현대물리학 5장 양자역학 - hjeon.namoweb.nethjeon.namoweb.net/lecture/5.pdf · 의...

Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

Chapter 5 양자역학(Quantum Mechanics)


탄소(흑연) 기판 위에서의 금 원자 주사 터널링 현미경 사진. 금 원자 덩어리의 폭은 약 1.5 nm이고 높이는 3원자 높이이다.

5.1 양자역학

5.2 파동 방정식

5.3 Schrodinger 방정식: 시간 의존의 형태

5.4 선형성 및 중첩

5.5 기대값

5.6 연산자

5.7 Schrodinger 방정식: 정상상태의 형태

5.8 상자 속의 입자

5.9 유한한 퍼텐셜 우물

5.10 터널 효과

5.11 조화 진동자

..

..


원자에 대한 Bohr 이론의 한계성 -어떤 스펙트럼 선이 다른 선들보다 왜 강한가 하는 문제(즉, 어떤 에너지 준위들 사이에서 일어날 전이확률이 다른 사이들에 비해 큰 이유)를 설명하지 못함

-많은 스펙트럼 선들이 실제로는 미세한 파장의 차이를 보이는 몇 개의 분리된 선으로 이루어졌다는 실험결과를 설명하지 못함

-각각의 원자들이 다른 원자와 상호작용에서 우리가 관측하는 물리적 화학적 성질을 띤 물질이라는 거시적 집합체를 형성하는 것에 대해 설명하지 못함

위의 한계성들은 원자 현상에 대한 좀 더 일반적인 접근이 필요함을 강조

→1925~26년 사이 Schrodinger, Heisenberg, Born, Dirac 등에 의해 “quantum mechanics”로 발전물리세계를 전적으로 다른 방법으로 기술

1930년대 초까지의 핵, 원자, 분자, 그리고 고체 상태 물질에 관련되는 문제들에 양자역학을 적용함으로써 많은 실험결과들을 이해하고 예측 가능


5.1 양자역학

고전역학과 양자역학의 근본적인 차이

고전역학

입자의 초기 위치와 운동량이 그것에 작용하는 힘과 함께 주어지면 한 입자의 미래가 정확하게 결정됨

양자역학

-불확정성의 원리 → 입자의 초기 상태를 충분한 정확도를 가지고 설정할 수 없기 때문에 미래에 대한 확실성이 있을 수 없음

-현재의 입자의 위치를 정확하게 알면 알수록 그의 운동량에 대해서는 잘 모르게 되고, 따라서 그의 나중 위치도 잘 모르게 됨

양자 역학에서 양들의 관계를 나타내는 것은 “확률”

Bohr의 이론에 의하면 수소원자의 바닥상태에서 전자 궤도의 반지름은 정확히 이지만 양자역학에서 은 가장 가능한 반지름임.

고전역학은 양자역학의 근사치에 불과함.(고전역학의 확실성은 환상임).

m11103.5 −×m11103.5 −×

고전 역학은 양자 역학의 근사이다


Wave Function

양자역학에서 관심을 갖는 것은 그 물체의 파동 함수 Ψ 이다.

Ψ → No physical meaning

→ Probability of finding a body at that time

linear momentum

angular momentum

energy of the body

양자역학의 문제는 물체의 Ψ를 결정하는 것임

2Ψ

Ψ로부터 알 수 있는 양

5.1 양자역학

Ψ는 실수와 허수 부분을 가지는 복소함수

파동함수 (A, B 는 실함수)

복소공액

*2ΨΨ=Ψ

iBA+=Ψ

iBA−=Ψ*

22222* BABiA +=−=ΨΨ→양의 실수


Ψ가 항상 만족하는 특정한 조건을 설정

:Ψ로 표현된 물체를 발견할 확률 밀도 P에 비례

모든 공간에 대한 적분 값은 유한해야 함

→ 물체가 존재하지 않음

→ 음수나 복소수일 수 없음 ∫∞

∞−=Ψ 02 dV

2Ψ

2Ψ

2Ψ 를 Probability density P에 비례하는 것보다 P와 같다고 생각하는 것이 편리

모든 시간에서 입자는 어디엔가는 존재해야 하므로

따라서,

또한 Ψ는 일가(single valued)이며 연속(continuous)이어야 함

운동량을 고려하면 도 유한 하고 연속이어야 하며 일가 이어야 함

위와 같은 성질을 갖는 Ψ만이 물리적으로 의미 있는 결과를 가짐

∫∞

∞−=Ψ 12 dVNormalization(규격화)

∫∞

∞−=1PdV

zyx ∂Ψ∂∂Ψ∂∂Ψ∂ /,/,/

5.1 양자역학


Well-Behaved Wave Function: To summarize

1. Ψ는 모든 곳에서 연속이고 일가함수이다.

2. 는 모든 곳에서 연속이고 일가함수이다.

3. Ψ는 규격화가 가능해야 한다. 이는 모든 공간에 걸쳐서 가 유한하기 위해, 인 극한에서 Ψ는 0으로 수렴해야 한다는 것을 의미

zyx ∂Ψ∂∂Ψ∂∂Ψ∂ /,/,/

∫∞

∞−=Ψ 12 dV

±∞→±∞→±∞→ zyx ,,

Wave functions of a particle in a box

→ 상자 밖에서 Ψ=0 이므로, 무한히 딱딱한 벽에서는 파동함수의 미분이 연속 적이지 않다

그러나 현실에서는 →무한히 딱딱한 벽은 존재하지 않음

벽에서 Ψ가 급격하게 변하지 않음

→ 따라서 미분은 연속적

파동함수로 기술되는 입자를 어떤 구간에서 발견할 확률은 확률밀도를 구간에서 적분

∫ Ψ= 2

121

2x

xxx dxP확률 (5.2)

5.1 양자역학


5.2 파동함수와 파동 방정식

파동 방정식은 복소수의 해를 포함한 여러 종류의 해들이 가능

Schrodinger’s equation

fundamental eq. of quantum mechanics

→Ψ를 변수로 하는 파동 방정식

wave eq. (5.3)

변수가 y이고 속력 v로 x 방향으로 진행하는 파동을 나타냄

→ 역학적인 파동일 때는 Newton의 제2법칙으로부터, 전자기파인 경우에는 Maxwell의 방정식으로부터 유도

2

2

22

2 1ty

vxy

∂∂

=∂∂

파동 방정식의 해는 다음과 같은 모양이어야 한다.

