estadistica para ingenieria

7/24/2019 Estadistica para Ingenieria

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2odas las ciencias de una u otra forma aplican la estadstica, el empresario, elindustrial o el hombre de negocios3 en general lo utilizan a sea para el an!lisisnanciero en eventos, o los procesos de produccin de investigacin delmercado, para el grado de aceptacin.

Importancia

La importancia radica en sus grandes aplicaciones en las diferentesactividades

En el conocimiento porque se aplica a diferentes ramas de la cienciaincluendo las sociales las polticas.

En la vida cotidiana leemos, interpretamos o usamos datos para sacarun me"or provecho a la informacin para ser utilizados en su campo deaccin.

Es una herramienta importante para la toma de decisiones para lavaloracin de planes programas, es importante porque los mtodosestadsticos se utilizan a diario tanto en el sector p$blico como en elprivado.

Relacin entre la estadstica y la probabilidad.

/uchas veces son trminos confundidos. La estadstica opera a partir de unamuestra para tener resultados basados en una probabilidad en una poblacin,la estadstica no puede existir sin la probabilidad en cambio la probabilidad sipuede existir sin la estadstica.

E"emplo

La probabilidad de salir temprano es del 456 de salir tarde es del 456.

Clasifcacin de la estadstica

La estadstica se clasica en#

Estadstica descriptiva Estadstica inferencial o inductiva

Estadstica descriptiva

7escribe los datos numricos, es el puente entre la accin de recolectar losdatos numricos la comprensin de los mismos cuando est!n reunidos, estocomprende# '.organizar los grupos de datos u observaciones del modo m!sf!cil que se puedan3 8. presentar los datos de forma que llamen la atencin3 9.:eunir los datos mediante algunas medidas importantes.


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Estadstica inferencial o inductiva

;e orienta a deducir conclusiones que traspasan los datos de la muestra susaplicaciones a un con"unto maor que no fueron tomados en cuenta en otraspalabras generalizan la informacin..

Observacin

La observacin es un hecho individual medido o contado luego registrado condatos numricos, representados como las medidas de las variables de unaunidad elemental que se halla comprendida en la muestra. l n$mero deobservaciones se los representa con las letras x o que indican el n$mero deobservaciones.se clasican en# observacin directa observacin indirecta.


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Ejemplo

Determine el elemento y caractersticas de una poblacin de unaempresa comercial en lotes de unidades producidas en un perodo" encuentas por cobrar" n#mero de empleados $ue laboran en la empresa.

Poblacin%empresa comercial

Elemento%'.> lotes de unidades

8.> En cuentas por cobrar

9.> Empleados

Caracterstica%'.> calidad, variedad, comerciabilidad.

8.> precios, crditos, facturas, tiempo de vencimiento

9.> edad, sexo, experiencia.

&ariable

?na variable es una propiedad que puede @uctuar cua variacin essusceptible de adoptar diferentes valores, los cuales pueden medirse uobservarse.

&ariable Cuantitativa

;on las variables que toman como argumento, cantidades numricas,son variables matem!ticas. Las variables cuantitativas adem!s pueden ser#

&ariable discreta%Es la variable que presenta separaciones o interrupcionesen la escala de valores que puede tomar. Ao tienen divisin son n$merosenteros

&ariable continua%Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro deun intervalo especicado de valores. ;on fracciones.

&ariable Cualitativa

;on el tipo de variables que indican distintas cualidades, caractersticas omodalidad. Las variables cualitativas pueden ser dicotmicas cuando slopueden tomar dos valores posibles.

Bariable cualitativa ordinal # La variable puede tomar distintos valoresordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que elintervalo entre mediciones sea uniforme.

Bariable cualitativa nominal# En esta variable los valores no pueden sersometidos a un criterio de orden.
https://es.wikipedia.org/wiki/Argumentohttps://es.wikipedia.org/wiki/Valor_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_discretahttps://es.wikipedia.org/wiki/Valor_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_discretahttps://es.wikipedia.org/wiki/Argumento


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'os si(uientes datos corresponden a las edades de os alumnos de unaacademia preuniversitaria %)*")*")*")*")*")*")*")+")*")*")*"),")-")-")-")*")*")+")+")-.

%i ni hi 6 Ai Ci 6'D

'9 5,D4 D4 '9 5,D4

D4

'(

9 5,'4 '4 'D 5, 5

'

9 5,'4 '4

'* 5,*4

*4

'*

' 5,54 4 85 ' '55

n /0 )"00 )00

Para la variable1 de 2ijos o 2ijas de una muestra de /0 3amilias" seencontraron los si(uientesdatos%/")"0"4"/"/"4")")"0")"/")/"0"/"5"/"4").elabore la tabla de3recuencia "indi$ue poblacin "variable "naturale6a de la variable einterprete la tabla de 3recuencia con los datos anotados.

