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Entwicklung eines Simulationsmodells für eine hydraulische

Positioniervorrichtung

Studienarbeit

Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg

Fachbereich Maschinenbau und Produktion (M&P)

Labor für Hydraulik und Pneumatik (HuP)

Boris Bestmann

Matrikel Nr. 1692111

Lütjensee, November 2005

Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg Hamburg University of Applied Sciences

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Aufgabenstellung

Bestmann, Boris: Entwicklung eines Simulationsmodells für eine hydraulische Positioniervorrichtung Für eine vereinfachte hydraulische Positioniervorrichtung ist ein Simula-tionsmodell in MATLAB- Simulink zu entwerfen und zu evaluieren. Da-bei ist besonderen Wert auf die Darstellung der physikalischen Grundlagen, der Bezug zu Datenblättern aus der Praxis (z.B. von Herstel-lerfirmen) und die Nachvollziehbarkeit der Modellbildung zu legen, da das Modell im Rahmen der anwendungsorientierten Lehre zur Einfüh-rung in die Thematik der dynamischen Vorgänge genutzt werden soll. Das Modell sollte die nachfolgenden Komponenten berücksichtigen: Verdrängerpumpe (inkl. Ungleichförmigkeitsgrad/Pulsation), statisches und dynamisches Verhalten des Druckbegrenzungsventils sowie des Pro-portionalventils, exemplarische Rohrleitungen, Differentialzylinder.

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Inhalt 1 Einleitung........................................................................................................................................ 1 2 Berechnungsgrundlagen ................................................................................................................. 2

2.1 Fluidmechanik........................................................................................................................ 2 2.2 Technische Mechanik ............................................................................................................ 4

3 Auswahl der Komponenten der hydraulischen Positioniervorrichtung .......................................... 5 4 Entwicklung eines Simulationsmodells mit MATLAB-Simulink.................................................. 8

4.1 Grundlagen der Simulationsmodellerstellung........................................................................ 8 4.1.1 Lösung von Differentialgleichungen mit MATLAB-Simulink ......................................... 8 4.1.2 Modellbildung von mehrkomponentigen, fluidgefüllten Systemen ................................ 13

4.2 Betrachtung der hydraulischen Positioniervorrichtung als Gesamtsystem .......................... 16 4.3 Modellierung der Komponenten .......................................................................................... 19

4.3.1 Hydrauliköl...................................................................................................................... 19 4.3.2 Verdrängerpumpe ............................................................................................................ 21

4.3.2.1 Physikalische Grundlagen....................................................................................... 21 4.3.2.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink................................................................... 22 4.3.2.3 Evaluation des Modells........................................................................................... 28

4.3.3 Rohrleitungen und Hydraulikschläuche .......................................................................... 29 4.3.3.1 Physikalische Grundlagen....................................................................................... 29 4.3.3.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink................................................................... 29 4.3.3.3 Evaluation des Modells........................................................................................... 31

4.3.4 Druckbegrenzungsventil .................................................................................................. 32 4.3.4.1 Physikalische Grundlagen....................................................................................... 32 4.3.4.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink................................................................... 35 4.3.4.3 Evaluation des Modells........................................................................................... 44

4.3.5 Proportionalventil ............................................................................................................ 45 4.3.5.1 Physikalische Grundlagen....................................................................................... 45 4.3.5.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink................................................................... 47 4.3.5.3 Evaluation des Modells........................................................................................... 66

4.3.6 Zylinder ........................................................................................................................... 68 4.3.6.1 Physikalische Grundlagen....................................................................................... 68 4.3.6.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink................................................................... 70 4.3.6.3 Evaluation des Modells........................................................................................... 76

4.4 Zusammenführung der Komponenten ................................................................................. 78 4.5 Simulation der hydraulischen Positioniervorrichtung.......................................................... 80

4.5.1 Auswahl und Modellierung des Reglers.......................................................................... 80 4.5.2 Positionierung beim Aus- und Einfahren des Zylinders.................................................. 82 4.5.3 Ergebnisse........................................................................................................................ 88

5 Evaluation des Modells und Ausblick .......................................................................................... 92

4

Verzeichnis der Formelzeichen Formel- Bedeutung Übliche Einheit zeichen A Fläche m2

AD,ADR Drosselfläche Ak Kolben- bzw. Zylinderstirnfläche A Koeffizient eines Polynoms b Beiwert für geschwindigkeitsproportionale s

kg Dämpfung C hydraulische Kapazität bar

m3

CÖl Kapazität von Hydrauliköl CLtg Kapazität von Hydraulikleitungen c Geschwindigkeit s

m c, cF Federkonstante m

N d Durchmesser m dh hydraulischer Durchmesser dk Durchmesser einer Zylinderstirnfläche dm Mittlerer Kreisringspaltdurchmesser F Kraft N FC Federkraft FD Dämpfungskraft FGR Gleitreibungskraft

FHR Haftreibungskraft FL Kraft aufgrund einer Last FM Magnetkraft

FRC Coulombsche Reibungskraft FST Strahlkraft GL Leitwert einer Drosselstelle kg

ms 4⋅

g Erdbeschleunigung: 9,81 2sm 2s

m

h Höhe m K Kompressionsmodul 2m

N

kDR Drosselbeiwert kgm3

l Länge m lk Länge eines Kegels m Masse kg n Drehzahl min

1 p Druck 2m

N , Pa, bar

∆pverl.12 Druckverlust

5

Formel- Bedeutung Übliche Einheit zeichen p& Zeitliche Druckänderung

Q Volumenstrom s

m3, min

Ltr ∆Q Volumenstromänderung Qg Gesamtänderung eines Volumenstroms QLi,QLa Leckvolumenströme Qm Mittlerer Volumenstrom

Qm_norm Mittlerer, normierter Volumenstrom Qmax Maximaler Volumenstrom Qmin Minimaler Volumenstrom s Weg m sv Federvorspannweg s& Geschwindigkeit s

m s&& Beschleunigung 2s

m

T Temperatur °C, K TV Abklingkonstante m

s t Zeit s, min V Volumen m3

Vnenn Nennverdrängungsvolumen .UmdrLtr

W Arbeit/Energie Nm Wkin Kinetische Energie Wpot Potentielle Energie Wp Druckenergie w Ölfließgeschwindigkeit s

m X Massenanteil/Zusammensetzung x Weg m x& Geschwindigkeit s

m x&& Beschleunigung 2s

m

α Durchflussbeiwert β Kompressibilität s

m2

ε Winkel zwischen Bewegungsrichtung °, rad und Kraftwirkrichtung

η Dynamische Viskosität 2mNs

ϕ Phasenverschiebung °, rad ϕ Beiwert für die Rohrreibungsberechnung ν Kinematische Viskosität s

m2

π Kreiszahl: 3,14159 ρ Dichte 3m

kg

ω Winkelgeschwindigkeit s1

ζ Widerstandsbeiwert für Rohrreibung

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1 Einleitung

Die Simulationsrechnung ist ein wichtiger Bestandteil bei der Untersuchung und Vorhersage des

Verhaltens hydraulischer Systeme. Je nach Untersuchungsschwerpunkt, sind hierbei verschiedene

mechanische, fluidmechanische oder thermodynamische Aspekte von Interesse. In der vorliegenden

Arbeit sollen mögliche Vorgehensweisen bei der Modellierung und Simulationsmodellerstellung

ausgewählter hydraulischer Bauteile dargelegt werden. Hierbei werden vorwiegend mechanische und

fluidmechanische Aspekte betrachtet. Die Erstellung und Berechnung von Simulationsmodellen

erfolgt mit dem blockschaltbildbasierten Programm MATLAB-Simulink.

Als Basis dient in dieser Arbeit eine hydraulische Positioniervorrichtung. Diese besteht aus einem

Differentialzylinder, einem Proportionalventil, einer Axialkolbenpumpe, einem Druckbegrenzungs-

ventil und entsprechenden Verbindungsleitungen (Abb.1). Da die Komponenten der hydraulischen

Positioniervorrichtung nur in ihrer Bauart festgelegt sind, erfolgt zunächst eine Auswahl entsprechen-

der Komponenten aus dem Sortiment der Bosch-Rexroth AG. Nach dieser Auswahl wird die allge-

meine Vorgehensweise bei der Erstellung von Simulationsmodellen mit MATLAB-Simulink

dargelegt. Anschließend wird die Bildung von Simulationsmodellen für die einzelnen Komponenten

der hydraulischen Positioniervorrichtung erläutert. Zunächst wird dabei auf die jeweils benötigten

physikalischen Grundlagen eingegangen. Besonderen Wert wird auf die Betrachtung des dynamischen

Verhaltens der Komponenten gelegt. Im Anschluss daran erfolgt die Umsetzung der physikalischen

Grundlagen in Simulationsmodelle. Hierbei wird der Bezug zu den jeweiligen Hersteller-Datenblättern

der gewählten hydraulischen Komponenten hergestellt. Je nach Eignung werden in den Simulations-

modellen zur Beschreibung des Verhaltens der hydraulischen Komponenten Differentialgleichungen

oder Kennlinien aus Datenblättern verwendet. Abschließend erfolgt die Zusammenführung der

Simulationsmodelle der Einzelkomponenten zu einem Gesamtmodell und die beispielhafte Betrach-

tung des Regelverhaltens des Modells der hydraulischen Positioniervorrichtung.

Abb. 1: Systemstruktur der hydraulischen Positioniervorrichtung

sist

ssoll

Regler

s

2

2 Berechnungsgrundlagen

2.1 Fluidmechanik Die Grundlage der Fluidmechanik stellt der in Gl.(1) dargestellte, aus der Thermodynamik bekannte

Energieerhaltungssatz dar.

Druckenergie + kin.Energie + potentielle Energie + Innere Energie = konst. (1)

Die Änderung der inneren Energie beruht dabei auf der Änderung der Bewegungsenergie der Atome

infolge von Temperaturänderungen. Dies ist nach [1] in der Ölhydraulik i.a. vernachlässigbar. Es

ergibt sich der in Gl.(2) gezeigte Zusammenhang.

.konstWWW potkinp =++ (2)

mit VpWp ⋅= 221 mcWkin = hgmWpot ⋅⋅=

ρmV =

Aus Gl.(2) ergibt sich damit die bekannte Form der Bernulli-Gleichung für die verlustbehaftete

Strömung zu Gl.(3):

=⋅⋅++ 12

11 2hgcp ρ

ρ2,12

222 2 verlphgcp ∆+⋅⋅++ ρ

ρ (3)

Dem Term für den Druckverlust in Gl.(3) kommt in der Ölhydraulik besondere Bedeutung zu. Es kann

aus diesem Term gemäß Gl.(4) der Druckverlust innerhalb eines Hydraulikbauteils berechnet werden.

Weiterhin kann gemäß Gl.(5), welche sich nach Umformung aus Gl.(4) ergibt, bei bekannter Druck-

differenz zwischen Ein- und Austritt eines Bauteils der Ölvolumenstrom durch dieses Bauteil

bestimmt werden.

212 2

cpverlρ

ς ⋅=∆ (4)

ρα

pAcAQ DD∆⋅

⋅⋅=⋅=2

mit ς

α1

= (5)

Der Widerstandsbeiwert ς in Gl.(4) und Gl.(5) als Funktion von Strömungsquerschnitt und Reynolds-

zahl kann der Literatur entnommen werden (z.B.[7]).

3

In der Ölhydraulik wird das Hydrauliköl insbesondere bei großen Volumen nicht als inkompressibles

Fluid betrachtet. Weiterhin treten bei zeitlicher Änderung des Druckes elastische Deformationen der

Hydraulikbauteile auf. Dies führt zur Speicherung eines zusätzlichen Volumenstroms in einem Bauteil

gemäß Gl.(6). Die hydraulische Kapazität C ist in dieser Gleichung das Maß für die Kombination aus

der Volumenänderung des Öls und der Leitungen.

pCdtdpCQ &⋅=⋅=∆ mit LtgÖl CCC += (6)

Die hydraulische Kapazität des Öls ergibt sich aus Gl.(7). Für Rohre ist die hydraulische Kapazität des

Rohres gegenüber der des Öls vernachlässigbar. Für Schlauchleitungen erfolgt die Festlegung der

hydraulischen Kapazität gemäß Herstellerangaben.

β⋅= 0VCÖl mit K1

=β (7)

Wird ein in einer Hydraulikanlage befindliches Ölvolumen zeitlich veränderlichen Druckkräften

ausgesetzt, so wird dieses Ölvolumen beschleunigt. Infolge der Beschleunigung treten aus der Masse

des Öls resultierende Trägheitskräfte auf. Diese führen zu Druckverlusten infolge der Ölbeschleuni-

gung. Dieser Effekt wird als hydraulische Induktivität bezeichnet. Die hydraulische Induktivität ist

aufgrund der Massenverhältnisse i.a. gegenüber den Trägheitskräften der mechanischen Bauteile (z.B.

Zylinder und angetriebene Geräte und Mechanismen) vernachlässigbar. Auf genauere Betrachtungen

in [1] und [2] wird verwiesen.

Viele Hydraulikbauteile verfügen funktionsbedingt über mechanisch bewegliche Elemente, wie etwa

Kolben (in Hydraulikzylindern) oder Ventilschieber (in Ventilen). Diese Elemente bewegen sich in

der Hydraulikflüssigkeit, wodurch eine geschwindigkeitsabhängige Reibung bzw. Dämpfung aufritt.

Diese ergibt sich vereinfacht gemäß Gl.(8), wobei ς der Literatur entnommen werden kann (z.B.[7]).

2

2cAFD

ρς ⋅⋅= (8)

Für eine detaillierte Betrachtung der geschwindigkeitsabhängigen Reibung bzw. Dämpfung in

hydraulischen Bauteilen wird auf [2] verwiesen.

4

F

s&

FGR

FHR

Auftreten von Stick-Slip-Effekten

2.2 Technische Mechanik Neben den aus der Fluidmechanik resultierenden Kräften (vgl. Kapitel 2.1) treten in hydraulischen

Bauteilen Kräfte infolge der Bewegung von Festkörpern auf. Dies sind zum einen Massenreaktions-

kräfte aufgrund von Beschleunigungen, zum anderen Coulombsche Reibungskräfte. Die Massenreak-

tionskräfte sind insbesondere bei großen bewegten Massen, etwa Hydraulikzylindern mit

angeschlossenen mechanischen Systemen, von Bedeutung. Aber auch bei Ventilschiebern in Hydrau-

likventilen treten aufgrund hoher Beschleunigungen nicht zu vernachlässigende Massenkräfte auf. Die

Berechnung der Massenkräfte erfolgt wie aus der Technischen Mechanik bekannt.

Bei den Coulombschen Reibungskräften ist in der Ölhydraulik insbesondere der Übergang von Haft-

und Gleitreibung von Bedeutung. Bewegt sich ein Kolben eines Zylinders oder ein Ventilschieber

eines Ventils sehr langsam, so entsteht an den Berührungsstellen zwischen bewegtem Bauteil und

Gehäuse eine Mischform zwischen Haft und Gleitreibung. Die Folge ist eine ungleichmäßige,

stockende Bewegung des Bauteils, bei der sich Ruhen- und Bewegung abwechseln. Dieser Effekt wird

als „Stick-Slip-Effekt“ bezeichnet. Eine schematische Darstellung des Zusammenhangs zeigt Abb.2.

Abb. 2: Schematische Darstellung der Reibungsverhältnisse bei Festkörperreibung

Eine mathematisch exakte Beschreibung der Reibungsverhältnisse ist nicht möglich. Daher versucht

man in der Praxis durch Messungen Aussagen über die Reibungsverhältnisse in hydraulischen

Bauteilen zu gewinnen [3]. Ein formelmäßiger Zusammenhang zur näherungsweisen Beschreibung

der Coulombschen Reibungskräfte ist in Gl.(9) dargestellt.(Tustin 1947) [3].

⋅−+=

−VTs

GRHRGRR eFFFsF&

& )()sgn( (9)

Für die Abklingkonstante VT kann dabei als Anhaltswert 0,1 angenommen werden [8]. Das Ergebnis

der Signum-Funktion ist je nach Vorzeichen bzw. Richtung der Geschwindigkeit +1 oder –1. Auf

diese Weise wird das Vorzeichen und damit die Richtung der Reibungskraft RF festgelegt.

5

3 Auswahl der Komponenten der hydraulischen Positioniervorrichtung

Dieser Arbeit liegt keine spezifische hydraulische Positioniervorrichtung mit definierten Komponen-

ten zu Grunde. Daher werden die Komponenten für die Simulationsmodellerstellung aus dem

Sortiment der Bosch Rexroth AG ausgewählt.

Der Arbeitszylinders soll bei einer Druckdifferenz von 350bar eine Kraft von etwa 250kN aufbringen.

Der Verfahrweg soll etwa 1000mm betragen. Dies lässt sich angenähert mit dem „Hydrozylinder

Rundbauart CDH3“ mit AL=100mm (vgl.Abb.3) der Bosch Rexroth AG realisieren [9].

Abb. 3: Technische Daten des „Hydrozylinders Rundbauart“ [9]

Aus der gewünschten Ausfahrgeschwindigkeit des Zylinders von etwa 0.1 m/s ergibt sich der hierfür

erforderliche Volumenstrom der Pumpe gemäß Abb.3 zu 47,7 Ltr/min.

Mit der Festlegung des Volumenstroms und der Vorgabe der Bauart der Pumpe als Axialkolbenpumpe

wird nun die „Axialkolben-Konstantpumpe A2FO“, Nenngröße NG28 (vgl. Abb.4) ausgewählt [10].

6

Abb. 4 Technische Daten der „Axialkolben-Konstantpumpe A2FO“ [10]

Der Betriebsdruck des Gesamtsystems ist auf 200bar festgelegt. Auf Basis der Daten des Betriebsdru-

ckes und des maximalen Volumenstroms von 70 Ltr/min gemäß Abb.4 erfolgt die Auswahl des

Druckbegrenzungsventils. Das Druckbegrenzungsventil muss den Betriebsdruck grundsätzlich

aufrecht erhalten und bei geschlossenem Proportionalventil den gesamten Volumenstrom der Pumpe

in den Tank zurückleiten (vgl. Abb.1). Diese Anforderung lässt sich mit dem „Druckbegrenzungsven-

til, direktgesteuert Typ DBD“, Nenngröße NG8 (Abb.5) erfüllen [11].

Abb. 5: Kennlinie des „Druckbegrenzungsventil, direktgesteuert Typ DBD“ [11]

Mit den Informationen über Betriebsdruck und Volumenströme kann die Wahl eines Proportionalven-

tils erfolgen. Für die gegebenen Betriebsdaten erweist sich das „4/3 Proportional-Wegeventil Typ

4WRA“, Nenngröße NG10, Nennvolumenstrom 30Ltr./min (Abb.6) als geeignet.

7

Abb. 6: Kennlinie des „4/3 Proportional-Wegeventil Typ 4WRA“, Nennvolumenstrom 30Ltr./min [12]

8

4 Entwicklung eines Simulationsmodells mit MATLAB-Simulink

4.1 Grundlagen der Simulationsmodellerstellung

4.1.1 Lösung von Differentialgleichungen mit MATLAB-Simulink

MATLAB-Simulink ist ein Simulationsprogramm für mathematische und physikalische Zusammen-

hänge. Mit Hilfe von Grundformeln wird ein zur Berechnung der interessierenden Größen geeignetes

Modell entworfen und in MATLAB-Simulink programmiert. Bei der anschließenden Simulation

dieses Modells wird die zeitliche Änderung der Rechengrößen ermittelt. Da physikalische Zusammen-

hänge in vielen technischen Fachgebieten sehr häufig durch Differentialgleichungen beschrieben

werden, ist MATLAB-Simulink insbesondere für die numerische Lösung von Differentialgleichungen

und Differentialgleichungssystemen ausgelegt.

Die Vorgehensweise bei der Simulationsmodellerstellung mit MATLAB-Simulink soll hier anhand

eines einfachen Beispiels erläutert werden. Gegeben ist ein schwingungsfähiges mechanisches System

bestehend aus Masse, Feder und Dämpfer mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfungskraft gemäß

Abb.7.

Abb. 7: Schwingungsfähiges mechanisches System

Mit den Grundlagen und Zusammenhängen der Mechanik kann die Differentialgleichung zur

Beschreibung der Bewegungen dieses Systems bestimmt werden (Gl.(10)). Die Reibung der Masse auf

dem Untergrund wird hier vereinfachend vernachlässigt.

0=++ cxxbxm &&& (10)

Die analytische Lösung dieser Gleichung ist mit gewissem mathematischen Aufwand möglich.