+ : wave traveling in the –x direction

- : wave traveling in the +x direction

F : 미분 가능한 임의의 함수

±=

yxtFy (5.4)


어떠한 힘의 영향도 받지 않는 그러므로 일정한 속력으로 직선을 따라서 진행하는 “free particle”과 유사한 wave를 생각해보자

이 wave는 식(5.3)의 일반해 중에서 감쇠 진동하지 않고(즉, 일정한 진폭 A), 단일 진동수를 가지는 (일정한 각진동수 ω), +x 방향으로 진행하는 조화파를 의미하며

다음과 같이 표현

y: 실수부와 허수부를 가지는 복소량

이므로 식(5.5)는

)/( vxtiAey −−= ω (5.5)

θθθ sincos ie i −=−

그림 5.1 x축 위에 놓인 잡아당겨진 줄을 따라 +x방향으로 진행하는 xy 평면에서의 파.

−−

−=

vxtiA

vxtAy ωω sincos (5.6)

식(5.6)의 실수만이 중요한 의미

y: 정상위치로 부터 현의 변위

5.2 파동함수와 파동 방정식



다른 어떤 것으로부터도 유도될 수 없는 기본적인 물리 원리

양자역학에서 파동함수 Ψ는 파동운동의 변수 y와 일치한다. 그러나, Ψ는 측정 가능한 양이 아니므로 복소수일 수도 있다.

∴ +x방향으로 진행하는 Ψ는

위 식에서 ω를 2πυ로 바꾸고, ν를 λυ로 바꾸면

υ와 λ를 이미 알고 있으므로

Free particle

)/( νω xtiAe −−=Ψ

)/(2 λπ xvtiAe −−=Ψ

vhvE π2==pp

h πλ 2==

)( )())(/( kxwtipxEti AeAe −−−− ==Ψ (5.9)

(5.8)

(5.7)

→총 에너지가 E이고 운동량이 p이고 +x방향으로 진행하는 자유입자의 Ψ.

식(5.9)자유롭게 움직이는 입자에만 해당


식(5.9)는 free particle의 Ψ이지만 실제로는 여러 형태로 구속되어 있음

예를 들면, 원자핵의 전기장에 의해 원자에 속박된 전자의 문제는 매우 중요

Fundamental differential eqn. for Ψ → “Schrodinger equation” Schrodinger eqn.은 여러 방법으로 구할 수 있으나 현존하는 물리 원리로 부터 유도 불가능

→ 이 방정식이 어떤 새로운 것을 상징

식(5.9)를 x에 대해 두 번 미분하면

Ψ−=∂Ψ∂

2

2

2

2

px

2

222

xp

∂Ψ∂

−=Ψ (5.10) 시간에 대해 한 번 미분하면

Ψ−=∂Ψ∂

iEt

tiE

∂Ψ∂

−=Ψ

(5.11)



입자의 총 에너지(E)= U=f(x,t) (x:position, t: time) )()2/( 2 UPEmpKE +

),(2

2

txUm

pE += (5.12)

시간의존 Schrodinger 방정식(1차원)

식(5.12)의 양변에 Ψ를 곱하면

식(5.10)과 식(5.11)의 EΨ와 p2Ψ에 대한 표현을 대입하면 “시간에 의존하는 Schrodinger 방정식(time-dependent from of Schrodinger’s equation”을 얻을 수 있다

In 3-D

Ψ+Ψ

=Ψ Um

pE2

2

(5.13)

Ψ+∂Ψ∂

−=∂Ψ∂ U

xmti 2

22

2

(5.14)

Ψ+

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−=∂Ψ∂ U

zyxmti 2

2

2

2

2

22

2

(5.15)

여기서 입자의 위치에너지 U는 x, y, z와 t의 함수



입자운동에 주어지는 제약은 모두 위치 에너지 U에 영향을 준다

→U를 안다면, Schrodinger 방정식을 Ψ에 대해 풀어

→주어진 x, y, z, t에서의 확률밀도 를 결정 2

Ψ

rSchrodinge.. 방정식의 타당성

방정식을 자유입자(U=일정)의 파동함수로부터 얻음

공간과 시간에 대해 임의로 변하는 힘[U=U(x, y, z, t)]의 영향을 받는 입자에도 적용이 가능한가?

eq 5.10과 eq 5.11를 eq 5.13에 대입하는 것은 논리의 비약

→ 여러가지 물리적 상황에 대해 이 방정식을 풀고, 그 계산 결과를 실험 결과와 비교

만약 두 결과가 일치하면 eq.는 정당한 것임

rSchrodinge..

rSchrodinge..

방정식은 물리의 다른 기본원리로부터 유도할 수 있는 것이 아니고, 그 자체가 기본원리인 것이다.

rSchrodinge..

실제로 는 실험 결과를 정확하게 예측

→ 방정식이 실험식에 매우 일치함으로 물리세계를 표현하는데 정당함

rSchrodinge..

rSchrodinge..




rSchrodinge.. 방정식에 의하면 파동함수 Ψ는 선형

→ 선형성으로 인해 방정식의 주어진 계에서의 해들의 선형결합 또한 해가 됨 rSchrodinge..

2211 Ψ+Ψ=Ψ aa (Ψ1과 Ψ2가 해라면 Ψ도 해임)

Ψ1과 Ψ2는 중첩원리를 따름

→광파, 음파, 수면파 그리고 전자기파에서 일어났던 것과 마찬가지로 파동함수에서도 간섭현상이 일어난다고 결론

전자회절에 중첩원리를 적용하면

그림 5.2 (a) 이중 슬릿 실험의 실험배치. (b) 슬릿 1만이 열렸을 때의 스크린에서의 전자 세기. (c) 슬릿 2 만이 열렸을 때의 스크린에서의 전자세기 (d) 세기(b)와 (c)의 합. (e) 슬릿 1과 슬릿 2가 함께 열렸을 때의 실제 세기. 확률밀도 과 가 아닌 파동함수 ΨI과 ΨII 의 합이 스크린에서의 세기를 준다.

