x ≤ θ ≤ y m k0 25.1327412 200 0.12566371

Figura 14θ r Valor x Valor y

0 0 0 00.12566371 0.12566371 0.12467281 0.015749840.25132741 0.25132741 0.2434315 0.062502590.37699112 0.37699112 0.35051748 0.138779690.50265482 0.50265482 0.44047978 0.242155810.62831853 0.62831853 0.50832037 0.369316370.75398224 0.75398224 0.5496294 0.516136360.87964594 0.87964594 0.56070743 0.677778851.00530965 1.00530965 0.53867185 0.848811011.13097336 1.13097336 0.48154503 1.023335291.25663706 1.25663706 0.38832221 1.195132871.38230077 1.38230077 0.25901733 1.357816421.50796447 1.50796447 0.09468587 1.504988851.63362818 1.63362818 -0.10257636 1.630404591.75929189 1.75929189 -0.32965843 1.728129991.88495559 1.88495559 -0.58248331 1.7926993

2.0106193 2.0106193 -0.85608006 1.819262732.136283 2.136283 -1.14467768 1.8037234

2.26194671 2.26194671 -1.4418191 1.742859892.38761042 2.38761042 -1.74049309 1.63443182.51327412 2.51327412 -2.03328148 1.477265462.63893783 2.63893783 -2.31251885 1.271317992.76460154 2.76460154 -2.5704615 1.01771772.89026524 2.89026524 -2.79946224 0.718779743.01592895 3.01592895 -2.99214745 0.377996133.14159265 3.14159265 -3.14159265 -3.8007E-153.26725636 3.26725636 -3.24149307 -0.40949583.39292007 3.39292007 -3.28632524 -0.843784913.51858377 3.51858377 -3.27149645 -1.295277083.64424748 3.64424748 -3.19347841 -1.755629613.76991118 3.76991118 -3.04992222 -2.21589823.89557489 3.89557489 -2.83975188 -2.66670452

4.0212386 4.0212386 -2.56323395 -3.098417594.1469023 4.1469023 -2.22202137 -3.50134542

4.27256601 4.27256601 -1.81917013 -3.865933314.39822972 4.39822972 -1.35912773 -4.182965034.52389342 4.52389342 -0.8476931 -4.443762834.64955713 4.64955713 -0.29194811 -4.640382294.77522083 4.77522083 0.2998386 -4.765798034.90088454 4.90088454 0.91833419 -4.81407645.02654825 5.02654825 1.55328883 -4.780531465.15221195 5.15221195 2.19370515 -4.661860755.27787566 5.27787566 2.8280272 -4.456257815.40353936 5.40353936 3.44434562 -4.16349864

Rellenar solo las celdas verdes

Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ.

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral,

mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de

Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos

están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta

curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en

ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación

polar.Para iniciar graficaremos la forma

sencilla es decir r = θ.a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1

introducimoslas etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h

respectivamentey nombramos las celdas A2, C2, D2 y

E2 como a,b, n y h., ver figura 14.

b) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la

formula =8*pi(), en Excel el valor de π se

introduce con la formula = pi(), vamos a graficar en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 8π.

En la celda D2Graficación de Curvas con la Hoja de

Cálculointroduzca el valor 200 y en E2 la

formula = (b-a)/n.c) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4,

las etiquetas θ, r, x,y. Ahora seleccione toda la columna A

y nómbrela comot, seleccione toda la columna B y

nómbrela v.d) En la celda A5 digite la formula = a,

en la celda A6digite la formula

=SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)),esta fórmula ya no necesita

explicación, despuésseleccione A6 y arrastre hacia abajo

tantas celdas comovalores de θ desee, 205 bastaría para

generar 200 valores(o si lo desea hasta 500).

e) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",t), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y

arrastre hacia abajo para generar los valores de r, en C5escriba la formula

=SI(t="","",v*COS(t)), y genere losvalores de x, y en la celda D5 escriba la

formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores de y.

d) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y

después Insertar/ Dispersión/ Dispersión con líneas rectas, para

graficar. Ver figura 15

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30Espiral de Arquímides r=θ

Figura 15

5.52920307 5.52920307 4.03061557 -3.784999965.65486678 5.65486678 4.57488332 -3.323847295.78053048 5.78053048 5.06551748 -2.78479185.90619419 5.90619419 5.49144048 -2.174215096.03185789 6.03185789 5.84235599 -1.50006206