Kompliziertere Differentialgleichungen lassen sich jedoch häufig nicht mehr analytisch, sondern nur

noch numerisch lösen. Für die numerische Lösung mit MATLAB-Simulink wird Gl.(10) nach der

variablen Beschleunigung x&& aufgelöst (Gl.(11)).

c

b x

m

9

xmcx

mbx −−= &&& (11)

Zum Start von MATLAB-Simulink wird zunächst MATLAB gestartet. Durch Eingabe des Befehls

„simulink“ oder über die entsprechende Schaltfläche in der Befehlsleiste erhält man die Simulink

Bibliothek. Mit einem Klick auf die Schaltfläche „Create a New Model“ erhält man ein neues

Arbeitsblatt. Es werden nun die benötigten Blöcke und Funktionsbausteine aus der Bibliothek mit der

rechten Maustaste ausgewählt und bei gedrückter Maustaste auf das Arbeitsblatt gezogen. Zunächst

wird in der Bibliothek aus dem Menü „Math Operations“ der Sum-Block ausgewählt und auf die

Arbeitsfläche gezogen. Dieser Block hat mehrere Eingänge, die addiert oder voneinander subtrahiert

werden können. Am Ausgang des Blockes erhält man das Rechenergebnis. Veränderungen der

Blockeigenschaften (etwa Anzahl der Eingänge und deren Funktionen) lassen sich in einem Menü

einstellen, welches man durch einen Doppelklick auf den Block erhält. Als nächstes wird ein

Integrator-Block aus dem Menü „Continues“ eingefügt. Mit der rechten Maustaste werden die Blöcke

mit einer Linie verbunden. Die Linie lässt sich als Datenleitung verstehen, in welcher das Rechener-

gebnis vom Sum-Block in den Integrator geführt wird. Die physikalische Größe in dieser Datenleitung

ist in diesem Modell x&& . Die Beschriftung der Leitung kann durch Doppelklick erfolgen. Da in

Simulink die Punkte für die zeitliche Ableitung nicht dargestellt werden können, soll hier auf eine

verbreitete Darstellungsweise zurückgegriffen werden, bei welcher jede Ableitung durch ein d hinter

der Rechengröße dargestellt wird. Die erste Ableitung von x ist somit xd, die zweite xdd. Dieser

Arbeitsstand ist in Abb. 8 dargestellt.

Abb. 8 : Erste Bestandteile des erstellten Simulink-Modells

Am Ausgang des Integrator-Block ist x&& einmal integriert worden. Der Ausgang enthält also x& . Von

der x& -Leitung wird durch ziehen bei gedrückter linker Maustaste eine Leitung abgezweigt und in

einen Gain-Block (=Faktor) geführt. Als Inhalt des Gain-Blockes wird durch Doppelklick auf den

Block die Größe mb aus Gl.(11) festgelegt. Der Gain-Block hat nun am Ausgang den Wert xm

b &⋅ , was

dem ersten Term der rechten Seite der Gl.(11) entspricht. Der Ausgang des Gain-Blockes wird also

mit einem Eingang des Sum-Blockes verbunden. Durch Fortführung dieser Vorgehensweise wird das

in Abb.9a gezeigte Modell erzeugt. Dass in einem solchen Modell Ausgangsgrößen, wie hier x& und

x , als Eingangsgrößen verwendet werden, stellt für Simulationsprogramme wie MATLAB-Simulink

kein Problem dar. Das in Abb.9b dargestellte Modell ist dem Modell in Abb.9a gleichwertig. In

10

Abb.9b wurde im Sum-Block jedoch nicht die Bilanz der Beschleunigungen (Gl.(11)), sondern direkt

die Bilanz der Kräfte gemäß Gl.(10) gebildet.

a

b Abb. 9: Modell zum schwingungsfähigen mechanischen System in Abb.7. a Bilanz

der Beschleunigungen gemäß Gl.(11). b Bilanz der Kräfte gemäß Gl.(10)

Bevor die Berechnung gestartet wird, müssen die Simulationsparameter festgelegt werden. Simulink

kann ein gegebenes Modell auf verschiedene Weisen mit unterschiedlichen numerischen Algorithmen

lösen. Die Einstellungen hierzu erfolgen über die Menüleiste unter „Simulation => Simulation

parameters => Solver“. Hier kann für den verwendeten Lösungsalgorithmus grundsätzlich zwischen

Algorithmen mit variabler Schrittweite (=„variable step“) und Algorithmen mit fest vorgegebener

Schrittweite (=„fix step“) gewählt werden. Algorithmen mit fester Schrittweite berechnen die Werte

des Simulationsmodells in fest vorgebbaren Intervallen. Bei Algorithmen mit variabler Schrittweite

hingegen wird die nötige Schrittweite während der Simulation ständig neu ermittelt. Wenn sich

während der Simulation die Rechengrößen innerhalb des Simulationsmodells nur gering ändern, so

kann die Rechenschrittweite erhöht werden. Lösungsalgorithmen mit variabler Schrittweite nehmen

entsprechende Schrittweiten-Erhöhungen bei Bedarf vor. Auf diesem Weg kann die Rechenzeit für die

Berechnung des Simulationsmodells verkürzt werden. Wenn sich jedoch während der Simulation die

Rechengrößen schnell ändern, wird die variable Schrittweite häufig nicht automatisch ausreichend an

das Modell angepasst. Die Ergebnisse der Simulationsrechnung werden dann entsprechend ungenau.

Mit einigen einstellbaren Parametern kann diesem Effekt entgegengewirkt werden. Hier besteht etwa

die Möglichkeit der Begrenzung der maximalen Schrittweite. Jedoch wird damit meist auch die

Rechenzeit erhöht, der bestehende Vorteil der variablen Schrittweite also wieder aufgehoben. Für eine

bessere Kontrolle sowie präzisere Simulationsergebnisse empfiehlt sich bei der Simulation physikali-

11

scher Systeme grundsätzlich ein Lösungsalgorithmus mit fester Schrittweite. Hier stehen in Simulink

die Algorithmen „ode1“ bis „ode5“ zur Verfügung. Die Genauigkeit der Simulationsergebnisse ist bei

„ode1“ am geringsten, bei „ode5“ am größten. Jedoch wächst die benötigte Rechenzeit zur Simulation

von „ode1“ zu „ode5“ an. Für die genauere Angaben zur Funktionsweise der mit den Bezeichnungen

umschriebenen, numerischen Lösungsalgorithmen wird auf entsprechende Literatur verwiesen (z.B.

[5]).

Für die Simulation des Modells des einfachen Schwingers (Abb.9) wird die Einstellung „fix Step“,

„ode5“, Schrittweite 0,01s, Simulationsdauer 10s gewählt. Den Variablen im Simulationsmodell nach

Abb.9 werden Zahlenwerte zugewiesen. Dies kann auf der MATLAB-Oberfläche im „Command-

Window“ geschehen. Hier werden den Variablen durch Eingabe nach dem Muster „Variablenna-

me=Variablenwert“ und anschließendes Bestätigen mit der Enter-Taste Werte zugewiesen. Die

entsprechenden Variablen und die zugewiesenen Werte werden im „MATLAB-Workspace“ abgelegt,

auf den Simulink zugreifen kann. Da MATLAB nicht mit physikalischen Einheiten rechnet, werden

hier keine Einheiten angegeben. Zur Vermeidung von Einheitenumrechnungen werden alle Größen in

SI-Einheiten angenommen bzw. angegeben. Im Integrator2-Block im Modell wird die Anfangsbedin-

gung des Integrators mit 1 angegeben. Dies entspricht x zum Zeitpunkt t=0, also der Anfangsauslen-

kung des Systems.

Die Simulation wird mit der Simulationsstart-Schaltfläche im Simulink-Arbeitsblatt-Fenster gestartet.

Nach Ablauf der Simulationsrechnung zeigt der Scope-Block bei Doppelklick auf den Block die

graphische Darstellung seiner Eingangsgröße über der Simulationszeit. Das Simulationsergebnis für x

bei Eingabe von entsprechenden Zahlenwerten für die Variablen zeigt Abb.10.

Abb. 10: Simulationsergebnis mit den angegebenen Variablenwerten

In den Workspace eingegebene Variablenwerte:

3=b 100=c 5=m

Integrator2-Startwert:

1

12

Zur Verdeutlichung der Bedeutung der richtigen Einstellung des Lösungsalgorithmus zeigt Abb.11a

das Simulationsergebnis mit den in Abb.10 vorgegebenen Variablenwerten, jedoch einem „Variable

Step“, „ode45“ Lösungsalgorithmus. Das Simulationsergebnis bei gleichen Variablenwerten mit

einem „fix step“, „ode5“ Lösungsalgorithmus mit der Schrittweite 0,5s zeigt Abb.11b. Beide

Simulationsergebnisse weichen deutlich von Abb.10 ab. Die gewählten Einstellungen sind für das

simulierte System ungeeignet.

a b

Abb. 11: Simulationsergebnisse, a „Variable Step“, „ode45“ Lösungsalgorithmus b „fix step“, „ode5“, Lösungsalgorithmus, Schrittweite 0,5s

Die Eingabe der Werte für die während der Simulation nicht veränderlichen Variablen und System-

größen erfolgte bisher im MATLAB „Command Window“ (s.o.). Für die Simulation größerer Systeme

empfiehlt sich die Erstellung einer Initialisierungsdatei. Hierfür wird eine MATLAB-Datei erzeugt, in

welcher Variablen definiert und Ihnen Werte zugewiesen werden. Nachdem die Datei einmal von

MATLAB abgearbeitet wurde, sind die Variablen im MATLAB „Workspace“ abgelegt und Simulink

kann auf die Variablen zugreifen. Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass von beliebigen Stellen

im Simulationsmodell auf die Variablen zugegriffen werden kann. Dadurch müssen Variablen bei

Bedarf nur an einer Stelle, in der Initialisierungsdatei, manuell geändert werden. Der Aufruf von

Initialisierungsdateien beim Simulationsstart kann automatisch erfolgen. Hierfür muss im Simulink-

Arbeits-Fenster unter „File => model properties => Callbacks“ der Name der entsprechenden

MATLAB-Datei angegeben werden.

13

Abb. 12: System aus zwei mit einem Fluid gefüllten Behältern mit Verbindungsleitung

4.1.2 Modellbildung von mehrkomponentigen, fluidgefüllten Systemen

Bei der Erstellung von komplexeren, aus mehreren Einheiten bestehenden Simulationsmodellen sind

vor der Simulationserstellung einige Überlegungen zur Modellbildung erforderlich.

Für die physikalische, formelmäßige Beschreibung hydraulischer Systeme ist eine Kombination aus

technischer Mechanik, Thermodynamik und Fluidmechanik erforderlich. Das Fluid wird in seinen

Eigenschaften und Wirkungen mit den Zusammenhängen der Thermodynamik und der Fluidmechanik

beschrieben. Die Beschreibung der Bewegung der Festkörper, etwa der Kolben von Zylindern, erfolgt

durch die Zusammenhänge technischen Mechanik.

Bei der Bildung eines Simulationsmodells eines mit Fluiden gefüllten oder von Fluiden durchströmten

Systems kann wie im Folgenden dargestellt vorgegangen werden:

Das Gesamtsystem wird in Einzelkomponenten aufgeteilt. Dann werden die Einzelkomponenten

eingeteilt in „Volumen“ und „Steuerelemente“. Als Volumen werden dabei alle Systemkomponenten

angesehen, welche im Verhältnis zu anderen Bauteilen eine große Menge Fluid enthalten. Für die

Beschreibung eines Volumens sind die Eigenschaften des in ihm enthaltenen Fluides maßgeblich.

Die Steuerelemente steuern den Fluidaustausch zwischen den als Volumen betrachteten Systemkom-

ponenten. In den Steuerelementen ist in der Realität wenig oder gar kein Fluid enthalten, so dass die

Fluideigenschaften bzw. die Änderungen der Fluideigenschaften in ihnen in der Simulation vernach-

lässigt werden können.

Zur Verdeutlichung dieser Vorgehensweise zeigt Abb.12 als Beispiel ein einfaches System, bestehend

aus zwei geschlossenen Behältern welche durch ein Rohr verbunden sind. Behälter1 hat einen Zufluss,

Behälter2 einen Abfluss. In diesem System werden die Behälter als Volumen betrachtet. Der Zufluss

und der Abfluss sowie die Leitung zwischen den Behältern werden als Steuerelemente betrachtet. Ihr

Volumen wird vernachlässigt.

Behälter 1 Behälter 2 Verbindungs-leitung

Zufluss

Abfluss

14

Nach der Einteilung des Systems in Volumen und Steuerelemente erfolgt das Aufstellen der Glei-

chungen, welche die Vorgänge in den jeweiligen Komponenten beschreiben. Bei den Volumen sind

dies Bilanzgleichungen von Masse und Energie, aus denen sich der Zustand des Fluides im Volumen

ergibt. Die Gleichungen der Steuerelemente beschreiben den Fluidmassenstrom zwischen den an ihnen

angeschlossenen Volumen. Die Fluidmassenströme ergeben sich dabei infolge der unterschiedlichen

Zustände der Fluide in den Volumen.

In dem Beispiel aus Abb.12 werden also für jeden Behälter die Massenbilanzen und die Energiebilan-

zen aufgestellt. Aus ihnen ergibt sich jeweils der Zustand des Fluides im Behälter. Er wird beschrieben

durch Druck, Temperatur und Dichte (bei kompressiblen Fluiden), sowie Fluidzusammensetzung (bei

veränderlichen Fluidgemischen). Die das Verbindungsrohr beschreibenden Gleichungen geben die

Größe des Massenstroms von einem Behälter in den anderen infolge der Druckdifferenz zwischen den

Behältern an. Der Zustand des Fluides dieses Massenstromes entspricht jeweils dem Zustand in jenem

Behälter, von dem der Massenstrom abfließt. Die Gleichungen für den Zufluss zu Behälter1 geben den

dem Behälter1 zugeführten Fluidmassenstrom an. Dieser Fluidmassenstrom ergibt sich aus der

Druckdifferenz zwischen Zufluss und Behälter1. Der Zustand des Fluides dieses Massenstroms wird

fest vorgegeben. Der aus Behälter2 durch den Abfluss abfließende Massenstrom ergibt sich aus den

Gleichungen für den Abfluss infolge der Druckdifferenz zwischen Behälter2 und Umgebung. Der

Zustand des abfließenden Fluides entspricht dem Fluidzustand im Behälter2.

Den Zusammenhang der Systemkomponenten sowie den Zusammenhang zwischen Eingangsrechen-

größen und Ausgangsrechengrößen dieses Beispielsystems zeigt Abb.13. Zu beachten ist hier, dass die

Pfeilrichtungen nicht die Richtungen der richtungsbehafteten physikalischen Größen darstellen. Die

Pfeilrichtungen geben die Weiterleitungsrichtung der Information über die bestreffende Größe an. So

stellen etwa die mit Q bezeichneten Pfeile nicht die Richtung eines Volumenstromes dar. Sie geben

an, wie die Information über den jeweiligen Volumenstrom weitergeleitet wird. Diese Information

besteht aus dem Wert für die Größe des Volumenstroms und dem Vorzeichen dieses Wertes. Das

Vorzeichen gibt die Richtung des Volumenstroms an und steht nicht in Verbindung mit der Pfeilrich-

tung. Die Systemkomponente, in welchem eine physikalische Größe berechnet wird bleibt immer die

gleiche. Von Ihr gehen die Informationspfeile grundsätzlich ab und geben die Information über die

berechnete Größe an die anderen Systemkomponenten weiter.

15

Abb. 13: Berechnungsschema zum System aus zwei mit einem Fluid gefüllten Behältern mit Verbindungsleitung gemäß Abb. 12

T2,ρ2,X2

Q1-2

p2

T1,ρ1,X1

Q1-2

p1

Tzu,ρzu,Xzu p1 Qzu-1

Behälter 1 Gleichungen zurBerechnung von: -Druck p1 -Temperatur T1 -Dichte ρ1 -Zusammensetzung X1 aus Eingangsgrößen: -Zu- und abgeführten Volumenströmen Q -Fluidzustandsgrößen der Volumenströme

Verbindungsleitung Gleichungen zur Berechnung von: -Volumenstrom Q1-2 Festlegung der Fluidzustandsgrößen von Q1-2 als: -T1,ρ1,X1

bei Fließrichtung 1-2 -T2,ρ2,X2 bei Fließrichtung 2-1

Behälter 2 Gleichungen zur Berechnung von: -Druck p2 -Temperatur T2 -Dichte ρ2 -Zusammensetzung X2 aus Eingangsgrößen: -Zu- und abgeführten Volumenströmen Q -Fluidzustandsgrößen der Volumenströme

Zufluss Gleichungen zur Berechnung von: -Volumenstrom Qzu-1

Q2-ab p2

Abfluss Gleichungen zur Berechnung von: -Volumenstrom Q2-ab

16

4.2 Betrachtung der hydraulischen Positioniervorrichtung als Gesamtsystem

Die in 4.1.2 dargestellten Grundlagen werden nun auf die in Abb.1 gegebene hydraulische Positionier-

vorrichtung angewendet. Eine Besonderheit bei der Betrachtung von hydraulischen Anlagen gegen-

über der allgemeinen Betrachtung thermodynamischer Systeme stellt der Zusammenhang zwischen

Massenstrom und Volumenstrom dar. In der Ölhydraulik ist das verwendete Fluid im System eine

Flüssigkeit, das Hydrauliköl. Das Volumen einer Flüssigkeit ist nur in sehr geringem Maße von den

Zustandsgrößen der Flüssigkeit (Druck, Temperatur, ... ) abhängig. Der Grenzfall dieser Betrachtung

ist die Annahme von Flüssigkeiten als inkompressibele Fluide. Wie in Gl.(6) gezeigt, ist Hydrauliköl

nicht inkompressibel. Die Volumenänderungen von Hydrauliköl sind jedoch im Verhältnis zur Größe

des betrachteten Gesamtvolumen sehr gering. Zu berücksichtigende Änderungen des Volumens

ergeben sich damit vorrangig bei Betrachtung großer Ölvolumen. Dies führt dazu, dass bei System-

komponenten die im Sinne von Kapitel 4.1.2 als Volumen betrachtet werden, die Kompressibilität des

Öls ein wesentlicher Berechnungsbestandteil ist. Hingegen werden bei Komponenten, die im Sinne

von Kapitel 4.1.2 als Steuerelemente betrachtet werden, die Volumeneigenschaften und damit auch die

Kompressibilität des Öls vernachlässigt. Die unterschiedlichen Zustandsgrößen in den als Volumen

betrachteten Systemkomponenten führen dazu, dass in einer von einem Volumen in ein anderes

Volumen strömenden Ölmenge Volumenänderungen aufgrund von Zustandsänderungen auftreten.

Diese Volumenänderungen sind jedoch gering und können in der Ölhydraulik näherungsweise

vernachlässigt werden. Damit kann das Öl bei der Beschreibung der strömenden Ölmenge zwischen

zwei als Volumen betrachteten Systemkomponenten als inkompressibles Fluid angesehen werden.

Anstelle des Massenstroms des Öls kann daher zur Beschreibung einer strömenden Ölmenge der

Ölvolumenstrom verwendet werden.

Die Aufteilung des mit der hydraulischen Positioniervorrichtung gegebenen Gesamtsystems in

Volumen und Steuerelemente sowie die Festlegung der Ein- und Ausgangsgrößen für jede System-

komponente ergeben sich damit folgendermaßen:

• Die Pumpe wird als Steuerelement angesehen. Die Eigenschaften des in ihr enthaltenen Ölvo-

lumens werden vernachlässigt. Die Pumpe liefert als Ausgangsgröße den von ihr geförderten

Volumenstrom.

• Die Rohrleitungen bzw. Schläuche werden aufgrund Ihrer Speicherwirkung für das Hydrau-

liköl als Volumen betrachtet. Ihnen werden Volumenströme zu- bzw. abgeführt, woraus sich

die Zustandsgrößen (Druck, Temperatur, ...) des Öls im Inneren der Leitungen bzw. Schläuche

ergibt.

17

• Das Druckbegrenzungsventil wird als Steuerelement betrachtet. Es steuert den aus dem Sys-

tem abgeführten Volumenstrom in Abhängigkeit vom Druck im System. Der Volumenstrom

wird dabei so variiert, dass sich ein konstanter Druck im System einstellt.

• Das Proportionalventil stellt ein typisches Steuerelement dar. Das im Ventil enthaltene Ölvo-

lumen ist im Verhältnis zu dem in den anderen Komponenten enthaltenen Ölvolumen sehr ge-

ring. Die Zustandsgrößen des Öls im Ventil werden also vernachlässigt. Das

Proportionalventil steuert den Ölvolumenstrom zwischen den angeschlossenen, als Volumen

betrachteten Leitungen. Die Volumenströme sind dabei von den Zustandsunterschieden des

Öls in den angeschlossenen Leitungen sowie von der Ventilschieberstellung abhängig.

• Die beiden Kammern des Zylinders werden aufgrund des im Verhältnis zu den anderen Bau-

teilen großen enthaltenen Ölvolumen jeweils als Volumen betrachtet. Diese Betrachtung des

Zylinders ist sehr stark vereinfacht und dient nur dem Erhalt einer Übersicht über das Ge-

samtmodell. Aufgrund der Bewegung des Kolbens, welcher für beide Kammern die Begren-

zung darstellt ergibt sich eine Vielzahl von Abhängigkeiten zwischen den Kammern.

