escoamentos externos -...
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1
Região de pequena espessura próxima a superfície do
corpo, onde o gradiente de velocidade é grande, onde as
forças viscosas são importantes.
Fora desta região o escoamento se comporta como não
viscoso, sendo chamado de escoamento potencial (não
viscoso e irrotacional). Pode-se aplicar a equação de Euler
(ou Equação de Bernoulli).
Escoamentos Externos
2
d = espessura da camada limite, região próxima à superfície sólida,
onde a velocidade varia de zero a 0,99 U
Teoria da Camada Limite
Camada Limite
U
laminar transição turbulento
x
y
xc
L
d
3
Como o regime de escoamento varia
ao longo da superfície, define-se
então
número de Reynolds local:
Camada Limite
U
laminar transição turbulento
x
y
xc
L
d
O número de Reynolds reinante na coordenada onde ocorre a transição de
regime laminar para turbulento é chamado de número de Reynolds crítico:
Se Rex Rec regime laminar
Se Rex > Rec regime turbulento
Em geral, considera-se o número de Reynolds crítico como Rec = 5 x 105
xUxRe
cxUcRe
EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE Em 1904, Prandtl simplificou as equações de Navier-Stokes, através
de uma análise de ordem de grandeza, derivando as equações da
camada limite
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes e constantes
3. Regime laminar
4. Regime permanente / t=0
5. Bi-dimensional w=0 ; / z=0
6. d < < L
4
Vamos fazer uma análise de ordem de grandeza. Para isso vamos
adimensionalisar as equações de conservação: Sabemos que a ordem
de grandeza de:
u é U
x é L
y é d
Vamos considerar que a ordem de grandeza de v = V
Continuidade:
coordenadas cartesianas:
5
0 )(div ut
0 Vcte
0
zero
z
w
y
v
x
u
Quantidade de Movimento Linear (Navier-Stokes)
Direção x:
Direção y:
upgtD
uD
2
)()(
)()()( 554
2
2
2
2
2
2
zero
z
u
y
u
x
ux
zero
z
u
y
u
x
u
zero
t
u
x
pgwvu
)()(
)()()( 554
2
2
2
2
2
2
zero
z
v
y
v
x
vy
zero
z
v
y
v
x
v
zero
t
v
y
pgwvu
Adimensionalisando com
Continuidade:
U
uu*
U
vv*
L
xX
L
yY
2
U
pP
0Y
v
X
u
**
01
1
)/(
)(
)(
)( *
L
v
d
)/()(
* LVv d
UL
Vd
logo 6
0y
v
x
u
Analisando a ordem de grandeza
v <<< u
Quantidade de Movimento – direção x
2
2
2
21
Y
u
X
uxY
u
X
u
X
pgvu
****
Re
****
Fr
*
g
gg
LUReLg
U 2
Fronde
analisando a ordem de grandeza de cada termo da equação
]
)/(
)(
)(
)([
Re)(
)()(
)/(
)()/(
)(
)()(
grande
Lldesprezíve
LLL
22
1
1
11
1
11
1
1
11
d
d
d
d
2
2
2
2
yx0
x2
2
)()/(
)(
Re1
11
22
d
L
)/(Re
22
1
Ld21
1
/Re
L
d
concluimos
7
Variação da espessura
ao longo da superfície
como esperado: d x0,5
Quantidade de Movimento – direção y:
analisando a ordem de grandeza de cada termo da equação
])/(
)/(
)(
)/([
Re)/(
)()(
)/(
)/()/(
)(
)/()(
*
grandeL
ldesprezíve
L
LL
L
p
L
LL
L
221
11
11
d
d
d
d
d
dd
d
d
2
2
2
2
yx0
x2
2
Analisando a equação acima, pode-se
concluir novamente que
8
2
2
2
21
Y
v
X
vyY
v
X
v
Y
pgvu
****
Re
****
Observa-se também que os termos convectivos e viscosos da equação y são
muito menores do que estes termos da equação x, isto é,
[eq (vy)] [d/ L ] [eq(vx)] isto é eq v < < eq u e 0 **
ygY
p
pressão só varia devido ao peso da coluna de fluido,
pode-se então introduzir a seguinte aproximação
isto é d
maxyCygpg
y
ponde
)(d p
zeroy
p
LY
p d
*
)/(Re
22
1
Ld
9
Px
Px+dx
U
Px Px+dx
Camada limite
Fora da camada limite, 0
CLfora
CLdentro x
p
x
p
Fora da camada limite, a equação de Bernoulli (para fluidos não viscosos) é válida
cte2
Up
2
logo xd
UdU
x
p
Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia com y,
então para uma determinada coordenada x, a pressão dentro da camada
limite é igual a pressão fora da camada limite.
