esercitazioni dal corso di meccanica delle vibrazioni
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Esercitazioni:1. Sospensioni automobilistiche: modello a 2 gdl2. Analisi modale (sistema a 3 gdl)3. Controllo modale4. FEM: trave a sbalzo5. FEM: disco freno6. FEM: Pala ventilatoreTRANSCRIPT
A.A. 2009-2010Prof. Massimo Cavacece
Alfredo Patrizi - Matr. 0131736Ingegneria meccanicaemail: [email protected]
Si procede ipotizzando per il sistema una soluzione del tipo:
Riscrivendo le equazioni del sistema nelle formulazioni proposte dal metodo delle variabili di stato e dal metodo di W.J. Duncan e sostituendovi l’espressione ipotizzata, ci si ricondurrà poi alla risoluzione di un problema agli autovalori, alla quale si procederà previa implementazione in un apposito listato in linguaggio Ch.
Si otterranno autovalori al più complessi coniugati le cui parti immaginarie costituiranno proprio le frequenze naturali del sistema.
La soluzione del sistema risulterà dalla combinazione lineare:
essendo rispettivamente gli autovalori e gli autovettori del sistema stesso.
I coefficienti complessi si ricaveranno infine dall’imposizione delle condizioni iniziali e dalla risoluzione del sistema lineare associato.
Di seguito si riporta lo sviluppo numerico di quanto appena esposto insieme ai risultati
forniti dal calcolatore
Metodo delle variabili di stato
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Nella configurazione in esame, per la simmetria del sistema rispetto all’asse frontale valgono le seguenti:
Le equazioni del moto risultano pertanto già disaccoppiate nelle variabili x, ϑ:
Si può procedere pertanto alla risoluzione numerica delle stesse attraverso la funzione odesolve(), basata sull’applicazione del metodo di Runge-Kutta del secondo ordine. Per entrambe le soluzioni ricavate si presentano di seguito, nei due casi studiati (moto smorzato e non), i grafici dell’andamento nel tempo.
Metodo delle variabili di stato
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Si presentano di seguito i risultati ottenuti dall’Analisi Modale del sistema, di nuovo sviluppati attraverso apposito listato in linguaggio Ch. Si dedurranno le matrici modali delle masse e delle rigidezze; in particolare, si farà riferimento allo smorzamento viscoso, adottando valori delle costanti di proporzionalità equivalenti:
Sollecitazione impressa dal profilo stradaleDetta L la lunghezza d’onda della perturbazione offerta dal piano
stradale, vale la seguente:
da cui:
Funzione guadagnoSi introduce l’azione di controllo sul primo modo di vibrare:
e attraverso il listato Ch si può graficare la variazione, con il guadagno g, della prima pulsazione naturale del sistema e della relativa velocità critica di percorrenza, per poi procedere alla scelta di un valore per g tale da mantenere quest’ultima al di fuori del range di sicurezza 0-200 km/h
Funzione guadagno
Il programma mostra come a tale valoreper la funzione guadagno corrisponda:
che risulta superiore alle frequenzepreviste per la perturbazione stradalenel range di velocità considerato.
La trave di Fe360 ha dimensioni 677x30x5 (mm) ed è incastrata ad un’estremità. Si applica un’eccitazione impulsiva all’estremità opposta e si studia il moto conseguente analizzandone i dati sperimentali raccolti.
Si elabora in un primo momento un modello agli elementi finiti della trave secondo la mesh beam: i risultati analitici verranno successivamente confrontati con quelli deducibili sperimentalmente
Geometry, Mesh, ConstraintDefinita la geometria unidimensionale, si procede con una mesh a 10
elementi con gli 11 nodi equidistanziati; si vincola inoltre il nodo 1 con un incastro.
Analysis: Mode 1In particolare, si riporta di seguito la configurazione deformata del
primo modo di vibrare, che risulta essere flessionale.
Analysis: FRFÈ possibile inoltre diagrammare la Modal Frequency
Table del sistema, indicativa della FRF dello stesso.
Dalla verifica effettuata in laboratorio, si sono raccolti i dati della trave sollecitata in maniera impulsiva. L’accelerometro è stato posto nelle varie misure in tre posizioni diverse:- nell’incastro;- nella mezzeria;- in punta.
I dati sono poi stati, una volta privati del ”rumore” e scalati allo zero, elaborati con Origin per ricavarne la FFT.
Per ogni posizione sono state effettuate 3 misure e poi è stata fatta la media.
