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2017
高校数学前期1回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limx→1x3−x2+x−1
x2+x−2 , (2) limx→∞ x(√x2 + 4− x)
(3) limx→−∞(√x2 + 1 + x), (4) limx→−∞
2x+1+3x+1
2x−3x
(5) limx→0sin 2xx2+2x
解: (1) 23 , (2) 2, (3) 0, (4) 2, (5) 1
2. 次の関数は，x = −2で連続かどうか調べよ．
f(x)
x2−4|x+2| (x ̸= −2)
0 (x = −2)
解: 不連続
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = 1
x4√x3, (2) y =
√1 + cosx, (3) y = 1−tan x
1+tan x
(4) y = ex log x, (5) y = xx (x > 0)
解: (1) − 7
4x2 4√x3, (2) − sin x
3√1+cos x
, (3) − 2(cos x+sin x)2 , (4) e
x(log x+ 1x ),
(5) xx(log x+ 1)
4. 次の関数のグラフを描け．
解:
y = sinx(2− sinx) (0 ≤ x ≤ 2π)
x 0 · · · π2 · · · 7
6π · · · 32π · · · 11
6 π · · · 2π
y′ + 0 − − − 0 + + + +
y′′ − 0 − 0 + + + 0 − −y 0 ↗ 1 ↘ ↘ −3 ↗ ↗ 0
1
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) 1ex−e−x , (2) (2x+ 1) sin 2x
(3) tan3 θ
解: (1) 12 log
|ex−1|ex+1 , (2) −x cos 2x+ 1
2 sin 2x−12 cos 2x, (3) log | cos θ|+
12 cos2 θ
6. 次の定積分を求めよ．
(1)∫√
2
0x√
x2+1dx, (2)
∫ 2
0(2x+ 1)ex/2 dx
(3)∫ 4
2x−3
x(x−1) dx
解: (1) 1, (2) 2e+6, (3) log 89
2
2017
高校数学前期2回目
1. 次の式の成り立つ範囲を求めよ．
2x− 1
x+ 1≥ −x+ 3 (x ̸= −1)
解: −2 ≤ x < −1,x ≥ 2
2. 次の級数の和を求めよ．√2− 1(3− 2
√2) + (5
√2− 7) + · · ·
解:∞∑
n=1
(√2− 1)n =
√2− 1
1− (√2− 1)
=
√2
2
3. 次の極限を求めよ．
(1) limx→0
sin 2x
x2 + 2x, (2) lim
x→−∞
2x+1 + 3x+1
2x − 3x
解: (1)1, (2) 2
4. 次の式が成り立つように a, bを定めよ．
limx→−1
a√x2 + 3 + bx
x+ 1= 3
解: a = 2,b = 4
5. 次の微分を求めよ
(1) y = sin(2x2 + 1) (2) y = ex−e−x
ex+e−x
(3) y =√1 + cosx (4) y = x(log x)2
解: (1) 4x cos(2x2 + 1), (2) 4(ex+e−x)2 , (3) − sin x
2√1+cos x
, (4) (log x)2 +
2 log x
3
6. (a) 関数 f(x) = log xx の増減表を求め，概形を描きなさい．
(b) eπ と πe はどちらが大きいか.
解: (1)
x 0 · · · e · · ·f ′ + 0 −f ↗ 1
e ↘
(2) f(e) > f(π)，すなわち，
log e
e>
log π
π
したがって，eπ > πe
7. 次の不定積分を求めよ．
(1)∫ex√ex − 1 dx (2)
∫1
2x2+x−6 dx
(3)∫(x2 + x− 2) log x dx (4)
∫(sin 3x− cos 2x) sin 4x dx
解: (1) 13 (ex − 1)3/2, (2) 1
7 log∣∣∣ (2x−3)2
x+2
∣∣∣, (3)( 13x3 + 12x
2 − 2x) log x −( 19x
2 + 14x
2 − 2x)
4
8. 次の定積分を求めよ．
(1)∫ 4
1
√x(x+ 2
x ) dx (2)∫ 4
2x−3
x(x−1) dx
(3)∫ 2π
0x| sinx| dx (4)
∫ 2
0(2x+ 1)ex/2 dx
解: (1) 825 , (2) log 8
9 , (3) 4π, (4) 2(e+ 3)
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2017
高校数学前期3回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limx→0
(1 + x)− (1− x)
x(√1 + x+
√1− x)
, (2) limx→0
1− cosx
x2
解: (1) 1, (2) 12
2. 次の関数 f(x)は連続かどうか確かめよ．
f(x) =
sin x3x x ̸= −0
x = 0
解: x = 0で不連続，それ以外の点では連続
3. 微分の定義に従い f(x) = cosxの微分を求めなさい．
解:
limh→0
f(x+ h)− f(x)
h= lim
h→0−2 sin(x+ h/2) sinh/2
h= − sinx
4. 次の微分を求めなさい．
(1) y = (x2−1)1/2, (2) y = log(sinx), (3) y = − 2
(x2 + 3)2, (4) y = ex tan2 x
解: (1) y′ = 3x(x2 − 1)1/2, (2) y′ = cos xsin x , (3) y′ = 4x
(x2+3)2 , (4)
y′ = ex tan2 x(3 tan2 x+ tanx+ 3)
5. 次の関数について以下の問いに答えなさい．
y =1
2x+ x2
(a) 極値を求めなさい．
(b) 変曲点を求めなさい．
6
(c) 概略図を描きなさい．
解: (1) y′ = 2x− 12x2 より極値は 3
√14，より増減表は
x · · · 0 · · · 3
√14 · · ·
f ′ − − 0 +
f ↘ ↘ ↗
(2) 変曲点は y′′ = 2 + 1x3 より − 3
√12 (3)
6. 次の関数を積分せよ．
(1)∫
sin 2xcos2 x dx (2)
∫dx
(x−1)√x+1
(3)∫ 2
−2xe−2x dx (4)
∫ 2
1x+9
x2−2x−3 dx
解: (1) 2cos x , (2)
√2 log
∣∣∣√x+1−√2√
x+1+√2
∣∣∣, (3) − 14 (5e
−4 + e2), (4) − log 18
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2017
高校数学後期1回目
1. 次を求めよ．
(1) limn→∞
3n2 − 2n− 1
n2 + 2n− 1, (2) lim
x→∞(3n − 5 · 2n), (3) lim
x→0(1+ sinx)
1x
解: (1) 3, (2) +∞, (3) e
2. 次が収束する xの範囲を求めよ．
∞∑k=0
(x2 − 3)k
解: −2 < x < −√2と
√2 < x < 2
3. 次の極限が存在するように aの値を定め，極限値を求めよ．
limx→3
x2 − (2 + a)x+ 2a
x− 3
解: a = 3, 極限値 1
2017k1.eps
(1) − 5x2 +3
x, (2) e−x sin2 x, (3)
log x
log x+ x
解: (1) −10x− 3x2 , (2) e
−x sinx(− sinx+ 2 cosx), (3) 1−log x(log x+x)2
4. 次の関数の極値を求めよ．
y = |x2 − 2x− 3|
解:
x · · · −1 · · · 1 · · · 3 · · ·f ′ − × + 0 + × +
f ↘ 0 ↗ 4 ↘ 0 ↗
8
5. 次の不定積分，定積分の値を求めよ．
(1)
∫tanx dx (2)
∫x2 + x+ 3
x+ 3dx, (3)
∫x
cos2 xdx
(4)
∫ 2
1
ex
1− exdx (5)
∫ 1
0
dx
1 + x2(6)
∫ e
1
(log x)2 dx
解: (1) − log | cosx|, (2) 12x
2−2x+9 log |x+3|, (3) x tanx+log | cosx|,(4)− log(1 + e), (5)π4 , (6) e− 2
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2017
高校数学後期2回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limn→∞3n−4n
3n+4n (2) limx→1−0x2−1|x−1|
(3) limx→−∞√x2 + x+ 1 + x (4) limx→0
x2
1−cos 2x
解: (1) −1, (2) −2 (3) − 12 , (4)
12
2. 次の無限等比級数の収束，発散について調べ，収束するときはその和を
求めよ． √5 + (5−
√5) + (6
√5− 10) + · · ·
解: 公比が√5− 1 > 1なので発散
3. 次の関数を，定義にしたがって微分せよ．
解:
1
(x+ h)2− 1
x2=
x2 − (x+ h)2
x2(x+ h)2
=−2xh− h2
x2(x+ h)2
より1
h
1
(x+ h)2− 1
x2=
−2x− h
x2(x+ h)2
h → 0として (1
x2
)′
=−2
x3
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y = 1√x
(2) y = (log x)2
(3) y = 3−x2
sinx (4) y = 1−cos x1+cos x
解: (1) − 12x
−3/2, (2) 2 log xx (3) 3−x2
cosx− 3−x2
2x log 3 sinx
(4) 2 sin x(1+cos x)2
10
5. 関数 y = x4 − 2x3 の極値，凹凸を調べ，グラフを描け．
解:
x −∞ · · · 0 · · · 1 · · · 32 · · · ∞
f ′ − 0 − − 0 +
f ′′ + − 0 + +
f ∞ ↘ 0 ↘ ↘ − 2716 ↗ ∞
6. 次の不定積分を求めよ．
(1)∫(x− 1)2ex dx (2)
∫cos3 x+3cos2 x dx
(3)∫
4x+1√1−2x
dx
解: (1)ex(x− 2) (2) sinx+ 3 tanx (3) −3√1− 2x− 4
3
√(1− 2x)3
7. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 2
0
|x(x2 − 1)| dx (2)
∫ √2
−√2
dx
(x2 + 2)2
解: (1) 52 , (2)
√24
(π4 + 1
2
)
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2017
高校数学後期3回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limx→∞
√x+ 1−
√x+ 2√
x+ 3−√x+ 4
, (2) limn→∞
1 · 2 + 2 · 3 + · · ·+ n(n+ 1)
n3
解: (1) 1, (2) 13
2. 次の関数は，x = −2で連続かどうか調べよ．
f(x) =
x2 − 4
|x+ 2|x ̸= −2
0 x = −2
解: 連続でない
3. a > 0とするとき，関数 f(x) = x2 + (2− a)x− a log xの 1 ≤ x ≤ 2に
おける最小値を求めよ．
解:
f ′(x) = 2− a− a
2+ 2x, f ′′(x) = 2 +
a
x2> 0
であるので，
x 0 · · · a2 · · ·
f ′(x) × − 0 +
f(x) × ↘ a− a2
4 − a log a/2 ↗
a ≤ 2のとき，頂点 x = a2 は [0, 1]にあるので，最小値は f(1) = 3− a，
最大値は f(2)=8− 2a− a log 2, 2 < a ≤ 4のとき，頂点は [1, 2]にある
ので，最小値は f(a/2) = a− a2
4 − a log a/2,
f(1)− f(2) = −5 + a(1 + log 2)
であるので，最大値は2 < a < 51+log 2のときf(2) = 8−2a−a log 2, 5
1+log 2 ≤a ≤ 4のとき，f(1) = 3− a, a > 4のとき，最小値は f(2) = 8− 2a−a log 2,最大値は f(1)=3− a
求めるのは最小値なので
12
• a < 2のとき，f(1) = 3− a
• 2 ≤ a < 4のとき，f(a/2) = a− a2
4 − a log a/2
• a ≥ 4のとき，f(2) = 8− 2a− a log 2
4. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)1
ex − e−x, (2) (2x+ 1) sin 2z
解: (1) 12 log (1− ex)− 1
2 log (ex + 1), (2) 1
2 sin(2x)−x cos(2x)− 12 cos(2x)
5. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ √2
0
x√x2 + 1
dx, (2)
∫ π/2
0
sin θ
1 + cos θdθ
解: (1) 1, (2) log 2
6. 次の極限値を求めよ．
limn→∞
1√n
{1√n+
1√n+ 1
+ · · ·+ 1√2n− 1
}
解:
1√n
{1√n+
1√n+ 1
+ · · ·+ 1√2n− 1
}=
1
n
{1 +
√n
n+ 1+ · · ·+
√n
2n− 1
}=
1
n
{1 +
√1
1 + 1/n+
√1
1 + 2/n+ · · ·+
√1
1 + (n− 1)/n
}
→∫ 1
0
1√1 + x
dx = 2(√2− 1)
7. aを 0でない実数の定数とするとき，曲線 y = x−a√x2+1
は aの値に関係
なく必ず 2つの変曲点を持つことを示せ．
解:d2y
dx2=
a− 3x− 2ax2
(1 + x2)5/2
であるので，分子の判別式はD/4 = 9+2a2 > 0であるので 2根をもつ
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2016
高校数学前期1回目
1.