11
A solução das equações da camada limite pode ser obtida através da
integração das equações de conservação na região da camada limite.
Pode-se utilizar
Um procedimento rigoroso associado a um método numérico.
Solução “exata” de Blasius
Uma análise aproximada, onde as equações de conservação são
integradas na região da camada limite.
Apesar da grande simplificação obtida, ainda temos algumas
dificuldades para resolver esta equação.
Observa-se que o perfil de velocidade é
similar, isto é, o perfil de velocidade
adimensional é o mesmo em qualquer
coordenada x.
d
yfunção
U
u
x
x
Red
d
y x
x
yRe
U
x
y
21/
Vimos que
12
A solução “exata” para uma placa plana obtida por Blasius em 1908.
Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius)
0xd
UdU
x
p
u
x
v
y 0 ; 2
2
y
u
y
u
x
uvu
Condições de contorno:
1. x = 0 u = U
2. y = 0 u = v = 0
3. y u = U (y = d u = 0,99 U)
u u
x
U=cte
d
y
01
xd
UdU
x
p
Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius)
0xd
UdU
x
p
u
x
v
y 0 ; 2
2
y
u
y
u
x
uvu
Condições de contorno:
1. x = 0 u = U
2. y = 0 u = v = 0
3. y u = U (y = d u = 0,99 U)
u u
x
U=cte
d
y
13
Inicialmente a função corrente é introduzida para satisfazer
automaticamente a equação da continuidade
xv
yu
;
Uma grande vantagem do uso da função corrente consiste em
simplificar a solução do problema, transformando o conjunto de 2
equações diferenciais parciais por uma única equação diferencial
parcial.
Função Corrente para
Escoamento Incompressível
Bi-dimensional
0y
v
x
u
continuidade
0xyyx
Substituindo, observa-se que pra funções continuamente
diferenciáveis, a equação estará sempre satisfeita.
14
A equação de quantidade de movimento pode ser rescrita como
3
3
2
22
yyxyxy
Condições de contorno:
1) y=0; u =/ y=0 para x 0 2) y=0; v =-/ x=0 para x 0
3) y ∞; u =/ y U∞ para x 0 4) x =0; u =/ y= U∞ para y > 0
Uma vez que o perfil de velocidade é similar, i.e., a velocidade adimensional,
só depende da distância adimensional, vamos buscar uma adimensionalização
para a função de corrente de forma a transformar a equação diferencial parcial
em uma equação diferencial ordinária.
Adimensionalização a função de corrente
)()(
xHf
)()( xHf
2
2
y
u
y
u
x
uvu
15
Usando a regra da cadeia, vamos determinar os componentes de
velocidade em função das novas variáveis adimensionais
)()(
xHf
x
x
yRe
Sabendo que
As velocidades e derivadas são
xx
yU
x
y
xx
22
1
2
1
223
Re/ xy
xRe
x
fH
yyu
x
x
Re
22
2
xH
f
xx
fH
yyyyy
u xxx ReReRe
3
23
3
3
22
2
2
2
2
2
2
2
xH
f
xxH
f
yyyyy
u
yy
u xxx/
ReReRe
)()( xHf
16
xyyxyxx
u
x
H
d
fd
xxd
HdfH
xd
fd
xd
Hdf
xxxv
x
2
)()( xHf
xx
fH
x
fH
x
xyyxyxx
u
x
xx
x
2
ReRe
2
2
2
2
2
2
223
22
22
1
22
1
2
f
x
H
x
H
dx
dHf
x
xH
f
xxH
xdx
dHf
xH
f
xx
UH
xdx
dHf
xx
fH
x
fH
x
xyyxyxx
u
x
xxx
xx
x
xx
x
Re
ReReRe
ReRe
ReRe
/
xH
f
xx
UH
xdx
dHf
xx
fH
x
fH
x
xyyxyxx
u
xx
x
xx
x
ReRe
ReRe
/2
223
22
1
2
xH
f
xxH
xdx
dHf
xH
f
xx
UH
xdx
dHf
xx
fH
x
fH
x
xyyxyxx
u
xxx
xx
x
xx
x
ReReRe
ReRe
ReRe
/
2
2
2
2
223
22
1
22
1
2
x
fH
yu
xRe
17
2
2
3
23
3
3
22
2
2
2
222
y
u
x
y
u
x
v
x
u
x
u
x
xH
f
xH
fH
d
fd
xxd
Hdf
f
x
H
x
H
dx
dHf
xx
fH
/
ReReReRe
Substituindo na equação de quantidade de movimento
arrumando
3
23
3
3
22
2
22
2
2
2
22
2
22
xH
f
xH
fH
d
fd
x
xH
f
xd
Hdf
x
Hf
x
fH
x
H
dx
dHf
x
fH
x
A
x
x
A
xx
/ReRe
ReReRe
022
2
22
2
3
23
3
3
x
H
dx
dH
xH
f
xxd
HdH
ff
xH
f xxx ReReRe /
dividindo por Hx
x
3
23 /Re
0221
2
212
2
3
3
x
H
dx
dHxfx
xd
Hdff
f
xx//
ReRe
18
queremos que f seja somente função de , portanto precisamos que a
dependência em x dos termos entre chaves desapareça
integrando
vemos então que
x
U
xxd
Hdcte
x
xd
Hd x
x
2
1
2
1
2
121
21
/
/
Re
Re
x
Ux
xUH
212
1 21
/
/
xxUH Re
02
x
H
dx
dH
x
H
dx
dH
2
podemos então escrever a equação da camada limite como
02
1
2
2
3
3
d
fdf
d
fd xUf
)(
xx
yRe
19
Para especificar as condições de contorno para a equação obtida, deve-se
relacionar os componentes de velocidade u e v com f e .
