ensino de fraÇÕes por atividades · educação matemática – xii epaem. a partir do tema...

ENSINO DE FRAÇÕES POR ATIVIDADES

Organizadores

Acylena Coelho Costa Fernando Cardoso de Matos Reginaldo da Silva

BELÉM - PARÁoutubro 2019

Pedro Franco de SáKamilly Suzany Félix Alves

Organizadores Acylena Coelho Costa Fernando Cardoso de Matos Reginaldo da Silva

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo José Carlos de Sousa Pereira José Messildo Viana Nunes Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias Natanael Freitas Cabral Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)Belém - Pará - Brasil

Ensino de Frações Por AtividadesBelém : Sociedade Brasileira de Educação

Matemática - SBEM, 2019.1. Educação - Finalidade e objetivos

2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -

Formação 7. Sala de aula - Direção I. Franco de Sá, Pedro. II. Suzany

Félix Alves, Kamilly.Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI).

119p.

ISBN 978-65-5076-007-6 (V.7 ) ISBN 978-65-5076-000-7 (Coleção )

CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos in-fratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos Vice-diretor: Reginaldo da Silva Secretário: José Carlos de Sousa Pereira Secretário: José Messildo Viana Nunes Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo Secretário: Natanael Freitas Cabral Tesoureiro: Acylena Coelho Costa Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Apresentação

Com o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua

sexta edição durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas, tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se, nesse sentido, que a publicação desse material permita que estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de cada um dos leitores.

Boa leitura!

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias (Membro da Diretoria da SBEM-PA)

ENSINO DE FRAÇÕES POR ATIVIDADES

Pedro Franco de SáKamilly Suzany Félix Alves

SUMÁRIO

ALTAS HABILIDADES OU SUPERDOTAÇÃO E GRUPO DE PES-QUISA RUAKÉ: PRIMEIRAS REFLEXÕES ..........................................ALTAS HABILIDADES OU SUPERDOTAÇÃO: DIVERGÊNCIAS E CONVERGÊNCIAS ...................................................................................ALTAS HABILIDADES OU SUPERDOTAÇÃO E TEORIAS DE APRENDIZAGENS: ALGUMAS CONEXÕES .....................................ALTAS HABILIDADES OU SUPERDOTAÇÃO E A EDUCAÇÃO MA-TEMÁTICA: ALGUMAS APROXIMAÇÕES ........................................ALTAS HABILIDADES OU SUPERDOTAÇÃO E EDUCAÇÃO MATE-MÁTICA: ATIVIDADES REFLEXIVAS .................................................ATIVIDADE 1: CONHECER PARA ENSINAR ....................................ATIVIDADE 2: POTENCIALIDADES NO ENSINO ...........................REFERÊNCIAS ...........................................................................................DADOS SOBRE OS AUTORES ...............................................................INTRODUÇÃO .......................................................................................... 13ASPECTOS HISTÓRICOS DAS FRAÇÕES ......................................... 14ESTUDOS EXPERIMENTAIS SOBRE O ENSINO DE FRAÇÕES .... 25CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA POR ATI-VIDADES .................................................................................................. 45ATIVIDADES PROPOSTAS .................................................................... 49Atividade 2 .................................................................................................. 52Atividade 6 .................................................................................................. 82Atividade 7 ................................................................................................. 83Atividade 8 .................................................................................................. 84Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI .............................. 121

Pedro Franco de Sá - Kamilly Suzany Félix Alves

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INTRODUÇÃO

A preocupação com o processo de ensino, aprendizagem e avaliação da Matemática Escolar tem sido uma constante nos congressos e encontros que reúnem professores que lecionam Matemática nos Anos Iniciais e Finais do Ensino Fundamental, do Ensino Médio da Educação Básica e do Ensino Superior. Nestes eventos entre os muitos conteúdos que são apresentados como merecedores de atenção da pesquisa em Educação Matemática é o relacionado aos números racionais, sendo ainda mais especifico as frações.

A maneira mais frequente em que o ensino de matemática acontece é a que segue o seguinte roteiro: apresentação de conceito, exemplos, contraexemplos, propriedades seguidas de questões para serem resolvidas. Este caminho metodológico para o ensino de matemática não tem se mostrado o mais eficiente já faz tempo, em particular para o ensino de frações também.

O conteúdo de frações que está previsto para ser trabalhado pedagogicamente na Educação básica vai desde o conceito de fração, passando pelas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão incluindo a resolução de questões envolvendo as referidas operações. Esse conteúdo é um dos que os estudantes mais apresentam dificuldade de dominar de maneira desejável.

