ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZOFACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESASFADEMDULO DE ESTADSTICA BSICATUTOR: ING. GENOVEVA TAPIACONTABILIDAD Y AUDITORIA2012 INDICEIntroduccinIndicaciones para el Estudio del MduloObjetivos Generales del MduloEstrategias para el estudio de Estadsticas Prueba de DiagnsticoPRIMERA UNIDAD: DESCRIPCION DE LOS CONJUNTOS DE DATOSObjetivosContenidos1. Introduccin Histrica2. Concepto de Estadstica Descriptiva3. Clasificacin de la Estadstica3.1. Estadstica Descriptiva (Deductiva)3.2. Estadstica Inferencial (Inductiva)3.3. Esquema de Estadstica Inductiva3.4. Medidas de Calidad3.5. Sumatorias4. Organizacin de Datos5. Variables Estadsticas5.1. Variables Discretas5.2. Variables Continuas6. Descripcin de Datos7. Procedimiento para agrupar los datos.8. Distribucin de Frecuencias, intervalos y marcas de clase.9. Representacin grficas de los datosAUTOEVALUACIN N.1SEGUNDA UNIDAD: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE LA DISPERSIONObjetivosContenidos1. Introduccin Histrica2. Medida Aritmtica o promedio para datos no agrupados3. Mediana para datos no agrupados4. Moda para datos agrupados5. Media aritmtica para datos agrupados6. Mediana para datos agrupados7. Moda para datos agrupados8. Cuartiles, Deciles, y Percentiles para datos no agrupados.9. Cuartiles, Deciles, y Percentiles para datos agrupados.10. Medidas de dispersin para datos no agrupados y agrupados.10.1. Desviacin Media para datos no agrupados y agrupados.210.2. Varianza y desviacin tpica para datos agrupados y no agrupados11. Forma de Distribucin de frecuencias11.1. CurtosisAUTOEVALUACIN N.2.BIBLIOGRAFIAINTRODUCCIONEl mdulodeEstadsticay Probabilidades esta diseado de acuerdoal Programa General que se estudia en los Centros de Enseanza Tcnica Superior.Los mtodos y conceptos son aplicables a la investigacin emprica en todas las disciplinas que van desde las Ciencias Sociales a las Ciencias Fsicas.El enfoque de este mdulo es conceptual y no Matemtico, es decir no se realizalademostracinyobtencindelasfrmulas. Sinembargose sustenta en la Aplicacin de las frmulas. El peso fuerte de su estudio estacentuadoenla: Comprensin, AplicacineInterpretacindelos conceptos ms quelapruebaoclculomanual oelectrnicocuyos resultados son nmeros, estos nmeros hay que saberlo interpretar. Los ejemplosconrequerimientodeclculosoncortosparanodesviar la atencin de los conceptos.Para los estudiantes cuyo conocimiento del Algebra elemental no recuerdan, se proporciona un anexo de ello, con el objeto de permitir un repasodelashabilidades algebraicas necesarias. Siemprequeenel mdulo se introducen temas estadsticos que involucren esas habilidades matemticas. Sin embargo creo que la compresin de la Estadstica se facilita trabajando con algunos ejemplos que tenemos a mano y ms que todo tomando ejemplos de nuestro entorno y de la vida real.Para elavance del estudio de cadaunidadse sugiere lautilizacin de calculadoras microcomputadoras y computadoras o cualquier otro software estadstico u hoja electrnica que tenga a mano.En los ltimos aos el estudio del Anlisis Estadstico ha conducido dos mtodos estadsticos: las dos primeras unidades se refiere a la Estadstica Descriptiva, que se refiere a la tabulacin, representacin y descripcin de un conjunto de datos. Estos datos pueden ser variables cuantitativos o variables categricos. Al seguir pasoapasocadaunidadnosguiarnuestrapreparaciny estudio, tanto individual y colectivo. Sin dejar de lado nuestras 3experiencias personales y aporte pedaggico que estar por ser dinmico real y experimental.El mdulo consta de dos unidades:1. Descripcin de dos conjuntos de datos2. Medidas de la tendencia central y de la dispersinINDICACIONES PARA EL ESTUDIO DEL MODULOPara el aprendizaje del mdulo se recomienda:1. Revisar las tcnicas, aplicacin y resolucin de Problemas del lgebra elemental.2. Ponga en prctica una lectura inicial, intermedia y final de cada tema.3. Analice los objetivos de cada unidad4. Utilice y aplique algunas tcnicas de estudio5. Amplelos contenidos decadaunidadconversandoconpersonas entendidas en la materia.6. Revise y examine sus tareas haciendo uso de la Bibliografa7. Ponga en accin su Inteligencia Mental, su Inteligencia Emocional y su centro motriz: Planteando preguntas, realizando encuestas o resolviendo ejercicios.8. Proponga que su autoevaluacin genere permanente aliento y confianza.9. Examine las falencias existentes en usted y en su equipo de trabajo.OBJETIVOS GENERALES DEL MODULOAvance de los temas que se desarrollarn:1. Identificarentre variable discreta y variable continua2. Comprender lo que es una muestra y poblacin3. Diferenciarentre un Parmetro y un estadstico4. Plantear pasos para organizar un conjunto de datos.5. Plantear frmulas de medidas de centralizacin y medidas de dispersin6. Representarmediante grficos los resultados obtenidos7. Definir conceptos fundamentales de Probabilidaddistribuciones de probabilidad8. Formular las cuatro reglas de probabilidad: La regla de la suma y la regla de multiplicacin.9. Plantear lanaturalezayformadeladistribucinnormal ysu relaciona con la desviacin tpica.4ESTRATEGIAS PARA EL ESTUDIO DE ESTADISTICA1. Comentario de lecturas y textos especializados2. Desarrollar mapas mentales y/o conceptuales3. Conversar con varias personas entendidas para luego plantear preguntas y desarrollar cuestionarios.4. Realizarencuestasdel entornoyfueradeello. AplicandolaTriada estratgica de la: Visin, Misin y Valores.5. Compartir experiencias luego de las encuestas.6. Exposicin individual y grupal del trabajo en equipo.7. Entretenimiento motivacional.PRUEBA DE DIAGNOSTICO1. Escriba los diez primeros mltiplos del nmero 72. Cul es el nmero del cual estos nmeros son mltiplos: 12, 15, 30, 39?.3. Si hay 15 mujeres en un grupo de 65 estudiantes. Qu proporcin del grupo representan las mujeres? y Qu proporcin de grupo representan los varones?.4. Suponga que: X1 = 4, X2 = 8, X3 = 8, X4 = -6, Halle el resultado de:

41 iXi