'fU
u
H
d
fd
xxd
Hdfv
2
ffU
v
x
'
Re/
2
1
U
f
x
fu
xx
ReRe
xH Rex
H
dx
dH
2
x
fHu
xRe
d
fdf
x
HH
d
fd
xx
HfH
d
fd
xxd
Hdfv
2222
H
d
fd
xx
HfH
d
fd
xxd
Hdfv
222
lembrando
d
fdf
U
d
fdf
xv
x
x
Re
Re
22
20
As condições de contorno para a equação (*) são
1. = 0 f = f ‘ = 0
2. f ‘ 1 ( y = d f ‘ 0,99 )
xx
yRe
1. x = 0 u = U
2. y = 0 u = v = 0
y u = U (y = d u = 0,99 U)
'fU
u
ffU
v
x
'
Re/
2
1
condições de contorno
02
1
2
2
3
3
d
fdf
d
fd
A equação pode ser resolvida por um método numérico de integração de
equações diferenciais ordinárias, como por exemplo, o método de Runge-Kutta.
O método de Runge-Kutta é um método de integração de equações diferenciais
ordinárias de 1a. ordem, com condições iniciais.
No entanto, toda equação diferencial ordinária de ordem n pode ser transformada
em um sistema de n equações diferenciais ordinárias de 1a. ordem.
condições de contorno
21
As condições de contorno para a equação (*) são
1. = 0 f = f ‘ = 0
2. f ‘ 1 ( y = d f ‘ 0,99 )
Solução da equação da camada limite hidrodinâmica pelo método de
Runge-Kutta
02
1
2
2
3
3
d
fdf
d
fd
A equação de 3a. ordem pode ser substituída por um sistema de 3 equações de
1ª. ordem acoplado
Definição:
2
2
; d
fd
d
zdw
d
fdz 0
2
1 wf
d
dw
então
Condições de contorno: = 0 f = z = 0 2) z 1
;; wd
zdz
d
fd
wf
d
dw
2
1
22
h é o valor desejado w(0), F = z(∞) é o valor obtido no infinito após a
solução da equação da CL.
A variável deverá ser incrementada, e para cada nova coordenada,
valores de f, f’ e f” serão obtidos.
wd
zd
zzww k
kk )(
)()()0()0(
1
11
wd
kdww
zk
wz
wd
zd ])0([)(
)0()(
)(
onde
Condições de contorno: = 0 f = z = 0 2) z 1
É preciso, conhecer as condições iniciais de f, z e w.
Deve determinar w(0) tal que z(∞)=1.
Para isso pode usar o método de Newton Raphson
zero
hd
Fddh
hd
Fddh
hd
Fd
dh
hhFF kkkk .....!