2

IΨ 2

IIΨ


그림 5.2 b는 슬릿1 만이 열렸을 때의 스크린에서의 전자 세기 분포로서 확률밀도는

만약 슬릿2만 열렸을 경우 확률밀도는 그림 5.2 c 에서와 같이

만약 두 슬릿 모두가 열렸다고 하면 그림 5.2 d와 같이 P1+P2가 될 것으로 예상됨. 그러나 양자역학에서는 확률이 아니고 파동함수를 더해야 하므로 그림 5.2 e와 같이 최대 및 최소 크기가 번갈아 나타나는 모양을 가짐

1

*

1

2

11 ΨΨ=Ψ=P

2

*

2

2

22 ΨΨ=Ψ=P

그림 5.2e의 회절무늬는 Ψ1과 Ψ2의 중첩 → Ψ = Ψ1 + Ψ2

그러므로, 스크린에서의 확률밀도는

오른쪽의 두개의 항이 스크린 상에서의 전자세기를 진동하게 만들어 그림 5.2d와 그림 5.2e가 차이가 남

( )( )

1

*

22

*

121

1

*

22

*

12

*

21

*

1

21

*

2

*

1

2

21

2

ΨΨ+ΨΨ++=ΨΨ+ΨΨ+ΨΨ+ΨΨ=

Ψ+ΨΨ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ=

PP

P


5.5 기대값: 파동함수로부터 정보를 축출해내는 법

방정식의 해 Ψ는 불확정성의 원리에 의해 허용되는 모든 정보가 들어있다

Ψ(x, y, z, t) → 양자화된 변수들을 제외한 모든 정보는 확률의 형태

Example) x축상에 운동하는 파동함수 Ψ(x, t)에 의해 기술되는 입자의 위치에 대한 기대 값(expectation value) <x>를 구하면

rSchrodinge..

→ 동일한 파동함수에 의해 기술되는 많은 입자들의 위치를 어느 시각 t에서 측정하고 그 측정값의 평균

x1에 N1개, x2에 N2개가 위치하는 등 x축을 따라서 분포되어 있는 동일한 입자들의 평균위치 는 어디인가?

평균위치( ) = 같은 분포의 질량중심 x

∑∑=

++++++

=i

ii

NxN

NNNxNxNxNx

321

332211 (5.16)

5.5 기대값

단일 입자를 다룰 때는 xi에 있는 입자의 수 Ni를 xi에서 간격 dx사이에 있는 입자를 발견할 확률 Pi로 바꿔야 함

Ψi는 x=xi에서 계산한 파동함수

단일입자에 대한 위치 기대값(expectation value of the position)은

dxP ii

2Ψ= (5.17)

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

Ψ

Ψ=

dx

dxxx

2

2

(5.18)

만약 Ψ가 규격화된 파동함수라면, 분모의 값은 1

∫∞

∞−

Ψ= dxxx 2(5.19) 위치 기대값

임의의 양들(example, U(x) P.E.)에 대한 기대값 <G(x)>

( ) ( )∫∞

∞−

Ψ= dxxGxG 2기대값 (5.20)

5.5 기대값

불확정성의 원리에 의해 p(x)와 같은 함수가 존재하지 않기 때문에 운동량에 대한 기대값 를 위와 같은 방법으로 구할 수 없음

이므로 x를 확정하면 p를 나타낼 수 없음

<E>도 마찬가지

와 <E>를 구하는 방법 → 5.6절에서 논의 (p와 E는 미분 연산자를 포함한 인자)

2/≥∆∆ px( )2/≥∆∆ tE

5.6 연산자

와 <E>를 얻기 위해서는 자유입자의 파동함수 를 미분 ( )( )pxEtiAe −−=Ψ /

Ψ−=∂Ψ∂

Ψ=∂Ψ∂

Eit

pix

Ψ∂∂

=Ψ

Ψ∂∂

=Ψ

tiE

xip

(5.21)

(5.22)

윗 식으로부터 연산자(operator)를 알 수 있음 → ∧(캐럿)으로 표시

tiE

xip

∂∂

=

∂∂

=

ˆ

ˆ운동량 연산자

총 에너지 연산자

(5.23)

(5.24)


5.6 연산자

연산자 방정식 → UKEE ˆˆ +=∧

(5.25)

mpKE2

2

=이므로,

2

2222

221

2ˆ

xmximmpKE

∂∂

−=

∂∂

==∧ 운동 에너지

연산자 (5.26)

식(5.25)는 U

xmti +

∂∂

−=∂∂

2

22

2

(5.27)

양변에 Ψ를 곱해주면,

Ψ+∂Ψ∂

−=∂Ψ∂ U

xmti

2

22

2

방정식 rSchrodinge..


연산자와 기대값

p와 E의 기대값을 구하기 위해 앞의 연산자 이용

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− ∂Ψ∂

Ψ=Ψ

∂∂

Ψ=ΨΨ= dxxi

dxxi

dxpp *** ˆ (5.28)

∫ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− ∂Ψ∂

Ψ=Ψ

∂∂

Ψ=ΨΨ= dxt

idxt

idxEE *** ˆ (5.29)