5. Redondee los siguientes nmeros decimales:a) 1,0519 a tres dgitosb) 125,84 a tres cifras enterasc) 425,45 a una cifra decimald) 1250,126 a cinco dgitos6. Si n1 = 7; n2 = 9; y n3 = -6. Cunto vale n = 7.[ ] [ ] ? ) 2 / 5 /( ) 3 ( / 2 2 / 9 ( ) 5 3 (21 + +8. D los valores absolutos de 1.96 y 1.969. Si X1 = 25 y X = 29, y si K = X1 X, Cul es el valor absoluto de (K)?10. Si? , 20 ; 10 , 45000 ,2 2 2 2 2x cuntovale y n y si ny y x 511. Si 2 2) () )( (1x x ny x xy nB , donde. 22420 ; 82 ; 460 ; 3995 , 102 x y x xy nHalle B112. Dado los siete valores de X y de Y aqu indicados:X = 8,12,10,11,8,7,6 Halle X =Y = 9,10,8,9,8,7,7Halle X =13. Dado el siguiente conjunto de datos: 2,1,8,5,-1,3,9. Ordene en forma ascendente y en forma descendente.14. Si tengo los siguientes nmeros: 48.5 y 20.2. Cul es el mayor valor y cul es el menor valor? Y cul es su diferencia?.15. Usted como estudiante considere una variable y, quin financia sus estudios sea una variable X Cul es la variable dependiente y cul la variable independiente?.16. Si ) ( ) (2 2y xxyr , despeje ( 2) ( xPRIMERA UNIDADDESCRIPCION DE LOS CONJUNTOS DE DATOSOBJETIVOS: 1. Dar un concepto de estadstica.2. Distinguir entre variable continua y discreta3. Diferenciarconjuntos de datos no agrupados ydatos agrupados.4. Establecer Intervalos de clase y marca de clases Distribuciones de frecuencia 5. Representarlos datos de un conjunto por medio de grficas.1. - INTRODUCCION HISTORICA.La Estadstica se estructur como disciplina cientfica, en elsiglo pasadoperoyaseconocayseutilizabaenlaantigedad. Lamisma puede catalogarse en orden cronolgico en los siguientes antecedentes:a.-Las antiguas civilizaciones, como por ejemplo la de Egipto realizaban relevantamientos estadsticos (captacin de datos), debido a las inundacionesdel roNilo, efectuabancensosanuales, losmismosque permitanconocer comodistribuirlosbienesyrepartodepropiedades para que fueran restituidos. Tambin., se sabe que los griegos levantabancensos demogrficos (nacimientos, muertes, casamientos, etc.) y de propiedad.6Encuesta AAab.- En la poca del Imperio Romano se aplicaba censos poblacionales y debienesalospueblossometidosal imperioconobjetodeaplicarel rgimen de impuestos.Enlapoca moderna, latcnicacensal adquiriungrandesarrollo llegando a constituirse un eficaz auxiliar de las tareas gubernamentales.2. CONCEPTO DE ESTADISTICAS DESCRIPTIVALaEstadsticaserefierealacoleccin, representacinyutilizacinde datos numricos para realizar inferencias y alcanzar decisiones ante la incertidumbre que plantean muchas disciplinas que van desde las ciencias, la ingeniera, las leyes, la medicina, la economa, la administracin y otras ciencias, sociales y fsicas. El aspecto mas importante de la estadstica es la obtencin de conclusiones basadas en los datos experimentales.3.- CLASIFICACION DE LA ESTADISTICALa Estadstica se subdivide en: Descriptiva e Inductiva.3.1.- Estadstica Descriptiva :-Se refiere a la recopilacin y descripcin de un grupo de datos. Es aquella que estudia toda la poblacin.3.2.- Estadstica Inductiva :-Es el proceso para lograr generalizacionesacercadel todo(llamadolapoblacin)examinando una parte de ella (llamada la muestra). Para que esto sea valido,la muestra debe ser representativa de la poblacin.3.3ESQUEMA DE ESTADISTICA INDUCTIVA7Encuesta AAaVeamos que significa poblacin y muestra.Poblacin:-Es la coleccin de toda la posible informacin que caracterizaaunfenmeno. Lapoblacin- oUniversopuedeser tan grande o pequea. Muestra :- Es mi subconjunto representativo seleccionado de una poblacin.3.4MEDIDAS DE CALIDADEl BritnicoWilliamTOMHSONmasconocidocomoLORDKELVINsola decir. Cuando no puede medir y expresar numricamente lo que dice o conoce algo sobre ellos; pero mientras no pueda medir niexpresar en nmerosuconocimientoesescasoopocosatisfactorio. Paraqueun nmero o varios nmeros representen la informacin que se supone que representan, dependedelamedidadelacalidaddelosdatos. Estas medidas son: Lavalidez o relevancia, la Exactitudy la Precisin o confiabilidad.Val i dezUnnmeroovariosnmerossonvlidoscuandomidenloqueestn destinados a medir o representar.Ejemplo:El nmerodepersonasquevisitanciertolugartursticodel Ecuadorencadames del ao es el mismodesdehacemucho tiempo atrs.Exactitud8INDUCCIONEncuesta AAaMuestraPoblaciEs la diferencia entre los valores dados y el valor verdadero o real de lo querepresentanlosdatos. Estoseconsigueempleandoinstrumentos ms sofisticados o mejores mtodos de obtencin de datos.Ejemplo: El peso de una persona se lee en una bscula normal: 78.6kg., en otra un poco ms precisa 78.5 kg. Y en una sofisticada 78.658kg.PrecisinSerefiereal gradoderespetabilidaddelosdatos. Estoescuandose realiza la misma medida u observacin del mismo objeto en dos ocasiones diferentes se obtiene los mismos resultados o muy cercanos entres. Sepuedemejorarlaprecisinteniendomascuidadoenla obtencin de los datos.Ejemplo:Al medir el pesodeunapersonaenlamisma bsculaqueindica2kg. Dems, setendrel pesopreciso pero no exacto.3.5SUMATORIASConcepto de sumatoria:A menudo resulta difcil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesin, considerndolos como sumandos.Para facilitar este trabajo se ha convenido representar la adicin de los trminos en forma abreviada, mediante el signo , acompaado de la frmula o trmino general que define a la sucesin y del rango de valores que tomar la variable considerada en esa frmula. Se denomina sumatoria de una sucesin na , a la forma abreviada de escribir sus trminos expresados como sumandos:Se denota: + + + +nkk na a a a a13 2 1...9El signo corresponde a la letra mayscula sigma, del alfabetoEjemplos: 1+2+3+...+ n=nkk112 +22+32+...+n2 =nkk12+ + + + + +2011 2120...54433221kkk2. Propiedades de las sumatorias:Sumatoria de una constante:Si c1=c2=c3=...=cn=c, constante, entonces:c n cnkk 1Ejemplo: 200 4 50 4 ... 4 4 4 4501 + + + + k50 vecesSumatoria del producto de una constante por los trminos de una sucesin:Si c es una constante, entonces: nkknkka c a c1 1Ejemplo: 180 60 3 ) 26 17 10 5 2 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3512512 + + + + + + k kk k10La notacin nkka1se lee: sumatoria de los trminos de la forma, a sub k, donde k vara de 1 a n.Sumatoria de una suma o resta de trminos de dos o ms sucesiones:Si ka y kb son sucesiones, entonces se cumple que: t tnkknkknkk kb a b a1 1 1) (Ejemplo: + + 61616126122 3 ) 2 3 (k k k kk k k kPropiedad Telescpica de las sucesiones:El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus trminos se anulan quedando estas reducidas a slo dos trminos. Esta propiedad se denomina Propiedad telescpica de las sumatorias.Observemos el siguiente caso:) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) (1 1 3 4 2 3 1 211 n n n n xnkka a a a a a a a a a a a + + + + + + + Luego: 1 111) ( a a a an knkk ++ Con el mismo razonamiento se tiene:1 1 11) (+ + n knkka a a a11La Propiedad Telescpica tambin es vlida para la suma de los recprocos:1 1 1 11 1 1 1a a a an k knk

,_

+ + 1 1 1 11 1 1 1+ +

,_