%i ni Ai hi 6 Ci 65 9 9 5,'4 '4 5,'4 '4' D * 5,9 95 5,)4 )48 ( 'D 5,94 94 5,5 59 9 '* 5,'4 '4 5,*4 *4

) ' 85 5,54 4 ' '552otal 85 '55

4 3amilias no tienes 2ijos "* 3amilias tienen ) 2ijo" + 3amilias tienen /2ijos " 4 3amilias tienen 4 2ijos ") 3amilia tiene 5 2ijos.

Propiedades de las 3recuencias

'. la sumatoria de las frecuencias absolutas es igual al tama1o muestral.8. Las sumas de las frecuencias relativas es igual a la unidad.

9. La primera frecuencia absoluta acumulada es igual a la primerafrecuencia absoluta.

). La $ltima frecuencia absoluta acumulada es igual al tama1o muestral.4. La primera frecuencia relativa acumulada es igual a la primera

frecuencia relativa.D. La $ltima frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad o sea a

'556.

=oblacin# 85 estudaintes

Elemento# estudiantes

Bariable#cualitativa continua

=oblacin# 85 familias

Elemento# familias

Bariable# cuantitativa disc


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7uestra

;ubcon"unto de la poblacin, se toma una muestra con el ob"eto de tener datosrepresentativos para poder estudiarlos, analizarlos, etc.

8ipos de muestreo

> /uestreo al zar o leatorio

umple las siguientes caractersticas los elementos de la poblacin debentener igual probabilidad de ser seleccionadas para formar parte de la muestraes decir se debe elaborar un listado de los elementos que forman parte de lapoblacin que van a ser elegidos por alg$n motivos al azar. omo pore"emplo el sorteo extraendo de un recipiente chas o papeles no tienendependencia de los otros

> /uestreo estraticado

7ivide a la poblacin en grupos homogneos un elemento dado no puedepertenecer a m!s de una estado. Establecidos los estratos se elige en cada unode ellos una muestra al azar.

> /uestreo sistem!tico

Es mu aplicado cuando las caractersticas de la investigacin est!n ordenadasa sea alfabticamente por valor o por cantidad se calcula un intervalo deseleccin dividiendo al tama1o de la poblacin por el n$mero de elementos en

la muestra al azar se selecciona un numero dentro de este intervalo este es elprimer elemento luego se suma el valor del intervalo.

&ariable

aractersticas o fenmenos que puede ser medido o cuanticado como elpeso, edad, suelo.

> Bariable cuanticadas Fmide cualidadesG> Bariable cualitativasFse expresa en n$merosG

Datos univariados

;on caractersticas o variables que se consideran que interviene en laobservacin de una muestra, por e"emplo#

El sueldo de los empleados, el n$mero de personas de una familia, la estaturade una persona.

Constante


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Es un valor que se repite

Dato

Es el n$mero de observaciones de una muestra

Par9metro

Es cualquier caracterstica de una poblacin esta tiene que ser medible

E".# El n$mero de ni1os en edad escolar

Probabilidad

Es la ocurrencia que se repite, por e"emplo# Barios alumnos puede tener lasmismas calicaciones en la misma materia.

recuencia

Es el n$mero de observaciones que se repiten.

E".# Barios alumnos pueden tener las mismas calicaciones en la mismamateria.

Distribucin de 3recuencia

Es la organizacin de datos de una variable. Es una tcnica estadstica basadaen el an!lisis de datos se clasica en frecuencia absoluta acumulada, relativa relativa acumulada.

recuencia absoluta

Es el n$mero de veces que aparece un determinado valor en el estudioestadstico, se lo representa con fi.

recuencia absoluta acumulada

Es en n$mero de veces de ni en la muestra A, con un valor igual o menor a lavariable. La $ltima frecuencia absoluta acumulada es igual a A.

recuencia relativa%

Es el cociente entre la Hrecuencia absoluta de un determinado valor eln$mero total de datos, se representa#

ni=fi

N

recuencia relativa acumulada%


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Es el cociente entre la Hrecuencia absoluta acumulada por el tama1o de lamuestra la denominamos por H i, se lo representa#

FI=Ni

N

:E;!


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% I es el n$mero de valores distintos de la variable.

A I es el n$mero de veces que se repita cada observacin.

/edia aritmticaX o Y simbolizada como % media, J media conocida

como media, mide el centro de gravedad de una distribucin de datos, norepresenta el punto medio sino el punto de equilibrio, la media aritmticapuede ser simple o ponderada.

/edia aritmtica simple es la suma de todas las observaciones de unadistribucin dividida entre el tama1o muestral.

X Ii=1

n

Xi

N

E"emplo las calicaciones de los estudiantes fueron'4,'D,',85,'(,'9,'*,'),',85,'(.Kcu!l es el promedio de calicaciones

X I15+16+18+20+17+13+19+14+18+20+17

11 I'(

/edia aritmtica ponderada es la suma de las observacionesmultiplicada por su frecuencia absoluta dividida para el total delasF observacionesGsumas de las frecuencias .cuando se aplica cuando

los datos est!n agrupados en una tabla de frecuencias.se calcula lamedia aritmtica ponderada cuando la variable es cuantitativa discreta ocontinua, no se aplica cuando la variable es cualitativa.

uando mis datos est!n agrupados en tablas de frecuencia, cuando tenemosvariables cuantitativas FedadG, no se aplica para variables cualitativas Fcolor,sexoG.