)( 3
33
2
22
1132 dhdF
FFhh k
desejadafuncao
kkk
/
11
23
Programa no MatLab para sistema de equações de primeira ordem,
juntamente com o método de Newton Raphson
% Solucao da Camada Limite Hidrodinamica
clc;
clear all;
intervalo=[0 8];
dw=0.0001;
f0=0;
z0=0.;
w01=0.3;
zinf=1.;
for k=1:20
inicio=[f0 z0 w01];
[eta,y]=ode45('eqCamLimite',intervalo,inicio);
eta_fim=size(eta,1);
zinf1=y(eta_fim,2);
w02=w01+dw;
inicio=[f0 z0 w02];
[eta,y]=ode45('eqCamLimite',intervalo,inicio);
zinf2=y(eta_fim,2);
dzinfdw=(zinf2-zinf1)/dw;
w01=w01-((zinf2-zinf)/dzinfdw)
end
function yprime=EqCamLimite(eta,y)
yprime=[y(2) y(3) -0.5*y(1)*y(3)]';
24
Atrito=w01
y
figure(1)
plot(eta,y(:,2));
title('u/uinf ');
xlabel('eta=y sqrt(Re_x)/x');
ylabel('u/uinf=f_{prime}');
for i=1:1:size(eta,1)
v_adim(i)=0.5*(eta(i)*y(i,2)-y(i,1));
end
figure(2)
plot(eta,v_adim);
title('v* sqrt(Re_x)/U_inf)');
xlabel('eta=y sqrt(Re_x)/x');
ylabel('v* sqrt(Re_x)/U_inf)=0.5*(eta*f-f_{prime})');
O quadro 9.1 ilustra os resultados obtidos.
26
Note que f’ corresponde a velocidade axial adimensional.
Observa-se excelente concordância com dados experimentais para
uma grande faixa de número de Reynolds
Outros resultados importantes a serem obtidos da tabela, são: tensão
cisalhante na parede e determinação da espessura da camada limite.
27
d
x
Espessura da Camada Limite
A espessura da camada limite é definida como a coordenada y onde u = 0,99 U .
Pela tabela vemos que f’= u/U=0,99 quando = 5 , logo sabendo que
xRex
y xRe
x5
d
xRe
x5d 5,0xd
xUxRe
27
28
A figura ilustra o perfil dos
componentes u e v
adimensionais em função de
'fU
u
ffU
v
x
'
Re/
2
1
xx
yRe
Note que existe fluxo de massa através da linha que delimita a região da
camada limite, o componente vertical da velocidade em y = d é
= 5,0 f’= 0,9915 e f = 3,2833 8370,Re/
xU
v
29
Para água [=1000 kg/m3; =0.001 kg/(ms)] com velocidade Uo= 1 cm/s
x=0,1 m ; Rex=103 ; d= 1,58 cm x=1 m ; Rex=10
4d= 5 cm
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
u/Uo
0.0
0.5
1.0
1.5y/d
elt
a
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1
v/Uo
0.0
0.5
1.0
1.5
y/d
elt
a
água, Uo=1cm/s
x=0.1 m
x=1.0 m
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
u/Uo
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
y
d
d
cm
1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1
v/Uo
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
y
d
d
cm
30
x
Tensão Cisalhante ao Longo da Placa
A tensão cisalhante na superfície é definida como
0y
sy
u)x(
em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como
332,0
02
22/12
0
'
xs
d
fd
xUU
d
fd
Re/x
U)x(
x
2
s6640
2
Ux
Re
,)( 2/1x
x
Tensão Cisalhante ao Longo da Placa
A tensão cisalhante na superfície é definida como
0y
sy
u)x(
em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como
332,0
02
22/12
0
'
xs
d
fd
xUU
d
fd
Re/x
U)x(
x
2
s6640
2
Ux
Re
,)( 2/1x
Coeficiente de Atrito Local: tensão cisalhante adimensional 2
s
U2
1
xxCf
)()(
Para placa plana no regime laminar (Rex Rec)
xRe
664,0)x(Cf
Tensão Cisalhante ao Longo da Placa
31
Força total na placa ssss Ad)x(AF
A tensão média é sss
s Ad)x(A
1 podendo ser obtida a partir do
coeficiente local de atrito s2
ss AdU
2
1)x(Cf
A
1
para U=constante ss
2s Ad)x(Cf
A
1U
2
1
ss
Lss2
s Ad)x(CfA
1CfAd)x(Cf
A
1
U2
1
2
sL
U2
1Cf
é o Coeficiente de Atrito Médio
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é
L
0 xs
sL xdb
Re
664,0
Lb
1Ad)x(Cf
A
1Cf
LL
Re
328,1Cf
Força total na placa ssss Ad)x(AF
A tensão média é sss
s Ad)x(A
1 podendo ser obtida a partir do
