8/16/2019 estatica 2016.1

1/95

8/16/2019 estatica 2016.1

2/95

8/16/2019 estatica 2016.1

3/95

8/16/2019 estatica 2016.1

4/95

8/16/2019 estatica 2016.1

5/95

8/16/2019 estatica 2016.1

6/95

8/16/2019 estatica 2016.1

7/95

8/16/2019 estatica 2016.1

8/95

8/16/2019 estatica 2016.1

9/95

8/16/2019 estatica 2016.1

10/95

8/16/2019 estatica 2016.1

11/95

8/16/2019 estatica 2016.1

12/95

8/16/2019 estatica 2016.1

13/95

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14/95

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15/95

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16/95

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17/95

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18/95

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19/95

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20/95

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21/95

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22/95

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23/95

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24/95

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25/95

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26/95

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27/95

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28/95

8/16/2019 estatica 2016.1

29/95

8/16/2019 estatica 2016.1

30/95

8/16/2019 estatica 2016.1

31/95

8/16/2019 estatica 2016.1

32/95

8/16/2019 estatica 2016.1

33/95

DIAGRAMA DECUERPO LIBRE

8/16/2019 estatica 2016.1

34/95

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

1.El primer paso en el análisis de equilibrioun cuerpo es identificar todas las fuerzas

sobre el cuerpo (Diagrama de cuerpo libr

2. Seleccionar el sólido separándolo de apoyo y se desliga de cualquier otro

continuación se grafica el contorno.

3. Indicar el punto de aplicación, magnitud

de las fuerzas externas, incluyendo el p

4. Las fuerzas externas desconocidas

normalmente en reacciones. Las que s

los puntos en que el sólido esta apoya

otros cuerpos.

5. El DCL debe incluir también dimension

permiten calcular momentos de fuerzas

EJEMPLO DEDIAGRAMASDECUERPO LIB

8/16/2019 estatica 2016.1

35/95

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIB

EJEMPLO DEDIAGRAMASDECUERPO LIB

8/16/2019 estatica 2016.1

36/95

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIB

8/16/2019 estatica 2016.1

37/95

8/16/2019 estatica 2016.1

38/95

8/16/2019 estatica 2016.1

39/95

8/16/2019 estatica 2016.1

40/95

8/16/2019 estatica 2016.1

41/95

8/16/2019 estatica 2016.1

42/95

8/16/2019 estatica 2016.1

43/95

EQUILIBRIO DE UN CUERO RIGIDO EN TRES

8/16/2019 estatica 2016.1

44/95

QDIMENSIONES

Para mostrar el equilibrio de un CR en el

espacio es necesario del conocimiento de

seis ecuaciones escalares. Es decir,

Estas ecuaciones son resueltas paradeterminar seis cantidades

desconocidas que pueden ser las

reacciones en lo soportes.

 A veces es más út il apl icar la forma

vectorial de las ecuaciones esto es.

∑   =∑   =

∑   =∑   =

00

00

 y x

 y x

 M  M 

F F 

∑ ∑  ∑== 0   M F  O

8/16/2019 estatica 2016.1

45/95

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

46/95

Determina: (a) el valor requerido de  si la resultante de

tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. (b)

correspondiente magnitud de la resultante

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

47/95

En el sistema de fuerzas mostrado en la f igudetermine la magnitud y la dirección de la fuerresultante.

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA

8/16/2019 estatica 2016.1

48/95

3EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL ESPACIO

2 2 2

ˆˆ ˆ( )

ˆˆ ˆcos cos cos

ˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆˆ ˆ ˆ(cos cos cos )

 R H z

 R x y z

 R

 R

 R x y z

F F F F F i F j F k  

F F i F j F k  

F F i j k  

i j k  Modulo

F F F F  

α β γ 

α β γ 

λ α β γ  

= += + +

= + +

= + +

= + +

= + +

DIRECCIÓN DEL VECTOR FUERZA

8/16/2019 estatica 2016.1

49/95

ˆ

(cos cos cos

cos cos cos

 x y z

 A Ae

 A

 A A A

 A A A A

α β γ 

α β γ 

=

= + +

= + +

= + +

 

j k

  j k

  j k

)

ˆ

1 ˆˆ ˆˆ ( )

ˆˆ ˆˆ

ˆˆ ˆˆ cos cos cos

 A x y

 y x   z

 A

 A

 A Ae

 Ae A i A j Ak  

 A A

 A A   Ae i j k  

 A A A

e i j kα β γ

=

= = + +

= + +

= + +

 

 A 

 A z =γ cos

coscos 22 ++   β α 

 A 

 A x =α cos A 

 A y = β cos

COORDENADAS Y LOS ANGULOS DIRECTORES

FUERZAS EN 3D

8/16/2019 estatica 2016.1

50/95

= +

ˆ ˆ x y

F F i F j

θ

θ

θ

==

=

cos

cos

cos

x

y

z

F F 

F F 

F F 

= + 2 2

x y F F F

FUERZA EN 3D

8/16/2019 estatica 2016.1

51/95

φ φ 

φ θ φ θ

= =

= =

cos , sin

cos cos , cos sin

xy z 

x y 

F F F F  

F F F F  

EJEMPLOLa tensión en el cable es de 350 N

8/16/2019 estatica 2016.1

52/95

La tensión en el cable es de 350 N.