(1) limx→∞
(1 +
1
2x
)5x
, (2) limx→∞
ex + e−x
ex − e−x, (3) lim
n→∞
12 + 22 + 32 + · · ·+ · · ·+ n2
n3
解: (1) e5/2, (2) 1, (3) 13
2. f(x) = 3√xを定義にしたがって微分せよ．
3. 微分せよ．
(1) f(x) = log
√x+ b
x+ a, (2) f(x) = xlog x, (3) f(x) =
1− sinx
1 + cosx
解: (1) f ′(x) = a−b2(x+a)(x+b) , (2) f ′(x) = xlog x−12 log x, (3) f ′(x) =
sin x−cos x−1(1+cos x)2
4. f(x) = ex sinxが上に凸であるような xの範囲を求めよ．
解: π2 + 2nπ < x < 3
2 + 2nπ
5.
(1)
∫cos4 x dx, (2)
∫sinx cosx
1 + sinxdx, (3)
∫x
e2xdx
解: (1) 18 (3x+s sin 2x+ 1
4 sin 4x) (2) sinx−log(1+sinx), (3)− 2x+14 e−2x
6.
(1)
∫ 2
0
√2x− x2 dx, (2)
∫ π
0
x2 sinx dx, (3)
∫ e
0
log x
x4dx
解: (1) π2 , (2) π
2 − 4, (3) 14 (1− 3e−2),
7. 任意の実数の xに対して，∫ x
0f(t)e−t dt = x2 であるとき，
14
(a) f(x)を求めよ．
(b)∫ 1
0f(x) dxを求めよ．
解: (1) f(x) = ex2x, (2) 2
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2016
高校数学前期2回目
1. 次の等式をみたす xの値を求めよ．
(1) 2x = 24, (2) 3log3 x = 15, (3) logx 3 = 4
解: (1) x = 3 log2 3, (2) x = 15, (3) x = 4√3
2. 次の θにたいする cos θ, sin θ, tan θの値を求めよ．θ = − 53π
解: cos θ = 12 , sin θ =
√32 , tan θ =
√3
次の関数の増減，凹凸，極地，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮し
て，グラフの概計を描け．
y = −x3 + 6x2 − 9x+ 1
解:
x −∞ · · · 1 · · · 2 · · · 3 · · · ∞y′ − 0 + + + 0 −y′′ + + + 0 − − −y ∞ ↘ −3 ↗ −1 ↗ 1 ↘ −∞
16
3. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→∞x2−3x
2x3+x+1 , (2) lim(x−√x2 − x)
(3) limx→∞(1− 3
x
)x, (4) limx→0
log(1−x)sin x
(5) limx→−0sin x|x| , (6) limx→0
e2x−1x
解: (1) 12 (2) 1
2 , (3) e−3, (4) −1, (5) −1 (6) 2
4. 導関数を定義に従って求めよ，
f(x) =√x
解: 略
5. 次の関数 f(x)の x = 0における連続性を調べよ．
f(x) =
(1 + x)1/x x ̸= 0,
1 x = 0
解: 連続ではない
6. グラフ上の点 (1, 1)における接線の方程式を求めよ，
y =3√x5
解: y = 53x− 2
3
7. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) y = e2x log x, (2) y = (1 + tan2 x)3
(3) y = x2−x−1x2+x+1 , (4) y = (sinx)x (0 < x < π)
解: (1) e2x(2 log x+ 1x ), (2)
4 sin xcos5 x , (3)
2x(x+2)(x2+x+1)2 , (4) (sinx)
x(log(sinx) + x cos x
sin x
)
8. 次の関数の積分を求めよ．
(1)∫xex dx, (2)
∫1
x(log x)2 dx, (3)∫
1x2−1 dx
(4)∫ π
0sin2 x dx (5)
∫ 3
1x√x2 − 1 dx
解: (1) (x− 1)ex, (2) − 1log x , (3)
12 log
∣∣∣x−1x+1
∣∣∣, (4) π2 , (5)
16√2
3
17
2016
高校数学前期3回目
1. 次の導関数を求めよ (a, b > 0)
(1) 1(x2−1)2 , (2) x
√x2 + 1, (3) 1
x+√x2+1
(4) eax cos bx, (5) 12a log
∣∣∣x−ax+a
∣∣∣ , (6)(x+ 1
x
)2(7) xcos x (x > 0) (8) e
√x (x > 0)
解: (1) −4x(x2−1)3 , (2)
2x2+1√x2+1
, (3) − 1(x+
√x2+1)
√x2+1
,
(4) eaxa cos bx− b sin bx), (5) 1x2−a2 , (6) 2(x− 1
x3 ),
(7) xcos x(− sinx log x+ cos xx ), (8) x
√x log x+2
2√x
2. 次の関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，必要なら極限を考慮して
グラフの概形を描け．
(x2 − 2)ex
x −∞ · · · −4 · · · −1−√3 · · · 0 · · · −1 +
√3 · · · ∞
f ′(x) + + + 0 − − − 0 +
f ′′(x) + 0 − − − 0 + + +
f(x) 0 ↗ ↗ ↘ ↘ ↗ ∞
18
3. x > 0のとき，次の不等式を示せ．
(1 + x)3/2 > 1 +3
2x
解:
f(x) = (1 + x)3/2 − (1 32x)
とおいて増減表を作ればよい．
4. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) e3x sin 2x, (2) log(x+ 1), (3) cos2 x
(4) 1ex−1 , (5) 1
1−sin x
解: (1) e3x
13 (3 sin 2x− 2 cos 2x), (2) (x+ 1) log(x+ 1)− x,
(3) 12 (x+ 1
2 sin 2x), (4) log |1− ex|, (5) tanx+ 1cos x
5. 次の定積分の値を求めよ．
(1)∫ π
0
√1 + cosx dx, (2)
∫√3
01√
x2+1dx
(3)∫ π
0x2 sin2 x dx, (4)
∫ 2π
0cos2 x sin2 x dx, (5)
∫ π/2
0sin4 x dx
解: (1) 2√2, (2) log(2 +
√3), (3) π
12 (2π2 − 3), (4) π
4 , (5)3π16
19
2016
高校数学後期1回目
1. 次の不等式を解け．2x− 1
x+ 1≥ −x+ 3
解: −2 ≤ x− 1,x ≥ 2, 分母の正負で分けることは高 1で習ったことで
しょう．
2. 次の極限を求めよ．
(1) limx→1
x3 − x2 + x− 1
x2 + x− 2, (2) lim
x→∞x(√x2 + 4−x), (3) lim
x→0
sin 2x
x2 + 2x
解: (1) 23 , (2) 2, (3) 1
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = xx (x > 0), (2) y =1− tanx
1 + tanx, (3) y = (x+3)
√2− x, (4) y = cos3 2x
解: (1) xx(log x+1), (2)− 2(cos x+sin x)2 , (3)
−3x+12√2−x
, (4)−3 cos 2x sin 4x
4. 次の関数のグラフを描け．
y = x2 −√2x
解: y = 0の解は 0と 3√2
x 0 · · · 12 · · ·
y′ − 0 +
y 0 ↘ − 34 ↗
20
5. 次の関数の不定積分を求めよ
(1)2x4 − x3 + 3x− 1
x3, (2) (2x+ 3)ex, (3)
√sinx cos3 x
解: (1) x2 − x− 3x + 1
2x2 , (2) (2x+1)ex. (3) 23 (sinx)
3/2 − 27 (sinx)
7/2
6. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ π/2
0
sin 3x sin 4x dx, (2)
∫ 4
2
x− 3
x(x− 1)2dx, (3)
∫ 2π
0
x| sinx| dx
解: (1) 47 , (2) log
98 , (3) 4π
21
2016
高校数学後期2回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1)ex − e−x
sinx, (2) lim
x→1
√x− 3
√x
x− 1
解: (1) 2, (2) 16
2. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) log1 + sinx
cosx, (2) xe−x2
, (3) (√x+ 1)x (x > 0)
解: (1) 1cos x , (2) (1 − 2x2)e−x2
, (3) y′ = (√x + 1)x
{log(
√x + 1) +
√x
2(√x+1)
}3. 次の曲線の Pにおける接線の方程式を求めよ．
y =
√1− x2
2, P
(1,
1√2
)
解: y = − 1√2x+
√2
4. 次の関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮して
グラフの概形を描け．
y = e−x2
解:
x −∞ · · · − 1√2
· · · 0 · · · 1√2
· · · ∞y′ + + 0 − −y′′ + 0 − − 0 +
y 0 ↗ e−1/2 ↗ 1 ↘ e−1/2 ↘ 0
22
5. x > 0のとき，次の不等式を示せ．
(1 + x)3/2 > 1 +3
2x
解: 差 f(x) = (1 + x)3/2 − (1 + 32x)をとって微分して単調増加を示し，
f(0) = 0 から示す方法と，x > 0で両辺が正なことに注意して，両辺
を 2乗して，差をとって範囲を求めると x > 0または x < − 34 である
ことがわかるので証明を終わる．
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) e3x sin 2x, (2)1√
ex + 1, (3) 2 cos 5x sin 3x
解: (1) 113e
3x(3 sin 2x − 2 cos 2x), (2) −x + 2 log(√ex + 1 − 1), (3)
−18 cos 8x+ 1
2 cos 2x
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ π
0
√1 + cosx dx, (2)
∫ √3
0
1√x2 + 1
dx, (3)
∫ 2π
0
cos2 x sin2 x dx
解: (1) 2√2, (2) 2 log(2 +
√3), (3) π
4
23
2016
高校数学後期3回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→∞
(1− 4
x
)x
, (2) limx→0
log(1 + x)
sinx, (3) lim
x→−o
ex − e−x
|x|
解: (1) e−4, (2) 1, (3) −2
2. 次の曲線の Pにおける接線を求めよ．
y =ex + e−x
2,P
(log 2,
5
4
)
解: y = 34 (x− log 2) + 5
4
3. x > 0のとき，次の不等式を示せ．
log(1 + x) >2x
2 + x
解:
f(x) = log(1 + x)− 2x
2 + x
と置いて，微分をすると単調増加であることがわかり，f(0) = 0より
証明を終わる．
4. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) log(x+√x2 + 1), (2) xe−x2
, (3) log 1+sin xcos x
(4) (√x+ 1)x (x > 0), (5)
√1−
√x
1+√x
解: (1) 1√x2+1
, (2) (1−2x2)e−x2
, (3) 1cos x , (4) (
√x+1)x
{log(
√x+ 1) +
√x
2(√x+1)
},
(5)√
1−√x
1+√x· 12√x· 1x−1
24
5. 次の関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮して
グラフの概形を描け，
f(x) =log x
x2
解:
x0 · · · e1/2 · · · e5/6 · · · ∞f ′ + 0 − −f ↗ ↘ ↘ 0
6. 次の積分を求めよ．
(1)∫x tan2 x dx, (2)
∫cos2 x dx, (3)
∫3 sin3 x dx
(4)∫ 2π
0cos2 x sin2 x dx (5)
∫ 2
11
4x−x2
解: (1) x tanx + log | cosx| − 12x
2, (2) 12 (x + 1
2 sin 2x), (3)14 cos 3x −
94 cosx, (4)
π4 , (5)
14 log 3
25
2015
高校数学前期1回目
1. 次の極限を調べよ．
(1) limx→+∞
cosx, (2) limn→∞
sinπn2
n+ 1
解: (1) 存在しない．(2) 0
2. 次の等式が成り立つように，定数 a, bの値を定めよ．
limx→1
(a+ 1)x+ b√3x+ 1−
√x+ 3
= 4
解: a = 1, b = −2
3. 次の関数は x = 0で微分可能か．
f(x) =
x sin 1x (x ̸= 0)
0 (x = 0)
解: 微分可能でない
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y =
(x
x+ 1
)100
, (2) y = 23x log |x|, (3) y = sinx cos2 x, (4) y = xtan x
１
解: (1) 100x99(1−x2)(x2+1)101 (2) 23x((3 log 2) log |x|+ 1
x ), (3) 3 cos3 x−2 cosx,
(4) xtan x( 1cos2 x log x+ (tanx) 1x )
5. 関数 f(x) = x+ 2 sinxの，閉区間 [0, 53π]における最大値 ·最小値とそ
のときの x の値を求めよ．
解: x = 23πで最大値
23π +
√3, x = 0で最小値 0
26
6. 次の不定積分を求めよ．
(1)
∫(√x+ 1)3√
xdx, (2)
∫e3x
(ex + 1)2dx, (3)
∫x4
x3 − 3x+ 2dx
解: (1) 12x
2 + 2x3/2 + 3x+ 2x1/2, (2) (ex + 1)− 2 log(ex + 1)− 1ex+1 ,
(3) x2
2 + 119 log |x− 1| − 1
31
(x−1) +169 log |x+ 2|
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ 1
0
dx√4− x2
, (2)
∫ π/2
0
x cosx dx
解: (1) π6 , (2)
π2 − 1
27
2015
高校数学前期2回目
1. 次の極限を求めなさい．
(1) limx→0
tan 2x
x, (2) lim
x→0
ax − bx
x
解: (1) 2, (2) log a− log b
2. f(x) =√1 + xの微分を定義により導きなさい．
解: 12√1+a
3. 次の関数を微分しなさい，
(1) y = (x2 + 1)5(x3 − 2), (2) y = log(log x), (3) y = 2x
(4) y = (x3(x2 + 1)3/2, (5) y = exx
,
解: (1) x(x2 + 1)4(x3 − 2)2(19x3 + 9x− 10), (2) 1x log x , (3) (log 2)2
x,
(4) 3x2(x2 + 1)1/2(2x2 + 1), (5) exx
