D Y N A M I C M E T E O R O L O G Y

제5장

대기의 파동운동：선형섭동이론

5.1 섭동법

5.2 파동의 성질

5.3 간단한 유형의 파동

5.4 내부중력(부력)파

5.5 회전 성층 대기의 선형 파동

5.6 지균조절

5.7 로스비 파

130 대기역학

만일 미래의 대기순환에 대한 정확한 예측이 목적이라면 잠열, 복사전달, 경계층 마찰

등의 과정을 전부 포함하는 원시 방정식계의 정교한 수치 모델만이 최선의 결과를 가져

다 줄 것이다. 그러나 그러한 모델(모형)이 가지는 본래의 복잡성 때문에 예측된 대기순환에

관계된 물리적 과정에 대한 간단명료한 해석은 불가능하다. 만일 우리가 대기순환의 기본적

성질에 대한 물리적 통찰을 얻기를 원한다면, 여러 과정이 생략된 간단한 모형을 사용하고,

그로부터 얻어진 결과를 보다 완전한 모형과 비교하는 것이 바람직할 것이다. 대기운동에서

흔히 관찰되는 파동운동과 관련된 과정은 지배방정식의 수치적 적분만으로 이해하는 것은

매우 어려운 일이다. 따라서 이상적인 대기에 대하여 해석적인 해를 구하는 것은 매우 중요한

일이며 이 장의 핵심적인 주제다.

우선 이 장에서는 대기 파동운동의 정성적 분석에 매우 유용한 섭동법에 대해서 다룬다.

그런 다음, 이 방법을 여러 종류의 대기 파동운동을 조사하는 데 사용한다. 제6장과 제7장에서

는 준지균 방정식을 유도하는 과정과 종관규모 요란의 발달을 연구하는 데 섭동법이 사용될

것이다.

5.1 섭동법

섭동법에서 모든 공간변수는 두 부분으로 나뉘는데, 하나는 기본 장 성분으로서 시간과 경도방

향으로 일정한 값을 갖는다고 가정되며, 또 하나는 이러한 기본 장으로부터의 편차값을 나타내

는 섭동부분이다. 따라서 예를 들어, 가 시간과 경도방향에 대해 평균한 동서풍을 나타낸다

면, ′는 그 평균값으로부터 편차값을 나타내어 완전한 동서풍은 ′ 로 표현

된다. 이 경우에 예를 들면, 관성 가속도항 는

′

′

′′

′

과 같이 쓰일 수 있다.

섭동법의 기본적 가정은 섭동값이 일 때 기본 장 자체가 지배방정식을 만족시키고, 섭동부

분은 기본 장 부분에 비해 훨씬 작아서 섭동값의 곱으로 이루어진 항은 무시될 수 있다는

것이다. 섭동의 진폭이 반으로 감소하면 섭동 장에 선형적으로 비례하는 항은 반으로 줄어들지

만, 섭동 장의 차 함수로 나타내어지는 항은 분의 로 감소한다. 따라서 비선형 항은 섭동의

진폭이 매우 작다고 가정하면 무시할 수 있을 정도로 작아지게 된다. 위의 예에서 만일

′≪ 이면

′ ≫ ′′

131제5장 대기의 파동운동：선형섭동이론

그림 5.1 단진자 운동

이 되어 후자의 요건이 만족된다.

만일 섭동값의 곱으로 된 항들이 무시된다면 비선형 지배방정식은 기본 장 변수를 계수로

하는 섭동변수에 대한 선형 미분방정식으로 바뀐다. 이런 방정식들은 이미 알려진 기본 장을

바탕으로 섭동변수의 구조와 특성을 밝히기 위해서 표준적 방법에 의해 해가 구해진다. 상수계

수를 가진 방정식의 해는 삼각함수 또는 지수함수로 나타낼 수 있다. 섭동방정식의 해는 파동의

전파속도, 연직구조, 성장과 소멸의 조건을 결정한다. 섭동법은 특히 주어진 기본 장이 미소진

폭의 섭동에 대한 안정성을 조사하는 데 유용하며, 이를 응용하는 것이 제7장의 주제이다.