Represente esta fuerza , actuando sobre

el soporte A como un vector cartesiano

2 2 2

(0,0,7.5)(3, 2,1.5)

(3, 2, 6)

(3 2 6 )

3 ( 2) ( 6) 7

3 2 6 3 2 6( )7 7 7 7 7 7

3 2 6350 ( )

7 7 7

(150 100 300 )

 AB

 AB

 AB

 AB AB

 AB

 AB

 A m B m

r B A m

r m

r m

r u

r 

F F u N  

F N 

== −

= − = − −

= − −

= + − + − =

= = − − = − −

= = − −

= − −

i j k

  i j k

i j k

i j k

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

53/95

Encontra la magnitud y la dirección de la resultante de las do

fuerzas mostradas en la figura,

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

54/95

Determina la magnitud

 y los ángulos directoresde la fuerza resultanteactuando en A

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

55/95

Determina el ángulo   θque forman los dos

vectoresfuerzas

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

56/95

Determine la coordenada angular γ y F2 y entonces ecada una de las fuerzas en forma de vectores carte¿Cuál sería la magnitud y direcciónde la fuerza resulta

Los extremos de tres

8/16/2019 estatica 2016.1

57/95

Los extremos de trescables están atados aun anillo en A y los otros

extremos a una placauniforme de 150 kg.Determine la tensión encada uno de los cablespara el equilibrio

La losa de concreto reforzado de 500

8/16/2019 estatica 2016.1

58/95

N mostrada en la figura está siendo

bajada lentamente por un gancho en

el extremo del cable C. Los cables A,B y D están f i jos a la losa y a l

gancho. Encuentre las fuerzas en

cada uno de los cable si la distancia

del gancho a la superficie de la losa

es de 2 m.

Una grúa tiene una masa

8/16/2019 estatica 2016.1

59/95

de 1000 kg y se util iza para

elevar el cajón de 2400 kg.

Esta sujeta mediante unaarticulación en A y un

balancín en B. El centro de

gravedad de la grúa esta

situada en G. Determinalas componentes de las

reacciones en A y B.

SOLUCIÓNó

8/16/2019 estatica 2016.1

60/95

DCL de la grúa.

La reacción en B se determina

resolviendo la ecuación de

momentos en A

La reacción en

determina aplican

suma de compo

horizontales y vertic

( ) ( )

( ) 0m6kN5.23

m2kN81.9m5.1:0

=−

−∑   +=   B M  A

kN1.107+= B

:0   +=∑    AF   x x

kN1.107−= x A

23kN81.9:0   −−=∑   y y   AF 

kN3.33+= y A

8/16/2019 estatica 2016.1

61/95

Una vagoneta se encuentra

en reposo sobre una vía que

forma 25° con la vertical. Lamasa total de la vagoneta

más su carga es 5500 lb y

su centro de gravedad se

encuentra en el plano medio

y a 30 pulgadas del carril.Determina la tensión en el

cable y la reacción en cada

par de ruedas.

SOLUCIÓNDCL de la vagoneta más su Las reacciones en las ruedas son

8/16/2019 estatica 2016.1

62/95

DCL de la vagoneta más sucarga.

Las reacciones en las ruedas son

La tensión en cable es:( )

( )

lb2320

25sinlb5500

lb4980

25coslb5500

−=

−=

+=

+=

 y

 x

W 

W 

( ) (

( ) 00in.5 

9804in.25lb2320:0

2   =+

−−=∑

 R

 M  A

lb17582   = R

( ) (

( ) 00in.5 

9804in.25lb2320:0

1   =−

−+=∑

 R

 M  B

lb5621  = R

0Tlb4980:0   =−+=∑   xF 

lb4980+=T 

Un hombre levanta una vigueta de 10 kg y 4 m

8/16/2019 estatica 2016.1

63/95

Un hombre levanta una vigueta de 10 kg y 4 m

longitud, tirando de una cuerda. Determina: (a

tensión en la cuerda y (b) la fuerza de reacción en A

En la figura se muestra

el DCL de la viga  Se determina la dirección

8/16/2019 estatica 2016.1

64/95

el DCL de la viga

( )

( )

( )

636.1414.1

313.2tan

m515.0828.2

tanm414.1)2045cot(

m414.1

82.245cosm445cos

21

===

=−=−=

=+=

===

===

 AE 

CE 

 BD BF CE 

CD BD

 AF  AE CD

 AB AF 

α 

6.58=α 

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

65/95

Aplicando la ley de senotriangulo de fuerzasse tien

Entonces las fuedesconocidasson:

3sin

.98

110sin4.31sin==

  RT 

 N8.147

 N9.81

=

=

 R

T 

EJEMPLO

D t i l t d l f d 100 N

8/16/2019 estatica 2016.1

66/95

Determina el momento de la fuerza de 100 Ncon respecto al punto A

EJEMPLOUna fuerza P de 132 N se aplica a la palan

8/16/2019 estatica 2016.1

67/95

Una fuerza P de 13,2 N se aplica a la palanque controla la barrena de un sopladornieve. Determine el momento de P respect

A cuando   esiguala 30°.

