§1 － 3 　多元函数的偏导数

在二元函数 z = f (x, y) 中 , 有两个自变量 x, y,

但若固定其中一个自变量 , 比如 , 令 y = y0, 而让 x

变化 .则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),我们可用讨论一元

函数的方法来讨论它的导数 , 称为偏导数 .

一、偏导数的定义

　　设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0)

的某邻域 U(X0) 内有定义 . 固定 y = y0,

在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记

作),(),( 0000 yxfyxxfzx

称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量 .

定义

.),(),(

limlim 0000

00存在如果极限

xyxfyxxf

xz

x

x

x

则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x

的偏导数 . ),,( 00 yxfx记作

即x

yxfyxxfyxf

xx

),(),(lim),( 0000

000

此时也称 f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数存在 .

否则称 f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数不存在 .

,0

0yyxxx

z

x

yxf

xf

yyxx

),( 00

0

0

或

　　类似 , 若固定 x = x0, 而让 y 变 , z = f (x0,

y) 成为 y 的一元函数 .

.),(),(

limlim 0000

00存在若极限

xyxfyyxf

x

zy

y

y

则称它为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数 .

y

yxf

yf

yz

yxf y

yyxx

yyxx

y

),( , ),,( 00

00

0

0

0

0

或记作

即y

yxfyyxfyxf

yy

),(),(lim),( 0000

000

　　若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时 x

的偏导数都存在 , 即 (x, y)D, xyxfyxxf

x

),(),(lim

0

存在 .　　此时 , 它是 x, y 的二元函数 . 称为 z 对 x 的

偏导函数 . 简称偏导数 .

.),(

, , ),,( x

yxfxz

xz

yxf xx

记作

类似定义 z 对 y 的偏导函数 .

xyxfyxxf

yxfx

x

),(),(lim),(

0即

　　 1. 由偏导数定义知 , 所谓 f (x, y) 对 x 的

偏导数 , 就是将 y 看作常数 , 将 f (x, y) 看

作一元函数来定义的 .

注

　　因此 , 在实际计算时 , 求 f 'x (x, y) 时 , 只

须将 y 看作常数 , 用一元函数求导公式求即可 .

　　求 f 'y (x, y) 时 , 只须将 x 看作常数 , 用

一元函数求导公式求即可 .

　　 2.f 'x (x0, y0) 就是 f 'x (x, y)

在点 (x0, y0) 的值 . 算 f 'x (x0, y0)

可用 3 种方法 .

f 'y (x0, y0) f 'y (x, y)

f 'y (x0, y0)

(1) 用定义算 .

(2) 先算 f 'x (x, y), 再算 f 'x (x0, y0) f 'y (x, y),

f 'y (x0, y0).

　　 (3) 先算 f (x, y0), 再算 f 'x (x, y

0) 　　　　再算 f 'x (x0, y0)

f (x0, y),

f 'y (x0, y), f 'y (x0, y0).

例 1. .)2 ,1(3 22 处的偏导数在求 yxyxz

解 : .862 ,3221

yxx

zyx

xz 从而

.743 ,2321

yxy

zyx

yz 从而

或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f 'x(x, 2) = 2x + 6,

故 f 'x(1, 2) = 2+ 6 = 8.

例 2. .2sin2 的偏导数求 yxz

解 : ,2sin2 yxxz

22cos2

yxyz yx 2cos2 2

例 3. . ),1,0( 求偏导数设 xxxz y

解 : ,1 yyxxz .ln xx

yz y

偏导数的概念可推广到三元以上函数中去 .

比如 , 设 u = f (x, y, z) .

xzyxfzyxxf

ux

x

),,(),,(lim

0

它的求法 , 就是将 y, z 均看作常数来求即可 .

例 4. . 222 的偏导数求 zyxu

解 : 2222

2

zyx

xux

ux

2222

2

zyx

yuy

uy

2222

2

zyx

zuz

uz

　　由一元函数的导数的几何意义 , 可以得到

偏导数的几何意义 .设 z = f (x, y) 在点 X0=(x0, y0)

处的偏导存在 , 记 z0 = f (x0, y0 ). 点 M0(x0, y0 , z0)则

二、偏导数的几何意义

　　 f 'x (x0, y0) 就是以平面 y = y0 与曲面 z = f (x,

y) 相截 , 得到截线 1 .1 上点 M0(x0, y0 , z0) 处切线

对 x 轴的斜率 .

