análise convexa e hiperplanos

Analise Convexa

1. Conjuntos convexos

1.1. Casca convexa, ponto extremo, cone

2. Hiperplanos: suporte, separador, teorema da separacao

3. Funcoes convexas

4. Teoremas de funcoes convexas

5. Conjunto poliedral e politopo

6. Exerccios

cReinaldo M. Palharespag.1 Fund. Controle Robusto via Otimizacao Bloco 2

Analise Convexa

Definicao Um conjunto C e dito ser afim se a reta que passa por dois pontos distintos

quaisquer em C esta em C

Definicao Dados dois pontos quaisquer p1, p2 C, e um escalar real , denomina-se

p1 + (1 )p2 C

uma combinacao afim de p1 e p2

Nota C e um conjunto afim se contem a combinacao afim de quaisquer dois pontos

em C


Analise Convexa

Generalizacao Se C e um conjunto afim, p1, p2, . . . , pj C, e

jXk=1

k = 1, entao

1p1 + 2p2 + + jpj C

Lema Se C e um conjunto afim e p0 C , entao o conjunto

G = C p0 =

p p0

p C

ffe um subespaco

Dem. Se G e um subespaco entao, G 6= e fechado sob as operacoes de soma e

multiplicacao por escalar. Suponha que g1, g2 G e , R, entao g1 + p0 C e

g2 + p0 C de modo que

g1 + g2 + p0 = (g1 + p0) + (g2 + p0) + (1 ) p0 C

como C e afim, e + + (1 ) = 1, conclui-se que g1 + g2 G pois

g1 + g2 + p0 C


Analise Convexa

Nota O conjunto afim C pode ser escrito como um subespaco mais uma constante da

forma

C = G + p0 =

g + p0

g G

ff

Definicao A dimensao de um conjunto afim C e a dimensao do subespaco

G = C p0, sendo p0 um elemento qualquer de C

Exemplo C =x Rn | Ax = y, A Rmn , y Rm

e um conjunto afim?

Considere x1, x2 C, entao para qualquer ,

A (x1 + (1 )x2) = A(x1) + (1 )Ax2

= y + (1 )y

= y

o que mostra que a combinacao afim x1 + (1 )x2 C.


Conjunto Convexo

Definicao Um conjunto C e convexo se para qualquer par de pontos p1 e p2 em C, e

um escalar [0, 1], a combinacao convexa dada por p1 + (1 )p2 C

Nota Todo conjunto afim e convexo...

Generalizacao Qualquer ponto da forma

1p1 + 2p2 + + jpj , sendo que

jXk=1

= 1 e j 0

e uma combinacao convexa dos pontos p1, , pj

Nota Convexidade pode ser definida para qualquer subconjunto de um espaco vetorial

real ou complexo, inclusive o conjunto vazio

Exemplo Uma reta e afim

Exemplo Um segmento de reta (fechado) e convexo, mas nao afim (a nao ser que se

reduz a um ponto)...


Conjuntos Convexos

Exemplo Um conjunto elipsoidal da forma

C =

p

(p pc)T P1 (p pc) 1, p Rn , P = P T 0

ff

e convexo. pc e o centro do elipsoide ep(P ) fornecem o tamanho dos semi eixos

Teorema

1. Se C e D sao conjuntos convexos entao C +D e convexo

2. Se C e um conjunto convexo entao

C , {p2 | p2 = p1; R; p1 C} e convexo

3. A interseccao de uma colecao de conjuntos convexos e convexo

Dem. 3) Se p1, p2 TnCn entao p1, p2 Cn , n. Como Cn e convexo, entao

para qualquer [0, 1], p1 + (1 )p2 Cn , n. Portanto, [0, 1],

p1 + (1 )p2 TnCn


Casca Convexa

Definicao Dado um conjunto C qualquer, o menor conjunto convexo que contem C e

denominado casca convexa (e denotado por co{C})

C

Em outras palavras, a casca convexa de C e interseccao de todos os conjuntos convexos

contendo C. Ou a combinacao convexa de todos os pontos em C

Definicao C 6= , C X , co{C} (sendo X um espaco vetorial)