Los siguientes son datos que comprenden a las edades de 85 alumnos de unaacademia pre universitaria los datos son#

'D, 'D, 'D, 'D, 'D, 'D, 'D, 'D, '(, 'D, 'D, 'D, '*, ', ', ', 'D, '(, '(, '(


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a= Determine la poblacin" unidad o elemento" variable a anali6ar.

=i ni 2i ?


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Me=16+16

2=16

e= Cu9l es la edad $ue m9s se repite.

Mo=16

PROPIEDADE:

Las propiedades m!s destacadas de esta medida son#

) La suma de las desviaciones de los calores de la variable respecto a sumedia es cero FNG por e"emplo#En la serie

),),D,(,(,*,,)

x=+4+6+7+7+9+8+48 =5.25

z=(45.25 )+ (45.25 )+(65.25 )+(75.25 )+ (75.25 )+ (95.25 )+(85.25 )+(45.25 )=0

/ uando un con"unto de la misma variable de valores puededescomponerse en dos o m!s subcon"untos, dis"unto, la mediaaritmtica de todo el con"unto se relaciona con las medias aritmticasde, los diferentes subcon"untos, dis"untos se aplica#

x= (n1 a1 )+(n2a2 )n

7onde#

n IBalores de la variable que pueden descomponerse en dos subcon"untos

dis"untos.

n1 I ;on los valores de la primera variable.

n2 I;on los valores de la segunda variable.

a1 I/edia aritmtica de la primera variable.

a2 I/edia aritmtica de la segunda variable.


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4 uando la media aritmtica una constante m!s una variable esta esigual a las constante m!s la media de la variable

x=k+i=1

n

x1

n1

n

x=k+i=1

n

x1

n nohay n

=or e"emploKu!l es la calicacin promedio de 9 pruebas que han obtenido '8, '9 '4 sabiendo que el profesor les adiciono 9 puntos al promedionI9OI9

x=3+12+13+15

3

x=16.33

5=la media aritmtica de la suma de dos o m!s variables es igual a lasuma de las medias de las variables.

7EDIA


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La mediana es el promedio de las observaciones

uando las observaciones son par la mediana es el promedio de las dosobservaciones centrales .

Ejemplo

30,26,25,28,46,50,83,75,48,60

25,26,28,30,46,48,50,60,75,83

Me=46+48

2

=47

7ODA B7o=

:epresenta el punto m!s alto de una distribucin de frecuencia. Es el n$merode observaciones que m!s se repite pudiendo aparecer 8,9 o m!sobservaciones con la misma frecuencia se llamaran unimodal, bimodal,trimodal multimodal.

7edidas de posicin no central

uartiles dividen a la distribucin en cuatro partes iguales 7eciles dividen a la distribucin en diez partes iguales =ercentiles dividen a la distribucin en cien partes iguales

Estas medidas de posicin no central se generan cuando la mediana no dividea la distribucin en partes iguales.

8ERCERA !


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La probabilidad de un suceso est! comprendida favorablemente entre 5 ' lassumas de las probabilidades de todos los sucesos elementales es '.

0 P (A )=1

P (A )+P ( B )+P () ! ! ..+P ( n )=1

La probabilidad de un suceso imposible es cero.

=robabilidad a priori no necesita experimento.

=robabilidad emprica necesita experimento

Eperimento% Esun con"unto de pruebas o la realizacin de un proceso paraobtener resultados. E"emplo, el lanzamiento de una moneda para observar ellado que aparezca tendr dos posibles resultados. Examinar las unidades

producidas por una m!quina para detectar el n$mero de unidades defectuosas.

Lanzar un dado al hacer esto tendr D posibles resultados.

Prueba%Es la relacin o realizacin de un acto, el con"unto de pruebaconforma un experimento, los datos del experimento se pueden obtener poruna observacin directa o por experimento controlada en el laboratorio.

Evento%resultados posibles que se pueden tener de un experimento.

8amaFo muestral% total de eventos que se tiene dentro de un experimento.

Conjunto% agrupacin de elementos denidos por sus caractersticas

E"emplo.

En el siguiente e"ercicio determine el tama1o muestral, experimento, evento probabilidad.

El lanzamiento de una moneda.

Experimento# lanzamiento de una moneda

Evento# cara, sello.