　　而 f 'y (x0, y0) 就是以就是以平面 x = x0 与曲

面 z = f (x, y) 相截 , 得到截线 2 .2 上点 M0(x0, y0 , z0)

处切线对 y 轴的斜率 .

,),(dd

),(,0

000xx

x yxfx

yxf

由于事实上

故只须搞清一元函数 f (x, y0) 的几何意义 . 就

可得到 f 'x (x0, y0) 的几何意义 .

以平面 y = y0 与曲面 z = f (x, y) 相截 , 得截线

1 :z = f (x, y)

y = y0

也就是 z = f (x, y0). 且 M0 (x0, y0 , z0) 在 1 上 .

　　即 z = f (x, y0) 表示平面 y = y0 与曲面 z = f (x,

y) 的交线 1.

表示曲线从而0

),(dd

),( , 000xx

x yxfx

yxf

z = f (x, y0) 上点 M0 处的切线对 x 的斜率 .如图

y

x

z

o

z = f (x, y)

X0

M0

　　即 f 'x (x0, y0) 表示 y = y0

与 z = f (x, y) 的交线在 M0 处

的切线对 x 的斜率 .

　　即 f 'x (x0, y0) 表示 y = y0

与 z = f (x, y) 的交线在 M0 处

的切线对 x 的斜率 .

T1

1 : z = f (x, y0)

1

y0

y

x

z

o

z = f (x, y)M0

X0

2

2 : z = f (x0 , y)

类似得 f 'y (x0, y0) 的几何意义 . 如图

　　即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)

的交线在 M0 处的切线对 y 的斜率 .

x0

T2

　　在一元函数中 , 可导必连续 , 但对多元函

数不适用 .　　　　即 , 对多元函数 f (X) 而言 , 即使它在

X0 的对各个自变量的偏导数都存在 , 也不能保

证 f (X) 在 X0 连续 .

三、偏导与连续的关系

例 5. 设

),( yxfz,0 , 22

22 时当

yxyx

xy

,0 ,0 22 时当 yx

　　证明 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在 , 但它在 (0, 0) 不连续 .

证 :

　　前边已证 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的极限不存在 , 因此它在 (0, 0) 不连续 .

xfxf

fx

x

)0,0()0,0(lim)0,0(

0 xx

x

x

000

lim22

0= 0

yfyf

fy

y

)0,0()0,0(lim)0,0(

0 yy

y

y

000

lim22

0= 0

　　故 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在 ,

但它在 (0, 0) 不连续 .

下证 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在 .

　　从几何上看 , f 'x (x0, y0) 存在 . 只保证了一

元函数 f (x, y0) 在 x0 连续 .　　　　　　　　　　　也即 y = y0 与 z = f (x,

y) 的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0) 是连续的 .

　　同理 , f 'y (x0, y0) 存在 . 只保证了 x = x0 与

z = f (x, y) 的截线 2 在 M0 连续 .

但都不能保证曲面 z = f (x, y) 在 M0 连续 .

也就是连续这是因为所谓曲面在 ,0M

　　　　　　　　　换句话说 , 当 X 从任

何方向 , 沿任何曲线趋于 X0 时 , f (X) 的极

限都是 f (X0).

显然 , 上边两个条件都不能保证它成立 .

).()(lim 00

XfXfXX

例 . ),( yxfz,),( ,1 轴上时轴或不在当 yxyx

,),( ,0 轴上时轴或在当 yxyx

　　易知 , f (x,

y) 在 (0,0) 的两个偏导都存在 , 且为 0.但它在 (0, 0) 不连续 .

如图

y

x

z

o

§1 － 4 　多元函数的微分

　　　　　　　　　　　　一般说来 , 算

这个改变量较麻烦 , 希望找计算它的近似

公式 .该近似公式应满足 (1) 好算 . (2) 有起码的精度 .

　　在实际中 , 常需计算当两个自变量都

改变时 , 二元函数 z = f (X) = f (x, y) 的改

变量 f (x0+x, y0 +y) – f (x0, y0). 　

一、全微分的概念

类似一元函数的微分概念 , 引进记号和定义 .

记 z = f (x0+x, y0 +y) – f (x0, y0).

= f ( X+X ) – f (X0).

其中 X0 = (x0, y0). X = (x, y)

称为 z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 = (x0, y0) 的全增

量 .

设 z = f (X) = f (x, y) 在 U(x0) 内有定义 .

