esquemas - formularios...san marcos 2014 – ii 10 esquema - formulario • a excede a b en 10...

ESQUEMAS - FORMULARIOS

RAZ. MATEMÁTICO

Razonamiento Lógico ........................ 8

Orden de información ....................... 9

Planteo de ecuaciones -

Edades ............................................ 10

Operaciones matemáticas ............... 11

Sucesiones ................................... 12

Series ........................................... 13

Ecuaciones diofánticas ...................... 14

Análisis combinatorio ...................... 15

Máximos y Mínimos ......................... 16

ARITMÉTICA

Razón - Proporción - Promedios .......... 17

Magnitudes proporcionales .............. 18

Teoría de Conjuntos - Operaciones

entre conjuntos ............................. 19

Numeración ................................... 20

Adición y Sustracción ...................... 22

Multiplicación y División - Teoría

de la Divisibilidad ............................ 23

Criterios de la divisibilidad ............... 24

Números Primos ............................. 25

MCD y MCM .................................. 26

Números racionales Q - Tanto

por ciento ..................................... 27

Interés Simple - Mezclas .................. 28

ÁLGEBRA

Ecuaciones lineales ........................ 29

Principales productos notables ......... 30

Ecuación cuadrática ....................... 31

Polinomios - Teoría de exponentes .... 32

Sistema de Ecuaciones .................... 33

División de Polinomios - Factorización ... 34

Teoría de Ecuaciones ........................ 35

Inecuaciones I ............................... 36

Inecuaciones II ............................. 37

Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38

Binomio de Newton ........................ 39

Logaritmos .................................... 40

Números complejos ........................ 41

ÍNDICE GENERAL

GEOMETRÍA

Triángulos ..................................... 42

Congruencia de triángulos ............... 43

Cuadriláteros ................................ 44

Circunferencia ............................... 46

Proporcionalidad y semejanza

de triángulos ................................ 48

Relaciones métricas ........................ 49

Áreas triángulares ......................... 50

Áreas cuadrangulares -

Área circular .............................. 51

Geometría del espacio y poliedros

regulares ..................................... 52

Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53

Esfera y teorema de Pappus Guldin -

Polígonos y Poliedros regulares ........ 54

TRIGONOMETRÍA

Sistemas angulares - Sector circular ..... 55

Razones trigonométricas de

ángulos agudos ............................. 57

Resolución de triángulos rectángulos ... 58

Geometría analítica ........................ 59

Ecuación de la recta ....................... 60

Razones trigonométricas de un

ángulo en posición normal ............... 61

Reducción al primer cuadrante ......... 62

Circunferencia trigonométrica .......... 63

Identidades trigonométricas ............ 64

Identidades de ángulos compuestos ..... 65

Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66

Ángulos mitad II y ángulo triple -

Triángulos rectángulos notables ....... 67

Transformaciones trigonométricas ..... 68

Funciones trigonométricas inversas .... 69

Ecuaciones trigonométricas ............. 70

Resolución de triángulos ................. 71

FÍSICA

Cinemática MRU - MRUV.................. 72

Caída libre - Movimiento

en dos dimensiones ....................... 74

Movimiento circular - Fuerza

Estática ........................................ 75

Dinámica - Rozamiento.................... 76

Trabajo - Potencia mecánica

Energía Mecánica ........................... 77

Hidrostática - Electrostática ............ 78

Electrodinámica .............................. 79

Electromagnetismo - Física

moderna ....................................... 80

Movimiento armónico simple ............. 81

QUÍMICA

Átomo .......................................... 82

Características generales de los

números cuánticos ......................... 83

Configuración electrónica ................ 84

Tabla Periódica Actual ..................... 85

Propiedades periódicas atómicas ...... 86

Enlace químico ............................... 87

Unidades químicas de masa ............. 88

Estado gaseoso ............................. 89

Soluciones .................................... 90

Estequiometría .............................. 91

Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92

Electroquímica ................................ 93

Química Orgánica ........................... 94

Cíclicos y aromáticos ...................... 95

Hidrocarburos ............................... 96

Alquenos u olefinas - Alquinos

o acetilénicos ................................ 97

Alquenino - Oxigenados

y nitrogenados .............................. 98

Metalurgia y petróleo ..................... 99

Contaminación ambiental ................ 100

SAN MARCOS 2014 – II 8

ESQUEMA - FORMULARIO

Raz. Matemático

14 c

uadr

ados

3 cu

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RA

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O

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a

ss

s1

49

23

57

86

15 15 15 15 1515

15

15

3S=

1+2+

3+...9

+a+

b+c

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pite

n

Dis

trib

ucio

nes

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: -

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n:

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V VF

FF FV

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Antih

orar

io

9 SAN MARCOS 2014 – II


(OR

DEN

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INFO

RM

AC

IÓN

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A B Cx x

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x1

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ient

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teLa

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l

• A

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B no

es

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• C

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que

D•

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s m

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E

Izqu

ierd

aO

este

Sini

estr

a

Der

echa

Este

Die

stra

A B C DE

May

or

Men

or

Raz. Matemático



• A excede a B en 10 unidades• El doble, de un número disminuido en 3 unidades.• El doble de un número, disminuido em 3 unidades.• A es por dos veces B• A es dos veces más que B

A B 10– =

Lenguaje Literal(Enunciado) Traducción

Lenguaje Matemático(Ecuaciones)

2(x 3)

2x 3

–

–A 2BA B 2BA 3 B

== +=

Con dos o más sujetos

DaniellaMelanie

Pas Pre Futa d ec b f

• La diferencia de sus edades es siempre la misma. a c d d e f• La suma en aspa da el mismo resultado: a b c d d f b e a f c e

– –= = –

+ = ++ = ++ = +

ImportanteCaso 1:Año nacimiento edad año en curso• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.

+ =

Caso 2:

Nota:

Año nacimiento edad = año en curso 1• Si la persona todavía no cumple años en el año en curso.

Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

+ –

Raz. Matemático



+

X

Materia prima

Botones

Producto terminado

Proceso de producciónOperación matemática

Máquina

Adición

Sustracción

División

Números Resultado

Operadores

a b 3a 5b 4* = + + Definición

..........................................

a b 3(b a ) a* = * + 2 2

Si x x 1= +

5 =mSe resuelve de

............... hacia ..............

Se resuelve de

............... hacia ..............m =5

Definición

..........................................

Explícita

Implícita

adentro afuera

afuera adentro

Raz. Matemático



SUC

ESI

ON

ES

Lite

rale

s

Se c

onsi

dera

n 27

letr

asde

l abe

ceda

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No

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l)

Su

cesi

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mét

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azón

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una

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on

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cesi

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om

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ica

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azón

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mét

ica

×q

* P

ara

una

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una

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tidad

impa

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min

o.

×q

×q Pr

oduc

to d

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trem

os

*

De

2º O

rde

n

C =

4

; 10

; 18

; 28

; 40

; ...