A nossa experiencia docente mostra que é possível

Coleção VI - Educação Matemática na Amazônia - V. 7

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desenvolver esses conteúdos de uma maneira que se torne mais acessível aos estudantes do Ensino Fundamental. Essa maneira mais favorável já foi desenvolvida de maneira não sistematizada desde os anos de 1980 e muitas delas foram validada por meio da pesquisa de Alves (2018).

Com a intenção de divulgar a alternativa metodológica para o ensino de frações e suas operações é o objetivo do presente trabalho que ora estamos apresentando.

O texto apresentado aborda os seguintes itens: aspectos curriculares das frações, estudos sobre o processo de ensino, aprendizagem de frações, aspectos históricos das frações, considerações sobre o ensino de matemática por atividades e atividades para o ensino de frações. ASPECTOS HISTÓRICOS DAS FRAÇÕES

Para conhecermos os aspectos históricos que permeiam as Frações, precisamos inicialmente, conhecer como se deu o desenvolvimento histórico deste conteúdo matemático. A História da Matemática nos apresenta como se deu a evolução deste conteúdo desde épocas mais remotas até os dias atuais com a contribuição de alguns povos, com suas diferentes representações ao longo do tempo.

Boyer (1996) conjectura não ter havido necessidade dos homens primitivos usarem as frações. Somente com o aparecimento de culturas mais avançadas, durante a Idade do Bronze, parece ter surgido a necessidade da utilização do conceito de fração e notação para representar as frações. Para os egípcios, o aspecto


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mais notável é o seu cálculo de frações, onde todas as frações eram reduzidas a somas das chamadas frações unitárias e isso só era possível através de tabelas, exemplo disso é o Papiro de Rhind.

Com a descoberta do Papiro de Rhind (descoberto em 1858; escrito por volta de 1650 a. C. por Ahmes) e do Papiro de Moscovo e seus problemas matemáticos, constata-se que já havia familiaridade com o uso das Frações unitárias, que possuíam uma notação especial, presentes em inscrições hieroglíficas que se apresentavam da seguinte maneira:

O recíproco de qualquer inteiro era indicado simplesmente colocando sobre a notação para um

inteiro um sinal oval alongado. A fração aparecia

então como e como . Na notação hierática dos papiros, o oval alongado é substituído por um ponto, colocado sobre a cifra para o inteiro correspondente (ou sobre a cifra da direita no caso do recíproco de um número multidígito). No

Papiro de Ahmes, por exemplo a fração aparece

como e como (BOYER, 1996, p. 9).

Conforme Ifrah (1997a, p. 349) este sinal oval era o hieróglifo da boca, que tinha o sentido de “parte” e era colocado embaixo do número que servia de denominador.


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Figura 1 – Frações Egípcias: notação

Fonte: Ifrah (1997a, p. 349)

Algumas Frações recebiam representações especiais, como que era representado por hieróglifo que exprimia a ideia de “metade”, por um hieróglifo que significava “duas partes” e como por um hieróglifo que denotava “três partes”, conforme Ifrah (1997a, p. 349).

Embora Cajori (1993, p. 13), Smith (1958) e Boyer (1996) anunciem a fração como uma representação usual, com o símbolo oval; Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 16) explicitam que os egípcios utilizavam um símbolo especial para esta fração também. Vejamos a imagem (Figura 2) a seguir:

Figura 2 – Frações Egípcias: representações especiais

Fonte: Bunt, Jones e Bedient (1988, p.16)

Cajori (1993) nos apresenta as várias formas como as frações se apresentavam no Egito:


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Figura 3 – Frações Egípcias: variação dos símbolos

Fonte: Cajori (1993, p. 13)

Com exceção de e , os egípcios só utilizavam as frações unitárias, não reconheciam frações de numerador além da unidade. Ifrah (1997a) apresenta que para exprimir, por exemplo, o equivalente de nossa fração , eles decompunham em uma soma de frações com numerador 1. Assim:

= +

Em notação egípcia da época, teríamos a fração como na imagem 4:


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Figura 4 – Frações Egípcias: não unitárias

Fonte: Ifrah (1997a, p. 349)

Para Boyer (1996), estas frações unitárias eram bastante manipuladas em Ahmes, porém a fração geral era tomada como um enigma para os egípcios. A fração era utilizada de maneira livre e era atribuído um sinal hierático 2. Ocasionalmente usavam sinais especiais para frações da forma , os complementos das frações unitárias.