xx(log x+ 1)
4. 次の関数の増減表を作り，概図を描きなさい．
y =log x
x
解:
x 0 · · · e · · · e3/2 · · · ∞y′ x + 0 − − −y′′ − − −0 +
y −∞ ↗ 1/e ↘ 3/2e−3/2 ↘ 0
28
5. 次の積分を求めなさい．
(1)∫
dxex+1 , (2)
∫dx
x log x , (3)∫
dx√1+3x
,
(4)∫log x dx, (5)
∫cos3 x dx, (6)
∫dx
x3+3x+2
解: (1) log ex
ex+1 , (2) log | log x|, (3) 23
√1 + 3x. (4) x(log x − 1), (5)
sinx− 13 sin
3 x, (6) log∣∣∣x+1x+2
∣∣∣6. 次の定積分を求めなさい，
(1)
∫ 2
0
x2e2x dx, (2)
∫ a/2
0
dx√a2 − x2
解: (1) 54e
4 − 14 , (2)
π6
29
2015
高校数学前期3回目
1. nは自然数，aは実数とする．次の極限を求めよ．
(1) limx→+∞
xn + x
axn + 1(2) lim
x→−∞(√
x2 + x+ 1 + x)
解: (1)
極限 =
+∞ a = 0
2a a ̸= 0, n = 1
1a a ̸= 0, n ≥ 1
(2)− 12
2. f(x)は 0 ≤ x ≤ 1で連続な関数で，f(0) > 0, f(1) < 1である．このと
き方程式 f(x) = xは 0 < x < 1に実解を持つことを証明せよ．
解: g(x) = f(x)− xとおいて，中間値の定理を用いればよい．
3. 次の関数は x = 0で連続か，また微分可能か．
f(x) =
x sin 1x x ̸= 0
0 x = 0
解: 連続だが微分可能でない
4. 次の関数を微分せよ．
(1) e−2x (2) 23x (3) tan(2 sinx) (4) xx
解: (1) −2e−2x, (2) 23x3 log 2, (3) 2 cos xcos2(2 sin x) , (4) (log x+ 1)xx
30
5. 次の関数の最大値・最小値とそのときの xの値を求めよ．
y = x√2x− x2
解:
x 0 · · · 32 · · · 2
y′ + 0 −y 0 ↗ 3
√3
4 ↘ 0
定義域 0 < x < 2で
y′ =x(3− 2x)√x(2− x)
であるから，x = 32 で最大値
3√3
4 ,最小値 0
6. f(x) = xlog x のグラフをかけ．
解:
f ′(x) =−1 + log x
(log x)2
x 0 · · · 1 · · · e · · · e2 · · ·f ′ − × − 0 + + +
f ′′ − × + + 0 −f ↘ × ↘ ↗ ↗
極小値 (e, e)，変曲点 (e2, e2 )
2 4 6 8
-2
-1
1
2
3
4
5
31
7. 次の関数の不定積分を求めなさい．
(1)x+ 1
(2x− 3)2, (2)
√log x
x(3) ex sinx
解: (1) − 6x+124(2x−3)3 , (2)
23
√(log x)3, (3) 1
2ex(sinx− cosx)
8. 次の定積分の値を求めよ．ただし，m,nは自然数とする．
(1)
∫ 1/2
0
x4 + 1
x3 − 1dx, (2)
∫ 2π
0
sinmt sinnt dt
解: (1) 18 − 1
3 log 7,(2) m ̸= nなら 0, m = nなら π
32
2015
高校数学後期1回目
1. 次の極限を求めよ．
limn→∞
12 + 32 + · · ·+ (2n− 1)2
12 + 22 + · · ·+ n2
解: 4
2. 次の極限を求めよ．
(1) limx→0
x2 + x
|x|, (2) lim
x→0x sin
1
x, (3) lim
x→∞(x−
√x2 + 1))
解: (1) 存在しない， (2) 0, (3) 0
3. 定義にしたがって，関数 y = 3√xを微分せよ．
解:
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)
を用いる，解は y′ = 13x
−2/3
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y =
(x
x2 + 1
)32
, (2) y = sinx tan2 x, (3) y = xx (ただし, x > 0)
解: (1) y′ = 32x31(−x2+1)(x2+1)33 , (2) y′ = sin2 x(3−sin2 x)
cos3 x (他の表現もありま
す), (3) y′ = xx(log x+ 1) (これを間違えるようでは数学科とは言えま
せん)
5. 次の曲線の与えられた点 (2, 1)における接線の方程式を求めよ．
x2 + xy + y2 = 7
解:
y − 1 = −5
4(x− 2)
33
6. 次の関数の最大値・最小値とそのときの xの値を求めよ．
y =1− x
x2 + 2
解: x = 1−√3で最大値
√3+14 , x = 1 +
√3で最小値 −
√3+14
7. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)e2x
(ex + 1)2, (2) log(x+ 1), (3) sin 3x cosx
解: (1) log(ex + 1) + 1ex+1 , (2) (x+ 1) log(x+ 1)− x,
(3) − 18 cos 4x− 1
4 cos 2x (別の表現もある)
8. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ 0
−1/2
√2x+ 1
x+ 1, (2)
∫ π/2
0
x cosx dx
解: (1) π4 , (2)
π2 − 1
34
2015
高校数学後期2回目
1. 関数
f(x) = limn→∞
x2n−1 + ax2 + bx
x2n + 1
が全ての実数値に対して連続となるように，定数 a, bの値を定めよ．
解:
f(x) =
1x |x| > 1
1+a+b2 x = 1
ax2 + bx |x| < 1
−1+a−b2 x = −1
より，a = 0, b = 1
2. f(x) = 3√xを定義にしたがって微分せよ，
3. 関数 f(x) = x2+2x+3(x−1)2 について
(a) limx→1 f(x), limx→±∞ f(x)を求めよ．
(b) f(x)の極値および曲線 y = f(x)の変曲点を求め，この曲線の概
形をかけ．
解:
(a) limx→1 f(x)は存在しない, limx→±∞ f(x) = 1
(b)
f ′(x) = − x+ 2
(x− 1)3, f ′′(x) =
4(2x+ 7)
(x− 1)4
x −∞ · · · − 72 · · · −2 · · · 1 · · · ∞
f ′ − − 0 + × −f ′′ − 0 + + × +
f 1 ↘ 1127 ↘ 1
3 ↗ × ↘ 1
35
4. 導関数を求めよ．
(a) f(x) = 3√(x+ 1)(x2 + 1)
(b) f(x) = ex cos x
(c) f(x) =√
1+sin x1−sin x
解: (1) 3x2+2x+13((x+1)(X2+1))2/3
, (2) ex cos x(cosx−x sinx), (3)√
1+sin x1−sin x
1cos x
5. 不定積分を求めよ．
(a)∫
sin x cos x1+sin x dx
(b)∫(log x)2 dx
(c)∫sin2 x dx
解: (1) sinx − log(1 + sinx) + C, (2) x(log x)2 − 2x log x + 2x + C,
(3) x2 − sin x
4 + C
6. 定積分を求めよ．
(a)∫ 1
0
√x2 + 1 dx
36
(b)∫ π
0xex sinx dx
解: (1)√22 + log(1+
√2)
2 , (2) 12 (πe
π − eπ − 1)
7. 0 < x < πにおいて，sinx > x cosxであることを示せ．
解: f(x) = sinx− x cosxは f(0) = 0かつ f ′(x) > 0 (0 < x < π)より
したがう．
37
2014
高校数学前期1回目
1.
limx→0
√x2 + 1− (ax+ b)
x= 2
が成り立つように，a, bを定めよ．
解: a = −2, b = 1
2. 無限等比級数 1+ (1− x2) + (1− x2)2 + · · · が収束するような実数 xの
範囲を求めよ．また，収束するときの和を求めよ．
解: 0 < x <√2または −
√2 < x < 0で，和は 1
x2
3. 次の極限を求めよ．
(1) limn→∞5−3n2
(n+1)(n+2) (2) limx→0sin 3xtan x
(3) limx→−∞4x
1−4x (4) limx→−∞(x+√x2 − x+ 1)
解: (1) −3, (2) 3, (3) 0, (4) 12
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y = 4−x2
x2−2x+3 (2) y = 3
√1
x+4
(3) y = ex log x (4) y = 3tan x
(5) y = log2(cosx) (6) y = cos x1−sin x
解: (1) 2x2−14x+8(x2−2x+3)2 , (2)−
13 (x+4)−4/3, (3) ex(log x+ 1
x ), (4) (log 3)3tan x×
1cos2 x , (5) −
1log 2 tanx, (6)
11−sin x
5. 次の関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフ
を描け．
y =x2
x2 − 1
38
解:
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
6
x −∞ −1 0 1 ∞y′ + × + 0 − × −y′′ + × − − − × +
y 1 ↗ ↗ 0 ↘ ↘ 1
6. 次の不定積分を求めよ．
(1)
∫ex
1− exdx, (2)
∫(x+ 3) cos 2x dx, (3)
∫2x− 11
2x2 − x− 6dx
解: (1) − log |1− ex|, (4) 12 (x+ 3) sin 2x+ 1
4 cos 2x (3) 2 log |x+ 32 | −
log |x− 2|
7. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 2
−1
√|x− 1| dx, (2)
∫ 2
0
(2− x)4x2 dx
解: (1) 23 (2
√2 + 1), (2) 128
105
39
2014
高校数学前期2回目
1. 次の極限値を求めよ
(1) limx→∞
(1− 3
x
)x
, (2) limx→−0
sinx
|x|
解: (1) e−3, (2) −1
2. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) 2x+1x2+x+1 (2) x3(1 + 4x)7 (3) log | cosx|
(4) sin ex (5) (1 + tan2 x)2 (6) xsin x (x > 0)
(7) (cosx)log x (0 < x < π2 )
解: (1) 1−2x−2x2
(x2+x+1)2 , (2) x2(1+4x)6(40x+3), (3) − tanx, (4) ex cos ex,
(5) 4 sin xcos5 x , (6) x
sin x(cosx log x+ sin xx ), (7) (cosx)log x( log cos x
x −log x tanx)
3. 次の関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮し
て，グラフの概形を描け
x+ 2 cosx (−π ≤ x ≤ x)
解:
x −π · · · −π2 · · · π
6 · · · π2 · · · 5
6π · · · π
y′ + + + + 0 − − − 0 + +
y′′ + + 0 − − − 0 + + + +
y −π − 2 ↗ −π2 ↗ π
6 +√3 ↘ π
2 ↘ 56π −
√3 ↗ π − 2
40
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
4. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) 1x(log x)2 (2) x2
√x− 1 (3) 1√
(1+x2)3
(4) 2x sin 2x (5) (log x)2 (6) 1x2−4x−5
解: (1) − 1log x , (2)
23 (x−1)3/2+ 4
5 (x−1)5/2+ 27 (x−1)7/2, (3) x√
1+x2,
(4) −x cos 2x+ 12 sin 2x, (5) x(log x)
2 − 2x log x+2x, (6) 16 log
∣∣∣x−5x+1
∣∣∣,5. 次の定積分の値を求めよ．
(1)∫ π/2
0cos5 x dx (2)
∫ π
0sin2 x dx (3)
∫ π
0ex cosx dx
(4)∫√
3
0x
1+x2 dx (5)∫ 1
0xe−x dx
解: (1) 815 , (2)
π2 , (3) −
12 (e
π + 1), (4) log 2, (5) 1− 2e−1
6. 次の不等式を示せ．
ex > 1 + x+x2
2(x > 0)
41
解:
f(x) = ex − (1 + x+x2
2)
とおくと，f(0) > 0, f ′(0) > 0であることと，f ′′(x) > 0より導かれる．
42
2014
高校数学前期3回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→1x3−3x+2
x2−1 (2) limx→∞ x(√x+ 1−
√x)
(3) limx→1+0x
x−1 (4) x sin 1x
解: (1) − 12 , (2) +∞, (3) +∞, (4) 0
2. 次の関数を微分係数の定義にしたがって x = 1で微分せよ．また，点
(1, 1)における接線の方程式を求めよ．
f(x) =1
x
解: f ′(1) = −1(定義通りに極限で求めること), y = −x+ 2
3. 次の関数を微分せよ．
(1) (3x+ 2)(x2 + 1) (2) e−x log x
(3) sin x√1+sin2 x
(4) 13 tan
3 x (5) 21/x
解: (1) 9x2 + 4x + 3, (2) e−x( 1x − log x), (3) cos x(1+sin2 x)3/2
, (4) sin2 xcos4 x ,
(5) (− log 2) 21/x
x2
4. f(x) = x2e−xの増減，凹凸，極値などを調べて，グラフの概形を描け．
解:
f ′(x) = x(2− x)e−x, f ′′(x) = (x− 2−√2)(x− 2 +
√2)e−x
x +∞ · · · 0 · · · 2−√2 · · · 2 · · · 2 +
√2 · · · 0
f ′ × − 0 + + + 0 − − − 0
f ′′ + + + + 0 − − − 0 +
f +∞ 0 4/e2
43
-1 1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
5. 0 < x < π2 のとき，
2π < sin x
x であることを証明せよ．
解: 例えば，f(x) = sinx− 2πxを考えればよい
6. 次の不定積分を求めよ．
(1)∫
dx√x+1
(2)∫
x(2x+3)2 dx
(3)∫x log x dx (4)
∫e−2x sin 3x dx
解: (1) 2√x− 2 log |
√x+1| (2) 1
4 log |2x+3|+ 34
12x+3 , (3)
12x
2 log x−14x
2, (4) − 113e
−2x(2 sin 3x+ 3 cos 3x)
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)∫ π
0cos2 x dx (2)
∫ 2
1ex
ex+1
(3)∫ 2
0|x(1− x)| dx (4)
∫ 2
1dx
x(x+1)
解: (1) π2 , (2) log
e2+1e+1 , (3) 1, (4) log 4
3
44
2014
高校数学後期1回目
1.