Espacio muestral#Pc,sQ

=robabilidad#F'R8G F'R8G

Experimento # Lanzar dos monedas

Evento# cara, sello3 sello, cara


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2ama1o# muestral Pc,cQPc,sQPs,sQPs,cQ

;ucesos# )

=robabilidad# S3 S

E"ercicio#

Callar la probabilidad que en 9 lanzamientos de una moneda aparezcan#

aG 9 carasbG 8 caras ' cruzcG 8 cruces ' caradG 9 cruces

Icara3 %Icruz 3 %3 %3 %%3 %%, %3%%3 %%%

F8G F8G F8G I caras posibles

aG 9 caras FG I ' sola vez I ( P {3 caras }=1

8

bG 8 caras ' cruz I 9 veces

P {2caras y1cr"z }=38

cG 8 cruz ' cara I 9 veces

P=3

8

dG 9 cruces

P=1

8P#=

1

8+1

8+3

8+3

8=1

=or la frmula#

P (x )=N xPx

$Nx

P {3 caras }=33( 12 )

3

( 12 )33

=1

8

P {2caras %1cr"z }=32( 12 )

2

( 12 )32

=3

8


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P {2cr"ces %1cara}=31( 12 )

1

(12 )31

=3

8

P {3 cr"ces }=30

(

1

2

)

0

(

1

2

)

3

=1

8

'eyes o Re(las de la Probabilidad

Evento 3avorable# es el n$mero de eventos posibles que se pueden dar en unexperimento.

Eventos complementarios %es el complemento de u n evento ,constan detodos los resultados del espacio muestral que forma parte de ella.

La probabilidad representada por el espacio muestral es '556.

La probabilidad de cualquier evento corresponde a un valor que puede variarentre 5 '.

La probabilidad de que un evento no ocurra es igual a ' o menos que laposibilidad de que si ocurra. =FGI' > =FG.

Evento mutuamente excluente se da cuando la aparicin de un eventoexclue la aparicin de otro.

7os o m!s eventos son mutuamente excluentes cuando uno de los eventosocurre, ningunos de los otros puede ocurrir al mismo tiempo.

uando dos eventos 0 son mutuamente excluentes se debe aplicar la

regla de adicin, es decir que la probabilidad de que ocurra el uno o el otro delos eventos es igual a la suma de las probabilidades.

E"emplo

La probabilidad de que en el dado aparezca el 8 es 'RD

= T =0 I 'RD T'RD I 8RD I 'R9 x'55I 9,96

uando dos sucesos son compatibles o no son mutuamente excluentes se dala posibilidad de que ocurra un suceso, no implica la ocurrencia del otro en estecaso la probabilidad de un de los dos secesos se halla as.

=F o 0G I = T=0 U=F 0GE"emplo

l lanzar un dado usted apuesta un dlar a que el n$mero obtenido debe serpar o divisible por tres Ku!l es la probabilidad de que usted gane estelanzamiento


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=F o 0G I = T =0 U=F 0G Experimento#lanzamiento de un dado

=FGI F8 x ) x DG T F9 x D G UF9 x ) G Evento#',8,9,),4,D

=FGI ) T' >'8 Espacio /uestral#

P8,),D,Q P9 ,D Q=FGI 4)6 =robabilidad #4)6

.

GCmo se calcula la probabilidadHLa probabilidad se calcula hallando el cociente entre los casos favorables alsuceso todos los casos posibles, es decir que la probabilidad de , es igual aln$mero de casos favorables sobre el n$mero de casos posibles.

P (A )=

N& de casos favorables

N& de casos posibles

DI:8RI!CIO< DE PROAI'IDADE:%

/uestra los resultados esperados al realizar el experimento son los valoresposibles de una variable con sus respectivas probabilidades .

:E C'A:IICA< E


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P (x )=( nx )px $nx

Dnde%

n es el n$mero de ensaos

x es el n$mero de xitos

p es la probabilidad de xitos en un solo ensao

q es la probabilidad de fracaso

n

xson las conbinaciones posibles

&ariable Aleatoria Continua%Es aquella que puede asumir cualquier valor dentro de un determinadointervalo, es decir comprende un n$mero innito de valores posibles

La distribucin normal se aplica la distribucin +aussiana, se aplica en lasiguiente formula#

y= 1

2'e12 (xa ) /y

E"emplo#

c,c,c aG =FxI8G In

x p

x$

nx

c s c,c,s IF

1

2

3

2

c s c c,s,c I9VF84GVF5.4G

s c,s,s I 9(.4 6


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s,c,c 0G F=xI'G T F=xI8G

c s s,c,s4

8 T2

8 I D8.4 6

s s c s,s,c

s s,s,s

sucesos I

nI9 3%I8 3=I1

2 3 pI1

2

Ejercicio:La probabilidad de que en un producto salga defectuoso es de 5.5'8. Ku!l esla probabilidad de que entre 55 productos a fabricados, hallan 4defectuosos

= I 5.5'8 W5.'

n I 55 e I 8.('

X I pVn W'5 I *D W'5 O I 4

=FxIOG I

(

e

(k

k )

=FxI4G I e96

(96)8

5)

=FxI4G I 5.5*8V'55 I .*6

Distribucin binominal

'. ;e debe tomar en cuenta cinco caractersticas, existe A pruebas repetidas.