n k knka a a aLa propiedad Telescpica es de gran utilidad para hallar una expresin que permita calcular directamente el valor de alguna sumatoria o para demostrar si una sumatoria es igual a una expresin o frmula dada, como por ejemplo:Calculemos una frmula para:+nkk k1) 1 (1Si expresamos el numerador de la fraccin como: (1+k-k), tenemos:11 1) 1 ( ) 1 (1) 1 (11 1 1+ ++++ + k k k kkk kkk kk knknknkAplicando la propiedad telescpica:1 11 111111 11++ ++ +nnnnn k knkPor lo tanto:121 ) 1 (11++nnk knkGua de Ejercicios:Calcula las siguientes sumatorias:1) +1313) 7 (kk2) 81) 2 3 (kk3) +612) 1 (kk kExpresa como sumatoria, las siguientes sumas:i) 12 + 23 + 34 + + 5051ii) 1 1 +2 3 +3 5 + + 10 19iii) 2 + 5 + 8 + 11 + + 44iv) 1 + 4 + 7 + + 43v) 2 + 5 + 10 + 17 + + 401vi) 5 + 8 + 13 + 20 + + 9044.- ORGANIZACION DE DATOSLos datos sin organizar carecen de sentido, es decir los datos brutos 110 permiteninterpretarnadaacercadelainformacinobtenida. Poresta razn es necesario organizar los datos, lo cual se realiza dependiendo del tipodevariableconlaqueseestatrabajando. Veamosquesignifica variable.Variable.- Es la que asume distintos valores en un evento o proceso, y puedenser nmerosocantidades/ Ejemplo: salarios, precios, edades, peso, estatura, etc.4.1 VARIABLES ESTADISTICAS13Las variables estadsticas pueden ser de dos clases: discretas y continuas.5.1.- Variables DiscretasSon aquellas que asumen valores especficos o determinados, en general son nmeros enteros y sirve para contar o enumerar. Eje: El nmero de trabajadoresdeunaempresa, el nmerodehabitantesdeunpas, el numero de alumnos del ISTRA, etc. La variable discreta no tiene un lmite determinado. 5.2.- Variables ContinuasSon aquellas que asumen valores determinados en un rango, pueden ser enteros o fraccionarios y sirven para medir .Eje:La temperatura,el peso,estatura, edad, etc. La variablecontinua tiene un6. DESCRIPCION DE DATOS U OBSERVACIONESAl nmero de datos u observaciones se lo representan con N. Para describir los dates puede presentar dos casos :1erCaso.:- Cuandoel conjuntodeobservacintienepocosdatoso valores . Ej:Un estudiante durante un semestre dio diez exmenes parciales calificados sobre diez (10 puntos), obteniendo los siguientes resultados:6-7-6-8-5-7-6-9-10 y 6. En este ejemplo, N= 1O (numero de datos).Para este tipo de conjunto (o estadstica) primero se hace un cuadro o una tabla, luego en la primera columna del cuadro se ordenan los datos o valores ya sea en forma ascendente o descendente (creciente o decreciente) en la segunda columna se ponen el numero de los valores que se repiten, al numero que se repite se llama frecuencia (f).Esto lo visualizamos mediante el siguiente cuadro.Notas Frecuencia (f)Absoluta5 16 47 2148 19 110 1TOTAL N = 102do. Caso -Cuandoelconjuntode observacin tienemuchosvalores diferentesPara este caso se emplea un procedimiento llamado 'Agrupamiento de datos". Esto es posible cuando el numero do datos es mayor que 30 (N > 30).Observacin.-El nmerodeclasesqueseempleaparaagruparlos datos en un conjunto depende del ..mero de datos.* Si el numero de datos es pequeo, el numero de clases a emplear ser cercano acinco (5), pero generalmente nunca menos que cinco (5).*Si existeunacantidadelevadadedatos, el nmerodeclasesdebe encontrarse entre ocho (8) y doce (12) clases.* En general el nmero de clases puede encontrarse entre 5 a 15 clases, el nmero de clases se puede elegir uno mismo (entre 5 a 15).* Para saber en cuantos grupos o clases agrupamos 16s datos, se utiliza laformuladeSturgesK=1+3,322log(N), dondeK. esel numerode clasesyNesel numerodedatesuobservaciones. Estoseclasifica mediante el siguiente ejemplo:Lademandadiaria, enunidadesdeunproducto, durante30dasde trabajo es:105 106 105107109 111 110 110 107 107 104 99 103 99 103101100 101100103 98 92 97 94 95 95 93 95 95 95 91 82 91 85 90 86 87 89 87 89El numero de datos u observaciones es N= 40. Como el numero de datos es mayor que 30, agrupamos los datos utilizando la formula de Sturges:K = 1+3,322 log (N)K= 1+3.322 log (40)K= 1+3,322 (1.60205)K- 1+5,322K = 6,32 = 6 Por tanto los 40 datos podernos agrupar en 6 grupos o clases 157. PROCEDIMIENTO PARA AGRUPAR LOS DATOS1.- Ordenamos los datos en forma creciente o decreciente (ascendente o descendente).2.- Encontramos el dato mayor y el dato menor, llamado tambin observacinmayor (OM) yobservacinmenor (om). Conestosdatos encontramos el rango o recorrido, en formula es :Rango = R = OM om3.- Determinamos el numero de clases o grupos (K), utilizando la formula de Sturges, (en nuestro ejemplo anterior K = 6).4.- Hallamos o determinamos la longitud o amplitud del intervalo de la clase, que se designa con la letra C, en formula es :

C= Rango_, C= es la amplitud de la claseNumero de clases KRC 5.- Preparamosuncuadrocon3columnas, paralasclases, limitede clases y en frecuencia, esto es :CLASE LIMITE DE CLASE FI6.- En la columna de lmites de clase anotamos como limite inferior (Li) de laclasealaobservacinmenor. Luegodeacuerdoalaamplituddel intervalo de la clase (C), incluimos tantos datos hasta el limite superior (Ls), as sucesivamente iremos anotando en clase, hasta llegar a la ultima clase en la que debe escribir incluido el dato mayor.7.- Finalmente contamos cuantos datos estn incluidos en cada clase y lo ponemos en la columna de las frecuencias (f).Ejemplo1.- Ordenamoslosdatesdel ejemploqueestamostratandoenforma ascendente1682858687878989909191 929394 95959595959798 9999100 100101 101103103103104105105106107107 107109110 1101122-- Hallamos el RangoR = OM - omR =lll - 82 = 293.- Determinamos el nmero de clases. K= 1+3,322 log(40) = 6, (K=6)4.- Determinamos la amplitud del intervalo de la clase.C=R/K C= 29 / 6 = 4.83C=55.- Preparamos el cuadro con 3 columnas.Clases Lmites de Clases Frecuencia fi1 82-86 32 87-91 73 92-96 84 97-101 85 102-106 76 107-111 7TOTAL N = 40- EJERCICIOS17Enuncentrodistribuidor deelectrodomsticos, lademandadiariade televisores de 14 pulgadas durante 31 das de trabajo es :38 35 76 5 8 48 59 67 63- 33- 69 53 51 28 25 36 32 61 57 49 78 48 42 72 52 47 -66 58 44 44 56 - 45. Agrupe estos datos, aplicando el procedimiento.1.- Ordenamos los datos en forma ascendente.25-28- 32- 33 35 36 37 42 44 44 45 47 48 48 49 51 52 53 56 57 - 58 58 59 61 63 66 67- 69 72 76 - 78 2.- R = 78 - 25 = 533.- K = l+3,3221og(30)4.- C = R / K = 53 / 6 =8. 833 = 95.- Presentamos los datos en columnasClases Limites de Clases Frecuencia fi1 25 - 33 42 34 - 42 43 43 - 51 84 52 - 60 75 61 - 69 56 70 - 78 318TOTAL n = 31 NOTA :- Para ordenar los datos es conveniente saber si los datos se trata de atributos o variables.Atributo :-Son los que expresan cualidades. Eje: bueno, malo, masculino femenino.Variable :-Es la que asume distintos valores en un evento, generalmente son nmeros.Para ordenar datos de atributos es conveniente clasificar de acuerdo con lascategorasenque elatributo puededividirse.PorEje:siqueremos ordenar datos correspondientes a calificaciones de exmenes sern, sobresaliente, muy buena, buena, regular, insuficiente.Pero, si queremos ordenar datos correspondientes a variables, hay que ordenar los valores enformacrecienteodecreciente(ascendenteo descender, (e)8. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS, INTERVALOS Y MARCA DE CLASE.Parahacer ladescripcingrficadelosdatos es necesarioconocer algunos elementos de la estadstica.8.1.- LIMITES DE INTERVALOS DE CLASETodo grupo, intervalo o clases tiene dos limites: Limite inferior (Li) yLimite superior (Ls).8.2.- PUNTOS MEDIOS 0 MARCAS DE CLASES (Xc)19Cuando estamos trabajando con datos agrupados es conveniente buscar para cada intervalo un valor que lo represente. Este valor se llama punto medio o marca de clase, que se representa con Xc, en formula es :2Ls LiXc+por ejemplo en el intervalo25 33,Li = 25,Ls = 33Xc=(25+33)/2=58/ 2 = 29Xc=29(29esel punto medio)8.3.