Der Zylinder ist mit den an ihm angeschlossenen Schläuchen verbunden. Da die Zylinder-

kammern sowie auch die Schläuche jeweils als Volumen betracht werden, bedarf es eines

Steuerelementes, welches den Volumenstrom zwischen diesen Volumen beschreibt. Diese

Steuerelemente stellen hier die Leitungsanschlüsse des Zylinders dar.

Den Zusammenhang der Bauteile sowie den Zusammenhang zwischen Eingangsrechengrößen und

Ausgangsrechengrößen der Komponenten der hydraulischen Positioniervorrichtung zeigt Abb.14.

18

p2 Q2-LeitungC Q1-LeitungB p1

pB Qk1-LeitungB pC Qk2-LeitungC

QPV-LeitungB pB pC QPV-LeitungC

pA QPV-LeitungA

pA QDBV-LeitungA QP-LeitungA

Abb. 14: Vereinfachtes Berechnungsschema einer hydraulischen Positioniervorrichtung (Abb.1)

Zylinder Gleichungen zur Berechnung von: aus Eingangsgrößen: -Druck in Kammer1 p1 -Volumenstrom Kammer1-LeitungB Q1-LeitungB -Druck in Kammer2 p2 -Volumenstrom Kammer2-LeitungC Q2-LeitungC -Weg des Kolbens s

Zylinderleitungsanschluss Kammer1 Gleichungen zur Berechnung von: -Volumenstrom Q1-LeitungB aus Eingangsgrößen: -Zylinderkammerdruck p1 -Leitungsdruck pB

Zylinderleitungsanschluss Kammer2 Gleichungen zur Berechnung von: -Volumenstrom Q2-LeitungC aus Eingangsgrößen: -Zylinderkammerdruck p2 -Leitungsdruck pC

Leitung B Gleichungen zur Berechnung von: -Leitungsdruck pB aus Eingangsgrößen: -Zu- und abgeführten Volumenströmen Q

Leitung C Gleichungen zur Berechnung von: -Leitungsdruck pC aus Eingangsgrößen: -Zu- und abgeführten Volumenströmen Q

Proportionalventil Gleichungen zur Berechnung von: -Kolbenschieberposition -Durchflussmöglichkeiten und Wege durch das Ventil infolge der Kolbenschieberposition -Volumenströmen QPV zwischen verbundenen Ein- und Ausgängen infolge von Druckdifferenzen

Leitung A Gleichungen zur Berechnung von: -Leitungsdruck pA aus Eingangsgrößen: -Zu- und abgeführten Volumenströmen Q

Pumpe Gleichungen zur Berechnung von: -Gefördertem Volumenstrom QP

Druckbegrenzungsventil Gleichungen zur Berechnung von: -Abgelassenem Volumenstrom QV aus Eingangsgrößen: -Leitungsdruck pA

19

4.3 Modellierung der Komponenten

4.3.1 Hydrauliköl

Für die Simulation aller Komponenten der hydraulischen Positioniervorrichtung sind die Eigenschaf-

ten des verwendeten Hydrauliköls von Bedeutung. In dieser Arbeit soll die Verwendung eines HLP 46

Hydrauliköls zu Grunde gelegt werden. Die Wahl dieses Öls ist insbesondere darin begründet, dass in

den Datenblättern von hydraulischen Bauteilen die meisten Angaben zur Funktion der Bauteile auf die

Verwendung dieses Öltyps bezogen sind.

Die wesentlichen Eigenschaften eines Hydrauliköls sind die Kompressibilität bzw. der Kompressi-

onsmodul, die kinematische und die dynamische Viskosität sowie die Dichte. Die Dichte und die

Viskosität von Hydrauliköl sind vom Druck und von der Temperatur des Öls abhängig [1]. Bei der

Simulation können diese Zusammenhänge berücksichtigt werden. Hierfür müssen die allgemeinen

mathematischen Zusammenhänge zwischen Druck, Temperatur, Dichte und Viskosität ermittelt und

im Simulationsprogramm hinterlegt werden. Sind die Zusammenhänge in der Simulation beschrieben,

so können die Öleigenschaften an verschiedenen Stellen in der simulierten hydraulischen Anlage

berechnet werden. Die Komplexität des entstehenden Simulationsmodells kann durch die Anzahl der

Positionen, für welche die Öleigenschaften berechnet werden, beliebig erweitert werden.

Für eine angenäherte Betrachtung, wird jedoch im Folgenden die Abhängigkeit der Viskosität vom

Druck vernachlässigt.

Zur Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit von Ölviskosität und Dichte muss die sich in der

Anlage einstellende Öltemperatur ermittelt werden. Diese Ermittlung erfolgt über Energie bzw.

Wärmebilanzrechnungen. Die Aufstellung hierfür erforderlicher Gleichungen und die Bildung

entsprechender Modelle gestaltet sich schwierig. So können beispielsweise Kenngrößen über die

Wärmeleitfähigkeit der verwendeten Komponenten und des Öls nur durch Messungen gewonnen

werden. Die Wärmeübertragung der Komponenten an die Umgebung ist ebenfalls nur durch Messun-

gen zu ermitteln und zusätzlich von vielen äußeren Faktoren abhängig. Die Untersuchung solcher

Zusammenhänge soll an dieser Stelle erwähnt werden, jedoch nicht Bestandteil dieser Arbeit sein. Im

folgenden wird für das Öl innerhalb der hydraulischen Positioniervorrichtung eine Betriebstemperatur

von 40°C festgelegt. Die Positioniervorrichtung wird im Betrieb keiner stark wechselnden Belastung

ausgesetzt. Daher stellt die Annahme einer konstanten Temperatur infolge eines sich einstellenden

Gleichgewichtes zwischen Energiezufuhr durch die Pumpe und Energieabfuhr durch Wärmeabfuhr an

die Umgebung eine gute Näherung an die realen Gegebenheiten dar.

Mit der Annahme konstanter Größen für die Öleigenschaften ist zur Beschreibung des Öls kein

Simulationsmodell, sondern nur eine Initialisierungsdatei gemäß Kapitel 4.1.1 erforderlich. Ein

Beispiel einer solchen Initialisierungsdatei für das verwendete Öl zeigt Abb.15. Die Angabe der

Größen in SI-Einheiten verringert den Umfang des späteren Simulationsmodells, da im Simulations-

20

modell keine Einheitenumrechnungen erfolgen müssen. Auch das Risiko von Fehlern im Simulati-

onsmodell infolge fehlerhafter Einheitenumrechnungen wird verringert.

Die technischen Daten des Hydrauliköls sind der Literatur zu entnehmen [1,16].

Abb. 15: Initialisierungsdatei mit den Daten des Hydrauliköls im Betriebszustand

21

4.3.2 Verdrängerpumpe

4.3.2.1 Physikalische Grundlagen

Verdrängerpumpen erzeugen aufgrund Ihrer Bauart keinen gleichmäßigen Volumenstrom. Durch die

endliche Zahl von Verdrängerelementen (Flügel, Kolben, Zähne, ... ), wird ein schwankender bzw.

pulsierender Volumenstrom erzeugt. Dies hat zur Folge, dass in einer hydraulischen Anlage sowohl

das Fördervolumen als auch der damit zusammenhängende Druck in der Anlage Schwankungen

unterliegt. Diese Schwankungen sind generell unerwünscht, da sie in hydraulischen Systemen eine

Anregung für Schwingungen liefern. Die Entsehung der Pulsation des Volumenstroms ist in Abb.16

beispielhaft für eine Kolbenpumpe mit 6 Kolben dargestellt. Die zeitliche Änderung des Volumens

jeder Zylinderkammer während einer Umdrehung lässt sich Näherungsweise durch eine Sinus-

Funktion beschreiben1. Sie entspricht dem Volumenstrom in diese Kammer (negative Sinus-

Halbwelle) bzw. aus der Kammer heraus (positive Sinus-Halbwelle). Die Überlagerung der Volumen-

ströme der einzelnen Zylinder führt zum Gesamtvolumenstrom.

Abb. 16: Darstellung des pulsierenden Gesamtförderstroms einer Kolbenpumpe mit 6 Kolben durch Addition der Teilförderströme [4]

Generell nimmt bei Verdrängerpumpen die Amplitude der Pulsation mit steigender Zahl von Verdrän-

gerelementen ab. Die Frequenz der Pulsation erhöht sich mit steigender Zahl von Verdrängerelemen-

ten. Für Kolbenpumpen ergibt sich gem. Abb.17 der Einsatz von 7 Kolben als Kompromiss zwischen

möglichst geringer Ungleichförmigkeit (=Maß für die Pulsation), und wirtschaftlicher technischer

Umsetzbarkeit.

1 Axialkolbenpumpen: Zeitliche Zylindervolumenänderung = Sinus-Funktion Radialkolbenpumpen: Zeitliche Zylindervolumenänderung ≈ Sinus-Funktion

22

Abb. 17: Förderstromungleichförmigkeit bei Kolbenpumpen mit verschiedener Kolbenzahl [4]

4.3.2.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink

Für die durchgeführte Simulation wird wie in Kapitel 3 dargestellt die „Axialkolben-Konstantpumpe

A2FO, Nenngröße NG28“ (vgl. Abb.3) von der Bosch Rexroth AG verwendet. Der wesentliche

Aspekt bei der Simulation ist die Darstellung der unter 4.3.2.1 erläuterten Volumenstrompulsation.

Die Volumeneigenschaften des in der Pumpe enthaltenen Öls werden vernachlässigt (vgl. Kapitel 4.2)

Zur Erzeugung des Simulationsmodells werden zunächst Sinus-Kurven der Amplitude 1 verwendet.

Diese können in Simulink mit dem Sinus-Generator erzeugt werden. Die Anzahl der Kolben der

verwendeten Pumpe ist dem Datenblatt [10] nicht zu entnehmen. Da sich, wie in Kapitel 4.3.2.1

gezeigt, die Verwendung von 7 Kolben als besonders günstig erweist, wird die Pumpe in der Simulati-

on mit 7 Kolben simuliert (Abb.18). Von den Sinuskurven wird gemäß Abb.16 nur die positive

Halbwelle benötigt. Mit dem Saturation-Block wird also das jeweils erzeugte Sinus-Signal auf den

Wertebereich zwischen 0 und 1 begrenzt. Für Sinus-Werte kleiner 1 liefert der Saturation-Block den

Ausgabewert 0. In den Sinus-Generatoren wird die Eigenkreisfrequenz ω gemäß Gl.(12) und die

jeweilige Phasenverschiebung ϕ gemäß Gl.(13) angegeben.

n⋅= πω 2 (12)

72 i

⋅= πϕ mit i = Zylindernummer (1..7) (13)

Die Drehzahl wird in einer erstellten Initialisierungsdatei in Anlehnung an das Datenblatt der Pumpe

[10] zu n=2000min-1 vorgegeben. Die sieben auf diese Weise erzeugten Signale werden in dem Mux-

Block zu einem Vektor zusammengefasst. Dieser enthält als erstes Element das erste Eingangssignal

23

als zweites Element das zweite Eingangssignal usw. Die breite Linie ab dem Ausgang des Mux-

Blockes weist darauf hin, das diese Leitung einen Vektor enthält. (Einzustellen über „Format =>

Wide nonscalar lines“). Der Summe-Block bildet die Summe der Elemente des Vektors.

Abb. 18: Simulationsmodell zur Simulation der Volumenstrompulsation durch Addition von Teilförderströmen

für eine Pumpe mit sieben Zylindern

Besonderer Bedeutung kommt bei der Simulation des so entstandenen Modells der Wahl der Simulati-

onsparameter zu. In Anlehnung an Kapitel 4.1.1 wird ein Lösungsalgorithmus mit fester Schrittweite

gewählt. Bei einer Drehzahl von 2000min-1 beträgt die Zeit für eine Umdrehung 0,03s. In dieser Zeit

werden 14 Schwingungszyklen der Pulsation des Gesamtförderstroms ausgeführt (vgl. Abb.17). Zur

genauen Darstellung empfiehlt es sich, jeden der 14 Schwingungszyklen durch die Berechnung der

Funktionswerte an mindestens 10 Stellen zu beschreiben. Es ergibt sich daraus die Rechenschrittweite

zu maximal 0,000014s. Da während der Simulation zunächst eine Umdrehung der Pumpenwelle

dargestellt werden soll, wird die Simulationsdauer auf 0,03s eingestellt. Das Ergebnis der Simulation

mit diesen Parametern zeigt Abb.19.

24

Abb. 19: Simulationsergebnis der Teilförderströme und der Addition der Teilförderströme

zum Gesamtförderstrom (Abb.18)

In dem Modell mit Sinusschwingungen der Amplitude 1 ergibt sich für die aus der Summe der

positiven Sinus-Halbwellen entstehenden Kurve gemäß Abb.19 ein Mittelwert von etwa 2,25. Dieser

Wert entspricht dem mittleren geförderten Volumenstrom. Eine physikalische Einheit liegt hier noch

nicht fest, da eine Einheit in der bisherigen Simulation nur für die Zeit, nicht für die Volumen- bzw.

Volumenstrombetrachtung festgelegt wurde. In Datenblättern wird der Volumenstrom in den meisten

Fällen in Ltr/min angegeben, weshalb die Einheit der Amplituden der erstellten Simulation ebenfalls

zu Ltr/min festgelegt wird. Der mittlere geförderte Volumenstrom der gewählten Axialkolbenpumpe

beträgt 70 Ltr/min bei 2500min-1 (vgl.[10]). Das bisherige Simulationsmodell wird nun an die

Datenblattangaben angepasst. Hierfür bedarf es der Beschreibung der Amplituden der Sinusschwin-

gungen durch eine drehzahlabhängige Funktion, so dass sich bei der Drehzahl 2500min-1 ein mittlerer

Gesamtvolumenstrom von 70Ltr/min einstellt. Die Formulierung eines derartigen Zusammenhangs für

jeden einzelnen Zylinder gestaltet sich schwierig. Einfacher erscheint die Formulierung eines

Zusammenhanges für den Gesamtvolumenstrom. Der Mittelwert dieses Volumenstroms beträgt bei

Sinusschwingungen der Amplitude 1 wie oben gezeigt etwa 2,25Ltr/min. Dieser Wert wurde durch

Ablesen aus Abb.19 ermittelt.

Eine genauere, rechnerische Ermittlung kann gemäß Gl.(14) erfolgen. [4]

0

0max

)sin(ϕ

ϕ⋅= QQm mit

z20π

ϕ = mit hlZylinderzaz = (14)

25

In Gl.(14) ist der maximale Wert des Gesamtvolumenstroms maxQ eine unbekannte Größe. Der

Maximalwert des Gesamtvolumenstroms kann jedoch, im Gegensatz zum Mittelwert des Gesamtvo-

lumenstroms, durch Simulation genau bestimmt werden. Hierfür wird das Simulationsmodell aus

Abb.18 erweitert, wie es in Abb.20 dargestellt ist.

Abb. 20: Erweitertes Simulationsmodell zur Bestimmung des Maximalwertes des Gesamtvolumenstroms

In dieser Erweiterung speichert der Memory-Block das Ergebnis des vorherigen Simalationsschrittes.

Anschließend erfolgt im Summe-Block der Vergleich zwischen dem aktuellen Wert und jenem, aus

dem vorherigen Simulationsschritt. Steigt die Volumenstromfunktion an, ist der aktuelle Wert größer

als jener des vorhergehenden Simulationsschrittes, die Summe ist also großer 0. Dem Switch-Block

wird als Schaltkriterium der Wert 0 zugewiesen. Liegt am mittleren Schaltereingang ein Wert größer 0

an, so bleibt der Schalter in der oberen Position und versorgt den Stopp-Block mit dem Signal 0. Fällt

die Volumenstromfunktion, so wird die Summe aus aktuellem und vorherigem Simulationswert

kleiner als 0. Damit wird auch der mittlere Schaltereingang kleiner 0. Der Schalter schaltet auf den

unteren Eingang um und versorgt den Stop-Block mit dem Wert 1, woraufhin dieser die gesamte

Simulation unterbricht. Im Display-Block erhält man so den Maximalwert der Volumenstromfunktion

zu minmax 247,2 LtrQ = . Die Genauigkeit dieses Wertes hängt dabei von der Simulationsschrittweite ab.

Bei der bisher gewählten Schrittweite von 0,00001s liegt die Abweichung zwischen aktuellem und

26

vorhergehendem Simulationswert bei Angabe des Volumenstromes in Ltr/min jenseits der dritten

Nachkommastelle (Abb.20).

Mit dem Maximalwert des Volumenstroms wird gemäß Gl.(14) der mittlere Gesamtvolumenstrom bei

Sinusschwingungen der Amplitude 1 zu min_ 228,2 LtrnormmQ = bestimmt. Die Division des Gesamtvo-

lumenstromes bei Sinusschwingungen der Amplitude 1 (Abb.19) durch normmQ _ ergibt den auf den

Mittelwert 1 normierten Gesamtvolumenstrom. Die Multiplikation dieses Wertes mit dem Verdrän-

gungsvolumen der Pumpe und der aktuellen Pumpendrehzahl ergibt den momentan geförderten

Volumenstrom. Die Umsetzung dieses Zusammenhanges im Simulationsmodell zeigen Abb.21 und

Abb.22.

Im Simualtionsmodell (Abb.22) wurden die Sinus-Generator-Blocke durch Funktionsgleichungs-

Blöcke („User-Defined-Functions“) ersetzt. Die Drehzahl als Eingangsgröße der Funktionsgleichungs-

Blöcke wird weiterhin als konstant angenommen und in der Initialisierungsdatei vorgegeben (Abb.22).

Die Verwendung der Funktionsgleichungs-Blöcke erlaubt jedoch die Betrachtung der Drehzahl als

während der Simulation variierende Größe. Dies kann für weiterführende Simulationen von Interesse

sein. Beispielhaft sei hier der Simulation der Abhängigkeiten zwischen Pumpe und Pumpenantriebs-

maschine bei schwankender Pumpenbelastung angeführt.

Für den von der Pumpe insgesamt geförderten Volumenstrom ergibt sich mit dem Modell gemäß

Abb.21 bei einer Drehzahl von 2500min-1 wie im Datenblatt [10] vorgegeben ein Mittelwert von

min70 LtrmQ = (Abb.23).

Abb. 21: Initialisierungsdatei zum Simulationsmodell der Axialkolbenpumpe (Abb.22)

27

Abb. 22: Simulationsmodell der Axialkolbenpumpe

28

Abb. 23: Simulationsergebnis des Simulationsmodells der Axialkolbenpumpe (Abb.21) bei n = 2500min-1

4.3.2.3 Evaluation des Modells

Das Simulationsergebnis (Abb.23) des Modells der Axialkolbenpumpe zeigt den erwarteten, pulsie-

renden Volumenstrom. Das Modell berücksichtigt jedoch nur die Volumenstrompulsation aufgrund

der geometrischen Gegebenheiten. Neben diesen geometrischen Gegebenheiten haben nach [4] noch

weitere Konstruktionsmerkmale von Pumpen Einfluss auf die Pulsation. Der Zeitpunkt der Umsteue-

rung etwa kann ein Rückströmen des Öls aus der Druckleitung in den Zylinder zur Folge haben.

Hierdurch ergeben sich zusätzliche Druckschwankungen im System. Auch Leckströme und die

Betriebsparameter Druck und Ölviskosität haben nach [4] Einfluss auf die Pulsation.

Weiterhin wird die Kompressibilität des Öls bei der Bildung des Simulationsmodells vernachlässigt.

Diese hat, insbesondere in Zusammenwirkung mit dem Zeitpunkt der Umsteuerung, ebenfalls Einfluss

auf die real entstehende Pulsation.

Das Simulationsergebnis des Modells der Pumpe (Abb.23) entspricht also den Erwartungen an das

Modell. Jedoch ist es unter dem Aspekt zu deuten, dass das Modell viele Vereinfachungen und

Vernachlässigungen aufweist. Die reale Volumenstrompulsation einer Pumpe liefert keinen gleichmä-

ßigen Funktionsverlauf und ist häufig größer, als dies aus den geometrischen Gegebenheiten ermittelt

werden kann [4].

Bezüglich der Umsetzung des Modells der Pumpe lässt sich überlegen, ob eine zeilenweise Program-

mierung Vorteile gegenüber der Umsetzung in Simulink-Blockschaltbildern hat. Bei einer zeilenwei-

sen Programmierung könnten zum Beispiel die für alle Zylinder gleichen Berechnungen in Schleifen

erfolgen. Auch wäre die Zylinderzahl variabel zu gestalten. Da jedoch in ein Simulink-Modell

eingebundene, zeilenweise programmierte Elemente die Berechnungsdauer des Simulationsmodells

deutlich erhöhen, soll hier auf eine derartige Vorgehensweise nicht näher eingegangen werden.