8. ada una de las A pruebas da lugar a un acontecimiento favorable odesfavorable, uno de los dos debe presentarse.

9. La probabilidad de xito es aquel acontecimiento que consideramosfavorable debe ser la misma en cada una de las pruebas = ser! constante, laspruebas son independientes.). Ao interesa determinar el n$mero de xitos enlas A pruebas, la frmula es


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=FxGIN

X donde A es el n$mero de ensaos, % es el n$mero de

xitos, = la probabilidad de xito en un solo ensao , que probabilidadde fracaso son combinaciones donde es igual AY

FxGIN )

(NX) ) X )

C!AR8A !


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Este mtodo en trminos matem!ticos establece la recta me"or adaptada quereduce al mnimo la suma de los cuadrados de las distancias verticales de

cada punto disperso a ellas se simboliza como (YYf)2

es igual al

mnimo que quiere decir que la suma de los cuadrados de las desviaciones de

un con"unto de n$meros que es mnimo, cuando este $ltimo es la media

aritmtica de las primeras en donde Y es igual a b X TAa , la

X Y=bX2+a X

Y= (bX+a)

La segunda ecuacin

J% Ib%

8

Ta%

IYb X

N

0I

X2

X2

N N X Y (X * Y)

CORRE'ACI


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;i tenemos los datos que se presentan en la tabla consideramos que la edad determina el peso de laspersonas entonces podremos observar la siguientegr!ca#

7onde los puntos representan cada uno de lospares ordenados la lnea podra ser una recta que

represente la tendencia de los datos, que en otras palabras podra decirse quese observa que a maor edad maor peso.

La correlacin se puede explicar con lapendiente de esa recta estimada de estaforma nos podemos dar cuenta que tambin

existe el caso en el que al crecer la variableindependiente decrezca la variabledependiente. En aquellas rectas estimadascua pendiente sea cero entonces podremosdecir que no existe correlacin.

s en estadstica podremos calcular la correlacin para datos no a(rupadoscon la siguiente formula.

En donde#

: I coeciente de correlacin

A I n$mero de paresordenados

% I variable independiente

J I variable independiente

edad peso

)J *0

40 +J

)- *+5/ -0

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60

edades

pes

os

=

====

= ==

2

11

2

2

11

2

1 11

*

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

iii

yynxxn

yxyxn

r


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E"emplo#

;upngase que deseamos obtener la correlacin de los datos de la tablaanterior#

hora podemos observar que#

Edad (x) Peso (y) X 2 Y2 X* Y

'4 D5 884 9D55 *55

95 (4 *55 4D84 8845

' D( 98) ))* '85D

)8 5 '(D) D)55 99D5

8 D5 () 9D55 'D5

'* D4 9D' )884 '894

9' *8 *D' )D) 848


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;edebe aclarar que el coeciente de correlacin slo puede variar de la siguiente

manera# 1 1r

que para entenderlo me"or se debe obtener elcoefciente de determinacinque se obtiene con Z r Z cuadrada, a que

este representa el porcenta"e que se explica Z [ mediante los datos de Z x [.En nuestro e"emplo decimos que la correlacin es casi perfecta, a que, estamu cerca de ' que el porcenta"e de datos que explican a Z Z esF5.D4D9D5DG8I 5.)95)8 o sea el )9.5 6

En el caso de que fueran datos a(rupadostendremos lo siguiente#

=rimero tendremos que pensar que se genera una matriz, a que, ahoraestamos "untando dos tablas de distribucin de frecuencias por ello nuestrosc!lculos ser!n m!s laboriosos, por lo que les recomiendo el uso de una ho"a decalculo o al menos una calculadora con regresin para datos agrupados.

7e cualquier forma aqu tambien estamos evaluando numricamente si existerelacin entre dos variables lo haremos con la siguiente ecuacin.

En donde podemosencontrar K como eln$mero de clases para lavariable \\ l para eln$mero de clases de \x\.

2ambin podemos observar que ha varios tipos de \f\ es decir, la que seencuentra sola Fsin subndiceG que nos habla de las frecuencias celdares Fcadauna de las frecuencias que se encuentran en la interseccin entre una columna un renglnG las \f\ con subndices que representan las frecuencias de cadauna de las variables.

l interpretar nuestro resultado podemos concluir que si existe relacin entre elpeso la estatura, es decir, que a maor estatura maor peso.