5.2 파동의 성질

파동 운동은 공간에서 전파되어 가는 공간변수(예를 들면, 속도나 기압과 같은)의 진동이다.

이 절에서 우리는 선형의 정현파적 파동운동에 관심을 갖고 있다. 그런 파동들의 역학적 성질의

대부분은 매우 친숙한 역학계인 선형조화 진동자의 그것과 같다. 선형조화 진동자의 한 가지

중요한 성질은 주기(즉, 한 번의 진동을 하는 데 필요한 시간)가 진동의 진폭과 무관하다는

점이다. 대부분의 자연 진동계에 있어서 이러한 성질은 매우 작은 진폭의 진동에 대해서만

성립한다. 이러한 계의 고전적인 예는 길이 인 질량 없는 줄에 매달린 질량 의 진자로

구성된 단진자 운동(그림 5.1)인데, 여기서 진자는 평형점 를 중심으로 자유롭게 진동할

수 있도록 되어 있다. 진자의 운동과 평행한 성분의 중력은 이므로 진자의 운동방정

식은

변위가 매우 작은 경우에 ≈가 되어 지배방정식은

132 대기역학

그림 5.2 속도 로 의 양의 방향으로 전파하는 정현파(파수는 1로 가정)

(5.1)

과 같이 된다. 여기서 ≡ 조화진동자 방정식 (5.1)은 일반해

를 갖는다. 여기서 그리고 는 초기조건에 의해서 결정되는 상수(이 장 끝 부분의

문제 5.1을 참조)이며, 는 진동수이다. 따라서 완전해는 진폭 와 위상 로 표현

된다. 위상은 시간에 따라 선형적으로 변하는데 한 주기에 만큼 변한다.

진행파 또한 진폭과 위상으로 진동운동을 특징지을 수 있다. 그러나 진행파에 있어서 위상은

시간뿐만 아니라 하나 또는 둘 이상의 공간변수에 의존하므로 방향으로 전파되는 차원 진행

파는 이다. 여기서 파수 는 를 파장으로 나누어준 값으로 정의된다.

진행파에 있어서 위상 속도 ≡와 같은 속도로 이동하는 관찰자에게 위상은 항상 일정하게

보인다. 이 사실은 만일 위상이 운동을 따라서 일정하게 유지되려면, 다음과 같은 식을 통해서

증명할 수 있다.

따라서 위상이 일정하게 되려면, . 일 때 이 된다. 그 경우에

만일 , 이 되어, 가 일정한 값을 유지하려면 는 시간에 따라 증가해야

한다. 그러면 정현파의 위상은 그림 5.2에 예시된 것처럼 의 양의 방향으로 전파된다.

5.2.1 푸리에 시리즈

요란을 간단한 정현파로 나타내는 것은 지나치게 단순하게 취급하는 것처럼 보일지 모른다.

133제5장 대기의 파동운동：선형섭동이론

왜냐하면 대기 중의 요란은 결코 순수한 정현파가 아니기 때문이다. 그러나 잘 정의된 경도의

함수는 동서 평균값과 정현파 성분의 푸리에 시리즈의 합으로 표현될 수 있다.

∞

(5.2)

여기서 은 동서 파수(단위 ), 은 어떤 위도에서의 위도원(위도를 따른 지구둘

레)의 길이, 행성파수는 위도원을 따른 파의 수를 나타내는 정수이다. 계수 는 식 (5.2)의

양변에 를 곱하여 위도원을 따라 적분함으로써 계산된다(은 정수). 직교성의

관계를 적용하면

≠

다음 식을 얻는다.