29

4.3.3 Rohrleitungen und Hydraulikschläuche

4.3.3.1 Physikalische Grundlagen

Schläuche und Rohrleitungen werden gemäß Kapitel 4.2 als Volumen betrachtet. Ihnen werden

Ölvolumenströme zugeführt und abgeführt, woraus sich die Zustandsgrößen des Hydrauliköls in ihrem

inneren ergeben. Die Änderungen der Öltemperatur in den Leitungen werden hier vernachlässigt

(vgl.4.3.1). Das sich in den Leitungen einstellende Druckniveau ist jedoch für die Funktion von

hydraulischen Anlagen von wesentlicher Bedeutung und soll hier genauer betrachtet werden. Das

Druckniveau ergibt sich infolge der Kompressibilität des Öls sowie der zugeführten und abgeführten

Ölvolumenströme. Aus Gl.(6) und Gl.(7) ergibt sich der in Gl.(15) dargestellte Zusammenhang.

pCQQ abzu &⋅=− => pCdtQQ abzu ⋅=−∫ )( (15)

In dieser Betrachtung ist der Druck in der Leitung nur von der Zeit, nicht vom Ort abhängig. Insbe-

sondere in langen Hydraulikleitungen treten jedoch Druckverluste über der Länge der Leitungen auf.

Sie resultieren aus den Reibungsverlusten beim Strömen des Öls durch die Leitungen. Weiterhin treten

in Hydraulikleitungen ortsabhängige Druckverluste infolge von Beschleunigungen der Hydraulikflüs-

sigkeit auf. Sie resultieren aus bei Beschleunigung des massebehafteten Hydrauliköls wirkenden

Trägheitskräften. (vgl. Kapitel 2.1). Die mathematische Beschreibung und Modellierung dieser beiden

Effekte ist aufwendig. Genauere Betrachtungen liefert z.B. [17].

Im Folgenden werden diese Effekte unter der Begründung der Verwendung von kurzen Hydrauliklei-

tungen vernachlässigt.

4.3.3.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink

Mit den in 4.3.3.1 getroffenen Annahmen wird Gl.(15) in einem Simulink-Modell modelliert

(Abb.25). Die Vorzeichen der Volumenströme werden dabei so vereinbart, dass der Leitung zugeführ-

te Volumenströme als positiv und abgeführte Volumenströme als negativ betrachtet werden. In der

Initialisierungsdatei (Abb.24) werden die Geometriedaten der Leitung festgelegt sowie die hydrauli-

sche Kapazität des Öls ermittelt. Der Kompressionsmodul K des Öls wird hierbei als in Simulink

bekannt vorausgesetzt. Damit dies auch zutrifft, muss vor dem Start der Initialisierungsdatei der

Leitung die Initialisierungsdatei des Öls (Abb.15) abgearbeitet sein. Im Simulink-Modell muss

entsprechend unter „Model Properties => Callbacks“ zuerst die Initialisierungsdatei des Öls und dann

die Initialisierungsdatei der Leitungen aufgerufen werden.

Die Faktoren vor dem Scope-Block und nach den Eingabe-Blöcken (Abb.25) erlauben die Eingabe der

Volumenströme in minLtr und sorgen für die Ausgabe des Druckes in bar.

30

Die hydraulische Kapazität der Leitungen wird in diesem Modell gemäß [15] vernachlässigt. Soll die

Kapazität der Leitungen berücksichtigt werden, so werden entsprechende Ansätze z.B. in [2] aufge-

zeigt.

Für die Simulation wird als Lösungsalgorithmus „fix step“, „ode5“ mit einer Schrittweite von 0.01s

gewählt. Die Simulationsdauer wird auf 2s festgelegt. Das Ergebnis der Simulation mit den in Abb.25

angegebenen Werten für die Volumenströme zeigt Abb.26.

Abb. 24: Initialisierungsdatei zum Simulationsmodell einer Hydraulikleitung (Abb.25)

Abb. 25: Simulationsmodell einer Hydraulikleitung zwischen Zylinder und Proportionalventil (vgl. Abb.1)

31

Abb. 26: Simulationsergebnis des Simulationsmodells einer Hydraulikleitung (Abb.25)

4.3.3.3 Evaluation des Modells

Das in Abb.26 dargestellte Ergebnis der Simulation zeigt, dass der Druck in der Leitung sehr schnell

ansteigt. Bereits nach 2 Sekunden erreicht er einen Wert von etwa 430bar. Der in den Zylinder

abgegebene Volumenstrom ist kleiner, als der vom Proportionalventil zugeführte Volumenstrom

(Abb.25). Der Druckanstieg entspricht also dem erwarteten Simulationsergebnis. Die hohe Geschwin-

digkeit des Druckanstieges ist unter Berücksichtigung der geringen Kompressibilität des Öls ebenfalls

den Erwartungen entsprechend. Tendenziell beschreiben die Simulationsergebnisse also die Realität.

Zu beachten ist, dass die Leitung hier wie ein großer Behälter betrachtet wird. Alle Zustandsgrößen

sind nur von der Zeit, jedoch nicht vom Ort abhängig. Insbesondere in langen Hydraulikleitungen

treten jedoch Ortsabhängigkeiten der Ölzustandsgrößen auf. Bei der Modellbildung wurde weiterhin

die Dehnung der Leitungen vernachlässigt. Dies führt bei der Verwendung von Hydraulikschläuchen

ebenfalls zu Abweichungen zwischen Simulationsmodell und Realität.

Insgesamt liefert das Simulationsmodell der Leitung (Abb.26) also nur eine Annäherung an die realen

Gegebenheiten. Der Grad der Übereinstimmung des Modells mit der Realität ist von diversen

Parametern, etwa der Leitungslänge und dem Leitungswerkstoff, abhängig.

32

4.3.4 Druckbegrenzungsventil

4.3.4.1 Physikalische Grundlagen

Das Druckbegrenzungsventil wird gemäß Kapitel 4.2 im Gesamtsystem der hydraulischen Positionier-

vorrichtung als Steuerelement betrachtet. Eine schematische Darstellung eines direkt gesteuerten

Druckbegrenzungsventils gibt Abb.27 wieder. Das in der simulierten hydraulischen Positioniervor-

richtung verwendete Ventil entspricht diesem Ventiltyp.

Abb. 27: Schematische Darstellung eines direktgesteuerten Druckbegrenzungsventils[1].

Das statische Kräftegleichgewicht am Ventilschieber bzw. Kolben ergibt sich zu Gl.(16). Der im

Volumen V2 über die Fläche Ak1 auf den Kolben wirkenden Druckkraft wirkt die Federkraft

)(sFc entgegen. Die Federkraft wird dabei durch Gl.(17) beschrieben.

)(21 sFpAk c=⋅ (16)

)()( svscsF Fc −⋅= mit annwegFedervorspsv = (17)

Bei einem bestimmten Systemdruck p1, welcher bei statischer Betrachtung dem Druck p2 entspricht,

ergibt sich mit diesen Gleichungen ein bestimmter Ventilöffnungsweg s und damit eine Ventilöff-

nungsfläche ADR. Von der Ventilöffnungsfläche und der Druckdifferenz über dem Ventil ist der aus

dem System in den Ölvorratsbehälter abgegebene Volumenstrom VQ abhängig (Gl.(18), vgl. Gl.(5)).

tDRDRV ppAkQ −⋅⋅= 1 mit bardruckÖlbehälterpt 0== (18)

Dieser Zusammenhang liefert die statischen Kennlinien des Druckbegrenzungsventils, wie sie in

Datenblättern angegeben werden. Den qualitativen Verlauf solcher Kennlinien zeigt Abb.28a. Die

ADR

s Q2

p1

GL

QVD

QV

V2

p2

Ak1 pt

33

statischen Kennlinien des verwendeten Druckbegrenzungsventils, direktgesteuert Typ DBD, Nenngrö-

ße NG8 der Bosch Rexroth AG zeigt Abb.28 b [11].

Abb. 28: Statische Kennlinien von Druckbegrenzungsventilen. a qualitative Darstellung b Druck-

begrenzungsventil, direktgesteuert Typ DBD, Nenngröße NG8 der Bosch Rexroth AG [11].

Das Aufstellen der Kräftebilanz für den Ventilschieber unter Berücksichtigung der statischen und der

dynamischen Kräfte liefert das dynamische Verhalten des Ventilschiebers, ausgedrückt in der

Differentialgleichung der Ventilschieberbewegung Gl.(19). (Bezeichnungen gemäß Abb.27)

),()()( 121 psFsFsFpAksm STRCc −−−⋅=⋅ &&& (19)

Darin ist )(sFc die Federkraft gemäß Gl.(17). Der Term )(sFRC & beschreibt die Coulombsche Reibkraft

als Kombination von Haft- und Gleitreibung gemäß Gl.(9). Die Strömungskraft, welche infolge des

Volumenstroms QV bei geöffnetem Ventil auf den Ventilschieber wirkt beschreibt der Term

),( 1psFST . Die Strömungskraft hängt dabei von der Ventilöffnungsfläche und vom Volumenstrom

durch das Ventil und damit vom Systemdruck p1 ab. Die Strömungskraft ergibt sich nach dem

Impulssatz aus Gl.(20) [3].

)cos()cos(),(2

1 ερερ ⋅⋅=⋅⋅⋅=DR

VVST A

QwQpsF (20)

mit == )(sfADR Ventilöffnungsfläche )( 1pfQV =

w = Ölfließgeschwindigkeit ε = Winkel zwischen w und s&

Die Öffnung des Druckbegrenzungsventils hängt gemäß Gl.(16) und Gl.(19) vom Druck p2 im

Volumen V2 ab (Bezeichnungen gemäß Abb.27). Der Druck p2 stellt sich dabei als Folge der

Q

p Direktgesteuertes Druckbegrenzungsventil

Ideale Kennlinie

a b

34

Volumenströme in das bzw. aus dem Volumen V2 ein. Dieser Zusammenhang zeigt an, dass das im

Druckbegrenzungsventil enthaltene Volumen V2 in der Simulationsrechnung als Volumen betrachtet

werden sollte. Dieses Volumen hat, aufgrund der geringen enthaltenen Ölmenge, kaum Einfluss auf

die Strömungs- und Druckentstehungsprozesse im Gesamtsystem der hydraulischen Positioniervor-

richtung. Die Beschreibung des Volumens V2 mit den Gleichungen für ein Volumen (vgl. Kapitel

4.1.2) dient also nur der Beschreibung der Vorgänge innerhalb Druckbegrenzungsventils. Das

Druckbegrenzungsventil wird im Gesamtsystem der hydraulischen Positioniervorrichtung weiterhin

als Steuerelement betrachtet.

Die Volumenstrombilanz für das Volumen V2 bei einer Ventilschieberbewegung in positive

s-Richtung zeigt Gl.(21).

222 Vg QQQ −= mit sAQ kV &⋅= 12 (21)

In dieser Gleichung beschreibt 2gQ die Gesamtänderung des Volumenstroms. Diese Gesamtänderung

des Volumenstromes ist in Verbindung mit der Kompressibilität des Öls für die Druckentstehung in

dem Volumen V2 maßgeblich (vgl.Gl.(6)). Der sich ergebende Zusammenhang ist in Gl.(22) darge-

stellt.

22

1gQ

Vp ⋅

⋅=

β& mit

KferÖlpresszif 1

==β (22)

Zu beachten ist in dieser Gleichung, dass V2 keine konstante Größe ist. Das Volumen V2 variiert

aufgrund der Bewegung des Ventilschiebers.

Die Gesamtbilanz für die Volumenströme im Ventil bzw. durch das Ventil ergibt sich damit für die

dynamische Betrachtung des Druckbegrenzungsventils zu Gl.(23).

2QQQ VVD += (23)

Mit den auf diese Weise hergeleiteten Zusammenhängen kann ein Strukturbild entworfen werden, in

welchem die Zusammenhänge graphisch dargestellt werden. Die in derartigen Strukturbildern

verwendeten Symbole sind nicht genormt. Sie sollen so gewählt werden, dass sie in Verbindung mit

den zugehörigen Gleichungen möglichst eindeutig sind. Einige grundlegende Empfehlungen zur

Verwendung von Symbolen in Strukturbildern gibt z.B.[1]. Ein Beispiel eines Strukturbildes für ein

Druckbegrenzungsventil mit den oben hergeleiteten Beziehungen zeigt Abb.29. Wie für derartige

Strukturbilder üblich, sind die Formeln nicht bis ins Detail dargestellt. Vielmehr soll in dem Struktur-

bild der Gesamtzusammenhang zwischen den Formeln verdeutlicht werden. Strukturbilder erleichtern

die spätere Erstellung eines Simulationsmodells, etwa mit MATLAB-Simulink, in hohem Maße.

35

Abb. 29: Strukturbild des Druckbegrenzungsventils

4.3.4.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink

Für die Modellierung des Druckbegrenzungsventils in MATLAB-Simulink dient das Strukturbild aus

Abb.29 als Basis. Die Daten für die Umsetzungen der Gleichungen werden dabei aus dem Datenblatt

des Druckbegrenzungsventils [11] entnommen. Hier ergibt sich das Problem, dass viele der benötigten

Daten, etwa geometrische Abmessungen und Daten über die Eigenschaften der Feder, im Datenblatt

nicht explizit angegeben werden. Sie können jedoch durch Abschätzungen unter Verwendung einiger

gegebener Daten und der Ventilschnittzeichnung (Abb.30) gewonnen werden. Die auf diese Weise

ermittelten Daten können später durch Abgleich des Simulationsergebnisses mit den Kennlinien im

Datenblatt überprüft und ggf. angepasst werden. Dieses Vorgehen soll im Folgenden dargestellt

werden.

Abb. 30: Ventilschnittzeichnung [11]

-

s

QV QVD p1

-

- 2p&

Q2

Qv2

Qg2 2p s&∫dt ∫dt ∫dt s&&

m1

FST

Fc

kDR

Ak1

β⋅2

1V

GL Ak1

36

Für die Simulation des Druckbegrenzungsventils werden insbesondere die Abmessungen des

Ventilschiebers und der Kammer, in welcher er sich bewegt, benötigt. Hieraus ergeben sich die

Strömungsquerschnittsflächen, welche für die Gleichungen gemäß Kapitel 4.3.4.1 benötigt werden.

Keine dieser Abmessungen ist im Datenblatt explizit angegeben. Das Datenblatt enthält jedoch

Informationen über die Einschraubbohrung, in welche das Ventil zu montieren ist. (Abb.31)

Abb. 31: Einschraubbohrung für das Druckbegrenzungsventil (Daten NG8 = Daten NG10) [11]

Anhand der Abmessungen dieser Einschraubbohrung kann auf die Abmessungen des Ventilschiebers

geschlossen werden. Zunächst werden der Durchmessers und die Gesamtlänge des Ventilschiebers

abgeschätzt. Dann werden über Proportionalitätsrechnungen auf Basis der Querschnittszeichnung

(Abb.30) alle weiteren benötigten Abmessungen ermittelt. Die so ermittelten Abmessungen des

Ventilschiebers zeigt Abb.32.

Abb. 32: Skizze mit ermittelten Abmessungen des Ventilschiebers (Skizze nicht maßstäblich)

lk 4 mm Kegellänge

li 4 mm Überströmkanallänge

lvs 28 mm Ventilschieberlänge

dk1 5 mm Ventilschieberdurchmesser

dk2 3,4 mm Ventilschieberdurchmesser

s_max 4 mm maximaler Verfahrweg=lk

lvs

dk2

dk2

dk1

li lk li

37

Von besonderer Bedeutung für die Ventilfunktion ist die Strömungsfläche ADR des Volumenstroms

QV. Sie ist von der Ventilöffnung abhängig. Die Bestimmung dieser Strömungsfläche erfolgt über die

in Abb.33 gezeigten geometrischen Beziehungen. Unter Verwendung trigonometrischer Funktionen

wird die Strecke x berechnet. Durch die Rotation der Strecke x um die Achse des Ventilschiebers wird

die Mantelfläche eines Kegelstumpfes beschrieben. Unter Verwendung entsprechender Formeln für

Mantelfläche eines Kegelstumpfes [7] ergibt sich Gl.(24) als Zusammenhang zwischen Kolbenschie-

berweg s und Flächeninhalt der Drosselfläche ADR.

Abb. 33 Skizze zur Berechnung der Drosselfläche des Volumenstroms Qv aus dem Ventilöffnungsweg s

[ ])cos()sin(1)sin( εεεπ ⋅⋅−⋅⋅⋅= sdksADR (24)

Nach diesen Festlegungen zur Geometrie des Ventilschiebers wird Gl.(18) zur Beschreibung des aus

dem System abfließenden Volumenstroms QV in Simulink modelliert (Abb.33). Mit diesem Modell

werden die ermittelten Abmessungen des Ventilschiebers überprüft.

Hierfür werden der Druck und die Ventilöffnung fest vorgegeben. Bei einem Druck von 200bar und

maximaler Ventilöffnung muss sich gemäß statischer Kennlinie (Abb.28b) der abfließende Volumen-

strom Qv=120Ltr/min einstellen. Der benötigte Drosselbeiwert kDR wird in der erstellten Initialisie-

rungsdatei ermittelt (Abb.34). Der hierfür erforderlichen Durchflussbeiwert α wird gemäß [1] zu 0,9

festgelegt. Das Ergebnis der Berechnung (Abb.35) zeigt, dass die gewählten Abmessungen eine gute

Näherung an die Realität darstellen. Wäre dies nicht der Fall, so könnten die Abmessungen anhand des

Simulationsergebnisses entsprechend angepasst werden.

221 dkdk +

ε

ε ∆dk

x

s

lk

ε

Ventilgehäuse

Ventilschieber

38

Abb. 34: Initialisierungsdatei zum Modell zur Überprüfung der ermittelten Abmessungen des Druck-begrenzungsventils (Abb.35)

Abb. 35: Modell zur Überprüfung der ermittelten Abmessungen des Druckbegrenzungsventils

In der Schnittzeichnung des Ventilschiebers (Abb.29) ist kein Überströmkanal in das Volumen V2

erkennbar, wie es Abb.27 vermuten ließe. Der Überströmkanal besteht in dem ringförmigen, maßtole-

ranzbedingten Spalt zwischen Ventilschieber und Gehäuse. Die Höhe dieses Spaltes wird mit

h=0,1mm angenommen. Die Berechnung des Volumenstromes durch einen derartigen Ringspalt kann

gemäß Gl.(25) erfolgen [2]. Aufgrund seines Eigengewichts liegt der Ventilschieber an der Unterseite

des Gehäuses an. Die sich daraus ergebende Exzentrizität des Ringspaltes wird hier jedoch vernachläs-

sigt.

pGplhdQ L

m ∆⋅=∆⋅⋅⋅⋅⋅

=η

π12

3

2 (25)

mit =h Spalthöhe =md Mittlerer Kreisringspaltdurchmesser

39

Eine weitere, im Datenblatt nicht angegebene und damit abzuschätzende Größe ist die Federkonstante

der Feder des Druckbegrenzungsventils. Sie lässt sich aus der maximale Strömungskraft (Gl.(19)) und

der Druckkraft auf die Fläche Ak1 ermitteln. Der Ansprechdruck, ab dem die Öffnung des Ventils

erfolgt, wird gemäß statischer Ventilkennlinie auf 199bar festgelegt. Die Druckdifferenz zwischen

Beginn der Ventilöffnung und maximaler Öffnung wird in Anlehnung an die theoretische und die reale

Ventilkennlinie (Abb.28) auf ∆p=2bar festgelegt. Dies entspricht einem nahezu konstanten System-

druck über dem gesamten Ventilöffnungsbereich. Die Summe der aus ∆p resultierenden Druckkraft

und der maximalen Strömungskraft ergibt die Kraft, der die Feder auf der Länge des maximalen

Ventilöffnungsweges entgegenwirken muss. Hieraus lässt sich die Federkonstante der Feder zu

mN

Fc 7,82731= ermitteln. Mit Kenntnis der Federkonstante und des Ansprechdruckes ergibt sich ein

Federvorspannungsweg von sv = 4,7mm.

Für die Erstellung des Simulationsmodells ist weiterhin die Bestimmung der Reibungskräfte am

Ventilschieber erforderlich. Datenblätter von Hydraulikbauteilen enthalten meist keine explizite

Angabe über die Reibungskräfte sondern lediglich Hinweise, ob Kennlinien oder theoretische

Kenngrößen unter Berücksichtigung von Reibungsverlusten angegeben sind. Die genaue Bestimmung

von Reibungsdaten gestaltet sich schwierig und ist oft nur durch Messungen an einem Prüfobjekt

möglich. Jedoch ist für der Modellierung von Coulombschen Reibungskräften in hydraulischen

Bauteilen die angenommene Struktur dieser Kräfte von wesentlich größerer Bedeutung, als die

genauen Beträge der Kräfte [3]. Für die Berechnung der Reibkraft )(sFRC & nach Gl.(9) können somit

Abschätzungen der Haft- und Gleitreibung mit Hilfe von Normalkraft und Gleitreibungskoeffizienten

erfolgen. Die Normalkraft des Kolbenschiebers ergibt sich dabei aus seiner Gewichtskraft. Die

Gewichtskraft lässt sich aus den Abmessungen des Ventilschiebers und der mittleren Dichte von Stahl

ermitteln. Anhaltswerte für die Reibkoeffizienten von Haft- und Gleitreibung einer geschmierten

Stahl-Stahl Paarung können der Literatur entnommen werden (z.B.[7]). Bei dieser Vorgehensweise

liefert die Abschätzung für die Haftreibungskraft FHR=0,003N, für die Gleitreibungskraft

FGR=0,0015N. Diese Werte stellen stark gerundete Rechenergebnisse dar. Sie geben einen Anhaltswert

für die Größenordnung der Kräfte.

