ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA

ESPECIALIDAD DE ACUSTICA

Ingenierıa aplicada al prototipo de

un instrumento musical hecho a base de tubos de cobre.

La teorıa de ((Los tubos musicales))

Tesis que presenta

Jose Bethel Torres Castro

Para obtener el grado de

Ing. en Comunicaciones y Electronica

En la Especialidad de

Acustica

Asesores de Tesis: Ing. Jose de Jesus Negrete RedondoDr. Sergio Garcıa Beristain

Mexico D.F. Mayo 2013

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA

UNIDAD PROFESIQNAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"

TEMA DE TESIS

QUE PARA OBTENER EL TIT\JLO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

POR LA OPCIÓN DE TITULACiÓN TESIS Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL

DEBERA(N) DESARROLLAR C. JOSÉ BETHEL TORRES CASTRO

" INGENIERÍA APLICADA AL PROTOTIPO DE UN INSTRUMENTO MUSICAL HECHO A BASE DE TUBOS DE COBRE. LA TEORÍA DE "LOS TUBOS MUSICALES."

DISEÑAR, CONSTRUIR Y AFINAR EL PROTOTIPO DE UN INSTRUMENTO MUSICAL EL CUAL SE SOSTIENEN EN EL PROCESO DE INGENIERÍA Y SE REALICE CON MATERIALES ENCONTRADOS COMÚNMENTE.

~ METAS Y ALCANCES. ~ FUNDAMENTOS TEÓRICOS. ~ DISEÑO. ~ CONSTRUCCiÓN. ~ AFINACIÓN.

MÉXICO D.F., 22 DE MAYO DE 2012.

ASESORES

ING. JO É DE JESUS NEGRETE

M. ENe.

JEFE DELL ~~~~~;~~.~~g~A~~CADÉMICODE INGENIERÍA E Y ELECTRÓNICA

Resumen

En un instrumento musical de percusion (IMP) hecho con tubos de metal, el

proceso de afinacion resulta muy complicado, ya que la mayorıa de los tubos no son

disenados para fines musicales. Otra dificultad radica en su sonido, ya que cuando

un tubo se golpea producen un sonido con sobretonos (timbre) que no son enteros

de la frecuencia fundamental (resonancia), es decir, a comparacion de una cuerda en

una guitarra o de la columna de aire en una flauta, en un tubo percutido la afinacion

depende de sus sobretonos, y no de la fundamental. Por lo tanto, una opcion es fabricar

estos instrumentos de forma artesanal, puesto que mandar a hacer los materiales con

las caracterısticas especıficas requeridas para la optima construccion del instrumento,

requiere de altos presupuestos en investigacion y construccion.

En el presente trabajo de tesis se muestra la descripcion de la realizacion del pro-

totipo de un IMP empleando materiales comunes, principalmente tubos de cobre. Los

tubos se encuentran colgados y se tocan con un percutor de goma. De esta manera se

muestra a traves de varias etapas, como un IMP puede ser fabricado con materiales

comunes, ademas de utilizar una metodologıa cientıfica, economica y sobre todo inge-

niosa. Dicho prototipo de instrumento musical con tales caracterısticas es nombrado

como ((Los tubos musicales)) (TM).

Con los TM se ofrece como resultado del presente trabajo, una nueva propuesta

para la afinacion de tubos percutidos, ası como una metodologıa de investigacion para

la fabricacion de un IMP. Se llevan a cabo analisis fısicos y matematicos del movi-

miento de una barra, los cuales proporcionan las ecuaciones necesarias para calcular

las frecuencias y las longitudes de cada tubo. Se realiza un analisis comparativo de

instrumentos musicales parecidos a los TM (campanas tubulares y carillones de vien-

to), con el fin de obtener una forma de montar los tubos sin que sufran alteraciones

significativas. Y por ultimo, con la ayuda de analizadores de espectros y programas

de audio, se realizan experimentos que comprueban el fenomeno del tono virtual, cuyo

significado es imperativo en el proceso de afinacion de los TM. Los resultados son eva-

luados: comparando los calculos de las frecuencias con los resultados experimentales,

ası como el sonido final de los TM.

ii

Amalia Guadalupe Castro Sanchez,

Marco Antonio Torres Hernandez,

Marcos Giovanni Aguilar Ponce,

hermanos, sobrinos,

amigos y amigas que estuvieron apoyandome en cada paso,

Instituto Politecnico Nacional. . .,

Dios:

Gracias.

iii

AgradecimientosAgradezco a mis directores de tesis, Dr. Sergio Garcıa Beristain e Ing. Jose de Jesus

Negrete Redondo la guıa, asesorıa y la oportunidad que me dieron al formar parte de

su grupo de colegas, con lo cual fue posible desarrollar el presente proyecto de tesis

de licenciatura.

De la misma forma, tambien quiero hacer patente mi deuda y agradecimientos al

Dr. Maximino Pena Guerrero, e Ing. Ma. Teresa Franco Mtz. sinodales del examen

profesional de esta tesis, cuyas sugerencias, ideas, y senalamientos enriquecieron el

contenido y la estructura del proyecto.

Estoy agradecido con: Ing. Javier Muedano Meneses, cuyo apoyo para proporcio-

nar materiales y espacios para poder realizar pruebas de mi tesis, tambien sirvieron

de mucha ayuda; a la Dra. Itzala Rabadan Malda, cuyos esfuerzos por dar a difundir

la acustica a traves de la EXPOAcustica de la ESIME, ayudaron en constribucion

para inspirarme a seguir en el camino.

De una manera muy especial, agradezco al Dr. Felipe Orduna Bustamante, in-

vestigador del CCADET de la UNAM el cual invirtio su valioso tiempo en atender

mis dudas y abrirme panoramas de algunos cuestionamientos academicos que tenıa

entonces, ademas de mostrarme amablemente las instalaciones de los laboratorios del

Departamento de acustica y vibraciones pertenecientes al mismo centro.

En este mismo contexto, deseo expresar profundos agradecimientos a todos los

maestros que me formaron en la vida: Profesora Orquidea, Ing. Adrian Landa Sala-

zar, quien fuera una de las personas que me inspiraron a estudiar en el area Fısico-

matematicas, ademas del Ing. Tono y Profra. Concepcion, quienes me dieron todo su

apoyo cuando yo lo necesitaba.

Muchas gracias a todos mis alumnos y companeros del CENCADEH, en especial a

la Profra. Rebeca Vargas, al prof. Octavio Velasco y amiga, casi hermana Profra. Luz

Maria, quienes me brindaron todo su apoyo y amistad en todo momento de flaqueza.

Agradezco con profunda emocion las facilidades otorgadas por las autoridades de

las instituciones adonde he sido alumno, y donde surgieron aquellas ideas que me

permitieron desarrollar este proyecto, resultado del cual, he dedicado parte de mi

vida: Escuela Superior de Ingenierıa Mecanica y Electrica (ESIME) del IPN; princi-

iv

palmente, la Especialidad de Acustica de la Carrera de Ingenierıa en Comunicaciones

y Electronica. y por supuesto, mi Alma Mater: Instituto Politecnico Nacional.

Jose Bethel Torres Castro

v

...Ninguna escuela en-sena que el amor es lomas importante en la vi-da y ninguna universidadensena que la compa-sion es lo fundamental...

(1945 - ...)Patch Adams

... La mente que se abre auna nueva idea, jamas re-gresa a su tamano original...

Albert Einstain(1879-1955)

vi

Indice general

1. Metas y Alcances 7

2. Fundamentos Teoricos 12

2.1. Musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1. Division de instrumentos de percusion y principales caracterısti-

cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2. Escala mayor de igual temperamento . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Fısico-matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1. Las vibraciones transversales en barras . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2. Analisis fısico-matematico de las vibraciones transversales en

las barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3. Ecuacion para calcular las frecuencias transversales en las barras 21

2.2.4. Analisis de las frecuencias transversales permitidas en las barras 22

2.3. Psicoacusticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1. Tono virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2. Estudio del sonido de las campanas tubulares (CT) . . . . . . 24

2.3.3. Las notas de los TM, relacion matematica y subjetiva . . . . . 24

3. Diseno 26

3.1. Montaje de los TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Tonalidad y escalas de los tubos musicales . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4. Ejecucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Construccion 30

4.1. Materiales y herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Calculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Procedimiento del Montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Afinacion 36

5.1. Mediciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2. Ajuste de frecuencias de los TM a los tonos virtuales . . . . . . . . . 37

5.3. Evitar los sonidos intermitentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

A. Material extra 49

A.1. Desarrollando la solucion de la ecuacion de las ondas transversales en

las barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.1.1. Desarrollando la solucion de la ecuacion de las ondas transver-

sales con condiciones iniciales (c.i) . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.2. Estudio del arte en tubos como instrumentos musicales . . . . . . . . 54

A.3. ¿Como escuchamos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.4. Empleo de algunas herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.5. Metodo de afinacion por medio de un Analizador de espectros . . . . 59

B. Experimentacion 62

B.1. Comparando los materiales de percusion. . . . . . . . . . . . . . . . . 62

B.2. Experimentos sobre el tono de ataque y tono virtual . . . . . . . . . . 63

B.2.1. Medicion con analizador de espectros . . . . . . . . . . . . . . 63

B.2.2. Timbres diferentes, mismas notas . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B.2.3. Senal tipo dientes de sierra y sıntesis de una frecuencia . . . . 66

2

Indice de figuras

2.1. Intervalos entre los tonos en la escala mayor de igual temperamento

(Las dos lıneas indican un intervalo de tono y una lınea representa un

semitono. La tonica es el numero 1.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Sistema de notacion musical anglosajona . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Esfuerzos y deformaciones de flexion en una barra. . . . . . . . . . . . 15

2.4. Momentos de flexion y fuerza cortantes de una barra. . . . . . . . . . 17

2.5. Curvas que muestras las funciones tangente y tangente hiperbolica. . 21

3.1. Modos de vibracion transversal en barra de marimba (estos son muy

parecidos al de un tubo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1. Modo de armar los tubos. a) Vista 3D de un lado del tubo. b) Vista

frontal con medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Poniendo la cinta con el hilo nylon al tubo. . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3. Octava de los TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1. Vista de los tubos pertenecientes a D♭ y E♭ con cinta en la parte inferior. 38

5.2. Vista de los TB con cinta en la parte superior. . . . . . . . . . . . . . 39

5.3. Vista de los TM con cinta en la parte inferior. . . . . . . . . . . . . . 39

A.1. Campanillas chinas o Carillon de viento (((Chimes)) en Ingles) . . . . . 54

A.2. Modos de vibracion de barra libre-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.3. Campanas tubulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.4. Grafica. Curvas de igual sonoridad. Harvey Fletcher y Wilden A. Munson. 57

A.5. Calibrador vernier con 2 escalas: pulgadas y centımetros. 1.Mordazas

para medidas externas.; 2.Mordazas para medidas internas.; 3.Coliza

para medida de profundidades.; 4.Escala con divisiones en centımetros

y milımetros.; 5.Escala con divisiones en pulgadas y fracciones de pul-

gada.; 6.Nonio para la lectura de las fracciones de milımetros en que

este dividido.; 7.Nonio para la lectura de las fracciones de pulgada en

que este dividido.; 8.Boton de deslizamiento y freno. . . . . . . . . . . 58

A.6. Lectura de la medicion en un Vernier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.7. Ejemplo de corta tubos y su empleo. a) Corta tubos usado en el pre-

sente trabajo. b) Vista lateral y modo de empleo. . . . . . . . . . . . 60

A.8. Diagrama de conexiones para afinacion con Analizador de espectro. . 61

3

B.1. Espectro de la frecuencia de un tubo percutido con Goma. . . . . . . 62

B.2. Espectro de la frecuencia de un tubo percutido con Madera. . . . . . 63

B.3. Espectro de la frecuencia de un tubo percutido con Metal. . . . . . . 63

B.4. Imagen de analizador de espectros que muestra el sonido de un tubo

de Cobre de 89cm de longitud, a un tiempo de 1 seg. . . . . . . . . . 64

B.5. Imagen del espectrograma que muestra el sonido de un tubo de Cobre

de 89cm de longitud. En el eje horizontal esta indicado el tiempo y

en el vertical la frecuencia. La barra de la derecha muestra el nivel de

presion sonora. En blanco esta el ruido de fondo. . . . . . . . . . . . . 65

B.6. Espectros de frecuencia que muestra los parciales de una senal dientes

de sierra y un tubo musical, ası como el tono perdido del mismo tubo

afinado a 200Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

B.7. Espectro de frecuencias lineales, parecido al de una guitarra. Donde 1,

es la frecuencia de resonancia o el primer armonico. . . . . . . . . . . 69

4

Indice de tablas

2.1. Rangos de frecuencia de los tonos en la escala igual temperada . . . . 13

2.2. Valores de los primeros 6 sobretonos y su fundamental en las frecuencias

transversales de una barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Valores de los primeros 6 sobretonos y su fundamental de las frecuencias

transversales de un tubo de cobre de 1/2” de diametro y de 89 cm de

longitud (Valores reales arrojados al medir un tubo fabricado en esta

tesis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Relacion de los modos de frecuencia de un tubo y una campana de ca-

rillon. Son comparados con un tono de 393 Hz, es decir un G4. (Rossing

1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. Frecuencias necesarias para la fabricacion y afinacion de los TM. Todos

los valores estan dados en Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1. Valores de magnitudes fısicas del cobre. [7, pag. 570] . . . . . . . . . 31

4.2. Radios de los TM y valor del radio de giro κ. . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Resultados de longitudes a partir de las frecuencias propuestas para el

instrumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4. Valores reales antes de afinar los TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1. Valores medidos de los primeros tubos, donde St = Sobretono(medidos

en Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Valores ideales para los TM (Tabla de afinacion). Donde Tono vir-

tual = 1er armonico(percepcion), Frec.1 = 3er sobretono del tubo/2do

armonico del tono virtual, Frec.2 = 4to sobretono del tubo/3er armoni-

co del tono virtual, Frec.3 = 5to sobretono del tubo/4to armonico del

tono virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3. Valores ajustados para los TM. Donde Tono virtual = 1er armoni-

co(percepcion), Frec.1 = 3er sobretono del tubo/2do armonico del tono

virtual, Frec.2 = 4to sobretono del tubo/3er armonico del tono virtual,

Frec.3 = 5to sobretono del tubo/4to armonico del tono virtual . . . . 40

5

5.4. Relacion de cada frecuencia con respecto al tono de cada TM. Donde

Tono virtual = 1er armonico(percepcion), Frec.1 = 3er sobretono del

tubo/2do armonico del tono virtual, Frec.2 = 4to sobretono del tu-

bo/3er armonico del tono virtual, Frec.3 = 5to sobretono del tubo/4to

armonico del tono virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6

Capıtulo 1

Metas y Alcances

Tal vez los instrumentos de percusion podrıan ser los mas viejos, pero recien-

temente ha surgido un mayor interes por estos. Algunos instrumentos de percusion

novedosos se han desarrollado recientemente y algunos otros estan en la etapa experi-

mental. Una de las familias de dichos instrumentos es la de los idiofonos, los cuales son

llamados ası por generar su sonido ellos mismos al ser golpeados. De aquı en adelante

cuando se mencione la palabra tubos, se hace referencia a tubos como idiofonos.

