equation différentielle
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Equation différentielle. Elaboré par M. NUTH Sothan. I. Définition. Déf .: F(x, y, y’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x et y’ sa dérivée, s’appelle équation différentielle du 1 er ordre . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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I. Définition
Déf.: F(x, y, y’) = 0 (1)
où x est une variable, y est une fonction de variable x et y’ sa dérivée,
s’appelle équation différentielle du 1er ordre.
On peut résoudre par rapport y’ :y’=f(x, y) (2)
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I. Définition…
On peut écrire aussi sous forme :
Ex.:
( , )
ou ( , ) 0
ou en général ( , ) ( , ) 0
dyf x y
dxf x y dx dy
P x y dx Q x y dy
ln' , ' , ' , 0y y x
y xe y y x y xdx ydyx
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II. Solution
Considérons :y’=f(x, y) (1)
Déf.1: La solution de (1) est une fonction y = (x), x (a, b)
qui vérifie (1).
Ex.: y=x3 est une solution de3 ' 0y xy
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II. Solution…
Déf.2: La solution générale de (1) est une fonction y=(x, c), xG et c est une constant,
qui vérifie (1) et pour toute condition initiale
(x0 , y0) G, il existe uniquement c=c0 tel que la fonction y=(x, c0) implique (x0 , c0)=y0 ,
00x x
y y
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II. Solution…
Déf.3: La solution partielle de (1) est une fonction y=(x, c0), xG et c0 est une constant,
qu’on obtient de solution générale en donnant la condition initiale
Ex.: y’= 3x2 La solution générale est y=x3 + cAvec la CI y(0)=1 c = 1.La solution partielle est y=x3 + 1.
00x x
y y
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III. ED du 1er ordre à variable séparées
1. L’équation sous forme y’=f1 (x) f2 (y) (1)
où f1 (x) et f2 (y) sont continues est dites Equation Différentielle du 1er ordre à variables séparées.
Du (1), on a :
(2)
(3)
1 2 12
12
( ) ( ) ( )( )
( )( )
dy dyf x f y f x dx
dx f y
dyf x dx C
f y
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III. ED du 1er ordre à variables séparées…
2. L’équation sous forme y’=f (ax+by+c), ( b 0 ) (4)
En posant u=ax+by+c , (4) devient (1).Ex.: 1. '
12. 0
1
3. cos 0
yy
xdy y
dx xdy
y xdx
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IV. ED du 1er ordre hormogène
1. L’équation sous forme (1)
(2)Ex.1:
( , ) ( , ) 0
ou
P x y dx Q x y dy
dy yf
dx x
2 2
2 2
( ) 0 ( )
( )
y dx x xy dy i
xdy ydx x y dx ii
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IV. ED du 1er ordre hormogène…
2. L’équation sous forme (3)
où
1 1 1
2 2 2
'a x b y c
y fa x b y c
1 1
2 2
0a b
a b
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IV. ED du 1er ordre hormogène…
En posant x=u+, y=v+ ,et en résoudre le système
on obtient l’EDH de variable u et v .
Si =0, on pose u=ax+by , on obtient l’ED à variable séparée.
1 1 1
2 2 2
0
0
a b c
a b c
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IV. ED du 1er ordre hormogène…
Ex.2: a/
b/
c/
1 3 3'
1
x yy
x y
2 1
'2 4 3
x yy
x y
(2 4) ( 2 5) 0x y dy x y dx
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V. ED Linéaire du 1er ordre
L’équation sous forme (1)est dite EDL du 1er ordre.
Si f(x)=0 alors, (1) est hormogène, et sinon est non hormogène.
' ( ) ( )y p x y f x
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V. ED Linéaire du 1er ordre…
Méthode 1:Considérons (2)Trouvons la solution Générale Hormogène :
1
( )1
' ( ) 0 ( )
( )
ln ( ) F x
dyy p x y p x y
dxdy
p x dx Cy
y F x C y Ce
' ( ) 0y p x y
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V. ED Linéaire du 1er ordre…
Trouvons la Solution Particulière Non Hormogène :Posons SPNH.En remplaçant dans (1), on trouve C(x) et en on trouve
la Solution Générale de (1).
Méthode 2 :La Solution Générale de (1) est proposée sous forme
y=u(x)v(x).