식(5.28)과 (5.29)는 기준에 맞는 모든 파동함수 Ψ(x, t)에 대해 적용 가능

기대값이 연산자를 포함하는 형태로 표현되어야 할 필요 있음

dxpp ΨΨ= ∫∞

∞−

ˆ*

또 다른 표현으로

( ) [ ]∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− =ΨΨ=ΨΨ∂∂

=ΨΨ 0ˆ ***

idx

xidxp

5.6 연산자


왜냐하면 Ψ*와 Ψ는 x=±∞에서 0이 되어야 하고

∫ ∫∞

∞−

∞

∞− ∂∂

ΨΨ=ΨΨ dxxi

dxp ** ˆ ← 의미 없는 식

물리 계에서 어떤 관측 가능한 양 G는 양자역학 연산자 G로 표현 가능

→G를 x와 p로 표현하고 p를 로 대치하면 가능 ( ) xi ∂∂ //

( ) ∫∞

∞−

ΨΨ= dxGpxG ˆ, * (5.30) 연산자의 기대값

5.6 연산자

x 및 V(x)와 같은 대수적인 양들은 적분 인자의 순서는 중요하지 않음 그러나 미분 연산자가 포함 될 때는 인자의 순서를 맞춰야 한다


5.7 Schrodinger 방정식: 정상 상태의 형태

위치 에너지는 시간에 대해 가시적으로 의존 하지 않음

즉, 입자에 작용하는 힘(=U)이 입자의 위치에 따라서만 변함

→ 시간 t에 관한 항을 모두 없앤 방정식을 만들 수 있다 rSchrodinge..

자유 입자의 일차원 파동함수(Ψ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tiExiptiEpxEti eeAeAe //// −+−−− ===Ψ ψ (5.31)

Ψ는 시간의존함수 와 위치의존함수 ψ의 곱

식(5.31)의 Ψ를 시간의존 방정식에 대입하면

( )tiEe /−

rSchrodinge..

( ) ( ) ( )tiEtiEtiE eUx

em

eE /

2

2/

2/

2−−− +

∂∂

−= ψψψ공통의 지수항으로 나누면

( ) 0222

2

=−+∂∂ ψψ UEm

x

일차원에서 정상 상태 Schrodinger 방정식

(5.32)

고유값과 고유함수


삼차원에서는

( ) 0222

2

2

2

2

2

=−+∂∂

+∂∂

+∂∂ ψψψψ UEm

zyx (5.33) 삼차원에서 정상상태

Schrodinger 방정식

방정식의 중요한 한가지 특성(양자화)

; 주어진 계에서 하나 혹은 하나 이상의 해를 가진다면, 각 파동함수는 E의 특정한 값들에 각각 대응

→파동역학에 의해 에너지 양자화는 자연스럽게 따라 나타남

→물리 세계에서의 에너지 양자화는 모든 안정된 계의 보편적 현상이 됨

rSchrodinge..

그림 5.3 양끝이 고정된 잡아당겨진 줄에서의 정상파

에너지 양자화에 대한 유사한 예는 양끝이 고정된 길이 L의 당겨진 현에서의 정상파에 관한것

-파동이 한 방향으로 무한히 전달 되는 것이 아니라 +x방향과 –x방향으로 동시에 진행

-파동의 양끝의 변위 y는 항상 0(경계조건:boundary condition)

-변위 y(x, t)와 ψ 그리고 미분값은 유한하고 연속이며 일가함수


-줄의 경우의 y는 직접적으로 측정 가능한 양이므로 실수


-줄의 경우의 y는 직접적으로 측정 가능한 양이므로 실수

위 조건을 만족시키는 파동함수의 해는

n = 0, 1, 2, 3, …

→y(x, t)가 오직 특정한 λn에 대해서만 값을 가짐

12+

=n

Lnλ

고유값과 고유함수

; 의 정상상태 방정식이 해를 가질 수 있는데 이것의 에너지 값 En을 고유 값(eigenvalue)이라고 하며, 그에 해당되는 파동함수 ψn을 고유함수(eigenfunction)이라고 함

rSchrodinge..

수소원자의 불연속적인 에너지 준위

−=

220

22

4 132 n

meEnεπ n = 1, 2, 3, …

→고유 값 모임의 한 예




안정된 계에서 양자화 된 것 총 에너지(En)

각 운동량(L) → 동역학적 변수(dynamic variable)

총 각운동량 크기의 고유 값은

)1( += llL l = 0, 1, 2, … , (n-1)

어떤 동역학적 변수 G는 양자화 되지 않을 수도 있음

→동일한 계들에 대한 G의 측정들이 유일한 하나의 값을 주지 않으며, 측정 값은 흩어져 있고 그들의 평균은 기대 값이 된다.

∫∞

∞−

= dxGG 2ψ

수소 원자의 경우, 전자의 위치는 양자화 되지 않음

(E(총에너지), L(각운동량), 각운동량의 방향은 양자화됨)

→따라서 전자는 고전적 의미에서 예측 가능한 위치에 있거나 궤도를 이루는 것이 아니라 핵의 근처에서 의 확률로서 존재하는 것으로 생각됨 ./2 volψ→확률이란 단지 전자를 발견할 확률이며 확률이 공간으로 퍼져 나간다 할지라도 전자 자체는 그렇지 않다



연산자와 고유값

G가 양자화 될 조건은 계의 파동함수 ψn이 다음과 같이 되는 조건

nnn GG ψψ =ˆ (5.34) 고 유 값 방 정 식

G 는 G에 대응하는 연산자

Gn 은 실수(고유 값)

한 계의 파동함수에 대해 윗 식이 성립할 때, G의 어떠한 측정도 Gn중의 한 값만을 가져온다 양자역학의 한 근본적인 가정

고유함수 ψk로 기술되는 상태에 G의 측정 → 단일 값 Gk 측정

식(5.25)와 식(5.26)의 관점으로 식 (5.24)의 총 에너지는

Uxm

H +∂∂

−= 2

22

2ˆ

Hamilton의 연산자 (5.35)


Hamilton의 연산자(Hamiltonian operator)를 이용하여 정상상태의 방정식을 아래와 같이 표현

rSchrodinge..

nnn EH ψψ =ˆ (5.36) 방정식 rSchrodinge..

따라서, En을 Hamilton 연산자의 고유 값이라 할 수 있다.

표 5.1 몇 가지 관측 가능 량에 대한 연산자




방정식을 풀기 위해서는 정교한 수학적 기술이 필요

→양자역학은 실험적 실체와 가장 가까운 결과를 제공하는 이론적 구조

→현대물리를 이해하려면 양자역학의 방법들과 그 응용성을 알아야 함

rSchrodinge..