Se piensa que las campanas dentro de la orquesta, tienen sus orıgenes por el

siglo XVIII con J.S. Bach[10], sin embargo, su uso resultaba poco practico y por lo

tanto, investigaciones empezaron a surgir para encontrar un material que sustituyera

a dichos elementos. Ası, las campanas tubulares (CT) aparecieron por 1860 y 1870

en Parıs. Ası mismo, el Ingles John Harrington patento las primeras CT hechas de

bronce y a su vez Arthur Sullivan pudo haber sido el primer compositor en utilizarlas

en la orquesta, en el ano de 1886. Actualmente, se disenan sin fin de variantes de

instrumentos, en los cuales, los tubos son su elemento principal.

Cuando se intenta fabricar un instrumento, se observan algunas cuestiones, tales

como los materiales que se emplearan, los calculos necesarios a realizar y el procedi-

miento de afinacion del mismo. Sumando a lo anterior, cabe mencionar que resulta

complicado el sonido que proviene de un tubo.

Ademas, se debe tomar en cuenta que en un instrumento musical, la nota se de-

fine por el 1er armonico, el cual es llamado frecuencia fundamental o resonancia,

esta es la ultima vibracion en desaparecer. Cuando una cuerda es rasgada o cuando

una columna de aire resuena, por ejemplo en una guitarra o en una flauta, sus so-

bretonos tienen una relacion simple como 1:2:3:4:5 y ası sucesivamente. Pues, en el

7

caso de los tubos, la relacion de sus sobretonos no son armonicos, esta relacion es de

1:2.76:5.40:8.93...etcetera. Teniendo esto en cuenta, se puede decir que el sonido de

un tubo no es ((armonico)). Y aun mas, ¿como se puede afinar, si sus sobretonos no

son enteros de una frecuencia fundamental?.

En resumen, fabricar un nuevo instrumento musical profesional es un proceso com-

plicado, ya que es necesario contar con todos los recursos necesarios para dicho fin

como: materiales homogeneos, herramientas especiales, medidas exactas y un musico

o especialista que avale su naturaleza. Ademas, los materiales deben ser de la mas alta

calidad posible y ası mismo que generen un sonido de tal condicion que su timbre sea

agradable a las personas. Teniendo en cuenta esto, los costos se elevan considerable-

mente, por lo tanto una opcion es hacer el instrumento de forma artesanal. Teniendo

los datos, los materiales y otro instrumento parecido al que se desea fabricar, se pue-

de realizar cualquier replica facilmente. O bien, otra opcion de fabricacion con un

enfoque mas cientıfico es, por medio del diseno de un prototipo. En ambos casos, la

afinacion resulta ser un arduo proceso.

En el presente trabajo se describe un proceso de fabricacion de un instrumento

musical de percusion (IMP), utilizando tubos de cobre. El objetivo es realizar un IMP,

similar a las CT y a su vez encontrar una manera de como mejorar en la afinacion de

dicho instrumento. El prototipo recibe el nombre de ((Los tubos musicales)) (TM).

Los TM es un IMP hecho con tubos de cobre de 12pulgada de diametro ya que

es uno de los materiales mas comunes de obtener. Generalmente, dichos tubos no

son disenados para hacer instrumentos musicales sino su proposito es funcionar como

tuberıa. Sin embargo, un tubo de cobre es economico y es un material aceptable

para estudiar los fenomenos fısicos del sonido que produce un elemento como este. A

traves de este trabajo se analizan diferentes etapas que intervienen en el proceso de

fabricacion de los TM, siendo una de las de mas importantes el metodo de afinacion.

Los TM posee medidas aproximadamente de 89cm a 60 cm, siendo los mas largos

los de frecuencias mas bajas y estas van aumentando conforme la longitud del tubo

disminuye. A su vez, entre mas cortos esten los tubos, menos armonicos se perciben

y su sonido acampanado se va perdiendo.

8

Por otro lado, el montaje es una parte muy importante en el analisis de los TM,

ya que dentro de este trabajo se observan un montaje original, en el cual se manejan

las masas de los tubos y ası provoquen a su vez varios fenomenos como: bajar la

frecuencia, mejorar el sonido, mejorar la estabilidad, entre otros. Dicho montaje consta

de tubos pendidos con la ayuda de cinta de aislar e hilo nylon.

Ası mismo, los TM se disenan en una tonalidad de La bemol Mayor (A♭M) para los

tubos musicales , ya que dadas las longitudes de los tubos descritas anteriormente, son

las que producen las frecuencias mas proximas a esta tonalidad. Ademas la tonalidad

se elige por ser una de las que produce mas sonidos pacıficos y tranquilos.

Un percutor de goma es el utilizado para tocar los TM, ya que con este material

el sonido parece mas acampanado y no se excitan muchos sobretonos, dando ası un

sonido menos brillante y mas definido.

Ası pues, manufacturar un instrumento musical involucra el desarrollo de una me-

todologıa. En este trabajo se emplea una que se decide nombrar ((Ingenierıa aplicada))

la cual consiste en investigar cada fenomeno que interviene durante el proceso de fa-

bricacion del instrumento, para ası ir justificando cada paso en el proceso (diseno,

construccion y afinacion) e ir estudiando las posibles mejoras que se pueden hacer a

un instrumento musical.

A traves de la ecuacion para calcular las frecuencias de ondas transversales en una

barra se obtienen las longitudes de los tubos para que estos vibren a las diferentes

frecuencias que integran la tonalidad de A♭ M. Dicha ecuacion se deduce del analisis

fısico de las vibraciones transversales en una barra. En general se hace el estudio con

la ayuda de las barras ya que los tubos musicales son barras con seccion transversal

redonda y hueca. Ademas, existen dos posibles condiciones en las que se pueden

estudiar las vibraciones en las barras, ya sea que esten sujetas por un extremo o

libres por ambos. Dado que los tubos musicales estan colgados, se estudia el caso de

((barras libres por ambos extremos)).

Teniendo en cuenta el analisis fısico, a continuacion se hace una comparacion del

sonido de los tubos con el de una campana. En los resultados arrojados, se observa que

ciertos armonicos entre estos dos elementos tienen la misma relacion. Sin embargo, en

9

la campana predomina una frecuencia fundamental, la cual en el tubo no se encuentra,

pero asombrosamente sus armonicos estan presentes. Con este fenomeno se descubre

cuales son los principales armonicos en los cuales se debe enfocar la afinacion.

Haciendo referencia a lo anterior, cuando aparecen los armonicos de un tubo pe-

ro su frecuencia fundamental no esta presente, se dice que es un ((tono virtual)), el

cual es percibido por el oıdo pero fısicamente no esta presente. Este es uno de los

principales problemas que se enfrenta al fabricar este tipo de instrumentos, ya que

se debe de percibir exactamente a que tonalidad esta el tubo. Otra consideracion es

importante: entre mas pequeno sea el tubo (o barra), la frecuencia de resonancia es

la que predomina y por consiguiente es la que define la nota del tubo, despreciando

de esta forma, la afinacion por armonicos. Sin embargo, este no es el caso.

Todos los experimentos y las mediciones se realizan con ayuda del software ((Acoustic

Analysis System 5E)), el cual tiene una aplicacion llamada Real Time Analyzer[RA]

V.5,0,1,10. Dicha aplicacion se calibra tocando un diapason de 440Hz y observando

que el analizador del programa marque esta frecuencia.

La organizacion de esta tesis esta estructurada de la siguiente manera: en el capıtu-

lo 2(C2) se muestran los principales conceptos que son necesarios abordar para la com-

prension de la tesis, tales como: constitucion de la escala igual temperada, ası como

una pequena resena a los tubos utilizados como idiofonos a traves de una explica-

cion detallada de la composicion de las campanas tubulares (CT); el analisis de las

vibraciones transversales en una barra, y finalmente los fenomenos psicoacusticos in-

volucrados en la construccion de los tubos musicales. Igualmente, en este capıtulo se

encuentran algunas tablas de comparacion del sonido de los tubos con las campanas,

para entender un poco mas su sonido, sus similitudes y sus diferencias.

En el C3 se presenta principalmente el analisis del principal montaje para los

TM. Describiendo sus ventajas y desventajas, se concluye que es el mas conveniente

para los fines planteados (sonido y afinacion). Ası mismo, se presenta un estudio

del arte en los principales instrumentos observados antes de proyecto, es decir las

campanas tubulares, introduciendose ası aun mas en el campo de los tubos percutidos

y entendiendo mas la teorıa de los tubos musicales. Por ultimo, se propone la tonalidad

de los TM ası como especificaciones de materiales y el percutor que sera utilizado.

10

En el C4 se hace la descripcion de los materiales y herramientas a utilizar para la

construccion de los TM. Tambien, se presenta como hacer los calculos de las longitudes

y las frecuencias, ademas de esquemas e ilustraciones que describen el procedimiento

detallado del montaje.

Finalmente en el C5 se muestran los detalles del proceso de afinacion, un proceso

sencillo pero que es importante leer cuidadosamente para poder comprenderlo facil-

mente. Se muestran los resultados de los tubos afinados, ası como la descripcion y

muestra de algunas fotos del procedimiento.

Al final de la tesis se muestran las conclusiones y se plantean algunas contribu-

ciones futuras que puedan servir a raız de este proyecto de tesis, ademas se hace un

pequeno estudio economico para observar los costos del proyecto en el tiempo en el

que fue realizado

11

Capıtulo 2

Fundamentos Teoricos

En el presente capıtulo se realiza una presentacion a los conceptos y definiciones

necesarios para comprender con mayor facilidad el desarrollo proyecto. Es importante

enfocar especial atencion, sobre todo a la parte del Tono virtual. El cual se menciona

a lo largo de todo este trabajo y es, entre todos, el concepto mas significativo.

2.1. Musicales

2.1.1. Division de instrumentos de percusion y principalescaracterısticas.

Existen muchos instrumentos en la familia de las percusiones y numerosas formas

de clasificarlos, a veces son clasificados en cuatro grupos: idiofonos (xilofono, marimba,

carillones, platillos, etc.); membrafonos (tambores); aerofonos (silbatos, sirenas); y

cordofonos (piano, clavecın). Otro sistema los divide en dos grupos: aquellos que

tienen un tono definido y aquellos que no lo tienen.

Los instrumentos de percusion generalmente usan uno o mas de los siguientes

tipos de vibradores: cuerdas, barras, membranas, placas, columnas de aire o camaras

de aire. Los primeros cuatro son mecanicos, y los ultimos dos son neumaticos. Dos de

ellos (las cuerdas y las columnas de aire) tienden a producir sobretonos armonicos. Las

barras, membranas y placas son tres clases de vibradores cuyos modos de vibracion no

tiene relacion armonica en numeros enteros. Por consiguiente, sus sobretonos

no seran enteros del tono fundamental. Los sobretonos de este tipo de vibraciones

complejas es lo que da a estos instrumentos de percusion su timbre caracterıstico. [9,

p:257]

12

2.1.2. Escala mayor de igual temperamento

Una escala que solo emplea intervalos de series de armonicos es llamada escala

de entonacion justa. La escala de entonacion justa presenta ciertas dificultades

practicas y ha sido suplantada por la escala igual temperada, en la cual una escala

es dividida en doce intervalos iguales, en la cual sus frecuencias se relacionan como

se muestra:

1, f, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8, f 9, f 10, f 11, f 12

donde: f 12 = 2 o f = 12√2 = 1,059463

Un semitono o medio tono, en esta escala es el rango de frecuencia entre dos tonos

cualquiera los cuales tienen como relacion la raız doceava de 2. Las relaciones de

los tonos en una octava en terminos de la tonica en la escala igual temperada son

mostrados en la Tabla 2.1

Nota Relacion de frecuenciaC 1f

C♯ D♭ 1,059463D 1,12246

D♯ E♭ 1,1892E 1,25992F 1,33484

F♯ G♭ 1,41421G 1,4983

G♯ A♭ 1,5874A 1,66179

A♯ B♭ 1,78179B 1,68775C 2f

Tabla 2.1: Rangos de frecuencia de los tonos en la escala igual temperada

Figura 2.1: Intervalos entre los tonos en la escala mayor de igual temperamento (Lasdos lıneas indican un intervalo de tono y una lınea representa un semitono. La tonicaes el numero 1.)

La escala mayor de igual temperamento puede iniciar en cualquiera de los doce

13

frecuencias en una octava: C,C♯ o D♭; D,D♯ o E♭; E, F, F♯ o G♭; G,G♯ or A♭; A, A♯

o B♭; y B. Dependiendo en que nota inicie, esta sera la tonalidad del instrumento

musical, siempre y cuando se cumpla el patron que se observado en la Figura 2.1.