coeficiente local de atrito s2
ss AdU
2
1)x(Cf
A
1
para U=constante ss
2s Ad)x(Cf
A
1U
2
1
ss
Lss2
s Ad)x(CfA
1CfAd)x(Cf
A
1
U2
1
2
sL
U2
1Cf
é o Coeficiente de Atrito Médio
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é
L
0 xs
sL xdb
Re
664,0
Lb
1Ad)x(Cf
A
1Cf
LL
Re
328,1Cf
Força total na placa ssss Ad)x(AF
A tensão média é sss
s Ad)x(A
1 podendo ser obtida a partir do
coeficiente local de atrito s2
ss AdU
2
1)x(Cf
A
1
para U=constante ss
2s Ad)x(Cf
A
1U
2
1
ss
Lss2
s Ad)x(CfA
1CfAd)x(Cf
A
1
U2
1
2
sL
U2
1Cf
é o Coeficiente de Atrito Médio
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento
de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é
L
0 xs
sL xdb
Re
664,0
Lb
1Ad)x(Cf
A
1Cf
LL
Re
328,1Cf
32
A solução aproximada para Camada LimiteMétodo Integral de von Kármán
0y
v
x
u
2
2
y
u
y
u
x
u
x
pvu
Podemos integrar a equação da continuidade para
avaliar o componente vertical de velocidadey
dyx
uv
0
Integrando a equação de quantidade de movimento linear de y = 0 a y
00002
2
ydydx
pydvydu
y
u
y
u
x
u
xd
UdU
x
p
1
analisando o último termo da
equação00
2
2
y
u
y
u
y
uyd
sy
xy
y
u
zero
y
u
y
uyd
0
002
2
33
integrando o 2º termo do lado esquerdo da equação
0
ydvy
u
00
0
dyy
vuvudy
y
uv
dudyy
udgug
dyy
vvdfdvf
fdggfdgf
lembrando
x
u
continuidade
000
yduydUydvx
u
x
u
y
u
0 VU
0
dyx
uV
mas vimos que
então
Note que
logo
000
yduydUydUx
U
x
uU
x
u
x
u
)(
000
yduyduydvx
u
x
U
x
uU
y
u
)(
34
então
Substituindo os termos derivados na equação de quantidade de
movimento, temos
sx
U
x
U
x
uU
x
uydUuu
0
2)(
sx
U
x
uU
x
uyduU
0
2
)()(
sx
U
xyduUuUu
0
)()]([
0 00yduUyduUu
x
U
xyy
us )()(
Balanço de quantidade de movimento de von Kármán
00002
2
ydydx
pydvydu
y
u
y
u
x
u
Espessura de Deslocamento, d*
A região da camada limite, é a região onde a velocidade apresenta
gradientes acentuados, variando de zero a 99% de U. Como a velocidade
tende assintoticamente para U é difícil avaliar experimentalmente a
espessura d. Uma outra grandeza relacionada com a camada limite, mais
fácil de ser avaliada experimentalmente é a espessura de deslocamento d*.
Sabemos que o efeito das forças viscosas na camada limite é retardar o
escoamento. A vazão em massa adjacente a uma superfície sólida é
inferior à aquela que passaria pela mesma região na ausência da camada
limite. Se as forças viscosas estivessem ausentes, a velocidade numa
seção seria U. A espessura de deslocamento d* é a distância da qual a
fronteira sólida teria que ser deslocada num escoamento sem atrito para
fornecer o mesmo déficit de vazão em massa que existe na camada limite.
Deslocando a fronteira de uma distância d*, resultaria em uma deficiência
de vazão em massa de U d* b, onde b é a largura da superfície.
35
Relembrando a definição de espessura de deslocamento e de
quantidade de movimento
Queremos que a vazão real seja igual a vazão na ausência da
camada limite, dessa forma, conforme a figura abaixo
36
deficit
*
*
m
000
ydbUydbUydbUydbum d
d
onde
zero
00
*deficit ydb)uU(ydb)uU(ydb)uU(bUm
d
d
d
então d
d
0
* ydU
u1
deficit
*
*
m
000
ydbUydbUydbUydbum d
d
onde
zero
00
*deficit ydb)uU(ydb)uU(ydb)uU(bUm
d
d
d
então d
d
0
* ydU
u1
deficit
*
*
m
000
ydbUydbUydbUydbum d
d
onde
zero
00
*deficit ydb)uU(ydb)uU(ydb)uU(bUm
d
d
d
então d
d
0
* ydU
u1
Espessura de Quantidade de Movimento, q De forma análoga ao déficit de vazão em massa devido ao efeito viscoso
na camada limite, existe uma redução do fluxo de quantidade de
movimento numa seção em comparação a um escoamento não viscoso.