- FRECUENCIA ABSOLUTAEs el nmero de veces que se repite un dato, o el nmero de datos que sc encuentre dentro de un intervalo o clase, se lo representa con la letra "F minscula, es decir a este tipo de frecuencia se llama Frecuencia Absoluta.8.4 .-FRECUENCIA RELATIVA :-Se obtiene dividiendo elnmero de datos u observaciones de la clase o grupo para el numero total de datos o observaciones:se representa con la letra (fr), en frmula es :fr = Nmero de datos en la claseNmero total de datosfr = f/ N ; f es la frecuencia de la clase y N cl numero de datos.8.5. FRECUENCIA ACUMULADA :- Se obtiene de la siguiente forma, en laprimera clase se pone la frecuencia absoluta del mismo, en la segunda claseseponelasuma'delafrecuenciadelaprimeraclaseconla segunda clase, y as sucesivamente hasta la suma con la frecuencia de la ultima clase.8.6. FRECUENCIARELATIVA ACUMULADA :-Se obtiene de la siguiente manera que la frecuencia acumulada, pero sumando las 20frecuenciasrelativas correspondientes. la suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. enformula es :KIRF18.7 .- PORCENTAJEEl porcentaje se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100, sn formula es :100 (%) x fNfr Aplicando esta formula se obtiene mi porcentaje, cuyo resultado debe expresarse en % (tanto por ciento). La suma de los porcentajes es igual a 100. (100%).EjemploDada la siguiente tabla hallar :Clase Limite de claseLi - LsFrecuenciafPunto MedioXcfA .fr fra Porcentaje %1 25 - 33 4 29 4 0.13 0.13.0.13X100 = 132 34 - 42 4 38 8 0.13 0.26 0.13X100 = 133 43 - 51 8 47 16 0.26 '0.52 0.26X100 = 264 52 - 60 7 56 23 0.23 0.75 0.23X100 = 235 61 69 5 65 28 0.16 0.91 0.16X100 = 166 70 -78 3 74 31 0.09 1.00 0.09X100 = 9TOTALN-31 1.00 100%21a) El punto medio, b) Frecuencia acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada y el porcentaje.9 .- REPRESENTACION GRAFICA DE LOS DATOSLa representacin grfica de los datos es un medio eficaz para el anlisis de las estadsticas, que nos permiten ver el comportamiento de los datos enmi conjuntodel cual seesteinvestigando. Paraluegosacar sus conclusiones.La representacin grfica de los datos constituye mi medio auxiliar de la investigacin estadstica pues esta se fluidamente en la descripcin.9. 1.- SISTEMAS DE REPRESENTACIONEl sistema de representacin mas usual es el PLANO CARTESIANO, en el eje Xse ponen los valores distintos de la variable para dates no agrupados y los limites de clases para los datos agrupados, en el eje Y se ponenlasfrecuenciasabsolutas(ofrecuenciasrelativas), Veamoslas representaciones grficas mas usuales en la estadstica.9.1.1- Histogramas :-El histograma es ungrficoquetiene un conjunto de rectngulos de igual base y de altura igual a su respectiva frecuencia absoluta o frecuencias relativas.Paraconstruirunhistogramasetrazaprimeroenel primercuadrando positivodel planocartesiano, luegoenel ej. Xseanotanloslimites inferiores; y superiores de las clases, procurando que haya una continuidad o coincidencia, Esto es que, el limite superior de una clase se constituye en limite inferior do In siguiente clase.NOTA :- Para esto es necesario hallar los limites reales (L-R) de la clase. Enel ejeYquecorrespondenasusalturasseponensusrespectivas (frecuencias.EjemploClase limites de Clase F L-R1 25 - 33 4 24.5 -33.52 34 - 42 4 33.5 - 42.53 43 - 51 8 42.5 -51.54 52 -60 7 51.5 - 60.5225 61- 69 5 60.5 - 69.56 70 - 78 3 69.5 - 78.5Histograma:delademandadiariade televisores9.1.2.- Polgono de Frecuencia :- Es un grfico lineal, su construccin es similar al histograma; para su construccin se unen los puntos medios de cada clase, con sus respectivas frecuencias; de tal manera que al unir sus puntos medios por segmentos forman un polgono. Ejemplo: Clase Limites de Clasef L.R Xc1 25 - 33 4 24.5 - 33.5292 34 - 42 4 33.5 42.5383 43- 51 8 42.5 - 51.5474 52 - 60 7 51.5 - 60.5565 61- 69 5 60.5 - 69.5656 70 78 3 69.5 - 78.5748765432102 4 . 5 3 3 . 5 4 2 . 5 5 1 . 5 6 0 . 5 6 9 . 5 7 8 . 52329 384756 65749.1.3.- Curvas de Frecuencias Acumuladas (OJIVA)El grficodeunadistribucin defrecuencias acumuladas llamada OJIVA, o curva de distribucin de frecuencias acumuladas.Para su construccin se procede de la siguiente manera . Se considera el plano cartesiano, en el eje X se anotan los limites reales (l-R) de la clase, en el eje Y se anotan las frecuencias acumuladas (desde la menor hasta la mayor)EjemploClaseLimites de ClaseF TAL.R1 25 - 33 4 4 24.5 33.52 34 - 42 4 8 33.5 42.53 43 - 51 8 16 42.5 51.54 52 - 60 7 23 51.5 60.55 61 - 69 5 28 60.5 69.5246 70 - 78 3 31 69.5 78.5OJIVA (o curva de distribucin)Ejemplos :Dada la siguiente tabla ;Limite de claseLi- Ls Xc f fr, fA19.2-19.4 19.3 1 0.05 119.5 -19.7 19.6 2 0.10 319.8 -20.0 19,9 8 0.40 1120.1 -20.3 20.2 4 0.20 1520.4 -20.6 20.5 3 0.15 1820.7 -20.9 20.8 2 0.10 20TOTAL N= 20 Construya el Histograma, el polgono de frecuencia y la ojiva.05101520253035Serie124.5 33.542.551.5 60.5 78.5259.1.4.-Diagramade Barras o Grfico de Barras.El diagramadebarrasesungrficoqueserepresentapormediode rectngulos que se levantan desde el eje X, hasta una altura que correspondo a I eje Y y que es igual a las frecuencias de las diferentes categoras de los datos.La diferencia entre el diagrama de barras y el histograma esta en que e1 histograma se refiere a una distribucin. de frecuencias y los diagramas de barras se utilizan para cualquier tipo de atributos o categoras.I CAMPOS PETROLEROS NUMERO DE POSOS1 Lago Agrio 202 Shushufindi Aguarico 573 Sacha 1014 Yuca Yuca Sur 75 Cononaco 126 Duremo guanta 97 Auca 288 libertador 50EjemploDIAGRAMA DE BARRAS DE LOS CAMPOS PETROLEROS26 C a m p o sP e t r o l e r o s0204060801001201 2 3 4 5 6 7 8Serie127EJERCICIOSI) Dada Iasiguiente tabla.Hallar el Histograma, el polgono de frecuencia y la curva do distribucin.2) Dada la siguiente tabla que representa el nmero de carros vendidos en 6 das de feria internacional.Grafique el diagrama de barrasLIMITE DE CLASEF1.5 2.41.5 3.43.5 4.44.55.45.56.46.57.47.58.48.59.49.510.4.335568442TOTAL N=40MARCA DE CARROSFDatsunFordToyotaVitaraMonteroSan Remo404532443846289.15.- GRAFICOS EN SECTORES 0 DIAGRAMAS DE PASTELLos grficos en sectores o diagramas de pastel se utilizan para representar los datos cuyo conjunto forman un todo.Pertenecen a este grupo los CIRCUNGRAMAS 0 CICLOGRAMAS, que son crculos que representan al numero total de datos (N) divididos en tantos sectores circulares como categoras tiene el grupo.Cada sector circular es proporcional a la frecuencia de su clase o categora.Para encontrar el numero de grados de cada clase o categora se utiliza la siguiente formula. GRADO= (f /n)*360 Donde f es la frecuencia de la clase y nel numero total de datos del conjunto.EJEMPLOCLASE LIMITE DE CLASEFRECUENCIAFGRADOSPORCENTAJEFr x 10012345625-3334-4243-5152-6061-6970-7844875346.546.5938158350.13x100=130.13x100=130.26x100=260.23x100=230.16 x100=160.09X100=9TOTAL N=31 360 100%291. 