[ ][ ] 65638606.0

2)499(36403*72)183(5319*7

)499*183(13483*7

2

11

22

11

2

1 1*

1 =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

n

i iy

n

i iyn

n

i ix

n

i ixn

n

i

n

i iy

n

i ix

iyi

xn

r

=

====

= ===

2

11

2

2

11

2

1 111

*

k

iiy

k

iiy

l

iix

l

iix

l

i

k

iiy

l

iixii

k

j

yfyfnxfxfn

yfxfyxfn

r

695.0)3116-212072)*48((*)82.06-140.8982)*((48

3116)*(82.06-5380.77*48*

222

11

22

11

2

1 111 ==

=

====

= ===

k

iiy

k

iiy

l

iix

l

iix

l

i

k

i iy

l

i ixii

k

j

yfyfnxfxfn

yfxfyxfn

r


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En muchas ocasiones el resultado de la correlacin es negativo lo quedebemos pensar es que la relacin de las variables involucradas en el c!lculoes inverso es decir que en la medida que crece la variable independiente lavariable dependiente decrece#

). I


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La :egresin la correlacin son dos tcnicasestadsticasque se puedenutilizar para solucionar problemascomunes en los negocios.

/uchos estudios se basan en la creencia de que es posible identicar cuanticar alguna :elacin Huncional entre dos o m!s variables, donde unavariable depende de la otra variable.

;e puede decir que J depende de %, en donde J % son dos variablescualquiera en un modelode :egresin ;imple.

L es una 3uncin de >L

3B>=

omo J depende de %,

J es la variable dependiente,

% es la variable independiente.

En el /odelo de :egresin es mu importante identicar cu!l es la variabledependiente cu!l es la variable independiente.

En el /odelo de :egresin ;implese establece que J es una funcin de slouna variable independiente, razn por la cual se le denomina tambin:egresin 7ivariada porque slo ha dos variables, una dependiente otraindependiente se representa as#

3 B>=

L est9 re(resando por >L

La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. 2ambinse le llama :E+:E;A7< B:&0LE 7E :E;=?E;2.

La variable &ndependiente % se le denomina B:&0LE E%=L&2&B :E+:E;


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a es el valor de la ordenada donde la lnea de regresin se intercepta con el e"eJ.

b es el coeciente de regresin poblacional Fpendiente de la lnea rectaG

e es el error

:!PO:ICIO


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Es el valor estimado de la variable J cuando la variable % I 5

b es el estimador de b , es el coeciente de regresin

Est! expresado en las mismas unidades de J por cada unidad de %. &ndica el

n$mero de unidades en que vara J cuando se produce un cambio, en unaunidad, en % Fpendiente de la recta de regresinG.

?n valor negativo de b sera interpretado como la magnitud del decremento enJ por cada unidad de aumento en %.

El ob"etivo del an!lisis de regresin es la estimacin de los par!metros.

El primer paso es la representacin gr!ca de las variables F,xG en undiagrama de dispersin

El ob"etivo del an!lisis de regresin es la estimacin de los par!metros.

El primer paso es la representacin gr!ca de las variables F,xG en undiagrama de dispersin

7ado que la relacin de dependencia entre ambas var

iables es aleatoria o estoc!stica, las observaciones no se encontrar!n a lo largode una recta
http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml


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La estimacin de lospar!metros supone encontrar la ordenada en el origen la pendiente de una recta que me"or se aproxime a los puntos

:ecta de :egresin Especicada

Jt I `'T`8 % t T u t

quinta unidad

A


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con una misma leN(+h % ,

2) . ;e supone que en particular la varianza

,2

es constante, hiptesis que puede ser validada a travs de un test.

;e denota por#

x(h)

la media emprica de la h>sima clase,

-(h)

la varianza emprica de la h>sima clase,

x la media de la muestra global,

-in.ra=h=1

k nh

n-

(h)

la media de las varianzas Fvarianza intra>clasesG,

x(h)

xnh

n

-in.er=h=1

k

la varianza de las medias Fvarianza inter>clasesG,

/2

la varianza de la muestra global.

7emostracin# 7esarrollemos#


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?na observacin individual se representa como#

El primer subndice indica el nivel del primer factor, el segundo el nivel delsegundo factor el tercero la observacin dentro de la muestra.

7odelo I Los factores pueden ser ambos de efectos "os

7odelo IIde efectos aleatorios

7odelo mitoefectos "os el otro de efectos aleatorios. El modelomatem!tico de este an!lisis es#

An9lisis de &arian6a a una va% DiseFo completamente aleatori6adoCa distintas formas en las cuales puede dise1arse un experimento A


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La razn H tal como se utiliza en A


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Ejemplo: Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres gruposque entrenan con mtodos diferentes. El primer grupo realiza largos recorridosa ritmo pausado, el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad eltercero traba"a en el gimnasio con pesas se e"ercita en el pedaleo de altafrecuencia. 7espus de un mes de entrenamiento se realiza un test de

rendimiento consistente en un recorrido cronometrado de * m. Los tiemposempleados fueron los siguientes#

/todo&

/todo&&

/todo &&&

'4 ') '9'D '9 '8') '4 '''4 'D ')'( ') ''

un nivel de conanza del *46 K=uede considerarse que los tres mtodosproducen resultados equivalentes < por el contrario KCa alg$n mtodosuperior a los dem!s

;olucin#

omenzamos calculando los totales los cuadrados de los totales divididos porel n$mero de observaciones#