Notese que a lo largo de toda la tesis se trabaja con la notacion inglesa para

representar las notas musicales, donde:

Figura 2.2: Sistema de notacion musical anglosajona

Ademas de los sımbolos de sus alteraciones, donde ♯ es sostenido y ♭ es bemol. El

numero que procede a dicha letra indica la octava a la que se encuentra. Por ejemplo:

A♭4 quiere decir La bemol en la 4 octava.

2.2. Fısico-matematicos

El sonido de un tubo percutido no se estudia como un tubo con aire (columna

de aire) como en el caso de una flauta, un organo o cualquier otro instrumento que

funcione con este principio ya que estos ultimos dependen de las fluctuaciones de aire

dentro de la columna, como su nombre lo dice. Es muy importante tomar en cuenta

este aspecto, ya que los calculos utilizados para cada tipo de situacion consideran

aspectos muy diferentes, ademas de que en las segundas se consideran las vibraciones

longitudinales y en las primeras las transversales.

Las vibraciones, los nodos y antinodos se ubican en distintas posiciones en los dos

casos. A continuacion se analiza el comportamiento de una barra, ası como el analisis

de las vibraciones que se presentan en los tubos musicales y algunos aspectos fısicos

que muestran las ecuaciones del movimiento.

2.2.1. Las vibraciones transversales en barras

En una viga o barra se generan vibraciones longitudinales, transversales, de corte

y de torsion [1, p:47]. Sus vibraciones se pueden calcular con diversas ecuaciones

matematicas, si se analizan se puede comprender mejor el fenomeno mecanico de las

14

frecuencias en una barra y a su vez de un tubo, ya que el acoplamiento interno de las

deformaciones hace difıcil producir solamente una vibracion independientemente de

la otra.

El objetivo de esta seccion es dar a conocer como se llega a la ecuacion para

calcular las frecuencias de vibracion transversal de una barra. Resulta que su analisis

debe empezar en el movimiento que se da en la barra propiamente. El analisis del

movimiento dara ecuaciones diferenciales que involucran algunas propiedades fısicas

en la barra, por ejemplo la velocidad del sonido en el material, cuyo calculo involucra

el modulo de Young y la densidad volumetrica del mismo.

2.2.2. Analisis fısico-matematico de las vibraciones transver-sales en las barras

Considerese una barra de longitud L, que tiene una seccion transversal uniforme

S con simetrıa bilateral. Hagase que la coordenada x mida las posiciones a lo largo

de la barra, y la coordenada y el desplazamiento de la barra en su configuracion

normal. Cuando la barra se dobla como se muestra en la Figura 2.3, la parte inferior

se comprime y la parte superior se estira. En algun punto entre la parte inferior y

superior de la barra habra un eje neutro cuya longitud permanezca invariable. (Si la

seccion transversal de la barra es simetrica con respecto a un plano horizontal, este

eje neutro coincidira con el eje central de la barra.)

Figura 2.3: Esfuerzos y deformaciones de flexion en una barra.

Considerese ahora un segmento de la barra de longitud dx, y supongase que la fle-

xion de la barra se mide con el radio de curvatura R del eje neutro. Sea δx = (δξ/δx)dx

el incremento de longitud debido a la flexion, de un filamento de la barra localizado

a una distancia r del eje neutro. Entonces, la fuerza longitudinal df esta dada por:

15

df = −Y dSδx

dx= −Y dS

δξ

δx(2.1)

donde dS es el area de la seccion transversal del filamento. El valor de δx para

el filamento particular considerado en la Figura 2.3 es positivo, por lo que df es una

tension y, en consecuencia, negativa. Para los filamentos que estan abajo del eje neu-

tro δx es negativo, dando ası una fuerza positiva de compresion.

Ahora, de la geometrıa (dx + δx)/(R + r) = cx/R, por lo tanto, δx/dx = r/R.

Sustituyendo en Ecuacion 2.1 da

df = −Y

RrdS (2.2)

La fuerza total longitudinal f =∫df es cero, ya que las fuerzas negativas por

arriba del eje neutro son canceladas por las fuerzas positivas abajo de dicho eje. Sin

embargo, hay en la barra un momento de flexion M ,

M =∫rdf = −Y

R

∫r2dS

Si se define una constante κ por

κ2 =∫r2dS

S

entonces

M = −Y Sκ2

R(2.3)

Puede considerarse a la constante κ como el radio de giro del area de seccion

transversal S, por analogıa con el radio de giro de un solido. En general, el radio de

curvatura R no es una constante sino mas bien una funcion de la posicion a lo largo

del eje neutro. Si los desplazamientos y de la barra estan limitados a valores pequenos

δy/δx ≪ 1, y entonces se puede usar la relacion aproximada

R =[1 + (δy/δx)2]3/2

δ2y/δx2≈ 1

δ2y/δx2(2.4)

Sustituyendo a 2.4 en 2.3 se obtiene

M = −Y Sκ2 δ2y

δx2(2.5)

16

En la situacion ilustrada en la Figura 2.3 , la curvatura es tal que hace a δ2y/δx2

negativa, y en consecuencia el momento de flexion M es positivo. Es obvio que para

obtener la curvatura ilustrada, el par de torsion aplicado al extremo izquierdo del

segmento dx debe actuar en contra de las manecillas de un reloj o en una direccion

angular positiva, de tal manera que 2.5 da el par de torsion que actua en el extremo

izquierdo tanto en magnitud como en direccion. De igual manera, el par de torsion

en el extremo derecho del segmento debe actuar en la misma direccion en que giran

las manecillas de una reloj, con el resultado de que es negativa y esta, entonces, re-

presentada por direccion y magnitud por −M .

La ecuacion de onda transversal

El efecto de distorsionar la barra es producir no solo momentos de flexion sino

tambien fuerzas cortantes. Considerese una fuerza cortante hacia arriba Fy que actua

en el extremo izquierdo del segmento dx como positiva (Figura 2). Entonces, la fuerza

cortante asociada que actua en el extremo derecho del segmento debe estar dirigida

hacia abajo y en consecuencia es negativa. Cuando una barra flexionada esta en

condiciones de equilibrio estatico, los pares de torsion y las fuerzas cortantes que

actua en cualquier segmento deben estar relacionadas de tal manera que no produzcan

un momento de giro neto. Tomando momentos alrededor del extremo izquierdo del

segmento de la Figura 2.4, se tiene

Figura 2.4: Momentos de flexion y fuerza cortantes de una barra.

M(x)−M(x− dx) = Fy(x+ dx)dx (2.6)

Para segmentos de pequena longitud dx, M(x + dx) y Fy(x + dx) pueden ser

17

expandidas en series de expansiones de Taylor alrededor de x y esto da

Fy = −δM

δx= Y Sκ2 δ

3y

δx3(2.7)

donde se han omitido terminos de segundo orden en dx. Esta relacion entre la

fuerza cortante Fy y el momento de flexion M se ha derivado para una condicion de

equilibrio estatico. Para vibraciones transversales de una barra, el equilibrio es mas

bien dinamico y el lado derecho de 2.6 debe ser igual a la rapidez de aumento del

momentum angular, y 2.7 sirve como una aproximacion adecuada para la relacion

entre Fy y y. La fuerza neta hacia arriba que actua en el segmento dx esta dada por

dFy = Fy(x)− Fy(x+ dx) = −δFy

δxdx = −Y Sκ2 δ

4y

δx4dx (2.8)

Esta fuerza dara al segmento una aceleracion hacia arriba, y debido a que la masa

del segmento es ρSdx, la ecuacion del movimiento es

(ρSdx) δ2yδt2

= −Y Sκ2 δ4yδx4dx

o

δ2y

δt2= −κ2c2

δ4y

δx4(2.9)

donde c =√

Y/ρ, como para las ondas longitudinales. Una diferencia significativa

entre esta ecuacion diferencial y la ecuacion mas simple, para ondas transversales de

una cuerda, es la presencia de una derivada parcial de cuarto orden con respecto x, en

lugar de una segunda parcial. A consecuencia de esta diferencia, funciones de la forma

f(ct − x) no son soluciones de 2.9, un hecho que se puede mostrar por sustitucion

directa de f(ct − x) como supuesta solucion. Las ondas transversales no viajan a lo

largo de la barra con velocidad constante c y forma invariable.

Solucion a la ecuacion diferencial de las ondas transversales en las barras

Supongase que se puede resolver a 2.9 por separacion de variables, y se escribe el

desplazamiento trasversal complejo como

y = Ψ(x)ejωt

18

Al sustituir en 2.9, la funcion exponencial del tiempo se cancela, dejando una

nueva ecuacion diferencial total que implica a Ψ solo como funcion de x,

d4Ψdx4 = ω2

κ2c2Ψ

o haciendo

v =√ωcκ (2.10)

d4Ψ

dx4=

ω2

v2Ψ (2.11)

Supongase que ahora Ψ puede expresarse como una exponencial de la forma Ψ =

Aeγx. y sustituyase en 2.11

γ4 = (ω/v)4

Esto puede satisfacerse con 4 valores γ = ±ω/v,±jω/v. Entonces, la solucion

completa esta dada por la suma de estas cuatro soluciones

Ψ = Aeωx/v +Be−ωx/v +Cejωx/v +De−jωx/v

Donde A,B,C y D son constantes de amplitud compleja. La solucion para los

desplazamientos y es pues

y = ejωt(Aeωx/v +Be−ωx/v +Cejωx/v +De−jωx/v) (2.12)

Ninguno de los terminos individuales en 2.12 representa ondas que se mueven con

velocidad c. Por ejemplo, el ultimo termino representa una perturbacion ondulatoria

que se mueve con una velocidad de fase v, pero de 2.10 se ve que v es en sı misma una

funcion de la frecuencia, de tal manera que ondas de diferentes frecuencias viajan con

diferentes velocidades. En una onda compleja que contenga varias componentes de

frecuencia, las componentes de alta frecuencia viajan con velocidades mayores y, por

lo tanto, se adelantarıan a las de baja frecuencia, alterando ası la forma de onda. En

consecuencia, es difıcil dar una definicion precisa de lo que significa la velocidad de

tal onda. Sin embargo, cada componente de frecuencia de la onda compleja viaja a su

propia velocidad v, la llamada velocidad de fase de la componente. Esta situacion es

analoga a la transmision de la luz a traves del vidrio, donde las diferentes componentes

de frecuencia de un haz de luz compleja viajan con diferentes velocidades, y se origina

la dispersion. Una barra vibrante es un medio dispersivo para las ondas transversales.

19

La solucion de 2.9 es la parte real de 2.12. Puede obtenerse de una manera con-

veniente si se utilizan identidades hiperbolicas y trigonometricas.

y = cos(ωt+ ϕ)[A coshωx

v+B sinh

ωx

v+ C cos

ωx

v+D sin

ωx

v] (2.13)

donde A,B,C y D son constantes reales. Aun cuando estas constantes estan re-

lacionadas con las constantes complejas A,B,C y D, dichas relaciones no tienen

importancia ya que en la practica A,B,C y D se evaluan directamente mediante la

aplicacion de condiciones iniciales y de frontera.

Condiciones de Frontera de las barras

Puesto que 2.13 contiene el doble de condiciones iniciales que la ecuacion corres-

pondiente para las vibraciones transversales de una cuerda, la determinacion de estas

constantes requieren en doble de las condiciones de frontera. Esta necesidad se cum-

ple por la existencia de pares de condiciones de frontera en los extremos de la barra.

Las formas particulares de estas condiciones dependen de la naturaleza del soporte e

incluyen las siguientes:

1. Extremo prensado. Si el extremo de la barra esta rıgidamente prensado, tanto

el desplazamiento como la pendiente en el extremo deben ser cero todo el tiempo

t. Las condiciones de frontera son pues

y = 0 y δyδx

= 0

2. Extremo libre. En el extremo libre no puede haber ni un par de torsion externo

aplicado ni una fuerza cortante, y por lo tanto M y Fy son cero en un plano

localizado a una distancia infinitesimal del extremo. Sin embargo, el desplaza-

miento y la pendiente no estan restringidos excepto por la condicion general de

que sean pequenos. De 2.5 y 2.7, las condiciones de frontera son entonces

δ2yδx2 = 0 y δ3y

δx3 = 0

20

2.2.3. Ecuacion para calcular las frecuencias transversales enlas barras

Las condiciones de frontera satisfacen en x = 0 si A − C = 0 y B − D = 0. La

aplicacion de estas misma condiciones en x = L restringe las frecuencias permitidas

a aquellas que satisfacen

tan(ωL

2v) = ± tanh(

ωL

2v) (2.14)

Tomese en consideracion la Figura 2.5, se muestra que las frecuencias permitidas

estan dadas por los cruces de las dos funciones:

Figura 2.5: Curvas que muestras las funciones tangente y tangente hiperbolica.

fn =πcκ

8L2m2 (2.15)

Explicando las variables de la Ecuacion (2.15):

c = Velocidad de sonido en la barra.

L = Longitud de la barra.

κ = Radio de giro. En este caso se usa el radio de giro para un tubo. definido por:

κ =√a2+b2

2en donde a es el radio interior y b el radio exterior.

m = 3,0112, 5, 7, 9, 11, · · · , (2n+ 1) relacion de sobretonos.

21

2.2.4. Analisis de las frecuencias transversales permitidas enlas barras

Particularmente, se debe de observar la variable m. En la Ecuacion (2.15) los mo-

dos transversales (numero m) no son multiplos entre si. Sin embargo, incrementan a

una razon de (2n+ 1)2, es decir, 32, 52, 72, 92, ..., (2n+ 1)2.

Sobretonos Valor(m) Valor al cuadrado (m2)Fundamental 3,0112 9,067

1 5 252 7 493 9 814 11 1215 13 1696 15 225

Tabla 2.2: Valores de los primeros 6 sobretonos y su fundamental en las frecuenciastransversales de una barra.

En la Tabla 2.2 se puede observar un area sombreada perteneciente a los so-

bretonos 3, 4 y 5. Si se hace una relacion aritmetica entre dichos valores, se tiene

aproximadamente 2.0:2.98:4.17, los cuales estan muy cerca de una relacion 2:3:4.

