos de razonamiento, y
representación fundamentales para llegar a la comprensión de un objeto matemático.
Relación entre dificultades y errores
Como bien sabemos y como lo plantea Socas (1997) los errores que se presentan al
abordar un problema matemático tienen origen por la ausencia de sentido que lo relacionamos
con las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos y los procesos de
pensamiento matemático y los errores que tienen origen en actitudes afectivas y emocionales.
Por esta razón proponemos la siguiente ilustración donde presentamos la relación que existe
entre los errores y las dificultades.
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Ilustración 1Relación entre dificultades y errores
Relación resolución de problemas dificultades y errores
Para poder relacionar las dificultades con la resolución de problemas, el presente trabajo
propone evidenciar la estructura de la resolución de problemas y cómo en esta estructura se
reflejan las diferentes dificultades (asociados a la complejidad de los objetos matemáticos,
asociados a los procesos de pensamiento matemático y asociadas a las actitudes afectivas y
emocionales), además entendiendo los errores con origen en las dificultades estos pueden
aparecer en cualquiera de las fases que se proponen.
Para identificar las principales características de la resolución de un problema
matemático en el aula, Polya (1945) plantea cuatro fases en la que se desarrolla la resolución de
problemas; comprensión o interpretación del problema, planificación, ejecución del plan y
supervisión, estas fases se han conservado y algunos autores han renombrado pero han
mantenido una estrecha relación, en este sentido Schoenfeld (1992), propone una
Dificultades
Asociadas a la
complejidad de los objetos matemáticos
Errores que tiene
origen en la ausencia de sentido
Asociadas a los procesos de pensamiento matemático
Asociadas a las
actitudes afectivas y emocionales
Errores que tiene origen en actitudes
afectivas y emocionales
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caracterización o categorización de las fases que determinan el éxito o fracaso en los procesos
de resolución de problemas.
Partiendo de los diferentes procesos que hacen parte de cada fase, y según las categorías
propuestas para las dificultades, se puede evidenciar elementos coincidentes, por lo que se
propone la siguiente relación:
● Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a la complejidad de los objetos
matemáticos se reflejan en la fase uno y dos
● Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a los procesos de pensamiento
matemático se reflejan en la fase tres.
● Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales que se reflejan en todas
las fases
Ilustración 2 Autores de resolución de problemas y sus fases
19
Por lo anterior el cuadro propuesto según lo dicho se presenta de la siguiente manera
apoyándonos en los elementos que propone Schoenfeld (1992).
Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4
Conocimiento o
recursos básicos
que incluye
definiciones,
hechos, fórmulas,
algoritmos y
conceptos
fundamentales
asociados con un
dominio
matemático
particular o tema.
Estrategias cognitivas
o heurísticas que
involucran formas de
representar y explorar
los problemas con la
intención de
comprender los
enunciados y plantear
caminos de solución.
Algunos ejemplos de
estas estrategias son
dibujar un diagrama,
buscar un problema
análogo, establecer
sub-metas,
descomponer el
problema en casos
simples.
Las estrategias metas
cognitivas que
involucran
conocimiento acerca del
funcionamiento
cognitivo propio del
individuo (¿Qué
necesito? ¿Cómo utilizo
ese conocimiento?) y
estrategias de monitoreo
y control del propio
proceso cognitivo
(¿Qué estoy haciendo?
¿Por qué lo hago? ¿A
dónde voy?).
Las creencias y
componentes afectivos
que caracterizan la
conceptualización del
individuo acerca de las
matemáticas y la
resolución de problemas,
y la actitud y disposición
a involucrarse en
actividades matemáticas.
Esta fase se ve reflejada
en todo el proceso de
interpretación y
resolución de problemas
Dificultades asociadas a la complejidad de
los objetos matemáticos
Dificultades asociados a los procesos de
pensamiento matemático
Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales
Tabla 1 Relación de resolución de problemas Schoenfeld (1992) con dificultades.
Teorema de Pitágoras
Históricamente según Piñero y Otros (1998), el teorema de Pitágoras fue descubierto
mucho antes de la Grecia Clásica, probablemente relacionados con problemas de agrimensura
relativa a un problema probablemente de áreas de cultivo. Una de las demostraciones más
importante de este teorema es la proposición 47 del libro I, de Los Elementos de Euclides “en
los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los
cuadrado de los lados que comprenden el ángulo recto” además de ser relevante para el
desarrollo y la enseñanza para nuestro objeto matemático ya que en este se observan relaciones
de semejanza entre triángulos y congruencia entre ángulos
20
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (los dos lados menores que conforman el ángulo recto del triángulo).
De esta manera el teorema de Pitágoras es un concepto fundamental para la resolución
de triángulos rectángulos ya que nos ayuda a encontrar la hipotenusa o un cateto faltante de un
triángulo de este tipo, los casos que se pueden presentar son:
- Dados los dos catetos averiguar la hipotenusa del triángulo
- Dado un cateto y la hipotenusa averiguar el cateto faltante
Semejanza de triángulos
Según Piñeiro & otros (1998) Cuando hablamos de semejanza nos referimos a figuras
de distintos tamaños pero con la misma forma, por ejemplo todos los cuadrados y triángulos
equiláteros son semejantes entre sí, los triángulos semejantes se define como, “los que tienen
los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales” (Piñeiro &
otros, 1998 pág. 56)
De esta definición surge la pregunta ¿Cómo saber o garantizar que dos triángulos son
semejantes? De la cual surgen los criterios de semejanzas, se utiliza el Teorema de Tales con
21
los que se puede establecer relaciones entre los triángulos y por tanto averiguar medidas de
segmentos desconocidos.
Como se ve en la imagen los triángulos AFB y CDH son semejantes por tanto guardan
una misma razón entre sus lados, de esta manera se puede establecer la medida de los lados
faltantes.
Teorema del seno y el coseno
El teorema del seno y del coseno nos ayuda a resolver cualquier tipo de triángulo
dependiendo los datos que tengamos de este mismo.
El teorema del seno establece que: “en cualquier triángulo, los lados son proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos. Además la razón de proporcionalidad es igual a la longitud
del diámetro de la circunferencia circunscrita (Piñeiro & otros 1998 pág. 192)
𝑎
𝑆𝑒𝑛 𝐴=
𝑏
𝑆𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑆𝑒𝑛 𝐶
El teorema del coseno establece que en todo triángulo ABC se verifica:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ cos (𝐴)
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎²
2𝑏𝑐= cos (𝐴)
Para utilizar cualquiera de estos teoremas es necesario que el problema suministre al
menos tres datos del triángulo de esta manera se pueden presentar cuatro posibles casos de
resolución de triángulos los cuales son:
Dados 3 ángulos
Dados dos lados y el ángulo que los comprende
Dados dos lados y el ángulo opuesto a estos
Dado un lado y dos ángulos
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METODOLOGÍA
En el trabajo de la recolección, análisis y categorización de los errores y dificultades que
surgen en la resolución de problemas trigonométricos, específicamente en la resolución de
triángulos. Se llevó a cabo el diseño, validación y recolección de datos, por medio de situaciones
problema que permitieron evidenciar posibles dificultades y errores, para lo cual nos basamos
en la siguiente metodología y cronograma de actividades.
Utilizamos los procedimientos y razonamientos que llevan a cabo 95 estudiantes durante
la resolución de diferentes situaciones problema relacionadas con la resolución de triángulos,
en un instrumento propuesto basado en tres situaciones problema para detectar los errores en
que incurren y las dificultades que encuentran en su ejecución.
Además se aplicó una entrevista y encuesta enfocada a determinar las actitudes afectivas
y emocionales que tienen los estudiantes frente a la matemática y si por esta razón los estudiantes
incurren en errores que se relacionen con esta dificultad.
Metodología de investigación
La metodología que se emplea es cualitativa ya que está:
“Estudia la realidad en su contexto natural, tal y como sucede, intentando sacar sentido
de, o interpretar los fenómenos de acuerdo con los significados que tienen para las personas
implicadas. La investigación cualitativa implica la utilización y recogida de una gran variedad
de materiales—entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos
históricos, imágenes, sonidos – que describen la rutina y las situaciones problemáticas y los
significados en la vida de las personas” (Gómez, Flores, & Jiménez, 1996)
Dado que en la investigación realizada, se pretendió analizar los errores de los
estudiantes que estuvieron sujetos no solo a los procesos cognitivos sino a su contexto cultural,
social y a la misma naturaleza de las matemáticas, por esto se buscó recolectar información real
que nos permita describir los E-D presentes en los procesos de enseñanza aprendizaje de la
resolución de triángulos en la trigonometría.
23
Fases de la investigación
Fase 1: Identificación del problema.
El problema surgió de una experiencia de enseñanza con grado décimo 10°, en la cual
se identificó la falta de referentes para el análisis didáctico de los procesos de enseñanza-
aprendizaje de los estudiantes, específicamente en el análisis de E-D que se presentaron, ya que
en el análisis bibliográfico de los errores y dificultades presentes en la resolución de triángulos
no se encuentra la adecuada información y clasificación que ayude a los docentes a diseñar
actividades para superar estos mismos, por esto surge el interés de analizar y categorizar estos
posibles E-D.
Fase 2: Diseño de la prueba.
Para abordar, identificar y clasificar los E-D se diseñó un instrumento teniendo en
cuenta la categorización de estos mismos partiendo de su naturaleza, de tal manera se buscó
identificar, analizar y categorizar los E-D que presentan los estudiantes al abordar la resolución
de triángulos en la trigonometría, este instrumento se aplicara a estudiantes de grado décimo de
manera grupal de esta manera se busca tener suficiente información para realizar procesos de
clasificación y análisis de los E-D.
Fase 3: Validación de la prueba.
Para el proceso de validación de la prueba se recurrió a la aplicación de esta misma en
una comunidad académica LEBEM con el fin de identificar posibles errores, gramáticos,
estructurales y de contenido que pueda tener esta misma.
Fase 4: Aplicación de la prueba.