6.1575216 6.1575216 6.1089677 -0.771742096.28318531 6.28318531 6.28318531 3.19446E-146.40884901 6.40884901 6.35831332 0.803241776.53451272 6.53451272 6.32921899 1.625067236.66017643 6.66017643 6.19247543 2.451774476.78584013 6.78584013 5.94647704 3.269103426.91150384 6.91150384 5.59152406 4.062480037.03716754 7.03716754 5.12987437 4.817272687.16283125 7.16283125 4.56576047 5.519056337.28849496 7.28849496 3.90537089 6.153879837.41415866 7.41415866 3.15679522 6.708531337.53982237 7.53982237 2.32993325 7.17079727.66548607 7.66548607 1.43636886 7.529709247.79114978 7.79114978 0.48921034 7.775775737.91681349 7.91681349 -0.49710083 7.901191468.04247719 8.04247719 -1.50700995 7.90002281

8.1681409 8.1681409 -2.52409435 7.768363638.29380461 8.29380461 -3.53133025 7.504458778.41946831 8.41946831 -4.51137672 7.108792218.54513202 8.54513202 -5.44687214 6.584137388.67079572 8.67079572 -6.32073806 5.935568128.79645943 8.79645943 -7.11648517 5.170429138.92212314 8.92212314 -7.8185161 4.29826569.04778684 9.04778684 -8.41241946 3.330712489.17345055 9.17345055 -8.88524973 2.281344389.29911425 9.29911425 -9.22578796 1.165488069.42477796 9.42477796 -9.42477796 3.46261E-159.55044167 9.55044167 -9.47513358 -1.196987749.67610537 9.67610537 -9.37211273 -2.406349559.80176908 9.80176908 -9.11345441 -3.608271869.92743279 9.92743279 -8.69947567 -4.7825772210.0530965 10.0530965 -8.13312591 -5.9090618610.1787602 10.1787602 -7.41999685 -6.9678408410.3044239 10.3044239 -6.568287 -7.9396950810.4300876 10.4300876 -5.58872042 -8.8064142310.5557513 10.5557513 -4.49442032 -9.55112935

10.681415 10.681415 -3.30073877 -10.158629410.8070787 10.8070787 -2.02504462 -10.615655710.9327424 10.9327424 -0.68647258 -10.911169211.0584061 11.0584061 0.69436307 -11.036584911.1840698 11.1840698 2.09568571 -10.985969211.3097336 11.3097336 3.49489987 -10.756195811.4353973 11.4353973 4.86895534 -10.3470568

Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ.

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral,

mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de

Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos

están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta

curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en

ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación

polar.Para iniciar graficaremos la forma

sencilla es decir r = θ.a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1

introducimoslas etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h

respectivamentey nombramos las celdas A2, C2, D2 y

E2 como a,b, n y h., ver figura 14.

b) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la

formula =8*pi(), en Excel el valor de π se

introduce con la formula = pi(), vamos a graficar en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 8π.

En la celda D2Graficación de Curvas con la Hoja de

Cálculointroduzca el valor 200 y en E2 la

formula = (b-a)/n.c) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4,

las etiquetas θ, r, x,y. Ahora seleccione toda la columna A

y nómbrela comot, seleccione toda la columna B y

nómbrela v.d) En la celda A5 digite la formula = a,

en la celda A6digite la formula

=SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)),esta fórmula ya no necesita

explicación, despuésseleccione A6 y arrastre hacia abajo

tantas celdas comovalores de θ desee, 205 bastaría para

generar 200 valores(o si lo desea hasta 500).

e) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",t), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y

arrastre hacia abajo para generar los valores de r, en C5escriba la formula

=SI(t="","",v*COS(t)), y genere losvalores de x, y en la celda D5 escriba la

formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores de y.

d) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y

después Insertar/ Dispersión/ Dispersión con líneas rectas, para

graficar. Ver figura 15

11.561061 11.561061 6.19472624 -9.7613266211.6867247 11.6867247 7.44939867 -9.0047761211.8123884 11.8123884 8.61086054 -8.0861362811.9380521 11.9380521 9.65808702 -7.0170109612.0637158 12.0637158 10.5715147 -5.8117394112.1893795 12.1893795 11.3333984 -4.4872098712.3150432 12.3150432 11.9281435 -3.062626712.4407069 12.4407069 12.3426082 -1.5592340212.5663706 12.5663706 12.5663706 -2.2938E-1312.6920343 12.6920343 12.5919538 1.5907337

12.817698 12.817698 12.4150065 3.1876318812.9433617 12.9433617 12.0344334 4.7647692513.0690254 13.0690254 11.4524743 6.2960510213.1946891 13.1946891 10.6747278 7.7556436913.3203529 13.3203529 9.71011933 9.1184089913.4460166 13.4460166 8.57081352 10.360333813.5716803 13.5716803 7.27206994 11.4589486

13.697344 13.697344 5.83204541 12.393727413.8230077 13.8230077 4.27154429 13.146461513.9486714 13.9486714 2.61372038 13.701602114.0743351 14.0743351 0.88373481 14.046562614.1999988 14.1999988 -0.8916253 14.171978314.3256625 14.3256625 -2.68436147 14.071915614.4513262 14.4513262 -4.46570539 13.74402814.5769899 14.5769899 -6.20658044 13.189654814.7026536 14.7026536 -7.87807577 12.41386114.8283173 14.8283173 -9.45192519 11.4254149