Damit sind alle für die Simulation benötigten Daten des Druckbegrenzungsventils bekannt und das

Strukturbild gemäß Abb.29 kann in ein Simulink-Modell umgesetzt werden. Die zu diesem Modell

gehörige Initialisierungsdatei zeigt Abb.36, das Simulationsmodell ist in Abb.37 dargestellt. Da in der

Initialisierungsdatei für einige Berechnungen Kenngrößen des Öls benötigt werden, muss die

Initialisierungsdatei des Öls (Kapitel 4.3.1) vor der Initialisierungsdatei des Druckbegrenzungsventils

aufgerufen und von MATLAB abgearbeitet werden.

40

Abb. 36: Initialisierungsdatei zum Modell des Druckbegrenzungsventils (Abb.37)

41

Abb. 37 : Simulationsmodell des Druckbegrenzungsventils

42

Der Integrator1-Block, welcher s& zu s integriert hat durch entsprechende Festlegung in seinem Menü

als maximalen Ausgabewert den maximalen Verfahrweg des Ventilschiebers. Der Integrator liefert

also keinen Wert größer der maximalen Ventilöffnung. Ebenso ist seine untere Ausgabegrenze auf 0

festgelegt, was einem geschlossenen Ventil entspricht. Die Festlegung dieser Grenzen betrifft jedoch

nur den Ausgabewert des Integrator1-Blockes, also den Ventilschieberweg. Der Sum-Block der

Kräftebilanz hat auch nach Erreichen von einem der beiden Ventilschieberanschläge nicht den

Ausgabewert 0. Dies ist darin begründet, dass die Reaktionskraft des Ventilschieberanschlages in der

Kräftebilanz nicht berücksichtigt werden kann. Ergibt jedoch die Kräftebilanz nicht den Ausgabewert

0, so ist der Eingangswert von Intregrator2 nicht gleich 0. Damit ist auch der Ausgang von Integrator2,

die Ventilschiebergeschwindigkeit nicht gleich 0. Diese muss jedoch gleich 0 sein, wenn der Ventil-

schieber an einem der beiden Anschläge ist. Die Herstellung dieses Zusammenhanges erfolgt im

Anschlag-Block. Dieser Block ist ein Subsystem, dessen Inhalt durch Doppelklick auf den Block

angezeigt werden kann. Subsysteme stellen eine Zusammenfassung von Simulationsmodellbestandtei-

len dar und können in beliebiger Größe erstellt werden. Die Erstellung solcher Systeme dient dem

Erhalt der Übersicht im Gesamtmodell. Zur Erstellung von Subsystemen werden jene Simulationsmo-

dellbestandteile, welche zu einem Subsystem zusammengefasst werden sollen, markiert. Dann wird im

über die rechte Maustaste erhältlichen Menü der Menüpunkt „Create Subsystem“ gewählt. Das Menü

zur Beschriftung eines Subsystem-Blockes ist ebenfalls über das mit der rechten Maustaste erhältliche

Menü erreichbar.

Den Inhalt des Anschlag-Sybsystems zeigt Abb.37. Der switch1 Block enthält als Schaltbedingung

den Wert 0, der swich2-Block hat als Schaltbedingung den maximalen Ventilschieberweg. Das

Subsystem Anschlag sorgt so dafür, dass beim Erreichen eines Grenzwertes für den Weg s die

Ventilschiebergeschwindigkeit s& auf Null gesetzt wird. Die Ermittlung der von s& abhängen Rechen-

größen innerhalb des Modells des Ventils erfolgt so auch bei Erreichen einer Anschlagposition des

Ventilschiebers in richtiger Weise.

Abb. 38: Subsystem Anschlag des Modells des Druckbegrenzungsventils (Abb.37)

Die Berechnung der Strahlkraft FST erfolgt ebenfalls in einem Subsystem (FST in Abb.36). Den Inhalt

dieses Subsystems zeigt Abb.39. In der Gleichung für die Strahlkraft wird durch die Ventilöffnungs-

fläche ADR dividiert. Solange das Ventil jedoch geschlossen ist, hat diese Fläche den Wert 0. Die

43

Division durch 0 ist nicht möglich, was sich in der Fehlermeldungen bei der Simulation äußert. Also

wird die Division durch 0 mit dem Switch1-Block vermieden. Er hat den Wert 0 als Schaltbedingung

und die Angabe, das dass Schalten erfolgt, sowie der Wert für ADR nicht mehr größer 0 ist. Wird der

Wert der Fläche ADR also kleiner oder gleich 0, so wird die Rechnung im darauf folgenden Block mit

dem Wert 1 für ADR versorgt. Der Schalter switch2 sorgt dafür, dass das auf diese Weise bei ADR=0

erzeugte, falsche Rechenergebnis nicht weitergeleitet wird. Wird ADR=0 schaltet der Schalter switch2

um und leitet nicht das falsche Ergebnis der Rechnung sondern den Wert 0 für die Strahlkraft weiter.

Abb. 39: Subsystem FST des Modells des Druckbegrenzungsventils (Abb.37)

Die Einstellung des Lösungsalgorithmus und insbesondere der Schrittweite hat bei der Simulation des

Modells des Druckbegrenzungsventils großen Einfluss auf die Simulationsergebnisse. Aus den in den

vorigen Kapiteln bereits erläuterten Gründen wird ein Algorithmus mit fester Schrittweite -„fix step“-

gewählt. Da die Rechengrößen des Systems sich während der Simulation sehr schnell ändern, wird ein

Algorithmus hoher Qualität -„ode5“- gewählt. Versuche unter Betrachtung aller Rechengrößen

innerhalb der Simulation (=Scope-Blöcke an jeder Leitung) zeigen, dass die Schrittweite nicht größer

als 0,00001s gewählt werden darf. Größere Schrittweiten führen bei diversen Rechengrößen innerhalb

des Simulationsmodells zu falschen oder sehr ungenauen Ergebnissen.

Das Rechenergebnis der Simulation für den Ventilschieberweg s und Volumenstrom QV bei konstan-

tem Systemdruck von 200bar zeigt Abb.40.

44

Abb. 40: Simulationsergebnis, Sprungantwort bei Systemdrucksprung von 0 auf 200bar bei t=0.

4.3.4.3 Evaluation des Modells

Das Ergebnis der Simulation des Modells des Druckbegrenzungsventils in Abb.40 zeigt die Öffnung

des Ventils infolge des Sprunges des Drucks zum Zeitpunkt t=0 von 0bar auf 200bar. Das Ventil

öffnet sich bis zur maximalen Öffnung s=4mm und der Volumenstrom nimmt infolgedessen zu.

Aufgrund des Sprunges des Druckes zum Zeitpunkt t=0 stellt das Simulationsergebnis (Abb.40) die

Sprungantwort des dynamischen Systems dar (vgl. Regelungstechnik, z.B.[18]). Diese Sprungantwort

entspricht jedoch nicht der Übergangsfunktion eines Druckbegrenzungsventils, wie sie üblicherweise

durch Messungen erhalten wird und in der Literatur zu finden ist (z.B.[1]). Dies ist darin begründet,

dass das reine Modell des Ventils bei der Beaufschlagung mit einem Druck von 200 bar die Kompres-

sibilität des Öls nicht berücksichtigt. Bei Messungen an Ventilen tritt jedoch aufgrund des Öls im

Ventil und in den Anschlussleitungen der Effekt der Kompressibilität auf.

Das erhaltene Simulationsergebnis (Abb.40) entspricht mit diesen Überlegungen also tendenziell den

Erwartungen an das Modell. In wieweit das Ergebnis der Simulation das reale Verhalten des simulier-

ten Druckbegrenzungsventils wiedergibt, lässt sich jedoch nicht bestimmen. Insbesondere über das

reale dynamische Verhalten des Ventils liegen keine Informationen vor. Dieses Verhalten ergibt sich

im Simulationsmodell aufgrund abgeschätzter Abmessungen und abgeschätzter Daten für die Feder.

Die abgeschätzten Daten können zwar durch Vergleich mit der statischen Ventilkennlinie [11] des

Druckbegrenzungsventils überprüft werden (vgl. Kapitel 4.3.4.2). Es ist aber wahrscheinlich, dass

anders gewählte Daten des Ventils die gleiche statische Kennlinie ergeben, jedoch ein anderes

dynamisches Ventilverhalten zur Folge haben. Eine Aussage über die Übereinstimmung des Simulati-

onsergebnisses mit dem realen dynamischen Verhalten des modellierten Druckbegrenzungsventils ist

also auf Basis der vorhandenen Informationen nicht möglich.

45

4.3.5 Proportionalventil

4.3.5.1 Physikalische Grundlagen

Das Proportionalventil wird gemäß Kapitel 4.2 im Gesamtsystem der hydraulischen Positioniervor-

richtung als Steuerelement betrachtet. Eine schematische Darstellung eines direktgesteuerten 4/3

Proportional-Wegeventils, wie es in der simulierten Positioniervorrichtung verwendet wird, zeigt

Abb.41.

Abb. 41: Schematische Darstellung eines direktgesteuerten 4/3 Proportional-Wegeventils[1]

Die Gleichungen zur Bestimmung der Volumenströme durch das Ventil infolge der Druckdifferenzen

zwischen den Anschlüssen A, B, P und T ergeben sich auf Basis von Gl.(5) in Kapitel 2.1 zu Gl.(26)

bis Gl.(29).

1111 pAkQ DR ⋅⋅= (26)

10010101 ppAkQ DR −⋅⋅= (27)

20020202 ppAkQ DR −⋅⋅= (28)

2222 pAkQ DR ⋅⋅= (29)

Die Volumenstrombilanzen ergeben sich zu Gl.(30) und Gl.(31). 1011 QQQV −= (30)

0222 QQQV −= (31)

46

Die Kräftebilanz am Ventilschieber unter Betrachtung der statischen Kräfte ergibt sich zu Gl.(32). Der

Faktor 2 in dieser Gleichung entsteht, weil bei Proportionalventilen jeweils für eine Bewegungsrich-

tung des Ventilschiebers aus der Mittelstellung heraus nur ein Magnet durch elektrischen Strom

angeregt wird, dessen erzeugter Kraft dann beide Federn entgegenwirken.

)(2),( sFsiF cM ⋅= (32)

mit =⋅= scsF Fc )( Federkraft, =),( siFM Magnetkraft

Mit diesen Gleichungen ist das statische Verhalten des Proportionalventils beschrieben. Die Position s

des Ventilschiebers gemäß Gl.(32) bestimmt die Werte für die Flächen und die Drosselbeiwerte der

Gleichungen Gl.(26) bis Gl.(29). Bei positiver Überdeckung und unter Vernachlässigung von

Leckvolumenströmen ergibt sich in den Volumenstrombilanzen Gl.(30) und Gl.(31) bei geöffnetem

Ventil jeweils ein Teilvolumenstrom zu 0. Bei geschlossenem Ventil ergeben sich mit diesen

Annahmen alle Teilvolumenströme zu 0. Für das statische Verhalten des Proportionalventils kann zur

Verdeutlichung der Zusammenhänge ein Strukturbild entworfen werden (Abb.42).

Abb. 42: Strukturbild des statischen Verhaltens eines Proportionalventils [1]

Zur Betrachtung des dynamischen Verhaltens des Proportionalventils wird die Kräftebilanz am

Ventilschieber unter Berücksichtigung statischer und dynamischer Kräfte aufgestellt (Gl.(33)).

),()()()(2),( psFsFsFsFsiFsm STDRCcM −−−⋅−=⋅ &&&& (33)

In dieser Kräftebilanz beschreibt ),( siFM die Magnetkraft von einem der Proportionalmagneten.

)(sFc beschreibt die Federkraft der Federn gemäß Gl.(32). Der Term )(sFRC & beschreibt die Coulomb-

sche Reibkraft als Kombination von Haft- und Gleitreibung gemäß Gl.(9). Infolge toleranzbedingter

47

Luftspalte zwischen Ventilschieber und Gehäuse entsteht bei der Bewegung des Ventilschiebers durch

das Öl eine geschwindigkeitsabhängige Dämfungskraft )(sFD & . Sie kann nach Gl.(8) berechnet

werden. Die Strömungs- bzw. Impulskräfte, welche infolge der Volumenströme bei geöffnetem Ventil

auf den Ventilschieber wirken, beschreibt ),( psFST . Proportionalventile werden konstruktiv so

gestaltet, dass sich die Strömungskräfte möglichst gegenseitig ausgleichen. Sie sollen daher hier

vernachlässigt bzw. zu 0 angenommen werden. Die gleiche Aussage gilt auch für aus dem statischen

Druck entstehende Druckkräfte auf den Ventilschieber. Daher ist in Gl.(33) kein entsprechender Term

zur Beschreibung der statischen Druckkraft auf den Ventilschieber enthalten.

Das sich damit ergebende Strukturbild für das dynamische Verhalten des Proportionalventils zeigt

Abb.43. Die geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft und die Coulombschen Reibungskräfte sind

durch Addition in einer Gleichung und damit in einem Schaltsymbol zusammengefasst.

Abb. 43 Strukturbild des dynamischen Verhaltens des Proportionalventils

4.3.5.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink

Die Modellierung des Proportionalventils in MATLAB-Simulink kann auf Basis der Strukturbilder in

Abb.42 und Abb.43 erfolgen. Die Daten für die Umsetzungen der Gleichungen werden aus dem

Datenblatt des Proportionalventils [12] entnommen. Einige der benötigten Daten, insbesondere

benötigte Abmessungen, werden im Datenblatt nicht explizit angegeben. Sie können jedoch durch

Abschätzungen unter Verwendung einiger gegebener Daten und der Ventilschnittzeichnung (Abb.44)

ermittelt werden.

Gemäß Abb.44b sind einige Außenabmessungen des Ventils bekannt. Über sie lassen sich unter

Berücksichtigung der Proportionalitäten die Abmessungen des Ventilschiebers (Abb.44a) ermitteln.

Die ermittelten Ventilschieberabmessungen zeigt Abb.45.

Fc

FM

FRC+FD

Usoll s

- -

s&∫dt ∫dt

s&&

m1

Fc

KM

Verstärker mit Strom-ausgang

48

a

b

Abb. 44: Proportionalventil a Schnittzeichnung [12] b Abmessungen [12]

Abb. 45: Ermittelte Abmessungen des Ventilschiebers nach

Abb.44 (Skizze nicht maßstäblich)

ε

16 5

10 18

49

Die Berechnung der statischen Kennlinie des Proportionalventils kann gemäß Kapitel 4.3.5.1 mit Hilfe

aus der Drosselgleichung hergeleiteter Funktionen erfolgen (Gl.(26) bis Gl.(29) und Abb.42). Die

Drosselfunktion beschreibt den Volumenstrom durch eine Drosselstelle als Funktion der Wurzel der

Druckdifferenz. Die statischen Durchflusskennlinien können also mit Gl.(26) bis Gl.(29) nur in Form

einfacher Wurzelfunktionen beschrieben werden. Bei dem verwendeten Ventil ist jedoch die reale

Kennlinie (Abb.46a) nur in sehr grober Näherung eine einfache Wurzelfunktion. Schon für ein

Proportionalventil gleichen Typs und gleicher Nenngröße aber anderen Nennvolumenstroms ergeben

sich statische Durchflusskennlinien, die nicht mehr durch eine einfache Wurzelfunktion beschrieben

werden können (Abb.46).

a b

Abb. 46: Statische Ventilkennlinien des Proportionalventils für verschiedene Nennvolumenströme a 30Ltr/min b 60 Ltr/min[12]

Die realitätsnahe Erstellung eines Simulationsmodells des Druckbegrenzungsventils bedarf also einer

anderen Methode der Beschreibung der statischen Kennlinien. Im Folgenden sollen daher Möglichkei-

ten untersucht werden, statische Ventilkennlinien gemäß Datenblatt direkt in MATLAB bzw.

Simulink einzugeben. Die Eingabe erfolgt dabei durch geeignete Beschreibung der einzelnen

Kennlinien eines Druck-Volumenstromdiagramms. Zwischenwerte, welche im Diagramm nicht

explizit durch eine Kennlinie beschrieben werden, werden durch Interpolation zwischen den Kennli-

nien ermittelt.

Als Möglichkeit der Beschreibung der einzelnen Kennlinien eines Diagramms soll zunächst die

Bildung von Polynomen betrachtet werden. Jede Kennlinie des Diagramms (Abb.46a) wird dabei

durch ein Polynom geeigneten Grades dargestellt. Die Grundgleichung für die Ermittlung eines

Polynoms vierten Grades zeigt Gl.(34). Zur Bestimmung der fünf Koeffizienten A0 bis A4 dieser

Gleichung werden aus der Kennlinie fünf Wertepaare für den Volumenstrom Q in Abhängigkeit der

50

Druckdifferenz ∆p abgelesen. Nach dem Einsetzen der Wertepaare in Gl.(34) ergibt sich ein Glei-

chungssystem aus fünf Gleichungen mit den fünf Unbekannten A0 bis A4.

QApApApApA =++++ 012

23

34

4 (34)

Die Lösung dieses Gleichungssystems wird mittels Matrizenrechnung in MATLAB durchgeführt. Ein

entsprechendes MATLAB Skript für die Kennlinie 7 in Abb.46a ist in Abb.47 dargestellt.

In diesem Skript ist das Ergebnis der Koeffizientenberechnung der Vektor A, welcher die Koeffizien-

ten A4 bis A0 enthält. Mit der MATLAB-Funktion POLYVAL(A,p) erhält man den Wert eines

Polynoms mit den Koeffizienten gemäß den Elementen des Vektors A an der Stelle p. Im Bereich

„Ausgabe“ im MATLAB Skript (Abb.47) wird das ermittelte Polynom im Bereich 0-300bar berech-

net. Das Ergebnis wird in einem extra Fenster (Figure(1)) angezeigt (Abb.48).

Abb. 47: MATLAB Skript zur Berechnung eines Polynoms der Kennlinie7 gemäß Abb.46a

1 Die Funktion POLYVAL kann später in Simulink mit Hilfe des MATLAB Fcn-Blockes (MATLAB

Function) verwendet werden.

51

Abb. 48: Ergebnis der Berechnung des Polynoms gemäß MATLAB Skript Abb.47

Das Ergebnis (Abb.48) stimmt aufgrund der Struktur des Basis-Polynoms in Gl.(34) nur Abschnitts-

weise mit der realen Kennlinie7 überein (Abb.46a). Das MATLAB Skript (Abb.47) ist von vornherein

so gestaltet, dass beliebig viele Eingangswertepaare verwendet werden können. Damit kann der

Polynomgrad zwecks Erhalt genauerer Rechenergebnisse beliebig erhöht werden. Die im Skript

verwendeten Vektoren ap und aQ (Abb.47) für die Berechnung eines Polynoms zehnten Grades aus

elf Wertepaaren zeigt Abb.49a. Das Rechenergebnis zeigt Abb.49b.

a

b

Abb. 49: Ermittlung eines Polynoms zehnten Grades für die Kennlinie7 in Abb.46a a Eingangswertepaare b Ergebnis der Berechnung des Polynoms gemäß MATLAB Skript Abb.47

p in bar

Q in

Ltr/

min

52

Wie Abb.49 zeigt, hat die Wahl der Wertepaare für p und Q großen Einfluss auf die Qualität des

ermittelten Polynoms. Die Übereinstimmung der polynomialen Beschreibung mit der realen Kennlinie

hängt zum einen vom Grad des Polynoms und zum anderen von der Wahl der verwendeten Wertepaa-

ren an sich ab. Versuche mit verschiedener Anzahl von Wertepaaren lassen jedoch folgenden

Zusammenhang erkennen: Je höher die Anzahl der Wertepaare und damit der Polynomgrad, desto

geringer werden die Abweichungen allgemein. Jedoch steigt mit dem Polynomgrad auch die Wellig-

keit des aus dem Polynom erhaltenen Graphen. Für den Erhalt eines Graphen möglichst geringer

Welligkeit empfiehlt sich also ein geringer Polynomgrad und damit eine geringe Anzahl von Werte-

paaren zur Bestimmung des Polynoms. Eine logische Folge daraus ist, dass durch die polynomiale

Beschreibung nur eine grobe Näherung einer real gegebenen Kennlinie erreicht werden kann.