(1− x) + (1− x)x(3− 4x) + (1− x)x2(3− 4x)2 + · · ·
の値を求めなさい．
解: 初項1−x,公比x(3−4x)の等比級数なので収束するのは− 14 < x ≤ 1
その場合の和は 1−x4x2−3x+1
2.
(1) limx→∞
3x2 − 1
x3 + 2x+ 2(2) lim
x→0
|x|x
(3) limx→0
1− cosx
tanx(4) lim
x→0
ax − 1
x
解: (1) 0, (2) 存在しない, (3) 0, (4) log a
3. ax の微分を定義に基づき計算しなさい．
解:
f ′(x) = limh→0
ax+h − ax
h= ax log a
4. 次の式の微分を求めなさい．
(1) (sinx+ cosx)3 (2) ax log x (3) log tanx (4) xe1/x (5)ex − e−x
ex + e−x
解: (1) 3(sinx + cosx)2(cosx − sinx), (2) ax log a log x + ax 1x , (3)
1sin x cos x , (4) e
1/x(1− 1x ), (5)
4(ex+e−x)2
5. [0, 1]における f(x) = xe−x2
の最大値と最小値を求め，グラフを描きな
さい．
解:
x 0 · · · 1/√2 · · · 1
f ′ + + 0 − −f 0 ↗ 1√
2e↘ 1/e
45
最大値 1/√2, 最小値 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
6. 次の積分を求めなさい．
(1)∫ √
13 − 2 dx (2)
∫2x−12x+1 dx (3)
∫(log x)2 dx
解: (1) 2( 13x− 2)3/2, (2) x− log |2x+ 1|, (3)x{(log x)2 − 2 log x+ 2}
7. 次の定積分を求めなさい．
(1)∫ 5
0
√x− 1 dx (2)
∫ 1
0exx2 dx (3)
∫ 1
0x√5x2 + 4 dx
解: (1) 6, (2) e− 2, (3) 1915
46
2014
高校数学後期2回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→∞
x2 − 3x
2x2 + x+ 1, (2) lim
x→∞(x−
√x2 − x), (3) lim
x→0
log(1 + x)
sinx
解: (1) 12 , (2)
12 , (3) 1
2. 次の関数の導関数を求め，グラフ上の点 (1, 1)における接線の方程式を
求めよ．
解: y = 53x− 2
3
3. 次の関数の導関数を求めよ
(1) 3+4x+2 , (2) x3(1 + 4x)7, (3) 1
cos2 x
(4) log | tanx|, (5) xe√x2−1, (6) (sinx)x (0 < x < π)
解: (1) 2(x+2)2 , (2) x2(1 + 4x)6(3 + 40x), (3) 3 sin x
cos4 x , (4)1
sin x cos x , (5)
e√x2−1
√x2−1+x2√x2−1
, (6) (log(sinx)x+ 1tan x )(sinx)
x
4. 次の関数の増減，凹凸極値，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮してグ
ラフの概形を描け．
y = x+ 2 cosx (−π ≤ x ≤ π)
47
解:
-
Π
2-Π Π
Π
2
-4
-2
2
x −π · · · −π2 · · · π
6 · · · π2 · · · 5π
6 · · · π
y′ + + − − 0 +
y′′ + 0 − − 0 + +
y −π − 2 ↗ −π2 ↗ π
6 +√3 ↘ π
2 ↘ 5π6 −
√3 ↗ π − 2
5. 次の不等式を示せ．
ex > 1 + x+x2
2(x > 0)
解:
f(x) = ex − (1 + x+x2
2)
とおいて，x > 0で f ′′(x) ≥ 0および f ′(0) > 0を示せば，f は単調増
加であり，f(0) = 0より導かれる．
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) x2 cos 4x, (2)x2
x2 − 4, (3)
1
x(log x)
解: (1) (x2
4 − 132 ) sin 4x+ x
8 cos 4x, (2) x+ log∣∣∣x−1x+2
∣∣∣, (3) log | log x|
48
7. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ √3
0
x
1 + x2dx, (2)
∫ π
0
ex cosx dx, (3)
∫ π
0
sin2 x dx
解: (1) log 2, (2) − 12 (e
π + 1), (3) 12π
49
2014
高校数学後期3回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→+∞
(1− 1
x
)x
, (2) limx→0
√x+ 1− 1
x
解: (1) e−1, (2) 12
2. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) e√x2−1, (2) xx log x, (3) x1/x, (4)
1
sinx
解: (1) xe√
x2−1√x2−1
, (2) x2(2 log x+1), (3) x1/x−2(1− log x), (4) − cos xsin2 x
3. y = x3 − 6x2 + 9x− 1の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，極限も考
慮してグラフの概形を描け．
解:
-1 1 2 3 4 5
-5
5
x 1 2 3
y′ + 0 − − − 0 +
y′′ − − − 0 + +
y ↗ 3 ↘ 1 ↘ −1 ↗
50
4. 次の不定詞気分を求めよ．
(1)
∫x√x+ 1 dx, (2)
∫x3 − 2x2 + 5
x2 − 1dx, (3)
∫xe3x dx
解: (1) 25 (x+1)5/2− 2
3 (x+1)3/2, (2) 12x
2−2x+log (x−1)2
|x+1| , (3)13xe
3x−19e
3x
5. 次の定詞気分を求めよ．
(1)
∫ π
0
te3x cos 4x dx, (2)
∫x3
√1− x2
dx
解: (1) 325 (e
3π − 1), (2) π3 −
√32
6. 放物線 y = x2と直線 y = x+2により囲まれた図形の面積 Sを求めよ．
解: 92
51
2013
高校数学前期1回目
1. 次の数列の極限値を求めよ．
(1)n2 − 2n− 2
2n2 + 3n+ 1, (2)
√n+ 3−
√n− 1
解: (1) 12 , (2) 0
2. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→∞
x2 − 3x
2x2 + x+ 1, (2) lim
x→0
√1 + x−
√1− x
x
解: (1) 12 , (2) 1
3.
f(x) =
sin xx (x ̸= 0)
0 (x = 0)
で定義される関数の連続性を調べよ．
4. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) y = x5−x2+11+x2 (2) (x+ 2)(x2 − 3) (3) log sinx (0 < x < π)
(4) x sinx (5) x2 cosx (6) sinx · cosx(7) tan 1
x (8) e√x
解: (1) 3x6+5x4−4x(1+x2)2 , (2) 3x2 + 4x− 3, (3) 1
tan x (4) sinx+ x cosx, (5)
2x cosx− x2 sinx, (6) cos 2x, (7) − 1x2 cos2 1/x , (8) e
√x 12√x
5. 導関数を定義から求めよ．
y =√x
6. 次の関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，グラフの概形を描け．
y = (x2 + 1)(3− x2)
52
解: f(±√3) = 0で
x −1 −1/√3 0 1/
√3 1
f ′(x) + 0 − − − 0 + + + 0 −f ′′(x) − − − 0 + + + 0 − − −f(x) 4 3 4
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
7. 次の不定積分，定積分の値を求めよ．
(1)∫(1− 3x)5 dx (2)
∫x sinx dx (3)
∫2xex
2
dx
(4)∫ 1
01
3x+1 dx (5)∫ 4
1x log x dx (6)
∫ π/4
0tanx dx
解: (1) − 118 (1 − 3x)6, (2) −x cosx + sinx, (3) ex
2
, (4) 23 log 2, (5)
2 log 2− 34 ,(6)
12 log 2
53
2013
高校数学前期2回目
1. 次の極限について調べよ．
(1) limx→−0
sinx
|x|, (2) lim
x→∞
(1− x
2
)1/x
解: (1) −1, (2) e−1/2
2. limθ→0sin θθ = 1を示せ．
0 < x < π2 とし，半径 1の円Oの円周上に，∠AOB= θとなる点 A, B
をとる．Aにおける円の接線と半直線 OBとの交差点を Tとすると，
B( , ) TA=
面積について，∆OAB= , ∆OAT= 扇型 OAB=
∆OAB<扇型OAB< ∆OATであるから，sin θ > 0より， > sinθ >
θ < 0の場合には，θ = −tとおくと，t > 0であるから，合わせて，次
の式が得られる．limθ→0sin θθ = .
解: 0 < x < π2 とし，半径 1の円 Oの円周上に，∠AOB= θ となる
点 A, Bをとる．Aにおける円の接線と半直線 OBとの交差点を Tと
すると，
B(cos θ, sin θ) TA= tan θ
面積について，∆OAB= 12 sin θ, ∆OAT= 1
2 tan θ 扇型 OAB= 12θ.
∆OAB<扇型 OAB< ∆OATであるから，sin θ > 0より，1 > sinθ >
cos θ
θ < 0の場合には，θ = −tとおくと，t > 0であるから，合わせて，次
の式が得られる．limθ→0sin θθ = 1.