0

A+

B=

46

810

12

22

22

C

t 1t 2

t 3t 4

t 5

Raz. Matemático



Raz. Matemático



ECUACIONES DIOFÁNTICAS

MULTIPLICIDAD1. Si N es múltiplo de n

Si N = N nk; kn

n

: se lee múltiplo de nEjemplo:

Si N= 5

N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)

Si N = 8

N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}

2. Si N no es múltiplo de n

d eN n r ó N n r

donde: d er r n

dr : residuo por defecto

er : residuo por exceso

Ejemplo:20 no es múltiplo de 6 (20 6 )

20 6 18 3

2 20 6 24 4 -4

20 6 2 20 6 4

Donde: 2 + 4 =6

Aplicación:

Si N 9 3 N 9 6

Si N 12 1 N 12 11

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. o o o o on + n + n +...+ n = nEjemplo:

• 8 8 8 8

• 15 15 15 15 15

2. o o on+n = n

Ejemplo:

• 7 7 7

• 14 14 14

3.o

k n= n;k Z∈Ejemplo:

• 2 7 7

• 0 10 10

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Sea A x B = on

o o

Si A n B = n

o o

Si B n A = n

Ejemplo:4x 5

4 5 x 5

Raz. Matemático



Pri

nci

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de

Co

nte

o

• • Par

a ev

ento

s in

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n- d

ient

es

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Par

a ev

ento

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.

Mul

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(y):

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Prop

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des:

n!k!

(nk)

!Cn k

=

• =

C

Cn k

n nk

Fact

ori

al d

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n n

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n! =

12

34

...n

0! =

1

n!

= n

(n

1)!

××

××

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l

P =

n!

n

Ejem

plo:

5 am

igos

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5 as

ient

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P =

5!

= 1

20

5

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n d

e “n

”

elem

ento

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k” e

n “k

”

Ejem

plo:

5 am

igos

en

2 as

ient

os

P=

n kn!

(nk)

!

Perm

uta

ción

con

repe

tici

ónP

erm

utac

ión

circ

ular

PR=

n a; b

; c;

...

Ejem

plo:

n!a!

b!c!

...

23

1

PR=

6 2; 3

; 1

6!2!

3!1!

P =

(n

1)!

c(n)

Ejem

plo:

6 am

igos

en

una

mes

a ci

rcul

ar

P =

5!

c(6)

P=

= 2

05 2

5! 3!

Raz. Matemático



Problemas sobre certeza

Casos desfavorables

:Número deextraciones

Casosfavorables

+

Lo que noquiero que

salga

Lo que pide el

problema

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Otras situaciones

• Si: a + b = K

(a.b) = .máxK2

K2

• Si: a × b = K

(a+b) = mín K K+

• Si: a > 0

a + > 2 1a

x > 0 2

• Si: × = IR

Expresiones algebraicasde 2do grado

E(x) = Ax + Bx + C2

A > 0 EMÍN

A > 0 EMÁX X = 2A

Raz. Matemático



Aritmética



Propiedades

• A IP B A DP

• A DP B (C cte)

A IP C (B cte)

1B

A x CB

= cte

A IP B

a1

b1

a2

b2

= k

Valor “B”

Valor “A”

HipérbolaEquilátera

Gráfica:

a1

a2

b1 b2

a1 a2b1 b2= k= . .

MAGNITUDESPROPORCIONALES

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A DP B

Valor de AValor de B

= Cte

Valor “B”

Valor “A”

LíneaRecta

Gráfica:

b2b1

a1

a2

Valorde A

Constante

Valorde B

f(x) = K x

A DP B

Valorde B

Valorde A

Constante

f(x) = xk

A IP B

IPDP

=

• A DP B A IP 1B

Aritmética



1 2 3 n

elementos

A a ;a ;a ;.......;a i j

donde :a a

i, j

• Cardinal = n(A) = n

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRECONJUNTOS

No AA o BB A

A B

A B

Unión (U): Complemento ( (A)):

Solo ADiferencia (–):

A y BIntersección ( ):

A B

Sólo A o sólo B

DiferenciaSimétrica (A):

A

Aritmética



abcd

a

n b

n c

.n

dn

= +

++

32

NU

MER

AC

IÓN

1.D

esco

mpo

sici

ón p

olin

ómic

a:

2.D

esco

mpo

sici

ón p

or b

loqu

es:

3.Ca

mbi

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e ba

se:

3.1

De

base

"n"

a b

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101.

Des

com

posi

ción

pol

inóm

ica

2.Ru

ffin

iEj

empl

o:

243 (

5)

243 5

= 7

3

3.2.

De

base

10

a ba

se "

n"(D

ivis

ione

s su

cesi

vas)

Ejem

plo

: 24

3 a

base

7

243

= 4

65(7

)

3.3.

De

base

"n"

a b

ase

"m"

(n

10;

m

10)

4.

abcd

e

an

b

n

cn

d

n e

(n)

=+

++

+4

32

2

4

3

10

70

2

14

73

B

ase

10

5+

+Si

:+ ab

c (n)

_ =– xy

(m)

+

Com

o

abc

> x

y

n

< m

Base

nBa

se 1

0

Bas

e m

1

2

Des

com

posi

ción

Div

isio

nes

Pol

inóm

ica

S

uces

ivas

243

7

33

34

7

5

6

4

abab

a

b.10

0 a

b=

+ 2n

nn

abab

abn

ab

=+

3n

nn

abca

bcab

cn

abc

=

+

Aritmética



Números capicúas

1a 1b 1c = a + b + c + d + e + x

1d 1e x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS

n

BASES SUCESIVAS

k

k cifras

(n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n – 1 =

121; 3553; 27372; abccba

Aritmética



I. ADICIÓNa + b + c +...+ z = S

Sumandos Sumatotal

Progresión aritmética

Sea:

an = a1 + (n – 1)r

n 1a – an 1

r ;

n: Número de términos

n 1n

a aS n

2

;

Sn: Suma de términos

Sumas notables

•n(n 1)1 2 3 ... n

2

++ + + +

• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n(n 1)(2n 1)6

+ +

• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =2n(n 1)

2

+

• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =na – 1a – 1

II. SUSTRACCIÓN

M – S = D

Propiedades:

• 2M = M + S + D

• (n) (n)ab – ba = (n)xy

x y n – 1 =+

donde n 3 y a b

• (n) (n)abc – cba = (n)xyz

x z n – 1 =+

y = n – 1

donde: n 3; a c

• abcd – dcba xyzw=donde: a > d

x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético

• (b) (b)bk 1 cifras

CA(N ) 100...00 – N=

Si N tiene k cifras

• (n)CA(abcd ) =

n(n – 1 – a)(n – 1 – b)(n – 1 – c)(n – d)

Aritmética



*o

A B B(k)= =

Se dice:- A es múltiplo de B- A es divisible entre B- A dividido entre B da residuo cero

*o o on n n+ =

*o o on – n n=

*o o o on(k) n k nk

= = =

*o o

k(n) n=

* o o o o(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=

*o o

k k(n r) n r+ +=

*o o

k k(n – r) n r+= , k: par

*o o

k k(n – r) n– r= , k: impar

*

o

Oo

o

N a

N b N MCM(a,b,c)

N c

=

= =

=

*

o

Oo

o

N a r

N b r N MCM(a,b,c) r

N c r

+

+ +

+

=

= =

=

Aritmética



• Por 2o o o

abcde 2 e. Si e 2 abcde 2= = =+

• Por 4o o o

abcde 4 de. Si de 4 abcde 4= = =+

• Por 8o o o

abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8= = =+

• Por 5o o o

abcde 5 e. Si e 5 abcde 5= = =+

• Por 25o o o

abcde 25 de. Si de 25 abcde 25= = =+

• Por 125o o o

abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125 = = =

• Por 3o o o

Eabcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3= = =+ + + + +

• Por 9o o o

Eabcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9= = =+ + + + +

• Por 11 abcde+-+-+

o o o

E11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11= = =+ + +

• Por 13

ab cd e f gh 3143 1431- + - +

o o o

E

13– 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13= = =+ + + +

• Por 7

ab cd e f gh 3123 1231+ - +

o o o

E

7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7= = =+ + + + +

Aritmética



• Por 33 a bcd eo o o

E33 a bc de. Si E 33 abcde 33= = =+ + +

• Por 99 a bcd eo o o

E99 a bc de. Si E 99 abcde 99= = =+ + +

• P or n 1en base n

o o o

(n) (n)E

abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n – 1) abcde (n – 1) =

• P or n 1en base n

a b cd e+ - + -+(n)

o o o

(n)E

(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)+ + + + + += =

• Dada la descomposición canonica del número N:

31 2 k1 2 3 kN p p p ...p ...D.C. =

• Su cantidad de divisores se calcula como:

N 1 2 3 kCD ( 1)( 1)( 1)...( 1) = + + + +

Además:

N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD = +

• La suma de divisores se calcula como:

1 2 k1 1 11 2 k

(N)1 2 k

p – 1 p – 1 p –1SD ...

p – 1 p – 1 p –1

=

+ + +

Aritmética



• La suma de inversas de divisores se calcula como:

(N)(N)

SDSID

N=

• El producto de los divisores se calcula como:

(N)CD(N)PD N=

• El esquema del algoritmo de Euclides:

A B

Cocientes

Residuos

K MCD (A;B)

O

• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

(A;B)

(A;B)

A p x k; donde: p y q son PESI

B q x kMCD k MCM k x p x q

===

=

• Siempre se cumple que:

MCD(A;B) MCM(A;B) A B =

•n A n B n kMCM ;

m m m

= •n A n B n kMCD ;

m m m

=

Aritmética



Clases de fracciones

• Propia • Común y ordinaria• Impropia • Decimal• Reductible • Homogénea• Irreductible • Heterogénea

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción

Números enteros Z

Operacionescon tantopor ciento

Adición

Sustracción

Aumentos y descuentossucesivos

Aumento único

a ba b %100

= + +

Descuento único

a ba b – %100

= +

Aplicacionescomerciales

Variaciónporcentual

Pventa = Pcosto + ganancia

Pventa = Pfijado – descuento

Pventa = Pcosto – pérdida

Pfijado = Pcosto + incremento

Variaciónporcentual

Aumento ódisminución

100%Cantidad inicial

=

Aritmética



M C I= +

r% y t en las mismas unidades

I C r% t

M = C (1 + r% t)

=

INTERÉS SIMPLE

medioCosto total

P = Peso total

Gradoalcohólico

Alcohol 100%Total

=

aparente aparenteG = P venta costoP = P + Ganancia

x L

a%

y L

b%

z L

c%

(x+y+z) L

d%+ + =

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)

Aritmética



Álgebra



(a

b)

= a

2ab

b+

±±

22

2

(a

b)

(a

b)

2(a

b)

(a

b)

(a

b)

4

ab

++

–

=+

+–

–=

2 2

2 2

2 2

(a

b)(

a b

) a

b+

–=

–2

2

(a

b)(a

ab

b)

ab

(a

b)(a

ab

b)

a

b+

–

+

=+

–

+

+

=–

2

23

3

2

23

3

(a

b)

ab

3ab(

a b)

(a

b)

a3a

b 3a

bb

±

=±

±

±

±

=

±

+

±

33

3

33

22

3

(x

a)(x

b)

x

(a

b)x

ab+

+

=

+

+

+2

(a

b c

)

a b

c 2

(ab

ac

bc)

+

+=

++

++

+2

2

2

2

Si:

a b

c

0

. Se

verif

ica

que:

a

b

c

3ab

c

a

b

c

2(

ab

ac

bc)

++

=+

+

=+

+=

–+

+

3

33

22

2• • (x

xy

y)(

xx

yy

) x

xy

y2

nn

m2

m2n

nm

2m

4n2

n2

m4

m+

+–

+=

++

(xxy

y

)(x

xy

y)

xx

yy

2 2

2 2

4

22

4+

+

–

+

=

+

+

(a

b c)

a

bc

3(a

b)(a

c)

(b

c)+

+

=

+

+

+

+

+

+

33

3

3

ab

c3a

bc

(a

bc)

[ab

c(a

bbc

ca)]

33

32

22

++

–=

++

++

–+

+ARG

AN’D

GAU

SS

PR

INC

IPA

LES

PR

OD

UC

TO

S N

OT

AB

LES

6 7 8 9 1054321

Álgebra



Análisis de las raíces Si: D 0

Si: D 0

Si: D 0

>

=

<

•

•

•

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Forma

Fórmula

ax bx c 0 ; a 0

x b b 4ac

2a

2

2

+ + =

=– –

2 raíces IRdiferentes x1 x2

2 raíces IRiguales x =x1 2

2 raíces ICconjugadas

Recordar:

(x x ) (x x ) 4x .x1 22

1 22

1 2+ – – =

suma:0b 0=x; x– producto:1

a c=x;1/x

c 0= b 0 ; c 0= =

a b cm n p

= =

Discriminante

D = b – 4ac2

x x b a1 2+ =–

x x c a

1 2. =

x x ??

1 2– =

Propiedades de las raíces

Si: ax + bx + c = 0

(opuestas) (inversas)

x – Sx + P = 0

Si: ax + bx + c = 0mx + nx + p = 0

2

2

2

2

Raíces simétricas Raíces recíprocas

Una raíz nula Dos raíces nulas

Reconstrucción de una ecuación cuadrática

Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)

Álgebra



Recordar las definiciones Recordar los teoremas

na a.a.a...a ;"n factores de a"

= n

0a 1 ; a 0=

n–n

n1 1a ; a 0

aa

= =

mn nm/n ma a a= =

m–nmm n m nn

aa .a a ; aa

= =+

m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =

n n n n nn

a a ; a.b a. bb b

= =

n n m nmnn

a a ; a ab b

= =

nk nmk ma a=

Monomio

Definición

Términos Semejantes

Grado Relativo

Grado Absoluto

Definición

Grado Absoluto

Grado Relativo

Clasificación

Polinomio

Ordenado

Completo

Homogéneo

Idénticos

Idénticamente nulo

Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA

Álgebra



tienen solución

no tienensolución

soluciones finitas

a b ca b c

1 1 1

2 2 2= =

a b ca b c

1 1 1

2 2 2=

a ba b

1 1

2 2

x

yE1

E2

x

y E1

E2

x

y E1 E2

(x ;y )0 0

E E1 2 //

E E1 2

Ecuación Compatible

Indeterminada

Ecuación Incompatible

Determinada

E : a x b y c

E : a x b y c1 1 1 1

2 2 2 2

+ =

+ =

Por su Solución

SISTEMA DE ECUACIONES

Álgebra



Criterios de factorización

FACTORIZACIÓN

Criterio del factor

común y/o agrupación

Criterio de las

identidades

Criterio del

aspasimple

Criterio del

aspa doble

Criterio de los

divisores binomios

Criterio del aspa doble

especial

Álgebra



* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0 , también se puede escribir

n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=

donde 1 2 3 nr ,r ,r ,...,r raíces de la ecuación.

* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =

Entonces:r1 es una raíz de multiplicidad mr2 es una raíz de multiplicidad nr3 es una raíz de multiplicidad p

* Teorema de Cardano - Viette

n–11 2 3 n

n

ar r r ... r –

a=+ + + + "Suma de raíces"

n–21 2 1 3 n–1 n

n

ar .r r .r ... r .r

a+ + + = "Suma de productos Binarios"

n 01 2 3 n

n

ar .r .r .....r (–1)

a= "Producto de raíces"

* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,

la otra es a – b .

* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es i + ,

entonces la otra es – i .

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una

raíz positiva.

* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra



Definiciones:

1.

2.

3.

4. < < < <

5. < >

Sea: { a ; b ; c } IR

“a” es no positivo a 0

“a” es no negativo a 0

a b a < b a = b

a b c a b b c

a b b a

TEOREMAS FUNDAMENTALES

T1:

T2: > >

T3: >

T4: >

T5: < >

a 0 ; a IR , n Z+

a b a ± m b ± m

a b m > 0 am > bm

a/m > b/m

a b m < 0 am < bm

a/m < b/m

a b 1/a 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

2n

Importante:

+ + > >Sea:

ax bx c 0 ; a 0 x IR

2

b – 4ac2

Álgebra



Inecuación....

Polinomial

De primer grado

De segundo grado

De grado superior

Fraccionaria

Irracional

Exponencial

Logarítmica

Trigonométrica

C

B

A

ax b 0+

ax bx c 02+ +

a 0

grado mayoro igual a 3

P(x) 0Q(x)

n P(x) 0

log x 4 22 – <

b bP(x) Q(x)

Sen x Cosx 0,52 + >

><

><

><

><

><

Se aplica el criterio de los puntos críticos.Importante:

Si: P(x) Q(x) 0Q(x) Si: b 1 bx by x y

Si: 0 b 1 bx by x y

> > >

< < < >

S1: Si:

P(x) P(x) 0S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos.Luego el C.S. es: S1 S2

2nA

B

C

Álgebra



Definición

a; si : a 0a

–a; si : a 0

= • |a| 0

• |a| = |–a|

• |ab| = |a||b|

• a a ; b 0b b

=

Ecuaciones convalor absoluto

|x| = 0 x = 0;

x a a 0 x a x –a = = =

|x| = |a| x = a x = –a |x| a (a 0) –a x a

|x| a x a x –a

|x| |y| (x + y)(x – y) 0

Inecuaciones convalor absoluto

• a2 = |a|2

• 2a a=

• |a + b| |a| + |b|

a;b

Propiedades

corte en "y"

corte en "x"GRÁFICA DEUNA FUNCIÓN

Intersección con losejes coordenados.

Extensión de la Función

x=0

y=0

Dominio y Rango

discusiónde la curva

Funciones

Dos pares ordenados nopueden tener el mismoprimer elemento.

Si: (a;b) (a;c) f b c

DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}

RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}

Álgebra



BINOMIO DE NEWTON

En el desarrollo de:

N° de términos n 1= +(x a)+ n

En el desarrollo de:

Coeficientes se obtendrási: x a 1

(x a)+ n

= =

En el desarrollo de:(x+a)n

de izquierda a derecha:T =c x ak+1

nk

n–k k

En el desarrollo de: (x+a)n

(x a)+ n = c x an n–k kk=0

n x; a 0n Z

c c c ... c 2+ + + + = nn n n n 0 1 2 n

n 1 2+

n 1 2+ + 1

Si “n” par

Si “n” impar

T T 1c = +n2

1er Tc =

=2do Tc(p+q)n(n+1) 2

En el desarrollo de: (x a )p q n+

T =c x ak+1n k n–kk

“K 1” el lugar+

x

y = x

y

F(x) xDom(F) [0;Ran(F) [0;

==

=

x

y=x2y

x

y=x3y

F(x) x (n par)Dom(F) Ran(F) [0;

= n ==

= IR

F(x) x (n impar)Dom(F) Ran(F)

= n ==

=IR

IR

1. Función constante 2. Función lineal

4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental

Funciones especiales

x

y = |x|y

F(x) |x|=Dom(F) Ran(F) [0;

==

IR

3. Función valor absoluto

pendiente

Álgebra



1. Definición

xalog b x a b= =

2. Antilogaritmo

a a log b x b antilog x = =

3. Consecuencias

(a,b , a 1)

a log 1 0 = ; a log a 1 = ;

alog b a b = ;

a a log b log c b c = =

4. Propiedades

a a alog (xy) log x + log y = ;

a a ablog log b – log c c

= ;

a a a1colog b log – log bb

= = ;

ca a log b = c log b ;

nm

aam log b log bn

= ;

ca

c

log b log b

log a= ;

a b a log b . log c log c =

5. Ecuación exponencial

xaa b x log b= =

6. Ecuación logaritmica

a a log f(x) log g(x) f(x) g(x) = =

7. Inecuación exponencial7.1.

xc cx

xc c

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

7.2.

xc cx

xc c

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

8. Inecuación logaritmica

a aSi a>1; f(x)>g(x)>0

log f(x) log g(x)Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)

Álgebrajhsf



NÚMEROS COMPLEJOS CNÚMEROS REALES IR

NÚMEROS IMAGINARIOS II

formado por

z a bi= +

Eje real

Eje imaginario

Tenemos:

z = a bi+

|z|

DEFINICIONES

Dado el complejo: z a biComplejo conjugado: a biComplejo opuesto: z* a bi

= +=

= –z –

–

b

a

i = ii = 1i = ii = 1i = ii = 1

1

2

3

4

5

6

––

–

POTENCIAS DE “i”

i i i N = 4k+r = rRepresentación gráfica

Módulo de “z”

Argumento de “z”

|z|cos

|z|sen

Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=z |z|cis=

Resultado importantesTeoremas

T1: |z| | | |z*|T2: |z| z.T3:

= ==

zz2

(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n ) n =

de De Moivre

(1 i) = 2i2

(1 i) = –4+ 4

1 i1 i

+–

= i

|z| = a + b22

i 1= –

Álgebra



1.

2.

3.

5.

4.

Geometría



Mediana relativa a la hipotenusa

Si BM es la mediana relativa a lahipotenusa BM = AM = MC

T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz

T. de los Puntos Medios

Geometría



1. ABCD es un paralelogramo

2. Si ABCD es un paralelogramo



5. Si ABCD es un cuadrado

6. Si ABCD es un cuadrado

Geometría



Geometría



ab

xy

=

(1)

(2)

(3)

(4)

ab

xy

=

x = ab2

x =ab

a + b

ab

x

ab

x

En todo trapecio (M y N puntos de tangencia)

2 1 1x a b

= +

(5)

a b

yx

A

N

C

M

B

D

x

b

a

yx

ab

(6)

z p

xn

my

m.n.p = x.y.z

(7)

a

x b

y

cz

x.y.z = a.b.c

Geometría



(1)

a2 = c.m h2 = m.n

a.b= c.h a2 + b2 = c2

b2 = c.n

(2)

1 1 1x R r

(3)

2x a b

a b m n

a b m n

(4)

x 2 R r

3 3 32 2 2a b c

3h abc

Geometría



ABCA mn

ABCA p.r

a b cp2

ABCabcA4R

S abT mn

ABCAS

4

A

B

C

S

Geometría



• Círculo: • Sector Circular

2

2

S R

dS4

2RS

360

• Corona Circular

Geometría



Teorema de Euler

C V A 2

Donde:

C: N.° carasV: N.° vérticesA: N.° aristas

Ángulo diedro

Notación:diedro AB (d–AB)

Elementos:

* Arista: AB *Caras: P y Q

* Plano: MON

m(diedro AB) = m MON =

Diedro recto oplanos

perpendiculares

P Q

Si: MN AB MN P

MN Q

Tetraedro regular

C = 4; V = 4; A = 6

2TA a 3 ;