5 . 4631360 4 xGrado5 . 4631360 4 xGrado93 9 . 9231360 8 xGrado8131360 7 xGrado5831360 5 xGrado3531360 3 xGradoAUTOEVALUACION No. 1Instruccin:Seale con una (x)la alternativa o alternativas verdaderas que corresponda a cada pregunta.1. En el siguiente redondeo de datos seale las aproximaciones que son correctas de acuerdo al Sistema Internacional.a. 125,85 aproximado a tres cifras enteras es 126b. 235,135 aproximado a dos cifras decimales es 235,14.c. 425,45 aproximado a una cifra decimal es 425,5.d. 1.250,1245 aproximado a una cifra decimal es 1.250,2.2. Seale con una (x) las variables continuas.a. Provincias del Ecuadorb. Habitantes del Ecuadorc. La estatura de los alumnos de un colegio.d. La edad de los alumnos de la Modalidad Abierta.3. La variable familias del Ecuador es:a. Continuab. Discretac. Cualitativad. Ninguna de las anteriores.913313262316304. Seale con una (x) las proposiciones que son correctas.a. La diferencia que se establece entre el valor mayor y el valor menor de la variable es la amplitud total.b. c=Ls-Li+1c. La marca de clase es el valor medio de cada intervalo.d. Xc = (Ls+Li)/2 5. determine los lmites reales que le corresponden al siguiente intervalo:46-50.a. 46,5-50,5b. 45,5-49,5c. 45,5-50,5d. Ninguna de las soluciones anteriores.6. Un colegio tiene 3.200 estudiantes.Si los alumnos matriculados en el primer curso son 400, entonces el porcentaje que le corresponde a este curso es de:a. 8,5%b. 12,5%c. 80%d. Ninguna de la soluciones anteriores.7. el ancho del intervalo 51 -57 es:a. C=5b. C=6c. C=7d. Ninguna de las anteriores.8. La marca de clase del intervalo 30-35es:a. 4b. 5c. 32d. Ninguna de las soluciones anteriores.9. Para el clculo de la frecuencia relativa debemos utilizar la frmula.NfNffr cN f fr b r a.. ..100 . e. Ninguna de las soluciones anteriores.10. La frmula para calcular el porcentaje de la frecuencia es: 31a.Nfp100 .b.100., N fp c.Nfp d. Ninguna de las anteriores11. Cul de las siguientes es una grfica de superficie.a. Curva de magnitudb. Polgono de frecuenciac. Barras compuestasd. Pictograma.12. en un polgono de frecuencias, los valores representados en el eje vertical corresponden a:a. Los intervalos de clase.b. Las frecuencias acumuladas.c.Los puntos medios.d. las frecuencias.13. En un histograma, las frecuencia se ubican en el eje vertical Y, y en el eje horizontal.a. Los limites reales de claseb. Las variablesc. Los porcentajes de las frecuenciasd. las frecuencias relativas14. Cuando en el polgono de frecuencia los puntajes se distribuyen en forma uniforme, la prueba aplicada ha sido:a. Con un alto grado de dificultadb. Con cierto grado de dificultad.c. Normal.d. Ninguna de las soluciones anteriores.15. El grfico que se obtiene al representar la variable y la frecuencia acumulada.a.Pictogramab. Ojiva o curva de magnitud.C. Polgono de Frecuencia.d. Diagrama de frecuencias.16. El polgono de frecuencia es un grfico.a. De superficieb. Lineal32c. Libred. Ninguno de los anteriores.17. Paratrazarundiagramadebarrashorizontalesenel ejedelas abscisas se localizan las frecuencias y en el eje de las ordenadas.a. la amplitud de la variableb. Los limites reales de clase.c. Los datos de la variable.d. Las frecuencias acumuladas.18. Las frecuencias relativaslas podemos representar grficamente utilizando un diagramaa. Linealb.Superficiec. Libred. Ninguna de las anteriores.19 En un diagrama de sectores, los 360 grados del ngulo central de un crculo se distribuyen utilizando la frmula.a. A = Nf 100 .b. A = ff 360 .c. A = fN 100 .d. A = Nf 360 .20. El diagrama es espiral se utiliza para representar:a. Solo series con datos geogrficosb. Dos series de datosc. Una variacin expansiva de un fenmeno.d. Los porcentajes de la variable.PARTEB. En la siguiente serie estadstica de intervalos:X F120 -125114 -119108 -113102 -107 96 -101 90 -9556109152N=47Determine: 33a. La marca de clase. b. La frecuencia relativac. La frecuencia acumuladad. El porcentaje de la frecuencia relativae. El histogramaf. La curva de distribucin (OJIVA)g. El diagrama de pastel.SEGUNDA UNIDADMEDIDA DE LA TENDENCIA CENTRAL Y DE LA DISPERSIONOBJETIVOSAl terminar el estudio de esta unidad el estudiantes estar en capacidad de :Determinar la media, mediana y el modo, la interpretacin y conclusin de la misma ya sea de datos no agrupados y agrupados.Determinar la varianzayladesviacintpica de datos noagrupados y agrupados.Determinar la asimetra, sesgo de la curva de distribucin curtosis.CONTENIDOS.1. INTRODUCCIONEn la seccin anterior se plantearon las tcnicas grficas para describir lasdistribucionesocultasenunconjuntodedatosenestaunidadse 34definen algunas medidas numricas que se emplean para describir un conjunto de datos. Estas medidas son de dos tipos:a. Medidas de tendencia central o de centralizacinb. Medidas de dispersin o de variabilidad. Estudiaremos tanto para datos agrupados como no agrupados.Lasmedidasdetendenciacentral serefierealalocalizacindeuna distribucin. Lamsimportantesmedidasdetendenciacentral son: la media (X), la mediana (Mdn), la moda (mo), media geomtrica (g.M) y la mediana armnica(G.A)Lasmedidasdedispersinovariabilidadserefierealadispersino distanciamiento de un dato con los dems y con respecto a su media. Las msimportantesson: ladesviacinmedia(DM). Desviacinmediana (DMd), la varianza (S2) y la desviacin tpica o estndar (S).2. MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO PARA DATOS NO AGRUPADOS DEFINICION.-Lamediasedefinecomolasumade los valores de un conjunto de datos dividida para el nmero total de datos.Existen dos tipos de medias : La media poblacional que se representa por u (miu) y la media para muestras que se representa po (X) (equis barra).La media para datos no agrupados est dada por la siguiente frmula:nxn x x xnxinix+ + + + ... .......... 3 2 1 1Donde nixi01 a la suma de cada uno de los valores del conjunto de datos y (n) es el nmero total de elementos del conjunto.Dado el siguiente conjunto de datos hallas su media.38-35-76-58-48-59-67-63-33-69-53-51-28-25-36-32-61-57-49-78-48-42-72-52-47-66-58-44-44-56-45Aqu es este conjunto N = 3029 . 513115903156 44 44 ..... 58 76 35 38 1 + + + + + + + NXiniX3. MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOSDEFINICIN.-La mediana es una coleccin de datos debidamente ordenados en forma ascendente o descendente (creciente o decreciente). Es el valor medio o la media aritmtica de los dos valores medios.La median est justamente en el50% de los datos (en la mitad). Para hallar la mediana, puede presentar dos casos.351er. Caso.-Cuandoel nmerodedatosesimpar.