Para explicar mejor lo que se quiere decir, se presenta un ejemplo. Un tubo per-

cutido arroja los valores de frecuencias que se muestran en la Tabla 2.3.

Sobretono Frecuencia[Hz] Relacion respecto a la FundamentalFundamental 97.7 1

1 263.7 2.732 513.2 5.313 841.6 8.74 1229 12.715 1695 15.536 2235.4 23.12

Tabla 2.3: Valores de los primeros 6 sobretonos y su fundamental de las frecuenciastransversales de un tubo de cobre de 1/2” de diametro y de 89 cm de longitud (Valoresreales arrojados al medir un tubo fabricado en esta tesis)

Lo primero que se confirma es que la relacion respecto a la fundamental no es en-

tera (como ya se habıa mostrado en la Tabla 2.2). Ahora, observese cuidadosamente

los valores de frecuencia sombreados, cuyos sobretonos son los que se han analizando

22

parrafos anteriores. Si se observa detenidamente, entre estos tres sobretonos existe

una relacion de 2:2.92:4.03, en donde es mas cercada aun de una relacion lineal de

2:3:4. Sin embargo, no aparece una frecuencia que refuerce su sonido, es decir una

frecuencia que funja de la fundamental de los aparentes 3 armonicos que aquı apare-

cen.

En este momento se hace una pausa en el analisis matematico, ya que es indis-

pensable pasar a un punto de vista psicoacustico.

2.3. Psicoacusticos

2.3.1. Tono virtual

Cuando el oıdo escucha un sonido que contiene armonicos enteros, es facil identi-

ficar el tono de su frecuencia fundamental, ya que esta sera el mınimo factor comun

de dichos armonicos. El oıdo identifica el tono de la frecuencia fundamental, aun si

esta es muy baja o no esta presente, si este ultimo caso se presenta, a la frecuencia

se le denomina ((Tono virtual)). Por ejemplo, si se escucharan frecuencias de 400, 600,

800 y 1000Hz, el tono percibido serıa de 200Hz.

Experimentos1 han demostrado que para un tono complejo en donde la frecuencia

fundamental esta por debajo de los 200Hz, la altura es determinada por el 5◦ y 6◦

armonico. Conforme incremente el valor de la frecuencia fundamental, el numero de

armonicos dominantes tiende a reducirse hasta que la fundamental misma es perci-

bida con gran intensidad, esto empieza a suceder aproximadamente a f0 =2500Hz y

superiores (Plomp, 1976).

Por otra parte, cuando se tiene o se genera un tono complejo, la determinacion del

tono es mas subjetiva. El oıdo aparentemente percibe una serie de armonicos exactos

en algun lugar muy cerca del rango audible2 y determina el tono segun el factor comun

en esta serie. [8, pag. 9] .

1Ver B.22Ver A.3

23

2.3.2. Estudio del sonido de las campanas tubulares (CT)

La composicion del sonido de una campana ((normal)), es especialmente compli-

cado, ya que consiste en un mezcla de una gran variedad de tonos individuales que

se escuchan a diferentes frecuencias a distintas sonoridades, con resonancias distin-

tas y duraciones de tiempo heterogeneas, es decir, es una mezcla de tonos. Muchos

de estos tonos individuales (sobretonos) no son armonicos. En este caso, el oıdo los

percibe como un sonido variable, en otras palabras, se tiene problema en elegir un

tono definido entre diferentes sonidos que se escuchan. Ademas, la intensidad de los

sobretonos puede exceder por mucho la de la frecuencia fundamental.

Por otra parte, en la percepcion del sonido de las CT, predominan dos impre-

siones diferentes: el tono de ataque, un sonido corto, fuerte y metalico como una

nota simple, y la resonancia, un tono largo y resonante a una sola frecuencia (la

fundamental). La nota de la CT es determinada por el tono de ataque. En contraste,

la nota percibida de un instrumento musical de cuerdas o de viento, es claramente

identificable y usualmente corresponde a la frecuencia de resonancia (la primera, la

fundamental).

Por lo tanto, estrictamente hablando, las CT ocupan una posicion en algun lugar

entre los instrumentos de percusion con tono definido y aquellos con tono indefinido.

Esto ha llegado a un desacuerdo sobre en que octava se encuentran en realidad las

CT. Algunos sostienen que la frecuencia de resonancia (que esta dos octavas abajo del

tono de ataque) es la nota real. Sin embargo, estudios han mostrado que el tono de

ataque (dos octavas arriba de la frecuencia fundamental) es la nota real (Ver seccion

B.2). Las notas de los tonos de ataque, las cuales se escriben en el pentagrama, por

lo tanto van anotadas de C4 a F5 en campanas tubulares de octava y media, o de F3

a F5 en un instrumento de dos octavas. [10] .

2.3.3. Las notas de los TM, relacion matematica y subjetiva

Retomando y relacionando la informacion de la seccion 2.2.4 y 2.3.1, se puede

observar que el proposito del trabajo es enfocarse en estos conceptos principalmente,

pero ademas, estos conceptos son de suma importancia para el principal problemas:

la afinacion.

24

Recordando la relacion de los sobretonos 3,4 y 5; y siguiendo con el analisis de las

frecuencias de la Tabla 2.3, se puede observar que el Tono virtual del tubo cuyos

valores se muestran en dicha tabla es el correspondiente a 420.8 Hz.

Ahora bien, en la seccion anterior 2.3.2, se menciona como se obtiene el tono de

una campana de carillon (CC) y una campana tubular (CT), ademas se hace mencion

a un tono de ataque y una resonancia.

En la tabla 2.4 se muestran las relaciones de los sobretonos de una CC y una CT

afinadas a la misma nota, en este caso un G4. Esta nota en la CC se encuentra en un

sobretono que confirma su existencia (1er sobretono), sin embargo, en la CT dicha

nota es una percepcion subjetiva, es decir es un Tono virtual.

Sobretonos (n) CT CCFundamental 0,23 0,5

1 0,63 12 1,22 1,2

(1,5)3 2 2

(2,5)4 2,93 35 4,01 46 5,21 5,33

Tabla 2.4: Relacion de los modos de frecuencia de un tubo y una campana de carillon.Son comparados con un tono de 393 Hz, es decir un G4. (Rossing 1976)

Por lo tanto, se concluye que: el tono de las CT es definido por los sobretonos 3,4

y 5, a los cuales se les llama ((Tono de ataque)), que a su vez son armonicos de dicho

((Tono virtual)).

Como dato extra, se observa la razon por la cual el sonido del tubo y el de

una campana de carillon son muy parecidos.

25

Capıtulo 3

Diseno

En este capıtulo se realiza una descripcion muy general, acerca de como estan

hechos los TM. Igualmente, se justifican algunas caracterısticas de los TM, explicando

ası, por que se seleccionan y que beneficios traen consigo. Un caso muy particular es

el tipo de montaje, ya que en esta seccion, se explica la solucion a un problema que es

planteado en los capıtulos siguientes, sobre todo en el capıtulo de afinacion (Cap5).

3.1. Montaje de los TM

Son varias maneras en como se pueden montar los tubos, pero en este trabajo se

hace colgandolos. Tambien hay varias maneras de como se puede colgar un tubo, por

ejemplo, se puede perforar este para pasar un hilo a traves del orificio y ası quede

suspendido por el hilo (tipo carillones de viento1).

Cuando se investiga un poco sobre los instrumentos musicales de percusion (IMP),

se observa que uno de ellos, ya mencionado en el capıtulo 1(Cap1), son las CT, las

cuales penden de forma vertical y se sostienen de una varilla que pasa por un extremo

del tubo, el cual a su vez tiene un tapon de metal en el mismo extremo. Dicho tapon

sirve como un elemento que ayuda a afinar al instrumento. Por lo tanto, con los TM

se pretende hacer algo similar, pero de la siguiente forma:

1. Primero se calcula la longitud del tubo para la frecuencia deseada.

2. Despues se corta el tubo a dicha longitud.

3. Y Finalmente se pone cinta de aislar en un extremo del tubo para pegar un

1Ver Anexo 1

26

trozo de hilo, esto hace que quede colgado el tubo.2

Las ventajas y desventajas de este procedimiento son:

Ventajas : Es un procedimiento sencillo y el sonido es ((claro)) (se reducen sobretonos

mas altos). Los sobretonos que mas importan (3◦,4◦ y 5◦) estan presentes aun y

poseen buena energıa. El sonido es ((limpio)), es decir no se producen batimientos

ya que no se hace ningun tipo de perforacion al tubo y por o tanto no existe

riesgo de que cambie el sonido. Ademas, a traves de la cinta se puede afinar

el instrumento sin necesidad de hacer muchas modificaciones (Ver Cap5). La

estabilidad al colgarlo es muy buena, ya que al tocar un tubo casi no se balancea.

Y por ultimo, al percutir el tubo, este produce un mejor sonido, ya que la misma

cinta ayuda al sonido del instrumento cuando este se toca resultado el sonido

es mas agradable y menos confuso, ası que el tono se puede definir con menos

complicaciones.

Desventajas : El mantenimiento debe ser constante, ya que el peso del tubo hace

que la cinta se despegue.

Es evidente que este metodo es una de las mejores propuestas, y ademas se di-

seno para este trabajo en special, ya que actualmente no existe algun instrumento

parecido que analice y describa este tipo de montaje, sin embargo se tuvieron muchas

referencias para justificarlo y deducir su porque (tipo de montajes para campanillas

chinas [5] , explicacion de pesos en campanas tubulares [9] y afinacion y batimientos

debido a imperfecciones en las campanas [9]).

3.2. Material

En lo que respecta al material, los tubos musicales estan fabricados con tubos

de cobre (Cu) tipo N3, los cuales tienen un diametro exterior de 15,87mm (12”) con

una pared de 0,53mm de espesor. Estos se pueden encontrar en las instalaciones

hidraulicas de cualquier hogar, por lo que es mas facil de adquirir que otros.

2NOTA: Esta misma cinta puede ayudar a la afinacion del mismo, como pasa en el caso del taponen las CT

3Segun la norma mexicana NMX-W-160-SCFI-2006

27

El cobre posee una sonoridad muy buena y en la actualidad se utilizan los tubos

hechos con este material para la fabricacion de carillones de viento o mejor conocidos

como campanillas chinas, ası como los chimes tree o mas conocidos por campanillas

musicales. Todos estos instrumentos y objetos musicales generalmente emplean tubos

de cobre con diametros muy pequenos (menores a 1cm) y longitudes cortas (menores

de 30 cm).

Por estas razones principalmente se elige a este material para la fabricacion de los

TM. En resumen, es un material muy economico, de facil adquisicion y con buena

sonoridad.

3.3. Tonalidad y escalas de los tubos musicales

La forma en como se calculan las notas de los TM es usando el Tono de ataque,

igual que como las CT, proceso en el cual interviene el fenomeno de Tono virtual.

Se elige la tonalidad de A♭ Mayor para los TM, los sonidos producidos por esta

escala generan una sensacion de paz y de serenidad. Esta escala fue muy utilizada

por Franz Schubert, y algunas obras de piano de Frederic Chopin.

Entonces, al tomar en cuenta la frecuencia de referencia A4 = 440Hz, se calculan

las demas notas, quedando ası los valores que se muestran en la Tabla 3.1.

Estos valores se calculan a partir de las frecuencias en la escala de A♭ Mayor, el

cual sera el tono virtual. Recuerdese que en este caso los que se denominan 2do, 3ro y

4to armonicos en verdad son el 3er,4to y 5to sobretonos que general tubo percutido.

Tono virtual Frecuencia 2do Armonico 3er Armonico 4to ArmonicoA♭ 4 415.3 830.6 1245.9 1661.2B♭ 4 466.2 932.4 1398.6 1864.8C5 523.3 1046.6 1569.9 2039.2D♭ 5 554.4 1108.80 1663.2 2216.7E♭ 5 622.3 1244.60 1866.9 2489.2F5 698.5 1397 2095.5 2794G5 784 1568 2352 3136A♭ 5 830.6 1661.2 2491.8 3322.4

Tabla 3.1: Frecuencias necesarias para la fabricacion y afinacion de los TM. Todos losvalores estan dados en Hz

Con esta tabla se calculan las longitudes de los tubos. En la seccion 4.2 se explica el

28

procedimiento. De igual manera, esta tabla sirve como guıa para afinar el instrumento

(Ver seccion 5.1).

3.4. Ejecucion

Es importante saber el lugar preciso en donde se debe de tocar el tubo musical,

es decir no todo el tubo se escucha igual si se toca en diferentes puntos, siempre

dependera de donde y como se toque.

Tomando en cuenta el montaje que ha de tener el tubo, el mejor lugar para tocarlo

es la parte superior de este, es decir en el lugar donde se ubica uno de los antinodos,

ademas recuerdese que la cinta ayuda con el sonido.

Observando la Figura 3.1 se puede apreciar que en los extremos del tubo se en-

cuetra un punto de mınima presion, es decir que hay movimiento para todas las

frecuencias de vibracion transversales existentes en el tubo y por lo tanto se pueden

exitar a todas y cada una de ellas golpeando en esta parte.

Figura 3.1: Modos de vibracion transversal en barra de marimba (estos son muyparecidos al de un tubo).

Elemento de excitacion

El sonido del tubo tambien depende en gran parte de como se percute, es decir

que baqueta, martillo o que otro elemento puede ser utilizado.

En el caso del instrumento que aquı se fabrica, se probaron varios objetos siendo

el mango de un cepillo dental con goma uno de los mejores elementos encontrados

(Ver seccion B).

29

Capıtulo 4

Construccion

En este capıtulo se describe el procedimiento de construccion de los TM. Siguien-

do con el enfoque significativo en la informacion contenida en cada capıtulo, en este,

se explica mas a detalle de donde surge la necesidad de utilizar el tipo de monta-

je mencionado en el Cap3. Con lo anterior, se da informacion que puede servir de

introduccion a la parte de afinacion (Cap5).

4.1. Materiales y herramientas

Antes de cualquier cosa, se debe tener el material a emplear, listo. Se puede conse-

guir facilmente, ya que en cualquier tlapaleria o ferreteria son comunes de encontrar.