가장 단순한 양자 역학적 문제는 무한히 단단한 벽으로 된 상자 속의 입자의 문제

3.6절의 단순한 논의로부터 좀더 공식화된 방법으로 풀면

→그 결과로 각각의 에너지 준위에 해당하는 파동함수 ψn을 구할 수 있음

그림 5.4 무한히 딱딱한 벽을 가진 상자에 해당하는 양끝에서 무한히 높은 장벽을 가진 네모 퍼텐션 우물.

입자가 무한히 단단한 벽에 의해 x축을 따라 x=0과 x=L사이에서 운동할 때

입자는 벽과 충돌 시 에너지를 잃지 않음 → 총 에너지 일정

상자의 양끝에서 P.E(U)는 ∞, 안쪽에서는 일정(편의상 0)

입자가 ∞의 E를 가질 수 없으므로 상자 밖에서는 존재하지 않음

→x ≥ L, x ≤ 0에서 ψ=0

x=0과 x=L 사이에서 ψ를 알아보자


상자 안에서 U=0 이므로 방정식은 rSchrodinge..

0222

2

=+ ψψ Emdxd

(5.37)

식(5.37)의 해는

xmEBxmEA

2cos2sin +=ψ (5.38)

(A, B 는 상수)

경계조건 → x=0 과 x=L 에서 ψ=0

x=0 → B=0

x=L →

0cos0 B=

LmEA

2sin0 = πnLmE=

2( ),...3,2,1=n (5.39)

이 입자의 에너지는 특정한 값들만을 취할 수 있다는 것을 알 수 있음 ( = 고유값)

식(5.39)를 E에 대해 풀면,



2

222

2mLnEn

π=상자 속의

입자 n = 1, 2, 3, … (5.40)

식(5.40)=식(3.18)

Wave functions of Particle in a Box

식(5.38)에서 B=0으로 하여

xmE

A nn

2sin=ψ (5.41)

식(5.40)의 En을 대입하여

LxnAn

πψ sin= (5.42)

→ 고유값 En에 대응하는 고유함수

이 고유함수들이 5.1절에서 논의한 모든 조건을 만족시킨다는 것을 입증

requirements: 각각의 양자수 n에 대해

- ψn은 유한하고 x의 일가함수



- ψn과 는 연속

- 는 유한

xn ∂∂ /ψ

∫ dV2ψ

삼각함수 항등식 을 이용하면, )2cos1(21sin2 θθ −=

=

−=

−=

==

∫∫

∫ ∫∫∞

∞−

22sin

22

2cos2

sin

2

0

2

00

2

0 0

2222

LAL

xnnLxA

dxL

xndxA

dxL

xnAdxdx

L

LL

L L

nn

ππ

π

πψψ

(5.43)

Ψ를 규격화 하기 위해

∫∞

∞−

=12 dxnψ (5.44)

식(5.43)과 식(5.44)를 비교하면

LA 2= (5.45)



입자의 규격화된 파동함수는

Lxn

Ln

πψ sin2= n = 1, 2, 3, … 상자속의 입자 (5.46)

그림 5.5 단단한 벽을 가진 상자에 갇힌 입자의 파동함수와 확률밀도.

02=nψ at x=0 & x=L

2/L →has its max value of 2/L in the middle of box

at the middle of the box

2

1ψ

02

2 =ψ

Classical physics → 입자가 상자 속 어느 곳에 있을 확률은 위치에 관계없이 일정

Quantum mechanics → 양자수가 다르면 매우 다를 수 있음


운동량

1차원 상자 속에 갇힌 입자의 운동량의 기대치 를 계산

Lxn

Ln

Ldxd

Lxn

Ln

ππψ

πψψ

cos2

sin2*

=

==

이고, 또 식(5.30)으로 부터,

dxL

xnL

xnL

nLi

dxdxd

idxpp

L πππ

ψψψψ

cossin2

ˆ

0

**

∫

∫∫

=

==

∫ = axa

axdxax 2sin21cossin 을 사용하면, a=nπ/L 이고 n = 1, 2, 3,.. 0sin0sin 22 == πn

02sin0

=

=

L

Lxn

iLp π

입자 운동량의 기대값 는 0



mpE2

2

= 이므로

LnmEp nn

π±=±= 2갇혀 있는 입자의

운동량 고유값 (5.47)

±부호가 운동량 기대값이 0인 것을 설명, 입자는 앞으로도 그리고 뒤로도 움직임

따라서, 어떠한 n에 대해서도 운동량 평균은 ( ) ( ) 0

2//

=−++

=LnLnpav

ππ ← 기대값

양자역학 연산자로부터 고유값을 얻는 일반적인 절차는 고유값 문제로부터 시작

nnn pp ψψ =ˆ (5.48)

pn은 실수, ψn이 운동량 연산자 의 고유함수일 때만 성립 p

dxd

ip =ˆ


에너지 고유함수

Lxn

Lnπψ sin2

= ← 운동량 고유함수가 아님을 알 수 있음

nnpL

nLL

niL

xnLdx

di

ψπππ≠=

cos2sin2∵

올바른 운동량 고유함수를 찾기 위해

θθθθ

θ iiii

ei

eii

ee −−

−=−

=21

21

2sin

이므로, 각 에너지 고유함수는 아래 두 파동함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다.