Nos processos aritméticos, a fração era utilizada de maneira especial, tal que para encontrar a terça parte de um número, primeiramente calculavam dois terços e tomavam depois a metade disso. Os egípcios conheciam e usavam o fato de dois terços da fração unitária ser a soma de duas frações unitárias

e . Porém, como confirma Boyer (1996), parece que tirando a fração os egípcios consideravam a fração racional própria geral da forma não como algo elementar, mas como parte de um processo inacabado, assim, as frações eram sempre pensadas como somas de frações unitárias.

A operação aritmética fundamental no Egito era a Adição, já as operações, hoje conhecidas como multiplicação e divisão eram efetuadas por sucessivas duplicações, o que levou esse povo a alcançar grande virtuosidade no processo de duplicação e do conceito de Fração unitária, perceptível nos cálculos dos problemas do Papiro de Ahmes.


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Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 18) apresentam que os egípcios utilizavam uma representação diferente para facilitar no momento de realizar cálculos com as frações, por exemplo, era representado por , e, generalizando, era .

Para Ifrah (1997b, p. 327), a notação moderna das frações ordinárias deve-se aos hindus, que devido ao uso de um sistema decimal posicional, chegaram a simbolizar de maneira semelhante, como usamos atualmente, uma fração como ; onde 34 é o numerador e 1265 é o denominador. Esta notação foi aperfeiçoada e adotada pelos árabes, que inventaram a barra horizontal.

Os Babilônios, conforme Boyer (1996), a cerca de 5.000 anos atrás, obtiveram um nível de superioridade matemática com relação aos egípcios. Esta civilização da Mesopotâmia atingiu uma grande habilidade para calcular com um sistema sexagesimal, utilizando uma notação posicional própria, apesar de o sistema decimal já ser comum à maioria das civilizações, tanto antigas como modernas, talvez justificado na astronomia, ou por uma grandeza de sessenta unidades ser facilmente subdividida.


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Figura 5 – Frações Babilônicas: notação

Fonte: Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 46)

Para Ifrah (1997b) os babilônios, partindo do principio de posição e ao representar frações cujo denominador é uma potencia de 60, utilizavam o que hoje chamamos de potências negativas de 60: (60-1 = 1/60, 60-2 = 1/602 = 1/3.600, 60-3 = 1/603 = 1/216.000 etc.). Dessa maneira, a numeração era desenvolvida à esquerda em potências positivas de 60 (601, 602, 603 etc) e à direita em potências negativas de 60 (1, 60-1, 60-2, 60-3 etc). Para o autor, este sistema era:

(...) exatamente da mesma maneira como o desenvolvimento dos números em potências positivas ou negativas de dez de nosso sistema decimal. A única diferença é que não houve no sistema nenhum sinal comparável a nossa vírgula para permitir a separação da parte inteira da parte fracionária (IFRAH, 1997b, p. 307).

A falta deste sinal para separar a parte inteira da parte


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fracionária foi razão para dificuldades nas interpretações das notações numéricas utilizadas pelos babilônios.

Os gregos usavam uma representação simples, com frações unitárias. Na carência de um sistema uniforme, os gregos usavam as frações unitárias egípcias, as frações sexagesimais da Babilônia, além das frações cuja notação se assemelha a nossa.

Para os gregos, conforme Bunt, Jones e Bedient (1988, p. 68) e Smith (1958), o numerador recebia um acento e o denominador era repetido e recebia dois acentos, assim:

= β’γ”γ”

Posteriormente, durante o período alexandrino, o hábito grego antigo de usar frações comuns com o numerador embaixo do denominador foi invertido, começaram a usar como notação o denominador acima do numerador, ainda sem o uso da barra, e foi nessa forma que os hindus o adotaram, sem a barra entre eles, da seguinte maneira:

Boyer (1996) indica que parece ter havido algum contato entre a Índia e a China e desta com o Ocidente, mas os estudiosos não estão de acordo quanto à extensão e ao sentido do conhecimento emprestado entre esses povos. O fato de a notação chinesa permanecer essencialmente decimal, com notações diferentes das de outros países, faz com que não se consiga perceber influencias dos babilônios e dos gregos na matemática chinesa. Pois não há


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referência de os chineses terem usado frações sexagesimais.

Os chineses conheciam as operações com frações comuns, para as quais achavam o mínimo denominador comum. Como em outros contextos, viam analogias com diferenças entre os sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”. A ênfase sobre yin e yang (opostos, especialmente em sexo) tornava mais fácil seguir as regras para manipular frações (BOYER, 1996, p. 137)

A descrição mais importante da numeração chinesa era a tendência ao uso das frações decimais. Conforme Boyer (1996), a adesão à ideia decimal em pesos e medidas teve como resultado um hábito decimal no tratamento de Frações que pode ser encontrado já no século XIV a. C.