A espessura de quantidade de movimento q é definida com a espessura
da camada de fluido com velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade
de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento
através da camada. Desta forma
37
dq
0
1 ydU
u
U
u
38
Supondo que a solução é similar:
)(fU
u
)(x
y
d
1
0
1 dd df*
xe a : constantes adimensionais, que dependem do
campo de velocidade na região da camada limite
1
0
1 a dff )(
1
0
1 dq dff
1
0
1 x df )(
xd
d
*
ad
q
39
Balanço de quantidade de movimento de von Kármán
incompressível
0 00yduUyduUu
x
U
xyy
us )()(
)(fU
u
)(x
y
d
*)()(
)()(
dd
dd
x
UdfdfU
yd
U
uUyduU
zero 1
1
0
00
11
1
qd
dd
a
2
1
1
0
2
0
2
0
11
1
UdffdffU
yd
U
u
U
uUyduUu
zero
)()(
)()(
similar
40
Balanço de quantidade de movimento de von Kármán
xdaadd
d
UUUfU
x
U
xd
d
x
U 220)(
a
xd
a
d2
202 22
xd
Ud
xd
d
U
f
U
)(
xdadd
d
UUU
x
U
xy
y
Uus
2
0/
/
xd
d
xd
Ud
U
f
U
dd
a
xd
a
2
10 2)(Dividindo por a
d
2U
xd
d
x
UUUf
U d
axad
d 220
)(
41
Supondo que a solução é similar:
)( 00 x
p
x
UcteU
00
yduUuxyy
us )(
A solução aproximada de Camada Limite para
Placa Plana - Método Integral de von Kármán
)(fU
u
)(x
y
d
00
d
f
yy
u U
Balanço de quantidade de movimento de von Kármán
a
xd
a
d2
202 22
xd
Ud
xd
d
U
f
U
)(
Sabendo que
então
xxd
U
fd
00
2 02
a
d
d )(Integrando de 0 a x, e considerando d(0)=0
xU
f
a
d
)(022
U
xfx
ad
)()(
02
Note que, assim como Blasius, d x0,5
x
f
x
x
Re
/)()( ad 02
xUx
Re
42
a
d )(022 f
Uxd
d
)(00
fU
yxys
d
A expressão para a tensão cisalhante na parede é
Note que, assim como
Blasius, s x-0,5
x
U
ffUf
U
yxys
a
d
)()()(
0200
0
xρU
μfρU
yxys
a
2
02
0
)(
arrumando
x
s f
U
xxCf
Re
)(
/
)()(
02
22
a
ou
43
U
xfx
ad
)()(
02
A força de arraste no prato de comprimento L com largura W
W L
sx ydxdF
0 0
L
xL
f
U
WLFCf
Re
)(
/
)/( 022
22
a
LUfWFx302 a )(
)( LxCfCfL 2
44
LW L
sx xdxU
fU
WydxdF
0
21
0 0
2
022
/)(
a
45
Tanto a constante a como f’(0) dependem do campo de velocidade.
Os valores corretos das constantes da espessura da camada limite,
coeficiente de atrito local e médio foram obtidos a partir da solução
exata de Blasius e são
xU
xxCf s
Re
,
/
)()(
6640
22
)(
/
)/(LxCf
U
WLFCf x
L
222
xx
x
Re
)( 5
d
Existem muitas possibilidades de perfil aproximado de velocidade que
fornece a correta ordem de grandeza das constantes das grandezas acima.
Não existe um critério que garante o melhor resultado a priori.
46
d
y
U
uf
O perfil de velocidade mais simples possível, que satisfaz
a condição de não deslizamento e U na fronteira da
camada limite é o perfil linear
6
1
3211
1
0
31
0
1
0
2
a ddff )()(
1f
x
fxCf
x Re
,
Re
)()(
577002
a
xx
f
x
x
Re
,
Re
/)()( 46302
ad
47
Uma outra possibilidade, consiste em supor um perfil cúbico
32 dcbaU
uf
As constantes do perfil devem ser definidas de forma a satisfazer as condições de
contorno do perfil
y= 0 , u = 0 a = 0
y= d , uU∞ 1 = b + c + d
y= d , u / y = 0 u / y = b + 2 c + 3 2 b + 2 c + 3 d = 0
y= , 2 u / y 2 = 0 2 u / y 2 = 2 c 6 c = 0
equação de quantidade de movimento
Então : 1 = b + d e b = - 3 d d = -1/2 ; b = 3/2
d
y
2
2
y
u
zero
y
u
x
uvu
3
2
1
2
3
U
uf
Perfil de Eckert
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
u/Uo
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y/d
elt
a
Blasius
Aproximado
48
x
fxCf
x Re
,
Re
)()(
646002
a
xx
f
x
x
Re
,
Re
/)()( 64402
ad
1
0
331
0 2
1
2
31
2
1
2
31 a ddff )(
1
0
643423
4
1
4
3
2
1
4
3
4
9
2
1
2
3a d
280
39a
3
2
1
2
3
U
uf
2
2
3fNeste caso
2
30 )(f
49
Escoamento laminar próximo à uma quina ou
ao longo de uma cunha
)(sin qa arc
O escoamento externo não viscoso é
dado pela seguinte função corrente:
yU
a
a
)( 12
a
2
2
Se o ângulo da cunha é p então
a > 1
a < 1
xV
xd
UdU
x
p
1
Velocidade tangencial à superfície: q= 0 ; y = 0
50
)(sin qa arc
Vamos assumir que a camada limite é tão fina que não afeta o escoamento
externo. Logo, este é o campo externo sobre a superfície.