La prueba se aplicó dos sesiones la primera en el colegio parroquial la asunción en grado
décimo a 27 estudiantes y la segunda en el colegio claretiano el libertador en dos cursos de grado
décimo a 68 estudiantes, los estudiantes se organizaron en grupos de dos y tres integrantes y se
les asigno uno de los tres problemas planteados. Para la primera sesión se escogieron 6
estudiantes de manera aleatoria para realizar una entrevista, para la segunda sesión se tomó un
grupo de 30 estudiantes a los que se aplicó la encuesta sobre las emociones desarrolladas en el
proceso de resolución del problema asignado.
Fase 5: Recolección de datos
Para la recolección de datos se utilizaron los apuntes y procesos realizados en lápiz y
papel por los estudiantes, las grabaciones durante los procesos de resolución, posibles
24
discusiones y finalmente las entrevistas y encuestas realizadas a estudiantes escogidos de
manera aleatoria.
Fase 6: Análisis de datos obtenidos
En el proceso de análisis de los resultados obtenidos se relacionaron los errores y
dificultades que los estudiantes tuvieron en los procesos de resolución de problemas con las
categorías planteadas, además se analizó el surgimiento de categorías no contempladas por los
autores utilizados como referentes.
Fase 7: Conclusiones
Se da respuesta a la pregunta de investigación, a los objetivos planteados para el
desarrollo del trabajo.
Cronograma
Actividades febrero marzo abril mayo
Antecedentes “teóricos”
Presentación de antecedentes
Diseño de las pruebas
Validación de las pruebas
Aplicación de las pruebas
Recolección de datos
Análisis de datos
Conclusiones
Correcciones y ajustes al
trabajo final
Presentación del trabajo final
Tabla 2 Cronograma de actividades.
Diseño de la Prueba.
Para el diseño de la prueba se crearon tres situaciones problema que abarcan los tres
conceptos matemáticos fundamentales para la resolución de triángulos los cuales son: semejanza
de triángulos, teorema de Pitágoras, teorema del seno y del coseno.
En el diseño de estas pruebas se tuvo en cuenta:
● El lenguaje común y el contexto de los estudiantes.
25
● El lenguaje matemático (palabras propias de la trigonometría y la geometría).
● Las representaciones gráficas y simbólicas de los objetos matemáticos involucrados.
● Los posibles procedimientos algebraicos para la solución de cada problema.
● El trabajo en grupo.
● Las emociones, actitudes y concepciones que pueden tener los estudiantes ante la
resolución de una situación problema.
Situaciones relacionas con la dificultad 1 y 2.
El metro de Bogotá
Juan es un ingeniero que ha planteado una propuesta de metro para Bogotá con
estaciones representadas con y las líneas entre estaciones representadas con así
como se observa en la siguiente imagen.
Las relaciones entre las líneas del metro que propone son:
Centro-Soacha es perpendicular a Soacha-Usme
Centro-Fontibón es perpendicular a Soacha-Norte
Fontibón–Norte es perpendicular a Norte-Chía
Juan debe entregar el plano terminado con la medida de las distancias de las líneas de estación
a estación, pero solamente ha realizado dos medidas:
26
Usme-Centro = 15 Km
Soacha-Centro= 12 Km
Para las demás medidas solo tiene la siguiente información:
La medida del Centro-Fontibón es la mitad de la medida de Soacha-Usme.
La medida del Norte-Centro es de dos terceras partes de la medida de Fontibón a Soacha.
La medida del Norte-Chía es igual a la suma de Norte–Centro con Centro-Fontibón.
1. Ayúdenle a Juan a calcular las medidas para cada una de las líneas del metro.
2. A Juan le piden realizar una nueva estación de metro con nombre Kennedy, ésta debe
estar situada entre la línea Soacha–Centro, de tal manera que su ubicación sea (1/3) de
la distancia de Soacha-Centro desde Soacha, con el fin de comunicar la estación Usme
con la nueva estación Kennedy, ¿cuál será la longitud de esta nueva línea?
El centro comercial
En el centro comercial se realiza una nueva distribución de los locales, como se ve en el
siguiente plano, además se ubican dos senderos peatonales que cumplen con las siguientes
condiciones:
El sendero peatonal 1 de 10 m de longitud es perpendicular al camino de los baños y al
camino del parqueadero.
El sendero peatonal 2 es perpendicular al camino a la Salida/Entrada 3.
1. Andrea y José se encuentran en el centro comercial. Andrea empieza su recorrido en la
Salida/Entrada 2, pasa por el punto de información, luego por los baños y finalmente se
devuelve por el sendero peatonal 2, José empieza su recorrido en la Salida/Entrada 2
27
pasa por la Salida/Entrada 3 luego por los baños y se devuelve por el sendero peatonal
2.
José dice:
- El recorrido que hice fue más corto que el que hizo Andrea.
Pero Andrea dice:
- No es cierto.
¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?
2. Pedro y Juan tiene una discusión sobre el pago de arriendo más justo. Pedro sostiene que
debe pagar la mitad de lo que paga Juan, porque el local de Juan tiene el doble de
perímetro que el de él. Juan dice que Pedro solo debe pagar la tercera parte de lo que
28
paga él, porque el local de Pedro tiene un perímetro 3 veces más pequeño que el de Juan.
¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?
3. Thomas es dueño del local de tecnología y quiere dividir su local para dejar una sección
solamente de videojuegos, para esto hacen una nueva pared perpendicular al
sendero 1 ¿la sección de video juegos es semejante a todo el local de tecnología?
La clase de astronomía.
En el Colegio Parroquial La Asunción realizan un nuevo proyecto trasversal de
astronomía, los profesores de física, biología y matemáticas llevan a sus estudiantes al
observatorio astronómico de Bogotá. Al llegar allí el profesor de matemáticas les pide a sus
estudiantes que observen la figura de la constelación Phoenix, en ella el profesor resalta la
siguiente información:
𝐷𝐹𝐾𝐼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜
𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐼, 𝑁, 𝐽 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
ℎ ⫽ 𝑏
𝑏 = 2𝑐
∢𝐹𝐾𝑀 ≈ 𝑐𝑜𝑠−10,4539
∢𝑁𝐼𝐾 = 0,610865 𝑟
𝑘 = 4.68 𝑢𝑛𝑑
𝑗 = 12 𝑢𝑛𝑑
𝑙 = 8.7 𝑢𝑛𝑑
𝑚 = 13.6 𝑢𝑛𝑑
𝑐 = 6.5 𝑢𝑛𝑑
29
1. El profesor de matemáticas pide a los estudiantes resolver cuatro triángulos que hacen
parte de la constelación Phoenix:
- DKF
- KIN
- MIJ
- KME
2. Luis Miguel le dice a su profesor que la distancia de 𝐷𝐽 es de 252.35 und, el profesor le
dice que ha cometido un error ¿de dónde crees que sacó el resultado Luis Miguel y cuál
crees que fue el error?
Entrevista/encuesta relacionada con la dificultad 3
Basándonos en el diseño de la entrevista se realizó siguiendo la propuesto por Gómez-
Chacón (2002) quien realiza su investigación a partir del estudio de las funciones cognitivas que
están directamente relacionadas con las emociones y afectos que tiene un estudiante, dando a
entender que dichas emociones afectan el desarrollo del estudiante cuando se enfrenta con un
problema matemático.
30
Tenido en cuenta el desarrollo la investigación por Gómez se han tenido en cuenta el
instrumento de recolección de datos como una especie de entrevista con las siguientes preguntas.
1. ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso resolver el problema?
2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver el problema?
3. Durante los intentos por resolver el problema ¿te has afanado por lograr una solución
elegante?
4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de tus
compañeros/as?
5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia el problema están condicionadas por tus
experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Cuáles?
6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema?
Validación de la prueba
La validación de la prueba se realizó en el programa de formación LEBEM con
estudiantes de séptimo semestre.
En la aplicación de esta se observó:
Dificultades en recordar y aplicar diferentes teoremas para resolver las situaciones.
Problemas algebraicos en la manipulación de variables.
Dificultades al asociar relaciones de semejanza entre triángulos.
Actitudes de indiferencia ante la solución de los diferentes problemas.
Asumen posibles estrategias de solución pero no realizan el procedimiento.
Se sugirió:
Ampliación de las imágenes de cada una de las situaciones.
Involucrar más de un objeto matemático en cada una de las situaciones.
Manejar grupos de máximo tres integrantes.
Errores sintácticos en los enunciados y representaciones simbólicas.
Un mayor nivel de dificultad en una de las situaciones problema.
31
Aplicación de la prueba
La prueba se aplicó en dos sesiones en diferentes colegios la primera sesión se aplicó en
el colegio Parroquial la Asunción de Sibaté a 27 estudiantes de grado décimo, se organizaron
mesas de trabajo de 3 estudiantes distribuidos de manera aleatoria, conformando 9 grupos de
trabajo. A cada grupo se le asignó una situación problema de las 3 posibles y se les pide pensar
en voz alta y escribir todos los procedimientos e ideas utilizadas para solucionar la situación
asignada, en el proceso de resolución los estudiantes realizaban preguntas a sus compañeros y a
la docente relacionadas con las diferentes situaciones, a lo largo de la aplicación se tomaron
videos de los procesos realizados por cada grupo de estudiantes. Finalizada la prueba la docente
titular escoge 6 estudiantes a los cuales se les realiza la entrevista.
Para la segunda sesión las situaciones se aplicaron en el colegio Claretiano el Libertador
de Bosa, en dos cursos de grado décimo el curso 10-02 con 32 estudiantes al cual se le asignaron
las situaciones problema uno y dos y el curso 10-03 con 36 estudiantes se les asignó la situación
problema tres, en los dos cursos se pide trabajar en parejas las situaciones con las indicaciones
que no borren ningún procedimiento que realicen y los argumenten.
En esta sesión no se realizaron entrevistas si no se propusieron las mismas preguntas en una
encuesta al curso 10-03.