Lxinn

Lxinn

eLi

eLi

/

/

221

221

π

π

ψ

ψ

−−

+

=

= (5.49)

(5.50)

갇혀있는 입자의 운동량 고유함수들

첫 번째 파동방정식을 고유값 방정식인 식(5.48)에 대입하면, +++ = nnn pp ψψˆ

++++ === nnnLxin

n pL

neL

inLiidx

di

ψψππψ π /221

따라서

Lnpnπ

+=+ (5.51)

같은 방법으로 파동함수 는 아래 운동량 고유값을 이끔 −nψ

Lnpnπ

−=−(5.52)

과 은 상자 안 입자의 운동량 고유함수

식(5.47)이 운동량 고유값을 바르게 해줌

+nψ −

nψ


Potential well 은 실제로는 ∞ 가 될 수 없음 → No physical counterpart Potential wells with barriers of finite height certainly do exist → 이와 같은 경우의 particle의 wave function과 energy level에 대해 알아보자

그림 5.7에 높이가 U이고 너비가 L인 퍼텐셜 우물과 이 우물에 퍼텐셜 에너지보다 적은 에너지 E를 가진 입자가 포함되어 있는 것을 보여주고 있다 - Classical mechanics particle →이 벽을 때릴 때 I , III 영역으로 들어갈 수 없다. - Quantum mechanics →입자가 앞뒤로 튀어 다니지만, E<U 일지라도 영역I과 III으로 뚫고 들어갈 확실한 확률이 존재

그림 5.7 유한한 장벽을 가진 네모 퍼텐셜 우물. 갇혀 있는 입자의 에너지 E가 장벽 높이 U보다 작다.

파동함수가 벽을 뚫고 지나가며, 이에 따라 에너지 준위는 낮아 진다

영역 I과 III에서의 Schrödinger’s steady state equation is

0)(222

2

=−+ ψψ UEmdxd

좀더 편리한 형태로 다시 쓰면

022

2

=− ψψ adxd x < 0

x > L (5.53)

where

)(2 EUma

−= (5.54)

식(5.53)의 해는 실 지수함수로 axax DeCe −

Ι +=ψaxax GeFe −

ΙΙΙ +=ψ(5.55)

(5.56)

Ιψ ΙΙΙψ두 함수 과 모두가 모든 곳에서 유한해야 함


∞→∞→

∞−→∞→−

xasexase

ax

ax

이므로, D와 F는 0

따라서, axCe=Ιψax

III Ge−=ψ(5.57)

(5.58)

우물 안(영역 II)에서의 Schrödinger 방정식은

0222

2

=+ ψψ Emdxd

이고, 해도 역시

xmEBxmEA

2cos2sin +=ΙΙψ (5.59)

무한한 퍼텐셜 에서는 x=0 와 x=L에서 ψII=0 → B=0

그러나 여기서는 x=0에서 ψII=C, x=L에서 ψII=G 이므로 식(5.59)의 sine과 cosine 두 해 모두 가능



(potential) well의 내부와 외부의 wave function 이 같아지기 위해서는 서로 join 되는 점에서 same value를 갖고 slope이 같아야 함 → 즉, ψ와 ∂ψ/∂x가 x=0 와 x=L에서 연속이어야 함

그림 5.5 단단한 벽을 가진 상자에 갇힌 입자의 파동함수와 확률밀도.

무한대의 장벽보다 파장이 더 길고 그에 따른 운동량은 작아진다. (∵ λ = h/p) 따라서 무한대의 potential well안에 있을 때보다 에너지 준위가 낮아진다.


입자가 특정한 값 En를 가질 때만 완벽하게 맞춰지게 된다

5.10 터널효과

A particle without the energy to pass over a potential barrier may still tunnel through it 에너지 E가 E<U인 한 입자가 높이 U이고 유한한 너비를 가지는 장벽에 부딪히는 경우

그림 5.9 에너지 E < U인 입자가 퍼텐셜 장벽에 접근할 때, 고전역학에서는 그 입자가 반사되어야만 한다. 양자역학에서는 그 입자에 대응하는 de Broglie 파의 일부가 반사하고 나머지는 투과한다. 때문에 입자가 장벽을 투과할 수 있는 일정한 확률을 가진다.


→ 입자가 장벽을 뚫고 지나가서 다른 쪽으로 나올 확률을 가짐

(입자가 barrier보다 낮은 E를 갖고 있어도 tunnel이 일어남)

→장벽이 높을수록, 너비가 넓을수록 장벽을 뚫고 지나가는 기회는 줄어듬

Fig 5.9 → 입자가 pot. barrier height 가 U인 벽을 K.E. E 로 때릴 때 고전론에 의하면 입자는 되 튕겨 나가지만 양자론에 의하면 particle의 물질파는 부분적으로 반사하지만 어느 정도 투과 하게 된다 (즉 barrier를 넘게 된다) → tunnel

장벽의 바깥쪽(I, III 영역)의 U=0 의 Schrödinger 방정식은

02

02

22

2

22

2

=+

=+

ΙΙΙΙΙΙ

ΙΙ

ψψ

ψψ

Emdx

d

Emdx

d

(5.73)

(5.74)

방정식의 해는

5.10 터널효과


xikxik

xikxik

GeFeBeAe

ΙΙ

ΙΙ

−ΙΙΙ

−Ι

+=

+=

ψ

ψ (5.75)

(5.76)

λπ22

1 ===

pmEk장벽 밖에서의 파수

(5.77)

장벽 밖의 입자를 표현하는 De Broglie 파의 파수

θθθθ

θ

θ

sincossincosieie

i

i

−=+=

−

from eq 5.75 & 76 xikAe 1 → 장벽의 왼쪽에서 오른쪽으로 입사하는 진폭이 A인 파동

xikAe 1=+Ιψ입사파 (5.78)

→incident beam of particle

5.10 터널효과


vI+가 입사 입자의 속력과도 같은 입사파의 군 속도라고 하면

++Ι= IvS 2ψ→장벽에 도달하면 입자들의 선속 S

S: # of particles per square meter per second

입사파는 x=0에서 장벽과 충돌하고 난 후에 일부 반사 xikBe 1−

−Ι =ψ반사파 (5.79)

∴ 구간 I에서 파동함수

−Ι+ΙΙ += ψψψ (5.80)

barrier의 정반대편 (x>L) 에서는? xikFe 1=+ΙΙΙψ투과파 (5.81)

속도 vIII+를 가지고 +x 방향으로 진행

5.10 터널효과

영역III에서는 파를 반사시킬 것이 없으므로 G=0 xik

IIIIII Fe 1== +ψψ (5.82)

입자가 장벽을 뚫고 지나갈 투과확률은 장벽에 도달하는 입자 선속과 장벽을 빠져 나가는 입자 선속 사이의 비율로서,

+

+

++

++ ==I

III

II

IIIIII

vAAvFF

vv

T*

*

2

2

ψψ

(5.83)

고전적으로는 E<U인 입자가 장벽 안에서 존재할 수 없으므로 T=0

양자역학적 결과는?

