1. introduzione:equazioni di secondo grado 2. equazioni pure e spurie 3. equazioni complete * *...
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1. INTRODUZIONE:EQUAZIONI DI SECONDO GRADO2. EQUAZIONI PURE E SPURIE3. EQUAZIONI COMPLETE * * FORMULA RIDOTTA4. RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI
UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO (SOMMA E PRODOTTO)
5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO
6. APPROFONDIMENTI 1
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1. EQUAZIONI DI SECONDO GRADOOGNI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ,RIDOTTA IN FORMA
NORMALE (PORTANDO TUTTO DALLA STESSA PARTE), SI PUÓ SCRIVERE NELLA FORMA:
ax +bx+c=0 con a≠0 e a, b, c R Se nell’equazione sono presenti tutti e tre i termini, essa
si chiama completa. (b≠0 e c≠0)Se nell’equazione manca il termine di primo grado,
l’equazione è incompleta e si dice pura. (b=0 e c≠0)Se nell’ equazione manca il termine noto, l’equazione è
incompleta e si dice spuria. (b≠0 e c=0)RISOLVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO VUOL
DIRE TROVARE LE SOLUZIONI, CIOÈ I VALORI CHE, SOSTITUITI ALL’INCOGNITA, VERIFICANO L’EQUAZIONE.
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2. EQUAZIONI PURE E SPURIEEQUAZIONI PURE EQUAZIONI SPURIEUN’EQUAZIONE DI SECONDO
GRADO SI DICE PURA SE MANCA IL TERMINE DI PRIMO GRADO, CIOÈ b=0, E PERCIÓ HA FORMA:
ax +c=0SI RISOLVE SEPARANDO IL
TERMINE NOTO DALL’ INCOGNITA, COME NELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO:
ax = -c x=± Esempio:5x -4=05x =4 x2 =4/5 x=±
UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SI DICE SPURIA QUANDO MANCA IL TERMINE NOTO, CIOÈ c=0 E b ≠0. HA PERCIÓ FORMA:
ax +bx=0 SI RISOLVE RACCOGLIENDO LA x E APPLIACANDO LA LEGGEDELL’ANNULLAMENTO DEL
PRODOTTO. x(ax+b)=0 x₁=0 x₂= - Esempio:3x2 -4X=0 x * (3x-4)=0 X1 =0 x₂=
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c
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b
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3. EQUAZIONI COMPLETELA FORMA NORMALE DI UN’EQUAZIONE COMPLETA DI SECONDO
GRADO è:ax +bx+c=0LE SOLUZIONE SI OTTENGONO CON LA FORMULA RISOLUTIVA *: x₁,₂=
L’ESPRESSIONE SOTTO RADICE SI CHIAMA DISCRIMINANTE DELL’EQUAZIONE E SI INDICA CON (DELTA).
LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO, DIPENDONO DAL VALORE DEL DISCRIMINANTE (DELTA), IN PARTICOLARE IL SEGNO DEL DELTA CI INFORMA SE LE SOLUZIONI SONO REALI O COMPLESSE,DISTINTE O COINCIDENTI. SE:
>0 L’EQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE. <0 L’EQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI perché
NON ESISTE IN R LA RADICE PARI DI UN NUMERO NEGATIVO.
=0 L’EQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI (SOLUZIONE DOPPIA).
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a
acbb
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* FORMULA RIDOTTA
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acbb
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4.RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SE x₁ e x₂ SONO LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE:
ax +bx+c=0, SI PUÓ DIMOSTRARE CHE LA SOMMA E IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI SONO LEGATE AI COEFFICIENTI DI a, b, c DELL’EQUAZIONE DALLE SEGUENTI RELAZIONI:
x₁ +x₂=- x₁ * x₂=
QUESTE RELAZIONI PERMETTONO DI RISALIRE
ALL’EQUAZIONE CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI, E DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO.
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a
bac
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SCRIVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO, CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI.
x₁ +x₂=S
x₁ * x₂=P
L’EQ. CHE HA x₁ e x₂ COME SOLUZIONI è :
x –Sx+P=0
DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDONE LA
SOMMA E IL PRODOTTO.CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO DI 2
NUMERI, I DUE NUMERI SI OTTENGONO RISOLVENDO L’EQUAZIONE
x –Sx+P=0.
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5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO.
PER SCOMPORRE IL TRINOMIO ax +bx+c, BASTA RISOLVERE L’EQUAZIONE ax +bx+c=0.
SE LE SOLUZIONI SONO DISTINTE ( >0), IL TRINOMIO SI SCOMPONE CON LA FORMULA:
ax +bx+c = a(x-x₁)*(x-x₂)SE LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE SONO CIONCIDENTI (
=0), LA FORMULA DIVENTA:ax +bx+c= a(x-x₀)SE L’EQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI, CIOÉ IL
DELTA É MINORE DI 0, IL TRINOMIO NON É SCOMPONIBILE.
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6. APPROFONDIMENTIDIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI COMPLETE DI SECONDO GRADO.
PORTIAMO A SECONDO MEMBRO IL TERMINE NOTO
DIVIDIAMO TUTTI I TERMINI PER a (≠ 0) SCRIVIAMO IL TERMINE (b/a)x COME
DOPPIO PRODOTTO DI DUE FATTORI AGGIUNGIAMO AI DUE MEMBRI IL
TERMINE (b/2a ) SI OTTIENE COSì AL PRIMO MEMBRO LO
SVOLGIMENTO DEL QUADRATO DI UN BINOMIO.
IL TRINOMIO AL PRIMO MEMBRO è IL QUADRATO DEL BINOMIO x+(b/2 a )
QUINDI:L’ESPRESSIONE AL PRIMO MEMBRO è UN QUADRATO; QUINDI è SEMPRE POSITIVA O NULLA. AFFINCHE’ L’EQUAZIONE AMMETTA SOLUZIONI REALI, ANCHE LA FRAZIONE AL SECONDO MEMBRO DEVE ESSERE POSITIVA. IL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE è SEMPRE POSITIVO, QUINDI, ANCHE IL NUMERATORE DEVE ESSERE POSITIVO. (b^2-4ac ≥ 0).
SE b^2-4ac ≥ 0, CI SONO DUE VALORI, UNO OPPOSTO ALL’ALTRO, CHE SODDISFANO L’EQUAZIONE. LI OTTENIAMO ESTRAENDO LA RADICE QUADRATA.
ISOLIAMO LA X RISOLVENDO LA FORMULA OTTENIAMO
LE DUE SOLUZIONI. 9
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EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE E IMPOSSIBILI, GRADO DI UN’EQUAZIONE.
LE EQUAZIONI POSSONO ESSERE:DETERMINATE, QUANDO HANNO UNA PRECISA
SOLUZIONE;INDETERMINATE, QUANDO HANNO INFINITE
SOLUZIONI;IMPOSSIBILI, QUANDO NON HANNO SOLUZIONI. GRADO DELLE EQUAZIONIIL GRADO DI UN’EQUAZIONE MI DA’ IL NUMERO
MASSIMO DI SOLUZIONI REALI POSSIBILI, A PATTO CHE NON SIA INDETERMINATA L’EQUAZIONE.
RICORDARSI DI CAMBIARE DI SEGNO LA SOMMA DELLE SOLUZIONI PRIMA DI INSERIRLA PER SCRIVERE L’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO.
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DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE LA SOMMA DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L’ EQUAZIONE.
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DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L’ EQUAZIONE.
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