비슷한 과정으로 식 (5.2)의 양변에 을 곱한 뒤 적분하면

와 는 푸리에 계수라 불리며,

(5.3)

는 함수 의 번째 조화상수 또는 번째 푸리에 성분으로 불린다. 만일 어떤 변수 예를

들어 경도방향으로 변화하는 지오퍼텐셜 고도 요란의 푸리에 성분이 계산되면, 가장 큰 진폭의

푸리에 성분은 위도원을 따라서 센 파 또는 골의 수에 해당하는 에 나타날 것이다. 정성적인

정보만이 요구된다면, 일반적으로 푸리에 분석을 가장 대표적인 푸리에 성분에 제한하여도

충분하며, 관측된 공간변수의 거동이 그 성분의 거동과 유사하다고 가정한다. 푸리에 성분에

대한 표현은 복소 지수함수를 사용하면 더욱 간단명료하게 나타낼 수 있다. 오일러 공식에

따르면

여기서 ≡는 허수를 나타낸다. 따라서

(5.4)

134 대기역학

그림 5.3 파장이 약간 다른 두 정현파로 구성된 파군. 비분산성 파동에 있어서, 아래쪽의 그림은 모양이 변하지

않은 채로 그대로 전파된다. 분산성 파동에 있어서 파동의 전체적인 형태는 시간에 따라 변한다.

와 같이 쓸 수 있는데, 여기서 는 ‘실수부분’, 그리고 는 복소계수를 나타낸다. 식 (5.3)

과 식 (5.4)를 비교하면, 에 대한 두 가지 표현은 만일 다음 식이 만족되면 같아짐을

알 수 있다.

와

여기서 은 ‘허수부분’임을 나타낸다. 이러한 지수 함수적 표기는 이하 전개될 섭동법과

제7장에서도 응용될 것이다.

5.2.2 분산과 군속도

선형 진동자의 기본적 성질은 진동수 가 오로지 진동자의 물리적 성질에만 의존하고, 운동

그 자체에는 의존하지 않는다는 점이다. 그러나 진행파에 있어서는 는 일반적으로 매질의

물리적 성질뿐만 아니라 섭동의 파수에도 의존한다. 따라서, , 위상 속도 또한 ∝인

특별한 경우를 제외하고는 파수에 따라 변한다. 파수에 따라 위상 속도가 변하는 파동에 있어서

는, 일정한 한 장소에서 발생한 요란의 여러 정현파는 시간이 지남에 따라 서로 다른 위치로

이동해 있을 것이다. 즉, 그들은 분산된다. 이러한 파동을 분산성 파동이라 부르며, 와 의

관계를 나타내는 식을 분산 관계식이라 부른다. 어떤 유형의 파동, 예를 들면 음파는 파수에

의존하지 않는 위상 속도를 가진다. 이러한 비분산성 파동에 있어서, 공간적으로 고립된 여러

푸리에 성분을 가진 요란(파군)은 위상 속도로 공간을 전파해나갈 때 초기의 형태가 그대로

유지된다.

분산성 파동에 있어서는 파군이 전파됨에 따라 파군의 형태가 일정하게 유지되지 않는다.

파군의 푸리에 각 성분은 상대적 위상에 따라 서로 강화하거나 상쇄하기 때문에, 파동의 에너지

는 그림 5.3에 보인 것처럼 제한된 영역에 국한될 것이다. 더욱이, 파군은 일반적으로 시간이

경과함에 따라 넓어진다. 즉, 분산된다.

파동이 분산성을 가질 때, 파군의 속도는 일반적으로 각 푸리에 성분파의 평균 위상 속도와

는 다르다. 따라서, 그림 5.4와 같이 개개의 파동성분은 파군이 전파됨에 따라 파군의 속도보다

135제5장 대기의 파동운동：선형섭동이론

그림 5.4 파군의 전파를 보여주는 모식도：(a) 위상 속도보다 군속도가 작은 경우, (b) 위상 속도보다 군속도가

큰 경우. 굵은 선은 군속도를, 점선은 위상 속도를 나타낸다.

더 빨리 또는 더 느리게 파군속을 통과하여 진행한다. 잘 알려진 예가 배(선박)가 진행할 때

배 뒤쪽에서 발생하는 파동(심해파)인데, 개개 파동의 골은 파군의 속도(군속도)보다 2배나

빨리 이동한다. 그러나 종관규모의 대기요란에 있어서 군속도는 위상 속도보다 크다. 이 결과

풍하 쪽에서는 새로운 요란이 형성되는데, 이에 대해서는 나중에 다시 다루기로 한다.