3. 定義に従って，関数 y = sinxを微分せよ．
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y =x5 − x2 + 1
x4, (2) y = sinx cosx, (3) y = xsin x (x > 0)
解: (1) y′ = 1 + 2x3 − 4
x5 , (2) y′ = cos 2x, (3) y′ = xsin x(cosx log x +
sin xx )
54
5. y = x2 log x (x > 0)
(a) 増減を調べ，その極値を求めよ．
(b) 凹凸を調べ，変曲点の座標を求めよ．
(c) グラフを描け
x 0 e−3/2 e−1/2
f ′(x) − 0 +
f ′′(x) − 0 +
f(x) −3e−3/2 −e−1/2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)x√x+ 2
, (2) e2x cos 3x, (3) tanx
解: (1) 23 (x + 2)3/2 − 4(x + 2)1/2, (2) 2
13e2x cos 3x + 3
13e2x sin 3x,
(3) − log | cosx|
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ π
0
sin2 x dx, (2)
∫ √3
0
x
1 + x2dx
解: (1) π2 , (2) log 2
55
2013
高校数学前期3回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limx→−∞
3x − 3−x
3x + 3−x(2) lim
x→∞(x−
√x2 + x+ 1) (3) lim
x→0
cos 2x− cosx
x2
解: (1) −1, (2) − 12 , (3) −
32
2. 等比数列{
15n−1
}の第n項までの和と無限等比級数
∑∞n=1
15n−1 の和との
差が初めて 11000000 より小さくなるように nを定めよ．log10 2 = 0.3010
とする．
解: n = 9
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = x−11+x2 (2) y = x
x+√x2+x
(3) y = cos xsin x+cos x (4) y = e− sin x
(5) y = x1/x (6) y = log(tanx)
解: (1) ′ = −x2+2x+1(1+x2)2 , (2) y′ = −1 + 2x+1
2√x2+x
, (3) y′ = −1(sin x+cos x)2 ,
(4) y′ = − cosx e− sin x, (5) y′ = x1/x(− log x−1x2 ) (6) y′ = 1
sin x cos x
4. 次の曲線の概形を描け．
y = x√1 + x
解:
x −1 · · · − 23 · · ·
y′ − 0 +
y − 23√3
56
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) sin2 x (2)x2 + 2
(x− 1)(2x− 1)(3)
ex
ex + 1
解: (1) 12 (x− 1
2 sin 2x) (2) 12x+ 3 log |x− 1| − 9
4 log |2x− 1|, (3)
log |ex + 1|
6. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 2
0
√|x− 1| dx (2)
∫ 2
1
log x
x2dx (3)
∫ 1
0
1√x2 + 1
, dx
解: (1) 43 (2) 1
2 − 12 log 2 (3) log 2− log(2−
√2)
(3)は 1 + x2 = tとおき，さらに t = tan θ2 とおくと，tan π
8 =√2− 1
および，cos θ = 1−t2
1+t2 に注意して∫ 1
0
dx√1 + x2
=
∫ π/4
0
1
cos θdθ
=
∫ √2−1
0
2
1− t2dt
= [− log(1− t) + log(1 + t)]√2−1
0
= |log 2
2−√2
57
58
2013
高校数学後期1回目
1. 関数 y =√2x+ 3のグラフと直線 y = 1
2xとの交点について，次の問
いに答えよ．
(1) 交点の座標を求めよ． (2)1
2x <
√xx+ 3を満たす xの範囲を求めよ．
解: (1) (4 + 2√7, 2 +
√7) (2) − 3
2 ≤ x < 4 + 2√7
2. 無限等比級数 x + x(1 − x) + x(1 − x)2 + · · · が収束するような実数 x
の値の範囲を求めよ．また，収束するときの値を求めよ．
解: 初項 x, 公比 1− xの等比級数なので，x = 0のとき，収束，x ̸= 0
のときは，|1− x| < 1，すなわと，0 < x < 2のとき収束．したがって，
収束するのは 0 ≤ x < 1のとき収束，収束のときの値は x = 0のとき
は 0，それ以外では，x 11−(1−x) = 1
3. 次の極限を求めよ．
(1) limx→−2x2−3x−10x2+x−2 , (2) limx→1
sinπxx−1
(3) limx→∞x3−4x2+52x2−x+6 (4) limx→+0
(√1x + 1−
√1x − 1
)
解: (1) 73 , (2) −π, (3) +∞, (4) 0
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y = xx+
√1+x2
(2) y = 3√(x+ 2)2(3x− 1)
(3) y = log(x+√x2 + 3) (4) y = etan x
(5) y = x23−x (6) y = ex cosx
解:
(1) y′ = 1+2x2√1+x2
− 2x (2) y′ = 13
(2+x)(4+9x)2/3√
(x+2)2(3x−1)
(3) y′ = 1√x2+3
(4) y′ = 1cos2 xe
tan x
(5) y′ = x3−x(2− x log 3) (6) y′ = ex(cosx− sinx)
59
5. 次の関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフ
を描け．
y = x− 2 sinx (−π
2≤ x ≤ π
2)
解:
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
x −π2 −π
3 0 π3
π2
y′ + 0 − − − 0 +
y′′ − − − 0 + + +
y −π2 + 2 −π
3 +√3 π
3 −√3 π
2 − 2
6. 次の不定積分を求めよ．
(1)
∫x
x2 + 4dx, (2)
∫log(x+ 1) dx, (3)
∫cos 2x cos 3x dx
解: (1) 12 log(x
2+4), (2) (x+1) log(x+1)−x, (3) 12{
15 sin 5x+sinx}
7. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ π
0
x cosx dx, (2)
∫ √2
−√2
dx
(x2 + 2)3/2
解: (1) −2, (2) 1√2
60
2013
高校数学後期2回目
1. 次の極限を調べよ．
(1) limx→∞
sinx, (2) limx→+∞
xn + x
axn + 1(nは自然数，aは実数）
解: (1) 存在しない．(2)
∞ a = 0
2a a ̸= 0, n = 1
1a a ̸= 0, n ≥ 2
2. 次の関数の増減・極値を調べよ．グラフを描け．
y =3√x2(x+ 5)
解:
x −∞ −2 0 +∞y′ + 0 − x +
y −∞ ↗ 3 · 41/3 ↘ 0 ↗ +∞
-6 -4 -2 2
-2
2
4
6
8
10
61
3. lim∆x→0e∆x−1∆x = 1 を用いて，次の公式を証明せよ，
(ax)′ = ax log a
解: ax = ex log a を用いればよい．
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y = 1x2+3x−1 , (2) y = (x2 + 3x)4, (3) y = log10 2x
(4) y = sinx cos2 x, (5) y = tan(23x + 2), (6) y = 13√x2
解:
(1) − 2x+3(x2+3x−1)2 , (2) 4(x2 + 3x)3(2x+ 3), (3) 1
x log 10
(4) cos3 x− 2 cosx sin2 x, (5) 1cos2(23x+2)2
3x3 log 2, (6) − 23x
−5/3
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)x3
(x4 + 1)2, (2) ex sinx, (3)
1
cosx
解:
(1) − 1
4(x4 + 1), (2)
1
2ex(sinx− cosx), (3)
1
2log
(1 + sinx
1− sinx
)
6. 次の関数の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ π/2
−π/2
tan2 x dx, (2)
∫ 1
0
dx√4− x2
, (3)
∫ x
0
[3 sinx+ 4 cosx] dx
解:
(1) 2(√
3− π
3
), (2)
π
6, (3) 10
62
2013
高校数学後期3回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→∞
x2 − 3x
2x2 + x+ 1, (2) lim
x→∞
√x+ 2−
√x√
x+ 2−√x+ 1
, (3) limx→∞
(1− 3
x
)x
解: (1) 12 , (2) 3, (3) e
−3
2. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) xsin x (x > 0) (2) x3(1 + 4x)7 (3) 1sin3 x
(4) log | cosx| (5) (1 + tan2 x)2 (3) ex√1− x2
解: (1) xsin x(cosx log x+ 1x sinx), (2) x2(1+4x)6(40x+3), (3) − 3 cos x
sin4 x,
(4) − tanx, (5) 4 tanx(1 + tan2 x) 1cos2 x , (6) e
x 1−x−x2√1−x2
3. y = e−x2
の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，極限も考慮してグラフ
の概形を描け，
解:
x −∞ − 1√2
0 1√2
+∞f ′ + + + 0 − − −f ′′ 0 0
f 0 ↗ ↗ 1 ↘ ↘ 0
63
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)1
x log x, (2) ex sinx, (3)
x3 − 2x+ 6
x2 + x− 6
解: (1) log | log x|, (2) 12 (e
x sinx− ex cosx),
(3) 12x
2 − x+ 2 log |x− 2|+ 3 log |x+ 3|
5. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ π/2
0
sin3 x dx, (2)
∫ 1
0
x√x+ 2
dx, (3)
∫ 3
1
(log x)2 dx
解: (1) 23 , (2) −2
√3 + 8
3
√2, (3) 3(log 3)2 − 6 log 3 + 4
6. 次の関数の与えられた範囲での最大値，最小値を求めよ．
y = sinx+ cosx, (0 ≤ x ≤ π)
解: 最大値√2, 最小値 −1
64
7. 次の等式をみたす xの値を求めよ．
(1) 2log3 x = 15, (2) log3 x =3
2
解: x = 3log2 15, (2) x = 3√3
65
2012
高校数学前期1回目
1. 次の無限等比級数の収束 ·発散を調べ，収束するものはその値を求めよ．
(1) 18− 12 + 8− · · · , (2) 3 + 3√3 + 9 + · · ·
解: (1) 545 ,(2) 発散
2. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→+∞
(x−√
x2 + 1), (2) limx→0
sin 5x
sin 4x, (3) lim
x→0x sin
1
x
解: (1) 0, (2) 54 , (3) 0
3. 次の関数を微分せよ．
(1) (x− 2)(3x2 + 1), (2) 23x, (3)sinx− cosx
sinx+ cosx, xx
解: (1) 9x2 − 12x+ 1, (2) 23x3 log 2, (3) 21+sin 2x , (4) (log x+ 1)xx
4. 関数 y = limn→∞ xx2n−1x2n+1 のグラフをかけ．
解:
y =
−x −1 < x < 1
0 x = ±1
x x < −1, x > 1
5. 関数 y = 3√x(x2 − 1)のグラフをかけ．
解:
x −1 − 1√3
0 1√3
1
y′ + + 0 − 0 + +
y′′ 0 0 0
y ↗ ↗ ↘ ↘ ↗ ↗
66
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)x+ 1
x3 − 1, (2)
√log x
x, (3) ex sinx
解: (1) 13 log
(x−1)2
x2+x+1 , (2)23
√(log x)3, (3) 1
2ex(sinx− cosx)
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ 1
0
dx√4− x2
, (2)
∫ π/2
0
x sinx dx
解: (1) π6 , (2) 1
67
2012
高校数学前期2回目
1. f(x) = x+ x1+x + x
(1+x)2 + · · · で定義された関数 f(x)の定義域と値域
を求めよ．
解: 初項 x，公比 11+x である．公比の絶対値は 1より小さいことから，
定義域が定まる．定義域 {x : x < −2, x ≥ 0}，値域 {y : y < −1, y =
0, y > 1}
f(x) =
1 + x x < −2, x > 0
0 x = 0
2. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→−∞
(√x2 + x+ 1 + x), (2) lim
x→0
tanx− sinx
x3
解: (1) 12 , (2)
12
3. 次の関数を微分せよ．
(1)x2
x+ 1, (2)
√x5
(x+ 1)3, (3) sinx cos2 x
解: (1) x2+2x(x+1)2 , (2)
2x5/2+5x3/2
2x(x+1)5/2, (3) cos3 x− 2 cosx sin2 x
4. f(x) = xlog x のグラフをかけ．
解: x = e2 は変曲点
x 0 · · · 1 · · · e · · · e2 · · ·f ′(x) × − × − 0 + +
f(x) × ↘ × ↘ e ↗ e2
2 ↗
68
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
5. 次の不等式を証明せよ．
cosx ≥ 1− 1
2x2
解: f(0) = 0およびf ′(0) = 0を確かめる．さらにf ′′(x) = 1−cosx ≥ 0
であるので，f ′(x) ≥ 0であることがわかる．これより，f(x) ≥ 0
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) sin 3x cosx, (2) sin3 x, (3) log(x+ 1)
解: (1) − 18 cos 4x−
12 cos
2 x, (2) 13 cos
3 x− cosx, または 14 (−3 cosx+
13 cos 3x), (3) (x+ 1) log(x+ 1)− x