- Enestecasola mediana se encuentra en la mitad de la serie ordenada de los datos, se puede encontrar utilizando la siguiente frmula.21 + NMdnEl resultado de esta operacin nos indica la posicin o el lugardondeestlamediana(estevalor noesla respuesta).DATOS SIN ORDENAR DATOS ORDENADOS3835765845676333695359282536326151 4978484272574766584444525625 2832333536 38 42 44 44 45 47 48 4849 51 52 53 56 57 58 5859 61 63 66 67 69 727678N = 31 (NMERO DE DATOS IMPAR).Mdn = N + 1 =31 + 1= 32=16 222El 16 no es la mediana, el 16 nos indica la posicin o lugar que ocupa la mediana en el ordenamiento de los datos, en nuestro ejemplo el puesto 16 ocupa el nmero 51 Por lo tanto laMdn= 51.2do. Caso.- Cuando el nmero de datos es par.- En este caso se utiliza el mismo procedimiento que el 1er. Caso, y se obtiene un nmero entero con decimales, en este caso la median se encuentra hallando la media aritmtica de los dos valores medios.DATOS SIN ORDENAR DATOS ORDENADOS38 35 76 58 4567 63 33 69 53 5928 25 36 32 61 51 49 78 48 42 72 5747 66 58 44 44 52 5626 2832333536 39 4244444547 484850 5152535657 585859 61 636667 69727678Mdn= N + 1= 30 + 1=31= 15.522236El nmero 15.5 no es la mediana, este valor nos dice que la mediana est entre el elemento 15 y el elemento 16 de los datos ordenados, esto es: El puesto u15 est ocupado por el nmero 51 y el puesto 16 por el nmero 52.Por lo tanto la mediana es: Mdn = 51 + 52=103 = 51,52 24. MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS.Definicin.- La moda en un conjunto de datos u observaciones es el valor que se repite con mayor frecuencia. A la moda o modo se lo representa con Mo.NOTA.- Si existe un solo valor que se repite, el conjunto tiene una sola moda es UNIMODAL.EJEMPLO.Hallar la moda del siguiente conjunto de datos.19 1 3 4 2 57 6 6 6 6 620 17 8 18 9 10Si existen dos valores que se repiten, el conjunto tiene dos modas, es BINODAL.1 2 3 3 3 34 5 6 7 8 912 11 11 10 11 11Mo =3 es bimodal.Mo. = 11.Si existenmsde dosvaloresqueserepiten,el conjuntotienevarias modas, se llamaMULTIMODAL.EJERCICIOS.1. Lossiguientesdatosrepresentanlaslatas defritasdeuna muestrade20unidades quecontienenpesos netos que oscilan entre 19.3 onzas y 20.9 onzas.3719.7-19.9-20.2-19.9-20.0-20.6-19.3-20.4-19.9-20.3-20.1-19.5-20.9-20.3-20.8-19.9-20.0-20.6-19.9-19.8Hallar lamedia, medianaylamodaparaesteconjuntodedatosno agrupados.5. MEDIA PARA DATOS AGRUPADOSLa media para datos agrupados se calcula por la siguiente frmula:NXc fniX11Donde NiXc f11= A la suma del producto de las frecuencias por el punto medio o marca de clase.N= Nmero total de datos u observacionesK= Nmero de clases.Para hallar la media de datos agrupados, primero encontramos los puntos medios,luego multiplicamoscadafrecuenciapor el puntomedio dela clase. Sumamoslacolumnadelosproductosysuresultadodividimos para el nmero total de datos.EJEMPLOI LIMITE DE CLASEF Xc f. Xc12345625 3334 4243 5152 6061 6970 784487532938475665744x29=1164x38=1528x47=3767x56=3925x65=3253x74=222TOTAL N=316011583 .iXc f06 . 51311583.61 nxC FIX6. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOSLamedianaparadatos agrupados seobtienemediantelasiguiente frmula: [ ]C Li Mdnmfi f N ) ( 2 / + 38PROCEDIMIENTO1. Formamos una tabla para los lmites de clases, frecuencias y frecuencias acumuladas.2. Hallar las frecuencias acumuladas.Li= significa lmite real inferior de la calase mediana.N/2= es el nmero de datos dividido para dos.(20 ) i fC= 1.15 1.10 = 0.05Fm=15[ ]C Li Mdnmfi f N.) ( 2 / + [ ][ ]2 . 1 163 . 10133 . 0 15 . 1 ) 05 . 0 ( 15 / 4 15 . 1 ) 05 . 0 ( 15 . 11520 24 + + + MdnMdn8. MODA PARA DATOS AGRUPADOS.Para hallar lamoda para datos agrupados, primeramente se observa en columna da las frecuencias, el valor ms alto (clase con la mayor frecuencia.) Luego se halla la moda utilizando la siguiente frmulaC Li Mod d d2 11++ Li = Lmite inferior de la calase modal (clase con la mayor frecuencia).d1=Frecuencia delaclasemodal menos lafrecuenciadelaclase anteriord2 = Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la siguiente clase.C = Amplitud o longitud del intervalo de clase.EJEMPLOI LIMITE DE CLASE fi1234561.00 1.041.05 1.091.10 1.141.15 1.191.20 1.241.25 1.2946101585Total N = 48En este ejemplo la frecuencia la frecuencia ms alta es 15 y est en la cuarta clase.Li = 1.15d1 = 15 10 = 5d2 = 15- 8 = 7C = 1.20 1.15 = 0.05C Li Mod d d2 11++ 39Mo = 1.15 + 5(0.05)=1,15+0,0208( 5+7)Mo= 1.170 1,28. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES, PARA DATOS NO AGRUPADOS.Loscuartiles, decilesypercentilesseasemejanmuchoalamediana porquetambinsubdividenunadistribucindemediciones deacuerdo con la proporcin de frecuencias observadas.Mientraslamedianadivideunconjuntodedatosendosmitades, los cuartiles la dividen en 4 partes, los deciles la dividen en 10 partes y los percentiles la dividen en 100 partes.Paralos datos noagrupados, las frmulas queseempleansonlas siguientes:CUARTILES:Primero: Q1 = (N/4) + (1/2)Segundo: Q2 = (2N/4) +(172)Tercero: Q3 = (3N/4) + (1/2).DECILESPrimero: (N/10) + (1/2) = D1Segundo: (2N/10) + (1/2) = D2Tercero: (3N/10) + (1/2) = D3Cuarto: (4N/10) + (1/2) = D4Quinto: (5N/10) + (1/2) = D5Sexto: (6N/10) + (1/2) = D6Sptima: (7N/10) + (1/2) = D7Octavo: (8N/10) + (1/2) = D8Noveno: (9N/10) + (1/2) = D9PERCENTILESPrimero: P1 = (N/100) + (1/2)Segundo: P2 = ( 2N/100) +(1/2)...................................................Diez P10 = ( 10N/100) +(1/2)Setenta = P70 = ( 10N/100) +(1/2)Ochenta = P80 = ( 80N/100) +(1/2)40EJEMPLODel siguiente conjunto de datos hallar, los cuartiles, el decil segundo y decil noveno, adems hallar los percentiles dcimo, veinticincoavo, setenta y cinco avo (75) y noventa avo.82 85 86 87 87 89 89 90 91 9192 93 94 95 95 95 95 95 97 9899 99 100 100 101 101 103 103 103 104105 105 106 107 107 107 109 110 110 111Q1 = (N/4) +(1/2) = (40/4) + (1/2) = 10 +0.5 ,Q1 = 91 + 92= 183 =91.5 2 2Q2= (2N/4) +(1/2) = 20+ 0.5 = 20.5 ,Q2 = 98 + 99 =197 =98.5 2 2Q1 = (3N/4) +(1/2) = 30+0.5 = 30.5,Q1 =104 + 105= 209=91.5 22D1 = (2N/10) +(1/2) = 8+0.5 = 8.5, D2 = 90 + 91 = 181 =90.5 22D9= (9N/4) +(1/2) = 36+0.5 = 36.5,D9 = 107 + 109= 216= 10,85 2 2P10= (10N/4) +(1/2) = 4+0.5 = 4.5 ,P10 = 87 + 87 = 174 = 8722P25 = (25N/4) +(1/2) = 10+0.5 = 10.5,P25=91 + 92 =183= 91.522P75 = (75N/4) +(1/2) = 30 + 0.5 = 30.5 , Q1 =104 + 105 = 209= 91.5 22P90 = (90N/4) +(1/2) = 36+0.5 = 36.5 , Q1=107 + 109 =216= 108 2 2De todos estos dados usados son los Percentiles:Definicin.-Sellamarecorridointercuantil aladiferenciaentrelos percentiles 75 avo. Y 25 avo. En formula es:Recorrido intercuantil = P75 P25 = 104.5 91.5 = 1341Defincin.- Se llama recorrido interdecil a la diferencia entre los percentiles 90avo. Y 10 avo. En frmula es:Recorrido interdecil = P90 - P10 = 108 87 = 21,.9. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS.Para hallar los cuartiles, deciles y percentiles de datos agrupados, basta recordar la frmula de la medinan para datos agrupados.Esto Es: C Li Mdnmfi f N ] ) ( 2 / [ + Porlo tanto las formulas par los Cuartiles, deciles y percentiles son:CUARTILES :[ ]C Li Qcuartilfi f N.) ( 4 /1 + [ ]C Li Qcuartilfi f N.) ( 4 / 22 + [ ]C Li Qcuartilfi f N.) ( 4 / 33 + DECILES[ ]C Li Ddecilfi f N.) ( 10 /1 + [ ]C Li Ddecilfi f N.) ( 10 / 55 + [ ]C Li Ddecilfi f N.) ( 10 / 88 + [ ]C Li Ddecilfi f N.) ( 10 / 99 + PERCENTILESDentro de los percentiles los ms usados son.:[ ]C Li Ppercentilfi f N.) ( 10 /10 + [ ]C Li Ppercentilfi f N.) ( 10 / 2525 + [ ]C Li Ppercentilfi f N.) ( 10 / 7575 + [ ]C Li Ppercentilfi f N.) ( 10 / 9090 + As tenemos lo siguiente:Recorrido intercuantil = P75 P2542Recorrido interdecil = P90 P10.EJEMPLODe la siguientes tablas determinar, el recorrido intercuantil y el recorrido interdecilI LIMITE DE CLASEFRECDUENCIA fiFRECUENCIA ACUMULADA12345682-8687-9192-9697 -101102 -106107 -11137887731118263340N=40[ ]C Li PpercentilFi f N.) ( 100 / 1010 + 400 = 4 (2da clase).100Li= 87; ( f)i = 3; f= 7; C=5P 10 = 87 + (4-3/7) 5P10 = 87 + (1/7) 5= 87+0.71P10 = 87.71[ ]C Li PpercentilFi f N.) ( 100 / 2525 + 1000 = 10 (2da clase).100Li= 87; ( f)i = 3; f= 7; C=5P 25 = 87 + (10-3/7) 5P25 = 87 + (7/7) 5 = 87+5P25 = 92[ ]C Li PpercentilFi f N.) ( 100 / 9090 + 90N = 3600=36 (6ta clase).100Li= 107; ( f)i = 33; f= 7.P 90 = 107+(36-33/7) 5P90 = 107 + (3/7) 5= 107+2.14P90 = 109.14[ ]C Li PpercentilFi f N.) ( 100 / 1010 + 75N = 3000=30 (5ta clase).100Li= 102; ( f)i = 26; f= 7.P 75 = 102+ (30-26/7) 5P75 = 102+ (4/7) 5= 102+2.85P75 = 104.86Recorrido intercuantil = P75 P25 = 104.86 92 = 12.86 13Recorrido interdecil = P90 P10 = 109.14 87.71 = 21.43.EJERCICIOSDado el siguiente conjunto de datos no agrupados (20 datos ).40.226.929.328.735.699.888.235.642.937.825.125.429.331.735.636.840.242.950.655.24344.231.732.336.855.245.250.625.125.439.726.928.732.335.637.839.744.245.288.299.8Calcular : el recorrido intercuantil y recorrido interdecil.P10= [10(20)/100 + 0.5 = 2 + 0.5 = 2.5; est entre el elemento 2 y 5 de los datos ordenados.P10= 25.4 + 26.9/2 = 52.3/2 = 26.15P25 = 29.3 + 31.7 / 2 = 61/ 2 = 30.5P75 = [75(20)/100[ + 0-5 = 15 + 0.5 = 15.5; est entre el elemento 15 y 16 P75 0 44.2 + 45.2 / 2 = 89.4 /2 = 44.7P90 = [90(20)/100 + 0.5 = 18+0.5 = 18.5; est entre el elemento 18 y 19.P90 = 88.2 + 55.2 / 2 = 134.4/2 = 71.7.Recorrido intecuantil = P75 P25 = 44.7 30.5 = 14.2Recorrido interdecil = P90 P10 = 71.7 26.15 0 45.55.Del siguiente conjunto de datos agrupados, calculas los recorridos intercunatil e interdecil. Adems, la media, mediana, moda.Limite de claseFrecuencia (f)Punto medio (Xc)Frec. Acumulada (Fa)f.xc1.10-1.861.87-2.632.64-3.403.41-4.174.18-4.944.95-5.715.72-6.486.49-7.2541411971221.482.253.023.794.565.336.106.874182938454648505.9231.5033.2234.1131.925.3312.213.74N = 50 167.9410.- MEDIDASDEDISPERSINPARADATOSNOAGRUPADOSY AGRUPADOS.La dispersin se refiere a la variabilidad o amplitud en los datos. Las medidas ms importantes de dispersin son:La desuvicacin media.La varianzaLa desviacin estndar.10.1 DESVIACIN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS.La desviacin media para datos no agrupados est dada por:44_|Xi- X | D.M =nDM= Desviacin media.Xi X = valor absoluto de la diferencia entre cada dato de la muestra y la media.N= Nmero de datos.EJEMPLO:Del siguiente conjunto da datos: Hallar la desviacin media (D.M)82 85 86 87 87 89 89 90 91 9192 93 94 95 95 95 95 95 97 9899 99 100 100 101 101 103 103 103 104105 105 106 107 107 107 109 110 110 111X = 82 + 85 + .............................+111 = 97.940Mdn =40 + 1 = 20.5 2Mdn =98 + 99 = 98.5 2NMdn xiNiDMdn1) ( NiX Xi1 82 97.9+85 97.9+86 97.9+..... + 111-97.9=-15.9+ -12.9+-11.9+ ........+13.1= 15.9 + 12.9+11.9+ ......+ 13.1_ |Xi X | = 264.2Por lo tanto:_|Xi- X | D.M =nDM=264.240DM = 6.605 6.614510.1.2 DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOSLa desviacin media para datos agrupados est dado por: _ f |Xc X| D.M =nDonde f = es la frecuencia de cada clase|Xc X|= es la diferencia entre la marca de clase (punto medio) y la media.EJEMPLODe la siguiente tabla de datos agrupados calculas la Desviacin Media.Limite de clasePunto MedioXcFrec. FiFiXcd= |Xc X| Fi|Xc X|(Xc X )2Fi(Xc X)282 8687 - 9192 - 9697 - 101102 - 106107 1118489949910410937887725262375279272876384 - 97.75 =13.7589 - 97.75 = 8.7594 - 97.75 =3.7599 97.75 = 1.25104 97.75 =6.25109- 97.75 = 11.253(13.75) = 41.257(8.75) = 61.258 ( 3.75) = 30.008(1.25)= 10.007 ( 6.25) = 43.757 811.25) = 78.75(13.75)2= 189.0625(8.75)2= 76.5625(3.75)2= 14.0625(1.25)2= 1.5625(6.25)2= 39.0625(11.25)2 = 126.5625567.1875535.9375112.500012.5000273.4375885.9375TOTAL N=403910Fi|Xc X|= 2652387,575 . 97403910 1 NXc fKiix_ f |Xc X| D.M =n=265/ 40 = 6,625

10.2 VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS.46La raz cuadrada de la varianza recibe el nombre de Desviacin estndar.2179 . 61395 . 23871) (212212 2 NX Xc fnnx fxckiiS S10.2.1 DESVIACIN ESTNDAR PARA DATOS AGRUPADOS.- La raz cuadradadelavarianzarecibeel nombrede. Desviacin estndar.S=1) (12NX Xc fkii2179 . 61 SS = 7, 82410.2.3 VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS.La varianza para datos no agrupados est dada por:1 1) (22 221 nnx xNX XiNiS Mtodo abreviado. NiX Xi12) (Sumatoria o suma de la diferencia de cada valor del conjunto de datos menos la media elevado al cuadrado.N-1= Al nmero de datos de la observacin menos uno.82 85 86 87 87 89 89 90 91 9192 93 94 95 95 95 95 95 97 9899 99 100 100 101 101 103 103 103 104105 105 106 107 107 107 109 110 110 111 _X = 97,91) (24012NX xiiS + + + 4012 2 2 2) 9 . 97 111 ( ......... ) 9 . 97 86 ( ) 9 . 97 82 ( ) (iX Xi= 2379.61Por lo tanto 015 . 613961 . 23791 40) (24012 iX XiS4710.2.4. DESVIACIN ESTNDAR PARA DATOS NO AGRUPADOSDefinicin.-Laraz cuadradams lavarianzarecibeel nombrede Desviacin estndar.Del ejemplo anterior tenemos : S2 = 61.015Desviacin Estndar: S =81 . 7 015 . 61 EJEMPLOLos siguientes datos agrupados representan los pagos por almacenamientoparalos50msgrandesdetallistasduranteel ao 1979LimitesLi - Ls FrecuencXc fAFiXc Xc-X F1Xc-X(Xc-X)2F1(Xc-X)21.10- 1.861.87- 2.632.64- 3.403.41- 4.174.18- 4.944.95- 5.715.72- 6.486.49- 7.2541411971221.482.253.023.794.565.336.106.874182938454648505.9231.533.2234.1131.925.3312.2013.741.881.110.340.431.201.792.763.517.5215.543.743.878.401.975.487.023.1761.0240.0590.2761.6844.2778.13913.01712.70414.336.6492.51111.7884.27716.27826.034N=50167.9453.54 88.57736 . 35099 . 16781 NXc FIIXN/2 = 50/2=25 est en la 3era clase.Li=2.635( 81)ii f18;48fm=11C= 5.72 4.95 = 0.77mify f NLi Mdn1]1

+ 81) 2 /Mdn= = 2.635 + [25-18/11(.77)Mdn=2.635+[0.636(0.77) =2.635+ 0.49 = 3.13C Li Mod d d2 11++ d1 = 14-4 =10d2 = 14-11 =3Li = 1.865Mo= 1.865 +1 O (0.77) =1.865 + (0.769) (0.77) = 1.865 + 0.923 = 2.4610+3Mo= 2.460708 . 1505354) (811 NX Xc fiDM068 . 1504 . 53) (811 NX Xc fiDM79 . 1 808 . 149577 . 88) (2811 NX Xc fiS34 . 1 344 . 1 808 . 11) ( 1812 NX Xc fiSRecorrido intercuantil = P75 P25percentilifC i f NLi P. ) ( 100 / 7575811]1

+ 75(50) = 37.5 est en la 4ta clase100Li =3.41;29 )81 ii f; C= 0.77 P75= = 3.41.41 + (37.5 -29/9) (0-77) = 3.41 + (8.5/9)(0.77)= 3.41 + 0.7272P75 =4,13749percentilifC i fLi P. ) 100 / ) 50 ( 25258111]1