Vertices

Fato A combinacao convexa pode ser generalizada para n pontos em C

p =nXi=1

ipi, i 0 enXi=1

i = 1

p1

p2

p3

p4

Definicao Todo ponto p C X tal que @p1, p2 C, p1 6= p2, que satisfaca

p = p1 + (1 )p2, (0, 1) e denominado ponto extremo ou vertice

Teorema Qualquer conjunto convexo e compacto e a casca convexa de seus vertices


Cones

Definicao Um conjunto C e um cone se p C e 0 implica p C

Definicao Um cone convexo e um cone + conjunto convexo, ie para qualquer

p1, p2 C e 1, 2 0, 1p1 + 2p2 C

Nota O cone acima tem vertice em 0 e arestas cruzando os pontos p1 e p2

Exemplos

1. Cone:

2. Cone convexo?


Cones

3. Conjunto das matrizes simetricas semidefinidas positivas

Sn = {A Rnn | A = AT , A 0}

e um cone convexo: se 1, 2 0 e B,C Sn , entao 1B + 2C S

n

Veja que isto e um consequencia direta da caracterizacao de uma forma quadratica

semidefinida positiva. Por exemplo, para qualquer x Rn , entao

xT (1B + 2C)x = xT1Bx + x

T2Cx 0

se B 0, C 0, 1, 2 0


Hiperplanos ou Funcoes Afins

Definicao Denomina-se um hiperplano em X um conjunto

H =nx X | pT x = b, 0 6= p X , b R

oe p H . Naturalmente a funcao afim pT x b e nula em X

Para X = R2 e b = 1, se pT =h1 1

ie H e o conjunto dos x R2 tal que gera-se

a reta na figura abaixo

p, x = 1p

x

x

x

1

1


Hiperplanos

Um hiperplano e um subespaco linear onde dim(H) =dim(X ) 1. Exemplo: a

reta e um subespaco linear do R2...

Para x1, x2 H e 0 x3 = x1 + (1 )x2 H ?

pT x3 = pT x1 + (1 )p

T x2 = b + (1 )b = b

Um hiperplano divide o espaco em dois semi-espacos fechados:

H =nx X | pT x b

oe H =

nx X | pT x b

oH e o semi-espaco na direcao de p e H na direcao de p. Estes semi-espacos sao

convexos, porem nao-afins


Hiperplanos Suporte

Definicao Um hiperplano H e denominado hiperplano suporte de um conjunto

convexo C, se C H (ou C H) e H tem pontos em comum com B{C}

Em outras palavras, H e um hiperplano suporte de C se

1. inf{pT x | x C} = b (entao C H)

2. ou sup{pT x | x C} = b (entao C H)

x

C H

x B{C}


Hiperplanos Suporte

Teorema Considere um conjunto convexo C X . Se x 6 int{C} e int{C} 6=

H : x H e C H ou C H

C

x

xi

p

H

1. pT (xi x) 0, xi C C H

2. pT (xi x) 0, xi C C H


Cone Dual

Definicao Considere um cone C. O conjunto

C , {y | xT y 0, x C}

e chamado cone dual de C

Interpretacao y C sse y e normal a um hiperplano que suporta C na origem

Cy

Note que o semi-espaco com o y normal e interno contem o cone C, entao y C


Hiperplanos Separadores

Definicao Um hiperplano H e denominado hiperplano separador se para dois

conjuntos convexos C1 e C2 H : C1 H e C2 H

Os conjuntos sao estritamente separaveis se C1 H< e/ou C2 H>

C1C1C1

C2C2

C2H

H

H

+ Exemplo Se C1 = C2 = {0} R, entao o hiperplano x = 0 separa C1 e C2


Funcoes Convexas

Definicao Considere um conjunto convexo C. f : C 7 R e denominada uma funcao

convexa se x1, x2 C e [0, 1]

f(x1 + (1 )x2) f(x1) + (1 )f(x2)

Considerando desigualdade estrita, entao f e estritamente convexa

f e concava se f e convexa

f(x1)

f(x2)

x1 x2

f(x1) + (1 )f(x2)