ANÁLISIS
Categorías de análisis
Para poder analizar los resultados obtenidos se diseñaron las categorías de análisis estas
son tomadas esencialmente de la propuesta que plantea Socas (1997) relacionadas con el
lenguaje y los procesos de pensamiento matemático y Gómez-Chacon (2002) relacionadas con
actitudes afectivas y emocionales, cabe aclarar que dichas categorías se denominan teóricas, y
que gracias a la recolección y análisis de los resultados se generaron unas nuevas categorías
denominas emergentes ya que las categorías teóricas no abarcaban la naturaleza especifica de
los errores cometidos por los estudiantes. Estas categorías están propuestas por tres tipos de
dificultades (A, B, C), a estas se les asocian unos elementos constitutivos (1,2,3,…etc.), como
se muestra a continuación:
A. Dificultades asociadas a la complejidad (Comprensión y comunicación) de los objetos
matemáticos (Socas, 1997. pág. 127)
32
1) Interpretación de los signos matemáticos a partir del lenguaje común, asociación
de conceptos matemáticos al lenguaje común
Para este ítem lo relacionamos a los conflictos asociados a la comprensión y comunicación
de los objetos matemáticos debido a palabras que tienen un significado en el lenguaje
matemático diferente al lenguaje habitual.
Lenguaje Matemático Escritura
Lenguaje habitual
Raíz
X n = potencia Potencia
Sen (x) Seno
Tabla 3 Ejemplos de categoría A1.
2) Palabras específicamente de las matemáticas mal entendidas por ser poco familiares.
Lenguaje Matemático Escritura
Hipotenusa
Circunferencia goniométrica
Tabla 4 Ejemplos de la categoria A2
33
3) Duda de asociar palabras que tiene un mismo significado en lenguaje habitual como
en el matemático.
4) Dificultad en la interpretación del problema reflejados en una representación.
(categoría emergente)
5) Confusiones a partir de los símbolos matemáticos ≅ 𝛼 ⊀ ≠ ‖.(categoría
emergente)
B. Dificultades asociados a los procesos de pensamiento matemático: relacionadas con la
lógica matemática (Socas, 1997. pág. 127)
1) Dificultad de establecer una deducción lógica (conjeturas, ejemplos contra ejemplos,
etc.) provenientes
Estas se establecen mediante las rupturas del pensamiento matemático, es decir dificultades
asociadas a resolver problemas con un proceso lógico- matemático, realizar representaciones
acertadas del problema o establecer estrategias de solución.
Errores del algebra que tienen origen en la aritmética: con estas dificultades podemos asociar
los errores que los estudiantes cometen debido a objetos o procedimientos concebidos de manera
errónea
2) Dificultad asociada a lógica Social (asociar situaciones habituales con conceptos
matemáticos)
El intento de asociar situaciones matemáticas con situaciones del contexto cotidiano puede
involucrar una actitud crítica del estudiante lo cual dificulta el razonamiento que debe realizar
frente a la situación.
Por ejemplo en un problema de proporcionalidad, dos obreros construyen una pared en 3 horas,
si se tuvieran 9 obreros ¿cuántas paredes construirían? En este caso el trabajo en equipo no
genera un trabajo proporcionalidad, si no al trabajo que realiza cada uno de ellos.
3) Rupturas que provocan dificultades por medio de los modos de pensamiento
matemático (linealidad)
34
Este tipo de dificultades se reflejan cuando el modelo lineal queda implícito el cual genera
conflicto para los otros modelos como:
(a+b)² = a² + b²
Sen 5α = 5 sen α
4) Expresar y aplicar un teorema o ecuación incorrecta por los elementos que toma de
la representación o simplemente el teorema no es el indicado para resolver el
ejercicio.(categoría emergente)
C. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales: (Gómez-Chacon, 2002.
Pág. 3)
1) Las emociones que se desarrollan al enfrentarse a un problema matemático que
producen rechazo a la situación problema.
2) Las emociones que se desarrollan en los procesos de resolución de un problema
matemático que impiden el buen desarrollo o la finalización de la situación
problema.
3) Las emociones que se desarrollan al tratar de solucionar un problema en grupo que
impiden los acuerdos de solución y producen rechazo a desarrollar el problema.
4) La relación con experiencias pasadas en las matemáticas que producen rechazo a los
problemas matemáticos.
Recolección y análisis de resultados
Para referirnos a las evidencias escritas, videos y encuestas se propone un tipo de
nomenclatura que facilita la verificación de la información.
Instrumento de recolección Ejemplo de referencia Nomenclatura
Prueba escrita Situación problema 1 del
grupo de trabajo 2
(S1,G2)
Video Video 5 en el minuto 0:15
hasta el minuto 1:20
(V5,T 0:15- 1:20)
Encuesta Encuesta 24 (E,24)
No corresponde con ninguna
categoría
NC
Tabla 5 Nomenclatura de evidencias.
35
Los errores iniciales que se pudieron evidenciar al estar en la prueba con los estudiantes
se presentan a continuación, dichos errores se extrajeron de los posibles procedimientos o
afirmaciones que decían los estudiantes durante la sesión, es posible que algunos no se reflejen
en la pruebas escritas debido a que pudieron borrar dichos procedimientos.
Prueba 1
● No asocian las propiedades en los triángulos, no tienen en cuenta características de los
triángulos.
● No conocen las nociones de semejanza y congruencia, discriminan las propiedades y.
características de los triángulos semejantes y congruentes.
● Asocian el teorema de Pitágoras para cualquier triangulo.
● Asocian criterios de semejanza con un solo ángulo.
● No asocian la notación correcta en el teorema del seno y coseno.
● Jerarquía de las operaciones simultaneas.
Prueba 2
● Discriminan los triángulos rectángulos en los ejercicios.
● Aplican resolución de triángulos utilizando teorema de Pitágoras.
● Asumen representaciones con conjeturas que no se dice en el planteamiento del
problema.
● Dificultad de operaciones y relaciones con números racionales.
Prueba 3
● No realizan la notación de lados a y ángulos A.
● Asumen que para despejar ángulos pueden realizar esta operación.
● Por apariencia asocian ángulos rectos a triángulos cualesquiera.
● Asocian para todo triángulo rectángulo un ángulo de 90° y 2 de 45°.
A partir de esta serie de errores encontrados anteriormente y con la intención de
sustentarlos, se realiza un análisis más profundo frete a las pruebas escritas y algunos videos
que se tomaron mientras los estudiantes desarrollaban la prueba, la siguiente tabla mostrara la
evidencia del error cometido una breve explicación y la categoría que justifica el tipo de error.
36
Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a la
complejidad del objeto matemático
Número
de
Evidencia
Error presentado por los estudiantes. Categorí
a de
dificulta
d que lo
justifica
1 Correspondiente (S1,G12)
El error aquí presente se
debe a la asociación de
semejanza con
congruencia, los
estudiantes asumen que
cuando se refieren al
término semejanza es lo
mismo que hablar de
igualdad o congruencia en
áreas.
A2
2 Correspondiente (S1,G15)
Como se evidencia en la
imagen los estudiantes
entienden la semejanza
como: igualdad de
perímetro entre triángulos,
desconociendo la relación
que se debe cumplir entre
ellos.
A2
3 Correspondiente (S1,G20)
Como se evidencia en la
imagen los estudiantes
confunden las nociones de
semejanza y congruencia,
realizando relaciones de
semenjanza entre los
ángulos, donde es evidente
que los angulos son
congruentes no semejantes.
A2
37
4 Video 8 (T 0:00 – 0:20)
Profesor: ¿Qué es lo que entienden por
perpendicularidad?
Estudiante 1: ¿no es que sean las líneas opuestas?
Profesor: que sean opuestas dices tú, y ¿tú que
entiendes por perpendicularidad?
Estudiante 2: perpendicularidad es que son líneas
opuestas paralelas ¡aaa! Paralelas no opuestas
La noción que tienen los
estudiantes de
perpendicularidad, no
permite identificar que los
ángulos que forman dos
rectas perpendiculares son
rectos.
A2
5
Correspondiente (V2,T 0.29-0.36)
Lizeth: los puntos I, N, J son colineales ¿Qué es
colineales? No sé.
Los estudiantes no
reconocen que es
colinealidad.
A2
6 Correspondiente (V3, T 0:30–1:18)
Santiago: el ángulo NKI es igual a 0.64 radianes
Santiago: un radian es igual a 180
José: 2 pi radianes es igual a 360°
Santiago: un radian es igual a 180 por que una
circunferencia tiene dos radianes
José: si
Presentan errores al
entender que es un radian y
realizar operaciones para
pasar de un sistema de
medidas a otro (grados a
radianes o radianes a
grados).
A2
7 Correspondiente (S1,G11)
Como se evidencia en la
imagen los estudiantes al
interpretar el problema
asumieron que la sección
de tecnología era una parte
del triángulo completo con
la forma de un triángulo
equilátero y la sección de
video juegos un triángulo
escaleno.
A4
38
8 Correspondiente (S1,G16)
Como se evidencia en la
imagen al interpretar el
problema los estudiantes
afirmaron que: Andrea
recorre solo el sendero
peatonal 2 y se devuelve lo
cual es incorrecto
evidenciándose un
problema de lectura de los
estudiantes.
A4
9 Correspondiente (S2,G4)
Como se evidencia en las
imágenes los estudiantes a
partir de la representación
dada realizan una nueva, y
de manera errónea
ubicaron un ángulo recto
en una posición incorrecta,
debido a esto al tratar de
utilizar el teorema de
Pitágoras obtienen un
resultado que no
corresponde al lado que
deseaban hallar.
A4
10 Correspondiente (S3, G2)
(V2,T 0:03 – 0:15)
Como se ve en la imagen
los estudiantes asumen que
el ángulo GNI es <igual a
90° “por visualización”
De igual manera en la
conversación del profesor y
los estudiantes y estos
afirman que el ángulo es
recto solamente por
visualización.
A4
39
Estudiante 1: ahí se está manejando un ángulo de
90º
Profesor: ¿Por qué? Solamente por la visualización
Estudiante 1: si se puede manejar por visualización
Profesor: ustedes dicen que ese ángulo que está ahí
es recto.
11
Correspondiente ( S3, G10)
Como se ve en la imagen
los estudiantes asignan
algunos valores erróneos a
los ángulos, por tal razón la
suma de ellos es superior a
180° por tanto concluyen
que el problema no se
puede solucionar.
A4
12 Correspondiente (S1,G21) Como se observa en la
imagen los estudiantes
realizan la representación
de un triángulo rectángulo,
cuyo único ángulo
suministrado es igual a 90°
sin embargo los estudiantes
asumen que como la suma
de los ángulos internos de
un triángulo debe ser igual
a 180° cada uno de los
ángulos faltantes mide 45°.
