1. Categoras

1

: G, H, K

2. Valores numricos asignados a cada una de las categoras

2

:

VG = 5, VH = 3, 3VK = 1

3. Variables: nmero de elementos por categora.

A cada una de las categoras se asigna un nmero de elementos as:

x: cantidad de elementos de Gy: cantidad de elementos de Hz: cantidad de elementos de K,de modo que se cumpla la siguiente

4. Condicin: xVG + yVH + zVK = 100, que se puede reescribir como

5x+ 3y + 13z = 100 piezas de dinero (1)

y tambin que

5. Condicin: x+ y + z = 100 elementos (2)

6. Anlisis. Dados variables y condiciones, lo nico que de momento se tiene

es un sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) en funcin de las

variables x, y, z. Tal sistema no tiene solucin, pero si se asume una delas variables como valor jo, el sistema resultante es uno de dos ecuaciones

con dos incgnitas.

Ahora bien, qu variable asumir y qu valor ha tener, es un problema

cuya solucin podra buscarse por un mtodo exhaustivo que combina

sustitucin e iteracines es decir, prueba y error.

Por otra parte, asumiendo que existe, veamos una aproximacin

geomtrica al espacio solucin:

En primer lugar, de la ecuacin (2), considerando la solucin trivial

se tiene el espacio R descrito por:

x = 100y = 100z = 100

que inmediatamente se descata puesto que no cumple con las condiciones

del problema. Luego los posibles valores solucin se hallan en alguna

regin r dentro del espacio R , como se muestra en la Figura 1.

1G: Gockel (GER. gallo). H: Henne (GER. gallina). K: Kcken (GER. pollito)2

En unidades de piezas de dinero ($)

1

Figura 1. Espacio solucin

El cual es un espacio contnuo en comparacin con el conjunto solucin

que es de un carcter discreto, puesto que x, y, z deben ser enteros.Es decir, dentro del espacio solucin r existe al menos un punto p (x, y, z)tal que x Z+, y Z+, z Z+.

Del sistema de ecuaciones

5x+ 3y + 13z = 100x+ y + z = 100

se puede asegurar, de la ecuacin(1) que al menos

x 20y 34z 300

pero ninguno de estos valores cumplen con la ecuacin (2).

2

Se plantea entonces el siguiente

7. Algoritmo. Suponiendo que el valor de z controla la solucin del sistema,se podra empezar por dar un valor z 100 y utilizarlo en las ecuaciones(1) y (2). De este modo el sistema sera uno de dos ecuaciones con dos

incgnitas que se puede resolver iterativamente hasta encontrar la

convergencia en la solucin por mtodos como del de eliminacin.

8. Aplicacin.

Sea z = 90 (Primera iteracin)

El sistema de ecuaciones se puede escribir como

5x+ 3y = 70x+ y = 10

Eliminando y y resolviendo para x se obtiene

5x+ 3y = 703x 3y = 30

x = 20y = 10

soluciones que no tienen sentido fsico, al menos en lo que respecta a y.

En la siguiente tabla se muestran las soluciones al sistema de ecuaciones

para varios valores de z

It z y x1 90 -10 20

2 60 60 -20

3 75 25 0

4 84 4 12

5 78 18 4

6 81 11 8

de las cuales solo las correspondientes a las iteraciones 6,5,4, incluso 3,

tienen sentido prctico en el contexto del problema planteado.

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