A continuacion se describe la lista de los elementos empleados:

Herramientas:

1. Flexometro.

2. Regla de 30 cm.

3. Calibrador Vernier (con medidas en S.I. preferentemente) con un nonio1 de 10

divisiones.

4. Cortador de tubos para medidas de 18in a 5

8in. de diametro.

Material:

1. Un tubo de cobre de 6m (generalmente se venden de esta medida) para insta-

laciones hidraulicas, tipo N. Es facil de identificar, ya que tiene una leyenda o

marca en rojo sobre el tubo.

1Ver Glosario

30

2. Hilo Nylon.

3. Cinta de aislar.

4. Lima para metales blandos. Se recomienda que sea lima entrefina.

5. Lija fina para metal. Se recomiendan que sean de un numero mayor de 400 por

ejemplo, solo para el acabado.

4.2. Calculos

1. Lo primero que se debe de hacer, es obtener la velocidad del sonido c en el

cobre. Recordando que para el calculo de la velocidad del sonido en un material

intervienen el modulo de young (Y ) y la densidad del material (ρ), entonces se

deben de conocer estos dos datos.

Modulo de Young 12,2x1010Pa

Densidad volumetrica 8900 Kgm3

Velocidad del sonido en una barra aprox. 3702.41 mseg

Tabla 4.1: Valores de magnitudes fısicas del cobre. [7, pag. 570]

2. En seguida se calcula el radio de giro tomando en cuenta el radio exterior e

interior del tubo. Para esto, es necesario medir los diametros con un calibrador

vernier2. En este caso, la formula para calcular el radio de giro de un tubo es:

κ =√a2+b2

2(es importante recalcar que esta formula utiliza el radio y no el

diametro). En este caso, los valores arrojados para los tubos empleados son:

Diametro exterior 15.8 mm Radio exterior 7.9 mmDiametro interior 15.1 mm Radio interior 7.55 mmκ 5,4638x10−3 mm

Tabla 4.2: Radios de los TM y valor del radio de giro κ.

3. Posteriormente se despeja la longitud de la ecuacion de frecuencia de vibracion

transversal en barras con los extremos libres (2.15), quedando ası la Ecuacion

2Ver Anexo A.4

31

4.1.

L =

√πcκ

8fnm (4.1)

4. Finalmente todos los datos anteriores se sustituyen en la ecuacion 4.1. De la

Tabla 4.3, se deben considerar las frecuencias en el area sombreada, es decir, el

segundo armonico, ya que este es el que se utiliza para definir al tono virtual.

Observese entonces que el valor de m en la ecuacion tomara el valor de m = 9,

por ser el valor en la formula al que pertenece el 3er sobretono, mismo que para

el tono virtual sera el 2do armonico (ver seccion 2.2.4).

Por lo tanto, los datos que arrojan estos procedimientos son los mostrados en la

Tabla 4.3.

Tono virtual Frecuencia[Hz] 2do Armonico[Hz] Longitud teorica[cm]A♭ 4 415.3 830.3 88.27B♭ 4 466.2 932.4 83.31C5 523.3 1046.6 78.63D♭ 5 554.4 1108.80 76.40E♭ 5 622.3 1244.60 72.11F5 698.5 1397 68.06G5 784 1568 64.24A♭ 5 830.6 1661.2 62.41

Tabla 4.3: Resultados de longitudes a partir de las frecuencias propuestas para elinstrumento.

Una vez obtenidas las longitudes que tendra cada tubo, se procede a cortarlos.

Se debe mencionar que los tubos fueron cortados tomando en cuenta una pequena

tolerancia, es decir, se cortan un poco mas largos con respecto a lo que se obtuvo en

los calculos. Lo anterior se hizo con el fin de prever un pequeno margen de error en

los calculos; como en los tubos la frecuencia va bajando con forme estos se hacen mas

grandes, si un tubo da una frecuencia mas alta de la calculada, el tubo ya no se podrıa

afinar. Sin embargo, aun tomando en cuenta lo anterior, las longitudes calculadas

para generar las frecuencias deseadas, difieren con los valores reales. Vease la Tabla

4.4

Las mediciones de las frecuencias se toman con un programa que tiene una funcion

especial de analizador de espectros - Realtime Analyzer [RA] version 5,1,0,10. de la

32

companıa YMEC. - con los siguientes parametros: Resolucion de frecuencia entre

muestras = 0.73 Hz y tiempo = 170.7 ms (Sampling Rate: 48.000 Hz., FFT Size:

65536 obteniendose ası los resultados del Cuadro 4.4).

De esto se puede observar que, las frecuencias tienen una tolerancia de ±0,73Hz.

Longitud real[cm] 2do armonico[Hz] 3er armonico[Hz] 4to armonico[Hz]89 841.6 1229 169584 938.2 1385.7 190579 1062 1562.3 2148.976.7 1122.8 1653.8 2269.872.4 1259 1850.8 2535.668.4 1394.5 2046.4 2799.364.4 1565.2 2294.7 3131.162.7 1648.9 2411.9 3287.1

Tabla 4.4: Valores reales antes de afinar los TM

Observese de la Tabla 4.4 que las frecuencias de los tubos reales son mayores

a las calculadas en la Tabla 4.3. Por lo tanto, se puede concluir que los calculos

con respecto a la experimentacion tienen cierto margen de error, ya que los tubos

adecuados tendrıan que ser mas largos que el valor de los tubos reales y obviamente

mucho mas que los calculados, ası que, si se hubiera optado por hacerlos exactamente

con las longitudes teoricas, el tubo habrıa resultado mas pequeno y a su vez mas

inexacto en cuando a las frecuencias arrojadas.

Dada la discrepancia entre los valores teoricos y experimentales, y que los tubos

solo se pueden afinar cortandolos, lijandolos o haciendo su superficie mas homogenea

(metodo que resulta poco practico), se analiza otra opcion, para no desperdiciar el

material ya empleado: se aumenta su masa.

Se adhiere cinta de aislar en los extremos del tubo para aumentar su

masa y baje su frecuencia(Ver Cap5). Observese que este es el metodo que emplean

las CT, pero estas mismas emplean un tapon de metal ubicado en uno de sus extremos.

4.3. Procedimiento del Montaje

A continuacion se describe el procedimiento del montaje de los tubos, muchos de

estos pasos se apoyan en imagenes para una mas facil comprension y agil construccion.

33

1. Primero, con el cortador de tubos3, se divide el tubo de 6m (tal y como se

adquiere) a las medidas que se han calculado. A conveniencia, solo se corta

el primer tubo y sobre este se realiza todo el procedimiento4. Al terminar de

realizar la construccion de este tubo se fabrican los demas.

2. Despues se toma el hilo nylon y se corta un pedazo de 10cm. Ya que todos los

tubos son del mismo radio no es necesario cortar a una medida especıfica para

cada tubo.

3. A continuacion se coloca la cinta alrededor del tubo. El pedazo de cinta debe

de ser aproximadamente de 10cm, suficiente para darle 2 vueltas al diametro

del tubo 5. La figura 4.1 muestran el procedimiento.

Figura 4.1: Modo de armar los tubos. a) Vista 3D de un lado del tubo. b) Vista frontalcon medidas.

4. Los pasos anteriores se deben realizar para cada uno de los tubos.

Como se puede observar en la figura 4.1 se tienen las medidas que se dejan en el hilo

por encima del tubo para colgarlo. Para todos los tubos es el mismo procedimiento.

Ası los tubos quedan como se observa en la figura 4.3

3Ver Anexo A.44Esto quiere decir que se puede fabricar el primer tubo para hacer pruebas con el y ası sucesiva-

mente con los demas.5Esto puede variar en el proceso de afinacion

34

Figura 4.2: Poniendo la cinta con el hilo nylon al tubo.

Figura 4.3: Octava de los TM.

35

Capıtulo 5

Afinacion

En este ultimo capıtulo se describe el procedimiento de ajuste de frecuencias

de los TM. A traves del montaje con la cinta y las tablas que se han mostrado

haciendo referencia a algunos armonicos y el tono virtual, se afinan los TM. Se van

enlazando tablas que contienen las frecuencias de los TM antes, durante y despues de

su afinacion, para que con imagenes y procedimientos se observe de forma detallada,

como se llega al resultado esperado.

5.1. Mediciones previas

En primer lugar, ya hechos los tubos como fue indicado en el Cap4, lo primero

que se hace es medir dichos tubos. Todas las mediciones deben de ser hechas en un

lugar controlado, alejado del ruido ambiental para que no afecten los resultados de las

mediciones, en este caso se utilizo una pequena camara anecoica1. El procedimiento

es el siguiente:

1. Se cuelgan los tubos. Con la ayuda de la primera porcion de cinta de aislar, los

TM se cuelgan en algun lugar fijo mientras se percuten y se toma su medicion.

2. En una laptop, en este caso con el microfono integrado sobre la pantalla2, se

prepara el programa especial que contiene el analizador de espectros. En el

Realtime Analyzer [RA] version 5,1,0,10. se ajustan los siguientes parametros:

resolucion de frecuencia entre muestras = 0.73 Hz y tiempo entre cada muestra

= 170.7 ms (Sampling Rate: 48.000 Hz., FFT Size: 65536 muestras).

1Ubicada en las instalaciones de la academia de acustica en la ESIME unidad Zacatenco del IPN2Calibrado con un diapason de 440Hz

36

3. Una vez colgado el tubo y preparado el programa, el tubo se toca del extremo

con cinta, con la baqueta de goma (mango de goma de un cepillo dental).

Finalmente los resultados del procedimiento anterior arrojan los resultados de la

Tabla 5.1.

Longitud[cm] Frec. Fund.[Hz] 1er St 2do St 3er St 4to St 5to St 6to St89 96.7 263.7 513.4 841.6 1229 1695 2235.484 107.7 294.4 572.8 938.2 1385.7 1905.8 2495.479 122.3 334 648.9 1062 1562.3 2148.9 2811.876.7 129.6 353 684.8 1122.8 1653.8 2269.8 2963.472.4 145.8 397.7 772.7 1259 1850.8 2535.6 3301.868.4 161.9 441.7 856.9 1394.5 2046.4 2799.3 3642.364.4 181.6 496.6 960.9 1565.2 2294.7 3131.1 4061.362.7 191.9 521.5 1013.7 1648.9 2411.9 3287.1 4242.2

Tabla 5.1: Valores medidos de los primeros tubos, donde St = Sobretono(medidos enHz)

El analisis de los resultados de la Tabla 5.1 comparados con los esperados (teori-

cos), ya se han mencionado en la seccion 4.2. Comparese el area sombreada de la

Tabla 5.1 y los valores de la Tabla 4.4, se puede observar que son los mismos simple-

mente que en una se mencionan los sobretonos del sonido de un tubo, y en la otra los

valores se tratan como la relacion del tono virtual, en armonicos.

5.2. Ajuste de frecuencias de los TM a los tonos

virtuales

Siguiendo con la Tabla 5.1, los valores sombreados se tiene que modificar para

quedar como la siguiente Tabla:

Por lo tanto, se procede a ajustar los primeros tubos (Tabla 5.1) para que queden

lo mas proximo a los valores de la Tabla 5.2. El procedimiento se explica con algunas

imagenes a continuacion:

1. Se corta un pedazo de cinta de aislar de aproximadamente 10 cm, se pega en

la parte de abajo del tubo y se toma la medicion. Si el valor de la frecuencia

aun no es el adecuado o el correcto, se pone otro pedazo de cinta. NO se debe

exagerar la cantidad de cinta, por lo menos no es recomendable poner mas de

37

Longitud[cm] Nota Tono virtual [Hz] Frec.1 [Hz] Frec.2 [Hz] Frec.3 [Hz]89 A♭ 4 415.3 830.3 1245.9 1661.284 B♭ 4 466.2 932.4 1398.6 1864.879 C5 523.3 1046.6 1569.9 2039.276.7 D♭ 5 554.4 1108.80 1663.2 2216.772.4 E♭ 5 622.3 1244.60 1866.9 2489.268.4 F5 698.5 1397 2095.5 279464.4 G5 784 1568 2352 313662.7 A♭ 5 830.6 1661.2 2491.8 3322.4

Tabla 5.2: Valores ideales para los TM (Tabla de afinacion). Donde Tono virtual =1er armonico(percepcion), Frec.1 = 3er sobretono del tubo/2do armonico del tonovirtual, Frec.2 = 4to sobretono del tubo/3er armonico del tono virtual, Frec.3 = 5tosobretono del tubo/4to armonico del tono virtual

30 cm de cinta a cada tubo y se debe tener mayor cuidado con los tubos mas

pequenos, ya que estos tienden a amortiguar su sonido aun mas rapido.

Figura 5.1: Vista de los tubos pertenecientes a D♭ y E♭ con cinta en la parte inferior.

2. Si en la medicion, la frecuencia aun esta muy alta, se pone otra capa de cinta

en la parte superior del tubo, por encima de donde ya se ha puesto la cinta que

sostiene al hilo.

3. Finalmente, algunos tubos (en especial los mas pequenos) no necesitan tanta

cinta, como es el caso de los ultimos tubos que componen los TM (G5 y A♭ 5),

los cuales simplemente necesitan la cinta de la parte superior.

Ası, con el desarrollo del procedimiento anterior, los TM finalmente quedan con

las siguientes frecuencias:

38

Figura 5.2: Vista de los TB con cinta en la parte superior.

Figura 5.3: Vista de los TM con cinta en la parte inferior.

Y por ultimo, en la Tabla 5.4 se observan las relaciones de las frecuencias afinadas

de la Tabla 5.3 con respecto a su Tono virtual.

Comparese los valores de la Tabla 5.4, con la Tabla 2.4, la cual se muestra en el

Cap2.

Por lo tanto, se puede observar que estos valores se consideran aceptables, ademas

de que los resultados esperados se obtienen satisfactoriamente. Sumado a esto, cuando

se escucha un TM, este produce un sonido bastante agradable.