/etd. & /etd. && /etd.&&&

2otal ;um8Rn

;uma (( (8 D' 8'5 8*)5

;um8Rn

''4, '59D, ()),8 8*DD,

continuacin calculamos los cuadrados de las observaciones su total#

/etd. & /etd. && /etd. &&&884 '*D 'D*84D 'D* '))

'*D 884 '8'884 84D '*D8* '*D '8'''*' '5)8 (4' 8*) partir de estas cantidades b!sicas calculamos las ;umas de uadrados#

;FtotalG I 8*) > 8*)5 I ))


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;FintraG I 8*) U 8*DD, I '(,8

;FentreG I 8*DD, U 8*)5 I 8D,

Los cuadrados medios ser!n#

/FentreG I 8D,R8 I '9,)

/FintraG I '(,8R'8 I ',)9

=or consiguiente el estadstico de contraste vale#

H I '9,)R ',)9 I *,9(

El valor de la H terica con 8 '8 grados de libertad, a un nivel de conanzadel *46 es 9,*. =or consiguiente se rechaza la hiptesis nula se conclueque los tres mtodos de entrenamiento producen diferencias signicativas.

8E:8 DE I:@ER

La prueba de Hisher calcula un valor exacto de probabilidad para la relacinentre dos variables dicotmicas, como se encuentra en una de dos en doscruzado. ;e calcula la diferencia entre los datos observados los datos deesperar, teniendo en cuenta el marginal dado los supuestos del modelo deindependencia.

La probabilidad de un solo lado de la prueba exacta de Hisher se calculamediante la generacin de todas las tablas que son m!s extremas que la mesapropuesta por el usuario, en una direccin.

@iptesis nulaLa hiptesis nula es que las proporciones relativas de una variable sonindependientes de la segunda variable.

@iptesis alternativa B@)=

La hiptesis alternativa es igualmente una armacin acerca de la poblacin deorigen. aunque Ao siempre, consiste simplemente en negar la armacin deC5.

Cmo 3unciona la prueba

La prueba exacta de Hisher no utiliza una funcin matem!tica que calcula laprobabilidad de un valor de un estadstico de prueba3 en cambio, se calcula laprobabilidad de obtener los datos observados, todos los con"untos de datoscon desviaciones m!s extremas, ba"o la hiptesis nula de que las proporcionesson las mismas.

Caractersticas de la distribucin


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Existe una distribucin H diferente para cada combinacin de tama1o demuestra n$mero de muestras.. En el caso de la distribucin H, losvalores crticos para los niveles 5,54 5,5'

La distribucin es continua respecto al intervalo de 5 a T . La raznm!s peque1a es 5. La razn no puede ser negativa, a que ambos

trminos de la razn H est!n elevados al cuadrado. La forma de cada distribucin de muestreo terico H depende deln$mero de grados de libertad que estn asociados a ella. 2anto elnumerador como el denominador tienen grados de libertad relacionados.

Determinacin de los (rados de libertad

Los grados de libertad para el numerador el denominador de la razn H sebasan en los c!lculos necesarios para derivar cada estimacin de la varianciade la poblacin. s, O > ' es el n$mero de grados de libertad para elnumerador. Los grados de libertad para el denominador son entonces, OFn >lG.

C9lculo de la ra6n a partir de datos mustrales

alcular la estimacin interna F7enominadorG. 7eterminar la varianza de cadamuestra utilizando la formula

&arian6a s2

(x ix)2

n1


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La nalidad es determinar si existen diferencias reales entre las cuatromuestras

Empleamos un valor signicativo de 5.4

Ciptesis nula I 1o=#odas las proporcionesde la pobacion son i2"ales

Ciptesis alternativa I 11=no .odas las proporcionesde a poblacion soni2"ales

alculando los grados de libertad del numerador se tiene# O>' 3 )>'I9

alculando os grados de libertad de denominador se tiene# K(n>'G 3 )FD>'GI85

on 9 grados de libertad del numerador 85 del denominador con una

signicacin de 5.54 con la lectura e taba se tiene que F#abla=3.10

C9lculo de la ra6n a partir de datos mustrales=ara calcular H se debe seguir el siguiente procedimiento

alcular la estimacin interna F7enominadorG

7eterminar la varianza de cada muestra utilizando la formula


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/ultiplicar las varianzas medias por n

:azn de H

EERCICIO%

?n profesor quiere encontrar la me"or forma de presentar un importante

tema frente al grupo que tiene a su cargo. =ara eso puede escoger unade las 9 opciones siguientes#

a.> 7ar clase

b.> 7ar clase asignar una lectura complementaria

c.> =roectar una pelcula asignar una lectura complementaria

El decide hacer un experimento para evaluar las 9 opciones. Entonces solicita8( voluntarios de su grupo signa aleatoriamente * a cada una de las 9condiciones. 0a"o la condicin ' el da clase a los estudiantes, ba"o la condicin

8 el da clase asigna una lectura complementaria, ba"o la condicin 9 el losalumnos presencian una pelcula acerca del tema realizan la misma lecturacomplementaria que los estudiantes de la condicin.