　　若 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 的全增量 z = f

(x0+x, y0 +y) – f (x0, y0) 能表成

z = ax +by + 0 (|| X ||) )(0 22 yxybxa

其中 a, b 是只与 x0, y0 有关 , 而与 x, y 无关的常数 .

).0

,0( )(0 2222

y

xyxyx 的高阶无穷小表示

定义

称 ax +by 为 z= f (x, y) 在点 (x0, y0) 处的全微

分 .

则称 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 可微 .

ybxazzXXXX

00d .d 即记作

)(0 22 yxybxaz

1. 按定义 , z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 可微

)(0 22 yxybxaz

0)(0

lim 22

22

00

yx

yx

yx

其中

注

2. 若 z 在点 X0 = (x0, y0) 可微

. d 0

zybxazXX

近似代替则以

.|||| 22 的高阶无穷小所产生的误差是 yxX

即 z –( ax +by ) = 0 (|| X ||)

)(0 22 yx

　　 3. 若 z = f (x, y) 在区域 D 内处处可微 .

则称 z = f (x, y) 在 D 内可微 . z 在 (x, y)

D 处的全微分记作 dz.

即 dz = a (x, y)x + b (x, y) y

　　它实际上是一个以 x, y , x , y 为自变量的四元函数 .

　　对照一元函数的微分 , z = f (x), 若 z = ax +0

(x) 则 dz = ax = f ' (x) ·x . 自然会提出以下问题 .　　 (1) 若 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 可微 , 微分式

dz = ax +by 中系数 a, b 如何求 , 是否与 z 的偏导有关 ?　　 (2) 在一元函数中 , 可微与可导是等价的 .

在二元函数中 , 可微与存在两个偏导是否也等价 ?

　　 (3) 在一元函数中 , 可微连续 , 对二元函数是否也对 ?

设 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 可微 , 要证 z 在 (x0, y0)

连续 . 则 z = f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0)

)(0 22 yxybxa

令 x 0, y 0, 由最后一式知 , z 0.

0)],(),([lim 0000

00

yxfyyxxfyx

即

),(),(lim 0000

00

yxfyyxxfyx

故

　　结论 : 对二元函数 z = f (x,

y),

z 在 (x0, y0) 可微 ( 不是存在两个

偏导 ) z 在 (x0, y0) 连续 .

若 z = f (x, y) 在点 X =(x, y) 处可微 , 则

z = f (x, y) 在点 (x, y) 处两个偏导 ,, 存在yz

xz

yyz

xxz

z

d

证 : 因 z 在 (x, y) 处可微 , 由定义 , z 的全增量 .

)(0

),(),(22 yxybxa

yxfyyxxfz

此式对任何充分小的 x, y 都成立 .

且 z 在 (x, y) 处的全微分为

定理定理 11

|)(|0),(),( xxayxfyxxfz

特别 , 当 y =0 时 , 有

同除以 x ( 0), 并令 x 0. 得

xz

x

0lim

xyxfyxxf

x

),(),(lim

0

xx

ax

||lim

0

xx

xx

ax

|||||)(|0

lim0 = a

xz

a 即

. ,yz

b可得类似

.d ,, yyz

xxz

zyz

xz

且存在故

定理 1 回答了问题 1, 并指出二元函数 z = f (x,

y)y

yz

xxz

z

d 且可微 存在两个偏导 ,

反之不对 . ,, 存在时这是因为当yz

xz

右端式子也可写出 . yyz

xxz

但这时右端

可能不是全微分 .

220 yxyyz

xxz

z

即

从而 z 不能写成定义中的形式 , 故不可微 .

例 1.

00

0,),(

22

2222

yx

yxyx

xyyxfz设

证明 z 在 (0, 0) 处的两个偏导存在 , 但 z

在 (0, 0) 不可微 .

证 : 由偏导定义

x

fxff

xx

)0,0()0,0(lim)0,0(

0= 0

y

fyff

yy

)0,0()0,0(lim)0,0(

0= 0

])0,0()0,0([ yfxfz yx 但

而

z 22 yx

yx

2

3220

02200

)(

limlim

yx

yx

yx

z

yx

yx

0

故 z 在 (0, 0) 不可微 .

　　若 z = f (X) = f (x, y) 的两个偏导数 f

'x (x, y), f 'y (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域

U(x0) 内存在 , 且它们都在 X0 = (x0, y0) 连

续 , 则 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 可微 .

定理2

因 f 'x (x, y), f 'y (x, y) 在 U(x0) 内存在 . 证 :

　　由偏导数的定义 , 以及一元函数可

导与连续的关系知 .

