Presentacin de PowerPoint

Universidad Nacional Mayor de San MarcosENVOLVENTE CONVEXAINTRODUCCINActualmente uno de los campos ms importantes de la informtica es la Geometra Computacional. La Geometra Computacional abarca desde problemas de visualizacin (utilizados en robtica) hasta problemas relativos al diseo de mundos virtuales (generacin de mallas tridimensionales, asignar texturas a mallas tridimensionales) Dos de los aspectos que se estudian en el campo de la Geometra Computacional son: la envolvente convexa y las triangulaciones.

La envolvente convexa es a la geometra computacional lo que la ordenacin al resto de los problemas algortmicos, un primer paso a aplicar a datos no estructurados de forma que podamos hacer cosas ms interesantes con ellos. La envolvente convexa C(S) de un conjunto de puntos S es el polgono convexo ms pequeo que contiene a S. PROBLEMAEnvolvente Convexa La envolvente(o cierre) convexa de un conjunto de puntos P es la interseccin de todos los semiplanos que contienen a P. Otras definiciones de envolvente convexa se enumeran a continuacin: La envolvente convexa de un conjunto de puntos P es el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos de P. Una combinacin convexa de puntos p1,, pk es una suma de la forma a1p1 ++ akpk con 0 para todo i y adems a1++ak = 1. La envolvente convexa de un conjunto de puntos P en d dimensiones es el conjunto de todas las combinaciones convexas de d + 1 puntos (o menos) de P. La envolvente convexa de un conjunto de puntos P es el menor conjunto convexo que contiene a dichos puntos, es decir, la interseccin de todos los conjuntos convexos en los que P est contenido. Definicin formal: La envolvente convexa o cierre convexo de una nube de puntos es el menor conjunto convexo que contiene a todos los puntos.

Definicin intuitiva:

Si se coloca una cinta elstica extendida alrededor de los puntos, la forma que toma la cinta al contraerse coincide con la envolvente convexa. PROPIEDADESLa envolvente convexa presenta las siguientes propiedades: Siendo f una transformacin afn y C ({p1, p2,, pn}) la envolvente convexa de un conjunto P de puntos se cumple que: f(C ({p1, p2,, pn}) = C ({f (p1), f (p2),, f (pn)}). Es decir las transformaciones afines (Por ejemplo: rotacin, reflexin, traslacin,) respetan envolventes convexas.

El clculo de la envolvente convexa (en dos dimensiones) consiste en encontrar todos los puntos extremos de un conjunto de puntos P. Un punto p perteneciente al conjunto P es interior si existe un tringulo con vrtices en P (distintos de p) de forma que p est dentro del tringulo.

Un punto p perteneciente al conjunto P es extremo si existe una recta pasando por p que deje al resto de puntos de P hacia un lado de dicha recta (recurdese que se est trabajando en dos dimensiones).

ALGORITMO DE GRAHAM

El nmero total de estas operaciones que se realizan es del orden de O(n Log n). Si los puntos se encuentran ordenados por una de las coordenadas o por el ngulo a un vector fijo entonces la complejidad es O(n). ALGORITMO DE JARVIS

Posee una complejidad computacional O (nh). En el peor de los casos su complejidad ser O (n2).