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ e
0
xex2
dx, (2)
∫ π
0
x cos2 x dx
解: (1) 12 (e
e2 − 1), (2) 14π
2
69
2012
高校数学前期3回目
1. 関数
y = limn→∞
x2n+1 − 1
x2n + 1
のグラフを描け．
解:
y =
x |x| > 1
0 x = 1
−1 −1 ≤ x < 1
2. 次の極限値を求めよ．
(1) limx→−∞
x2 + 4x
x− 3, (2) lim
x→0
x2 + x
|x|
解: (1) −∞, (3) x > 0のとき 1， x < 0のとき −1なので存在し
ない．
3. 次の関数を微分せよ．
(1)cosx
1− sinx, (2) 23x, (3) tan(2 sinx)
解: (1) 11−sin x , (2) (3 log 2)2
3x, (3) 2 cos xcos2(2 sin x)
4. 次の関数のグラフを描け．
y =x2 − 2x− 2
x+ 1
解:
x −2 −1 0
f ′(x) + 0 − × − 0 +
f(x) −6 × −2
70
-3 -2 -1 1 2
-10
-5
5
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) cos2 x, (2) x sinx, (3)log x
x(log x+ 1)2
解: (1) 12 (x+
12 sin 2x), (2) −x cosx+sinx, (3) log | log x+1|+ 1
log x+1
6. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 4
1
(√x+ 1)3√
xdx, (2)
∫ π/3
−π/3
tan2 x dx
解: (1) 652 , (2) 2(
√3− π
3 )
71
高校数学後期1回目
1. 次の極限について調べよ．
(1) limx→0
x2 + x
|x|, (2) lim
x→0
sin 5x
sin 4x
解: (1) x ≥ 0ならば，+1， x < 0ならば −1なので，存在しない．
(2) 54
2. 次の等式が成り立つように，定数 a, bの値を定めよ．
limx→1
a√x+ 1− b
x− 1=
√2
解: a = 4, b = 4√2
3. 定義に従って，関数 y = x2
x−1 を微分せよ．
解: 微分の定義通りに計算すること，もちろん，解は x2−2x(x−1)2
4. 次の関数を微分せよ，
(1) y =
(− x
x2 + 1
)2
, (2) y = log{(log |x|)2+1}, (3) y = sinx cos2 x
解: (1) 3x2(1−x2)(x2+1)4 , (2) 2 log |x|
x{(log |x|)2+1} , (3) cos2 x− 2 cosx sin2 x
5. 次の関数 y=x1+x2 の
(a) 増減を調べ，その極値を求めよ．
(b) 凹凸を調べ，変曲点の座標を求めよ．
(c) グラフを描け．
解:
x −∞ · · · −√3 · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · ·
√3 · · · +∞
y′′ − 0 − − − 0 + + + +0 −y′ − − − 0 + + + 0 − − −y 0 ↘ ↘ − 1
2 ↗ ↗ 0 ↘ ↘ 0
72
-5 5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)x2 + 1
x+ 1, (2) sin5 x, (3) xe3x
解: (1) x2
2 − x+ 2 log |x+ 1|,
(2) −(cosx− 23 cos
3 x+ 15 cos
5 x),
(3) 13xe
3x − 19e
3x
7. 次の関数の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ √3
1
dx
3 + x2, (2)
∫ π/2
0
x sinx dx
解: (1)√3π36 , (2) 1
73
高校数学後期2回目
1. 次の関数の極限値を求めよ．
(1) limx→0
√1 + x2 −
√1− x2
x, (2) lim
x→0
sinx
ex − e−x
解: (1) 0,(2) 12
2. 次の関数 f(x)の導関数を定義より求めよ．
f(x) =√x
解: f ′(x) = 12√x
3. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) (x2 + 2x− 1)3 (2) log log x (x > 1)
(3) sin xsin x−cos x (4) e−3x(x2 + 1)3/2
(5)√1 + 2 tanx
解: (1) 6(x + 1)(x2 − +2x − 1)2, (2) 1x log x , (3) − 1
(sin x−cos x)2 , (4)
3e−3x(−x2 + x− 1)(x2 + 1)1/2, (5) 1√1+2 tan x cos2 x
4. 次の不定積分，定積分の値を求めよ．
(1)∫(1− 3x)4 dx, (2)
∫x sinx dx
(3)∫2xex
2
dx (4)∫ 1
0x
3x+1 dx
(5)∫ π/4
0tanx dx (6)
∫ 2
0x log(x2 + 1) dx
解: (1) − 118 (1− 3x)6, (2) −x cosx+ sinx, (3) ex
2
, (4) 13 − 2 log 2
9 , (5)12 log 2, (6)
52 log 5− 2
5. 次の関数 f(x) = x2 log xについて
(a) limx→∞ f(x), limx→0 f(x)を求めよ．
(b) 増減と極値を調べよ．
(c) 凹凸，変曲点を調べよ．
74
(d) グラフの概形を描け．
(e)∫ e
e3/2xf(x) dxを求め，値が意味するものを示せ．
解: (1) limx→∞ f(x) = ∞, limx→0 f(x) = 0, (2) (3)
x 0 · · · e−3/2 · · · e−1/2 · · · ∞f ′ − − − 0 +
f ′′ − 0 + +
f 0 ↘ −3/2e5 ↘ −1/2e ↗ ∞
(4)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
-0.1
0.1
0.2
(5) 118 (4e
3 + 11e−9/2)
75
高校数学後期3回目
1. 次の極限について調べよ，
(1) limx→0
sinx
|x|, (2) lim
x→∞
(1− 3
x
)x
解: (1) 存在しない，(2) e−3
2. limθ→0sin θθ = 1を示せ．
解: 0 < θ < π2 とし，半径 1 の円 O の周上に ∠AOB = θ となる
点 A,B をとる．A における円の接線と半直線 OB との交点を T とす
ると，B(cos θ, sin θ), TA= tan θ．面積について，△OAB = 12 sin θ,
△OAT = 12 tan θ．扇型 OAB= 1
2θ. △OAB < 扇型 OAB < △OATで
あるから，sin θ < θ < tan θ，sin θ > θ より，1 > sin θθ > cos θ ここ
で，limθ→0 cos θ = 1であるから，limθ→0sin θθ = 1．θ < 0の場合には，
θ = −tとおくと，t > 0であるから，limθ→0sin θθ = limθ→+0
sin−θ−θ =
limt→0sin−t−t = 1．合わせて，次の式が得られる．limθ→0
sin θθ = 1
3. 定義にしたがって，関数 y = cosxを微分せよ．
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y = x2e√x2−1, (2) y =
1
sin2 x, (3) y = xx (x > 0)
解: (1) y′ = x√x2−1
e√x2−1(2
√x2 − 1 + x2), (2) y′ = − 2 cos x
sin2 x, (3)
y′ = (log x+ 1)xx
5. 次の関数 y = (x2 + 1)ex
(a) 増減を調べ，その極値を求めよ．
(b) 凹凸を調べ，変曲点の座標を求めよ．
(c) グラフを描け
解:
x −3 −1
y′ + + + 0 +
y′′ + 0 − 0 +
y 10e3
2e
76
-4 -3 -2 -1
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)2x3 − 4x2 + 1
(x− 1)2, (2) 2x sinx, (3) x2
√x− 1
解: (1) x2 − 2 log |x− 1|+ 1x−1
(2) −x cos 2x+ 12 sin 2x
(3) 27 (x− 1)7/2 + 4
5 (x− 1)5/2 + 23 (x− 1)3/2
7. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ π/2
0
sin3 x dx, (2)
∫ 3
1
(log x)2 dx
解: (1) 23 , (2) 3(log 3)
2 − 6 log 3 + 4
77
2011
高校数学1回目
1. 次の極限値を求めてください．
(1) limn→∞
√n(√n+ 1−
√n), (2) lim
x→0x cos
1
x, (3) lim
x→0
1− cosx
tanx
解: (1) 12 , (2) 0, (3) 0
2. 各項正の無限等比級数において，その和と初項との差は 2で，初項と
第 2項との和は 3である．この級数の和と部分和との差が 1100 より小
さくなるのは第何項までの部分からか．
解: an = 2−n+1 であり，部分は Sn = 4(1− 2−n)である．
S∞ − Sn4− 4(1− 2−n) = 2−n
であるので n ≥ 7
3. 導関数の定義に基づいて，関数 y = 1x2 の導関数を求めてください．
解: 微分の定義
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
を用いなければならない．
4. 次の関数を微分してください．
(1) y =
√x
ex, (2) y = sinx tanx, (3) y = x2(log x)3
(4) y =√1 + sinx+
√1− sinx ただし − π
2< x <
π
2
5. 次の関数の極値，凹凸を調べ，そのグラフを描いてください．
y = x− sinx (0 ≤ x ≤ 2π)
78
解: 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
6. 次の不定積分，定積分を求めてください．
(1)∫x cosx dx, (2)
∫sinx
1 + cosxdx (3)
∫dx
x2 − 1
(4)
∫ 5
0
√|x− 1| dx (5)
∫ π/4
0
tanx dx
79
2011
高校数学2回目
1. 次の極限値を求めてください．
(1) limx→∞
x− 1√x2 + 5x+ 3 + x
, (2) limx→π/2
(π−2x) tanx, (3) limx→0
1
31/x
解: (1) 12 , (2) 2, (3) 極限なし
2. 次の無限級数の和を求めてください．ただし，0 ≤ θ ≤ π4
S = sin θ + sin θ cos θ + sin θ cos2 θ + · · ·+ sin θ cosn−1 θ + · · ·
解: θ = 0のとき，S = 0, 0 < θ < π4 のとき，S = sin θ
1−cos θ
3. 次の関数の導関数を求めてください．
(1) y =ex − e−x
ex + e−x, (2) y = xx log2 x, (3) y =
(x− 1
x
)4
, (4) y = xsin x
解:
(1) y′ =4
(ex + e−x)2, (2) y′ = 2x log x+ x log 2,
(3) y′ = 4(x− 1
x)3(1 +
1
x2, (4) y′ = cosx log x+
sinx
x
4. 次の関数の極値，凹凸を調べ，そのグラフを描いてください．
y =x
log x
解:
x 0 1 e e2
y′ / − / − 0 + + +
y′′ / − / + + + 0 −
変曲点は図からは判断できない．
80
2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
8
5. 次の不定積分を求めてください．
(1)
∫ex cosx dx, (2)
∫(x+ 1) 3
√x− 1 dx, (3)
∫cos3 x dx
解:
(1)ex
2(cosx+sinx), (2)
3
14(x−1)4/3(2x+5), (3) sinx− 1
3sin3 x
6. 次の定積分を求めてください．
(1)
∫ e
1
(log x)2 dx, (2)
∫ π/2
0
cosx√1 + sinx
dx, (3)
∫ −2
−3
x
x2 − x− 2dx
解:
(1) e− 2, (2) 2(√2− 1), (3)
1
3(3 log 2− 2 log 5)
81
2011
高校数学後期1回目
1. 次の各極限値を求めなさい．
(1) limx→π/2
(x−π
2) tanx, (2) lim
n→∞
√n2 + 5n− 3−
√n2 − 1, (3) lim
x→0
√1 + tanx−
√1− tanx
sinx
解: (1) −1, (2) 52 , (3) 1
2. 次の各関数を微分しなさい．
(1) y =sinx+ cosx
sinx− cosx, (2) y = log(tan
x
2), (3) y =
ex
x
解: (1) − 2(sin x−cos x)2 , (2)
1sin x , (3)
ex(x−1)x2
3. 次の各関数を微分しなさい．
(1) y = sin3 x, (2) y =√x log x, (3) y = xlog x(x > 0)
解: (1) 3 sin2 x cosx, (2) log x+22√x
, (3) 2xlog x−1 log x
4. y = limn→∞x2n−1+x2+x
x2n+1 のグラフを描け．
解:
(a) |x| < 1なら，f(x) = x2 + x
(b) |x| > 1なら，f(x) = 1x
(c) x = 1なら，f(x) = 32
(d) x = −1なら，f(x) = − 12
82
-2 -1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
5. 次の曲線の増減，凹凸を調べて，その概形を描け．y = x4 − 4x3
解:
x 0 2 3
y′ − 0 − 0 +
y′′ + 0 − 0 +
f(x) 0 −16 −27
-2 -1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
6. 次の各積分を求めなさい．
(1)∫
2x+1(x−1)(x+2) dx (2)
∫sin2 3x dx
(3)∫ √
log xx dx (4)
∫x2 sinx dx
83
解:
(1)1
3log
∣∣∣∣x− 1
x+ 2
∣∣∣∣− 1
x+ 2
(2)x
2− sin 6x
12
(3)2
3(log x)3/2
(4) x sinx+ cosx
7. 次の各積分を求めなさい．
(1)∫ 3
0x(3− x)5 dx (2)
∫ π
0sin 2x cosnx dx
(3)∫ 1
0log(x1 + 1) dx (4)
∫ 1
01
1+ex dx
解:
(1) 72914 (2)
0 n = 2k
44−n2 n = 2k + 1
(3) log 2 + |pi2 − 2 (4) log 2e
1+e
84
2011
高校数学後期2回目
1. 次の各極限値を求めなさい．
(1) limn→∞
5− 3n2
(n+ 1)(n+ 2), (2) lim
x→0
3x√4 + x−
√4− x
, (3) limx→1
sinπx
x− 1
解: (1)−3, (2) 6, (3) −π
2. 関数 f(x) = limn→∞x2n+1+1x2n+1 のグラフを描き，f(x)が不連続となる x
の値を言え．
解:
f(x) =
x |x| > 1
1 x = 1
0 x = −1
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = x33−x, (2) y =cosx