Bei der bisherigen Vorgehensweise wurde das Polynom so ermittelt, dass es durch die mit den

Wertepaaren angegebenen Punkte verläuft. Daneben besteht Möglichkeit ein Polynom durch Appro-

ximation zu ermitteln. Das Polynom wird dabei so ermittelt, dass die Summe der Quadrate der

Abstände der Wertepaar-Punkte vom Graphen minimal wird. MATLAB stellt hierfür die Funktion

POLYFIT zur Verfügung. Versuche zeigen jedoch, dass auch bei Verwendung der POLYFIT-

Funktion der bereits beschriebene Zusammenhang zwischen Polynomgrad, Ergebnisgenauigkeit und

Welligkeit des Graphen besteht.1

Aus diesem Grund soll hier ein weiterer Weg, Kennlinien in MATLAB und Simulink einzugeben,

untersucht werden. Hierfür wird nicht auf eine formelmäßige Beschreibung der Kennlinien zurückge-

griffen. Stattdessen werden aus dem Druck-Volumenstromdiagramm entnommene Wertepaare der

Kennlinien direkt verwendet. Alle Zwischenwerte werden linear interpoliert. Werte außerhalb der

durch Kennlinien beschriebenen Bereiche werden durch lineare Extrapolation ermittelt. Simulink stellt

hierfür die Look-Up Table-Blöcke zur Verfügung. Für die Eingabe eines zweidimensionalen Kennfel-

des bzw. Kennlinien eines zweidimensionalen Diagramms wird der Look-Up Table(2-D)-Block

gewählt. In ihn wird eine Matrix eingegeben. Die Spalten der Matrix haben einen Bezug zur

horizontalen Diagrammachse. In den Zeilen der Matrix werden die Funktionswerte der einzelnen

Kennlinien angegeben. Die Zeilenzahl entspricht also der Anzahl der Kennlinien im Diagramm. Die

Eingangswerte des Look-Up Table(2-D)-Blockes geben die Position in der Matrix (als Zeile und

Spalte) an, für die der Ausgangswert bzw. Funktionswert zu ermitteln ist. Sind die Eingangswerte des

Blockes nicht ganzzahlig, so wird zwischen den entsprechenden Zeilen und Spalten linear interpoliert.

In Abb.50 wird dies an einem Beispiel verdeutlicht.

1 Während sich die Näherung durch Polynome hier als wenig geeignet erweist, kann sie bei der Beschreibung einer durch Messpunkte gegebenen Kennlinie ein sehr geeignetes Hilfsmittel zur Beschreibung eines Zusammenhanges sein.

53

2142

b

Abb. 50: Verwendung des Look-Up Table(2-D) a Kennfeld b Matrix c Simulationsmodell und Simulationsergebnis

Diese Zusammenhänge werden nun auf die Ventilkennlinien angewendet. Für das verwendete

Proportionalventil sind im Datenblatt zwei Diagramme mit Kennlinien angegeben [12]. Eines gibt den

Volumenstrom über der Druckdifferenz in Abhängigkeit verschiedner Ventilöffnungen an (Abb.46a).

In einem weiteren Diagramm ist der Volumenstrom über dem Sollwert der elektrischen Eingangs-

spannung für vorgegebene Druckdifferenzen dargestellt (Abb.51). Das Diagramm in Abb.51 stellt die

Volumenstromwerte für den Druckdifferenzbereich bis 100bar genauer dar, als das Diagramm in

Abb.46a. Deshalb werden beide Diagramme zur Bestimmung des Volumenstroms verwendet. Bei

Druckdifferenzwerten kleiner 100bar werden die Volumenstromwerte aus dem Diagramm in Abb.50

ermittelt. Bei Druckdifferenzwerten größer 100bar wird für die Ermittlung der zugehörigen Volumen-

stromwerte das Diagramm in Abb.46a verwendet.

Abb. 51: Sollwert-Volumenstromdiagramm des verwendeten Proportionalventils

NG10, Nennmvolumenstrom 30 Ltr/min für verschiedene Druckdifferenz- stufen bis 100bar [12].

w2

2

3

1

4

y

x

z2

z1

1 2 1,5

w1

a

c

z1

z2

x 1 2

54

Die beiden Matrizen für die Diagramme sind Bestandteil der Initialisierungsdatei (Abb.52) des

entsprechenden Simulink-Modells (Abb.53). Die Matrix mat_a für das Diagramm bis 100bar

Druckdifferenz hat als horizontale Achse die Sollwerte der Ventileingangspannung. Diese Sollwerte

der Ventileingangspannung sind bei statischer Betrachtung dem Ventilöffnungsweg s direkt proportio-

nal. In Abb.52 enthält der mit „as“ bezeichnete Vektor Werte dieser Diagrammachse. Die Vektoren

aQ0 bis aQ5 beschreiben die zu den Werten im Vektor as gehörigen Funktionswerte für die Druckkur-

ven 0 bis 5. Als Druckkurve 0 wird hier die horizontale Achse des Diagramms angenommen. Diese

Druckkurve wird benötigt, um die Interpolation für Druckwerte zwischen 0 bar und 10 bar (Druckkur-

ve 1) zu ermöglichen. Im Look-Up Table(2-D) des Simulink-Modells (Abb.53) werden die Werte für

den Ventilöffnungsweg (=Sollwerte) zwischen den Spalten der Matrix mat_a interpoliert. Die Werte

für die Druckdifferenz über dem Ventil werden entsprechend zwischen den Reihen der Matrix

interpoliert. Das Ergebnis der Interpolation ist der Volumenstrom durch das Ventil in Abhängigkeit

von der Druckdifferenz und dem Ventilöffnungsweg. Ein Beispiel mit Zahlenwerten soll der Verdeut-

lichung dienen: Die Ventilöffnung sei 55% und die Ventildruckdifferenz betrage 15 bar. Der

zugehörige Volumenstromwert ist damit in der Matrix mat_a zweidimensional zwischen den Werten

in den Matrixelementen 2:5, 2:6, 3:5 und 3:6 zu interpolieren (vgl. Abb.52).

Damit die Interpolation in richtiger Weise erfolgt, muss der Zusammenhang zwischen physikalischer

Größe und Zeilen- bzw. Spaltennummer berücksichtigt werden. So entspricht Spalte3 im Diagramm

nicht dem Sollwert 3 sondern dem Sollwert 30, Zeile4 entspricht nicht der Druckdifferenz 4bar

sondern der Druckdifferenz 30bar usw.. Diese Zusammenhänge werden durch lineare Gleichungen

beschrieben (Linear Interpol1 bis Linear Interpol4 in Abb.53). Bei nicht über dem gesamten Bereich

gleichem linearen Zusammenhang zwischen physikalischer Größe und Matrix-Zeile bzw. Spalte sind

Fallunterscheidungen erforderlich. Den Inhalt des aufgrund umfangreicher Fallunterscheidungen

verwendeten Subsystems Linear Interpol1 zeigt Abb.54. Der Switch1-Block in diesem Subsystem hat

als Schaltbedingung den Wert 30, der Switch2-Block den Wert 50.

Für das zweite Diagramm (Abb.46a) wird die dargelegte Vorgehensweise entsprechend durchgeführt.

Dabei erfolgt gegenüber Abb.51 die Vertauschung von horizontaler Diagrammachse und Ventilkenn-

linien (Sollwert-Druck <=> Druck-Sollwert). Welches der Diagramme im Simulink-Modell für die

Auswertung verwendet wird, wird mit dem Switch-Block festgelegt (Abb.53). Er hat als Schaltbedin-

gung den Wert 100. Für Druckdifferenzen kleiner 100bar werden die Werte der Matrix mat_a und

damit des Diagramms aus Abb.51 verwendet. Für Druckdifferenzen größer 100bar werden entspre-

chend die Werte der Matrix mat_b des Diagramms aus Abb.46a verwendet.

55

Abb. 52: Initialisierungsdatei mit Matrizen zur Beschreibung der Kennliniendiagramme der statischen Kennlinien des Proportionalventils

Als Eingang für die Druckdifferenzwerte wird im Simulationsmodell (Abb.53) mit Hilfe des Clock-

Blockes die Simulationszeit verwendet. Die Simulationszeit ist auf 3 Sekunden festgelegt. Die

Schrittweite des „fix step“ „ode5“ Lösungsalgorithmus beträgt 0.01. Der Faktor 100 im Gain-Block

liefert damit während der Simulation die Werte von 0 bis 300, welche als Druckdifferenzwerte

verwendet werden. Die Eingangsgrößen für die Ventilschieberöffnung liefert ein Vektor mit 7

Elementen. Die Vektorelemente entsprechen den Sollwertkurven 1 bis 7 im Kennliniendiagramm

(Abb.46a). Jeder Look-Up Table(2-D)-Block führt also in jedem Simulationsrechenschritt 7 Berech-

nungen durch. Am Ausgang gibt jeder Look-Up Table(2-D)-Block einen Vektor mit 7 Volumen-

stromwerten für die 7 Druckdifferenzen im Eingangsvektor. Der Scope-Block liefert damit nach der

Simulation als Ergebnis die statische Proportionalventilkennlinie (Abb.55).

56

Abb. 53: Simulink-Modell zur Bestimmung der statischen Ventilkennlinien

57

Abb. 54: Subsystem Linear Interpol1 aus Abb. 53

Abb. 55: Statische Durchflusskennlinie des Proportionalventils als Simulationsergebnis

des Simulink-Modells (Abb.53)

Das dynamische Verhalten des Proportionalventils kann mit der Bewegungsdifferentialgleichung

Gl.(33) und dem zugehörigen Strukturbild (Abb.43) modelliert werden. Im Unterschied zum Druckbe-

grenzungsventil enthält das Datenblatt des Proportionalventils Diagramme zur Beschreibung des

dynamischen Verhaltens. In diesen Diagrammen ist die Sprungantwort des Ventils auf eine Sprung-

förmige Änderung des Eingangssignals dargestellt. Das entsprechende Diagramm für das verwendete

Proportionalventil NG10, Nennvolumenstrom 30 Ltr/min zeigt Abb.56. Die Kenntnis dieser Sprung-

antwort erleichtert die Abschätzung der unbekannten Werte der Bewegungsdifferentialgleichung. Nur

unzureichend durch Berechnung bzw. Abschätzung bestimmbare Werte können durch schrittweise

Anpassung des Simulationsergebnisses an vorgegebene dynamische Kennlinie ermittelt werden.

58

Abb. 56: Übertragungsfunktion bei sprungförmigen elektrischen Eingangssignalen

Die Masse des Ventilschiebers wird analog zur Vorgehensweise in Kapitel 4.3.4.2 aus den Abmes-

sungen (Abb.44 und Abb.45) und der mittleren Dichte für Stahl [7] bestimmt. Die Ventilschiebermas-

se ergibt sich zu ≈m 0,1kg.

Die Reibungskräfte im Ventil werden ebenfalls analog zur Vorgehensweise in Kapitel 4.3.4.2 gemäß

[7] bestimmt. Es ergeben sich für die Anwendung von Gl.(9) die Haftreibungskraft zu FHR=0,1N und

die Gleitreibungskraft zu FGR=0,05N. Diese Werte sind gerundete Rechenergebnisse. Sie geben einen

Anhaltswert für die Größenordnung der Kräfte.

Die geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft ergibt sich auf Basis von Gl.(8) und den Gleichungen

für die Reynoldszahl [7]. Der Zusammenhang für laminare Strömung ist in Gl.(35) dargestellt.

sd

lAFh

D &⋅⋅⋅

⋅⋅= ϕη

232 = sk &⋅ (35)

mit =A Kolbenschieberquerschnittsfläche =hd Hydraulischer Durchmesser des Kreisringspaltes zwischen Kolbenschieber und Gehäuse [7]

=l Spaltlänge =ϕ Beiwert für nicht kreisförmige Querschnitte [7]

Der Faktor k in Gl.(35) kann nun ermittelt werden. Die Abmessungen des Ventilschiebers zeigt

(Abb.45). Die dynamische Viskosität des Öls ist in Kapitel 4.3.1 gegeben. Mit der Annahme einer

Spalthöhe =h 0,025mm zwischen Ventilschieber und Ventilgehäuse ergibt sich skgk 350≈ .

Die Funktionsweise des Verstärkers mit Stromausgang (Abb.42) ist im Datenblatt des Proportional-

ventils dargelegt [12]. Vereinfachend sollen hier Faktoren für die Umwandlung der Spannung in einen

Strom und die anschließende Umwandlung des Stroms in die magnetische Kraft angenommen werden.

Gemäß Gl.(33) wirkt die magnetische Kraft der Federkraft Fc entgegen. Die Faktoren für die Span-

nungs-Magnetkraftumwandlung und die ebenfalls noch nicht ermittelte Federkonstante der Federn

59

hängen also direkt voneinander ab. Die Zahlenwerte hierfür werden mit dem Simulationsmodell unter

Abgleich des Simulationsergebnisses mit der dynamischen Kennlinie im Datenblatt (Abb.56) ermittelt.

Hierfür wird für die Federn eine Federkonstante von je mN

Fc 4000= angenommen. Die Faktoren für

die Umwandlung der elektrischen Spannung in eine magnetische Kraft werden nun so gewählt, dass

sich bei entsprechendem Sprung des Spannungseingangssignals als Ausgangswert die gewünschte

Ventilöffnung ergibt (stationärer Endwert, vgl. Regelungstechnik, z.B. [18]). Versuche ergeben mit

den oben angegebenen Randbedingungen den Gesamtfaktor 4 für die Umwandlung der elektrischen

Spannung in eine magnetische Kraft. Somit werden die Faktoren für die Umwandlung der Spannung

in einen Strom und für die Umwandlung des Stroms in eine Kraft jeweils zu dem Wert 2 bestimmt.

Nach dieser Beschreibung des statischen Verhaltens mittels Kennlinien und des dynamischen

Verhaltens mittels Differentialgleichung können beide Verhalten in einem Simulink-Modell modelliert

werden. Zu berücksichtigen ist dabei, dass in bisherigen Betrachtungen weder die Schaltrichtung des

Ventils (P-A/B-T oder P-B/A-T, Abb.41 und Abb.44) noch die Fließrichtung des Öls berücksichtigt

wurde.

Die Schaltrichtung des Ventils hängt gemäß Datenblatt [12] vom Vorzeichen der Eingangsspannung

ab. Die Fließrichtung durch das Ventil hängt vom Vorzeichen der Druckdifferenz über den schal-

tungsbedingt verbundenen Ventilanschlüssen ab. Die genaue Vorgehensweise bei der Berücksichti-

gung dieser Zusammenhänge soll anhand des fertigen Modells des Proportionalventils erläutert

werden. Das Modell ist in Abb.58 dargestellt, die zugehörige Initialisierungsdatei zeigt Abb.57. Die

Auswertung des statischen und dynamischen Verhaltens erfolgt in diesem Modell jeweils nur für

positive Werte, was durch die Abs-Blöcke erreicht wird. Die Berücksichtigung von Ventilschalt- und

Ölfließrichtung durch entsprechende Vorzeichen erfolgt in den Subsystemen Ventilschaltung und

Anschlusszuweisung.

Das Subsystem Ventilschaltung ist in Abb.59 dargestellt. In ihm wird, in Abhängigkeit vom Vorzei-

chen der Eingangsspannung u, bestimmt, über welchen Ventilanschlüssen die Druckdifferenz gebildet

wird. Der Switch-Block in diesem Subsystem hat entsprechend als Schaltbedingung den Wert 0.

Das Subsystem Anschluss-Zuweisung (Abb.60) ordnet die aus den Druckdifferenzen ermittelten

Volumenströme den entsprechenden Anschlüssen zu. Weiterhin werden die Vorzeichen der Volu-

menströme so bestimmt, dass in das Ventil einfließende Volumenströme positiv und aus dem Ventil

abfließende Volumenströme negativ sind. Die Schaltbedingung für die Blöcke switch1 und switch2 ist

entsprechend in beiden Fällen der Wert 0. Das Subsystem Ventilschaltung1 innerhalb des Subsystems

Anschlusszuweisung hat die gleiche Funktion und den gleichen Inhalt wie das Subsystem Ventilschal-

tung (s.o.).

Die Auswertung des statischen Ventilverhaltens in Abb.58 weist gegenüber dem bisherigen Modell in

Abb.53 einige Ergänzungen und Veränderungen auf. In jedem Look-Up Table (2-D) Block werden

gleichzeitig die Volumenstromwerte für beide Durchflüsse durch das Ventil ermittelt. Deshalb sind die

60

Abb. 57: Initialisierungsdatei des Modells des Proportionalventils (Abb.58)

Eingangswerte für die Druckdifferenz ∆p zweidimensionale Vektoren. Die Elemente der Vektoren

sind die jeweiligen Druckdifferenzen über den entsprechend geschalteten Anschlüssen. Die Aus-

gangswerte der Look-Up Table(2-D)-Blöcke sind entsprechend ebenfalls zweidimensionale Vektoren.

Ihre Elemente sind die sich aus den Druckdifferenzen ergebenden Volumenströme. Welcher Look-Up

Table(2-D)-Block schließlich das Ergebnis für den jeweiligen Volumenstrom Q1 bzw. Q2 liefert, wird

analog zum Modell in (Abb.53) mit Switch-Blöcken festgelegt („Wahl Q1“ und „Wahl Q2“).

61

Abb. 58: Modell des Proportionalventils

62

Die Subsysteme Lin.Interpolation1 bis Lin.Interpolation3 beinhalten die linearen Zusammenhänge

zwischen physikalischen Größen und zugehörigen Reihen bzw. Spalten in den Matrizen der Look-Up

Table(2-D)-Blöcke. Den Inhalt dieser Subsysteme zeigt Abb.61. Das Modell (Abb.58) enthält

weiterhin das Subsystem Pos.Überdeckung. Dieses ist erforderlich, da bei der Matrix mat_b die

Extrapolation für Sollwerte<20% negative Volumenstromwerte liefern würde. Für Sollwerte bzw.

Ventilöffnungen<20% wird daher gemäß der Kennlinie in Abb.46a der Volumenstrom Q=0 gesetzt

(Abb.62).

Der Lösungsalgorithmus, wird Aufgrund der Dynamik des Modells zu „ode5“ gewählt. Da das

Schalten des Ventils über den gesamten Ventilschieberweg etwa 300ms beansprucht (Abb.56), wird

die Schrittweite zu 0,0001s und die Simulationszeit zu 0,3s gewählt.

Das Ergebnis der Simulation des Modells aus Abb.59 mit den dort angegebenen Druckdifferenzwerten

und einem Ventilspannungssprung von u=0V auf u=+10V zeigt Abb.63. Das Ergebnis für einen

Spannungssprung von u=0V auf u= -10V zeigt Abb.64.

Abb. 59: Subsystem Ventilschaltung

Abb. 60: Subsystem Anschlusszuweisung

63

a b

c

Abb. 61: Subsysteme Lin Interpolation a Lin Interpolation1 b Lin Iterpolation2 c Lin Interpolation3

Abb. 62: Subsystem Pos.Überdeckung

64

Abb. 63: Simulationsergebnis des Modells des Proportionalventils (Abb.58), Ventilspannungssprung von u=0V

auf u=+10V

65

Abb. 64: Simulationsergebnis des Modells des Proportionalventils (Abb.58), Ventilspannungssprung von u=0V

auf u=-10V

66

4.3.5.3 Evaluation des Modells

Bei der gezeigten Modellierung des Proportionalventils (Kapitel 4.3.5.2) werden die unbekannten

Parameter durch Anpassung des Simulationsergebnisses an die Kennlinien des realen Ventils

bestimmt. Durch dieses Vorgehen ist eine hohe Übereinstimmung der Simulationsergebnisse (Abb.55,

Abb.63, Abb.64) mit dem realen Verhalten des Proportionalventils gegeben. Das Simulationsergebnis

für den Sollwert (Abb.63 und Abb.64) entspricht der dynamischen Kennlinie des Druckbegrenzungs-

ventils gemäß Datenblatt1 [12]. Die Endwerte der Simulationsergebnisse für die Volumenströme

(Abb.63 und Abb.64) beschreiben die statische Kennlinie des Ventils [12].

Für die Rechengrößen innerhalb des Modells kann keine Aussage zur Übereinstimmung der Simulati-

onsergebnisse mit der Realität getroffen werden. Diverse Größen wurden durch Abschätzungen

bestimmt. Nur ungenügend abschätzbare Größen wurden anschließend so angepasst, dass sich das

statische und dynamische Verhalten des Ventils gemäß Datenblatt [11] ergibt. Es ist jedoch wahr-

scheinlich, dass auch andere Kombinationen abgeschätzter und entsprechend angepasster Größen zu

sehr ähnlichen Simulationsergebnissen führen.

Insbesondere die elektrischen Komponenten des Ventils wurden sehr vereinfacht dargestellt (vgl.

Kapitel 4.3.5.3). Ihr Verhalten wurde durch Abgleich des Simulationsergebnisses mit den Kennlinien

im Datenblatt [12] angepasst. Soll eine genauere Betrachtung der elektrischen Komponenten

vorgenommen werden, so muss das Simulationsmodell (Abb.58) entsprechend erweitert werden.

Nicht berücksichtigt wurden in dem Modell die Leckvolumenströme durch die Ringspalte zwischen

Ventilschieber und Gehäuse. Mit diesen Leckvolumenströmen fließt auch bei geschlossenem Ventil

ein geringer Ölvolumenstrom von den Versorgungsleitungen in die Leitungen der angeschlossenen

hydraulischen Aktoren. Der Kolben eines Hydraulikzylinders bleibt dadurch, über einen längeren

Zeitraum betrachtet, nicht in seiner Position. Dieser Effekt wird als „Driften“ bezeichnet. Soll das

Driften des Zylinders untersucht werden, so muss das Simulationsmodell (Abb.58) entsprechend

erweitert werden. Im Datenblatt [12] sind jedoch keine näheren Informationen über die Leckvolumen-

ströme enthalten. Eine Betrachtung dieses Effektes wäre also nur qualitativ möglich.