군속도, 즉 실제 관측되는 요란(즉, 에너지)이 전파하는 속도는 다음과 같이 유도할 수 있다.

진폭은 같으나 파수와 진동수가 각각 조금씩 다른, 즉 와 의 차이를 가진 수평방향으로

진행하는 두 파동성분을 고려하자. 전체 요란은

가 되는데, 여기서 은 생략되어 있으며, 오로지 식 (5.4)에서와 같이 실수부분만이 물리적

의미를 가지고 있다고 전제한다. 식을 정리하면

(5.5)

식 (5.5)로 표현되는 요란은 파장 의 고주파수 반송파(위상 속도는 두 푸리에 성분의

평균인 )와 파장 의 저주파 성분(포락선, 전파속도 )의 곱으로 되어 있다. 따라서

→ 의 극한에서 포락선의 수평속도, 즉 군속도는 바로

으로 쓸 수 있다. 그러므로 파동의 에너지는 군속도로 전파되며 이러한 결과는 파군(또는 포락

선)의 파장 가 대표적 파동성분의 파장 보다 크다고만 하면 어떤 파동의 군에도

적용된다.

136 대기역학

그림 5.5 어떤 시간에 대한 2차원 평면파의 구조：(a) 위상각 , (b) 위상 . 는 파장을 나타냄. 만일 이면

파동은 파동벡터, ∇의 방향으로 전파한다.

5.2.3 2차원 및 3차원 파동의 특성

차원 및 차원에서의 파동의 특성을 완벽하게 이해하는 것은 이 장과 파동의 특성을 벡터

지향적으로 설명하고자 하는 다음 장을 다루는 데 매우 중요하다. 간단히 하기 위해서 차원을

먼저 다루겠으나 파동에 대한 표기 방법은 매우 일반적이어서 차원에도 그대로 적용될 수

있다.

스칼라 장의 차원 평면파, 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(5.6)

독립변수 와 는 공간과 시간을 각각 나타낸다. 와 은 와 방향의 파수, 는

진동수이다. 파동은 진폭 (의 단위와 동일)와 위상각 에 의하여 결정된다. 는 독립변

수의 차함수이며, 의 공간과 시간의 특성은 각각 독립적으로 고려하는 것이 편리하다.

어떤 시각에 , 는 상수와 같이 나타내지므로 는 의 값이 일정한

선을 따라서 같은 값을 갖게 된다. 이는 는 상수 값을 갖게 되므로

을

의미한다.

따라서 이 선의 경사는

가 된다. 일정한 값을 갖는

(5.7)

는 고기압과 저기압과 같은 일정한 위상선을 나타내는데, 단 은 정수이다(그림 5.5). 파동

벡터는 다음과 같이 정의된다.

∇ (5.8)

는 총 파수를 나타낸다. 따라서

는 파장인데 두 개의 동일 위상선 사이의 거리를

137제5장 대기의 파동운동：선형섭동이론

의미한다.

공간의 어느 한 점에서, (는 상수)이므로 는 시간에 대하여 차함수이다. 따라

서 진동수는

(5.9)

로 정의되는데 동일 위상선이 공간의 고정된 위치를 통과하는 속도를 의미한다. 파동주기는

인데 동일 위상을 갖는 두 점 사이의 거리를 나타낸다(단위：초). 위상 속도는 동일

위상선이 파동벡터를 따라 얼마나 빨리 진행하는가를 나타낸다.

∇

∂∂

(5.10)

이 식은 앞 장에서 다루었던 차원 파동의 위상 속도를 차원으로 일반화시킨 것이다. 특히,

차원 및 차원에서는 위상 속도는 ,

와 같이 좌표축 방향에 따라 달라지는데

동일 위상선이 각각 와 방향으로 전파되는 속도를 의미한다. 더욱이, 는 벡터 합의

법칙을 따르지 않기 때문에 ≠

가 된다.