1− sinx, (3) y = log(x+
√x2 + 3), (4) y = e
√x
解: (1) 3x23−x+x3(log 3)(−1)3−x, (2) 11−sin x (3) 1√
x2+3(4) 1
2√xe√x
85
4. 次の関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフ
を描け．y = x2
x−2
解:
x 0 2 4
y′ + 0 − / − 0 +
y′′ − − − / + + +
y 0 / 8
-2 2 4 6
-2
2
4
6
8
10
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)
∫dx
(x+ 1)(x− 5), (2)
∫(x+3) cos 2x dx, (3)
∫x√
4− 3x2dx
解: (1) 16 log
∣∣∣x−5x+1
∣∣∣, (2) 12 (x+ 3) sin 2x+ 1
4 cos 2x (3) − 13
√4− 3x2
6. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 2
0
|x(x−2)| dx, (2)
∫ 1
0
(2x+1)ex dx, (3)
∫ √6
−sqrt2
dx
(x2 + 2)1/2dx
解: (1) 83 , (2) e+ 1 (3) 1
4 (√3 +
√2)
86
2010
高校数学1回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limx→−∞
3x − 3−x
3x + 3−x, (2) lim
x→−∞(x+
√x2 + x+ 1), (3) lim
x→0
cos 3x− cosx
x2
解: (1) −1, (2) − 12 , (3) −4
2. 等比数列 { 12n−1 }n≥1の第 n項までの和と無限等比級数
∑∞n=1
12n−1 の差
がはじめて 11000 より小さくなるように nを定めよ．ただし，log10 2 =
0.3010とする．
解:n∑
k=1
1
2k−1= 2− 1
2n−1
一方，∞∑
n=1
1
2n−1= 2
したがって，その差は 2−n−1．2−n+1 < 11000 となるのは
−(n− 1) log10 2 > −3
すなわち
n− 1 >3
0.3010≑ 9.96678
よって，n = 11
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = x2+2x+1 , (2) y′ = x
x+√1+x2
(3) y = sin xsin x+cos x , (4) y′ = − cosx e− sin x
(5) y = x e1x , (6) y = log(cosx)
解:
(1) y′ = −2+2x+x2
(1+x)2 (2) y = −x+√1+x2
1+x2+x√1+x2
= −2x+ 1+2x2√1+x2
(3) y′ = 1(sin x+cos x)2 , (4) y = − cosx e− sin x
(5) y′ = e1/x − e1/x · 1x , (6) y′ = − tanx
87
4. 次の曲線の概形を描け．
y = x√1− x
解:
x x < 23
23
23 < x ≤ 1
y′ + 0 −y ↗ 2
√3
9 ↘
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) tan2 x, (2)x
(x− 1)(2x− 1), (3)
1
ex + 1
解:
(1) − x+tanx, (2) log |x− 1| − 1
2log |2x− 1|, (3) x− log(1+ ex)
6. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 2
−1
√|x− 1| dx, (2)
∫ 2
1
log x
x2dx, (3)
∫ √3
0
x√x2 + 1
dx
解:
(1)2 + 4
√2
3, (2)
1− log 2
2, (3) 1
88
2010
高校数学2回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limn→∞
rn
1 + rn(r ̸= −1), (2) lim
n→∞
cosnπ
n+ 1, (3) lim
x→0
sin2 2x
1− cosx
解: (1) 1 |r| > 1
12 r = 1
0 |r| < 1
(2) 0, (3)
sin2 2x
1− cosx=
(1− cos 2x)(1 + cos 2x)
1− cosx=
2(1− cos2 x)(1 + cos 2x)
1− cosx= 2(1+cosx)(1+cos 2x)
より，8
2. 無限等比級数
(1− x) + (1− x)x(3− 4x) + (1− x)x2(3− 4x)2 + · · ·
について
(a) この級数が収束する xの範囲を求めよ．
(b) この級数の和 S(x)を求めよ．
解: 初項 1−x，公比 x(3− 4x)なので，収束するのは |x(3− 4x)| < 1，
ただし，x = 1は収束するので，− 14 < x ≤ 1
S(x) =1− x
1− x(3− 4x)
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = sinx tanx (2) y =√1 + sinx+
√1− sinx
(3) y = cos x1+cos x (4) y = log(x+
√x2 + a2)
(5) y =√x
ex (6) y = log ex+1ex
89
解:
(1) y′ = sinx+ sin xcos2 x (2) y′ = cos x
2
(1√
1+sin x+ 1√
1−sin x
)(3) y′ = − sin x
(1+cos x)2 (4) y′ = 1√x2+a2
(5) y′ = e−x(1−2x)2√x
(6) y′ = − 11+ex
4. 次の曲線の概形を描け．
y = x4ex
解:
x −∞ −4 0 +∞f ′ × + 0 − 0 + ×f 0 256e−4 0 +∞
-5 -4 -3 -2 -1 1
1
2
3
4
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)
∫dx
1− cosx, (2)
∫dx
x2(x− 1), (3)
∫x3 log x dx
解: (1)は半角と sinx = cos(π/2− x)を用いる．
(1) − cot(x/2), (2)1
x+ log(x− 1)− log x, (3) − x4
16+
1
4x4 log x
90
6. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ π
0
| sinx+ cosx| dx, (2)
∫ 1
0
xe1−x2
dx, (3)
∫ π/2
0
x sin2 x dx
解:
(1) 2√2, (2)
e− 1
2, (3)
1
16(π2 + 4)
91
2010
高校数学3回目
1. 次の極限値を求めよ．
(1) limn→∞
1
nsin
2nπ
3, (2) lim
x→0
√4 + x− 2
x, (3) lim
x→∞(log10 x−log10(x−1))
解: (1) 0, (2) 14 , (3) 0
2. ある無限等比級数の和は 3で，各項の 3乗を項とする無限等比級数の
和は 10813 である．はじめの級数の初項と公比を求めよ．また，この無限
等比級数の和と，初項から n項までの和との差が 1105 より小さくなる
ような nの値の範囲を求めよ．
解: a = 2, r = 13 , n ≥ 12
3. 次の関数を微分せよ．
(1) y = (x3+2x2+3)4, (2) y = x2 log2 x, (3) y =
√1 + sinx
1− sinx, (4) y = log(x+
√x2 + 1)
解:
(1) y′ = 4(x3 + 2x2 + 3)3(3x2 + 4x), (2) y′ = 2x log2 x+x
log 2,
(3) y′ =1
cosx
√1 + sinx
1− sinx, (4) y′ =
1√x2 + 1
4. 次の関数の増減と極値を調べて，そのグラフを描け．
y =x2 − 3x
x3 + 3
解:
x −∞ · · · −3 · · · 1 · · · ∞y′ + 0 − 0 +
y 0 ↗ 32 ↘ − 1
2 ↗ 0
92
-4 -3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
5. 次の不定積分を求めよ．
(1)
∫x√
3x2 − 2dx, (2)
∫sin3 x dx, (3)
∫x sinx dx, (4)
∫log x dx
解:
(1)1
3
√3x2 − 2, (2)
1
3cos3 x− cosx = −3 cosx
4+
1
12cos 3x
(3) − x cosx+ sinx, (4) x log x− x
6. 次の定積分を求めよ，
(1)
∫ 2
1
dx
x2 + x, (2)
∫ π/2
0
sin2 x dx, (3)
∫ 5
0
√|x− 1| dx
解: (1) 2 log 2− 3, (2) π4 , (3) 6
93
2010
高校数学4回目
1. 次の極限を求めよ．
(1) limn→∞
rn
1 + rn(r ̸= −1), (2) lim
x→−∞(x+
√x2 + x+ 1), (3) lim
x→0
cos 3x− cosx
x2
解: (1) 1 |r| > 1
12 r = 1
0 |r| < 1
(2) − 12 , (3) −4
2. 次の関数を微分せよ．
(1) y = (x3+2x2+3)4, (2) y = x2 log2 x, (3) y =
√1 + sinx
1− sinx, (4) y = log(x+
√x2 + 1)
解:
(1) y′ = 4(x3 + 2x2 + 3)3(3x2 + 4x), (2) y′ = 2x log2 x+x
log 2,
(3) y′ =1
cosx
√1 + sinx
1− sinx, (4) y′ =
1√x2 + 1
3. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) tan2 x, (2)x
(x− 1)(2x− 1), (3)
1
ex + 1
解:
(1) − x+tanx, (2) log |x− 1| − 1
2log |2x− 1|, (3) x− log(1+ ex)
94
4. 次の定積分を求めよ．
(1)
∫ 2
−1
√|x− 1| dx, (2)
∫ 2
1
log x
x2dx, (3)
∫ √3
0
x√x2 + 1
dx
解:
(1)2 + 4
√2
3, (2)
1− log 2
2, (3) 1
5. 次の曲線の外形を描け．
y = x4ex
解:
x −∞ −4 0 +∞f ′ × + 0 − 0 + ×f 0 256e−4 0 +∞
-5 -4 -3 -2 -1 1
1
2
3
4
95
2009
高校数学1回目
1. 次の極限を求めなさい．
(a) limn→∞
n2−n, (b) limn→∞
2n − 3−n
2n + 3−n, (c) lim
x→0
cos 3x− 1
x2
解:
(a) 0, (b) 1, (c) − 9
2
2. 次の関数を微分しなさい．
(a) x log x, (b)√ex − 1, (c) 2log x+x, (d)
sinx
x2 + x
解:
(a) 1 + log x, (b)ex
2√ex − 1
, (c)(x2 + x) cosx− (1 + 2x) sinx
(x+ x2)2
3. 次の関数の概形を書きなさい．
f(x) = |x2 − 1|e−x
解: 極値は x = 1±√2
-2 -1 1 2 3 4
0.5
1
1.5
2
2.5
96
4. 次の微分を求めなさい．
(a)
∫ x
0
e−t2 dt, (b)
∫ 2
−x
sin(t2) dt
解:
(a) e−x2
, (b) sinx2
5. 次の不定積分を求めなさい．
(a)
∫sin ax dx, (b)
∫(x− 1)7 dx, (c)
∫xe−x2
dx
解:
(a) − cos ax
a, (b)
1
8(x− 1)8, (c) − 1
2e−x2
6. 次の定積分を求めてください．
(a)
∫ 3
1
x2 log x dx, (b)
∫ 1
0
1
x2 + 1dx, (c)
∫ π
0
sin2 x dx
解:
(a) − 26
9+ 9 log 3, (b)
π
4, (c)
π
2
97
高校数学2回目
1. x2 + y2 = 1の接線で，(2, 3)を通る直線を求めてください．
解: y = a(x− 2) + 3とおくと
a =2
3(3±
√3)
2. 次の最大値，最小値を求めてください．
y = sinx cosx− sin2 x+1
2(0 ≤ x ≤ π)
解:
y =1
2sin 2x− 1− cos 2x
2+
1
2
=1
2(sin 2x+ cos 2x)
=1√2sin(2x+
π
4)
3. 次の不等式を解いてください．
(a) 3x >
(1
9
)−x+1
, (b) log2(x+ 1) + log2(x− 2) ≤ 2
解: (a) x < 2, (b) 2 < x ≤ 3
4. 次の極限を求めてください．
(a) limx→0
1
x
(1
2− 1
2 + x
), (b) lim
x→4
x− 4√x− 2
, (c) limx→0
1− cosx
x sinx
解: (a) 14 , (b) 4, (c)
12
98
5. f(x) = ex
x2−1 のグラフを描いてください．
解: 極値はx = 1±√2
-2 -1 1 2 3 4 5
-10
-5
5
10
15
6. 次の微分を求めてください．
(a)1
sinx, (b) x log(sinx+ 1), (c) 2−x2+x
解:
(a) − cosx
sin2 x, (b) log(1+sinx)+
x cosx
1 + sinx, (c) 2x−x2
(1−2x) log 2
7. 次の積分を求めてください．
(a)
∫log(x2 + x) dx, (b)
∫2x2 + 1
x+ 1dx, (c)
∫e2x sin ex dx
解:
(a) −2x log(1+x)+x log(x+x2), (b) x2−2x+3 log |x+1|, (c) −ex cos ex+sin ex
99
高校数学3回目
1. |x|+ |2x− 4| = 5を解きなさい．
解: x = 3,− 13
2. x2 − 2kx + k + 2 = 0が異なる 2つの負の解をもつ k の範囲を求めな
さい．
解: −1 > k > −2
3. log3(x− 3) + log3(x− 5) < 1を解きなさい．
解: 5 < x < 6
4. y = e2x−3
x2−1 のグラフの略図を描きなさい．
解: 極値はx = 1±√5
2
-2 -1 1 2
-1
1
2
5. 次の極限を求めなさい．
(a) limx→2
1
x− 2
(1
x2− 1
4
), (b) lim
x→0x2 sin
1
x
解: (a) − 14，(b) 0
100
6. 次の関数を微分しなさい．
(a) xe−x2
, (b) log(x+√x2 + 3), (c)
∫ x2
x
cos(t2) dt
解: (a) (1− 2x2)ex2
，(b) 1√x2+3
, (c) 2x cosx4 − cosx2
7. 次の関数を積分しなさい．
(a)
∫x2 + 3
x+ 1dx, (b)
∫(x+3) cos 2x dx, (c)
∫2x
√x2 + 1 dx
解: (a) 12x
2 − x+ 4 log |x+ 1|，(b) 14 cos 2x+ x+3
2 sin 2x, (c) 23 (x
2 +
1)√x2 + 1
101
2008
高校数学1回目
1. 次の極限を求めなさい．
(a) limx→2
√x+ 2− 2
x− 2(b) lim
x→∞
3x2 − x
x2 + 2
解: (a)√x+ 2− 2
x− 2=
x+ 2− 22
(x− 2)(√x+ 2 + 2)
=1√
x+ 2 + 2
より，極限は 14
3x2 − x
x2 + 2=
3− 1/x
1 + 2/x2
より，極限は 3
2. 無限級数
x+ x(1− x) + x(1− x)2 + · · ·