A4
40
13 Correspondiente (S2,G3)
Como podemos ver en la
imagen los estudiantes
utilizaron los datos
suministrados en el
problema, sin embargo al
realizar la representación
gráfica no utilizan estos
mismos datos, ya que por
ejemplo: los triángulos
dibujados no son triángulos
rectángulos.
A4
14 Correspondiente (S2,G11)
Como se ve en la imagen
los estudiantes ubican dos
ángulos rectos en el
triángulo lo cual muestra
una incorrecta
interpretación del
problema y además la
discriminación de una
propiedad fundamental de
suma de ángulos en
cualquier tipo de triangulo.
A4
15 Correspondiente (V17,T 0:03 –0:44)
Estudiante 1: digamos aquí KME es igual a 4.68
unidades (señala el segmento ME)
Profesora: pero ahí están diciendo de
ángulos o de lados
Estudiante 2: este es el lado
Profesora: estos son ángulos entonces ¿cuál sería el
ángulo KME?
Estudiante 2: es este, es M
Los estudiantes confunden
ángulos con segmentos
(lados).
A4
41
(señalando el segmento M como el ángulo KME
Profesora: entonces ¿Cuánto mide M?
Estudiante 1: 13.6 (señalando el segmento MJ)
16 Correspondiente (V2, T 2:37–3:00)
Lizeth: el ángulo NIK
Juan : N, I, K (señalando los puntos en el plano)
Juan: es este (señala el ángulo NIK)
Lizeth: no este (señala el ángulo INK)
No ubican correctamente
los ángulos.
(aunque los dos estudiantes
hicieron la misma lectura
uno de ellos señala el
ángulo NIK y y otro el INK
como se ve en la imagen al
tratar de marcarlos son
diferentes ángulos)
A4
17
Correspondiente (V4, T 0:38–1:15)
Laura: el segmento j equivale a 12 unidades, el
segmento m a 8.5 unidades.
Paula: ahí ya tenemos dos lados.
Laura: ahh entonces lo podemos sacar por teorema
de Pitágoras.
Los estudiantes aplican
teoremas sin analizar las
características de los
triángulos que tienen en la
representación ya que por
ejemplo: el teorema de
Pitágoras no se puede
aplicar en cualquier tipo de
triangulo.
A4
42
18
Correspondiente (S3, G1)
Como se ve en la imagen
los estudiantes asignan un
valor dado para el
segmento k = 4.68
unidades con el valor del
ángulo con centro en el
punto K.
A5
19 Correspondiente (S3. G3)
Como se ve en la imagen
los estudiantes asignan un
valor dado para el
segmento c = 6.5 al punto
C que se encuentra en el
plano.
A5
20 Correspondiente (V2, T 3:04–4:10)
Lizeth: k ¿Dónde está k?
Ronald : esta acá
Los estudiantes confunden
los puntos (letras en
mayúscula) con segmentos
(letras en minúscula).
A5
43
Lizeth: esta mediría dos unidades o esta ¿no
entiendo?
Juan: ¿Qué no entiende?
Lizeth : estas medidas de que son
( la estudiante señala las
medidas dadas de los
segmentos k, j , l, m, c)
Juan: de K
Lizeth: pues si pero K tiene
KE O KM ¿entonces esta
medida de que son?
Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A
En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las pruebas escritas y
videos en el proceso de resolución de problemas, asociando errores que tiene la misma
naturaleza relacionados con la complejidad del objeto matemático.
Número
evidencia
Error Categoría Frecuencia
Cantidad
Estudiantes
1,2,3 Error de asociar palabras. Ejemplo
confundir semejanza y
congruencia.
A2 16
4,5,6 Errores por confusiones o
desconocimiento de conceptos
matemáticos. (Colinealidad,
perpendicularidad, radian).
A2 11
12, Errores en aplicar propiedades a
las representaciones.
A4 9
7, 8,9, 11, 16 Error al representar los datos del
problema.
A4 15
10 Error al asumir propiedades por
visualización.
A4 12
44
13, 14 Errores en las representaciones
realizadas del problema.
A4 26
17 Errores de aplicar teoremas sin
analizar cuando se pueden utilizar.
A4 17
15, 18, 19, 20 Errores por confundir símbolos
matemáticos.
A5 13
Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A
Según lo que se pudo evidenciar en cada uno de los errores presentados para esta
dificultad, un dato importante a tener en cuenta es que ninguno de los estudiantes, incurrieron
en los errores de tipo A1 y A3, se especula que los estudiantes por haber tenido un acercamiento
con términos de la trigonometría, no fue usual que asociaran conceptos de la trigonometría con
el lenguaje habitual, por esta misma razón se puede decir que tampoco tienen dificultad en
distinguir palabras que tienen el mismo significado en el lenguaje habitual y en el matemático.
Por otro lado en A2 palabras mal entendidas del lenguaje exclusivamente de las
matemáticas, podemos ver que los estudiantes cometen varios errores de este tipo ya que
desconocen o confunden el significado de varios términos matemáticos que usualmente se
utilizan en trigonometría por ejemplo, en las evidencias 1,2 y 3 vemos que los estudiantes
presentan gran confusión al hablar de semejanza y congruencia, el entender congruencia como
algo equivalente a la semejanza, este tipo de errores se presentaron con gran frecuencia en el
grupo de estudiantes.
Además en la evidencia 4 al hablar de colinealidad los estudiantes no tienen una
confusión o asociación con otro término sino desconocen totalmente el concepto matemático
presentándose preguntas como ¿qué es eso?, en la evidencia 5 respecto a perpendicularidad los
estudiantes tienen una definición incompleta de este concepto, es decir la definen como rectas
opuestas, pero esta definición no les brinda información sobre los ángulos que se forman entre
dichas rectas, de esta manera vemos que aunque estos errores se encuentren en la misma
categoría tienen diferencias fundamentales algunos se dan por un completo desconocimiento de
las palabras, otros por confusión entre dos conceptos y los últimos por conceptos con
definiciones insuficientes.
En la categoría A4 que consiste en los errores relacionados con la interpretación errónea
del problema y/o en una representación, los errores que se encontraron de este tipo fueron más
comunes, sin embargo estos se dan por diversas razones que se explicaran a continuación.
45
Por tratar de aplicar propiedades en las representaciones: como se ve en la evidencia 12
los estudiantes comprenden que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°
sin embargo solo conocen un ángulo igual a 90° por tanto asumen de manera errónea que los
dos ángulos restantes son iguales es decir iguales a 45° de esta manera vemos cómo los
estudiantes realizan deducciones erróneas partiendo de una propiedad.
Errores al representar los datos del problema: en este caso se dio con mayor frecuencia
como vemos por ejemplo en la evidencia 8 vemos que los estudiantes no tienen en cuenta uno
de los datos suministrados en el problema, es decir en el problema les indican el recorrido que
realiza Andrea, sin embargo los estudiantes solo reconocen un fragmento de esta manera desde
la interpretación que realizan del problema ignoran algunos datos suministrados y por tanto
establecen deducciones erróneas. En la evidencia 9 vemos que los estudiantes al tratar de realizar
una nueva representación del problema partiendo de una inicial, confunden datos fundamentales
como la ubicación de los ángulos, al intercambiar estos datos y resolver el problema aunque
apliquen de manera correcta el teorema de Pitágoras los datos son erróneos.
Por otro lado en la evidencia 11 vemos que los estudiantes realizan una interpretación y
análisis incorrecto de los datos suministrados, por tanto los ángulos que obtienen de un triángulo
son superiores a 180° por tal razón asumen que el problema no se puede solucionar, en lugar de
revisar por ejemplo si los procedimientos con los que obtuvieron los datos eran correctos. De
esta manera observamos que los estudiantes pueden cometer errores al ignorar datos
suministrados en el problema, realizar nuevas representaciones y ubicar incorrectamente en
estas los datos suministrados, o interpretar incorrectamente los datos suministrados y establecer
conclusiones erróneas.
Errores al asumir propiedades por visualización: como se ve en la evidencia 10 los
estudiantes asumen que el triángulo que están analizando es rectángulo porque visualmente
“parece” que tiene un ángulo recto, por tanto asumen esta deducción como verdadera sin antes
realizar una verificación utilizando los datos suministrados en el problema.
Errores en las representaciones realizadas del problema: como se ve en la evidencia 13
aunque los estudiantes utilizan los datos suministrados en el problema estos no se ven
claramente en la representación gráfica de estos mismos en este caso los estudiantes colocan la
medida de los segmentos pero los triángulos que dibujan no son rectángulos es decir la
representación de los ángulos no es correcta. Por otra parte en la evidencia 14 los estudiantes
46
realizan la representación de un triángulo con dos ángulos rectos, sin embargo en la
interpretación simbólica no se ve reflejado este error es decir los sistemas de representación
utilizados no se relacionan. De esta manera vemos que los estudiantes pueden realizar
representaciones gráficas incorrectas pero aun así procesos algorítmicos correctos.
Errores de aplicar teoremas sin analizar cuando se pueden utilizar: en este caso como se
ve en la evidencia 17 los estudiantes asumen que pueden utilizar un teorema en este caso el de
Pitágoras sin analizar con detenimiento cuales son las características mínimas que debe tener un
triángulo para aplicar este mismo.
En la categoría A5 errores y confusiones a partir de los símbolos matemáticos: Como
vemos en la evidencia 15 los estudiantes tienen confusión en el concepto de ángulo y lado lo
que se ve reflejado al tratar de ubicar estos mismos en las representaciones gráficas del problema
lo que se repiten en la evidencia 18,19 y 20 en diferentes procedimientos los estudiantes
confunden ya sea el concepto de ángulo y segmento debido a la notación de estos mismos
ángulos con letras mayúsculas y segmentos con letras minúsculas, lo que se puede presentar al
tener asignada el mismo símbolo solo cambiando si es mayúscula o minúscula.
Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a los
procesos de pensamiento matemático.
Número
evidencia
Error presentado por los estudiantes Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
1
Correspondiente a la situación 1 grupo 11
(S1,G11)
Como se evidencia en
la imagen, los
estudiantes
argumentan su
respuesta por medio de
la comparación de área
de los triángulos, sin
tener en cuenta que se
debe realizar una
comparación de los
triángulos según su
perímetro.