중요한 것은, 와 는 일반적으로 복소수라는 점이다. 만일 가 복소수라면, 즉 ,

≡

이며, 은 앞에서 설명한 것처럼 파동의 위상각이고,

는 시간과 공간에 의존하는 진폭을 나타낸다. 예를 들면 만일 진동수 가 허수 부분을 가지고

있다면 파동은 시간에 따라 증가하거나 감소하는 진폭을 가지게 된다. 그러한 파동은 진폭이

일정한 값으로 유지되는 중립 파동과는 달리 불안정 파동이라고 불린다. 제7장에서는 시간에

따라 변하는 진폭을 구하는 방법에 대해서 알아볼 것이며 진동수가 허수를 가지는 조건에

대하여 공부할 것이다.

지금부터는 군속도에 대하여 알아보기로 하자. 군속도는 여러 개의 파장과 진동수를 가진

파동이 진행하는 속력과 방향을 나타낸다. 무한한 공간을 차지하는 순수한 평면파와는 달리,

이 경우에는 식 (5.6)의 가, 진동수 와 파수벡터 가 시간과 공간의 함수이기 때문에, 시간과

공간에 대하여 서서히 변한다. 식 (5.8)과 (5.9)는 파수벡터와 진동수를 각각 나타내는데 시간

과 공간에 대하여 변한다. 식 (5.8)과 (5.9)로부터 다음 식을 얻을 수 있다.

∇ (5.11)

진동수는 분산 관계식에 의하여 정의되는데, 이는 곧 가 함수임을 의미하게 된다. 벡터

∇는 연쇄 미분법칙을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

138 대기역학

∇ ∇∙∇ (5.12)

여기서, ∇

는 군속도 를 의미한다. 따라서, 식 (5.11)은 아래와 같이 쓸 수 있다.

∙∇ (5.13)

결과적으로 군속도와 같은 속도로 운동하는 좌표계에서는 파수벡터는 보존된다. 즉, 여러 개의

파동이 마치 특정한 진동수와 파장을 가진 하나의 파동과 같이 일정한 속도로 전파되는 것이다.

5.2.4 파동 해를 구하는 방법

대기의 운동을 지배하는 방정식을 적절히 근사함으로써, 파동의 운동에 대한 해를 구할 수

있다. 비록 각각의 모든 경우가 다르기는 하지만 이러한 문제를 풀기 위한 일반적인 과정은

아래와 같다.

1. 기본 장을 선택한다. 기본 장은 대기의 단순화된 상태를 나타낸다. 일반적으로 우리는

관심의 대상이 되는 운동을 제외한 다른 복잡한 요소들은 제거한다. 예를 들면 이 장에서

우리는 정지 상태 또는 정역학 평형을 이루고 있는 기본 장을 사용한다. 기본 장은 음악

악기와 닮은 점이 있는데, 악기는 어떠한 음조를 내는가가 중요하다.

2. 지배방정식을 선형화한다. 기본 장이 주어지면 5.1절의 섭동법을 사용하여 방정식을 선형

화한다.

3. 식 (5.6) 형태의 파동해를 가정한다. 만일 선형방정식의 계수가 독립변수에 의존하지 않는

다면, 주기적인 조건을 가지는 경우에 파동함수는 식 (5.6)의 의 형태로 가정될 수

있다. 만일, 예를 들어 운동 영역이 방향으로 주기적이지 않으면, 또는 기본 장이 방향

으로 변한다면 방향으로는 파동해의 형태를 가정할 수 없다. 그 대신에 와

같은 형태의 일반적 함수를 가정하는데, 이렇게 하면 구조함수 에 대해서 풀어야

하는 상미분 방정식이 유도된다.