7espus se aplica a los alumnos un examen sobre el material. ;e obtuvieronlos siguientes datos#

n s x2

FPr"eba=s0

2

2


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a. Cual es la 2iptesis nula (lobal

b. Cual es la conclusin !tilice 0"0J

PA:O )% Calculo de /B

/B I (3 X1)

n1 T(3 X2)

n2 T(3 X3)

n3 >(3 X)

N

(767)

9 T(819)

9 T(734)

9 >(2320)

27 50-"0+5

PA:O /% Calculo de /0

/4 I 3 X2

(3 X1)

n1T

(3 X2)

n2T

(3 X3)

n3T.T

(3 X5)

nk

I 855)8 > (767)

9 T(819)

9 T(734)

9 T.T(3 X5)

nk

I D(',((


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PA:O 4% Calculo de /#

/# I% >

(3 X) N

I 855)8 >(2320 )

27

I '5(*,48

/# I /4 T /B

'5(*,48 I )5,5() T D(',((

'5(*,48 I '5(*,48

PA:O 5% ;rados de 'ibertad para cada estimacin

2lB I >' I 9>' I 8

2l4 I A U O I 8( U 9 I 8)

2l# I A>' I 8( U ' I 8D

PA:O J% Calculo de :Q

;0 I/B

2l B I408,074

2 I 85),59(

=;< D# alculo de /4

; I/4

2l4 I671,778

24 I 8(,**'

=;< (# alculo de Fob.

Fob. I

/B

/4 I204,037

27,991 I (,8*


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Evaluar obt como 0"00J 2ln"merador /

2ldenominador /5 viendo en la tabla el valor es crit 4"50

Como obt 4"50 rec2a6amos 1o

C@IC!ADRADAomo a se ha visto varias veces, los resultados obtenidos de muestras nosiempre concuerdan exactamente con los resultados tericos esperados, seg$nlas reglas de probabilidad. =or e"emplo, aunque consideraciones tericasconduzcan a esperar 45 caras 45 cruces cuando se lanza '55 veces unamoneda bien hecha, es raro que se obtengan exactamente estos resultados.

;e considera el problema general.

Defnicin de >/

?na medida de la discrepancia existente entre las frecuencias observadas esperadas es suministrada por el estadstico %8, dado por#

7onde si el total de frecuencias es A,

;i %8I 5, las frecuencias observadas esperadas concuerdan exactamente,mientras que si %8 5, no coinciden exactamente. valores maores de %8,maores son las discrepancias entre las frecuencias observadas esperadas.

;i las frecuencias esperadas son al menos iguales a 4, la aproximacin me"orapara valores superiores.

El n$mero de grados de libertad est! dado por#

I O U ' U m

En donde#

I n$mero de clasicaciones en el problema.


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m I n$mero de par!metros estimados a partir de los datos muestrales paraobtener los valores esperados.

Ensayo de @iptesis

En la pr!ctica, las frecuencias esperadas se calculan de acuerdo con lahiptesis Co. ;i ba"o esta hiptesis el valor calculado de %8dado es maor quealg$n valor crtico, se deduce que las frecuencias observadasdieren signicativamente de las esperadas se rechaza Coal nivel designicacin correspondiente. En caso contrario, no se rechazar!. Esteprocedimiento se llama ensao o prueba de chi>cuadrado de la hiptesis.

E"emplos#

' La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas al lanzar un dado '85veces. Ensaar la hiptesis de que el dado est! bien hecho al nivel designicacin del 5.54.

ara ' 8 9 ) 4 D

Hrecuencia


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Hrecuenciaesperada

85 85 85 85 85 85

+rados de libertad I O>'>m I D>'>5 I 4

Ao se tuvo que calcular ning$n par!metro para obtener las frecuenciasesperadas.

:egla de decisin#

;i %8: ''.' no se rechaza Co.

;i %8: ''.' se rechaza Co.

!lculos#

ustifcacin y decisin%

omo 4 es menor a ''.' no se rechaza Co se conclue con unasignicacin de 5.54 que el dado est! bien hecho.

justicacin decisin#

omo 5.)(5 es menor que ''.9 no se rechaza Co se conclue con unnivel de signicacin de 5.5' que la teora de /endel es correcta.

omo el valor de 5.)(5 est! cercano a cero, se procede a hacer unensao unilateral izquierdo#

Ensao de Ciptesis#


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Co3 La teora de /endel es acertada.

C'3 La teora de /endel es mu acertada.

:egla de decisin#

;i %8: 5.''4 no se rechaza Co.

;i %8:W 5.''4 se rechaza Co.

omo el valor de 5.)(5 no es menor a 5.''4 se conclue que el experimento ola teora de /endel solo es buena.

estadistica para ingenieria

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