B1
47
2 Correspondiente (S1,G13)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
no interpretan
correctamente la
representación del
centro comercial, ya
que en el problema la
distancia de la salida
hasta el punto de
información es igual a
8 metros y no a 10
metros.
B1
3 Correspondiente (S1,G15)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
utilizan datos
arbitrarios, ya que
estos no se dan en la
situación problema, sin
embargo utilizan estos
mismos para realizar
procedimientos
algebraicos y tratar de
llegar a una solución.
B1
4 Correspondiente (S3, G9)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
restan a 180° (la suma
de los ángulos internos
de un triángulo) con la
medida de uno de los
lados 6.5 obteniendo
como resultado 1735.
B1
5
Correspondiente (S3, G9)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
tratan de convertir
unidades a grados, es
decir las medidas
6.5und, 4.67und y
10.6und que
corresponden a
medidas de segmentos,
por lo cual pueden
estar pensando por
ejemplo: que estas no
B1
48
corresponden a lados si
no a ángulos.
6 Correspondiente (S3, G10)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
asignan valores
arbitrarios al ángulo
MJI = 6.9 y al
segmento g= 4.
B1
7 Correspondiente (S1,G1)
Los estudiantes
asocian criterios de
semejanza con un solo
ángulo (90°)
argumentando que
todos los triángulos
rectángulos son
semejantes, este tipo
de error se debe a la
deducción lógica y
conocimientos previos
que tienen los
estudiantes.
B1
8
Correspondiente (S1,G21)
Como lo muestra la
figura el error aquí
consiste en que los
estudiantes le
asignaron valores a los
ángulos de manera
arbitraria al triángulo
rectángulo: 7.9 7.39
desconociendo la
propiedad de la suma
de los ángulos internos
de un triángulo suman
180°.
B1
49
9 Correspondiente (S2,G3)
Como se observa en la
imagen los estudiantes
asumen que en un
triángulo el lado con
mayor longitud es la
hipotenusa,
discriminando que esto
solo ocurre en
triángulos rectángulos
y proceden a resolver
el problema utilizando
la terna pitagórica.
B1
10 Correspondiente (S3,G7)
Los estudiantes
asocian propiedades de
las razones
trigonométricas en
triángulos rectángulos
con triángulos
cualesquiera, a partir
de esto se evidencian
errores en la ecuación
asumiendo que el
ángulo B es igual al
seno del cateto opuesto
sobre la hipotenusa,
sin tener en cuenta que
no son triángulos
rectángulos.
B1
50
11 (V2,T 0:25- 1:05)
Estudiante 2: ustedes suman todos estos tres lados
y les dan los 180
Estudiante 1: 34.9 más 55.1 más 90 igual a 180
Profesor: ok ustedes solo sacaron el ángulo de acá
y dijeron, no ese es 90 entonces cojamos este
sumémosle este y restémosle 180 y meda este
(ángulo IKN).
Estudiante 2: no está mal y yo a usted le digo
porque no, porque todo esto si es un ángulo recto
toda la suma de los ángulos tiene que dar 90 si es
un ángulo recto
La estudiante
confunde la suma de
los ángulos internos de
un triángulo con la
medida de un ángulo
recto.
B1
12 Correspondiente (S1,G13)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
cometen dos errores
aritméticos el primero
ocurre cuando tratan
de resolver 2²
obteniendo como
resultado 8 y el otro
error cuando proceden
a sacar la raíz de 24
obteniendo como
resultado 4.
B3
13 Correspondiente (S3 G8)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
cometen errores
aritméticos ya que al
elevar 132 𝑦 6.52
obtienen
correspondientemente
26 y 13 es decir creen
que elevar al cuadrado
es multiplicar por el
exponente 2.
B3
14 Correspondiente (S2,G3)
(V6,T 0:05 – 0:21)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
al tratar de obtener 2/3
de una cantidad inicial
ya que aunque el
algoritmo lo realizaron
correctamente este no
B3
51
Estudiante 1: para sacar el 2/3 lo sumo 3 veces el
mismo número y lo divido en dos (estudiante hace
la siguiente representación 1443 ÷ 2
Profesor: ósea tu elevas este número al cubo y lo
divides en dos para sacar las dos terceras partes
es un procedimiento
acertado para obtener
una fracción de una
cantidad inicial.
15 Correspondiente (S2,G4)
En la imagen se
evidencia que los
estudiantes utilizan el
teorema de Pitágoras
para determinar la
hipotenusa de un
triángulo rectángulo,
sin embargo al emplear
el algoritmo usan un
signo de manera
incorrecta por lo cual
la medida del lado
buscado /Fontibón-
Soacha) es incorrecta.
B3
16 Correspondiente (S3, G2)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
realizan
incorrectamente la
conversión de la
relación 𝑐𝑜𝑠−10.4539
a grados ya que dicen
que esta es igual a
258.08°.
B3
17
Correspondiente (S3, G9)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
cometen errores
algebraicos al tratar de
pasar radianes a grados
ya que al convertir
0.61865 radianes a
grados dividen por 180
obteniendo como
resultado 3.43.
B3
52
18 Correspondiente (S3, G9)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
cometen un error
algebraico al tratar de
realizar un proceso de
conversión ya que al
multiplicar un número
como 6.5 por 𝜋
180
obtienen 6.5
180.
B3
19 Correspondiente (S1,G22)
Como se ve en la
imagen los estudiantes
tratan de convertir el
ángulo B para esto
asumen que Sen
B=35.6 lo cual no es
correcto.
B3
20 Correspondiente (S1,G22)
Los estudiantes
presentan errores al
realizar operaciones
después de realizar
procesos de despeje de
una ecuación, ya que
no tienen en cuenta la
jerarquía de
operaciones y además
cometen errores con
los signos de algunas
cantidades.
B3
21
Correspondiente (S1,G21)
Los estudiantes
cometen un error al
asignar un valor
arbitrario a un cateto
del triángulo 652.3 por
lo cual se evidencia
que no tuvieron en
cuenta los datos
suministrados como la
hipotenusa del
triangulo.
B3
53
22 Correspondiente (S1,G3)
En la imagen podemos
observar que los
estudiantes conocen y
aplican el teorema del
coseno con los
elementos del
triángulo
correctamente, pero en
uno de los
procedimientos
aritméticos asumen
que la suma de 64+16=
70.
B3
23 Correspondiente (S1,G20)
El error evidenciado en
esta imagen
corresponde a que los
estudiantes conocen el
teorema del coseno, lo
aplican, pero al
momento de despejar
el ángulo A no tienen
en cuenta que deben
aplicar arco seno al
resultado para obtener
el ángulo.
B3
24 Correspondiente (S2,G3)
Como evidenciamos
en la imagen los
estudiantes conocen y
aplican el teorema de
Pitágoras
correctamente, pero
cometen errores
aritméticos
confundiendo la
operación suma con la
multiplicación,
además de ubicar la
coma decimal en un
lado incorrecto para
cada número.
B3
54
25 Correspondiente (S2,G11)
Los estudiantes
utilizan el teorema de
Pitágoras, ubican
correctamente los
datos que encuentran
en el triángulo, pero
presentan errores
algebraicos en las
operaciones por
ejemplo: al momento
de despejar x2 los
signos son incorrectos.
B3
26 Correspondiente (S3,G14)
Los estudiantes
presentan errores al
momento de realizar
procedimientos con las
razones
trigonométricas
específicamente al
despejar ángulos,
como se ve en la
imagen los estudiantes
para eliminar el
exponente -1 en
coseno utilizan como
método de eliminación
raíz cuadrada,
presentando así un
error algebraico.
B3
27 Correspondiente (S1,G13)
En esta imagen
podemos evidenciar
que el estudiante a
pesar de realizar
correctamente los
procedimientos
aritméticos en la terna
pitagórica, no utiliza
los datos
correspondientes a la
representación, lo que
conlleva al estudiante
responder de manera
incorrecta la pregunta.
B4
55
28 Correspondiente (S1,G16)
Como se evidencia en
la imagen los
estudiantes muestran
el teorema de Pitágoras
de una manera
incorrecta que
posteriormente aplican
en algunos
procedimientos.
B4
29 Correspondiente (S2,G2)
Como se puede
evidenciar en la
imagen los estudiantes
establecen las
ecuaciones o teoremas
de manera incorrecta
en este caso al utilizar
el teorema del seno
relacionan un lado con
el ángulo incorrecto.
B4
30 Correspondiente (S2,G2)
En esta imagen se
observa que los
estudiantes realizan un
remplazo en la
ecuación incorrecto
ubicando solamente el
ángulo y no el seno del
ángulo, por dicha
razón el lado obtenido
es igual a 0.13 km.
B4
56
31 Correspondiente (S2,G4)
Los estudiantes
realizan
interpretaciones
incorrectas de las
representaciones,
utilizando ecuaciones
inválidas para
solucionar los
triángulos, en este caso
utilizan el teorema de
Pitágoras para
cualquier triángulo, sin
tener en cuenta que
este triángulo no tiene
un ángulo de 90
grados, llegando al
resultado incorrecto.
B4
32 Correspondiente (S1,G21)
Como se evidencia en
la imagen los
estudiantes aplican el
teorema del seno
realizando relaciones
incorrectas ya que
están relacionando el
lado “c” con Sen(A) y
lado “a” con Sen(C).
B4
33 Correspondiente (S2,G3)
Como se evidencia en
la imagen los
estudiantes no usan los
datos representados al
emplear el teorema de
Pitágoras, por ejemplo:
12² no lo toman de la
representación que
tienen si no de manera
aleatoria o de
ejercicios pasados.
B4
57
34 Correspondiente (S3,G15)
Los estudiantes no
realizan la notación
correspondiente en las
ecuaciones o teoremas,
así como se observa
expresan el teorema
del seno correctamente
pero remplazan
incorrectamente en la
ecuación: en este caso
piensan que el lado “a”
corresponde con el
ángulo que lo
comprende y no con el
opuesto.