Esta é uma boa aproximação para pequenos valores de x.
yy
r
ryU
q
q
q
cos;tan
sin;)( /
rxx
y
ryyxr
1
2122
ryx
x
y
r
yyyx
y
r
q
cos
sin)(/
22
2122 22
1
])cos[(]cos)(cossin)(sin
cos)(cossin)(sin
qaaqqaqqaa
qqaaqqaa
aa
aa
111
1
rcUrcU
rrcrcU
])sin[( qaa a 11 rcV
xx
r
rxV
q
q
Procedendo de forma análoga
51
Na região da camada limite, a
velocidade tangencial à superfície:
q=0, y=0; r=x
1aa xcU
)]/([ a 22ccConde
)/( 2xCU
x
U
x
C
xd
UdU
x
p 2
232
2
2
1
2
1
)/()(
A equação da camada limite em termos da função corrente é
3
1
2
3
232
2
2
22
yx
C
yxyxy
)/()(
Procedendo de forma análoga ao realizado para a placa plana, pode-se
procurar uma adimensionalização que torne a solução similar
)(x
y
d
)()(
xHf
52
Vimos pela análise de ordem de grandeza que
Obtém-se a equação de Faulkner-Skan
Uxf
)()(
d
21/Re
xd
ou
)/()(
/)/(//
)(
]/)[]/))([Re
d
21
21122121 2
21x
cxxCxxU
xx
Definido
e
)(x
y
d
)(
Re
)/()(
/
22 21
21 c
x
y
x
y x
01
2
2
2
3
3
d
fd
d
fdf
d
fd
xxcf
Re)()()(
)/(
2
2
2 21
As condições de contorno para a equação (*) são
1. = 0 f = f ‘ = 0
2. f ‘ 1 ( y = d f ‘ 0,99 )
condições de contorno
54
Problemas Não Similares
Fatores que impedem a similaridade:
Forma de U∞(x) ou P/x
Transferência de massa na superfície da parede
Curvatura transversal
Iteração entre vários processos de acoplamento entre o
campo de velocidade e o campo de temperatura
Função dissipação (2 m ≠ n)ex: cunha isotérmica em convecção forçada
ex: convecção mista com função dissipação
(2m = n e 2m+1 = n → impossível)
vo
55
Métodos de Solução:
Similaridade local
Não similaridade local
Métodos integrais
Séries
Diferença-diferencial
Diferenças finitas
56
Similaridade local Exemplo: U∞(x)≠ C xm
0y
v
x
u
2
2
y
u
xd
UdU
y
uv
x
uu
),( x fxUx
Uy
)(xgx Lx /x
dx
dU
U
x
)(x
xxx
ff
ffffff )1(
1 2
Mudança de variáveis:
Ex:
Então
Se se reduz ao caso similar (equação de Faulkner-Skan)
0)0,()0,( xx ff 1),( xf
mf
0
x
Condição de contorno:
57
Outra mudança de variável
Então
L
dx
u
xUx
o
)(
x
yuL
U
x
2
),(2 xx fLU
xxx
ff
ffffff 2)1( 2
x
dxUdx
dU
U0
2
2
onde u∞ e L são constantes
onde
58
Método de solução
i. Despreza-se o 2o. membro
nas proximidades de x=0 isso é justificável
para valores de x maiores, espera-se que / x seja pequeno
oPara 1ª. transformação:
oPara 2ª. transformação:
oCoeficientes são função de x
ii. Fixa x
Fixando xou são valores numéricos
iii. Integra-se a equação diferencial f”’ para aquele x =cte
0)1( 2 ffff
011 2
)( ffff
59
Para cada x, tenho uma cunha diferente, cuja solução já é
conhecida
0)1(1 2
fmff
m
mf
0)1( 2 ffff )1/(2 mm
pcunhas com U∞=Cxm
xx
f1 1f 1f
xx
f2 2f 2f
60
ExemploEscoamento sobre um cilindro, de raio R
x=0 (ponto de estagnação) → →
x=p/2 → → Blasius (placa plana)
f”(0)=0,332
Atrito:
Para obter o atrito médio, integrar em x, (x e são função de x)
sen2 uU Rx /x
RU
U
x
dx
dU
U
x 1cos2
sen2x
x
x
x
tan
012
11 2
)(
tantanffff
x
x
x
x
1tan
x
x0)1( 2 ffff
0tan
x
x 02
1 fff
)0,("2
Re)(xf
xCf x
61
Escoamento na Esteira de uma Placa Plana
com Ângulo Zero de Incidência
Vamos integrar as
equações de
continuidade e de
quantidade de
movimento no volume
de controle
AB – A A1 – BB1 - A1 B1
Atrás do bordo de fuga, os dois perfis de velocidade coalecem em um único
perfil na esteira
A magnitude da depressão na curva de velocidade é diretamente relacionada
ao arraste no corpo
Longe do corpo, o perfil de velocidade na esteira é independente da forma do
corpo
Próximo ao corpo, o perfil de velocidade é determinado pela camada limite
sobre o corpo e o perfil depende se o escoamento é separado ou não.
