estruturas - porticos
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8/20/2019 Estruturas - Porticos
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PÓRTICOS
SÃO ESTRUTURAS LINEARES PLANAS, NÃO SENDOCONSTITUÍDAS DE BARRA ÚNICA, TEORICAMENTE, DE EIXO
RETILÍNEO, COM SEUS ELEMENTOS ESTRUTURAIS,GERALMENTE, UNIDOS POR NÓS RÍGIDOS, PODENDO EXISTIR
ARTICULAÇÕES.
NO SEU CASO SIMPLES NECESSITA DE TRÊS EQUAÇÕES DEEQUILÍBRIO PARA SER DETERMINADO
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TIPOS DE PÓRTICOS
PÓRTICO EM BALANÇOPÓRTICO TRI-ARTICULADO
PÓRTICO ATIRANTADO
* PÓRTICOS SIMPLES:
* PÓRTICOS MULTIPLOS
* PÓRTICOS COMPOSTO
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PÓRTICOS PLANOS SIMPLES
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PÓRTICOS EM BALANÇO
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PÓRTICO TRI-ARTICULADO
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Tirante
PÓRTICOSATIRANTADO
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PÓRTICO - Com Carga Concentrada
10kN
4m
6m
CB
AD
10kN
6m
4m
HDVDVA
Diagrama de corpo livre
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
∑MA = 0
(-10 . 2)+(VD . 4 ) = 0VD = 5kN
∑FV = 0VA + VD – 10 = 0
VA = 5kN
∑FH = 0
HD = 0
10kN
6m
4m
HD
VD = 5kNVA = 5kN
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO – Com carga distribuída
∑MA = 0
(-14 . 3,5)+(2,8 . 2,5)+(VD . 7 ) = 0
VD = 6kN
∑FV = 0VA + VD – 14 = 0
8 + 6 – 14 = 0
∑FH = 0HA - 2 , 8 = 0
2kN/m
4m
7m
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,5m
∑MD = 0
(2,8 . 2,5)+(14 . 3,5)+(-VA . 7 ) = 0
VA = 8kN
HA = 2,8kN
14kN
2,8kN
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
15kN/m
4m
5kN/m
30kN3kN/m
3m
6m 9m
A B C
D
q1 = 3 . 7 = 2 1 k N
q2 = 1 5 . 6 = 9 0 k N
q3 = 5 . 4 = 2 0 k N
90kN
21kN
20kN
VA VB VC
HA
HB
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
5kN/m
30kN
9m
C
D
20kN
VC
HD
VD
∑FH = 0
HD = 20kN
= > - 2 0 + HD = 0
∑MC = 0
(20.2)+(30.4,5)+(-20.4)+(-VD . 9 ) = 0
VD = 10,56kN
∑FV = 0 => 10,56 – 30 + VC = 0
VC = 19,44kN
= 20kN
= 10,56kN
= 19,44kN
-
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
15kN/m
B
D
21kN
FH
FV
VA
A
3kN/m
90kN
VB
HBHA
4m
3m
6m
FH = HD
FV = VD
= 20kN
= 10,56kN
HD e VD estão comprimindo portanto:
FH FV
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
15kN/m
B
D
21kN
FH = 20kN
FV = 10,56kN
∑MD = 0
HB . 4 = 0
VA
A
3kN/m
90kN
VB
HB = 0HA
4m
3m
6m
=> HB = 0
∑FH = 0 => 21+ HA - 2 0 = 0
HA = -1kN => portanto:HA
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
15kN/m
B
D
21kN
FH = 20kN
FV = 10,56kN
∑MD = 0
HB . 4 = 0
VA = 46,08kN
A
3kN/m
90kN
VB = 54,48kN
HA= 1kN
4m
3m
6m
=> HB = 0
∑FH = 0 => 21+ HA - 2 0 = 0
HA = -1kN
HB = 0
∑MB
= 0
(20.4)+(-21.3,5)+(90.3)+(-VA. 6 ) = 0
VA = 46,08kN
∑FV = 0 -90 -10,56 +46,08 + VB = 0VB = 54,48kN
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5kN
3kN
HA
VA VD
∑FH = 0
HA
+ 3 = 0
HA = 3kN
VD = 4,75kN
∑FV = 0
VA – 5 + 4,75 = 0
= 3kN
∑MA = 0
(-3 . 3)+(-5 . 2)+(VD . 4 ) = 0
VA = 0,25kN = 4,75kN0,25kN =
CÁLCULO DAS REAÇÕES
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DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR
5kN
3kN
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DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL
CONVENCIONAR
COMPRESSÃO
TRAÇÃO
NEGATIVO
POSITIVO
DENTROFORA
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DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
DEN
VA = 0,25kN
A Reação de 0,25kN é
resultado de uma compressãode igual intensidade.