B4
35 Correspondiente (V4, T 0:50–1:13)
Lizeth: no me acuerdo del teorema del coseno
Juan: pues es que la fórmula es 𝑎2 = 𝑏2 ∙ 𝑐2 +2𝑏𝑐 + 𝑐𝑜𝑠𝐴 Lizeth: pues para hallar un lado
Juan: pues usemos el teorema del coseno
Los estudiantes
expresan las
ecuaciones o los
teoremas de manera
incorrecta por lo cual
presenta errores en los
posteriores
procedimientos.
B4
Tabla 8 Errores relacionados con la dificultad B
En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las pruebas escritas y
videos en el proceso de resolución de problemas, mostrando asociando errores que tiene la
misma naturaleza relacionados a los procesos de pensamiento matemático.
N Error Categoría Frecuencia
Cantidad
Estudiantes
2,7,11 Error al sustentar alguna propiedad en
una representación.
B1 6
1,3,4,5,6,8 Error de establecer datos, conjeturas o
procedimientos erróneos.
B1 28
9, 10 Error de asociar teoremas a triángulos
cualesquiera.
B1 15
58
23, 16,19, 26 Error procedimental con las relaciones
trigonométricas y los inversos de la
función.
B3 14
12,13,
22,15,20,24
Error de tipo aritmético en la jerarquía
de operaciones, y al operar suma, raíz,
exponente.
B3 21
21 Errores procedimentales a partir de una
representación.
B3 18
17,18 Errores procedimentales en la
conversión
B3 12
14 Errores aritméticos con números
racionales.
B3 29
25 Errores en los elementos y signos al
despejar una ecuación.
B3 23
30 Errores al reemplazar la ecuación o
teorema.
B4 35
27,31,33. Error al extraer datos de la
representación ubicándolos en el
teorema.
B4 29
28,29,32,34,35. Errores al expresar el teorema. B4 23
Tabla 9 clasificación de errores asociados a la dificultad B
Para esta dificultad encontramos errores que tienen procedencia a los procesos de
pensamiento matemático, teniendo en cuenta la teoría en la que se basan las dificultades, según
la tabla anterior se puede afirmar que los estudiantes no incurren en errores de tipo B3
relacionados a la lógica social, esto puede deberse a que al interpretar la situación, solo buscan
los elementos necesarios para solucionarlos, pero no llegan a una interpretación crítica de los
datos presentados en la situación problema, no se preguntan si dichos datos corresponden a datos
en los espacios reales.
Para la categoría B1 encontramos errores relacionados con la deducción lógica, de estos
errores se pueden caracterizar los errores al sustentar alguna propiedad en una representación,
por ejemplo en la evidencia 7 y 11 los estudiantes por medio de la representación y los
conocimientos previos asumen propiedades incorrectas al decir “todos los triángulos
59
rectángulos son semejantes por tener un ángulo de 90°” o “los ángulos internos de un triángulo
son igual a 90°” dichas afirmaciones que realizan los estudiantes se relacionan con la forma de
realizar un proceso de deducción lógica frente a la situación problema, mostrando en varios
casos deducciones erróneas para proceder a solucionar el problema, este tipo de error puede
deberse a los conocimientos previos que tiene el estudiante en álgebra y geometría.
Otros tipos de errores evidenciados en esta categoría son los relacionados con errores al
establecer datos, conjeturas o procedimientos erróneos, en las evidencias 1,3,6,8, los estudiantes
argumentan su respuesta o realizan procedimientos con elementos que no les brinda la situación
problema si no son propuestos arbitrariamente, con la intención de completar los datos que les
exige la ecuación o el teorema, además de intentar convertir unidades de medidas como se
presenta en las evidencias 4,5 pasar los lados del triángulo a una medida angular.
Para la categoría B3 tenemos los errores relacionados con errores procedimentales y
algorítmicos de carácter aritmético y algebraico y los relacionados con las razones
trigonométricas, este tipo de errores identificados en la tabla anterior se presentan de la siguiente
manera:
Los relacionados con los errores procedimentales a partir de una representación, este
tipo de errores se presentan en los estudiantes partiendo de una representación asumen algunos
valores arbitrarios y realizan procedimientos a partir de estos, mostrando errores en los
resultados de los lados y ángulos que debían hallar según ha indicación de la situación problema.
En las demás evidencias errores de tipo aritmético 12, 13, 15, 20, 22 en la jerarquía de
operaciones por ejemplo los estudiantes al realizar operaciones después de realizar procesos de
despeje de las ecuaciones no tiene en cuenta los inversos multiplicativos y aditivos, además
cometen errores aritméticos cuando tratan de resolver números elevados a una potencia como
4² obteniendo como resultado 8, creen que elevar al cuadrado es multiplicar por el exponente 2,
también en la evidencia 24 se presentaron confusiones entre símbolos matemáticos es decir la
operación era una suma y realizaban multiplicación.
Por otro lado se presentaron errores al realizar conversiones para lograr encontrar
ángulos, por ejemplo en la evidencia 14 asumen que para pasar de grados a radianes solo se
debe dividir en 180 despreciando el valor de π,
En otras evidencias los estudiantes presentan errores al momento de realizar
procedimientos con las razones trigonométricas específicamente al despejar ángulos, como en
60
la evidencia 26 al eliminar el exponente -1 en coseno utilizan como método de eliminación raíz
cuadrada, presentando así un error algebraico,
Para la categoría B4 tenemos errores relacionados con la forma en que se utiliza la
ecuación o teorema a partir de una representación o del mismo enunciado de la situación
problema, también se puede evidenciar el mal uso de dicho teorema o ecuación con errores en
la forma de presentarlo, al momento de ubicar los datos en la expresión o al momento de hacer
la correspondencia de los elementos del teorema con los datos que brinda el problema.
En el primer caso en la evidencia 30 podemos observar los errores que cometen los
estudiantes al realizar el reemplazo en el teorema por ejemplo el reemplazo incorrecto ubicando
solamente el ángulo (53°) y no el dato indicado seno del ángulo (Sen 53°), por dicha razón es
evidente el error al realizar el procedimiento.
Por otro lado un error en el que cayeron varios estudiantes, se observa en las evidencias
27, 31,33, al momento de extraer los datos de la representación y ubicarlos en el teorema, por
ejemplo el hecho de que la representación muestre los datos, pero el estudiante no extrae los
datos correspondientes al teorema conlleva a un error de este tipo.
Por último los errores que cometen con más frecuencia los estudiantes, son aquellos en
la expresión del teorema probablemente debido a no recordarlo bien o errores al expresarlo por
la inmediatez de la respuesta, por ejemplo en las evidencias 28, 29, 32, 34, 35. Muestra el
teorema con correspondencias incorrectas que involucran principalmente la correspondencia de
lados y ángulos en los teoremas del seno y coseno.
Errores identificados a través de entrevistas y encuestas relacionados con las
dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales.
Las evidencias de esta categoría se determinaron por medio de dos instrumentos
entrevistas y encuestas, para las cuales se generan dos tablas independientes como se muestra a
continuación:
Entrevistas.
1. ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso la situación problema antes de
resolverla?
Emociones Evidencia Análisis Frecu
encia
Categor
ía de
61
dificulta
d que lo
justifica
1 Intriga
Correspondiente (V1,T 0:11-
0:36)
Santiago : “intriga de cómo
empezar a resolverlo y luego
pues llegar al resultado que
uno tenga la certeza de que
ese es”
El estudiante manifiesta
que siente emoción de
intriga por resolver el
problema dicha emoción
que actúa como factor de
interés por resolver el
problema o llegar a un
punto de no entender a
donde se quiere llegar y
abandonarlo.
2 C1
2 Confusión
Correspondiente (V2,T 0:18-
0:27)
Paula: “pues es como muy
confuso, porque la verdad son
problemas que uno no está
muy acostumbrado a
resolver”
La estudiante argumenta
que siente confusión a la
hora de resolver
situaciones problema, esto
se debe al nivel de
interpretación que deben
utilizar para llegar a
conjeturas
representaciones
procedimientos y
argumentos válidos.
3 C2
3 Temor
Correspondiente (V5,T 0:16-
0:35)
Edward: pues temor porque
pues algunos de los puntos
que nos correspondió o sea
nos tocó trabajar no me
acordaba bien, entonces pues
eso era.
El estudiante dice tener
temor a la hora de abordar
el problema, lo cual
conllevaría a poder
presentar errores debido al
desconocimiento del
concepto matemático que
se trabajaba en la situación.
1 C2
Tabla 10 Emociones pregunta 1 entrevista
2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver la situación problema?
N Emociones Evidencia Análisis Frecu
encia
Categor
ía de
dificult
ad que
lo
justific
a
4 Inseguridad
Correspondiente (V1,T 0:53-
1:10)
El estudiante establece que
la inseguridad como
2 C2
62
Santiago: “Emociones más
que todo de inseguridad,
porque uno empieza a pensar
más que todo, que a uno el
procedimiento le está
quedando mal, a que uno está
llegando a un procedimiento
de total confiabilidad”
emoción que se produce al
realizar una situación
problema puede generar
procedimientos incorrectos
o dudosos cuando se está
abordando la prueba.
5 Estrés
Correspondiente (V2,T 0:52-
1:15)
Paula: “es como estrés porque
a veces uno se confunde, al
momento de hacer una cosa y
no le sale, entonces uno
piensa que está mal y luego
empieza como a desconfiar de
uno y empieza a preguntar sin
saber si está mal o no”
El estrés como emoción
según la estudiante,
produce confusiones a la
hora de abordar un
procedimiento
matemático, planteando
que existe desconfianza de
lo que está realizando, es
decir que los
procedimientos plasmados
en la prueba carecen de
validez por el estudiante.
2 C2
6 Felicidad
Correspondiente (V5,T 0:40-
0:46)
Edward: “Felicidad porque
pues uno lo resuelve”
1 NC
7 Miedo
Correspondiente (V6,T 1:10-
1:20)
Yari: miedo no sabía si era lo
que hicimos
La estudiante manifiesta
que el miedo implica a que
ellos realizaban
procedimientos pero no
sabían si realmente era lo
que estaba pidiendo el
problema, es decir que
carecía de validez la
solución obtenida
1 C3
Tabla 11 Emociones pregunta 2 entrevista
3. Durante los intentos por resolver la situación problema ¿te has afanado por lograr una
solución refinada? Sí, no ¿por qué?