5.3. Evitar los sonidos intermitentes

Otro aspecto que interviene en la afinacion de los TM, no solo es de llegar a la

frecuencia calculada o de diseno, sino tambien es en tener en consideracion ciertos

puntos acerca de su sonido, tal como estar libre de batimientos (sonidos intermitentes)

causado por frecuencias que estan muy cercanas entre si. Los batimientos aparecen

39

Nota del TM Tono virtual [Hz] Frec.1 [Hz] Frec.2 [Hz] Frec.3 [Hz]A♭ 4 415.3 830.3 1245.9 1661.2

Con afinacion 832 1231 1698B♭ 4 466.2 932.4 1398.6 1864.8

Con afinacion 932 1375 1894C5 523.3 1046.6 1569.9 2039.2

Con afinacion 1046 1544 2124D♭ 5 554.4 1108.80 1663.2 2216.7

Con afinacion 1110 1638 2251E♭ 5 622.3 1244.60 1866.9 2489.2

Con afinacion 1244 1829 2507F5 698.5 1397 2095.5 2794

Con afinacion 1397 2053 2807G5 784 1568 2352 3136

Con afinacion 1569 2296 3135A♭ 5 830.6 1661.2 2491.8 3322.4

Con afinacion 1660 2429 3295

Tabla 5.3: Valores ajustados para los TM. Donde Tono virtual = 1er armoni-co(percepcion), Frec.1 = 3er sobretono del tubo/2do armonico del tono virtual, Frec.2= 4to sobretono del tubo/3er armonico del tono virtual, Frec.3 = 5to sobretono deltubo/4to armonico del tono virtual

Nota Tono virtual [Hz] Frec.1 Frec.2 Frec.3A♭ 4 415.3 2.00 2.96 4.09B♭ 4 466.2 2.00 2.95 4.06C5 523.3 2.00 2.95 4.06D♭ 5 554.4 2.00 2.95 4.06E♭ 5 622.3 2.00 2.94 4.03F5 698.5 2.00 2.94 4.02G5 784 2.00 2.93 4.00A♭ 5 830.6 2.00 2.92 3.97

Tabla 5.4: Relacion de cada frecuencia con respecto al tono de cada TM. Donde Tonovirtual = 1er armonico(percepcion), Frec.1 = 3er sobretono del tubo/2do armonicodel tono virtual, Frec.2 = 4to sobretono del tubo/3er armonico del tono virtual, Frec.3= 5to sobretono del tubo/4to armonico del tono virtual

cuando un tubo no esta perfectamente redondo o su grosor a lo largo no es uniforme,

si este es el caso, puede afinarse haciendo mas delgada su pared lijandolo y compro-

bar que no tiene ((rebaba)) o imperfecciones. En este caso se lijan solo las pequenas

imperfecciones que se encuentran en los extremos de tubo, es decir, los residuos que

sobran al momento de cortar el tubo. Esto solo se debe realizar si se presenta el

fenomeno mencionado anteriormente. En algunos casos extremos se puede considerar

hasta cortar el tubo, pero en dicho caso, es error de diseno.

40

Estudio economicoEsta parte de la tesis trata de mostrar un enfoque economico sobre la viabilidad

del proyecto.

Dado que el objetivo del proyecto no es lucrativo o no trata de comercializar y

manufacturar dicho instrumento musical, solo se da una breve referencia hacia los

costos que involucra realizar esta investigacion. Debe de recordarse que el fin del

proyecto es didactico y de caracter informativo y accesible a todo tipo de publico, se

repite, no trata de sacar ningun beneficio lucrativo y/o monetario.

Como el prototipo de los TM puede servir como metodo para estudiar los fenome-

nos y conceptos que se mencionan en la tesis, resulta ser muy practica y economica

su elaboracion.

No se toma en cuenta la mano de obra, ni algunos aparatos electronicos, tales

como computadoras portatiles y microfonos.

Todos los costos se manejan en Pesos Mexicanos con un valor adquisitivo para

el periodo del mes de Mayo del 2013. Una equivalencia para darse una idea en este

entonces es de 1 USD = $12.00 MXN3. Otro factor para considerar el valor del peso

mexicano es el precio del Diesel en el pais, que para este mes es de = $11.72.

En la Tabla 5.5 se dan los precios de los materiales (materia prima) y herramientas

utilizadas en el proyecto.

Elemento PrecioHerramientas Cortado de tubos 1/8”− 5/8”∅ $82,50

Calibrador Vernier $51,00Flexometro (3m) $44,00

Materiales Tubo de Cobre (6m) $249,00Cinta de aislar (chica) $9,00Hilo nylon (carrete) $15,00Lima entrefina plana $30,00Lijas (No. 180 y 320) $5,00 c/uTOTAL $490,50

Tabla 5.5:

Como ya se ha mencionado en el Cap4, seccion 4.1, todos estos materiales se

3http://www.dolar.mx/

41

pueden conseguir en una tlapaleria y/o ferreteria, en la ciudad de Mexico. En este

caso, los precios son tomados en el municipio de Ecatepec de Morelos, Edo. de Mexico.

Aquı solo faltarıa mencionar el equipo portatil que se utiliza, en este caso es una

notebook hp pavillion dv4-1129la, con procesador Intel Core DUO 2GHz., y una

memoria RAM de de 4GB, que para estas fechas se ha devaluado bastante (Aprox.

$8000.00), dejando su precio en un aproximado de $7000.00

Para el software utilizado simplemente hay que adquirir una licencia. El software

es creado por YMEC (Copyright c⃝ 2007-2010 Y Store managed by Harrison invest-

ment Inc. and Y Works inc.), la cual es parte de la Association of Shareware Profes-

sionals siendo un Developer Member, junto con la Educational Software Cooperative

y miembro de la Acoustic Society of America y la Audio Engineering Society.

Actualmente las licencias para utilizar los softwares de medicion que YMEC ma-

neja, oscilan alrededor de los $330.00 USD por un producto profesional con todos

los componentes de software, obviamente su costo se reduce al ir adquiriendo mas

licencias.

Solo para terminar, se concluye que este proyecto consigue dar a conocer un pro-

totipo de un instrumento musical, el cual puede ser fabricado a bajo costo, ya que los

instrumentos profesionales van mas alla de los $10,000. Aunque, se han encontrado

precios para algunos tubos artesanales, los cuales se comercializan y su precio oscila

entre $200 la pieza hasta $1200 un juego de siete tubos. 4

4http : //alternativaexpress.com.ar/Campanastubulares.html.Consultadoel09deMayodel2013.

42

Φ

43

ConclusionesEsta tesis presento un enfoque de como hacer un instrumento de percusion a traves

de una metodologıa de ingenierıa. Con ayuda de investigaciones, desde los conceptos

mas basicos hasta los mas complejos, se puede fabricar un instrumento bien sustentado

en bases teoricas. Ademas, con el respaldo de experimentos realizados que comprueban

dichos conceptos estudiados, el instrumento musical adquiere mayor validez, calidad

y credibilidad. Todo esto en conjunto, y con el producto final produciendo un sonido

agradable para el auditorio, comprueba que un instrumento puede ser fabricado con

esta metodologıa, siendo factible y obteniendo resultados sumamente favorables.

Esta tesis muestra todo un compendio de elementos que se deben tomar en cuenta

a lo largo del diseno, construccion y afinacion de los instrumentos musicales, ya que

no solo obteniendo una formula y calculando sus parametros se puede llegar a una

conclusion de obtener un instrumento musical; no solo midiendo se puede en verdad

saber y asegurar que un instrumento musical esta ya afinado, y no solo obteniendo

los mejores materiales se puede hacer musica. Esta tesis demuestra que la ingenierıa

necesita tambien de los seres humanos, no solo para fabricar herramientas y maqui-

nas, sino tambien para contribuir con el enriquecimiento y el optimo desempeno del

prototipo creado.

Una vez mas se comprueba que las matematicas estan en la naturaleza. No so-

lo son temas abstractos que se encuentran en libros y cuadernos descansando en el

olvido, sino en verdad, este trabajo prueba que a traves de las matematicas se pue-

de describir cualquier patron y fenomeno de la naturaleza, como se describen, con

formulas matematicas, las vibraciones de los tubos musicales.

Una vez mas, con base en experimentos en los cuales un humano es el ultimo

eslabon para definir los resultados, se verifican fenomenos matematicos como lo es

el tono virtual. Existen los instrumentos de medicion, los cuales indican resultados

de mediciones fısicas tal vez previstas, pero esta tesis comprueba que no bastan las

mediciones para saber los resultados. Las mediciones son solo otro sustento fısico,

sin embargo, el ser humano es el que tiene la ultima palabra. Ya que recordando

las mediciones realizadas para comprobar el fenomeno del tono de ataque, se dan

resultados que tal vez no convenzan a muchos, pero finalmente al escuchar el sonido

44

que emiten los Tubos musicales, uno puede notar y maravillarse de la percepcion que

puede tener el cerebro humano.

Finalmente, en esta tesis se demuestra que no es necesario una solucion muy ela-

borada para reducir varios problemas, sino simplemente con la correcta comprension

de conceptos basicos se pueden solucionar grandes problemas. Resultado de ello es el

montaje que se trabaja, ya que con solo un elemento como es la cinta de aislar, se

pueden resolver problemas de montaje, afinacion, sonido, estabilidad y con un costo

muy reducido, comprobandose ademas resultados aceptables.

Quedan pendientes de tratar algunas cuestiones, tales como: el estudio de otros

materiales para fabricar instrumentos de percusion, mediciones de homogeneidad y

pureza en los materiales, patrones de radiacion y vibracion en los tubos, patrones de

comportamiento y variaciones en los calculos dependiendo de diferentes longitudes y

grosores de tubos, y sobre todo el mas interesante (por lo menos para el autor de

esta tesis) el estudio de las reacciones psicologicas en el comportamiento humano,

utilizando los distintos sonidos de las percusiones.

45

Φ

46

Bibliografıa

[1] A.P. French, (1982), Vibraciones y Ondas. Massachusetts Institute of Technology:Reverte.

[2] Cabrera Rodriguez, Gustavo Eduardo (2011) Tesis de Ingenierıa. .El carillon delInstiuto Politecnico Nacional” ESIME Zacatenco, Mexico D.F. P.14

[3] Stumpf, F.B. (1981) Analytical Acoustics (2nd printing). ANN ARBOR SCIEN-CE

[4] Harry f. Olson (1967) Music, Physics and Engineering (Nueva edicion). DoverPublications, Inc. p.38

[5] Hite, Lee, (2012). An Engineering Approach to Wind Chime De-sign by Hite Lee. Seccion Tuning: Location for chime tube mechani-cal support.. Loveland, Ohio, USA. Extraıdo el 30 de Abril, 2012 dehttp://home.fuse.net/engineering/Chimes.htm (p: 55)

[6] Sen, S. N. (Professor) (1990) Acoustic waves and oscillations. John Wiley & Sons

[7] Kinsler,L.E., Frey, A.R., Coppens, A.B., Sanders, J.V. (1999) Fundamentos deAcustica (4a reimpresion). Mexico: Limusa (p: 31)

[8] Rosssing, Thomas D. (2000/2005), Science of percussion instruments (Reimpre-sion). Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., P.9 (p: 23)

[9] Rossing, Thomas D. (1990), The Science of Sound (2a Edicion). Universidad deMichigan: Addison-Wesley Pub. Co. P.257 (p: 12)

[10] Vienna Symphonic Library. http://www.vsl.co.at/en/70/3196/3216/3217/5823.vslEnero 2013 (p: 57)

[11] Bibliografıa del artıculo en http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica:Eugenio Trıas (2007). El canto de las sirenas: argumentos musicales. GalaxiaGutenberg. ISBN 978-84-8109-701-6.Ulrich Michels (1985). Atlas de musica. Alianza Editorial. ISBN 84-206-6999-7.Peter Kivy (2001). Nuevos ensayos sobre la comprension musical. Paidos. ISBN978-84-493-1742-2.Aaron Copland. Como escuchar musica. Fondo de Cultura Economica. ISBN 13:9789681641511. Fecha de consulta: 30 de Mayo 2012.

47

Φ

48

Apendice A

Material extra

A.1. Desarrollando la solucion de la ecuacion de

las ondas transversales en las barras.

Del analisis del movimiento en una barra, la ecuacion para las ondas transversales

en las barras es la siguiente:

∂4y

∂x4= − 1

v2κ2

∂2y

∂t2(A.1)

siendo v =√

Yρ. La solucion general para este tipo de ecuaciones es:

y = Ψ(x)ejωt (A.2)

Aplicando la Ec. A.2 a la Ec. A.1:

Segunda derivada de y con respecto a t: ∂2y∂t2

∂Ψ(x)∂t

ejωt = jωΨ(x)ejωt

∂2Ψ(x)∂t2

ejωt = j2ω2Ψ(x)ejωt = −ω2Ψ(x)ejωt

de la misma manera, la cuarta derivada de y con respecto a x:

∂4y∂x4 = ∂4Ψ

∂x4 ejωt

Ahora se sustituyen las derivadas en la Ec. A.1:

∂4Ψ

∂x4=

ω2

v2κ2Ψ (A.3)

Haciendo c =√ωvκ, la Ec. A.3 se convierte en:

∂4Ψ

∂x4=

ω2

c2Ψ (A.4)

49

Asumiendo que Ψ(x) = Aeγx y sustituyendo en Ec. A.4:

∂4Ψ∂x4 = γ4Aeγx

γ4(Aeγx) = ω4

c4(Aeγx)

Por lo tanto:

γ4 = ω4

c4

Para obtener las cuatro raıces de γ,

γ = ±ωcy ±j ω

c

Resolviendo la Ec. A.2 sustituyendo las cuatro raıces:

y(x, t) = ejωt[A′eωxc +B′e−

ωxc +C′ej

ωxc +D′e−j ωx

c ] (A.5)

Observese uno de estos terminos, en este caso el tercero y3,

y3 = C ′ejωt+ ωxc

De esta ecuacion, la velocidad c es vista como una frecuencia independiente. Esto

es, que ha sido mostrada como:

c =√vωκ

Esto significa que las ondas transversales muestran dispersion. Entre mas alta

sea la frecuencia, mas rapida es la velocidad de la onda. La solucion pueden ser

escritas de una manera diferente, en relacion con la siguientes expansiones para las

exponenciales.Para los terminos exponenciales las expansiones pueden ser en terminos

de senos y cosenos.

e±j ωxc = cos

ωx

c± jsin

ωx

c(A.6)

La expansion para los exponentes reales esta en terminos de senos y cosenos hi-

perbolicos:

e±ωxc = cosh

ωx

c± sinh

ωx

c(A.7)

La Ec. A.7 es obtenida usando las siguientes identidades:

coshα =eα + e−α

2, sinhα =

eα − e−α

2(A.8)

Finalmente, la solucion para y(x,t) para las ondas transversales en una barra es:

50

y = cos(ωt+ δ)[Acosωx

c+Bsin

ωx

c+ Ccosh

ωx

c+Dsinh

ωx

c] (A.9)

Esta solucion solo considera la parte real (notese que δ es el angulo de fase).

