Esercitazioni di Meccanica Quantistica Umberto Scotti di Uccio AA 2017/18 εo = 8,8 × 10-12 F m-1

c = 3 × 108 m s-1

e = 1.6 × 10-19 C

kB = 1.4 × 10-23 J K-1 = 8.6 × 10-5 eV K-1

mp ≈ mn = 1.7 × 10-27 kg ; me = 9.1 × 10-31 kg

h = 6.6 × 10-34 J s = 4.1 × 10-15 eV s

h = 1.05 × 10-34 J s = 6.6 × 10-16 eV s

Equazioni di Maxwell Commenti sui sistemi di unità di misura

Il corpo nero Esercizi e complementi

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Commenti: Se un fotone ha energia insufficiente, non può essere assorbito; se ha energia troppo alta, provoca fotoemissione. I fotoni utili sono compresi nell’intervallo tra ∆ ≈ 1.2 eV e ∆ + Ea, con Ea ≈ 4 eV Esercizio: con l’aiuto di Wolfram – online, determinare la frazione utile dello spettro.

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maxmax

λ

cν ≠

Il corpo nero Esercizi e complementi L’equazione di stato dei fotoni Per cercare l’equazione di stato di un gas di fotoni, ci ispiriamo al calcolo storico fatto da Clausius per trovare l’equazione di stato di un gas di particelle classiche non interagenti tra loro (gas perfetto), che urtano elasticamente le pareti del contenitore: il teorema del viriale.

Per il campo EM, questo calcolo fu fatto da Boltzmann prima che fosse introdotto il concetto di fotone. In EM classico, ai fotoni si sostituiscono impulsi di radiazione (pacchetti d’onda), ma tutto resta concettualmente identico. Nota didattica: questo è un buon esercizio per prendere confidenza con l’angolo solido. Noterete qualche somiglianza con la definizione di corrente elettrica…

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L’ultima relazione viene dalla legge di Wien: ci dice che durante l’espansione dell’Universo, la radiazione di corpo nero emessa col Big Bang si è spostata sempre più verso il rosso. Oggi è una radiazione a circa 3 K. Domanda: la radiazione di fondo fu scoperta puntando delle antenne radar verso il cielo. Perché un radar è lo strumento giusto? Domanda: ma come diavolo è possibile che la radiazione di fondo non sia totalmente mascherata dalla radiazione a 300 K dell’atmosfera??

Il corpo nero Esercizi e complementi Einstein propose una deduzione dell’equazione di Planck molto elegante, che ripropongo in forma moderna. Consideriamo un pezzetto macroscopico della parete del forno. A causa dell’interazione col gas di fotoni, esso può assorbire energia hν e passare dallo stato 1 di energia E1 allo stato 2 di energia E2, con E2 – E1 = hν. D’altronde, esso può emettere spontaneamente un fotone e tornare allo stato 1; oppure, essere stimolato dalla radiazione interna a tornare allo stato 1. I due processi si chiamano di radiazione spontanea e di radiazione stimolata. Notiamo che il secondo processo è quello più evidente nel mondo macroscopico. Corrisponde al riverbero d’antenna (detto dai Fisici scattering di Reyleigh): se un campo EM incide su un’antenna, questa riemette in modo proporzionale, diffondendo la radiazione. All’equilibrio, il numero di pezzetti nello stato 2 non può cambiare nel tempo. Quindi:

“Principio di corrispondenza”: è necessario che l’equazione dia il risultato che ci attendiamo in

Fisica Classica, almeno se la frequenza che consideriamo è bassa, cioè nel limite 1kT

h <<ν.

Interessante che in questa situazione scompaia la costante di Planck dal risultato!