3aV 212

a 6h3

Hexaedro regular

C = 6; V = 8; A = 12

2TA 6 a ; 3V a

d a 3

Octaedro regular

C = 8; V = 6; A = 12

2TA 2a 3 ;

3a 2V3

D a 2

Geometría



h

BO

ap

g gh

r

g

r B

h

B

B

B

h

Fórmulas

1. V B.h

2. LPerímetro de

A .h la base

3. T LA A 2B

Fórmulas

1. 2V r g

2. LA 2 rg

3. TA 2 r(g r)

Cílindro rectoPrisma recto

Pirámide regular Cono recto

Fórmulas

1.Bh

V3

2. Lsemiperímetro

A .Ap de la base

3. T LA A B

Fórmulas

1.2r h

V3

2. LA rg

3. TA r(g r)

2 2 2 Ap h ap 2 2 2 g h r

Geometría



Esfera Fórmulas:

1. 34V R

3

2. 2TA 4 R

Polígonos regulares En todo polígonoequiángulo:

Fórmulas

iSm 180 (n 2)

eSm 360

N°Diagonales: ND

Dn(n 3)

N2

Fórmulas

c

c

:medidadelángulocentral

360n

i1180 (n 2)

mn

e1360

mn

Fórmulas

(n 2)180

n

360n

Geometría



Circunferencia

R

L 2 R=

Círculo

A R= 2

Longitud de Arco

R

R

R

0 < < 2

SECTOR CIRCULAR

R

SistemaSexagesimal

Unidad (1°)

1°<>60’1’<>60’’

m

SistemaCentesimal

Unidad (1g)

= 400g

1 <>100

1 <>100

g m

m s

SCR

SistemaRadial

SCR

S9

C R10= =

20

Unidad (1 rad)

=2 rad

223,1416 7

SISTEMAS ANGULARES

=360°

S C R180 200

= =

=2 rad

+ 3 2 10

m m

m

Trigonometría



Área de Sector Circular

R

R

S

--

S = 1 LR2

L

-

-

L

S= L2

2

R

R

S

-

-

221S . R=

Trigonometría



60º

2 k k 3

k

Razones RecíprocasSen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1

Razonescomplementarias

Sen A = Cos CTan A = Cot CSec A = Csc C

m A m C 90 =

Teorema de Pitágoras ABC (recto en B)

a2 + c2 = b2

=

=

=

=

=

=

Cateto OpuestoSen AHipotenusa

Cateto AdyacenteCos AHipotenusa

CatetoOpuestoTan ACateto Adyacente

Cateto AdyacenteCot ACatetoOpuesto

HipotenusaSec ACateto Adyacente

HipotenusaCsc ACateto Opuesto

Trigonometría



Datos generales

• Lado (a)

• Ángulo ( )

Relaciónfundamental

lo que quiero R.T.lo que tengo

RazonesTrigonométricas

C.O. C.A.Sen CosH H

C.O.TanC.A.

= =

=

Área de regióntriangular

abS Sen2

=

Cálculo de Sen

2SSenab

=

Primer caso Segundo caso Tercer caso

Trigonometría



1 2 1 2x x y y,

2 2

PA

Bmk

nk

mA nBPm n

3. 4.

G: Baricentro

A B CG3

a a a; a 0

a a; a 0

2a a

5. 6.

2 22 1 2 1D x x y y

1. 2.

Trigonometría



ECUACIÓN DE LA RECTA

D. Rectas perpendiculares

= –1 2m m 1

1 2L L

C. Rectas paralelas

1 2m m=

1 2L //L

E. Ecuaciones1. Forma General. L: Ax + By + C = 02. L: y = mx + b

A Pendiente de la recta

m Tan =

2 1

2 1

y – ym

x – x=

B. Ángulo de inclinación de larecta

Trigonometría



a = a; a > 0a = –a; a < 00 = 0

m C = 90ºn, n

x

su lado finalcoincide con los semi ejes.

SenCsc

TanCot

ParaTodas

CosSec

x: abscisay: ordenadar: radio vector

r = x + y ; r > 02 2

y(x,y)

r

x

Sen Csc

Cos Sec

Tan Cot

Trigonometría



R.T.(90 )= CoR.T.( )

R.T(270 )=

0º <

R.T.(180º )= R.T.( )

R.T(360º )=

0º <

Sen(– ) = –Sen

Tan(– ) = –Tan

Cos(– )= Cos

Si:

Cos Cos 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Sec Sec 0

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

Si: 2

Sen Sen 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Csc Csc 0

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

R.T.(360ºK + )= R.T.( )

R.T(2K + )=

0º < K Z

Cot(– ) = –Cot

Csc(– ) = –Csc

Sec(– )= Sec

R.T. (2n) R.T.(0)=

Trigonometría



Trigonometría



I. P

itag

óri

cas

I. R

ecí

pro

cas

I. p

or

Div

isió

nId

en

tid

ade

s A

uxi

liar

es

Sen

x C

osx

12

2+

=

Sen

x 1

C

osx

22

=–

Cos

x 1

S

enx

22

=–

1 Ta

nx

Sec

x +

=

22

Tan

x S

ecx

12

2=

–

1 S

ecx

Tan

x=

–2

2

1 C

otx

Csc

x+

=2

2

Cot

x C

scx

12

2=

–

1 C

scx

Cot

x=

–2

2

Senx

Csc

x 1

=

Senx

1

Cs

cx=

Cscx

1

Se

nx=

Cosx

Sec

x 1

=

Cosx

1

S

ecx

=

Secx

1

C

osx

=

Tanx

1

Co

tx=

Cotx

1

Ta

nx=

Tanx

S

enx

Cos

x=

Cotx

C

osx

Senx

=

Senx

T

anxC

osx

=

Cosx

C

otxS

enx

=

Sen

x+Co

s

12S

enxC

os4

2=

– 4

2x

x

(Sen

xCo

s

12S

enxC

os=

x)x

2

Senx

1Co

sx1

Cos

xSe

nx=

Sen

x+Co

s

13S

enxC

os6

2=

– 6

2x

x

1Se

cxT

anx

Secx

T

anx

=

Sec

x+Co

s

Sec

xCos

22

=2

2x

x

(1Se

nx+

Cos

2

(1Se

nx)(

1Co

s=

x)

x)2

Tanx

+ C

ot

Sec

xCsc

=x

x

1

Sen

xCos

x=

Cosx

1Se

nx1

Sen

xCo

sx=

1Cs

cxC

otx

Cscx

Co

tx=

IDEN

TID

AD

ES T

RIG

ON

OM

ÉT

RIC

AS

Trigonometría



Sen(x y) SenxCosy CosxSeny

Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

Tanx TanyTan(x y)1 TanxTany

=

=

=

Si x y z (2n –1) ; n Z2

TanxTany TanxTanz TanyTanz 1

Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz

+ +

+ + +

+ +

=

=

Si x y z n ; n Z

CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1

Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz

+ +

+ +

+ +

=

=

=

Trigonometría



Cos + Cot=

Seno del doble

Coseno del doble

Tangente del doble:

Seno de la mitad

12

Ángulos doble y Ángulos mitad I

Coseno de la mitad

12

Fórmula racionalizada

Tangente de la mitad

=

Tan2

Sen2 = 2Sen Cos

Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2

Sen2 = Cos Sen2 2–

Cos2 = 2Cos 12 –

Cos2 = 1 2Sen– 2

Tan2 = 2Tan1–Tan

Sen2 = 2Tan1+Tan

Cos2 = 1 – Tan1+Tan

2

2

a ba b

+ –

x b=

x

a

b

a>b2Tan

1+Tan2

Sen 2

(1 Cos )– Cos 2

(1 Cos )+

Cot 2

Tan 2

Csc – Cot

1 + Cos2 = 2Cos2

1 – Cos2 = 2Sen2

1 – Cos

Trigonometría



Ángulo mitad Ángulo triple

xCot Cscx Cotx2xTan Cscx – Cotx2

=

=

+

3Sen3x 3Senx – 4Sen x

Sen3x Senx 2Cos2x 1

Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

Identidad Auxiliarx xCot Tan 2Cscx2 2x xCot – Tan 2Cotx2 2

=

=

+

3Cos3x 4Cos x – 3Cosx

Cos3x Cosx 2Cos2x – 1

Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x

+

1 CosxxCot2 1 – Cosx

1 – CosxxTan2 1 Cosx

+

+

=

=

3

2

Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

3Tanx – Tan xTan3x1 – 3Tan x

'

' 36°

Trigonometría



I. Suna o diferencia a producto

Observación:

A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen2 2

= +

II. Producto a suma o diferencia

Observación:

2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)

2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)

x y2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y)–2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)

===

=

+ +++ +

+

A B A – BSenA SenB 2Sen Cos2 2

A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen2 2 A B

A B A – BCosA CosB 2Cos Cos2 2A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen

2 2

=

=

=

=

+

+

++

+

Propiedades

Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0

==

+ + ++ + +

2 2 2

2 2 2

3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )23Cos (x –120 ) Cos x Cos (x 120 )2

=

=

+ + +

+ + +

4 4 4

4 4 4

9Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 ) 89Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )8

+ + +

+ + +

Si x y z 180°yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos

2 2 2yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1

2 2 2

+ +

+ +

+ + +

=

=

=

Trigonometría



Propiedades

I)

f

ArcSen(–x) –ArcSenxArcCos(–x) – ArcCosxArcTan(–x) –ArcTanx

x DArcC ot(–x) – ArcCotxArcSec(–x) – ArcSecxArcCsc(–x) –ArcCscx

======

II)

f

Sen(ArcSenx) xCos(ArcCosx) xTan(ArcTanx) x

x DC ot(ArcCotx) xSec(ArcSecx) xCsc(ArcCscx) x

======

III)

f

ArcSen(Seny) yArcCos(Cosy) yArcTan(Tany) y

y DArcC ot(Coty) yArcSec(Secy) yArcCsc(Cscy) y

======

Función Función Dominio (x) Rango (y)Inversa Directa

ArcSenx = y Seny = x [–1; 1] – ;2 2

ArcCosx = y Cosy = x [–1; 1] 0;

ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2

ArcCotx = y Coty = x R 0;

ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1 0; –2

ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1 – ; – 02 2

Trigonometría



TEMA 10

R.T. (2K ) R.T.(0)

R.T. (4K 1) R.T.2 2

R.T. (2K –1) R.T.( )

3R.T. (4K –1) R.T.2 2

=

=

=

=

+

Solución general

KG

Sen a

K (–1) Vp( )

Vp ArcSen(a)

=

==

+

Signos de la RT

Reducción al primercuadrante (I)

R.T.(90° ó 270° )= CoR.T.( )

R.T.(180° ó 360° )= R.T.( )

0 90

Solución general

G

Cos a2K Vp( )

Vp ArcCos(a)

===

( x Z)

Reducción al primercuadrante (II)

R.T.(360°k+ )=R.T.( ) R.T.(2K + )=R.T.( )

Solución general

G

Tan aK Vp( )

Vp ArcTan(a)

===

+

Ángulos cuadrantales

(4K 1)2

(2K 1)

(4K 1)2

2K

x

y

Trigonometría



b abSenA

bCosA c - bCosAH BA

C

c

Ley de Cosenos

ABC : se cumple

2 2 2a b c 2bcCosA 2 2 2b a c 2acCosB 2 2 2c a b 2abCosC

Ley de Cosenos

ABC : se cumple2 2 2b c aCosA

2bc

2 2 2a c bCosB2ac

2 2 2a b cCosC2ab

Ley de Proyecciones

ABC : se cumple

aCosB + bCosA = caCosC + cCosA = b

bCosc + cCosB = a

Ley de Senos

ABC : se cumple

a b c 2RSenA SenB SenC

= = =

R: circunradio

Ley de Senos

ABC : se cumple

a = 2R SenA

b = 2R SenB

c = 2R SenC

Ley de Senos

ABC : se cumple

aSenA2R

= bSenB AB2R

=

cSenC2R

= R: circunradio

Ley de Senos

R: circunradio

Ley de Senos

Trigonometría



Movimiento Rectilíneo Uniforme

d v.t.=

Observación

– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación

Km 5 m=h 18 s

; si es necesario

– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro

y tiempo de alcance son sólo para MRU.

– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que losmovimientos son simultáneos.

Encuentro:

e1 2

dtV V

=

Alcance:

a1 2

dtV – V

=

Física



Observación

– Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar elsigno (+); (–), respectivamente en las fórmulas.

– No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoriarecta y aceleración constante entonces será un MRUV.

– Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistemainternacional (S.I.)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Cambio de velocidadaTiempo

fV Va

t

f iV V at i fV Vd t

2

2i

1d Vt at

2 2 2

f iV V 2ad

Física



Propiedades movimiento completo (subida y bajada)

Elementos y ecuaciones del MVCL

Donde:• v0: velocidad inicial (m/s).• vF: velocidad final (m/s).• g: aceleración de la

gravedad (m/s2).• h: altura (m).• t: tiempo (s).

• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.

C(V 0)

• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual quela rapidez de bajada.

B D(V V ) ; A E(V V )

• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que eltiempo de bajada.

AB DEt t ; BC CDt t ; AC CEt t

Nota: * se deduce del punto "3"

isub baj

2i

máx

Vt t

g

VH

2g

1. h = v0t 12 gt2

2. h =

3. vF = v0 gt

4. vF2 = v0

2 2 gh

gravedad (m/s2).

Física



Medida de la interacción entre dos cuerpos

Peso (W)W mg=

Por contacto

FUERZA

A distancia

Fuerza elásticaF = KxE

Otros:- Tensión- Reacción normal- Fricción

• Primera condición de equilibrio: M 0 =

• Segunda condición de equilibrio: M 0 =

• Mo

F Mo

F

ANTIHORARIO HORARIO

•

•

Física



Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen lasegunda ley.Donde:F = R Fuerzas

a favor de “a” – Fuerzasen contra de “a”

1° Realizar un DCL.2° Descomponer las fuerzas en las ejes

del movimiento y del equilibrio.3° Aplicar la 2da ley de Newton en el

eje de movimiento.

Dinámica lineal

( ) ( )

Dinámica Circular

1. Segunda Ley de Newton: FRam

2. RF ( F a favor de a) – ( F en contra de a)

=3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.

