수열의극한d1anutt72n1dwl.cloudfront.net/course/1464826839.6_mnd... · 2016-06-02 ·...
TRANSCRIPT
- 1 -
학습
수열 수 산 뜻 알고 를 별할 수 다1. , , .
수열 극한에 한 본 질 해하고 를 하여 극한값 할 수 다2. , .
등비수열 극한값 할 수 다3. .
수 수 산 뜻 알고 를 별할 수 다4. , , .
등비 수 뜻 알고 그 합 할 수 다5. , .
등비 수를 활 하여 여러 가지 제를 해결할 수 다.
수열의 한
Ⅰ
정답의 길로, 다비오 수학
- 2 -
수열의 수렴과 발산1.
∙수열 수 산 뜻 알고 를 별할 수 다, , .
수열 수 란 엇1) ?
수열 산 란 었2) ?
한값의 계산2.
∙수열 극한에 한 본 질 해하고 를 하여 극한값 할 수 다, .
수열 극한에 한 본 질 엇1) ?
여러 가지 수열 극한값 어떻게 할2) ?
수열 극한값 를 비 할 수3) ?
등비수열의 한3.
∙등비수열 극한값 할 수 다.
등비수열 극한값 어떻게 할1) ?
1수열 극한수열의 수렴과 발산 한값의 계산 등비수열의 한1. 2. 3.ㅣ ㅣ
정답의 길로, 다비오 수학
- 3 -
1 수열의 수렴과 발산• 수열의 수렴 발산의 뜻을 알고 이를 판별할 수 있다, , .
수열 수 란 엇1) ?
수열 산 란 었2) ?
수열의 수렴이란 무엇일까1. ?
수열 에 한없 커질 항, 값 정한 값에 가 워지는 경우를 그
래프를 통하여 알아보 다 과 같 수열.
: ,
, , , ⋯ ,
, ⋯
: ,
,
,
, ⋯ ,
, ⋯
에 한없 커질 항 값 변하는 것 그래프 나타내 다 과 같다, .
그래프에 한없 커질 수열, 항
값 에 한없
가 워지고 수열, 항
값 양 호를 가지,
에 한없 가 워진다 여. 한없 커지는 것 호 ∞를 사 하여
→ ∞ 나타내고, ∞는 무한대라고 는다. ∞는 한없 커진다는 것 나타내는 호
수가 아니다 적 수열. 에 한없 커질 항, 값 정
한 값 에 한없 가 워지 수열 에 수렴한다고 한다. 를 수열
한값 는 한 라 하고 것 호, lim → ∞
는 → ∞ , → 같
나타낸다 를 들어. lim → ∞
, lim
→ ∞
다.특히 수열, 에 든 연수 에 하여 (는 상수)
수열, 에 수 한다. , lim → ∞
lim → ∞
다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 4 -
수열의 발산이란 무엇일까2. ?
수열 에 한없 커질 항, 값 수 하지 않는 경우를 그래프를 통
하여 알아보 다 과 같 수열.
: , , , , ⋯ , , ⋯
: , , , , ⋯ , , ⋯
에 한없 커질 항 값 변하는 것 그래프 나타내 다 과 같다, .
그래프에 한없 커질 수열, 항 값도 한없 커지고 수열,
항 값 수 그 절 값 한없 커지므 수열
수 하지 않는다 같 어 수열 수 하지 않 그 수열. , 발산한다고 한
다 적 수열. 에 한없 커질 항, 값도 한없 커지 수열
양 한 산한다고 하 것 호, lim → ∞
∞ 는 → ∞ ,
→ ∞ 같 나타낸다 수열. , 에 한없 커질 항, 값
수 그 절 값 한없 커지 수열 한 산한다고 하 것,
호 lim → ∞
∞ 는 → ∞ , → ∞ 같 나타낸다.
를 들어 lim → ∞
∞ , lim → ∞
∞ 다.