0,25kN
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DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
DEN
VD = 4,75kN0,25kN
A Tração é representada por(+) positivo, e a Compressãopor (-) negativo.
O exterior é representadopor (+) positivo, e o interiorpor (-) negativo.
4,75kN
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DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
DEN
4,75kN
3 – 3 = 0=
0,25kN
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
DEN DEC
HA = 3kN0,25kN 4,75kN
3m
3kN
ForçaCortante
POSITIVA
ForçaCortante
NEGATIVA
-
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
DEN
0,25kN 4,75kN
DEC
3kN
VA = 0,25kN
3m
0,25kN5kN
2m
-
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
DEN
0,25kN 4,75kN
DEC
3kN
0,25kN
5kN
4,75
5 + 0,25 = -4,75kN
-
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
DEN
0,25kN 4,75kN
DEC
3kN
0,25kN
-4,75 + 4,75 = 0
4,75kN
0
VB = 4,75kN
-
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DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
DEN DEC
0
0,25kN 4,75kN 3kN
0,25kN
4,75kN
-
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DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
Compressão
Tração
O Momento é sempre lançado do lado da Tração
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
DEN
0,25kN
DEC
3kN
0,25kN
4,75kN
0
DMF
∑MA = 0
( - 3 . 3 ) + M = 0 = >
9kNm
4,75kN
3kN
3m
6m
M = 9kNm
-
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
DEN
0,25kN
DEC
3kN
0,25kN
4,75kN
0
DMF
9kNm
∑MBA = 0
(-3 . 6)+(3 . 3)+M = 0 =>
9kNm
3kN
3m
3kN
3m
M = 9kNm
-
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
DEN
0,25kN
DEC
3kN
0,25kN
4,75kN
0
DMF
9kNm
∑MBC = 0
(-5 .2)+(4,75.4)+M=0=>
9kNm
9kNm
No Momento o interior é representado por(+) positivo, e o exterior por (-) negativo. M = 9kNm
2m5kN
4,75kN
-
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
DEN
0,25kN
DEC
3kN
0,25kN
4,75kN
0
DMF
9kNm
9kNm
9kNm S1
9,5kNm
4,75kN∑MS1 = 0
(4,75 . 2)+M = 0 => M = 9,5kNm
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
DEN DEC DMF
MC = 0
S1
0
0,25kN 3kN
0,25kN
4,75kN
0
9kNm
9kNm
9kNm
9,5kNm
4,75kN
-
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DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
DEN
0,25kN
DEC
3kN
0,25kN
4,75kN
0
DMF
9kNm
9,5kNm
0
0
9kNm
9kNm
4,75kN
-
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2kN/m
4m
7mHA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL
DEN
A
C
D
B
A
C
D
B
2,8kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL
DEN
8kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL
DEN
8kN 6kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL
DEN
2,8kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
8kN 6kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL
DEN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
2,8kN
8kN 6kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
ForçaCortantePOSITIVA
ForçaCortanteNEGATIVA
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN DEC
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
2,8kN
2,8kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
40/71
2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN DEC
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
2,8kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
41/71
2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
DEC
2,8kN
2,8kN
2,8kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
42/71
2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
DEC
2,8kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN 2,8kN
2,8kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
2,8kN
2,8kN
DEC
8kN
d = 8kN / 2kN/m
d = 4m
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
d = 4m
14 - 8 = 6
6
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN DEC
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
2,8kN
8kN d = 4m
2,8kN
V(x) = - q(x) dx
V(x) = - 2 dx
V(x) = - 2x + C
V ( 0 ) = 8 = > C = 8
V(x) = -2x + 8
V ( x ) = 0 = > - 2 x + 8 = 0
-2x=8=> x = 4 mHA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN DEC
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
2,8kN
8kNd = 4m
2,8kN
V(7) = ?