が収束する xの範囲を求めなさい．また，収束するときの級数の和を
求めなさい．
解: 公比 (1− x)であるから，|1− x| < 1，すなわち，0 < x < 2，極
限は
x1
1− (1− x)= 1
3. 次の級数は収束するかどうかを確かめなさい．∞∑
n=1
2√n+ 2−
√n
解:2√
n+ 2−√n=
√n+ 2−
√n
なのでN∑
n=1
2√n+ 2−
√n
=√3− 1 +
√4−
√2 +
√5−
√3 + · · ·+
√N −
√N − 2
= −1−√2 +
√N − 1 +
√N
したがって，発散．
102
4. f(x) = x√|x2 − 4|の増減表とグラフの概形を描きなさい．
解:
f ′(x) =
2(x2 − 2)√x2 − 4 |x| > 2
−2(x2 − 2)√x2 − 4 |x| ≤ 2
-2 2 4
-5
5
10
15
20
5. 次の関数を微分しなさい．
(a) y = sin3 x cos3 x, (b) y =
√x− 1
x+ 1
解:
6. logx y = x2 をみたすとき， dydx を求めなさい．
解: (a) 3 cos4 x sin2 x− 3 cos2 x sin4 x
(b) (x− 1)−1/2(1 + x)−3/2
log y
log x= y
の両辺を xで微分して
1/y(dy/dx) log x−−1/x log y
(log x)2=
dy
dx
よりdy
dx=
(log x
y− (log x)2
)−1log y
x
103
7. 次の不定積分を求めなさい．
(a)
∫1
ex − e−xdx, (b)
∫x2 log x dx
解: (a) 12 log(e
x − 1)− 12 log(e
x + 1)
(b) x3
9 − x3 log x3
8. 次の定積分を求めなさい．
(a)
∫ π/2
0
x cosx dx, (b)
∫ 2
−1
x√3− x
dx
解: ∫ π/2
0
x cosx dx =
∫[x sinx]
π/20 −
∫ π/2
0
sinx dx
=π
2− 1∫ 2
−1
x√3− x
dx =
∫ 1
2
3− t2
t(−2t) dt
= 2
[3t− t3
3
]21
=4
3
9. 次の関数の増減表を作り，極値を求めなさい．
F (x) =
∫ x
0
(sin t− cos t) dt (0 ≤ x ≤ 2π)
解:
F ′(x) = sinx− cosx =√2 sin(x− π
4)
1 2 3 4 5 6
0.5
1.0
1.5
2.0
104
高校数学2回目
1.√3− x < x− 1 を解いてください．
解: 2 < x ≤ 3
2. 次の関数のグラフを描いてください．
y =3x− 7
x− 1
解:-2 2 4
2
4
6
8
3. 次の無限級数が発散することを証明してください．∞∑
n=0
2n+1 − 1
2n + 1
4. 次の極限を求めてください．
(a) limx→0
√2x−
√x+ 2
x− 2, (b) lim
x→∞
3x + 2x
2x, (c) lim
x→0
x2
1− cos2 x
5. 2つの曲線 y = kx2，y = log xが共有点をもち，その共有点における
接線が一致するような定数 kを求めてください．
6. 次の積分を求めてください．
(a)∫ 3π/2
π/3| sinx| dx, (b)
∫ 3
0x(2x− 1)4 dx, (c)
∫ 1
01√
4−x2dx,
(d)∫ 4
1x−1√
xdx, (e)
∫ 1
0ex
ex+1 dx, (f)∫ e
1log xx dx,
105
解: (a) 52 , (b) 807.3, (c)
π6 , (d)
83 , (e) log(1 + e)/2, (f) 1
2
106
高校数学3回目
1. 次の極限を求めてください．
(a) limn→∞
(n3 − 2n), (b) limn→∞
(√n2 + 1− n), (c) lim
x→0
1− cosx
x2
解: (a) ∞, (b) 0, (c) 12
2. 次の級数は収束しますか．収束するならその和を求めてください．
(a) 1− 1
3+
1
9− 1
27+ · · · , (b) 2 + 3 +
9
2+
27
4+ · · ·
解: (a) 34 , (b) 収束しない
3. 次の関数の増減表を描き，概略を求めてください．
f(x) =2x2 − 3x+ 1
x2 − 4
解:
x · · · −2 · · · 3−√5 · · · 2 · · · 3 +
√5 · · · ∞
f ′(x) + × + 0 − × − 0 +
f(x) ↗ × ↗ 20−9√5
10−6√5
↘ × ↘ 20+6√5
10+6√5
↗ 2
-2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
8
107
4. 次の関数を微分してください．
(a) 3√x2(x+ 5), (b) ex
2
cosx, (c)sinx− cosx
sinx+ cosx
解: (a) x(10+3x)3(x2(5+x))2/3
, (b) ex2
(2x cosx− sinx), (c) 2(cos x+sin x)2
5. 次の関数を積分してください．
(a)
∫2x dx, (b)
∫1
sin2 xdx, (c)
∫x2 + 1
x+ 1dx
解: (a) 2x
log x , (b) − cotx, (c) −2(1 + x) + 12 (1 + x)2 + 2 log(1 + x)
6. 次の定積分を求めてください．
(a)
∫ 2
1
x log x dx, (b) limN→∞
∫ N
0
xe−x2
dx, (c)
∫ π
0
sin2 x dx
解: (a) 34 + log 4, (b) 1
2 , (c)π2
108
高校数学4回目
1. 不等式x2+ax+a−8 > 0を満足するxの値が，常に不等式x2−2x−8 > 0
を満足するような aの値の範囲を求めてください．
解: −4 ≤ a ≤ − 85
2. log(x− 2) + log(x− 3) < log 2を解いてください．
解: 3 < x < 4
3. |x| < 2であるすべての実数 xに対して，不等式
−4 < x3 − 3px2 + 4q < 24
が成り立つような斉の整数 p, qの組を求めてください．
解: (p, q) = (1, 4), (1, 5)
4. f(x) = (x2 − 2x)ex の増減表を描き，さらに概略図を描いてください．
解:
-2 -1 1 2 3
-2
2
4
6
8
5. a1 = 3，an+1 = 12an + 3 (n = 1, 2, . . .)で定められる数列 {an}につい
て，limn→∞ an を求めてください．
解: limn→∞ an = 6
109
6. 次の関数を微分してください．
(a)|x− 1|x2 − 3
, , (b) xe1/x, (c) x2 sinx+ y2 = 1のときの dydx
解:
(a)
−x2−2x+3(x2−3)2 x > 1
x2−2x+3(x2−3)2 x < 1
, (b) e1/x(1− 1
x), (c)
dy
dx= − 1
2y(2x sinx+x2 cosx)
7. 次の積分を行なってください．
(a)
∫2x
√x2 + 1 dx, (b)
∫2x− 1√2x+ 1
dx, (c)
∫dx
x log x
解:
(a)2
3(1 + x2)3/2, (b)
1
3(2x− 5)
√2x+ 1, (c) log log x
110
2007
高校数学1回目
1. 次を求めよ．
(a) limn→∞
2n
n+ 1, (b) lim
n→∞(3n+5 ·2n), (c) lim
n→∞(√n+ 1−
√n− 1)
解: (a) 2, (b) ∞, (c) 0
2. 次が収束する xの値の範囲を求めよ．∞∑k=0
(x2 − 3)k
解: −2 < x < −√2,
√2 < x < 2
3. 次の極限値を求めよ．
(a) limx→0
sin 3x
x, (b) lim
h→0
cos(x+ h)− cosx
h
解: (a) 3, (b) − sinx
4. 次の関数を微分せよ．
(a) − 5x2 + 3x (b) x2e−x (c)
√cos 3x (d) log(x+
√x2 + 1)
(e) e−2x2+x (f) elog x (g) sin√x2 + 1 (h) xx
解: (a) −10x− 3x2 , (b) e
−x(2x− x2), (c) − 3 sin(3x)
2√
cos(3x)(d) 1√
1+x2, (e)
e−x2+x(1− 2x), (f) 1, (g) x cos√1+x2
√1+x2
(h) xx(1 + log x)
5. 関数 y = x4 − 2x2 + 1のグラフの概形を描け．
解: x = −1, 0, 1が極値を与える．-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
111
6. 次の不定積分を求めよ．
(a)∫cos ax dx (a ̸= 0) (b)
∫(x− 3)5 dx
(c)∫
xcos2 x dx (d)
∫tan ax dx (a ̸= 0)
解: (a) sin axa , (b) (x−3)6
6 , (c) log(cosx) + x tanx, (d) − log(cos(ax))a
7. 次の定積分を求めよ．
(a)
∫ 2
1
x log x dx, (b)
∫ 1
0
dx
x+ 1, (c)
∫ 2
1
(log x)2 dx, (d)
∫ e
1
(log x)2
xdx
解: (a) − 34 + log 4, (b) log 2, (c) 2(log 2− 1)2, (d) 1
3
112
高校数学2回目
1. 次の極限を求めよ．
(a) limx→−∞(x+√x2 + x+ 1)
解: (1) −1, (2) −1/2, (3) −4
2. 関数 f(x) = x3 について，次の極限値を求めよ．また，その極限値を
f ′(a)を用いて表せ．
limh→0
f(a+ 3h)− f(a− 2h)
h
解: 15a2 = 5f ′(a)
3. 次の関数を微分せよ．
(a) y = x2+2x+1
(b) y = xx+
√1+x2
(c) y = sin xsin x+cos x
(d) y = e− sin x
(e) y = xe1/x
(f) y = log(cosx)
解: (1) x2+2x−2(1+x)2 , (2) 1√
1+x2, (3) 1
1+sin 2x , (4)−e− sin x cosx, (5) e1/x(1−1x ), (6) − tanx
4. 次の曲線の概形を描け．y = x√1− x
解: x = 2/3で最大値 2√3
9 をもつ．
-1 -0.5 0.5 1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
113
(a) tan2 x
(b) x(x−1)(2x−1)
(c) 1ex+1
解: (1) −x+ tanx, (2) log |x− 1| − 12 log |2x− 1|, (3) x− log(1 + ex)
解: (1) 2+4√2
3 , (2) 1−log 22 , (3) 1
114
2006
高校の数学，1回目
1. 次の極限を求めよ．
(a) limx→−∞3x−3−x
3x+3−x
(b) limx→∞ x sin 1x
(c) limx→0cos 3x−cos x
x2
2. 次の関数を微分せよ．
(a) y = x2+2x+1
(b) y = xx+
√1+x2
(c) y = sin xsin x+cos x
(d) y = e− sin x
(e) y = xe1/x
(f) y = log(cosx)
3. 次の関数の極値を求めよ．
y = x2e−x
4. 次の曲線の凹凸を調べ，変曲点があれば求めよ．
y = xx + 2 log x
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(a) tan2 x
(b) x(x−1)(2x−1)
(c) 1ex+1
6. 次の定積分を求めよ．
(a)∫ 2
−1
√|x− 1| dx
(b)∫ 2
1log xx2 dx
(c)∫√
5
0x√
x2+1dx
7. 次の曲線の概形をかけ．
y = |x2 − 3x+ 10|
115
高校の数学，2回目
1. 次の極限を求めよ．
(a) limx→−∞4x
1−4x
(b) limx→0 x sin1x
2. 次の関数を微分せよ．
(a) y = e√x
(b) y = ex log x
(c) y = log(x+√x2 + 3)
3. 次の関数の極値を求めよ．
y = x√1− x2
4. 次の曲線の凹凸を調べ，変曲点があれば求めよ．
y = x2 + 2 log x
5. 次の関数の不定積分を求めよ．
(a)√x log x
(b) x2−x+1x+2
(c)√4− x2
6. 次の定積分を求めよ．
(a)∫ 3
0|x(x− 2)| dx
(b)∫ 2
1log xx2 dx
(c)∫ 0
1x√x+2
dx
116
高校の数学，3回目
1. 次の不定積分を求めよ．
(a)
∫3√1 + x dx (b)
∫1
√x+
√1 + x
dx
(c)
∫sin 2x dx (d)
∫1
x2 + 4x+ 3dx
(e)
∫(2x− 3)4 dx (f)
∫1
ex + 1dx
f [(g)
∫tan2 x dx (h)
∫x(x− 1)7 dx
(i)
∫x cos2 x dx (j)
∫x2e−x dx
(k)
∫x
(x− 1)(2x− 1)dx (l)
∫1√
x(1 + x)dx
2. 次の定積分を求めよ．
(a)
∫ 3
1
(|x− 2|+ |x− 4|) dx (b)
∫ 3
0
|x(x− 2)| dx
(c)
∫ −1
−2
x2√x+ 2 dx (d)
∫ π
0
cos2 x dx
(e)
∫ π
0
sin 2x cosx dx (f)
∫ 2
1
log x
x2dx
(g)
∫ 2
1
x log(1 + x2) dx (h)
∫ 2
1
ex
ex + 1dx
117
高校の数学，4回目
1. f(x) = |x2 − 2x− 3|e−|x| のグラフを描き，さらに∫ 5
−5
f(x) dx
を求めてください．
2. 極小値を x = 3，極大値を x = −1にとり，極大値が 2であるとし，さ
らに変曲点での値が 0である 3次式 y = ax3 + bx2 + cx+ d を求め，そ
のグラフを描いてください．
3. 次の関数を微分してください．
(a) y = log log x, (b) y = e√x, (c) y =
sinx√1 + cos2 x
(d)
∫ x2
−x
esin t dt, (e) 2x
4. 次の定積分を求めてください．
(a)
∫ 2
−1
x√3− x
dx, (b)
∫ π/2
0
sin3 x dx, (c)
∫ a/2
0
dx√a2 − x2
(a > 0)
(d)
∫ 3
−1
dx
x2 + 3, (e)
∫ 1
−1
x5
x2 + 2dx, (f)
∫ π/2
π/3
dθ
sin θ
5. 次の積分を求めてください．
(a)
∫x2
x2 − 3x+ 2dx, (b)
∫x2ex dx, (c)
∫x− 1
x2 − 4dx
(d)
∫e−2x sin 3x dx, (e)
∫3x dx, (f)
∫cos2 x dx
解:
1.
−68e−5 + 12e−3 + 12e−1 + 2
118
-3 -2 -1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2.
y =x3
8− 3x2
8− 9x
8+
11
8
-2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3. 次の関数を微分してください．
(a)1
x log x(b)
e√x
2√x, (c)
2 cosx
(1 + cos2 x)3/2
(d) e− sin x + 2esin x2
x (e) 2x log 2
4. (a) 43
(b) 23
(c) π6
(d) π2√3
(e) 0
119
(f) log 32
5. (a) x+ 4 log |x− 2| − log |x− 1|
(b) ex(2− 2x+ x2)
(c) 4x− 2x2 − x3
3 + x4
4
(d) − 113e
−2x(3 cos(3x) + 2 sin(3x))
(e) 3x
log 3
(f) x2 + 1
4 sin(2x)
120