4. 분산 및 편광 관계식의 해를 구한다. 파동 형태의 해를 선형 방정식에 대입하면 미분 방정식

이 대수 방정식으로 변환된다. 또는 상수가 아닌 계수를 갖는 경우에는 상미분 방정식으

로 변환된다. 일반적으로 파수가 독립변수로 사용되는데 진동수는 파수의 함수로 나타내

진다. 이것이 바로 분산 관계식이다. 파동의 진폭은 일의적으로 정할 수 없지만 변수들

간의 관계식, 즉 편광 관계식이 얻어진다. 만일 변수들이 같은 형태와 같은 부호를 갖는다

면 그들은 동 위상이 되고[예를 들면 ], 만일 같은 형태와 반대 부호를 갖는다면

역 위상이 된다[예를 들면 와 ]. 만일 변수들이 °의 위상 차이를 가지면

그들은 직각 위상이 된다[예를 들면 와 ].

139제5장 대기의 파동운동：선형섭동이론

그림 5.6 왼쪽 끝에 유연한 박막을 가진 튜브 내에서 음파의 전파를 나타낸 모식도. 와 은 각각 고압부와 저압부

의 중심을 나타낸다. 화살표는 속도의 섭동을 나타낸다. 그림 (b)는 그림 (a)보다 1/4주기가 지난 후의 상황을 나타

낸다.

5.3 간단한 유형의 파동

유체 중의 파동은 평형위치로부터 변위가 주어졌을 때, 유체입자에 작용하는 복원력의 작용으

로 발생한다. 복원력은 압축성, 중력, 자전, 또는 전자기 효과 등에 의해 생성될 수 있다. 이

절에서는 음파와 천수중력파 두 종류의 간단한 유형의 파동을 고려하자.

5.3.1 음파

음파는 종파의 한 종류로, 파동이 진행하는 방향으로 입자가 진동한다. 소리는 매질의 단열적

팽창과 압축의 반복에 의해 전파된다. 한 예로서, 왼쪽 끝이 얇은 막으로 되어 있는 튜브의

단면을 그림 5.6에 나타낸다. 만일 얇은 막이 진동하게 되면, 그 주변의 공기는 막이 좌우로

움직임에 따라 압축과 팽창을 교대로 반복하게 될 것이다. 그 결과로 나타나는 기압 경도의

진동은 인접한 공기의 진동 가속도와 균형을 이루게 되고, 이것은 더욱 멀리 떨어진 지점까지의

기압 진동도 가져오게 한다. 공기입자의 소 의 반복을 통한 계속적인 기압의 단열적 증가와

감소의 결과는 그림 5.6에 보인 것처럼, 튜브의 오른쪽으로 계속 전파되는 속도와 기압의 정현

파적 패턴으로 나타나게 된다. 그러나 개개 공기의 입자가 오른쪽으로 이동하는 것은 아니며,

단지 기압 패턴이 음파의 속도로 오른쪽으로 전파되는 데 반해서 좌우로 진동(왕복운동)만

할 뿐이다.

섭동법을 소개하기 위하여, 그림 5.6에 예시된 문제를 생각해보자. 즉 방향으로 평행한

직선의 파이프 안에서 전파되는 차원의 음파를 고려하자. 횡파적인 진동을 배제하기 위하여

140 대기역학

(즉, 파가 진행하는 방향에 대해 직각인 방향으로 공기입자가 움직이는 진동), 을

가정하자. 또한, 로 둠으로써 모든 변수가 와 에 의존하는 것을 배제한다. 이러한

제한을 둘 경우 운동량 방정식, 연속 방정식, 단열적 운동의 열역학 방정식은 각각

(5.14)

(5.15)

(5.16)

과 같이 쓸 수 있다. 여기서, 이다. 식 (2.44)와 온위가 다음과 같이 표현되

는 이상기체 법칙을 상기하면

단, 이며, 식 (5.16)로부터 를 제거하면

(5.17)

단, 이며, 식 (5.15)와 식 (5.17)에서 를 제거하면

(5.18)

과 같이 된다.

종속 변수는 이제 기본 장 부분(윗줄로 표시)과 섭동부분(′으로 표시)으로 나누어질 수 있다.

′ ′ ′ (5.19)

식 (5.19)를 식 (5.14)와 (5.18)에 대입하면

′ ′

′ ′

′

′ ′

′ ′

′

만일 ∣′∣≪이면, 도항을 다음과 같이 근사하기 위해서 이항전개를 사용할 수 있다.