La Ec. A.9 muestra la solucion cuyos componentes son funciones circulares (senos

y cosenos) y funciones hiperbolicas. En el caso de la ecuacion diferencial de segundo

orden para una cuerda y las vibraciones longitudinales en una barra, la solucion en

estos casos solo involucra funciones circulares.

A.1.1. Desarrollando la solucion de la ecuacion de las ondastransversales con condiciones iniciales (c.i)

Las c.i. deben ser consideradas para resolver casos particulares de vibraciones

transversales. Las c.i. para ondas transversales en una barra son:

(a) en un extremo fijo:

∂y

∂x= 0, (A.10)

(doblez = 0)

y = 0, (A.11)

(desplazamiento = 0) (b) en un extremo libre:

en este caso no existe una fuerza de torque (giro) o de corte, por lo tanto, el torque

interno M y Fy satisfacen:

M ∝ ∂2y

∂x2= 0 ∴ ∂2y

∂x2= 0 (A.12)

Fy ∝∂3y

∂x3= 0 ∴ ∂3y

∂x3= 0 (A.13)

La solucion completa involucra resolver la ecuacion de onda para cuatro c.i. (dos

para cada extremo). Se da solucion a el caso para las barras libres por ambos extremos.

La solucion para las frecuencias obtenidas en esta seccion, muestra una dependencia

recıproca sobre el cuadrado de la longitud de la barra. Por lo tanto, cuando a longitud

de la barra incrementa, su frecuencia tiende a bajar. Escribiendo y = X(x)T (t) da,

para X,

51

X = Acosωx

c+Bsin

ωx

c+ Ccosh

ωx

c+Dsinh

ωx

c(A.14)

Usando ∂2y∂x2 = 0 en x = 0 da

−Aω2

c2cos

ωx

c−B

ω2

c2sin

ωx

c+ C

ω2

c2cosh

ωx

c+Dω2c2sinh

ωx

c= 0 (A.15)

Enx = 0 esto se convierte A− C = 0 o A = C.

Usando ∂3y∂x3 = 0 en x = 0 da

Aω3

c3cos

ωx

c−B

ω3

c3sin

ωx

c+ C

ω3

c3cosh

ωx

c+Dω3c3sinh

ωx

c= 0 (A.16)

Por lo tanto, B −D = 0 o B = D

Sustituyendo en la Ec. A.14 para estas constantes, llevan a:

X = A[cosωx

c+ cosh

ωx

c] +B[sin

ωx

c+ sinh

ωx

c] (A.17)

Ahora, las c.i. en x = l son las mismas que para en x = 0(recuerde que los dos

extremos son libres), simplemente sustituimos l en el lugar de x al derivar, por lo

tanto usaremos las Ec. A.15 y A.16 para hacerlo. Recuerdese que tambien A = C y

B = D.

Primero para la segunda derivada parcial (1a c.i.):

0 =ω2

c2{A[−cos

ωx

c+ cosh

ωx

c] +B[−sin

ωx

c+ sinh

ωx

c]}|x=l (A.18)

Finalmente queda,

0 = A[−cosωl

c+ cosh

ωl

c] +B[−sin

ωl

c+ sinh

ωl

c] (A.19)

Ahora para la tercera derivada (2a c.i.):

0 =ω3

c3{A[sinωx

c+ sinh

ωx

c] +B[−cos

ωx

c+ cosh

ωx

c]}|x=l (A.20)

Entonces,

0 = A[sinωl

c+ sinh

ωl

c] +B[−cos

ωl

c+ cosh

ωl

c] (A.21)

52

Dividiendo la Ec. A.19 por la Ec. A.21, y haciendo una equivalencia en cambio de

variables α = ωl/c se tiene de resultado:

−cosα + coshα

sinα+ sinhα=

−sinα+ sinhα

−cosα + coshα(A.22)

Haciendo productos cruzados, da

cos2α− 2cosα + coshα + cosh2α = −sin2α + sinh2α (A.23)

Usando identidades trigonometricas, esto se reduce a

1− 2[coshα coshα] + 1 = 0 (A.24)

mientras que por propiedades trigonometricas

cos2α + sin2α = 1 ; cosh2α− sinh2α = 1 (A.25)

Por lo tanto,

cosα coshα = 1 (A.26)

Sustituyendo de nueva cuenta α y volviendo a escribir:

coshωl

c= frac1coshfracωlc (A.27)

Para resolver, para la frecuencia de vibracion el lado derecho debe ser ajustado al

lado izquierdo por una grafica, ya que una solucion directa no es posible. Esta ecuacion

puede ser escrita en una forma mas conveniente usando la identidad cosh α =

cosh 2(α/2) = cosh2α/2 + sinh2α/2 y 1/cosα = 1/cos2(α/2) = 1/(cos2α/2 −

sin2α/2) y algo de algebra. La forma final es

tanωl

2c= ±tanh

ωl

2c(A.28)

Las graficas de estas funciones son las mostradas en la Figura 2.5.

Las intersecciones de las curvas en la figura, da las raıces:

53

ω1l

2√ω1vκ

=ω1l

2c1= x1, etc. (A.29)

Entonces:

ω11/2 =

2x1

√vκ

l(A.30)

Y aquı es mas visto que la frecuencia baja cuando la longitud se incrementa. Para

las barras libres por ambos extremos,

ω1l

2c1= (π/4)(3,0112) (A.31)

o para ω en general:

ω =(π2vκ)

4l2(3,01122; 52; 72; 92). (A.32)

Y ası, es como se llega a que ω2 = 2,756ω1;ω3 = 5,404ω1;ω4 = 8,933ω1...

A.2. Estudio del arte en tubos como instrumentos

musicales

Carillones de viento

Figura A.1: Campanillas chinas o Carillon de viento (((Chimes)) en Ingles)

Este artefacto no es como tal un instrumento musical, sin embargo existen estudios

cientıficos en torno a el. Ademas existen aspectos que aportaron datos a este trabajo.

Montaje

54

Los tubos se cuelgan en forma circular, pendidos de un orificio ubicado al 22.4%

de su longitud total (es decir si el tubo mide 10 cm, se hace un orificio a 2.24 cm de

uno de sus extremos, ver Figura A.2), ya que a esta distancia se encuentra el nodo

de la frecuencia fundamental y hace que la frecuencia de resonancia no se amortigue

rapidamente.

Construccion

Las campanillas de viento o campanillas chinas estan formadas de tubos pendidos

(generalmente de diametro pequeno con longitudes cortas) de diferentes maneras y

se utiliza cualquier tipo de material para fabricarlas. Las campanillas tienen un ob-

jeto (de materiales variados) que las golpea en cuanto este es excitado por pequenas

corrientes de aire.

Entonacion

El sonido de estos tubos es agradable al oıdo y ademas produce un sensacion

relajante, cabe mencionar que generalmente se encuentran construidas en escala pen-

tatonica pero su diseno no esta aun limitado a unas notas especıficas ya que la relacion

de las notas son armoniosas aunque se toquen aleatoriamente. [5, p:4]

Figura A.2: Modos de vibracion de barra libre-libre

Generalmente este artefacto toma en cuenta la frecuencia de resonancia como el

tono al que esta afinado el tubo ya que al ser muy pequenos los tubos la frecuencia

que predomina es la frecuencia fundamental, sin embargo este hecho no es valido en

tubos mas grandes. Por cuestiones que ya se trataron en el capıtulo anterior.

55

Campanas tubulares

Figura A.3: Campanas tubulares

Las campanas tubulares tienen sus primeras apariciones en Paris entre 1860 y

1870. Al inicio se utilizaban en operas, y despues fue en Gran Bretana y en EUA

en donde fueron usadas con arreglo cromatico y montadas en un marco y en donde

se formaron ”los carillones sinfonicos”. Aunque en un principio la tarea principal de

las campanas tubulares era imitar a las campanas normales, su timbre particular ha

llegado a incrementar su valor en la musica moderna.

Montaje

Estan conformadas con tubos de Bronce pendidos desde uno de sus extremos de

cada tubo, en el cual tiene un tapon de bronce en la parte superior. Un musico es el

encargado de su ejecucion. El elemento con el que se ejecuta usualmente es en forma

de martillo y dependiendo del sonido deseado sera el material con el cual se fabrique.

Construccion

En las campanas tubulares los tubos funcionan como generador de vibracion y

resonador.

En una octava estandar de una juego de de campanas tubulares 112, las longitudes

de los tubos oscilan entre los 75 cm (el tubo mas corto, F5) a 155 cm ( el tubo mas

largo, C4). El diametro correspondiente es de 3.8 cm y el grosor de 1.5 cm. Si uno de

estos parametros cambia, p. ej. el grosor, ya sea el diametro o la longitud del tubo

56

debe de cambiar tambien. Como regla, el diametro de los tubos esta entre 3 y 4 cm

y su grosor entre 1 y 2 cm.

Baquetas

Las campanas tubulares son tocadas con baquetas tipo martillo. Son comunes

tres tipos de rigidez: suave, media y fuerte. Las puntas son hechas de madera, madera

contrachapada o plastico. Dependiendo de la rigidez son cubiertos con piel o fieltro.

La longitud de la vara mide 30 cm. La punta tiene forma de martillo; tiene 3.6 a 4.2

cm de grosor y 11 cm de longitud.

Entonacion

Como regla, el tono de ataque es el que se anota en las partituras. Este esta una

octava arriba y de hecho es la nota de la campana tubular, estas se afinan en escala

cromatica, y se constituyen octava y media (C4-F5, 18 tubos) las mas comunes. En

realidad, la nota que se define en los tubos grandes ((no existe fısicamente)) (Ver seccion

2.3.2)[10]

A.3. ¿Como escuchamos?

La Figura A.4 muestra una aproximacion de como los humanos perciben los soni-

dos, es decir dependiendo de la frecuencia, que tan alto o bajo se puede percibir una

nota y que tan alto o bajo se deben de tocar para percibirlas.

Figura A.4: Grafica. Curvas de igual sonoridad. Harvey Fletcher y Wilden A. Munson.

Como se observa, las frecuencias medias son las que se pueden percibir con ma-

57

yor facilidad, ya que no necesitan de gran amplitud para poder ser escuchadas, sin

embargo las mas bajas son difıciles de oır.

A.4. Empleo de algunas herramientas

Calibrador Vernier

El calibrador vernier puede encontrarse en varios modelos y escalas, el que se

ocupa es uno de los mas sencillos.

Figura A.5: Calibrador vernier con 2 escalas: pulgadas y centımetros. 1.Mordazas pa-ra medidas externas.; 2.Mordazas para medidas internas.; 3.Coliza para medida deprofundidades.; 4.Escala con divisiones en centımetros y milımetros.; 5.Escala condivisiones en pulgadas y fracciones de pulgada.; 6.Nonio para la lectura de las frac-ciones de milımetros en que este dividido.; 7.Nonio para la lectura de las fraccionesde pulgada en que este dividido.; 8.Boton de deslizamiento y freno.

El calibrador mostrado en la Figura A.5 es el que se utilizara para medir el radio

interior y exterior del tubo de cobre, ya que estas medidas son necesarias para realizar

los calculos.

El procedimiento de medicion de los diametros en general, es el siguiente:

1. Primero limpiar la superficie en donde se va a medir, tanto del tubo como del

instrumento.

2. En segundo lugar, se deslizan las mordazas ya sean de medida externa o interna

dependiendo de lo que se quiera medir y, despues se cierran hasta quedar de

una forma perpendicular al tubo. Es importante que quede de esta manera, de

otra forma se tendra una lectura erronea.

3. Para tomar la lectura, observar de frente a la escala y el nonio, dado que se debe

observar en donde coinciden las divisiones de este. En la Figura A.6 se muestra

58

un ejemplo de lectura de la medicion.1

Figura A.6: Lectura de la medicion en un Vernier.

Notese en la Figura A.6 que la primera division marca el numero entero con la pri-

mera decima y el numero 7 del nonio coincide exactamente con una linea en la escala

de la regla, por lo tanto la medicion del diametro, es la suma de estas dos lecturas.

El procedimiento es el mismo para un radio interior, pero usando las mordazas mas

pequenas.

Cortador de tubos

El cortador se coloca de forma que este rodee al tubo y se va apretando conforme

va girando (vease Figura A.7). Es importante no apretar demasiado, ya que puede

causar deformaciones en el extremo del tubo.

Otro aspecto a considerar es que el cortador de tubos debe de estar en forma per-

pendicular al tubo, ya que sino se hace esto el corte estara en diagonal y se tendra que

limar sin alguna necesidad de afinacion.

A.5. Metodo de afinacion por medio de un Anali-

zador de espectros

En este tipo de afinacion se usa un instrumento llamado analizador de espectros, el

cual como su nombre lo dice muestra el espectro de las frecuencias que existen en un

sonido captado con algun elemento electroacustico, ademas del nivel de sonoridad. Es

decir, el analizador de espectros es un excelente elemento para observar un panorama

1Para informacion mas detallada, consultar la pagina del Centro Nacional de Metrologıa.http://www.cenam.mx/dimensional/java/Vernier/Vernier.aspx

59

Figura A.7: Ejemplo de corta tubos y su empleo. a) Corta tubos usado en el presentetrabajo. b) Vista lateral y modo de empleo.

general del sonido producido, ademas de como se van atenuando las frecuencia, aunque

para este ultimo caso se manejarıa mejor un espectrograma.