한편 수열, 에 한없 커질 항, 값 수 하지도 않고 양 한,
는 한 산하지도 않는 경우가 다. 를 들어
수열 : , , , , ⋯ , , ⋯에 한없
커질 항 값 변하는 것 그래프 나타내 른,
쪽 그림과 같다 그래프에. 한없 커질 수열,
항 값 수 하지도 않고 양 한,
는 한 산하지도 않는다 같 진동하는.
수열 에는 산하는 수열 다.
수열※ 과 같은 수열을 동한다고 한다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 5 -
적 수열 수 과 산 정리하 다 과 같다.
수열 의 수렴 발산,
① 수 lim → ∞
(는 정한 값)
② 산
lim → ∞
∞ 양의 무한대로 발산
lim → ∞
∞ 음의 무한대로 발산
진동하면 발산
2 한값의 계산• 수열의 한에 대한 기본 성 을 이해하고 이를 이용하여 한값을 할 수 있다, .
수열 극한에 한 본 질 엇1) ?
여러 가지 수열 극한값 어떻게 할2) ?
수열 극한값 를 비 할 수3) ?
1.수열의 한에 대한 기본 성 은 무엇일까?
수 하는 수열 극한에 한 본 질 알아보 다 과 같 수열.
: , ,
,
, ⋯ ,
, ⋯
: , , ,
, ⋯ ,
, ⋯
극한값 각각 다 과 같다. lim → ∞
lim → ∞
, lim
→ ∞ lim
→ ∞
수열 각 항 수열 각 항 한 것 므 알 수 다.
라 다 립한다. lim → ∞
lim → ∞
수열, , 각 항끼리 곱한 수열
항
×
고 를 그래프,
나타내 른쪽 그림과 같다.
lim → ∞
lim → ∞
알 수 다.
라 다 립한다.
lim → ∞
lim → ∞
× lim → ∞
적 수 하는 수열에 각 항 합 차 실수 곱 몫 항 가지는 수열, , , ,
극한에 하여 다 과 같 질 립한다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 6 -
수열의 한에 대한 기본 성
수 하는 수열 , 에 하여 lim → ∞
, lim → ∞
( , 는실수) ,
① lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
② lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
③ lim → ∞
lim → ∞
단( , 는 상수)
④ lim → ∞
lim → ∞
⋅ lim → ∞
⑤ lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
단( , ≠, ≠)
주의 수열의 한에 대한 기본 성 은 수렴하는 수열에 대하여 성립한다.
●보기 ⑴ lim → ∞
lim
→ ∞ lim
→ ∞
lim
→ ∞
⋅
⑵ lim → ∞ lim → ∞
⋅
lim → ∞
⋅ lim → ∞
⋅
⑶ lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
lim → ∞
여러 가 수열의 한값은 어떻게 할까2. ?
복 한 수열 저 간단한 수열 합 차 곱 몫 변형한 다 수열 극한에 한, , , ,
본 질 하여 그 극한값 할 수 다.
※ ∞
∞꼴의 한은 분모에서 차수가 가장 높은 항으로 분자 분모를 각각 나눈다, .
※ 일반적으로 ∞∞ 꼴의 한에서 ∞는 수가 아니므로 ∞∞ 이라고 할 수 없다.
학 수학[ ]
≠일 때,
그럼 양 한 는 한 산하는 수열 극한에 하여 알아보^^ .
를 들어, lim → ∞
과 lim
→ ∞
를 살펴보 .
정답의 길로, 다비오 수학
- 7 -
lim → ∞
에 고차항 를 각각 나누,
lim → ∞
lim → ∞
그런 → ∞ ,
→ ∞ ,
→ 므
lim → ∞
∞ 라 주어진 수열 양 한 산한다.
lim → ∞
에 lim → ∞
lim → ∞
그런 → ∞ , →∞ ,
→ 므 lim
→ ∞
∞
라 주어진 수열 한 산한다.
※ lim→∞ (는상수), lim
→∞∞일 때, lim
→∞ ∞ 임이 알려져 있다.
※ lim→∞ <, lim
→∞∞일 때, lim
→∞∞ 임이 알려져 있다.