Im Simulationsmodell des Proportionalventils (Abb.58) wird häufig durch einen Switch-Block

entschieden, welche Werte jeweils für die weiteren Berechnungen verwendet werden. Grundsätzlich

werden bei der Simulation jedoch alle Werte innerhalb des Modells berechnet. Dies führt dazu, dass

viele Berechnungen durchgeführt werden, deren Ergebnis nicht benötigt wird. Die Berechnungsdauer

für das Gesamtmodell wird dadurch erhöht. Dies erweist sich insbesondere bei größeren Simulations-

modellen und bei geringen Rechenschrittweiten des Lösungsalgorithmus als nachteilig. Bei dem

Modell des Proportionalventils sind die Rechenschrittweiten aufgrund der Dynamik des modellierten

Systems klein. Da in jedem Rechenschritt alle Größen innerhalb des Modells berechnet werden, ist die

1 Würden hier Abweichungen in Richtung der Zeitachse auftreten, so wäre dies durch die Wahl entsprechend

anderer Federkonstanten korrigierbar (Kapitel 4.3.5.2)

67

Berechnungsdauer entsprechend lang. Sie könnte durch Verzicht der Berechnung nicht benötigter

Rechengrößen verringert werden. Eine Lösung hierfür, etwa die gezielte „Abschaltung“ bestimmter

Simulationsmodellbereiche, ist in MATLAB-Simulink nicht vorgesehen.

68

4.3.6 Zylinder

4.3.6.1 Physikalische Grundlagen

Der Zylinder wird als aus zwei Volumen bestehend betrachtet1 (vgl. Kapitel 4.2). Die Eigenschaften

der beiden Volumen werden dabei von der Position und der Geschwindigkeit des Kolbens beeinflusst.

Durch innerhalb des Zylinders auftretende Leckströme erfolgt ebenfalls eine gegenseitige Beeinflus-

sung der beiden Volumen. Eine schematische Darstellung der Zusammenhänge zeigt Abb.65.

Abb. 65: Schematische Darstellung des Zylinders

Mit den Bezeichnungen in Abb.65 lässt sich die Bewegungsdifferentialgleichung des Kolbens zu

Gl.(36) bestimmen.

LDRC FsFsFpApAsm −−−⋅−⋅=⋅ )()(2211 &&&& (36)

In dieser Gleichung beschreibt der Term )(sFRC & die Coulombsche Reibkraft als Kombination von

Haft- und Gleitreibung gemäß Gl.(9). Infolge toleranzbedingter Luftspalte zwischen Kolben und

Gehäuse entsteht bei der Bewegung des Kolbens durch das Öl eine geschwindigkeitsabhängige

Dämpfungskraft )(sFD & , welche auf Basis von Gl.(8) berechnet werden kann. Der Term LF beschreibt

die äußere Belastung des Kolbens.

Für die als Volumen betrachteten Zylinderkammern ergeben sich die Volumenstrombilanzen gemäß

Abb.65 zu Gl.(37) und Gl.(38).

1 Die Betrachtung des Zylinders erfolgt in Anlehnung an [1] S.75. Einige der in diesem Kapitel

verwendeten Abbildungen basieren auf den dort angegebenen.

p2

V1

A1

KDR KDR

QLi

s

FL m

QLa

Q2 Q1

A2

V2

pLeitung_B pLeitung_C

p1

69

LiVg QQQQ −−= 111 mit sAQV &⋅= 11 (37)

pGQ LiLi ∆⋅=

LaLiVg QQQQQ −−+= 222 mit sAQV &⋅= 22 (38)

pGQ LaLa ∆⋅=

Die Terme Qg1 bzw. Qg2 beschreiben in diesen Gleichungen die Gesamtänderung des Volumenstroms

in der jeweiligen Kammer. Die Gesamtänderung des Volumenstroms bestimmt in Verbindung mit der

Kompressibilität des Öls die Druckentstehung in den Volumen (vgl. Gl.(6) in Kapitel 3.1). Der sich

ergebende Zusammenhang ist für das Volumen V1 in Gl.(39), für das Volumen V2 in Gl.(40) darge-

stellt.

11

11

gQV

p ⋅⋅

=β

& mit K

ferÖlpresszif 1==β (39)

22

21

gQV

p ⋅⋅

=β

& mit K

ferÖlpresszif 1==β (40)

Zu beachten ist in diesen Gleichungen, dass die Volumen V1 und V2 keine konstante Größe haben. Die

Größe der Volumen variiert aufgrund der Bewegung des Kolbens.

Die Anschlüsse des Zylinders sind in Abb.65 als Drosselstellen dargestellt. Der jeweilige Ölvolumen-

strom durch diese Drosselstellen infolge der jeweiligen Druckdifferenz zwischen Zylinderkammer und

am Zylinder angeschlossener Leitung ergibt sich aus Gl.(41) bzw. Gl.(42). Die Signum-Funktion in

diesen Gleichungen legt jeweils das Vorzeichen und damit die Richtung des Volumenstroms fest.

Diese Information geht ansonsten durch die Betragsbildung unter der Wurzel verloren.

BLeitungDRDRBLeitung ppAkppsignQ _1111_1 )( −⋅⋅⋅−= (40)

CLeitungDRDRCLeitung ppAkppsignQ _222_22 )( −⋅⋅⋅−= (41)

Mit diesen Zusammenhängen kann des Strukturbild des Zylinders entworfen werden (Abb.66).

70

Abb. 66: Strukturbild des Zylinders

4.3.6.2 Modellierung mit MATLAB-Simulink

Die Modellierung des Zylinders in MATLAB-Simulink erfolgt auf Basis des Strukturbildes aus

Abb.65. Die geometrischen Daten für die Umsetzungen der Gleichungen werden dabei aus dem

Datenblatt des Zylinders [9] entnommen. Die benötigten, jedoch nicht angegebenen Daten können

anhand der gegebenen Daten abgeschätzt werden.

Die Masse des Kolbens wird anhand seiner Abmessungen unter Verwendung der Dichte von Stahl zu

m=30kg ermittelt.

Zu den Reibungskräften innerhalb des Zylinders sind im Datenblatt [9] keine näheren Angaben

enthalten. Wie bereits beim Druckbegrenzungsventil und beim Proportionalventil werden daher die

Beträge für Haft- und Gleitreibung mit Hilfe von Normalkraft und Gleitreibungskoeffizienten

abgeschätzt. Die Normalkraft des Kolbens ergibt sich aus seiner Gewichtskraft. Anhaltswerte für die

Reibkoeffizienten von Haft- und Gleitreibung einer geschmierten Stahl-Stahl Paarung werden der

Literatur entnommen (z.B.[7]). Damit ergeben sich für die Anwendung von Gl.(9) die Haftreibungs-

kraft zu FHR=30N und die Gleitreibungskraft zu FGR=15N. Diese Werte sind gerundete Rechenergeb-

nisse. Sie geben einen Anhaltswert für die Größenordnung der Kräfte.

In Kapitel 4.3.6.1 wurde die Bestimmung der Leckvolumenströme QLi und QLa nicht näher betrachtet.

Die Leckvolumenströme werden als Volumenströme durch Ringspalte angenommen, welche sich nach

[2] aus Gl.(42) und Gl.(43) bestimmen lassen.

FL

-

pLeitung_B

-

- -

-

-

-

-

s

-

- 1p&Q1 Qg1 1p s&

∫dt ∫dt ∫dt s&& m1

A1

β⋅1

1V

kDR A1

- 2p&Q2 Qg2 2p

∫dt β⋅2

1V

A2

GLi

k

A2

GLa

pLeitung_C kDR

71

)(12

)( 21

3

21 pplhdppGQk

kmkLiLi −⋅

⋅⋅⋅⋅

=−⋅=η

π (42)

mit hk = Ringspaltbreite zwischen Kolben und Gehäuse dmk = mittlerer Ringspaltdurchmesser lk = Ringspaltlänge=Kolbenlänge

2

3

2 12p

lhdpGQks

ksmksLaLa ⋅

⋅⋅⋅⋅

=⋅=η

π (43)

mit hk s= Ringspaltbreite zwischen Kolbenstange und Gehäuse dmk = mittlerer Ringspaltdurchmesser lk = Ringspaltlänge = Kolbenstangendichtungslänge

Die geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft ergibt sich auf Basis von Gl.(8) und den Gleichungen

für die Reynoldszahl [7]. Der Zusammenhang für laminare Strömung ist in Gl.(44) dargestellt.

sd

lAFh

D &⋅⋅⋅

⋅⋅= ϕη

232 = sk &⋅ (44)

mit =A Kolbenquerschnittsfläche =hd Hydraulischer Durchmesser des Kreisringspaltes zwischen Kolbenschieber und Gehäuse

=l Ringspaltlänge = Kolbenlänge =ϕ Beiwert für nicht kreisförmige Querschnitte [7]

Der Faktor k in Gl.(44) kann nun ermittelt werden. Die Abmessungen des Kolbens sind dem Daten-

blatt [9] zu entnehmen. Die dynamische Viskosität des Öls ist in Kapitel 4.3.1 gegeben. Mit der

Annahme einer Spalthöhe =h 0,05mm zwischen Kolben und Zylinderwand ergibt sich skgk 18500≈ .

Die Betrachtung der geschwindigkeitsabhängigen Dämpfung erfolgt hier mit den Werten für das

ausfahren des Kolbens. Die entsprechende Verringerung des Wertes für k für das Einfahren des

Kolbens wird vernachlässigt.

Zur Umsetzung von Gl.(40) und Gl.(41) aus Kapitel 4.3.6.1 bedarf es der Bestimmung der Drossel-

beiwerte kDR1 und kDR2. Die Anschlüsse werden als gleich angenommen, weshalb für beide der gleiche

Drosselbeiwert gilt. Der maximale Volumenstrom beträgt min50 LtrQ = (maximaler Volumenstrom

durch das Proportionalventil). Der Innendurchmessers der Leitungsanschlüsse wird zu dAn=10mm

angenommen. Die Länge der Anschlüsse wird zu lAn=30mm angenommen. Damit ergibt sich der

Drosselbeiwert kgm

DRk 315,0= [7]. Dieser wird vereinfachend als konstant betrachtet.

Mit diesen Festlegungen und Annahmen lässt sich das Simulink-Modell des Zylinders auf Basis des

Strukturbildes (Abb.65) erstellen. Die Initialisierungsdatei des Modells zeigt Abb.67, das Modell zeigt

72

Abb.68. Da in der Initialisierungsdatei des Zylinders Daten des Öls benötigt werden, muss vor dem

Aufruf der Initialisierungsdatei des Zylinders die Initialisierungsdatei des Öls (Kapitel 4.3.1) aufgeru-

fen und von MATLAB abgearbeitet werden.

Die im Simulationsmodell (Abb.68) enthaltenen Anschlag-Subsysteme haben die gleiche Funktion

wie beim Proportionalventil (Kapitel 4.3.5.2) und beim Druckbegrenzungsventil (Kapitel 4.3.4.2). Sie

setzen beim Erreichen einer Anschlagposition des Kolbens die Kolbengeschwindigkeit 0=s& .

Aufgrund der umfangreichen Integralrechnungen im Modell kommt der Wahl des Lösungsalgorithmus

und der Schrittweite hohe Bedeutung zu. Mit dem gewählten Lösungsalgorithmus, „fix step“, „ode5“,

darf die Schrittweite maximal 0,00001s betragen. Versuche zeigen, dass größere Schrittweiten bei dem

gleichen Modell falsche Simulationsergebnisse zur Folge haben. Dies macht sich insbesondere bei den

berechneten Drücken innerhalb der Zylinderkammern bemerkbar.

Eine Besonderheit bei der Wahl der Schrittweite stellen die Anschlagpositionen des Zylinders dar.

Fährt der Zylinder während der Simulation gegen einen seiner Anschläge, so ergeben sich mit der

Schrittweite 0,00001s falsche Simulationsergebnisse. Dies äußert sich insbesondere in falschen

Werten für sich einstellende Drücke und Volumenströme nach erreichen einer Anschlagposition

( 0=s& ). Soll also das erreichen einer Anschlagposition untersucht werden, so ergibt sich die

maximale Schrittweite zu 0,000001s. Das Simulationsergebnis für eine Bewegung ohne Erreichen

eines Anschlages zeigen Abb.69 und Abb.70.

73

Abb. 67: Initialisierungsdatei zum Modell des Zylinders (Abb.68)

74

Abb. 68: Modell des Zylinders

75

Abb. 69: Simulationsergebnis des Modells des Zylinders (Abb.68)

76

Abb. 70: Simulationsergebnis des Modells des Zylinders (Abb.68)

4.3.6.3 Evaluation des Modells

Die Simulationsergebnisse des Modells des Zylinders (Abb.69 und Abb.70) zeigen die Drücke in den

Zylinderkammern, die Volumenstrome durch die Zylinderanschlüsse, die Leckvolumenströme und

den Kolbenweg. Der Startwert des Kolbenweges ist im Geschwindigkeit-Weg-Integrator (Abb.68) zu

s=0,5m festgelegt. Da der Druck in Leitung B größer angegeben ist als in Leitung C (Abb.68), fährt

der Zylinder aus. Der Volumenstrom Q1 in das Volumen V1 ist entsprechend positiv. Der Druck p1 im

Volumen V1 stellt sich geringer ein als der Druck in der Leitung. Der Volumenstrom Q2 ist ebenfalls

positiv. Da der aus dem Volumen V2 abfließende Volumenstrom als positiv definiert ist (vgl. Abb.65),

beschreibt der positive Volumenstrom Q2 einen aus V2 abfließenden Volumenstrom. Der Volumen-

strom Q2 ist betragsmäßig geringer als der Volumenstrom Q1. Dies ist darin begründet, dass sich im

Volumen V2 die Kolbenstange befindet. Das Volumen V2 ändert sich damit bei gleichem Kolbenweg

geringer als das Volumen V1. Der Druck in V2 ist größer als der Druck in Leitung C. Der Volumen-

strom fließt also von einem hohen Druckniveau zu einem niedrigeren. Die Leckströme sind positiv.

Sie fließen also gemäß Abb.65 von Zylinderkammer 1 in Kammer 2 und von Zylinderkammer 2 an die

Umgebung. Dies entspricht in beiden Fällen einem Fluss vom hohen zum niedrigeren Druckniveau.

Diese Auswertung zeigt, dass alle Simulationsergebnisse in sich schlüssig sind. Das Ergebnis für den

Volumenstrom Q1 zeigt jedoch, dass sich der angegebene Zustand im späteren Betrieb nicht einstellen

kann. Der Volumenstrom in den Zylinder ist mit min1 67 LtrQ ≈ größer als der maximale Volumenstrom

durch das Proportionalventil (vgl. Abb.46a), was nicht möglich ist.

Der Drosselbeiwert der Anschlüsse wurde vereinfachend als konstant angenommen (vgl. Kapitel

4.3.6.2). Für eine genauere Abbildung der Realität ist der Drosselbeiwert in Abhängigkeit der

Strömungsgeschwindigkeit zu modellieren. Hierbei ergibt sich, dass die Strömung mit den angenom-

menen geometrischen Daten der Zylinderanschlüsse (vgl. Kapitel 4.3.6.2) turbulent wird, wenn der

77

Volumenstrom größer als min50 Ltr wird. Dies zeigt, dass das Simulationsergebnis in sich schlüssig ist,

jedoch die Realität nur genähert wiederspiegelt.

Ein quantitativer Abgleich des Simulationsergebnis mit dem realen Verhalten des Zylinders ist nicht

möglich. Diverse Daten des Zylinders und insbesondere der Zylinderanschlüsse wurden durch

Abschätzung gewonnen. Aus diesen Daten ergibt sich das dynamische Verhalten des Zylinders im

Simulationsergebnis. Das Datenblatt [9] enthält jedoch keine Angaben zum dynamischen Verhalten.

Eine Überprüfung und ggf. eine Anpassung der durch Abschätzung gewonnenen Daten an das reale

Verhalten des Zylinders ist also nicht möglich.

78

4.4 Zusammenführung der Komponenten Nach der Modellierung aller Einzelkomponenten der hydraulischen Positioniervorrichtung erfolgt die

Zusammenführung der Komponenten zu einem Simulink-Modell. Hierfür werden die Modelle der

Einzelkomponenten (Kapitel 4.3) jeweils zu einem Subsystem zusammengefasst. Die so erhaltenen

Subsysteme werden in einem Gesamtmodell zusammengefügt. Die Verbindungen bzw. Datenleitun-

gen zwischen den Subsystemen werden gemäß Abb.14 umgesetzt. Das sich ergebende Gesamtmodell

der hydraulischen Positioniervorrichtung zeigt Abb.72.

Besonders zu Beachten sind beim Zusammenführen der Einzelmodelle die Namen der Variablen und

Konstanten innerhalb der Modelle. Einige der Variablennamen werden in mehreren Einzelmodellen

verwendet. Nach dem Zusammenfügen kommen in einem solchen Fall im Gesamtmodell einer

Variablen mehrere Bedeutungen zu. Zur Vermeidung der daraus entstehenden Fehler im Simulations-

modell werden die Variablen in den Einzelmodellen und in den Initialisierungsdateien mit Indizes

versehen. In MATLAB und Simulink besteht nicht die Möglichkeit, einen Index tiefgestellt abzubil-

den. Daher wird zur Darstellung eines Index der Unterstrich verwendet. Im Gesamtmodell werden

folgende Indizes verwendet: Für den Zylinder _Z, für die Pumpe _P, für das Proportionalventil _PV,

für das Druckbegrenzungsventil _DBV und für die Leitungen _A, _B und _C.

Die Initialisierungsdateien der Einzelkomponenten können von einer für das Gesamtmodell erstellten

Initialisierungsdatei aufgerufen werden. Eine entsprechende Initialisierungsdatei für das Gesamtmo-

dells zeigt Abb.71.

Im Gesamtmodell werden alle Größen in Si-Einheiten berechnet. Im Modell des Proportionalventils

und der Pumpe erfolgt jedoch die Berechnung von Drücken und Volumenströmen in den Einheiten bar

bzw. minLtr . Es müssen also entsprechende Einheitenumrechnungsfaktoren berücksichtigt werden. Die

Faktoren vor den Scope-Blöcken sorgen für die Ausgabe der Drücke in bar, der Volumenströme in

minLtr und der Strecken in mm.

Abb. 71: Initialisierungsdatei das Modells der

hydraulischen Positioniervorrichtung (Abb.72)

79

Abb. 72: Simulationsmodell der hydraulischen Positioniervorrichtung

80

4.5 Simulation der hydraulischen Positioniervorrichtung

4.5.1 Auswahl und Modellierung des Reglers

Das Regelverhalten des Simulationsmodells der hydraulischen Positioniervorrichtung soll unter

Verwendung eines P-Reglers betrachtet werden. Der Regler wird als Subsystem in das Modell der

hydraulischen Positioniervorrichtung eingefügt (Abb.74). Den Inhalt des Subsystems „Regler“ zeigt

Abb.73. Die Eingänge dieses Subsystems sind die momentane Kolbenposition s-ist und die Sollpositi-

on des Kolbens s-soll. Da die momentane Kolbenposition in der Einheit Meter und die Sollposition in

der Einheit Millimeter in das Subsystem geführt werden, werden sie mit entsprechenden Faktoren

umgerechnet. Dabei wird angenommen, dass der Wegaufnehmer des Kolbens für einen Weg von

s=1m den Wert 10V liefert. Als Reglerverstärkung wird kP=80 gewählt. Das Ausgangssignal des

Reglers darf nicht größer als 10V und nicht kleiner als –10V werden. Der Reglerausgang wird deshalb

mit dem Switch-Block auf maximal 10V und minimal –10V begrenzt. Die Schaltbedingung für den

Switch-Block ist der Wert 10. Ist der Wert des mittleren Eingangs des Blockes kleiner als 10, so wird

der untere Eingang geschaltet.

Abb. 73: P-Regler für die hydraulische Positioniervorrichtung

81

Abb. 74: Modell der hydraulischen Positioniervorrichtung mit Regler

82

4.5.2 Positionierung beim Aus- und Einfahren des Zylinders

Für die Simulation des Regelverhaltens der hydraulischen Positioniervorrichtung wird eine Positionie-

rung auf den halben Kolbenweg (500mm) vorgenommen. Aufgrund der hohen Dynamik des Systems

wird als Lösungsalgorithmus „fix step“, „ode5“ gewählt. Versuche mit dem Modell (Abb.74) zeigen,

dass die Schrittweite des Gesamtmodells nicht größer als 0,00001s gewählt werden darf. Dies erwies

sich bereits bei der Simulation einiger Einzelkomponenten als erforderlich. Wird die Schrittweite

größer gewählt, so ergeben sich für diverse Rechengrößen falsche Simulationsergebnisse. Dies betrifft

insbesondere Drücke in Leitungen, Zylinderkammern und Ventilkammern sowie direkt aus diesen

Drücken resultierende Volumenströme. Da aufgrund der Größe des Modells die Berechnungsdauer für

das Modell sehr lang ist, wird als Startposition für den Kolben die Position s=450mm gewählt. Diese

Startposition wird als Startwert des Geschwindigkeit-Weg-Integrators im Zylindermodell (Abb.68)

bzw. Zylindersubsystemsubsystem (Abb.74) eingegeben. Die Ergebnisse der Simulation zeigen

Abb.75 bis Abb.77.