+ 25 (50) = 12.5 est en la 2da CLASE100Li= 1.87 ; (i f ) =4;C = 0.77 fpercentil = 14P25= 1.87 + 12.5 4/14 (0.77)P25 = 1.87 + (8.5/14)(0.77)P25= 1.87 +0.4675P25= 2.388Recorrido intercuantil = P75 P25C Li PpercentilIfi F N.81) ( 100 / 75751]1

+ 75(50) = 37.5 est en la 4ta clase.100 8177 . 0 ; 29 ) ( ; 41 . 3ic i f Lifpercentil= 9P75= 3.41 +[37.5 29/9(0.77)= 3.41 + (8.5/9)(0.77)=3.41 +0.7272P75= 4.137percentilifC i fLi P. ) ( 100 / ) 50 ( 2525811]1

+ 25(50) = 12.5 est en la 2da clase[ ]338 . 24675 . 0 87 . 1) 77 . 0 )( 14 / 5 . 8 ( 87 . 1) 77 . 0 ( 14 / 4 5 . 12 87 . 125252525+ + + PPPP1477 . 0 ; 4 ) ( ; 8 . 1 percentilfC i f Li Recorrido intercuatil = P75 P25=4.137 2.338= 1.79911. FORMA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIA50La forma de la distribucin sobre unimodales se refiere a:(1) Su simetra o falta de ella (asimetra) y (2) la curtosis (la agudeza de su punta).ASIMETRIA. Unadistribucintieneasimetracerosi essimtricaasu media.En una distribucin simtrica,la media, la mediana y la moda son iguales. X = Md = MoUna distribucin esta segunda positivamente si la cola derecha es ms larga que la cola izquierda. Entonces, la media > mediana> moda (vese la siguiente figura ).La asimetra (Sk) puede medirse por el coeficiente de simetra de Pearson Sk = 3( med)para poblaciones Sk = 3(X med) para muestras.sLa asimetra puede medirse tambin por el tercer momento respecto a la media y se puede hallar tambin mediante la siguientes frmulas:SIMTRICA SESGADA POSITIVAMENTESESGADANEGATIVAMENTE Media = Mediana=Moda Moda < Mediana < MediaMedia < Mediana < Moda 51331) ( x nkiiSkpara poblaciones331) (sx x fikiiSkpara muestras.Donde, u3 es el tercer momento central;Si u3< 0, se dice que la distribucin es asimtrica negativativamenteSi u3>0, se dice que la distribucin es asimtrica positivamente Si u3=0, se dice que la distribucin es simtrica.11.1 CURTOSIUS.- la curtosis estudia la puntiagudez de la curva Una curva de punta aguda se llama leptocrtica.Una curva de punta atacha se llama platircrtica.Una curva que se encuentra entre la leoptocrtica y platicrtica se llama mesocrtica (ver fig. 3.2).LEPTOCURTICA MESOCURTICA PLATICURTICA

MEDIA 52Lacurtosispuedemedirseporel cuartomomentorespectoala media divididopor ladesviacinestndar elevadaalacuarta potencia. Es frmula es:441) ( x nkiiSkpara poblaciones441) (sx x fikiiSkpara muestras.Donde, u2 es el cuarto momento central La curtosis para una curva leptocrtica >3. La curtosis para una curva mesocrtica = 3.La curtosis para una curva platicrtica < 3Coeficiente de Pearson: 5) ( 3 Mdn xPSi P < 0, los datos estn sesgados a la izquierda.Si P > 0, los datos estn sesgados a la derecha.Si P = 0, los datos estn distribuidos normalmente.TEOREMA DE CHEBYSHEY:Afirma que al menos un dato (observaciones) de un conjunto se encuentra en [ ] > yK kk1 , 121desviacin tpica de la media.Coeficiente de variacin: Mide el grado de dispersin de un conjunto de datos en relacin con su media.SCV =(100)XCombinacin .- Es un conjunto de elementos, en la que la composicin es importante, y no el orden.nCr= n!/ r! ( n r) !Permutacin .- Es un conjunto de elementos, en la que, lacomposicin y el orden es importante.nPr = n! / (n r) !53Variacin.-Las variaciones con repeticin dan el nmero de subconjuntos en el cual importa el orden y se admite la repeticin.nVr = n r, AUTOEVALUACION# 2InstruccinSealeconuna(x)laalternativaverdaderaquecorrespondenacada pregunta.PARTEA1. Las medidas de tendencia central son valores:a. Que ocupan el centro de una serie ordenadab. Conloscualesseseparanlosdatoscon respecto a su media.c. Hacia los cuales tienden a acercase o alejarse los dems valores de la serie.d. Que resultan de multiplicar las desviaciones para el nmero de casos.2. La media aritmtica es el valor promedio que resulta de:a. Multiplicarlasumatoriadevaloresporel nmero total de casos.b. Dividir la suma de las desviaciones para el nmero de casos.54c. Dividir un conjunto de valores para el nmero total de los mismos.d. Ninguna de las proposiciones anteriors.3. La frmulaNfXcX se la utiliza para hallar la media aritmtica de:a. Una serie estadsticab. Una serie estadstica de intervaloc. Una serie estadstica de frecuenciad. Datos agrupados.4. La mediana de la siguiente serie de datos: 19, 15, 18, 16, 17 es:a. 18b. 17c. 16d. Ninguno de los valores anteriores.5. La frmula 2NMdn se la utiliza para:a. Determinar el valor de la medianab. Encontrar el valor que ms se repite en la seriec. Determinar la posicin de la medianad. Encontrar el valor delamedianadeuna serie estadstica.6. Seale cual de las siguiente medidas individuales es equivalente a la mediana.a. El percentil 25b. El segundo cuartilc. El cuarto decil.d. Ninguna de las anteriores.7. El modo de la siguiente serie estadstica es: 55X F145 12144 10143 15142 14141 9a. 14.5b. 15c. 143d. Ninguna de las anteriores8. Seale cul de las siguientes proposiciones es verdadera.40 ALamediageomtricaeslarazcuadradadel productodelos valores de la variable41 La media es el valor recproco de la media aritmtica.42 El modo es el valor que se presenta con ms frecuencia.43 Ninguna de las anteriores.1. La media geomtricaz se la puede aplicar para:a. Hallar en economa el costo promediob. Obtener un promedio exacto de una progresin geomtricac. Para calcular la desviacin tpicad. Hallar promedios de velocidades.2. Indentifique cules de las siguientes medidas son de dispersin:a. Modob. Varinzac. Medianad. Desviacin tpicaPRUEBA DE ENSAYOINSTRUCCIONES: Estapruebaconstadecuatroproblemasenlascualesesprecisoque escribir todo el procedimiento. Sern valores con cuatro puntos, un punto cada problema.1.-Determine la media aritmtica de la siguiente serie estadstica.56X F66-70 1561-65 2056-60 1251-55 2246-50 102.- Si la edad de los profesores de un colegio es: X F26-30 2531-35 3236-40 2441-45 1546-50 1051-55 8Calcular la mediana:3.- Determine la desviacin media de la siguiente serie estadstica:Peso en KG. F60 561 862 1263 2464 1665 44.- Determine la desviacin tpica de la serie que se encuentra registrada en el siguiente cuadro estadstica.EDADES F F16-22 51-57 10 1223-29 44-50 14 2130-36 37-43 26 3537-43 30-36 35 2644-50 23-29 21 1451-57 16-252 12 10118 N =11857BIBLIOGRAFIAALLEN L. WEBSTER. Estadstica Aplicada para la Administracin y Economa, IRWIN, 1999.ALLISON, D. E. 1970Test anxiety, stressyintelligenceperfomance Sxiencia, 2, 26 27.CONOVER, W. J y otros 1974. Some reasons for not using the ytes.DIXON, W. J. Y F. J. Masser, 1980. Introduction to statical Analysis (4ta. Ed.) Nueva York: McGrawHill.58FRENCH, J. W. 1946 Efects of anxiety on verbl and mathematical examinationscores, Educational andBychological Measurement, 22, 553 564.BURSTEIN, H. 1971. Ttribute Sampling: Tables and Ex Planations o Tubles for Determinig confidence limits and smple sizes based on close aproximations of the binomial distribution.KENNETH D. HOPKINS y B.R. HOPKINS. Estadstica Bsica. Mxico 1997 Ingramex.GEORGE CANAYOS . Probabilidades y Estadstica. Mxico 1992. McGrawHill.59