4. cp cpF ma

5.2

2cp

Va W RR

= =

Segunda Ley de Newton:

Física



1. FW F r =

2. Neto FW W= ó

Neto R( ) : acelerado

W F r( ) : desacelerado

+=

–

3. De la gráfica, se concluye

0

F

x

A1

A2

A3x1 x2

WF = A1 – A2 + A3

4. mg( ) : baja

W mgh( ) : sube

+=

–

1. 2C

1E mv2

=

2. P Pe PgE E E= +

3. PgE mgh=

4.2

Pe1E kx2

=

5. Si solo actúan fuerzas conservativasla energía mecánica se conserva.

Mi MfE E=

ENERGÍA MECÁNICA

Física



E = L g Vsumergido

E = Wreal – Waparente

E = L efg

. Vsumergido

efg

= g

– a

Prensa Hidraúlica

A1

F1

A2

F2

h2h1

1 1 2

2 2 1

F A hF A h

= =

P = PHidrostática = L.g.h

mV

= wV

=

También: HP . h= . g =

Fuerza eléctrica

Unidades610 –=3m 10–=2c 10–=

Cuantificación dela carga

Q n e=

Carga fundamental

19fQ 1,6 10 C e –= – =

Ley de Coulomb

1 22

K q qF

d=

F Eq=

29

2Nmk 9 10C

=

q1; q2: cargasd: distancia

Intensidad de

campo eléctrico

2UnidadKQE :N / Cd

=

ELECTROSTÁTICA

Frotamiento

Inducción

Contacto

Electrización

Física



1 2 3I I I+ =

En cualquier conexión o nudo la sumade todas las corrientes que entrandebe ser igual a la suma de todas lascorrientes que salen.

V IR =

En cualquier circuito; la suma algebraicade los voltajes de las baterias es iguala la suma de las caidas de potencial(IR) de cada resistencia del circuito.

PRIMERA LEY DEKIRCHHOFF

SEGUNDA LEY DEKIRCHHOFF

Potencia disipada en una resistencia

22 VP VI I R

R= = =

qIt

=

VRI

=

LRA

=

Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman

Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo:R1

R2

R1 R2

R1 + R2Req =

1R1

Req =1R2

+

Física



Intensidad del campo magnético

0.B2 D

=

Espira circular

La inducción magnética en el centroes:

oo

IB

2R

=

Fuerza magnética

F q vBsen=

Fuerza magnética sobre unconductor de longitud "L"

F ILBSen=

Flujo magnético

BAcos =

Fuerza electromotriz inducida ( )en una barra

vBL =

Fuerza electromotriz inducida enuna espira

Nt

–=

Físicajhsf



x ASen(wt)=

V WACos(wt)=

2a W ASen(wt)= –

mT 2k

=

2a w x=

máxV WA=

2w 2 fT= =

1 kf2 m

=

kwm

=

2

máxa w A=

Física



ÁTOMOes

la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades

sus partes son sus partículas fundamentales son

núcleo

núcleo

átomo neutro ion

protones y neutrones principal-mente

compacta

carga positiva

carga negativa

la masa del átomo

el volumenatómico

protón

isótopos isóbaros isótonos

positiva

neutrón

nula

electrón

negativa

zonaextranuclear

zonaextranuclear

solamente a los electrones

casi vacío

contienecontiene

carga cargacarga

es

es

determina

determina

posee

posee

ubicados en el ubicado en

en un

representación representación

se cumple que

se cumple queA q+EZcatión

A q–EZanión

AEz #nº = A – Z

#p = Z #e+ –

#p = Z+ #e = –

ejemplo

tipos de núclidos

especie #p+ #e– #n27 3+Al13

33 2–S16

13

16

10

18

14

17

poseen igual poseen igual poseen igual

númeroatómico

númerode masa

número deneutrones

ejemplo ejemplo ejemplo

12C614C6

40Ca2040Ar18

11B514C6

Química



CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS

Valorespermitidos

Númerocuántico

Determina para el

electrón orbital

Principal(n)

Secundario o

azimutal( )l

Magnético(m )l

SpinMagnético

(m )s

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

K L M N O P Q (Capas)

El nivel principal de

energía

El tamaño o volumen

La forma geométrica

Su orientación

espacial

no tiene significado

l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)

s p d f

máximovalor

El subnivel de energía

El orbital o REEMPE

El sentido de rotación

o

m = , ..., 0, ... +l l l

m = + , ..., 0, ... –l l l

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón queda definido con n, , m y m .

l ll

l

l s

– – –

Antihorario Horario

1m = +1/2s

1m = –1/2s

Química



CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear

es el

se basa en

permite

según

ejemplo

otros

16S = Ne 3s 3p 2 4

23V = Ar 4s 3d 2 3

según Kernel

principio de aufbau

distribuir a través de lossubniveles

el orden creciente de laenergía relativa (E )R

9F: 1s 2s 2p52 2

Er: 1 2 3

16S = s 2s 2 2 6 2 42p 3s 3p23V = s 2s 2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d

2He:1selectrón n l ml ms

1 0 ms

1 ms0

0

0

permite

estableciendo que

ejemplos

en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números

cuánticos iguales

principio de exclusión de Pauli

Distribuir a través de un orbital

permite

para ello

ejemplos

ejemplos

distribuir a través de losorbitales de un subnivel

a todos los orbitales se les deja a medio llenar

antes de llenarlo

a todos los orbitales se les deja a medio llenar

antes de llenarlo

gO:1s 2s 2px 2py 2pz

16S: [Ne]:3s

3px 3py 3pz

Todos sus electronesapareados

uno o más electronesdesapareados

diamagnético paramagnético

si posee

será será

Química



TABLA PERIÓDICA ACTUALes un

en función de

instrumento del ordenamientosistemático de los elementos

sus números atómicos crecientes

clasificación

Según las propiedadesde los elementos

por bloques

según la

para

distribución electrónica

final

elementos representativos

elementos de transición

en subniveless y/o p

en subnivelesd y/o f

finalizan

finalizan

Conductividadeléctrica

como

pueden ser

ejemplos

buena regular mala

metal mateloide no metal

- Fe- Cu- Ag- Pb- Au

- B- Si- Ge- As- Sb

- C- H- O- N- S

en

periodos

horizontalmente

grupos

en columnas

ordena a los elementos

poseen poseen

igual número de niveles o capas

igual número de electrones de valencia

presentan

propiedades químicas diferentes

propiedades químicas similares

tradicionalmente

existen 7 periodos y16 grupos

según IUPAC

existen 7 periodos y18 grupos

Química



prop

ieda

des

subm

icro

scóp

icas

de

los

elem

ento

s qu

e va

rían

en fo

rma

regu

lar

en

un p

erio

do o

gru

po y

per

mite

n ex

plic

ar s

us p

ropi

edad

es f

ísic

as y

quí

mic

as.

son

caso

s ge

nera

les

es la

para

áto

mos

ioni

zado

s

Rad

io a

tóm

ico

(R

A)

mita

d de

la d

ista

ncia

en

tre

los

núcl

eos

de d

os á

tom

os

adya

cent

es

es e

l

Afi

nid

ad e

lect

rón

ica

(AE)

se e

mpl

ea a

l rad

io ió

nico

qu

e se

def

ine

en f

orm

aan

álog

aal r

adio

ató

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o

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spec

ies

isoe

lect

róni

cas

RA

rela

ción

inve

rsa

Z

es u

n

cam

bio

de e

nerg

ía q

ue s

epr

oduc

e cu

ando

un

átom

oen

est

ado

gase

oso

acep

taun

ele

ctró

n pa

ra fo

rmar

un

anió

n gene

ralm

ente

es u

n pr

oces

o ex

otér

mic

o

repr

esen

taci

ón

x +

e–

–– x

+ A

E(g

)1–

(g)

caso

s es

peci

ales

para

ele

men

tos

del g

rupo

IIA

y VI

IA

o un

an

ión

caso

s es

peci

ales

proc

eso

endo

térm

ico

Ele

ctro

ne

gati

vida

d (

EN

)

es e

l

capa

cida

d de

un

átom

o pa

ra a

trae

rel

ectr

ones

hac

ia s

unú

cleo

de

unen

lace

quí

mic

o

son

de

met

álic

os p

osee

nba

ja e

lect

rone

gativ

idad

(pie

rden

e)–

alto

car

ácte

r m

etál

ico

o el

ectr

opos

itivo

s

no m

etál

icos

tie

nen

elec

tron

egat

ivos

son

de

Ener

gía

de

ion

izac

ión

(EI

)

es la

ener

gía

mín

ima

nece

saria

para

qui

tar

un e

lect

rón

del

últim

o ni

vel d

e un

áto

mo

aisl

ado

y fo

rmar

un

catió

n

Proc

eso

endo

térm

ico

x +

El –

x +

le(g

)+

–(g

)

El<

El<

El

< ..