Il risultato è stato che i risultati più affidabili si hanno tanto più si è lontani dall’incastro.
Individuazione frequenze propriePrendendo ad esempio il primo foglio di dati relativi alla posizione
dell’accelerometro sull’estremità libera della trave, si riconoscono le frequenze proprie del sistema nei valori per cui l’ampiezza della risposta in frequenza è massima
Individuazione frequenze proprieSi riportano di seguito anche i grafici dello spostamento e della
risposta in frequenza sempre per un set di dati.
Individuazione frequenze proprieI dati concordano sufficientemente con i risultati ottenuti dall’analisi
agli elementi finiti.
Coefficiente di smorzamentoIn conclusione si è determinato il coefficiente di smorzamento in base
al metodo della potenza media dissipata.
Si analizzano di seguito le risposte del modello di trave di cui sopra a sollecitazioni sinusoidali di diversa frequenza eccitatrice. Si definiscono a tal fine l’apposita funzione nel tempo ed il carico.
Il risultato dell’analisi ci evidenzia come l’eccitazione a 8Hz non sia pericolosa per la struttura, ma sia comunque da evitare in quanto prossima alla frequenza fondamentale(9Hz) al fine di non incorrere nel fenomeno della risonanza meccanica.
La deformazione in punta va scemando nel tempo(NORISONANZA)
La deformazione in punta va scemando nel tempo(NO RISONANZA)
Stesso discorso per l’accelerazione lineare
Si sono poi studiate le risposte del sistema a forzanti con diversa frequenza:
- 30Hz;- 50Hz;- 100Hz;- 200Hz.Le conclusioni sono sempre le stesse:le frequenze più vicine a quelle
proprie del sistema sono da evitare.La deformazione in punta va scemando nel tempo(NORISONANZA)
La deformazione in punta va scemando nel tempo(NO RISONANZA)
Stesso discorso per l’accelerazione lineare
30Hz:l’accelerazione all’aumentare del tempo tende a zero.
La deformazione in punta va scemando nel tempo(NO RISONANZA)
Stesso discorso per l’accelerazione lineare
30Hz:l’accelerazione all’aumentare del tempo tende a zero.100Hz:l’accelerazione all’aumentare del tempo tende a zero.
L’elaborazione con Origin dei segnali acquisiti alle varie frequenze ci permette di stabilire le pulsazioni di risposta della trave.
Normal mode analysisI primi modi (1⩫6) evidenziati da FEMAP (di
frequenze pressoché nulle) rappresentano i motidi traslazione e rotazione nello spazio.
Normal mode analysis // mode 7Particolare attenzione meritano i successivi 4 modi
individuati da FEMAP; in particolare, si analizzail modo proprio 7.
Normal mode analysis // mode 7,8,9,10Total Translation (al variare della fase phi in coordinate polari)
Si è effettuata una verifica in laboratorio da cui sono stati raccolti i dati del disco sollecitato in maniera impulsiva, collocando l’accelerometro nelle posizioni (phi):- 0°- 90°- 180°- 360°
Di nuovo, una volta privati del rumore e scalati allo zero, i dati sono stati elaborati con Origin per estrapolarne la FFT.
Di seguito si mostrano i risultati ottenuti per un set di file.
Individuazione frequenze proprieSi riportano di seguito anche i grafici dello spostamento e della
risposta in frequenza sempre per un set di dati.
MaterialErgal (7075-T651)
MeshElemento tipo SOLID (Parabolic Tetra)N° nodi: 10504; N° elementi: 5827
LoadNel moto del rotore, la pala è soggetta a una pressione dinamica,
dipendente dalla sua velocità di rotazione. Si introduce pertanto un sistema di forze di pressione lungo la sua superficie.
Mode 1 // Strain EnergyL’energia di deformazione massima si ha nei pressi dell’incastro e
delle zone a minor raggio di curvatura.
Mode 1 // Strain EnergyL’energia di deformazione massima si ha nei pressi dell’incastro e
delle zone a minor raggio di curvatura.
Strain EnergyL’energia di deformazione massima si ha nei pressi
dell’incastro e delle zone a minor raggio di curvatura.
Analysis: FRFÈ possibile inoltre diagrammare la Modal Frequency
Table del sistema, indicativa della FRF dello stesso.
A.A. 2009-2010Prof. Massimo Cavacece
Alfredo Patrizi - Matr. 0131736Ingegneria meccanicaemail: [email protected]