Os Árabes utilizavam as frações decimais, talvez por influência da China, e percebendo a importância do notável matemático Jamshid Al-Kashi e sua contribuição para este assunto, este foi considerado o inventor das frações decimais, indicando que as decimais são igualmente convenientes para problemas que exigiriam muitas casas exatas. Este matemático, embora tivesse precursores, foi o primeiro, dentre os que usavam frações sexagesimais, a sugerir que as decimais são igualmente convenientes para problemas que exigem muitas casas exatas (BOYER, 1996, p. 167).

Já na Idade Média, Fibonacci usava regularmente a barra horizontal para Frações, conforme afirma Boyer (1996). Este matemático foi um dos primeiros a separar o numerador do denominador por um traço. Antes dessa época, quando as frações


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eram escritas em algarismos hindu-arábicos, o denominador era escrito embaixo do numerador, mas sem qualquer sinal de separação. Apenas no século XVI o uso da barra tornou-se comum (a barra inclinada foi sugerida em 1845, por De Morgan), conforme indica o autor (p.173).

=

A partir do século XVI, coube aos europeus tornar compreensível a aplicação do princípio posicional aos submúltiplos da unidade, tornando possíveis os cálculos com quantidades menores que a unidade, sem o uso de frações. A transição da Renascença para o mundo moderno também se fez por meio de um grande número de matemáticos, dentre eles, há alguns que contribuíram para a o surgimento das frações decimais, conforme Jucá (2008).

Segundo Ifrah (1997b, p. 328), em 1582 o belga Simon Steven separou a parte inteira da parte decimal de 679,567 da seguinte maneira:

679(0) 5 (1) 6 (2) 7 (3)Dessa maneira, simbolizou 679 partes inteiras, 5 décimos,

6 centésimos e 7 milésimos, o que, para o autor, foi um passo decisivo ruma a nossa notação atual.

Simon Stevin, em 1585, fez uma recomendação em favor da escala decimal para frações e inteiros. Boyer (1996) aponta que Stevin deu o primeiro tratamento sistemático às frações decimais, que buscava ensinar como efetuar, com mais facilidade, as


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computações por meio de inteiros sem frações.A organização lógico-histórica do conceito de fração e da

evolução de sua representação numérica perpassa séculos, desde as frações unitárias dos egípcios até o nosso sistema de numeração decimal posicional dos dias de hoje. A origem deste conhecimento matemático está estreitamente relacionada ao problema de medida e na busca de uma notação para representar esta medida.


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Capítulo 1

ESTUDOS EXPERIMENTAIS SOBRE O ENSINO DE FRAÇÕES

A pesquisa dos autores Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005) apresentou como objetivo a discussão de uma proposta metodológica como alternativa para abordar a introdução do conteúdo de frações, de maneira distinta da tradicional, tomando como ponto de partida da aprendizagem a própria Matemática. O conceito de fração é construído através de figuras, que funcionam como modelos visuais - usadas com alunos do 2º ciclo (3ª e 4ª séries) do ensino fundamental em Portugal. A proposta iniciou com uma experiência em sala com alunos de 5º ano (5ª série).

Para os autores, as estratégias informais usadas pelos alunos na resolução de tarefas em contextos de partilha equitativa, ajudam a construir o conceito de fração de forma significativa, valorizando ao mesmo tempo, a compreensão e a participação ativa do aluno no seu próprio processo de aprendizagem. Conforme os autores, a abordagem apresentada no estudo, foi inspirada no trabalho de Stree (1986, 1991), sobre o ensino e aprendizagem das frações e que se insere na corrente matemática designada por Matemática Realista, uma teoria de Educação Matemática vem sendo desenvolvida no Instituto Freudenthal na Holanda. Esta é uma teoria em constante construção, mas que teve o seu ponto de partida na ideia de Freudenthal, onde a Matemática é em primeira


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instância uma atividade humana, que passou a constituir um corpo organizado de conhecimentos, no entanto a sua essência esta no processo que conduz a estruturas matemáticas. Segundo o teórico, os alunos, deveriam aprender Matemática, através do fazer Matemática, matematizando assuntos da realidade do dia-a-dia e matematizando a sua própria atividade.

Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), mostram a fração, em situações de partilha equitativa, onde o dividendo é quase sempre um múltiplo do divisor; no caso do quociente não ser um número inteiro, os alunos, apresentaram os resultados na forma de número decimal. Os trabalhos eram realizados em grupos à volta de variados problemas de partilha equitativa, sem alguma explicação prévia de como podiam ou deveriam resolvê-los.

Durante a investigação, no 5º ano (5ª série), os alunos não tinham estudado frações no 1º ciclo (1ª e 2ª séries), o que, aliás, acontece com grande parte dos alunos portugueses, apesar destas fazerem parte do programa do 1º ciclo em vigor. Os autores concluíram que ao longo do tempo, os alunos, recorreram cada vez mais ao uso dos símbolos das frações, notando-se também que nenhum dos grupos apresentou respostas sem sentido, o que revela que possuem implicitamente conceitos significativos. No caso das frações decimais, as produções permitiram destacar a existência de diferentes designações para o mesmo número racional, especificamente os numerais decimais, as frações e as percentagens – com exemplo: 3/4 = 0,75 = 75%.

O fato dos autores partirem de estratégias informais dos alunos, dando espaço ao trabalho e ao nível de compreensão


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de cada grupo, possibilitou que todos os conceitos estudados, que são reconhecidos como complexos, fossem resgatados pelos alunos. Assim, de acordo com Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005), apontam que uma primeira abordagem às frações em contextos significativos para os alunos, proporciona, às crianças, um trabalho em diversificadas situações, onde as frações surgem com diferentes significados. Os autores ainda apontam a necessidade de dar tempo aos alunos para agregar todos os conceitos fracionários e as suas relações, sem pressa em introduzir regras e algoritmos, correndo o risco de fazê-los antes que estes possam ter significado.

O trabalho de Silva (2007), realizado com alunos da EJA (Educação de Jovens e Adultos), através de atividades mediadas e sequência didática, teve como objetivo melhorar a apreensão e compreensão no ensino e aprendizagem de números racionais em sua representação decimal e fracionária, considerando os conhecimentos prévios dos mesmos. A investigação tem como objetivo analisar o potencial de uma sequência didática para a inclusão de alunos de EJA no processo de ensino e aprendizagem de frações em suas formas fracionária e decimal.

O autor utilizou: relação parte-todo, operador, equivalência, razão, quociente e decimal, escolhidos a partir dos resultados obtidos na aplicação de uma atividade diagnóstica, em relação aos conhecimentos dos números racionais. Esta atividade foi baseada nos erros detectados por Perez (1988), em sua pesquisa sobre o ensino dos números racionais na representação decimal. Tácio Silva (2007) considera os erros apontados por Perez (1988), como obstáculos à aprendizagem. Os erros abordados pelo autor foram:


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erros relacionados com o zero; erros relacionados com a ordem dos decimais e erros relacionados com as operações.

Assim, apresenta-se a proposta de uma sequência didática a ser desenvolvida em 10 aulas, dirigida a 30 alunos do 3º nível da EJA. As atividades foram elaboradas considerando os seguintes pontos: abordagem dos conhecimentos prévios, conceito, objetivos, material necessário e procedimentos que os alunos deverão realizar. Em suas conclusões, o autor, apresenta alguns resultados positivos evidenciados na aplicação da sequência didática elaborada, como: aumento na frequência escolar dos sujeitos da pesquisa e sua consequente inclusão no processo de ensino e aprendizagem; superação de algumas hipóteses, que levaram a identificação dos racionais e os naturais; a compreensão entre números positivos e medida, a partir de figuras que representavam medidas; obtenção da capacidade de relacionar os números racionais na representação fracionária e decimal, superando, ao menos neste caso, a fragmentação excessiva do conhecimento matemático.

O autor aponta também a obtenção de habilidade na resolução de algumas questões relacionadas a operações de adição e subtração, sem a utilização da técnica que utiliza o mínimo múltiplo comum, afirmando que, a sequência didática de atividades aplicadas em sala de aula, colaborou para que os alunos superassem algumas dificuldades, detectadas anteriormente, na aprendizagem de conceitos fracionários. Apesar de projetar uma resistência dos alunos adultos em trabalhar com material manipulativo, como palitos e material dourado, durante as aulas


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isto não ocorreu. O autor comenta ainda, que tais materiais foram de grande ajuda na compreensão das noções envolvidas nas atividades.

Druzian (2007), em seu estudo, teve como objetivo analisar, por meio do emprego de uma metodologia lúdica, as contribuições de jogos didáticos no ensino aprendizagem de frações. Para isso, utilizou como sujeitos de pesquisa, 28 alunos de uma turma de 5a série do ensino fundamental de uma escola estadual, divididos em 7 grupos. A metodologia escolhida para a investigação foi de cunho qualitativa, na modalidade estudo de caso.