5.10 터널효과


rSchrodinge.. eqn. for the particle in Region II is

( ) ( ) 02222

2

22

2

=−−=−+ IIII

IIII EUm

dxdUEm

dxd ψψψψ

U>E 이므로 해는 xkxk

II DeCe 22 +− +=ψwave function inside barrier

( )

EUmk −=

22

wave number inside barrier

ψII의 지수항이 실수이므로 ψII는 진동하지 않고 움직이는 입자를 표현하지 않음

그러나 이므로 장벽 안에서도 입자를 발견할 일정한 확률이 존재

→이 입자는 구간III으로 가거나 구간 I으로 되돌아 간다

(5.85)

(5.86)

(5.84)

02≠ψ

5.10 터널효과


경계조건의 적용

투과 확률 T를 계산하기 위해 ψI, ψII, ψIII에 적당한 경계조건을 적용

그림 5.14 장벽의 각 벽에서는 장벽안과 밖의 파동함수가 완벽하게 연결되어야만 한다. 이는 벽 양쪽에서의 파동함수의 값과 기울기가 서로 같아야만 함을 의미한다.

ψ와 ∂ψ/∂x는 모든 곳에서 연속

이 조건들은 장벽의 벽들 모두에서 안과 밖의 파동함수가 같은 값을 가질 뿐만 아니라 같은 기울기를 가져서 파동함수들이 완벽하게 일치해야 함

dxd

dxd III

III

ψψψψ

=

=x=0에서 경계조건 x=0

(5.87)

(5.88)

오른쪽 벽에서는

dxd

dxd IIIII

IIIII

ψψψψ

=

=x=L x=L에서

경계조건

(5.89)

(5.90)

5.10 터널효과


ψI, ψII, ψIII으로 식(5.75), (5.81), (5.85)대입하면

LikLkLk

LikLkLk

FeikDekCekFeDeCe

DkCkBikAikDCBA

122

122

122

2211

=+−=+

+−=−+=+

−

−

(5.91)

(5.92)

(5.93)

(5.94)

(A/F)에 대해 풀면

( ) ( )LkikLkik ekk

kkie

kk

kki

FA

2121

2

1

1

2

2

1

1

2

421

421 −+

−−+

−+=

(5.95)

퍼텐셜 장벽 U가 입사 입자의 에너지 E보다 높다면 k2/k1 > k1/k2 이고,

1

2

2

1

1

2

kk

kk

kk

≈− (5.96)

장벽이 충분히 넓어서 ψII가 x=0과 x=L 사이에서 확연히 약해진다면

k2/L>>1 이고,

5.10 터널효과


LkLk ee 22 −>>식(5.95) 다음과 같이 근사할 수 있다

( )Lkikek

ikFA

21

1

2

421 +

+=

(5.97)

(A/F)의 복소공액은

( )Lkikek

ikFA

21

1

2

*

421 +−

−=

(5.98)

(A/F)와 (A/F)*를 곱하면

Lkek

kFFAA

22

2

1

2

2

*

*

1641

−=

VIII+ = VI+ 이므로

5.10 터널효과


( )Lk

I

III ekkFF

AAvAAvFFT 22

2

12

1

*

*

*

*

/416 −

−

+

+

+

=

==투과확률 (5.99)

)(2,2221

EUmkpmEk −====

λπ

이므로,

( ) 1/2

/22

22

1

2 −=−

=

EU

mEEUm

kk

(5.100)

투과확률을 다음과 같이 근사하는 것은 타당한 근사가 됨 LkeT 22−=근사적인 투과 확률 (5.101)

5.10 터널효과

입자가 갖는 에너지와 barrier 의 두께가 Tunnel확률을 결정한다.


◆ STM : 7x7 surface analysis Sample preparation : Ion sputtering (20 min., Energy: 100V, emission current :10 mA) Sample plate - radiation heating (300℃, 30W) Sample - 800℃ heating Annealing

Size : 50x50nm, Gap Voltage :1.60V Feedback Set : 0.29, Scan Speed : 1.95%

STM of Si surface structure



조화운동은 어떤 종류의 계가 평형상태 근방에서 진동할 때 생김

spring에 매달린 물체

물위에 떠있는 물체

이원자 분자

결정격자 안의 원자

examples

Harmonic motion의 조건

→ 계가 평형상태에서 벗어났을 때, 그 계를 평형상태로 되돌려 놓으려는 복원력이 존재

질량의 관성에 의해 복귀되는 운동은 평형점을 지나게 되고 에너지 손실이 없다면 무기한

진동을 하게 될 것임

특별한 경우의 단순 조화 운동에서

질량 m인 입자에 작용하는 복원력 F가 선형의 힘

→ F는 평형 위치로부터 입자의 변위인 x에 비례하며 방향은 반대

에너지 준위의 간격은 균일하다


kxF −=Hooke 의 법칙

운동의 제 2법칙으로 부터(F=ma)

2

2

dtxdmkx =−

조화 진동자 02

2

=+ xmk

dtxd

(5.62)

식(5.62)의 해는 ( )φπν += tAx 2cos (5.63)

mk

πν

21

=조화 진동자의 진동수 (5.64)