Es importante mencionar algunas de las caracterısticas que se manejan en este

tipo de afinacion, ya que un analizador de espectros resulta ser inexacto en algunas

cuestiones,es decir, dependiendo de los parametros con los que se maneje y el sonido

que se quiera medir se deben tomar en cuenta los valores que se deben usar en la

velocidad de muestreo (FFT Size) y el numero de muestras (Sampling rate), ası co-

mo el rango de frecuencia (Bandwidth), todo esto combinado da como resultado la

resolucion del espectro, la cual da la precision de la frecuencia y el tiempo esperado

entre cada muestra.

Junto con el analizador de espectros se puede utilizar un espectrograma, el cual

mide la intensidad del sonido con su duracion, las frecuencias no son exactas, pero se

da una aproximacion.

Un analizador de tiempo real es un aparato que muestra el espectro de una forma

de onda en un tiempo muy corto, haciendo que los cambios que ocurren rapidamente

en el espectro puedan ser observados. Los analizadores de espectro en tiempo real son

muy utiles en el analisis de sonidos y vibraciones, en estos tiempos existen softwares

que facilitan este tipo de herramientas, siendo estos muy precisos, ya que cuentan

con una resolucion bastante aceptable. La forma de onda es mostrada rapidamente

en intervalos regulares, todo esto utilizando la Transformada rapida de Fourier.

Equipo y material a utilizar.

Un analizador de espectros.

60

Un microfono de respuesta plana (de condensador).

Una mezcladora con ”phantom power”.

Una punta de prueba (BNC-Caiman).

Un cable de microfono (CANON-CANON).

Un cable para salida de audio (JACK-Caiman).

Diagrama de conexiones.

Figura A.8: Diagrama de conexiones para afinacion con Analizador de espectro.

61

Apendice B

Experimentacion

En estos anexos se analizan los experimentos realizados a traves del desarrollo del

trabajo. Con estos experimentos se respaldan algunos conceptos, teorıas y se toman

decisiones de aspectos que son de gran importancia para el proyecto.

B.1. Comparando los materiales de percusion.

En las siguientes graficas se encuentran espectros de frecuencia y espectrogramas

que muestran la frecuencia de un tubo percutido con diferentes materiales y al final

se hace un analisis de las graficas.

Figura B.1: Espectro de la frecuencia de un tubo percutido con Goma.

Madera.

Metal.

Como se puede observar en cada una de las graficas se produce un efecto distinto,

en concecuencia el sonido emitido tendra un timbre diferente, pero con las frecuen-

cias principales (frecuencias calculadas de la ecuacion) presentes en cada uno de los

sonidos. Sin embargo, el sonido que se busca es el mas parecido al de una campana el

cual es el de la primer grafica que lo proboco un mango de goma de cepillo de dientes.

62

Figura B.2: Espectro de la frecuencia de un tubo percutido con Madera.

Figura B.3: Espectro de la frecuencia de un tubo percutido con Metal.

B.2. Experimentos sobre el tono de ataque y tono

virtual

Antes de afinar el instrumento, se realizaron algunos experimentos que verifican

la teorıa.1 Se ha decidido centrarse en uno los puntos mas importantes:el tono de

ataque que define al tono virtual; ya que se cuestionaron algunos puntos y se

decidio verificar este concepto para que no quede ninguna duda y al mismo tiempo

se ratifique el instrumento musical.

Se trabaja con un solo tubo que se ha cortado previamente, el cual pertenece al

propio instrumento musical. Es decir un tubo encintado.

B.2.1. Medicion con analizador de espectros

Se inicia con un procedimiento de medicion, ya que al hacer una medicion se

arrojan datos exactos y reales, con pequenos margenes de error. A continuacion los

resultados:

1Nota: Como el trabajo es realizar un instrumento musical, no se hace mucha descripcion alos metodos utilizados, ya que simplemente son experimentos rapidos - pero precisos - para unacomprobacion contundente.

63

Se colgo un tubo de cobre de 89 cm de longitud, se toca de la parte superior (parte

encintada) y se mide la senal sonora:

a) Resultados en un analizador de espectros.

Los sobretonos con mas energıa son el 3◦, 4◦ y 5◦, pero lo que es de resaltar es

la poca intensidad de la resonancia y el 1er sobretono, los cuales se pensaban que

definıan a la nota del tubo. Por lo tanto, como se puede observar en la Figura B.4 la

sonoridad es mejor en los primeros armonicos.

Figura B.4: Imagen de analizador de espectros que muestra el sonido de un tubo deCobre de 89cm de longitud, a un tiempo de 1 seg.

b) Resultados en un espectrograma.

En este caso (Figura B.5) se pueden observar con mas detalle las frecuencias con

su sonoridad y su duracion. Notese que el tercer sobretono tiene una duracion de mas

de 4 segundos, a comparacion del primer sobretono o de la fundamental, la cual no

dura mucho tiempo.

Conclusiones: Se puede observar que los sobretonos con mayor energıa y que re-

saltan sobre los demas, pudieran ser armonicos de una frecuencia que no existe2, es

decir el tono virtual, que en este caso valdrıa la mitad de 3er sobretono, 420Hz.

2Estas frecuencias se encuentran dentro del rango mas sensible que podemos percibir Ver A.3

64

Figura B.5: Imagen del espectrograma que muestra el sonido de un tubo de Cobrede 89cm de longitud. En el eje horizontal esta indicado el tiempo y en el verticalla frecuencia. La barra de la derecha muestra el nivel de presion sonora. En blancoesta el ruido de fondo.

B.2.2. Timbres diferentes, mismas notas

A continuacion usamos el metodo subjetivo. El tıtulo de esta seccion se refiere a

que se compara el sonido del tubo de 89 cm, que segun la teorıa se define proximo a

un A♭4, con otro instrumento, en este caso con una guitarra acustica, ya que al ser

un instrumento de cuerdas genera armonicos enteros.

Como se observo en el experimento anterior, la frecuencia fundamental de este

tubo (tubo de 89cm de longitud) es muy baja y no existe el registro en la guitarra

acustica. La frecuencia y la sonoridad son tan bajas que es necesario acercarse al tubo

para que pueda ser percibida.

Al tocar el tubo propuesto y la guitarra acustica en A♭4, es decir, la 6a cuerda en

el 4o traste, la tonalidad es identica solo que con diferente timbre.

Conclusiones: La nota del tubo se define por el tono de ataque, ya que el sonido de

una nota del tubo que se calcule de esta forma, y la misma tocada en otro instrumento

(en este caso la guitarra), es casi identico. Obviamente su timbre es diferente, pero

su registro es el mismo.

65

B.2.3. Senal tipo dientes de sierra y sıntesis de una frecuencia

A traves de una senal de dientes de sierra la cual contiene todos los armonicos

enteros de una frecuencia es la forma en la que se realiza el primer experimento.

a) Comparacion de sonidos. Senal de dientes de sierra y sonido grabado

del tubo.

Por medio de un programa de audio3, se generan tonos con una senal tipo dientes

de sierra. Retomando los experimentos anteriores, solo se generan dos tonos, el tono

del 1er sobretono y el tono virtual definido por la mitad del 3er sobretono (Ver Cap2),

cada uno se compara con la senal de un archivo que contiene el sonido del tubo grabado

previamente.

En las Figuras B.6 se muestran las imagenes de dos espectros de frecuencia que

representan lo probado en este experimento

Figura B.6: Espectros de frecuencia que muestra los parciales de una senal dientes desierra y un tubo musical, ası como el tono perdido del mismo tubo afinado a 200Hz.

a) Comparacion de sonidos. Sıntesis de una frecuencia y sonido grabado

del tubo.

Este experimento es parecido al anterior sin embargo aquı se trata de ser mas

exactos con respecto a lo que se percibe del tubo. A continuacion la explicacion de

3Audacity 1.3 Beta (Unicode)

66

esta prueba.

Con un software4 se generan los sobretonos 3,4 y 5 del tubo que deseamos probar,

se toca el tubo y se escuchan los dos sonidos al mismo tiempo. Ası, se realiza una

comparacion para verificar que el sonido del tubo es muy similar a la sıntesis realizada

en el programa de audio.

Conclusion: Segun las mediciones con base en los armonicos, se confirma que

los armonicos del tono de ataque son lo que predominan, los que definen y los que

verdaderamente se toman en cuenta para conocer el tono del tubo musical.

4Realtime Analyzer [RA] 5.1

67

Glosario

Afinacion Es el proceso de ajustar o seleccionar los tonos de una escala musical

con respecto a una frecuencia especıfica.

Antinodo Punto en una onda donde existe el mayor movimiento.

Armonico Los armonicos se refieren a los modos de vibracion de un sistema que

son multiplos enteros del modo fundamental, y de los sonidos que ellos generan (se

acostumbra de igual manera a considerar esta misma definicion para modos que son

muy cercanos a multiplos enteros de la fundamental, por ejemplo: 2,05 veces la fun-

damental, en vez de 2). Notese que el termino de ((primer armonico)), hace referencia

al modo o frecuencia fundamental.

Atributos subjetivos del sonido Para describir un sonido musical, frecuente-

mente se usan cuatro atributos. Estos son sonoridad, tono, timbre y duracion. Cada

uno de estas cualidades subjetivas dependen de uno o mas parametros fısicos que

pueden ser medidos con ayuda de instrumentos electronicos especiales. La sonoridad

depende principalmente de la presion sonora aunque tambien depende del espectro

de los parciales y la duracion fısica. El tono depende principalmente de la frecuencia,

aunque muestra menos dependencia de la presion sonora y el ambiente. El timbre es

un tipo de parametro que depende de todo, incluyendo todos aquellos atributos que

sirven para distinguir sonidos con un simple tono y sonoridad.

Batimientos Sonido intermitente causado por dos frecuencias con valores muy cer-

canos entre sı.

Escala Es una serie de sonidos (sımbolos, sensaciones o estımulos) que van de fre-

cuencias bajas a altas o viceversa, en intervalos de frecuencias definidas para proposi-

tos musicales.

Espectro de vibraciones . A lo largo de esta tesis, se consideran sistemas de

vibracion que pueden vibrar en modos diferentes. Comunmente, cuando un sistema

de vibracion es excitado, este tiene varios modos de vibracion a la vez. La descripcion

de su movimiento de vibracion requiere, por lo tanto un ((recipiente)), el cual indique

la amplitud y las frecuencias de los modos que han sido excitados. Dicho recipiente

es llamado espectro de vibracion. Un espectro de vibracion es mostrado en la figura

B.7

Cuando se observa un sistema de vibracion con muchos modos, usualmente se

requiere su espectro de vibracion. Los analizadores de espectros son un tipo de ins-

trumentos electronicos, los cuales permiten hacer esto en el laboratorio.

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Figura B.7: Espectro de frecuencias lineales, parecido al de una guitarra. Donde 1, esla frecuencia de resonancia o el primer armonico.

FFT Fast Fourier Transform Transformada rapida de Fourier.

Frecuencia fundamental La frecuencia fundamental es la componente de frecuen-

cia mas baja en un sonido complejo.

Idiofono Instrumento de percusion que genera su sonido el mismo, sin necesidad

de acoplar resonadores o cajas acusticas. Ejemplos: Marimba, Glockenspiel, Xilofono,

Campanas tubulares, Campanas de carillon, entre otros.

Modos de vibracion Son las formas en las que puede vibrar un elemento fısico,

definidas por patrones segun la direccion a la que las partıculas se mueven.

Modulo de Young Es una magnitud fısica que indica la fuerza que se necesita

aplicar a una unidad de longitud para desprender un materia elastico de sus moleculas.

Nodo Punto en una onda donde no se produce movimiento alguno.

Nonio Escala de vernier. Es una segunda escala auxiliar que tienen algunos ins-

trumentos de medicion, que permite apreciar una medicion con mayor precision al

complementar las divisiones de la regla o escala principal del instrumento de medida.

Octava Es la relacion de una frecuencia y el doble de su valor.

Ondas Son perturbaciones de un medio elastico que transmiten energıa. Depen-

diendo del medio se dividen en mecanicas, en un medio solido; sonoras, en el aire, y

elecromagneticas, en campos magneticos.

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Percusion El termino percusion significa golpear. Hablando estrictamente los ins-

trumentos de percusion son aquellos en los que el sonido es producido golpeandolos;

de hecho, en la seccion de percusion de una orquesta se esperan producir sonidos

inusuales, los cuales el compositor tiene en mente.

Psicoacustica Rama de la acustica que estudia los fenomenos y percepcion del

sonido en el oıdo humano.

Rebaba Porcion de material sobrante que se acumula en los bordes o en la superficie

de un objeto cualquiera.

Sampling Rate Es la frecuencia de muestreo que utiliza el analizador de espectros

para mostrar la senal.

Semitono Son los intervalos en una escala musical cuyos valores se calcula con la

relacion de la raız doceava de dos.

Sobretono El termino sobretonos se usa generalmente para identificar a aquellos

sonidos, en los cuales sus modos no tienen multiplos enteros de una frecuencia fun-

damental. Se puede decir ası que los armonicos son sobretonos cuyos modos son

multiplos enteros de una fundamental. El termino sobretono, no considera a la funda-

mental, caso contrario al de armonico. Por lo tanto el segundo armonico es el primer

sobretono.

Tono Es la percepcion humana de la frecuencia en terminos de que sonidos pueden

ser ordenados en una escala extendiendose de bajo a alto, como lo es una escala

musical.

Tono complejo Un tono complejo es una sensacion de sonido caracterizada por

mas de un tono o sobretonos que no sean multiplos enteros de la fundamental.

Vibraciones El movimiento de partıculas en un medio que produce ondas de dife-

rentes tipos. Si estas vibraciones son en el aire se producen ondas sonoras.

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