O autor utilizou as técnicas: observação participante, diário de campo, gravações em áudio, análise, de documentos e questionário. Antes de iniciar a aplicação dos jogos, a professora introduziu o conceito de fração e propôs aos alunos várias atividades. Após os alunos assimilarem o conceito e o reconhecimento das frações, iniciou-se a aplicação dos jogos para desenvolver o estudo das frações.

A análise constatou que o aluno, ao jogar, deixa de ser apenas ouvinte passivo das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo sua própria aprendizagem. Após duas semanas de trabalho, o autor, percebeu que os jogos auxiliaram os alunos na aprendizagem dos conteúdos relacionados com frações.

Com a finalidade de avaliar o desempenho dos alunos e compará-lo com o trimestre anterior, no qual não se usou jogos nas aulas de Matemática, o autor realizou uma análise de trabalhos, testes e provas: notou que 68% dos alunos da turma apresentou um melhor rendimento; 14% mantiveram a mesma média; e os


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outros 18% não obtiveram sucesso no rendimento do 2º trimestre.A dissertação de Secco (2007) traz como proposta de ensino

um ambiente interativo de aprendizagem de Fração, para abordar as séries iniciais do Ensino Fundamental, com o objetivo de melhorar a interação entre aprendiz e sistema. Para a realização deste trabalho, a autora utilizou a Aprendizagem Baseada em Problemas através da implementação de funcionalidades de um ambiente computacional de aprendizagem, na modalidade Sistema Tutor Inteligente.

A autora, para obter uma avaliação do ambiente de aprendizagem proposto, realizou um experimento com 26 alunos da quarta série de uma escola municipal de Alagoas e dois professores da área. Inicialmente, a autora aplicou um pré-teste com os estudantes, juntamente com interação e explicação sobre o sistema. Posteriormente, aplicou-se um pós-teste, com o intuito de avaliar o conhecimento dos alunos antes e depois do uso do ambiente.

Como principais resultados a autora assinala que: os estudantes sentiram um pouco de dificuldade em interagir com o sistema devido a falta de conhecimento básico em informática; os professores avaliaram o sistema como bom, porém um pouco lento.

Com a finalidade de comprovar os resultados do experimento, a autora organizou uma nova seção com seis alunos selecionados do universo de 26 alunos pesquisados, pois estes usavam frequentemente o computador. Divididos em duplas, os alunos interagiram durante 30 minutos com o ambiente.


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Secco (2007) observou que os alunos não lembravam mais do conceito de numerador e denominador de Fração, o que dificultou a resolução do problema apresentado, porém após uma ajuda a respeito dessas dificuldades, conseguiram seguir adiante com a atividade, explorando inclusive a operação de subtração de Fração; os alunos sentiram dificuldade em capturar no texto as Frações e operações a serem utilizadas na resolução do problema proposto. Após a atividade os alunos demonstraram satisfação e curiosidade em relação ao ambiente.

O estudo de Rosa (2007) teve como objetivo determinar se o uso de planilha como recurso no ensino dos números racionais na Educação Básica contribui para a aprendizagem na compreensão e formação de conceitos que envolvem frações e número decimais, e uma maior retenção desses conceitos a médio e longo prazo. A investigação foi realizada com uma amostra de 62 alunos, de duas turmas da sexta série de uma escola pública de Porto Alegre, em um ambiente informatizado. A pesquisa utilizou apenas uma das turmas para a intervenção.

A autora explica que a planilha utilizada como recurso oferece a oportunidade de visualizar os procedimentos, analisar os resultados, deixando o aluno no comando de sua própria aprendizagem. Isso acontece porque não há necessidade do aluno perder tempo com cálculos, já que o computador os faz. Para ela, a planilha além de calcular também proporciona a visualização do processo que se está executando não apresentando somente os resultados finais.

A pesquisa de Rosa (2007) aponta que o uso da planilha


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favorece a aprendizagem e torna as aulas mais prazerosas para os alunos, que conseguiram visualizar os processos com os quais trabalharam. Cinco meses após o primeiro, foi aplicado um segundo teste que mostrou que os alunos que utilizaram a planilha mostraram uma maior retenção do conteúdo.

Rosa (2007) assinala sugestões para um novo repensar, sobre o uso de tecnologia nas escolas: não se podem oferecer simplesmente os computadores para os professores utilizarem sem dar estrutura e treinamento, para um melhor desenvolvimento das aulas; o uso da planilha eletrônica no desenvolvimento de outros conteúdos.