N Respuesta Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
8 Si Correspondiente (V1,T 1:23-1:36) 6 NC
63
Santiago: “si porque uno siempre va a
buscar la manera de encontrar la
solución, pues en este caso creo que solo
había una solución para cada problema y
pues uno siempre se afana por buscar esa
solución, como por llegar a demostrar
que uno es capaz de demostrar eso”.
Correspondiente (V5,T 1:00-1:16)
Edward: “si pues tratarlo de hacer
resolver el problema perfectamente para
que quede bien la solución” Tabla 12 Emociones pregunta 3 entrevista
4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de tus
compañeros/as?
N Reacciones Evidencia Análisis Frec
uenc
ia
Categorí
a de
dificulta
d que lo
justifica
9 Conflicto Correspondiente (V1,T 1:49-
2:15)
Santiago: pues uno que
siempre entra a resolver un
problema con los compañeros,
pues uno siempre entra en un
conflicto de choque, pues
porque ellos piensan una cosa
uno piensa otra, y cada uno de
nosotros piensa que tenemos
la verdad, pero lo que hicimos
fue tratar de pensar entre todos
y llegar a una misma solución,
pero aunque no se nos dio
terminar el problema.
El estudiante expresa que
el conflicto que se genera
en un grupo de trabajo al
resolver el problema es
debido a las ideas
diversas de cada uno, lo
que puede generar
diferentes respuestas o
procedimientos que
confronten lo que piensa
cada estudiante.
1 C3
10 Impotencia Correspondiente (V4,T 1:30-
1:48)
Harold: impotencia porque
ellos ya tenían una forma ya
clara de hacerlo
El estudiante indica
impotencia por no poder
ofrecer ayuda para
resolver el problema,
creando así en el
estudiante rechazo frente
a problemas matemáticos
ya que piensa que su
1 C3
64
punto de vista no
aportaría a la solución del
problema.
11 Dialogo Correspondiente (V6,T 2:00-
2:05)
Yari: pues primero
analizamos a ver si tenía
lógica lo que estaban
hablando y después miramos
cual era la más, que se
acercaba más y escogimos esa
1 NC
12 Búsqueda
de un
acuerdo
Correspondiente (V2,T 1:45-
2:00)
Paula: pues a veces teníamos
como ideas muy diferentes,
pues tocaba llegar como a un
acuerdo, pero todos decíamos
algo diferente y no nos
poníamos de acuerdo,
entonces tocaba hacer lo que
nosotros creíamos que estaba
bien.
Entrevistador: ¿ósea llegaban
como a?
Paula: a un acuerdo de esto,
ósea, esto puede estar bien,
esto se pasa a veces al pasar
los signos y esas cosas.
1 NC
13 No escucho
Correspondiente (V5,T 1:22-
1:34)
Edward: pues yo no escuche.
Entrevistador: o sea en tu
grupo las ideas las dabas tú.
Edward: si, exacto entre
nuestro grupo se hacía todo.
1 NC
14 Aceptación Correspondiente (V5,T 1:41-
1:55)
Entrevistador: las ideas las
dabas tú
Edward: no entre los tres
1 NC
65
Entrevistador: pero tu
reacción cual fue ante eso
Edward: pues aceptable
porque al momento de lo que
ellos pensaban, también era
relacionado con lo que yo les
iba a decir.
Tabla 13 Emociones pregunta 4 entrevista
5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia la situación problema están condicionadas por tus
experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Por qué?
N Reacciones Evidencia Análisis Frecu
encia
Categorí
a de
dificulta
d que lo
justifica
15 Están
relacionadas
con las
experiencias
pasadas en
matemáticas
.
Correspondiente (V5,T
2:15-2:30)
Edward: frente a lo que he
visto en matemáticas pues
porque los conocimientos
que yo tengo son, pues lo que
nos han enseñado y es
relacionado con el problema
que nos colocaron
El estudiante indica que
las reacciones o
emociones que tiene
frente al problema están
condicionadas por los
aprendizajes y
conocimientos previos
antes desarrollados, es
decir que es gracias a lo
que conocen surgen las
reacciones.
6 C4
Tabla 14 Emociones pregunta 5 entrevista
6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema? Sí, no ¿Por qué?
N Reacciones Frec
uenc
ia
Categorí
a de
dificulta
d que lo
justifica
16 Si cambian
las
emociones
Correspondiente (V2,T 3:42-
4:05)
Paula: “Si, Claro porque uno
puede estar normal en la clase,
poniendo cuidado sí, pero
como cuando a uno le
empiezan a hacer un problema,
pues uno ya empieza a analizar
mejor las cosas, uno empieza a
La estudiante afirma que
las emociones cambian
en el momento que se
cambia la actividad, es
decir el momento que en
que está adquiriendo el
conocimiento al
momento donde debe
reflejar lo aprendido en
la resolución problemas,
6 C1
66
pensar más, a dudar más
porque ya es como poner en
práctica lo que uno ha puesto
atención a las clases”.
y que esto conlleva a que
las emociones cambien
y estén relacionadas con
los resultados obtenidos. Tabla 15 Emociones pregunta 6 entrevista
Encuestas.
1 ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso la situación problema
antes de resolverla?
N Emociones Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
17 Confusión “confusión total ya que no me acordaba
de los temas” (E,13)
9 C4
18 Ansiedad 1 C1
19 Nervios “nervios porque no tengo mucha
memoria , pero ir leyendo fui analizando
y me fluyeron las respuestas” (E,2)
9 C2
20 tranquilida
d
“tranquilidad al entender los problemas
planteados”(E,5)
2 NC
21 intriga 4 C1
22 Bien “me sentí bien porque vi cosas que ya
sabía” (E,9)
2 NC
23 malgenio “experimente nuevas emociones de
malgenio porque no podía solucionar”
(E,12)
1 C2
24 ninguna “ninguna pues este tipo de pruebas las
resolvemos muy seguido mediante
talleres” (E,20)
1 NC
25 estrés “estrés de no poderlo resolver bien”
(E,22)
3 C2
26 temor “pues un poco de temor por no saber
cómo me desempeñaría” (E,26)
1 C1
Tabla 16 Emociones pregunta 1 encuesta
2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver la situación problema?
N Emociones Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
27 Malgenio Correspondiente encuesta 21 (E,21)
“rabia porque todo lo que hice me quedo
mal”
3 C2
67
28 Alivio Correspondiente (E,9)
“me sentí aliviada porque entendía
cómo resolverlo”
4 NC
29 Nervios “nervios por no poder resolverlo 4 C2
30 Ignorancia “ignorancia de no poder hacer lo más
básico
1 C4
31 Normal 1 NC
32 Pensativo 1 C1
33 Estrés Correspondiente (E,22)
“más estrés porque me quedo mal”
8 C2
34 Duda “duda por que no estaba segura de cómo
resolverla”
1 C1
35 Frustración 1 C1
36 Adrenalina “adrenalina de poder pensar más rápido
para la solución”
1 C2
37 Nauseas 1 C1
38 Entusiasmo Correspondiente (E,31)
“entusiasmo por saber el resultado”
1 NC
39 Ansias Correspondiente (E,3)
“ansias por entender el tema”
1 C1
40 calma “me calme por que empecé a entender” 2 NC
41 Alivio “me sentí aliviada porque entendí la
mayoría de problemas”
4 NC
Tabla 17Emociones pregunta 2 encuesta
3. Durante los intentos por resolver la situación problema ¿te has afanado por lograr una
solución refinada? Sí, no ¿por qué?
N Respuesta Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
42 si “por qué me daba mucha curiosidad y
era muy largo”
25 NC
43 no “no porque tenemos que hacerlas
despacio para poder solucionar”
5 NC
Tabla 18 Emociones pregunta 3 encuesta
4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de
tus compañeros/as?
N Reacciones
compañeros
Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
44 Rabia Correspondiente (E,11) 5 C3
68
“rabia de que ellas puedan y yo no”
45 Confusión Correspondiente (E,2)
“confusa porque tenía una respuesta
diferente”
4 C3
46 Buena Correspondiente (E,3)
“buena ya que nos ayudan a hacer el
ejercicio”
3 NC
47 Ninguna “ninguna porque teníamos lo mismo” 2 NC
48 Susto Correspondiente (E,4)
“asustada por que todos teníamos
soluciones diferentes hasta que nos
pusimos de acuerdo”
4 C3
49 Estrés 4 C3
50 Alegría 1 NC
51 Duda Correspondiente (E,19)
“duda ya que teniendo una respuesta y
escuchar las otras le da a uno
desconfianza”
1 C3
52 No los tuvo
en cuenta
Correspondiente (E,10)
“la verdad no ponía atención a mis
compañeros estaba concentrado en lo
mío”
2 C3
Tabla 19 Emociones pregunta 4 encuesta
5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia la situación problema están condicionadas por
tus experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Por qué?
N Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
53 Si Correspondiente (E,1)
“ si porque son temas vistos en el colegio”
Correspondiente (E,3)
“si por que en anteriores años nos habían
explicado bien los temas”
18 C4
54 No Correspondiente (E,17)
“no porque siempre estoy callado para
resolver problemas matemáticos, pero esto
es algo que no se ve mucho y me altero”
Correspondiente (E,7)
“no, eso ya viene en cada quien ”
6 C2
55 No se Correspondiente (E,28)
“no sé, por qué no se”
2 NC
69
Tabla 20 Emociones pregunta 5 encuesta
6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema? Sí, no ¿Por qué?
N Frecuencia Categoría
de
dificultad
que lo
justifica
56 Si Correspondiente (E,3)
“si ya que uno se mete en el cuento de
hacer y entender el tema”
Correspondiente (E,19)
“si porque cuando inicio quiero terminarlo
y me cambian las emociones
radicalmente”
23 C1
57 No “no por que trato de mantener mi cabeza
fría al resolver un problema matemático”
3 C1
Tabla 21 Emociones pregunta 6 encuesta
En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las encuestas y entrevistas,
mostrando asociando de las emociones y actitudes afectivas que conlleva a que se presenten
errores al trabajar una situación problema.
Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales
N Motivos por los que se pueden generar
errores.
Categoría Frecuencia
Cantidad
Estudiantes
1,18,21,26,32,34,35,
37,39
Sentir emociones de intriga, ansiedad,
temor, duda, frustración, no deja resolver
el problema.