A는 진폭 , φ는 위상각

단순 조화 진동자가 고전물리나 현대물리에서 중요한 이유

복원력이 Hooke’s 법칙을 잘 만족 시키는 것이 아니라 변위 x가 작을때 실제 복 원력을 Hooke’s 법칙으로 적용할 수 있는데 있다

→결과적으로 미소 진동을 하는 계는 단순 조화 진동자와 비슷한 행동을 함



x의 함수인 임의의 복원력을 평형 위치인 x=0 주위로 Maclaurin 급수 전개를 할 수 있음

( ) ...61

21 3

03

32

02

2

0

+

+

+

+=

===

= xdx

Fdxdx

FdxdxdFFxF

xxx

ox

x=0는 평형점이므로 Fx=0=0

x가 매우 작으므로 x2, x3(2차 이상)은 무시

( ) xdxdFxF

x 0=

=∴

dF/dx: 음의값 → 모든 복원력은 음의 값을 갖는다

→ 결론적으로 모든 진동은 진폭이 충분히 작을 때 “단순 조화 운동”을 한다

Potential energy function U(x)는 Hooke’s law의 F를 x=0 부터 x=x까지 입자를 움직일때 필요한 일을 계산하면 얻을 수 있음

( ) ( ) 2

00 21 kxxdxkdxxFxU

xx

==−= ∫∫ (5.65)



그림 5.10 조화 진동자의 퍼텐셜 에너지는 평형 위치로부터의 변위인 x의 제곱, 즉 x2에 비례한다. 운동의 진폭 A는 고전적으로는 어떤 값이라도 다 가질 수 있는 진동자의 총 에너지 E에 의해 결정된다.

진동자의 에너지가 E이면 입자는 –A에서 A까지 진동하게 되는데 이때 A와 E는

이 된다 2

21 kAE =

고전적인 관점에 대해 세가지 양자역학적 수정을 예상

1.허용된 에너지는 연속적인 스펙트럼으로 나타나지 않고 대신에 어떤 특정한 값들만을 갖는 띄엄띄엄한 스펙트럼으로 나타난다

2.허용되는 에너지 중 가장 낮은 에너지는 E=0이 아니라, 어떤 분명한 최소값 E=E0을 갖는다

3.입자가 퍼텐셜 우물을 뚫고 –A와 +A의 한계를 넘어갈 수 있는 어떤 확률이 있다

퍼텐셜 에너지 곡선이 포물선 형태가 아닌 경우, 작은 변위에 대해 어떻게 포물선으로 근사할 수 있는지 나타냄




에너지 준위

인 조화 진동자에 대한 방정식은 2

21 kxU = rSchrodinge..

0212 2

22

2

=

−+ ψψ kxEm

dxd

(5.66)

무차원의 아래와 같은 양을 도입해서 윗 식를 간단화

xmxkmy

νπ21 2/1

=

= (5.67)

να

hE

kmE 22==

(5.68)

υ는 진동의 고전적 주기

y와 α를 이용해서 방정식을 쓰면 rSchrodinge..

( ) 02

2

2

=−+ ψαψ ydyd

(5.69)

기준에 맞는 이 식의 해는


∫∞

∞−

=12 dyψ이어야 하므로, y →∞일때 ψ →0인 조건이 성립 해야 한다

식(5.69)의 수학적 성질은 α가 아래와 같을 때만 조건을 만족

α = 2n+1 n = 1, 2, 3, …

식(5.68)에서 α = 2E/hυ 이므로

νhnEn

+=

21 n = 1, 2, 3, … (5.70) 조화 진동자의

에너지 준위

조화 진동자 E는 hυ의 간격으로 양자화 됨

n = 0 일때 Zero Point Energy는

νhE21

0 = (5.71) 영점에너지

진동자가 가질 수 있는 가장 낮은 에너지 조화 진동자가 주위(surroundings)와 평형을 이루는 경우

→온도가 0K에서 에너지는 E=0이 아니라 E=E0로 됨



수소원자 상자 속의 입자 조화 진동자

(3차원문제,Pot Barrier 는 1/r 에 비례) (1차원문제, Pot. Bairrier 무한대)

각각의 경우 에너지 준위는 양자수 n에 의존된다

조화 진동자의 경우만 에너지 준위 간격이 일정




파동함수

매개변수 α의 선택 여하에 따라 다른 파동함수 ψ를 얻을 수 있다

각각의 함수는 y의 짝수차 혹은 홀수차 항만으로 된 다항식 Hn(y) (Hermite polynomial)과 지수함수 exp(-y2/2) 그리고 ψn의 규격화 조건을 만족시키는 계수로 표현

n번째 파동의 일반적인 형태는 (ψn)

( ) ( ) 2/2/1

4/12!22 y

n

n

n eyHnm −−

=

νψ (5.72) 조화 진동수

�

�

�

�

�

�

표 5.2 몇개의 Hermite 다항식


그림 5.12 처음부터 여섯 번째까지의 조화 진동자 파동함수. 수직선은 같은 에너지를 가진 고전 진동자가 진동할 수 있는 경계인 -A와+A를 나타낸다.

수직선: 고전적으로 금지된 구간

→ 입자는 지수적으로 감소하는 확률로서 투과해 들어갈 수 있음(진폭이 A를 넘는 경우)



그림 5.13 양자역학적 조화 진동자의 n=0과 n=10 상태에서의 확률밀도. 같은 에너지를 가지는 고전 조화 진동자의 확률밀도는 흰색으로 그려져 있다. n=10인 상태에서는 x=0 에서 파장이 가장 짧고 x=-A에서 가장 길다

같은 에너지를 갖는 고전적 조화 진동자와 양자 역학적 조화 진동자의 확률 밀도를 비교

고전론: 양 끝점에서 확률 최고, x=0의 평형위치에서 최소

n=0일때 양자역학과 고전론은 정반대

x=0에서 은 최대값

양쪽(x=A, -A)에서 최소값

n이 커질수록 이러한 차이는 적어짐

→ 양자수(n)이 커질수록 고전역학과 같은 결과

→대응원리의 또 다른 예

2

0Ψ


n이 10인경우 식을 부드럽게 연결하면 P와 같아질지 몰라도 는 아주 빠르게 요동을 친다 이 빠른 요동은 관측 가능할 때만 의미가 있음 골과 마루 간격이 좁으면 측정 불가능 의 지수의 꼬리는 n 이 커짐에 따라 작아짐 2

10Ψ

210Ψ

210Ψ

현대물리학 5장 양자역학 - hjeon.namoweb.nethjeon.namoweb.net/lecture/5.pdf · 의...

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