对于固定的 y ,　　　　　　　　　以 x 为自变量的一元函数 z = f (x, y)　　　　　　　在该邻域所对应的 x 的区间上连续 , 可导 .

　　从而它们都满足拉格朗日中值定理条

件 ( 在相应区间上 ).

　　　　　　　　　以 y 为自变量的一

元函数 z = f (x, y) 在该邻域所对应的 y

的区间上连续 , 可导 .

对于固定的 x ,

z = f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0)

= [ f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0+y)]

+[ f (x0, y0+y) – f (x0, y0)]

在上式第一括号中 , 将 y0+y 固定 .则它是以 x 为自变量的一元函数 f (x, y0+

y) 在 [x0, x0+x] 上的改变量 .　　　　　　　　　　　因 f (x, y0+y) 在

[x0, x0+x] 上满足拉格朗日中值定理条件 , 从

而 ,

取 (x0+x, y0+y) U (X0)

f (x0+x, y0+y) – f (x0, y0+y)

= f 'x(x0+1x , y0 +y] x , 其中 0<1<1

同理 f (x0, y0+y) – f (x0, y0) = f 'y(x0, y0 +2y] y ,

0<2<1

故 z = f 'x(x0+1x , y0 +y] x + f 'x(x0, y0 +2y] y

因 f 'x (x, y), f 'y (x, y) 都在 (x0, y0) 连续 .

),(),(lim 00010

00

yxfyyxxf xx

yx

由极限与无穷小量的关系 ,

其中 1 0, (x 0, y 0 时 )

有

f 'x(x0+1x , y0 +y) = f 'x(x0, y0)+1

有 , 　　 f 'y(x0, y0 +2y) = f 'y(x0, y0)+2

其中 2 0, (x 0, y 0 时 )

),(),(lim 00200

00

yxfyyxf yy

yx

同理

因此 , z = f 'x(x0, y0)x +f 'y(x0, y0)y +(1x +2y)

由于 z = f 'x(x0+1x , y0 +y] x + f 'x(x0, y0 +2y] y

f 'x(x0+1x , y0 +y) = f 'x(x0, y0)+1

易见

22210

yx

yx

222

221 ||||

yx

y

yx

x

|1 |+|2 |0, (x 0, y 0 时 )

由全微分的定义知 , z = f (x, y) 在 (x0, y0) 可微 .

2221 0 yxyx 即

)()(

,)(

)(.1 XfzyXf

xXf

XJ f

称为记

在点 X 处雅可比向量 ( 矩阵 ). 也记作(z).

　　 2. 若 z = f (X) 在区域 D 内有一阶连续偏导 . 则记 f (X)C1(D)

　　 3. 和一元函数微分一样 , 自变量 x, y 的微分就等于它们的改变量 , 即 dx = x , dy =

y . 且记 dX = (dx , dy)

XXJyyz

xxz

z f d)(ddd

最后一式表数量积 .

4. 全微分的概念可推广到三元以上的函数中去 .

且 , 若 u = f (x, y, z) 可微 , 则

zzf

yyf

xxf

u dddd

因此 , 全微分公式可写为

例 2. 求 z = x2 cos xy 的全微分 .

解 :

y xy x xy x zx ) sin ( cos 22

xy y x xy xsin cos 22

故 dz = (2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydy

xy x y xy x zysin ) sin (3 2

例 3. 求 z = exy 在点 (2, 1) 处的全微分 .

解 : ,yexz xy

xeyz xy

故 dz = yexydx + xexydy

zexezyx d2dd 22

12

例 4. 求 u = xyz 的全微分 .

解 : ,1 yzyzx

xu

,ln xzxyu yz

故 du = yzxyz–1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy

,ln xyxzu yz

= xyz–1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy)

设多元函数 f (X), g(X) 在点 X 可微 , 则

(1) d(f (X) g(X)) = df (X) dg(X)

(2) d( kf (X)) = kd f (X) , k 为常数 .

(3) d(f (X) g(X)) = g(X)d f (X) + f (X)dg(X)

(4) ，)(

)(d)()(d)()()(

d 2 Xg

XgXfXfXgXgXf

其中 , g(X) 0.

定理 3

　　设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0) 内存在偏导数 f 'x 和 f 'y , 则对任意的 X = (x, y) U(X0), 至少存在两点 X1 = (1,

1), X2 = (2, 2) U(X0) , 使得),(),()()( 000 yxfyxfXfXf ))(())(( 0201 yyXfxxXf yx

证 : 回忆一元函数拉格朗日中值定理 .