14.953981 14.953981 -10.900983 10.236704415.0796447 15.0796447 -12.1996889 8.8635927915.2053084 15.2053084 -13.3245134 7.3252132115.3309721 15.3309721 -14.2543774 5.6437072615.4566359 15.4566359 -14.9710372 3.8439090315.5822996 15.5822996 -15.4594285 1.9529799915.7079633 15.7079633 -15.7079633 5.67677E-13

15.833627 15.833627 -15.7087741 -1.9844796715.9592907 15.9592907 -15.4579002 -3.968914216.0849544 16.0849544 -14.9554124 -5.9212666416.2106181 16.2106181 -14.2054729 -7.8095248316.3362818 16.3362818 -13.2163296 -9.6022255216.4619455 16.4619455 -12.0002418 -11.268977216.5876092 16.5876092 -10.57334 -12.780972616.7132729 16.7132729 -8.95541946 -14.111483116.8389366 16.8389366 -7.16967051 -15.236325416.9646003 16.9646003 -5.2423498 -16.1342937

17.090264 17.090264 -3.20239614 -16.787548517.2159277 17.2159277 -1.08099705 -17.18195617.3415914 17.3415914 1.08888754 -17.307371817.4672552 17.4672552 3.27303723 -17.157862

Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ.

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral,

mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de

Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos

están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta

curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en

ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación

polar.Para iniciar graficaremos la forma

sencilla es decir r = θ.a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1

introducimoslas etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h

respectivamentey nombramos las celdas A2, C2, D2 y

E2 como a,b, n y h., ver figura 14.

b) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la

formula =8*pi(), en Excel el valor de π se

introduce con la formula = pi(), vamos a graficar en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 8π.

En la celda D2Graficación de Curvas con la Hoja de

Cálculointroduzca el valor 200 y en E2 la

formula = (b-a)/n.c) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4,

las etiquetas θ, r, x,y. Ahora seleccione toda la columna A

y nómbrela comot, seleccione toda la columna B y

nómbrela v.d) En la celda A5 digite la formula = a,

en la celda A6digite la formula

=SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)),esta fórmula ya no necesita

explicación, despuésseleccione A6 y arrastre hacia abajo

tantas celdas comovalores de θ desee, 205 bastaría para

generar 200 valores(o si lo desea hasta 500).

e) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",t), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y

arrastre hacia abajo para generar los valores de r, en C5escriba la formula

=SI(t="","",v*COS(t)), y genere losvalores de x, y en la celda D5 escriba la

formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores de y.

d) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y

después Insertar/ Dispersión/ Dispersión con líneas rectas, para

graficar. Ver figura 15

17.5929189 17.5929189 5.43651091 -16.731860117.7185826 17.7185826 7.54420553 -16.032252817.8442463 17.8442463 9.56142529 -15.0663954

17.96991 17.96991 11.4544517 -13.846053618.0955737 18.0955737 13.1911055 -12.387272618.2212374 18.2212374 14.7412907 -10.710174618.3469011 18.3469011 16.077512 -8.8386870118.4725648 18.4725648 17.1753564 -6.8002046618.5982285 18.5982285 18.013931 -4.6251913518.7238922 18.7238922 18.5762487 -2.3467259618.8495559 18.8495559 18.8495559 -1.0184E-1218.9752196 18.9752196 18.8255944 2.3782256319.1008833 19.1008833 18.500794 4.75019652

19.226547 19.226547 17.8763913 7.0777640319.3522107 19.3522107 16.9584716 9.3229986319.4778745 19.4778745 15.7579314 11.448807319.6035382 19.6035382 14.2903643 13.419545319.7292019 19.7292019 12.5758666 15.201611319.8548656 19.8548656 10.638769 16.764017519.9805293 19.9805293 8.5072956 18.0789234

20.106193 20.106193 6.21315532 19.122125920.2318567 20.2318567 3.7910719 19.873494920.3575204 20.3575204 1.27825928 20.317349520.4831841 20.4831841 -1.28614977 20.442765220.6088478 20.6088478 -3.86171299 20.243808520.7345115 20.7345115 -6.40731643 19.719692320.8601752 20.8601752 -8.88183063 18.874850920.9858389 20.9858389 -11.2447748 17.718929821.1115026 21.1115026 -13.4569782 16.266692421.2371663 21.2371663 -15.481228 14.5378408

21.36283 21.36283 -17.2828926 12.556756421.4884938 21.4884938 -18.8305106 10.352160821.6141575 21.6141575 -20.0963354 7.9567020521.7398212 21.7398212 -21.0568247 5.4064736721.8654849 21.8654849 -21.693069 2.7404719221.9911486 21.9911486 -21.9911486 1.58142E-1222.1168123 22.1168123 -21.9424146 -2.7719716