V ( x ) = 0 = > - 2 x + 8 = 0
V(7) = 6kN
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
6kNV(7) = -2 (7) + 8
V(7)=-14+8
V(7) = -6
-
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2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN DEC
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE
4m
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
2,8kN
8kN
2,8kN
6kN
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
47/71
2kN/m14kN
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
Compressão
TraçãoHA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
-
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48/71
2kN/m14kN
2,8kN
DMF
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
M(x)= -2,8 . X
M(0)= 0
-11,2
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
M(4)= -2,8 . 4
M(4)= -11,2 kNm
-
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2kN/m14kN DMF
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
M(x) = 2,8 . xM(0) = 0
11,2kNm
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
2,8kN
M(1,5) = 2,8 . 1,5M(1,5)= 4,2 kNm
4,2kN
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
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2kN/m14kN DMF
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
11,2kNm 4,2kNm
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
51/71
2kN/m14kN
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
M(x) = -x2 + 8 x + C
M(x) = -x2 + 8x - 11,2
M(x) = - V(x) dx
M(x) = - 2x + 8 dx
M(x) = -1/2 . 2x2 + 8 x + C
M(0) = -11,2 => C = -11,2
11,2kNm 4,2kNm
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
-
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2kN/m14kN
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
-11,2
DMF
11,2kNm 4,2kNm
M(0) = -11,2
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5mM(x) = -x2 + 8x - 11,2
M(7) = -72 + 8(7) - 11,2
M(7) = -4,2
M(0) = -(0)2 + (0)x - 11,2
-
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2kN/m14kN
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
-4,2
11,2kNm 4,2kNm
-11,2DMF
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
4,8
M(x) = -x2
+ 8x - 11,2
M(4) = 4,8 kNm
M(4)=-1 .42 +8 -11,2
M(x) = -x2 + 8x - 11,2
- 2 x + 8 = 0 = >
dM(x) = 0dx
d = (-x2 + 8 - 11,2)=0
dx
x = 4 m
4m
-
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2kN/m14kN
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
11,2kNm 4,2kNm4m
4,2kNm
11,2kNmDMF
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
2,8kN
4m
7m
2,5m
4,8kNm
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
55/71
2kN/m14kN
2,8kN
DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR
11,2kNm 4,2kNm
4,8kNm
4m
4,2kNm
11,2kNmDMF
HA = 2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
4m
7m
2,5m
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
56/71
2kN/m
4m
7m
2,5m
14kN
2,8kN
DMF
DIAGRAMAS DE ESFORÇO NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR
DECDEN
8kN 6kN
2,8kN
2,8kN
2,8kN
8kN 11,2kNm
4,2kNm
4,8kNm
11,2kNm 4,2kNm
6kN
HA=2,8kN
VD = 6kNVA = 8kN
-
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EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
Í Ó
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
58/71
2 kN/m
4m
5m
HB = 4 kN
VB = 6,6kNVA = 3,8kN
2m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN
∑FH = 4 - HB = 0
HB = 4kN (-)
∑MB = 0(VA . 5 ) + ( 4 . 2 ) + ( - 1 0 . 2 , 5 ) = 0
VA = 3,4kN
∑FV = 0
VB = 6,6kN
3 , 4 - 1 0 + VB = 0
Í Ó
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
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2 kN/m
4m
5m
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEN
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN
3,4
3,4
6,6
6,6
4 4
Í Ó
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
60/71
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
2 kN/m
4m
5m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEN
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN
-3,4
-3,4
-6,6
-6,6
-4 -4
CÍC O Ó COS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
61/71
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
2 kN/m
4m
5m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN
10
4
4
6,63,4
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
62/71
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
2 kN/m
4m
5m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN
0
4
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
63/71
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
2 kN/m
4m
5m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN -6,6
3,4 3,4 - 10 = -6,6
0
4
d = 3,4 / 10
d = 0,34m
0,34m
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
64/71
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
2 kN/m
4m
5m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN -6,6
3,4
-6 ,6+6 ,6=00
4
0,34m0
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
65/71
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
2 kN/m
4m
5m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN -6,6
3,4
0
4
0,34m
0
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
66/71
2 kN/m
4m
5m
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DMF
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN 4
4
M(x)= -2,8 . X
M(0)= 0
M(4)= -2,8 . 4
M(4)= -11,2 kNm
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
67/71
2 kN/m
4m
5m
HB = 4 kN
VD = 6,6kNVA = 3,4kN
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DMF
A
C D
B
1 k N
/ m
4kN
3,4
3,4
6,6
6,6
4 4
M(x)= -2,8 . X
M(0)= 0
M(4)= -2,8 . 4
M(4)= -11,2 kNm
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
68/71
2 kN/m
4m
5m
HB = 3 kN
VD = 6,2kNVA = 3,8kN
2m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1kN
1 k N
/ m
4kN
4
1
3
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS 10
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
69/71
2 kN/m
4m
5m
HB = 3 kN
VD = 6,2kNVA = 3,8kN
2m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
DEC
A
C D
B
1kN
1 k N
/ m
4kN
10
4
-1
-3 6,2
3,8
3
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
70/71
2m
5m
2m
10kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
A
C D
B
1kN
4kN
EXERCÍCIO DE PÓRTICOS
-
8/20/2019 Estruturas - Porticos
71/71
4m
5m
HB = 3 kN
VD = 6,2kNVA = 3,8kN
2m
10kNDEC
A
C D
B
1kN4kN
10
4 1
3
6,23,8