.,),)(()()( 000 之间介于 xxxxxx

二、微分中值定理定理 4

),(),( 00 yxfyxf

)],(),([)],(),([ 0000 yxfyxfyxfyxf

　　由于 f 'x 和 f 'y 在 U(X0) 内存在 . 而对于固定的 y, f (x, y) 是以 x 为自变量的一元函数 , 　　　　　　　　　　　　　　　　在对应的 x

的区间上连续 , 可导 . 满足拉格朗日中值定理条件 .有 ),)(,(),(),( 010 xxyfyxfyxf x

),)(,(),(),( 020000 yyxfyxfyxf y 同理 ,

其中 , 1 介于 x0, x 之间 , 2 介于 y0, y 之间 .

(x0, y)

X=(x, y)

X2

X0 = (x0, y0)

U(X0)

X1

记 1 = y , 2 = x0 , 有

),(),()()( 000 yxfyxfXfXf

),(),(),(),( 0000 yxfyxfyxfyxf

))(,())(,( 022011 yyfxxf yx

))(())(( 0201 yyXfxxXf yx

一般 , 若 n 元函数 z = f (X) 在点 X0

的某邻域 U ( X0 ) 内存在对各变量的偏导 , 则

对任意的 X = (x1, x2, …, xn) U (∈ X0), 存在 n

个点

),,,( 002

01 nxxx

使得,,,2,1),,,,( 21 nixxxX in

iii

))(()()( 0

10 iii

n

ix xxXfXfXf

i

))(()()( 0

10 iii

n

ix xxXfXfXf

i

　　设 z= f (X)= f (x, y) 在闭区域 DR2 上连续 , 在开区域 D 内存在连续偏导数 f 'x 和 f 'y .

),,(

,

222

1010

X

XXDXX 上至少存在一点则在

若点 X0 = (x0, y0), X1 = (x1, y1)D, 直线段

))(())((

),(),(

)()(

012012

0011

01

yyXfxxXf

yxfyxf

XfXf

yx

X1

X2

X0

D

如图

使得

定理5

证 : 如图 . 作垂直过 10 XX

,面的平面于xy

它与曲面 z= f (x, y)

有蛟线 . 是平面上的曲线 ,　　　　对应的函数将满足拉格朗日中值定理条件 , 进而可证得结果 .

x

z

yX1

X0

o

0101 , yyyxxx 记

0: 00

10

z

y

yy

x

xxXX

的方程

.10,0,, 00 tzytyyxtxx或

平面 ( 柱面 ) 的方程 : x = x0 + tx, y = y0 + ty.

的方程 : x = x0 + tx

z = f (x, y)

y = y0 + ty即 .

z = f ( x0 + tx, y0 + ty) 是 t 的一元函数 . 0 t 1.

记 F(t) = f (x0 + tx, y0 + ty),

　　　　　　　　　　　　　　　　由条件 f (x,

y) 在 D 内有连续偏导 , 可得 F(t) 在 0 < t < 1

内可导 .从而满足拉格朗日中值定理条件 .

又 F(1) = f (x0 + x, y0 + y) = f (x1, y1) , F(0) = f (x0, y0),

故

　　　　　　　　　　　　　由条件 f (x, y) 在闭

区域 D 上连续 , 知 F(t) 在 0 t 1 上连续 ,

f (x1, y1) f (x0, y0) = F(1) F(0) = F'(). 0 < <1.f (x1, y1) f (x0, y0) = F(1) F(0) = F'(). 0 < <1.

又因 F(t) = f (x0 + tx, y0 + ty),

从而 F'(t) = f 'x (x0 + tx, y0 + ty)x

+ f 'y (x0 + tx, y0 + ty)y

故 f (X1) f (X2) = f (x1, y1) f (x0, y0)

= F'()

= f 'x (x0+x, y0+ y)x+ f 'y (x0+x, y0+ y)y

= f 'x (X2) (x1 x0) + f 'y (X2) (y1 y0)

其中 0 < <1, x2 = (x0 + x, y0 + y)

　　利用定理 5, 易证 , 若 D 是开区域 , z =

f (x, y) 在 D 内恒有 f 'x = f 'y = 0. 则 f (x, y) =

常数 . 只须注意 D 是连通的 , 并逐次利用定

理 5 即可 .