22.242476 22.242476 -21.5436877 -5.5314788422.3681397 22.3681397 -20.7973703 -8.2342614222.4938034 22.4938034 -19.7114702 -10.836472422.6194671 22.6194671 -18.2995333 -13.295389222.7451308 22.7451308 -16.5804868 -15.570113522.8707945 22.8707945 -14.5783931 -17.6222522.9964582 22.9964582 -12.3221185 -19.416551923.1221219 23.1221219 -9.8449207 -20.921521423.2477856 23.2477856 -7.18396084 -22.10995823.3734493 23.3734493 -4.37974766 -22.9594413

23.499113 23.499113 -1.47552152 -23.4527429

Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ.

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral,

mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de

Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos

están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta

curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en

ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación

polar.Para iniciar graficaremos la forma

sencilla es decir r = θ.a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1

introducimoslas etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h

respectivamentey nombramos las celdas A2, C2, D2 y

E2 como a,b, n y h., ver figura 14.

b) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la

formula =8*pi(), en Excel el valor de π se

introduce con la formula = pi(), vamos a graficar en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 8π.

En la celda D2Graficación de Curvas con la Hoja de

Cálculointroduzca el valor 200 y en E2 la

formula = (b-a)/n.c) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4,

las etiquetas θ, r, x,y. Ahora seleccione toda la columna A

y nómbrela comot, seleccione toda la columna B y

nómbrela v.d) En la celda A5 digite la formula = a,

en la celda A6digite la formula

=SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)),esta fórmula ya no necesita

explicación, despuésseleccione A6 y arrastre hacia abajo

tantas celdas comovalores de θ desee, 205 bastaría para

generar 200 valores(o si lo desea hasta 500).

e) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",t), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y

arrastre hacia abajo para generar los valores de r, en C5escriba la formula

=SI(t="","",v*COS(t)), y genere losvalores de x, y en la celda D5 escriba la

formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores de y.

d) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y

después Insertar/ Dispersión/ Dispersión con líneas rectas, para

graficar. Ver figura 15

23.6247768 23.6247768 1.48341201 -23.578158723.7504405 23.7504405 4.45038876 -23.329754923.8761042 23.8761042 7.37812195 -22.707524524.0017679 24.0017679 10.2194557 -21.717448924.1274316 24.1274316 12.9281243 -20.371464324.2530953 24.2530953 15.4595048 -18.6873311

24.378759 24.378759 17.7713505 -16.688408924.5044227 24.5044227 19.8244944 -14.403338324.6300864 24.6300864 21.5835092 -11.865634624.7557501 24.7557501 23.0173143 -9.1131994424.8814138 24.8814138 24.0997184 -6.1877559925.0070775 25.0070775 24.8098892 -3.1342178925.1327412 25.1327412 25.1327412 -2.2569E-12

Grafica de la espiral de Arquímedes. Forma general r(θ) = a + bθ.

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral,

mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de

Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos

están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta

curva es una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en

ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación

polar.Para iniciar graficaremos la forma

sencilla es decir r = θ.a) En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1

introducimoslas etiquetas a, a ≤ θ ≤ b, b, n, y h

respectivamentey nombramos las celdas A2, C2, D2 y

E2 como a,b, n y h., ver figura 14.

b) Ahora en A2 digite el valor 0, y en C2 digite la

formula =8*pi(), en Excel el valor de π se

introduce con la formula = pi(), vamos a graficar en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 8π.

En la celda D2Graficación de Curvas con la Hoja de

Cálculointroduzca el valor 200 y en E2 la

formula = (b-a)/n.c) Digite en las celdas A4, B4, C4, D4,

las etiquetas θ, r, x,y. Ahora seleccione toda la columna A

y nómbrela comot, seleccione toda la columna B y

nómbrela v.d) En la celda A5 digite la formula = a,

en la celda A6digite la formula

=SI(A5="","",SI(A5+h>b,"",A5+h)),esta fórmula ya no necesita

explicación, despuésseleccione A6 y arrastre hacia abajo

tantas celdas comovalores de θ desee, 205 bastaría para

generar 200 valores(o si lo desea hasta 500).

e) En la celda B5 digite la formula =SI(t="","",t), para

generar los valores de r, después seleccione la celda B5 y

arrastre hacia abajo para generar los valores de r, en C5escriba la formula

=SI(t="","",v*COS(t)), y genere losvalores de x, y en la celda D5 escriba la

formula =SI(t="","",v*SENO(t)) y genere los valores de y.

d) Finalmente seleccione el rango C5:D205 (si generó 200 valores) y

después Insertar/ Dispersión/ Dispersión con líneas rectas, para

graficar. Ver figura 15