C1 12
16,56,57 Al cambiar las emociones, se cometen
errores
C1 11
2,19,23 Por nuevas emociones al intentar resolver
el problema, confusión, nervios y
malgenio.
C2 6
30,33,25 Por estrés, temor, rabia al no poder hacer
el ejercicio.
C2 5
27,31 Por Inseguridad de la respuesta. C2 8
29, 32 Por Estrés al saber que tiene mal el
resultado
C2 9
8,44 Por miedo y rabia de no ser escuchado. C3 7
70
9,51,52 Por estrés, duda generando conflicto en el
desarrollo de la prueba.
C3 5
37, 45, 48,49 Por impotencia, confusión y duda al tener
diferentes respuestas.
C3 6
15,53 Por experiencias pasadas en matemáticas C4 6 Tabla 22 clasificación de errores asociados a la dificultad C
Con la descripción y el análisis realizado para esta dificultad, y de forma específica las
cuatro categorías, hemos tratado de poner de manifiesto las relaciones entre los procesos
afectivos y cognitivos en situaciones problema intentando explicar las causas y consecuencias
de la interacción emocional que tiene el estudiante en las diferentes fases de la resolución de
problemas.
A partir de las evidencias de estos estudiantes, hemos enunciado aspectos significativos
para conocer las emociones y posibles motivos por los cuales se cometen errores al resolver una
situación problema.
Por un lado tenemos las emociones que nacen al enfrentarse al problema matemático
(C1), un grupo de estudiantes indica que la mala interpretación y la complejidad de la situación
problema puede confundir, estresar e indisponer, a los estudiantes para realizar la prueba
correctamente, lo que conlleva a que se presenten errores en el desarrollo de la situación
problema, que se relacionan con las emociones surgidas por los procesos de resolución de
problemas de tipo (C2), momento en el que estudiantes pueden proponer ideas, procedimientos,
ejemplos, pero expresan que sienten inseguridad y/o miedo a la hora de validar los
procedimientos realizados.
Por lo visto en las entrevistas y encuestas los estudiantes consideran que las emociones
generadas en el trabajo en grupo (C3) se deben por desconocimiento matemático de algunos
estudiantes, sintiéndose incapaces de proponer sus ideas o ya sea por las diversas ideas que se
tienen al desarrollar un problema matemático y entrar en conflicto para decidir cuál es la más
acertada. Finalmente la mayoría de estudiantes afirman que las emociones presentadas en las
fases de resolución de problemas están directamente relacionadas con sus experiencias
matemáticas y que por dicha razón es que se presentan errores en las situaciones problema.
71
CONCLUSIONES
Al iniciar este trabajo nos propusimos realizar una clasificación y análisis de errores y
dificultades (E-D) que presentan los estudiantes de grado décimo a la hora de trabajar problemas
de resolución de triángulos haciendo uso de conceptos y procesos de la trigonometría, para esto
diseñamos no solo categorías en las que podíamos enmarcar los errores y dificultades si no
situaciones problemas que los abarcaban, de esta manera creemos que la resolución de
problemas es parte fundamental en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes
y que aumenta significativamente la dificultad de las matemáticas, y por tanto requieren un
mayor esfuerzo por parte de los estudiantes, de igual manera esta metodología propicia que los
estudiantes cometan un mayor número de errores, y permite identificar más dificultades y
errores que en una metodología tradicional, pero creemos que lejos de ser algo que entorpezca
los procesos de enseñanza aprendizaje es una metodología que realmente enriquece los procesos
educativos, que esos errores se pueden convertir en fortalezas y que de esta manera se logra un
verdadero aprendizaje significativo en los estudiantes.
Al diseñar el instrumento que permitió identificar el tipo de dificultades y errores que
surgirían en los estudiantes la idea inicial era elaborar un solo instrumento y aplicarlo de manera
individual para recolectar los datos. En el momento de realizar la prueba de validación se vio la
necesidad de elaborar un instrumento específico por cada tema y la posibilidad de trabajar en
grupos para implementar la metodología de resolución de problemas. En el momento que los
estudiantes resolvían la prueba se identificó gran dificultad al momento de usar teoremas del
seno y el coseno, principalmente cuando deben realizar despejes en la ecuación, o usar datos
para remplazarlos en el teorema.
Los errores encontrados en las pruebas enfocadas en la resolución de triángulos,
permitieron identificar los posibles orígenes, como se pudo observar en el análisis de resultados,
existen errores de tipo aritmético, algebraico y geométrico, con lo cual concluimos, que los
errores presentados en la trigonometría, especialmente en problemas con resolución de
triángulos, tienen una estrecha relación con la aritmética, la geometría y el álgebra, ya que los
conocimientos y destrezas que tengan los estudiantes en éstas, facilita/obstaculiza un mejor
entendimiento en conceptos relacionados con la trigonometría.
Gracias a este trabajo afinamos las categorías planteadas con ayuda de los referentes
teóricos y las categorías emergentes surgidas en el proceso de análisis, se puede realizar una
72
clasificación de tres tipos; las tipo A: correspondiente a los errores relacionados con la
complejidad del objeto matemático, de tipo B: los errores relacionados con procesos de
pensamiento matemático y por ultimo las de tipo C: relacionadas con las actitudes y emociones
que se generan durante las fases del proceso de resolución de problemas. Con estas categorías
pudimos identificar diferencias radicales en los tipos de errores que pueden cometer los
estudiantes, es decir muchas veces como docentes suponemos que los estudiantes tienen una
dificultad o cometen un error simplemente por falta de conocimiento, no nos detenemos a mirar
por ejemplo: ¿Cuál es la dificultad de los objetos matemáticos que tratamos para los estudiantes?
¿Qué procesos de pensamiento matemático se pueden generar en los estudiantes? o simplemente
fijarnos en las actitudes o emociones que pueden estar sintiendo nuestros estudiantes al
enfrentarse a una situación problema o en general hacia las matemáticas.
Con el análisis realizado en la dificultad relacionada con las actitudes afectivas y
emocionales, queremos hacer notar que en la práctica educativa, para nuestro caso en la
actividad matemática, el desarrollo de la dimensión emocional es un factor muy importante en
los estudiantes a la hora de enfrentarse a una situación problema, ya que los estudiantes sustentan
que la variedad de errores se presentan por las actitudes, reacciones y emociones al abordar un
problema matemático, además de considerar las experiencias pasadas en las matemáticas como
factor principal de la presencia de dichos errores, detalles que como docentes olvidamos y que
debemos tener presentes a la hora de analizar dónde se originan los errores y no solo pensar en
el objeto matemático.
En el análisis de resultados se vio necesario generar nuevas categorías llamadas
categorías emergentes para poder analizar los errores cometidos por los estudiantes, ya que las
categorías teóricas inicialmente planteadas no abarcaban completa y específicamente la
naturaleza del error, dichas categorías emergentes se describen de la siguiente manera; A4
dificultad en la interpretación del problema reflejados en una representación, esta categoría
contempló aquellos problemas en la interpretación que realizaron los estudiantes a la situación
problema, presentando errores al ubicar datos incorrectos o propiedades que no corresponden
con el enunciado de la situación. La categoría A5, confusiones a partir de los símbolos
matemáticos (≅ 𝛼 ⊀ ≠ ‖ ), esta categoría abarcó los errores que presentaban los estudiantes a
la hora de interpretar los símbolos matemáticos involucrados en la situación problema,
presentando confusiones o desconocimiento al momento de ubicar datos. Por último, la
73
categoría B4, expresar y aplicar un teorema o ecuación incorrecta por los elementos que toma
de la representación o simplemente el teorema no es el indicado para resolver el ejercicio.
En el análisis se evidencia que los estudiantes no incurrieron en las categorías A1, A3
relacionadas con la complejidad del objeto matemático (Comprensión y Comunicación), se
especula que los estudiantes no presentan errores en estas categorías, debido al transcurso en la
materia trigonometría ya que se han familiarizado con los conceptos y términos, ya sea porque
tienen significados diferentes en el lenguaje matemático y en el lenguaje habitual o porque no
presentan problemas en asociar palabras que tienen un mismo significado en estos dos tipos de
lenguaje.
Las tres situaciones problema planteadas buscaban analizar errores y dificultades en la
resolución de triángulos a partir de tres teoremas esenciales (teorema de Thales, de Pitágoras y
Seno y Coseno), al aplicar las pruebas no se buscaba realizar un tipo de comparación, ni tampoco
se tuvo en cuenta aplicar pruebas específicas para un curso u otro, ya que la población a la cual
se aplicaron las situaciones problema es en general el grado décimo, debido a que el interés del
análisis del presente trabajo descarta dificultades de origen ontogenético y didáctico. Por otro
lado, en los procesos realizados por los estudiantes se evidencian que tenían una mayor
dificultad con las situaciones problema asociadas al teorema del seno y el coseno, por tanto,
aunque todas las situaciones planteadas buscaban analizar errores y dificultades en procesos de
resolución de triángulos, estos eran más evidentes y tenían una mayor frecuencia en situaciones
de este tipo. También debemos tener en cuenta que algunos de los errores que evidenciamos se
pudieron dar por el diseño, la representación de las imágenes o el enunciado de las situaciones
problema, aunque esta situación se trató de eliminar al máximo, de ahí que se hiciera un pilotaje
de los problemas que constituirían el instrumento final, no se descarta del todo la influencia de
este factor en lo presentado por los estudiantes.
Este trabajo puede contribuir a docentes en formación de matemáticas o en ejercicio al
análisis de sus prácticas educativas ya que les brinda una categorización de los posibles errores
y dificultades que pueden cometer los estudiantes a la hora de resolver situaciones problema
asociadas a la resolución de triángulos, de esta manera se busca crear una base que muestre los
diferentes orígenes de estos, además que aporte a los al diseño de actividades que ayuden a
superar dichos errores y dificultades.
74
Bibliografía
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Anexos
Todas las evidencias (videos, entrevistas, encuestas, pruebas escritas, entre otros) se
encuentran en el siguiente link.
https://www.dropbox.com/sh/6xupvpwu8vmjw06/AAC4AKGkRhS3GyYmAibjmHgVa?dl=0