여러 가 수열의 한값은 어떻게 할까2. ?
적 수 하는 수열 극한값에 하여 다 과 같 계가 립한다.
수열의 한값의 대소 계
수 하는 수열 , 에 하여 lim → ∞
, lim → ∞
( , 는실수) ,
① 든 연수 에 하여 ≤ ≤ 다.
② 수열 든 연수 에 하여 ≤ ≤ 만족시키고
수열 수 하고 lim → ∞
다.
예를 들어 ,
,
일 때, <<이 만 lim
→ ∞ lim
→ ∞ 이고,
lim → ∞
이다 수열의 한값의 대소 계는 모든 자연수. , 에 대하여 <이 만
lim → ∞
lim → ∞
인 경우가 있다.
또, <<이 만 lim → ∞
lim → ∞
(는 실수 이면) lim → ∞
인 경우가 있다.
⋆ 부등식에 등호가 없더라도 lim가 붙으면 등호가 생긴다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 8 -
개념 확장하기
⑴ ∞
∞꼴 : 고차항 는 고큰 수 를 나눈다( ) .
① 차수 차수 ⇒ □
□⇒ 고차항 계수끼리 비
⇒ 아닌 어 상수 수
② 차수 차수 ⇒ □
▫⇒ 한 수( )
③ 차수 차수 ⇒ ▫
□⇒ ∞ 는 ∞ 산
( ) lim→∞
lim→∞
lim
→∞
lim→∞
lim→∞
lim→∞
∞
lim→∞
lim→∞
∞
지수함수 극한 지수에 만 남 다 다항함수 극한처럼 한다: . .⇒∎
( ) ⇒ ⇒ ⋅
⇒
⋅
∎ ∞×
꼴 극한값 ⇒ ∞
∞꼴 변형
( ) lim→∞⋅
lim→∞
, lim
→∞
lim→∞
∞
⑵ ∞∞ 꼴 극한 : 가 는 경우 없는 경우 나누어 생각한다.
① 가 는 경우 : 는 쪽 리화 한다.
② 가 없는 경우 고차항 는 고 큰 수 는다 산한다: ( ) . .⇒
( ) lim→∞
lim→∞
lim→∞
lim→∞
lim
→∞ ∞
정답의 길로, 다비오 수학
- 9 -
수학확 경[ ]
래프를 이용한 수열의 한
다 과 같 정 수열 극한 그래프를 하여 알아보 .
수열 ,
⋯
정 직,
에 를 하여
에 치를 찾고 직, 를 하여
에 치를 찾는다 같. 에
, , , ⋯ 치를 차 찾아보
>>>>⋯>>⋯>
를 만족시키고, 에 한없 가 워짐 알 수 다.
라 수열 직
, 점 좌 에 수 한다.
적 (, 는 실수, ≠ 꼴 정 는 수열) 극한 직
, 를 하여 다 과 같 조사할 수 다.
➊ <<일 때 수열, 은 수렴하고,
한값은 두 선의 점의 좌표인
➋ >일 때, ≠이면 수열 은 발산
한다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 10 -
3 등비수열의 한• 등비수열의 한값을 할 수 있다.
등비수열 극한값 어떻게 할1) ?
1.등비수열의 한값은 어떻게 할까?
등비수열 ,
에 하여 한없 커질 항 값 변, 하는 것 그래프
나타내 수열 산하고 수열,
수 함 알 수 다.
제 등비수열 수 산 공비, 값에 라 알아보 .
① > ,
> 등식 ≥ 가 립한다.
lim → ∞
∞ 므 lim → ∞
∞ 다.
※ >일 때 모든 자연수, 에 대하여 부등식 ≥ 가 성립함을 수학적 납법으로 명할
수 있다
② ,
든 연수 에 하여 므 다 립한다. lim → ∞
lim → ∞
③ << ,
( )ⅰ 든 연수 에 하여 므 lim → ∞
다.
( )ⅱ ≠ > 므 에 하여① lim
→ ∞
lim → ∞
∞ 다.
