equazioni di secondo grado:
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Equazioni di secondo grado:. Presentazione di Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E.Fermi” Sulmona (AQ). dai Babilonesi …. …ai banchi nostri. Premessa:. Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico …. X 2 – 2x +1 = 9 X 2 – 2x - 8 = 0 … e poi applico la formula!. x 2 = 9. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Equazioni di secondo grado:
Presentazione di Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E.Fermi” Sulmona
(AQ)
dai Babilonesi …
…ai banchi nostri.
Premessa:
Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico … x2 = 9 (x – 1)2 = 9
X2 – 2x +1 = 9X2 – 2x - 8 = 0 … e poi applico la formula! x2 + x + 1 >
0 < 0, a > 0, discordi …
PROBLEMAPROBLEMA
Trovare due numeri conoscendone la somma
(o la differenza) e il prodotto
Esempio 1.
Trovare due numeri la cui somma è 18 e il cui prodotto
è 72
Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con i simboli 9 – x , 9 + x .Si ha :
(9 + x)(9 – x) = 72 81 – x2 = 72 x2 = 9 vera se x = 3 o x = -3I due numeri richiesti
sono :9 + 3 = 12 e 9 – 3 = 6
a a - b
b
b
b
a - b
a b
a - b
b a - b
a - b
b b
b
a - b
a - b
(a + b)(a - b)a - b
b
b
b
a - b
a b
a - b
b a - b
a - b
b b
b
a - b
a - b
a - b
b
b
b
a - b
a b
a - b
b a - b
a - b
b b
b
a - b
a - b
a2 – b2
Esempio 2.
Trovare due numeri la cui differenza è 8 e il cui prodotto
è 20
Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8 con i simboli k + 4 , k - 4 .Si ha :
(k + 4) - (k – 4) = 8
k2 - 16 = 20 k2 = 36 vera se k = 6 o k = -6
I due numeri richiesti sono :6 + 4 = 10 e 6 – 4 = 2 (o i loro opposti)
(k + 4)(k – 4) = 20
Ricaduta didattica:
Radicali doppi
yxba
Problema:
Esistono due numeri reali positivi x , y tali che
?Eleviamo al quadrato
xyyxba 2Vera se:
4
bxy
ayx(sistema somma-prodotto)
Con lo stesso procedimento, i babilonesi risolvevano anche equazioni algebriche di secondo grado
Esempio 3.
Risolvere l’equazione : x2 + 8x = 20
L’equazione può essere scritta :x(x + 8) = 20
Se poniamo x + 8 = y si ha : y – x = 8 ,allora si devono trovare due numeri x , ytali che : y – x = 8 , xy = 20 .
(vedi Esempio 2) Metodo diofanteo (Diofanto di Alessandria III sec. d.C)
Esempio 4.
Risolvere l’equazione : 18x - x2 = 72
L’equazione può essere scritta :x(18 - x) = 72
Se poniamo 18 - x = y si ha : x + y = 18 ,allora si devono trovare due numeri x , ytali che : x + y = 18 , xy = 72 .
(vedi Esempio 1)
Esempio 5.
Risolvere l’equazione : 3x2 + 5x = 2
I babilonesi non dividevano per 3 per ottenere l’equazione
3
2
3
52 xx
Ma moltiplicavano per 3 ottenendo l’equazione : (3x)2 + 5(3x) = 6
ponendo 3x = z si ha :
z2 + 5z = 6
vera se z = 1 (o z = - 6) ,
per cui x = 1/3 (o x = - 2)
3x2 + 5x = 2
Numerazione posizionale sessagesimaledei babilonesi
Ambiguità della numerazione babilonese
Testo inciso sulla tavoletta d’argilla AO 8862 Base, altezza. Ho moltiplicato la base per l’altezza ed
ho trovato l’area. Ho poi addizionato la differenza tra la
base e l’altezza all’area trovando 183 [3;3].
Inoltre la somma tra la base e l’altezza è 27.
Calcolare la base, l’altezza e l’area.