Costa e Sá (2007) apresentaram como Comunicação Cientifica no evento IX Encontro Nacional de Educação Matemática, o trabalho: Operações com Frações x Dificuldade na resolução de problemas, como o objetivo de investigar a viabilidade do ensino das operações fundamentais com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão) a partir da resolução de problemas.

Os procedimentos metodológicos se deram através de duas professoras em uma turma de 5ª série de uma escola de ensino fundamental em regime de cooperativa, localizada no município de Ananindeua, no Estado do Pará, durante os meses de outubro e novembro de 2004. Participaram deste estudo 27 alunos com faixa etária de 09 a 14 anos.

A pesquisa foi realizada nas seguintes etapas: aplicação de Pré-teste, elaboração das aulas, desenvolvimento das aulas, aplicação de Pós-Teste. Os resultados desse trabalho foram analisados após a realização das atividades, e para verificar se


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persistiam algumas dificuldades que se mostraram evidentes no pré-teste, foi aplicado um pós-teste contendo os mesmos problemas do referido pré-teste, cujo intuito foi verificar os efeitos das atividades desenvolvidas junto aos sujeitos investigados.

Os autores evidenciaram após a intervenção realizada por meio das atividades propostas envolvendo as operações com frações, muitos dos alunos investigados conseguiram eliminar a dificuldade de associação dos conceitos matemáticos com situações práticas, apontam que é de fundamental importância que no processo de aprendizagem matemática todos os conceitos trabalhados nos currículos escolares devam partir de situações-problema que favoreçam uma análise e discussão junto aos alunos para que alcancem um resultado satisfatório em suas resoluções.

O trabalho de Guerra e Silva (2008) apresenta uma proposta de ensino de operações entre frações, considerando a maturidade cognitiva dos alunos, bem como subsidiar a prática docente de professores não-especialistas do conhecimento matemático, mas que ensinam Matemática nas séries iniciais. Apoiados em pressupostos da geometria grega, evocando o princípio da contagem para a iniciação dos aprendizes sobre as operações com frações, admitindo que este conceito se constitua um dos conhecimentos prévios de excelência que deve estar presente na estrutura cognitiva dos alunos das séries iniciais, para a aprendizagem de número e das operações com números racionais.

Os autores afirmam que o princípio da contagem evidenciado na contagem de unidade mostra a estreita relação operatória entre frações e números inteiros provendo de significados as técnicas


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algorítmicas adotadas no fazer escolar. Essas técnicas algorítmicas são práticas e estabelecem modos de se operar com frações que, posteriormente, são sistematizados em fazeres escolares, como o das regras operatórias para expressões algébricas, ditas racionais, não apresentando conexão com os números inteiros e, consequentemente, com o princípio de contagem.

Guerra e Silva (2008) relatam que as técnicas adotadas devem constituir um fazer matemático de evocação epistemológico-conceitual, podendo subsidiar outros fazeres docentes diretamente relacionados, como, por exemplo: o de medida de áreas de figuras planas; construção de números com vírgula em diferentes sistemas de base de numeração; a relação entre frações e áreas de retângulos que induz à construção de uma relação de equivalência usada amiúde em textos da matemática superior para o estudo da construção dos racionais; além de proporcionar, de modo direto, a construção do conceito de grandezas comensuráveis; ou ainda, suscitar questões das relações entre esse conceito e do conceito de enumerável na construção dos números reais, etc.

Silva e Almouloud (2008) em seu artigo ponderam a respeito das operações com números fracionários focalizando a concepção parte-todo por meio de atividades que contribuam para a prática docente na escola básica, trazendo como foco a possibilidade do tratamento das operações com números fracionários a partir de representações de figuras planas, mobilizando a concepção parte-todo, a partir de uma breve caracterização da concepção, tratando a seguir das quatro operações fundamentais.

As informações foram coletadas a partir de observações


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da frequência do conteúdo, tanto em livros didáticos, quanto na prática docente, provindas das várias formações em projetos do qual participaram. Como resultados dessas participações foram apresentados varias atividades, demonstrando a eficiência do estudo. Silva e Almouloud (2008) acreditam que as atividades apresentadas podem auxiliar o aluno na compreensão das regras operatórias sobre números fracionários com significado, no entanto, são insuficientes para que sejam conceituadas adequadamente como números racionais.