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Abb. 75: Simulationsergebnis beim Ausfahren des Zylinders: Kolbenweg, Proportionalventilsteuerspannung, Volumenströme in den bzw. aus dem Zylinder, Drücke in Leitung_B und Leitung_C

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Abb. 76: Simulationsergebnis beim Ausfahren des Zylinders: Volumenströme durch das Proportionalventil, aus dem System in den Tank fließender Volumenstrom, Druck in Leitung_A

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Abb. 77: Simulationsergebnis beim Ausfahren des Zylinders: Kolbenschieberweg des Druckbegrenzungsventils, von der Pumpe geförderter Volumenstrom

Beim Einfahren des Zylinders soll hier beispielhaft die Positionierung auf die Position s=900mm

vorgenommen werden. Als Ausgangsposition für den Zylinder wird die Position s=920mm gewählt.

Die Ergebnisse der Simulation zeigen Abb.78 bis Abb.80.

Abb. 78: Simulationsergebnis beim Einfahren des Zylinders: Kolbenschieberweg des Druckbegrenzungsventils, von der Pumpe geförderter Volumenstrom

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Abb. 79: Simulationsergebnis beim Einfahren des Zylinders: Kolbenweg, Proportionalventilsteuerspannung, Volumenströme in den bzw. aus dem Zylinder, Drücke in Leitung_B und Leitung_C

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Abb. 80: Simulationsergebnis beim Einfahren des Zylinders: Volumenströme durch das Proportionalventil, aus dem System in den Tank fließender Volumenstrom, Druck in Leitung_A

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4.5.3 Ergebnisse

Beim Ausfahren des Zylinderkolbens zeigt sich, dass aufgrund der Verwendung eines P-Reglers die

gewünschte Endposition des Kolbens nicht erreicht wird (Abb.75). Die bleibende Regeldifferenz (vgl.

Regelungstechnik, z.B. [18]) beträgt etwa 2mm. Der Kolben fährt vom Startwert 450mm bis etwa

493mm mit maximaler Geschwindigkeit aus. Die Proportionalventilspannung beträgt 10V, das Ventil

ist also maximal geöffnet. Ab der Kolbenposition 493mm (bei etwa 0,45s) beginnt die Verzögerung

infolge des Reglers. Die Spannung für das Proportionalventil wird verringert, das Ventil beginnt also

sich zu schließen. Der Volumenstrom von Leitung_B in den Zylinder verringert sich. Die Kolbenge-

schwindigkeit nimmt folglich ab (Abb.75). Entsprechend wird auch der aus dem Zylinder in Lei-

tung_C abfließende Volumenstrom betragsmäßig geringer. Der Druck in Leitung_B ist bei konstanter

Ausfahrgeschwindigkeit des Kolbens konstant. Mit geringer werdender Ausfahrgeschwindigkeit

verringert sich der Druck in Leitung_B zunächst, bevor er wieder ansteigt. In Leitung_C steigt der

Druck zunächst kurz an, fällt wieder, und steigt dann weiter an. Diese Druckschwankungen in den

Leitungen treten aufgrund von Volumenstromänderungen und Geschwindigkeitsänderungen des

Kolbens aufgrund der modellierten Massenträgheit des Kolbens auf. Die Druckschwankungseffekte

entstehen bis zu dem Zeitpunkt, an dem das Proportionalventil geschlossen ist (bei etwa 0,75s). Nach

dem Schließen des Proportionalventils beginnen sich die Drücke in Leitung_B und Leitung_C durch

weitere Bewegung des Kolbens anzugleichen. Der Druck in Leitung_C bleibt jedoch höher als in

Leitung_B. Dies ergibt sich daraus, dass sich nicht die Drücke, sondern die am Kolben wirkenden

Kräfte betragsmäßig angleichen. Die Kräfte sind jeweils das Produkt aus Druck und Fläche. Die

Kolbenfläche der an Leitung_C angeschlossenen Zylinderkammer ist kleiner als die Kolbenfläche der

an Leitung_B angeschlossenen Zylinderkammer. Entsprechend bleibt nach dem Ausgleich der Kräfte

das Druckniveau in Leitung_C höher als in Leitung_B.

Die Volumenströme durch das Proportionalventil (Abb.76) wachsen infolge des Druckaufbaus in den

Leitungen nach Simulationsbeginn sehr schnell an. Gemäß Vorzeichenvereinbarung sind in das

Proportionalventil einfließende Volumenströme positiv, ausfließende sind negativ. Die Volumenströ-

me fließen also aus Leitung_A über das Ventil in Leitung_B und aus Leitung_C über das Ventil in den

Ölvorratstank. Der Volumenstrom aus Leitung_C in den Ölvorratstank ist kleiner als der Volumen-

strom aus Leitung_A in Leitung_B. Dies ist darin begründet, dass die an Leitung_C angeschlossene

Zylinderkammer ein kleineres Volumen hat, als die an Leitung_B angeschlossene Zylinderkammer

(vgl. Kapitel 4.3.6.2). Der Volumenstrom von Leitung_A in Leitung_B fällt beim Schließen des

Ventils (bei etwa 0,75s) sprungförmig auf den Wert 0 (Abb.76). Dies geschieht, da zum Zeitpunkt des

Schließens eine Druckdifferenz zwischen Schlauch_A und Schlauch_B besteht (Abb.75 und Abb.76).

Der aus der Druckdifferenz resultierende Volumenstrom durch das Ventil wird mit dem Schließen des

Ventils abrupt unterbrochen.

Der über das Druckbegrenzungsventil aus Leitung_A in den Ölvorratstank abfließende Volumenstrom

ist abhängig vom Ventilschieberweg des Druckbegrenzungsventils. Die Graphen ähneln sich entspre-

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chend (Abb.76 und Abb.77). Wenn der Volumenstrom in den Zylinder groß ist, sind die Öffnung des

Druckbegrenzungsventils und damit der über das Druckbegrenzungsventil abfließende Volumenstrom

gering. Beim Schließen des Proportionalventils wird der Volumenstrom in den Zylinder kleiner.

Entsprechend öffnet sich das Druckbegrenzungsventil, um den hier abfließenden Volumenstrom zu

vergrößern. Der Druck in Leitung_A wird so konstant gehalten. Der von der Pumpe geförderte

Volumenstrom ist im mittel konstant (Abb.77). Es ergibt sich im Simulationsergebnis der Pumpe ein

breiter Balken, da die Pulsationsfrequenz so hoch ist, dass in dem betrachteten Zeitraum von 2s die

einzelnen Schwingungszyklen der Pulsation nicht angezeigt werden können (Abb.77). Die Pulsation

des Volumenstromes überträgt sich auf die weiteren simulierte Rechengrößen. Im Diagramm für den

abfließenden Volumenstrom und den Ventilschieberweg des Druckberenzungsventils zeigt sich dies

deutlich durch den breiten Strich für das Simulationsergebnis ab 0,75s. Eine höhere Auflösung dieser

Diagrame (Vergrößerung) zeigt hier die Schwingungseigenschaften. In den weiteren Diagrammen der

Simulationsergebnisse werden die Schwingungen erst bei entsprechender Vergrößerung sichtbar.

Beispielhaft zeigt Abb.81 einen entsprechend vergrößerten Ausschnitt aus dem Diagramm für den

Druck in der Leitung_A (Abb.76).

Abb. 81: Vergrößerter Ausschnitt des Diagramms des Druckes in Leitung_A (vgl. Abb.76)

Bei der Evaluation des Modells des Druckbegrenzungsventils wird erläutert, dass das Simulationser-

gebnis nicht der typischen Übergangsfunktion eines Druckbegrenzungsventils entspricht (vgl. Kapitel

4.3.4.3). Als Grund hierfür wird in Kapitel 4.3.4.3 die Nichtberücksichtigung der Ölkompressibilität in

den Anschlussleitungen des Ventils genannt. Im Gesamtmodell der hydraulischen Positioniervorrich-

tung wird diese Kompressibilität berücksichtigt. Die Übergangsfunktion des Druckbegrenzungsventils

in der Simulation des Gesamtsystems (Abb.74) zeigt Abb.81. Diese Übergangsfunktion entspricht

qualitativ Übergangsfunktionenen, die bei Messungen an Ventilen aufgenommen werden (vgl.

z.B.[1]). Der Systemdruck steigt dabei im Simulationsergebnis auf 450bar an, was an einer Realen

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Anlage unerwünscht ist und zu Beschädigungen führen kann. Dieser hohe Wert für den Druck würde

sich jedoch in einer realen Anlage nicht einstellen können. Der Grund hierfür stellt sich wie folgt dar.

Die Druckwerte resultieren aus dem Volumenstrom der Pumpe, welcher sofort nach Simulationsbe-

ginn den Mittelwert QP=70 minLtr hat. Eine reale Pumpe könnte jedoch keinen derartigen Sprung im

geförderten Volumen erzeugen. Reale Pumpen können den Volumenstrom aufgrund auftretender

Trägheitskräfte nur in endlichen Zeitintervallen verändern (Übergangsfunktionen). Das Simulations-

modell der Pumpe berücksichtigt dies jedoch nicht.

Abb. 82: Sprungantwort des Druckbegrenzungsventils (vergrößerter Ausschnitt aus Abb.76)

Die Ergebnisse für die Simulation des einfahrenden Zylinderkolbens können analog zu denen des

ausfahrenden Kolbens gedeutet werden (s.o.). Infolge der Verwendung eines P-Reglers erreicht der

Kolben die gewünschte Endposition nicht (Abb.79). Die bleibende Regeldifferenz (vgl. Regelungs-

technik, z.B. [18]) beträgt etwa 2mm. Nach Simulationsbeginn wird das Proportionalventil mit der

Spannung -10V versorgt, es ist also maximal geöffnet. Der Kolben bewegt sich folglich mit maximal

möglicher, konstanter Geschwindigkeit. Nach etwa 0,1s beginnt der Regler die Spannung des

Proportionalventils zu verringern. Das Proportionalventil beginnt sich zu schließen und die Volumen-

ströme durch das Proportionalventil (Abb.80) werden geringer. Die Kolbengeschwindigkeit verringert

sich entsprechend. Die Drücke in Leitung_B und Leitung_C steigen nach Simulationsbeginn stark an

und verringern sich ebenfalls mit dem Schließen des Proportionalventils. Für Leitung_B stellt sich ein

geringerer Endwert des Druckes ein, als für Leitung_C. Dies ist, wie bereits erläutert, eine Folge der

unterschiedlichen Kolbenflächen in den Zylinderkammern. Insgesamt stellt sich beim Einfahren des

Kolbens ein höheres Druckniveau in den Leitungen ein, als beim Ausfahren. Beim Ausfahren des

Kolbens ist die Kolbengeschwindigkeit durch den maximalen Volumenstrom in den Zylinder

begrenzt. Dieser Volumenstrom wird vom maximalen Volumenstrom durch das Proportionalventil

bestimmt. Der beim Ausfahren des Kolbens durch Leitung_C aus dem Zylinder abfließende Volumen-

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strom ist kleiner, als der durch Leitung_B in den Zylinder fließende Volumenstrom. Es entsteht beim

abfließenden Volumenstrom also kein Engpass beim Durchfluss durch das Proportionalventil. Beim

Einfahren des Zylinders stellt sich dies anders dar. Die Kolbengeschwindigkeit ist durch den maximal

durch Leitung_B und das Proportionalventil abfließenden Volumenstrom begrenzt. Der über Lei-

tung_C dem Zylinder zugeführte Volumenstrom entspricht dabei nicht dem maximal möglichen Wert.

Die Kolbengeschwindigkeit ist also durch die Begrenzung des abfließenden Volumenstroms geringer,

als dies der zugeführte Volumenstrom ermöglichen würde. Folglich stellt sich beim Einfahren des

Kolbens in den Zylinderkammern und damit auch in den Leitungen ein höheres Druckniveau ein, als

beim Ausfahren.

Im Unterschied zur Simulation beim ausfahrenden Kolben des Zylinders wird bei der Simulation des

einfahrenden Kolbens die am Proportionalventil anliegende Spannung betragsmäßig nicht kleiner als

2V. Dies ergibt sich durch die gewählte Kombination von Reglerverstärkung und Start- und Endwert

der Kolbenposition. Die Eingangsspannung des Proportionalventils ist über einen längeren Zeitraum in

der Nähe von –2 Volt (Abb.79). Beim Proportionalventil findet bei einer Spannungsversorgung von

2V bzw. –2V der jeweilige Übergang zwischen Öffnen und Schließen statt. Das Proportionalventil

befindet sich also über einen gewissen Zeitraum nahe der Grenze zwischen Öffnen und Schließen.

Dies hat in der Simulationsrechnung Auswirkungen auf mehrere Ergebnisse. Der aus Leitung_A durch

das Proportionalventil in Leitung_C fließende Volumenstrom weist im Bereich von 0,7s bis 0,9s

Schwingungen auf (Abb.80). Der Volumenstrom aus Leitung_C in den Zylinder wird negativ und

unterliegt im negativen Bereich hochfrequenten Schwingungen (Abb79).

In den Simulationsergebnissen für die Leitung A, das Druckbegrenzungsventil und die Pumpe zeigen

sich keine derartigen Auswirkungen. Der über das Proportionalventil in den Ölvorratstank abfließende

Volumenstrom wird geringer, wenn der Volumenstrom in den Zylinder ansteigt. Bei Verringerung des

Volumenstroms in den Zylinder wird der über das Druckbegrenzungsventil abfließende Volumen-

strom entsprechend größer. Nach der Schließung des Proportionalventils entspricht der über das

Druckbegrenzungsventil abfließende Volumenstrom dem von der Pumpe geförderten Volumensstrom.

Der Druck in der Leitung_A bleibt dadurch im Mittel konstant (Abb.80). Er unterliegt jedoch, wie

beim Ausfahren des Zylinders, Schwankungen infolge der Volumenstrompulsation der Pumpe (s.o.).

92

5 Evaluation des Modells und Ausblick Die Ergebnisse der Simulation der hydraulischen Positioniervorrichtung werden in Kapitel 4.5.3

dargelegt. Mit den dargestellten Zusammenhängen sind die Simulationsergebnisse in sich weitgehend

schlüssig. Durch die Funktion der Positioniervorrichtung nicht erklärbar sind in einigen Simulations-

ergebnissen auftretende Schwingungen (vgl. z.B. Abb.75: Q_Leitung_B_Zylinder und Abb.79:

Q_Leitung_B_Zylinder). Versuche zeigen, dass diese Schwingungen durch simulationsbedingte

Rechenfehler entstehen. Bei einer Verkleinerung der Rechenschrittweite des Lösungsalgorithmus

treten diese Fehler in den Simulationsergebnissen nicht mehr auf.

Unter Berücksichtigung der Ausführungen bei den Evaluationen der Einzelkomponenten lässt sich

damit folgende zusammenfassende Aussage treffen:

Die Simulationsergebnisse sowohl der Einzelkomponenten als auch des Gesamtmodells der hydrauli-

schen Positioniervorrichtung sind in sich schlüssig und geben qualitativ die an realen Bauteilen

auftretenden Effekte wieder. Dies lässt auf die weitgehende Richtigkeit der gebildeten Modelle

schließen. Eine Aussage über die quantitative Übereinstimmung der Simulationsergebnisse mit der

Realität ist für das Gesamtmodell der hydraulischen Positioniervorrichtung jedoch nicht möglich. Dies

ist in den Modellen der einzelnen Bauteile der Positioniervorrichtung begründet. Es stellt sich

folgender Zusammenhang dar: Liegen Informationen über das reale statische und dynamische

Verhalten eines Bauteils vor, so kann die Übereinstimmung des Simulationsergebnisses mit der

Realität für dieses Bauteil geprüft werden. Gegebenenfalls können erforderliche Anpassungen des

Modells vorgenommen werden. Dies ist z.B. beim Proportionalventil der Fall. Die quantitative

Übereinstimmung der Simulationsergebnisse mit der Realität ist hier hinreichend gegeben (vgl.

Proportionalventil, Kapitel 4.3.5). Liegen jedoch keine Informationen über das reale Verhalten eines

Bauteils vor, so können die Simulationsergebnisse nur qualitativ mit allgemeinen Daten gleichartiger

Bauteile verglichen werden. Eine Aussage über die quantitative Übereinstimmung von Realität und

Simulationsergebnis ist für diese Bauteile nicht möglich (vgl. Druckbegrenzungsventil, Kapitel 4.3.4

und Kapitel 4.5.3). Das Modell der hydraulische Positioniervorrichtung enthält also Modelle von

Bauteilen, für die eine Aussage zur quantitativen Übereinstimmung zwischen Realität und Simulati-

onsergebnis nicht möglich ist. Damit ist eine solche Aussage auch für das Gesamtmodell nicht

möglich.

Bei dem Modell der hydraulischen Positioniervorrichtung ist die Berechnungsdauer für die Simulati-

onsrechnung sehr lang. Die Simulation eines Zeitraumes von 2s, deren Ergebnisse in Kapitel 4.5.3

dargestellt sind, benötigt mit dem verwendeten PC1 etwa 8,5 Minuten. Bei einer Verringerung der

Rechenschrittweite zur Verbesserung der Simulationsergebnisse (s.o.) wird die Berechnungsdauer

noch weiter erhöht. Dies ist vor allen Dingen in der umfangreichen Modellierung der dynamischen

1 Intel Pentium 4, 1,4GHz, 256 MB DDR RAM

93

Zusammenhänge des Systems begründet. Diese umfangreichen Modellierungen wurden gewählt, um

in dieser Arbeit möglichst viele Aspekte bei der Modellierung hydraulischer Systeme zumindest in

Ansätzen darzulegen. Bei gezielten Untersuchungen mit dem Gesamtmodell der hydraulischen

Positioniervorrichtung wäre zu prüfen, ob einige der hier modellierten dynamischen Effekte zu

Gunsten der Berechnungsdauer vernachlässigt werden können. Denkbar wäre dies etwa bei der

Verwendung des Simulationsmodells für die Auswahl und Überprüfung des Reglers für die hydrauli-

sche Positioniervorrichtung. Hier wäre zu prüfen, ob mit vereinfachter Modellierung z.B. des

Zylinders ebenfalls hinreichend genaue Aussagen zum Regelverhalten getroffen werden können.

Eine weitere Ursache langer Berechnungszeiten wurde bereits am Beispiel des Proportionalventils in

Kapitel 4.3.5.3 angedeutet. Sie tritt beim Modell des Proportionalventils besonders deutlich hervor,

besteht jedoch in unterschiedlicher Ausprägung in allen Modellen der Komponenten der hydraulischen

Positioniervorrichtung und stellt sich wie folgt dar: Die Entscheidung für die Weiterverwendung von

Rechenergebnissen wird in der Simulationsrechnung mit MATLAB-Simulink sehr häufig mit Switch-

Blöcken getroffen. Die Switch-Blöcke sind dabei einer Berechnung grundsätzlich nachgeschaltet. Es

werden also mehrere Größen berechnet und anschließend wird mit dem Switch-Block entschieden,

welche von ihnen an die darauf folgenden Berechnungen weitergeleitet wird. Auf diese Weise werden

im Simulationsmodell in jedem Rechenschritt umfangreiche Rechnungen angestellt, deren Ergebnis

nicht benötigt wird. Durch einen gezielten Verzicht auf diese nicht benötigten Berechnungen könnte

die Berechnungsdauer verringert werden. Eine Lösung hierfür, etwa die gezielte „Abschaltung“

bestimmter Simulationsmodellbereiche, ist in MATLAB Simulink jedoch nicht vorgesehen.

Die bisher getroffenen Aussagen zur Bewertung des erstellten Simulationsmodells beziehen sich auf

die Verwendung des Gesamtmodells. Bei einer Simulationsrechnung kann jedoch, je nach Untersu-

chungsziel, auch nur das Verhalten einzelner hydraulischer Bauteile und besonderer Effekte innerhalb

dieser Bauteile von Interesse sein. Für derartige Untersuchungen ergeben sich innerhalb dieser Arbeit

diverse Ansätze. So kann das Modell der Pumpe auf eine Untersuchung des Zusammenwirkens

zwischen Pumpe und Pumpenantriebsmaschine erweitert werden. Ebenfalls wäre eine Modellbildung

der Pumpe unter Berücksichtigung von Ölkompressibilität und Pumpenumsteuerzeitpunkten denkbar.

Im Proportionalventil wurden auftretende Leckströme vereinfachend vernachlässigt. Hier stellen

entsprechende Erweiterungen des Modells Möglichkeiten für weitere Untersuchungen dar. Schließlich

wurde in dieser Arbeit der gesamte Bereich der Veränderlichkeit des Öls während des Betriebes einer

Anlage vernachlässigt. Auch hier bieten sich umfangreiche Ansätze für weitere Untersuchungen durch

erweiterte Modellbildungen.

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