62
Integrando a equação de continuidade no volume de controle
AB – A A1 – BB1 - A1 B1 obtem-se
00
SCSCVC
AdVAdVdt
hB
A
B
A
hh
yduUbAdV
AdVydubydUb
0
00
1
1
1
1
00
)(
01
1
11
B
A
B
B
A
A
B
A
AdVAdVAdVAdV
Integrando a equação de quantidade de movimento na
direção x no volume de controle AB – A A1 – BB1 - A1 B1 ,
considerando a pressão constante
hyduUUb
B
A
hh
B
A
B
B
A
A
B
A
SCSCVCextx
AdVUydubydUbD
AdVuAdVuAdVuAdVuD
AdVuDAdVudut
F
0
1
1
1
1
11
0
2
0
20
)(
0
yduUubD )(
63
Em ambos os lados
yduUubD )(2
Esta equação é válida para todo corpo
cilíndrico simétrico e não somente para uma
placa plana
64
Vamos determinar o perfil de velocidade na esteira , longe do bordo
de fuga
Seja a diferença de velocidade na esteira ),(),( yxuUyxu 1
Considere a diferença de velocidade na esteira u1 << U , tal que termos
quadráticos ou de ordem mais elevada podem ser desprezados
Considere ainda o gradiente de pressão nulo. Então a equação de
quantidade de movimento pode então ser escrita como
21
21
y
u
x
uU
21
211
1y
u
y
uv
x
uuU
)(
Condições de contorno:
(1) y = 0 u1 / y =0
(2) y u1 =0
65
x
Uy
Com as variáveis introduzidas a equação de “momentum” pode ser escrita como
Introduzindo uma mudança de variáveis , assumindo a hipótese de
escoamento similar, como o da placa plana de Blasius, e lembrando que a
integral de “momentum” deve ser independente de x
)(
/
gL
xCUu
21
1
L = comprimento
da placa
yduUbD 12 Desprezando os termos quadráticos, o arraste é
dgU
LCUbD
)(22
02
1
2
1 ggg Condições de contorno:
= 0 g’ =0
g=002
1 )( gg ou
66
Integrando e aplicando a condição de contorno em = 0, tem-se
02
1 )( gg
Integrando novamente e aplicando a condição de contorno em , tem-se
)exp(2
4
1 Ag
A constante C pode ser determinada a partir da condição de que o arraste
devido a perda de “momentum” deve ser igual ao arraste da placa plana.
Perda de “momentum”
Pode-se arbitrar A= 1, pois ainda
é necessário determinar a
constante C
dgU
LCUbD
)(22 p 2
4
1 2
ddg )exp()(onde
Arraste na placa plana
/
.
LULbULbCf
UD L
3281
222 2
2
logo 32812 .pC
67
A distribuição da diferença de velocidade
na esteira é
Note que a distribuição de velocidade é
igual a distribuição da função erro
Gaussiana.
Este perfil é válido somente para grandes
distâncias da placa (x > 3 L)
)exp(.
/
p x
Uy
L
x
U
u
2211
4
16640
Usando uma aproximação de 2ª. ordem
para o comportamento assintótico do
escoamento, pode-se determinar o perfil
de velocidade próximo ao bordo de fuga
da placa.
68
O escoamento na esteira de uma placa (ou de qualquer outro
corpo) geralmente é turbulento. Mesmo para baixos números de
Reynolds (ReL < 106), quando a camada limite sobre a placa é
laminar, a esteira se torna turbulenta, porque o perfil de velocidade na
esteira possui um ponto de inflexão, sendo extremamanete instável.
Escoamento Laminar de Correntes Paralelas
Esta equação não tem solução fechada e
necessita ser resolvida numericamente
x
Uy
1 fxU 1 fUu 1/
68
02 fffCondições de contorno:
+ f’ =1
f’=U1/U2=l