.. 1

3

2

PR

OP

IED

AD

ES

PER

IÓD

ICA

S A

TÓ

MIC

AS

Química



ENLACE QUÍMICO es la fuerza que une átomos de una sustancia

de naturaleza

Electrostática Electromagnética

llamada llamada

Enlace iónicoo electrovalente

Enlace covalente

se da generalmente

entre un metal y un no metal mediante transferencia de electrones

Ejemplos:

MgO, CaF , ...2 excepciones

Estructura de Lewis

[Mg]2+

[Ca]2+

O

F

2+

1–2

en Compuestos binariosiónicos

generalmente

EN 1,7EN: Diferenciade electronegatividad

X = halógeno

BrX , A X

NH C , NH Br ...2

4 4

3

Química



UNIDADES QUÍMICA DE MASA

MoléculaÁtomo

n = =mmA

# átomosNA

n = =mM

# átomosNA

N = 6,023 x 10A23 m: masa

Unidades fórmula

n = =mPF

# unidadesfórmula

P.F.: peso fórmula

Química



Propiedades generales

Teoría cinética molecular

Ecuación general de losgases

A nivelsubmicroscópico

A nivelmacroscópico

– Alta entropía– Grandes

distanciasintermoleculares

– Alta energía

– Expansión– Comprensión– Difusión– Efusión

Variables de estado

Volumen

Igual a la capacidad

delrecipiente

que lo contiene

Temperatura

es

Presión

es

Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.

La energíacinética

media de las moléculas

choques de las moléculas del gas con la

pared del recipiente

participan en lala cual

justifica la Ecuación universalde los gases

PV = RTn

PM = DRT

en condiciones normales (CN)

V =nx22,4Lgas

D = g/LgasM

22,4

P=1atm<>760 mm Hg yT=0ºC <> 273 K

P VT1 1

1

P VT2 2

2

=

si, además, una variablede estado es constante

Isotérmico(T=cte.)

P V =P V1 1 2 2

Isobárico(P=cte)

Isocórico(V=cte)

VT

1

1

VT

2

2

=PT

1

1

PT

2

2=

procesos restringidos

WRT=PVM

ESTADO GASEOSO

caracteriza se debe a los

a través de la cualpodemos determinar

Química



SOLUCIONES

Unidades de concentración

Físicas

Químicas

Molaridad

Normalidad

M = = =nV

10 x %m x DM

MV

m

%m = x 100mstomsol

%V = x 100VstoVsol

D: densidad

Química



Contracción volumétrica (C.V.):

Reactivo limitante (RL):Reactante que se consume totalmente.

Reactivo en exceso (RE):Reactante que se consume parcialmente.

Porcentaje de pureza:

cantidadsust.pura%Pureza .100cantidadmuestra

Rendimiento o ef iciencia de lareacción (RR)

CRRR .100%CT

Regla práctica de planteo deproblemas estequioméetricos

Regla: coef x M coef. coef x 22,4 Lcoef x NA coef x NA x subíndice

Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo

Química



A. Teoría ácido - base

Química



B. Ácidos y bases: Escala de pH

CÁTODO ( )–

Na+

2C

CÁTODO:

ÁNODO:

+1e

–2e– NaC (Fundido)

Na 0

C 02

Na+

(Reducción)

(Oxidación)

C–

( ) ÁNODO +

e –

Química



QU

ÍMIC

A O

RG

ÁN

ICA

Pro

pie

dad

es

de

l Car

bo

no

Pur

oIm

puro

Nat

ural

Fraf

itoD

iam

ante

Artif

icia

l

Fulle

reno

Artif

icia

lCa

rbón

de

mad

era

Carb

ón a

nim

alCa

rbón

de

reto

rta

Artif

icia

l

Nat

ural

Antr

acita

Hul

laLi

gnito

Turb

aNat

ural

Carb

ón a

ctiv

ado

Hol

línCo

que

Química



Química



HID

RO

CA

RB

UR

OS

- p

etró

leo

- g

as n

atur

al-

hul

la

Com

pues

tos

bina

rios

form

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dróg

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Co

mo

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ceno

(CH

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6

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8

(CH

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19

Acíc

licos

Satu

rado

sIn

satu

rado

s

Alic

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os

Cicl

oalc

anos

Cicl

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glob

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plo

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CH

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CH

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H)

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CH

)

42

6 38

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plo

ejem

plo

Alqu

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24 3

6

48

- e

tino

(CH

)-

pro

pino

(CH

)-

but

ino

(CH

)

22 3

4

46

Química



Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcionalimportante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenossufren la mayoría de las reacciones.

Ejemplos:

ALQUENOS U OLEFINAS

ALQUINOS O ACETILENICOSSon hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructurapresenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupofuncional (enlace triple) poseen hibridación sp.

átomos de carbono con hibridación sp2)

Química



ALQUENINOCnH2n + 2 – 2d – 4t

Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlacestriples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, lanumeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminaciónusada es enino.

Ejemplo:

Alquino Fórmula global Fórmula semidesarrollada

Fórmula desarrollada

Etino C H2 2

Propino C H3 4

Butino

CH CH

CH C CH3

C CH H

C CH C

H

H

H

CH C CH2 CH3

1 inoBut

CH3 C C CH3

inoBut 2

C CH C

H

H

C

H

H

H

C C C

H

H

HH C

H

H

C H4 6

(Posee 2 isómerosde posición)

Química



Burbujeador

Líquido

Tanque de petróleo

Horno

Bomba

Bomba

Crudoreducido

Gasolinao diesel

Kerosén

Rectificadores

Vapor

Vapor

Bomba AguaGasolina

Gas derefinería

Separadorde gas

Condensador

reflujo

Vapor

Líquido

Colu

mna

de

frac

cion

amie

nto

vapores

Química



Min

eral

es Hematita Fe2O3

Limonita Fe2O3 + 3.H2O Magnetita Fe2O3.FeO Siderita FeCO3 Pirita FeS

Métodos mecánicos (concentra el

mineral)

Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – Levigación (oro) Flotación (sulfuros)

Métodos Químicos (mineral

concentrado)

Tostación Calcinación Reducción

de sulfuro a óxido con corriente de aire de CO3

= a óxido en ausencia de aire óxidos + C = CO2 + metal

Electrólisis Húmeda (Na) Seca (Na, K, Mg, Al)

Prep

arac

ión

del m

iner

al

Electrometalúrgicos (mineral

concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción

Química



Química

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