Funcoes Convexas

Definicao Considere um conjunto convexo C. f : C 7 R e denominada uma funcao

quasi-convexa se x1, x2 C e (0, 1)

f(x1 + (1 )x2) max{f(x1), f(x2)}

Teorema Se f : C1 7 R e g : C2 7 R sao convexas sobre os conjuntos convexos C1

e C2 entao

1. f e convexa em C1, 0

2. f + g e convexa em C1TC2

Teorema C e f : C 7 R convexos.

f

Xk

kxk

!Xk

kf(xk), xk C, k 0,Xk

k = 1


Mnimo de Funcao Convexa

Teorema Considere um conjunto convexo nao-vazio C X e f : C 7 R uma funcao

convexa. Entao

1. f e contnua no int{C}

2. O conjunto C C no qual f atinge seu mnimo e convexo

3. Qualquer mnimo local e tambem mnimo global de f

Dem. 3) Suponha que x C e um mnimo local de f e que x C tal que

f(x) < f(x). Sobre o seguimento x + (1 )x , 0 < < 1, obtem-se

f (x + (1 )x) = f (x + (x x)) f(x)+ (f(x) f(x))| {z }

Teoremas de Funcoes Convexas

Teorema Considere f C1. Entao f e convexa sobre um conjunto convexo C sse

f(x) f(y) +f(y)T (x y), x, y C

onde f(y) = {f/yi}, i = 1, . . . , n e o vetor gradiente

f

f(y)f(y) +f(y)T (x y)

xy

Teorema Considere f C2. Entao f e convexa sobre um conjunto convexo C sse

2f(x) < 0, em C. Onde 2f(x) =

2f

xixj

ff, i, j = 1, . . . , n e a matriz

Hessiana


Teoremas de Funcoes Convexas

Teorema Considere f C1, uma funcao convexa sobre o conjunto convexo

nao-vazio C. Se existe um ponto x C tal que

f(x)T (x x) 0, x C

entao x e um mnimo global de f em C

Se f for estritamente convexa, ie

f(x) > f(y) +f(y)T (x y), x, y C, x 6= y

entao x C, tal que f(x)T (x x) > 0 e um mnimo global estrito de f em C


Conjunto Poliedral

Definicao A interseccao de um numero finito de subespacos fechados e denominado

conjunto poliedral

Exemplo C ,x | Ax y, x Rn , y Rm , A Rmn

Nota Conjuntos poliedrais sao convexos e fechados, mas podem nao ser limitados

Definicao Um conjunto poliedral limitado e denominado politopo

Em outras palavras, um politopo e a casca convexa de um conjunto finito de vertices

Portanto todo elemento no politopo pode ser gerado pela combinacao convexa dos seus

vertices


Desigualdades Matriciais Lineares LMIs

Denomina-se uma desigualdade matricial linear (LMI) em x a descricao:

A(x) = x1A1 + x2A2 + + xnAn B

onde B,Ai Sn =

X Rnn | X = XT

, i = 1, . . . , n

Note a grande similaridade com uma desigualdade linear,

aT x = x1a1 + x2a2 + + xpap b, b, ai R

Nota O conjunto solucao de uma LMI, ie {x Rn | A(x) B} e convexo

Por que? Definindo-se uma funcao afim f : Rn 7 Sn , da forma

f(x) = B A(x), entao {x | f(x) C Sn} = {x Rn | B A(x) Sn} e

a imagem inversa do cone das matrizes semi-definidas positivas, que e convexo...

Nota A imagem e {f(x) | x C Rn}...


Politopo

Exemplo Politopo: P = co{v1, v2, . . . , v5}

v1

v2

v3

v4

v5

p1

p2

Todo p P e escrito da forma: p =P5

i=1ivi, i 0,

P5i=1

i = 1

Da figura,

p1 =1

2v1 +

1

2v2 + 0v3 + 0v4 + 0v5

p2 =1

3v1 +

1

3v2 + 0v3 +

1

3v4 + 0v5

p2 =1

3v4 +

2

3p1


Um problema de otimizacao padrao

minx

x2 =h0 1

i 24x1x2

35 = cT x

s.a

8>>>: 1

2x1 + x2 6

x1 + 0x2 4 ,

0x1 + x2 1

8

análise convexa e hiperplanos

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