Soluzione babilonese:
1. 27 + 183 = 210
2 2 + 27 = 29
3 29 : 2 = 14,5
4 14,5 x 14,5 = 210,25
5 210,25 – 210 = 0,25
6 5,025,0
7 14,5 + 0,5 = 15 (base)
8 14,5 – 0,5 = 14
9 14 – 2 = 12 (altezza)
10 15 x 12 = 180 (area)
Interpretazione della soluzione babilonese :
Sia x la base , y l’altezza:
183
27
yxxy
yx
Sostituisco la seconda equazione con la somma delle due equazioni:
27183
27
yxyxxy
yx
1. 183+27=210
2102
27
xxy
yx
2102
27
yx
yx
Aggiungo 2 a sinistra e a destra nella prima equazione :
2102
2722
yx
yx
2. 2+27 =29
Ottengo un nuovo sistema (somma-prodotto)
210
29
XY
YX
Con X = x , Y = y+2
Indico i due numeri la cui somma è 29 con 14,5 + k , 14,5 - k
(14,5 + k)(14,5 – k) = 210
210,25 – k2 = 210
K2 = 210,25 – 210 = 0,25
5,025,0 k
14,5 + 0,5 = 15 (base)
14,5 – 0,5 = 14
I due numeri sono:
14,5 – 0,5 = 14
14,5 + 0,5 = 15
X = x = 15 Y = y +2 = 14
x = 15 (base) y = 14 – 2 = 12 (altezza)
al-Khuwarizmi
Hisab al-jabr w’al-muqabala
Prima metà del IX secolo
al-jabr (restaurazione):
Addizionare o moltiplicare la stessa quantità
al-muqabala (riduzione):
Sottrazione di quantità uguali
4a equazione di al-Khuwarizmi:
Risolvete mal (quadrati) e 10 radici uguale a 39.
x2 + 10x = 39
1. Dividete per due il numero (coeff.) delle radici: risultato 5.
2. Moltiplicate 5 per se stesso: risultato 25.
3. Addizionate 25 a 39: risultato 64.
6439255 2 x
4. Prendete la radice quadrata di 64: risultato 8.
5. Sottraete da 8 il risultato dato al passo 1: soluzione 3.
85 x
358 x
Veniva ignorata la radice negativa
1358 x
Al-Khuwarizmi
Abbiamo detto abbastanza,
per quanto riguarda i numeri, sui sei tipi di
equazione. Ora è necessario
dimostrare geometricamente la verità degli stessi
problemi che sono stati spiegati con i numeri.
x
x
2x
x2x
x
5
5
5x
5x
X2 + 10x = 39
Per completare il quadrato si deve aggiungere un quadrato di lato 5.
x 5
5 25
x
X2 + 10x +25= 39 + 25 = 64
645 2 x
Thabit ibn Qurra (836-901 d.C):
Kitab filtatli listikhrag amal al-masail handasiya (Sulla soluzione corretta di problemi algebrici con metodi geometrici)
مروان بن قرة بن ثابت
ษาบิ�ต อิ�บินู กูรอิ(Thabit Ibn Qurra) 836-901(256-321 H)
bx
.GBA
F
H
xD C
x
b
x2
Euclide, Elementi, (libro II, Prop.5, Prop. 6)22
2
2
1
2
1
bcbbxx
Problema di applicazione delle aree per eccesso (iperbolico)
22
2
1
2
1
bcbx
2
2
1
2
1
bcbx
2
2
1
2
1
bcbx
Ricadute didattiche: Risolvi la disequazione: 012 xx
Disegna la parabola d’equazione:
12 xxy
Calcola l’integrale: dx
xx 1
12
Disegna la conica d’equazione: 09644 22 yxyx
Applicando il metodo del completamento del quadrato le risposte ai quesiti precedenti diventano più semplici, meno insidiose, più popolari…
Le nozioni che si
potevano offrire con luminosa chiarezza
venivano date oscure,
contorte, imbrogliate, come per via
di veri e propri
indovinelli.
Jan Amos Komensky ( Comenius) 1592-1670