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

68/95

Determina el momento de las tres fuerzrespecto a:(a) punto A y (b) punto Bde la vig

EJEMPLOEncuentre el momento de la fuerza F c

8/16/2019 estatica 2016.1

69/95

Encuentre el momento de la fuerza F crespecto al punto O

EJEMPLO

Si F 450N d t i l t d id

8/16/2019 estatica 2016.1

70/95

Si F=450N. determine el momento producido poresfuerza alrededordeleje x

EJEMPLO La fuerza de 200N actúa como se muestra en la figu

8/16/2019 estatica 2016.1

71/95

La fuerza de 200 N actúa como se muestra en la figuDetermina el momento de dicha fuerza con respectpunto O

EJEMPLO

8/16/2019 estatica 2016.1

72/95

Determina el momento resultante de las cuatro fueconrespecto alpunto O

EJEMPLO La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y

8/16/2019 estatica 2016.1

73/95

La placa rectangular es soportada por dos pernos en A ypor un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alamb200 N. Determina el momento con respecto al punto A dfuerza ejercida por el alambre en C

El momento MA   defuerza F ejercida poalambre es obte

evaluando el produvectorial

SOLUCIÓN

SOLUCIÓNF r  M   AC  A

×=

8/16/2019 estatica 2016.1

74/95

( ) ( ir r r   AC  AC 

m08.0m3.0   +=−=

( )

( )  ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )k  ji

 ji

r 

r 

F F  DC 

 DC 

 N128 N69 N120

m5.0

m32.0m0.24m3.0 N200

 N200

−+−=

−+−=

==   λ 

12896120

08.003.0

−−

=

k  ji

 M  A

EJEMPLOLa tensión en el cable AB es 150 N. Determina la tensión e

8/16/2019 estatica 2016.1

75/95

La tensión en el cable AB es 150 N. Determina la tensión ey CD tal que la suma de los momentos alrededor del ordebido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es c

8/16/2019 estatica 2016.1

76/95

El letrero de densidad

uniforme de 5 pie por 8

pie pesa 270 lb y esta

soportado por una

rótula en A y por dos

cables . Determina la

tensión en los cables yla reacción en A

SOLUCIÓN

( ) 0lb270 =∑ ++= jTTAF

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77/95

( )

( ) (

0lb1080571.2667.2:

0714.1333.5:

l270ft4

0:

0lb270:

0:

0lb270

72

32

7

3

3

1

76

32

=−+

=−

−×+×+×=∑

=+−

=−++

=−−

=∑   −++=

 EC  BD

 EC  BD

 EC  E  BD B A

 EC  BD z

 EC  BD y

 EC  BD x

 EC  BD

T T k 

T T  j

iT r T r  M 

T T  Ak 

T T  A j

T T  Ai

 jT T  AF 

( ) ( ) ( ) ji A

T T   EC  BD

lb22.5lb101.2lb338

lb315lb3.101

−+=

==

PRINCIPIO DE MOMENTOS: TEOREMA DVARIGNON

Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cu

t l fi l t d l f lt t l

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78/95

se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alre

punto puede ser determinado mediante la suma de cada u

momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es

CUPLA O PAR DE FUERZASLa cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fu

F ti l i it d lí d ió

8/16/2019 estatica 2016.1

79/95

y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción pa

separadas por una distancia perpendicular pero de s

opuestos.

CUPLA O PAR DE FUERZAS• El momento de la cupla es,

8/16/2019 estatica 2016.1

80/95

El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un

vector libre perpendicular al plano que

contiene la fuerzas

( )

( )

sin

 A B

 A B

 M r F r F 

r r F 

r F 

 M rF Fd θ 

= × + × −

= − ×

= ×

= =

DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PARLa cupla esun vector libre perpendicularal plano de

y su sentido se determina mediante la regla de

8/16/2019 estatica 2016.1

81/95

y su sentido se determina mediante la regla dederecha

EJEMPLO DE CUPLA

Determine el momento de la cupla mostrada en la figu

8/16/2019 estatica 2016.1

82/95

Determine el momento de la cupla mostrada en la figu

y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

EJEMPLO DE CUPLADos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i - 120j - 80

F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mo

8/16/2019 estatica 2016.1

83/95

F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mo

en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpend

entre las dos fuerzas

EJEMPLO DE CUPLADetermina el momento de la cupla que actúa sobr

tubería La magnitud de cada una de las fuerzas es de 2

8/16/2019 estatica 2016.1

84/95

tubería. La magnitud de cada una de las fuerzas es de 2

EJEMPLO DE CUPLAEn la figura se muestra un par de fuerzas de 15 Nmagnitud actuando sobre un sistema de tube

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85/95

magnitud actuando sobre un sistema de tubeDetermine el momento de la cupla

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86/95

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87/95

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88/95

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89/95

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90/95

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91/95

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