라 lim → ∞
, lim → ∞
다.
※ <<, ≠이면 < <이므로 >이다.
④ ≤ ,
( )ⅰ 수열 , , , , ⋯ 므 진동하 산한다.
( )ⅱ < > 므 에 하여① lim → ∞
lim → ∞
∞ 고,
수열 각 항 호가 변하므 진동하 산한다.
상 정리하 다 과 같다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 11 -
등비수열 의 수렴 발산,
① > , lim → ∞
∞ 산( )
② , lim → ∞
수( )
③ << , lim → ∞
수( )
④ ≤ 수열, 진동하 산한다 산. ( )
참고) <≤ 일 때 등비수열, 은 수렴한다.
정답의 길로, 다비오 수학
- 12 -
실전 개념 다 기 수열의 한( )• 고난도 기출문제를 통해 통합적 사고력을 기르고 개념을 확고히 다 다.
01.
수열 에 하여 보 에 항상 것만 는 고른 것< > ?
보< >
수열.ㄱ 산하 수열 산한다.
수열.ㄴ , 수 하 수열 ,
도 수 한다.
수열.ㄷ , 수 하 수열 , 적어도 하나는 수 한다.
① ㄱ ② ㄷ , ,③ ㄱ ㄴ ④ ㄴ ㄷ , ,⑤ ㄱ ㄴ ㄷ
02.
수열 첫째항 제항 지 합 라 할 보 수열 수 하는 것만, < >
는 고른 것 ?
보 기< >
.ㄱ
.ㄴ
.ㄷ ⋯
① ㄴ ② ㄷ , , ,③ ㄱ ㄴ ④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄴ ㄷ
정답의 길로, 다비오 수학
- 13 -
03.
좌 평 점 ( ⋯ 다 규칙 만족시킨다) .
가( ) 점 좌 는 다.
나( )
다( ) 점 는 점 지나고 직 에 수직 직 점 가
점 다.
수열 , 고, ( ⋯ ) ,
lim→∞ 값 ?
①
②
③
④ ⑤
정답의 길로, 다비오 수학
- 14 -
04.
연수 에 하여 곡 점 심 하고 에 접하는 원 라
하 원점 지나고 원. 에 접하는 직 에 아닌 직 울 를 라 할 ,
lim→∞
값 ?
①
②
③ ④
⑤
정답의 길로, 다비오 수학
- 15 -
05.
그림과 같 ∠ 직각 등변삼각형 다. 에 꼭짓점 고 각,
를 낀 변에 꼭짓점 , 는 직사각형 도 그린
다. 에 꼭짓점 가 고 각, 를 낀 변에 꼭짓점 , 가 는 직사각형
를 가 도 그린다 같. 에 꼭짓점
고 각, 를 낀 변에 꼭짓점 , 는 직사각형
도 그린다. 를 라 할 , lim→∞
값 단 점? ( ,
에 다.)
①
②
③
④
⑤
정답의 길로, 다비오 수학
- 16 -
06.
좌 평 에 연수 에 하여 직
만나는 점 직, 과 만
나는 점 라 하 삼각형. 에 내접하는 원 심 라 하고 삼각형,
를 라 하 . lim→∞
값 ?
①
②
③
④
⑤
정답의 길로, 다비오 수학
- 17 -
07.
그림과 같 한 변 가 정사각형 한 변 가 정사각형 는 변 평
행하고, 각 점과 각 점 치하도 여 다. 내 에
내 를 제 한 역 라 하 . 상 연수 에 하여 한 변 가
정사각형 다 규칙에 라 에 그린다.
가( ) 정사각형 한 변 한 변에 평행하다.
나 정사각형들 내 는 겹치지 않도 한다( ) .
같 규칙에 라 에 그릴 수 는 한 변 가
정사각형 개수를
라 하 를 들어. , , 다.
lim→∞
라 할 , 값 하시 .
08.
다 조건 만족시키는 든 정수 값 합 하시 .
가( ) lim→∞
수 한다.
나( ) lim→∞