( )( ) F xy C x e
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V. ED Linéaire du 1er ordre…
En remplaçant y=u(x)v(x), on obtient :
'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( )[ '( ) ( ) ( )] ( )
'( ) ( ) ( ) 0
'( ) ( ) ( )
u x v x u x v x p x u x v x f x
u x v x u x v x p x v x f x
v x p x v x
u x v x f x
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VI. ED sous forme différentielle totale
L’équation sous forme : (1)est dite ED sous forme différentielle totale si
(2)
Alors, il existe u(x, y) telle que
(3)
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy
P Q
y x
u udu dx dy
x y
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VI. ED sous forme différentielle totale…
En comparant (1) et (3), on a :
Pour résoudre (1), on fait l’intégrale
Or
( , ) et ( , )u u
P x y Q x yx y
( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx C y ( , ) ( ( , ) ) ( )
( , ) ( )
uQ x y P x y dx C y
y y
Q x y C y
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VI. ED sous forme différentielle totale…
Ex.1: a/
b/
c/
d/
2( 1) ( 3)x y dx x y dy
( ) ( 2 ) 0x y dx x y dy 2 2( 2 ) 2 0x y x dx xydy 3 2 2 2( 3 2) (3 ) 0x xy dx x y y dy
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VI. ED sous forme différentielle totale…
En cas on peut trouver (x) ou (y) qui
s’appelle facteur intégrant qui vérifie
Ex.2:a/b/c/
P Q
y x
P Q
y x
2( ) 2 0x y dx xydy (1 ) 0y xy dx xdy
( cos sin ) ( sin cos ) 0x y y y dy x y y y dx
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre
1. Equation de Bernoulli :
(1)
En divisant (1) par yn , on obtient
(2)
En posant z=y1-n , on obtient
(3)
( ) ( ) ndyf x y x y
dx
1
1 ( )( )
n n
dy f xx
y dx y
1( ) ( )
1
dzzf x x
n dx
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
Ex.1: a/
b/
c/
32 4dy
y ydx
2dy yxy
dx x
22 0dy
xy y xdx
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
2. Equation sous forme F(x, y, y’)=0 (4)
Si (4) est une équation de second degré par rapport y’, et si on obtient deux racines :
y’=f1 (x, y) et y’=f2 (x, y). (5)
Alors, la SG est sous forme : (x,y,C ) = 1(x,y,C ) 2(x,y,C ) = 0 (6)
En plus, il existe la solution singulière de (x,y,C ) = 0 et ’C(x,y,C ) = 0 (7)
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
Ou le résultat d’élimination y’=p de F (x,y,p ) = 0 et F’p(x,y,p ) = 0 (8)
Ex.2: xy’ 2+2xy’ – y = 0Posons: y’=p. On obtient xp2+2xp – y = 0
2
1 1x x xy y
px x
' 1 1 ' 1 1 0y y
y yx x
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
3. Equation sous forme x = (y, y’) La SG est sous forme paramètre de système :
Analogiquement, pour y = (x, y’) :La SG est sous forme paramètre de système :
1, ( , )
dpx y p
p y p dy
, ( , )dp
p y x px p dx
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
Ex.3: a/
b/
c/
d/
22' '
2
xy y xy
2 2' ' 1 0
yy y
x
24 ' 9 0y x 2' ( 1) ' 0yy xy y x
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
4. Equation de Clairaut :
(9)
Pour résoudre on pose y’=p(x), on obtient deux cas de :
(10)
a)
b)
dy dyy x f
dx dx
( '( )) 0dp
x f pdx
0 ( )dp
p C y Cx f Cdx
'( ) 0 ou ( ) ( )x f p x p y y p
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VII. Autre type de l’ED de 1er ordre…
5. Equation de Lagrange :
(11)
On peut faire la même façon comme au dessus.
Ex.4: a/
b/
3' 'y xy y
dy dyy xf
dx dx
2' 'y xy y
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VIII. Exemple
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1' ; 0; 1
yy y x
x
' 1; 1; 1x ye y y x
' 2; 2; 0y ctgx y y x
( ' 1) 1; 0; 0ye y y x
2 22 ' 0; 0; 0xyy x y y x
2 ' ; 1; 1xy y y x