Os autores complementam explicitando a necessidade de descontextualizar as situações para que as habilidades com o cálculo se desenvolvam independente de representações visuais (figuras), oportunizando ao aluno um aprendizado significativo, reconhecendo que o aluno precisa dos conhecimentos iniciais bem fundamentados para ter sucesso na aprendizagem de novos conteúdos matemáticos.

Magina, Bezerra e Spnillo (2009), em seu artigo apresentaram os resultados de uma pesquisa de intervenção, com o objetivo de desenvolver o conceito de frações em crianças de oito a dez anos. Os autores dividiram 57 crianças em três grupos: Grupo Experimental (GE) e Grupo Controle (GC), formados por alunos da 3ª série do ensino fundamental sem instrução prévia sobre frações, e Grupo de Referência (GR), formado por crianças da 4ª série que já haviam tido instrução sobre frações por meio de uma abordagem mecanicista e de aplicação de regras. Todos os participantes realizaram um pré-teste e um pós-teste.

O Grupo Experimental, com 19 alunos, passou por


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uma intervenção no ensino baseada na resolução de situações-problema de frações como quociente e como relação parte-todo. Essas situações eram apresentadas por meio da combinação e das comparações entre diferentes suportes de representação, gerando discussões em que as crianças refletiam acerca dos processos de resolução adotados.

O Grupo Controle, com 20 alunos de 3ª série que nunca haviam recebido qualquer tipo de instrução sobre fração no contexto escolar e o Grupo de Referência, com 18 alunos de 4ª série com instrução formal sobre fração no contexto escolar. Na escola investigada, o ensino de fração se caracterizava por um ensino tradicional voltado, fundamentalmente, para uma abordagem mecânica e algorítmica da fração, sendo enfatizada a aplicação de regras e o uso da representação simbólica formal.

O pré-teste e o pós-teste consistiam na resolução de 15 itens cada, que se caracterizavam como tarefas tipicamente escolares envolvendo quantidades discretas, enfatizava-se a representação fracionária de uma relação parte-todo; envolvia quantidades contínuas e requeria da criança realizar uma divisão e, então, representar, sob a forma de fração, o resultado obtido.

A intervenção consistiu em dez sessões realizadas no contexto escolar durante o horário regular de aula, foram ministradas duas sessões por semana no período de cinco semanas, com duração de duas horas cada. A dinâmica da sala de aula baseava-se na resolução de problemas de fração, em pequenos grupos ou em pares, que envolviam tanto problemas verbais quanto jogos e situações baseadas em atividades extraescolares,


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como a feira, por exemplo.Os resultados após análises apontaram que as crianças do

grupo Experimental e do grupo Referência tiveram um melhor desempenho no pós-teste do que no pré-teste, destacam ainda que embora as crianças dos dois grupos tenham se beneficiado da instrução recebida (tradicional do GR e a intervenção alternativa do GE), as crianças do GE tiveram um progresso muito mais expressivo do que as do GR.

A dissertação de Moreira (2010) apresentou os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo investigar a viabilidade do ensino das operações com frações por meio de atividades desenvolvidas a partir de situações-problema mediadas por uma calculadora virtual de fração e jogos. O experimento foi desenvolvido em uma escola pública do Município de Ananindeua no Estado do Pará, os sujeitos foram 45 alunos da 5ª série (6º ano) do ensino fundamental.

A autora explica que utilizou a Engenharia Didática como metodologia, realizou os estudos prévios a partir de uma revisão de trabalhos sobre o ensino de frações e uma consulta a 100 docentes sobre o processo de ensino aprendizagem de frações; a parte experimental deu-se por meio de atividades tendo situações problemas como ponto de partida e uma calculadora virtual de frações como recurso didático.

Durante o experimento os alunos foram solicitados a solucionar questões envolvendo as operações com fração, sem que eles já tivessem estudado o assunto em questão. Os cálculos necessários ao desenvolvimento das atividades foram executados


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com a calculadora virtual. Após a resolução de cada atividade, os discentes eram desafiados a descobrirem uma maneira de obter os mesmos resultados produzidos pela máquina sem a utilizarem novamente. A maioria dos alunos conseguiu descobrir algoritmos válidos para o cálculo das operações com frações.

Após as devidas análises, a autora aponta que a comparação entre o desempenho nos pré e pós-testes indicou que os discentes internalizaram os algoritmos construídos durante as atividades, devido o significativo aumento do percentual de acertos no pós-teste em relação ao préteste, possibilitando a viabilidade da metodologia de ensino adotada.

Moreira (2010) indica como principais resultados: a viabilidade da calculadora virtual de fração como recurso didático para o ensino de operações com frações; a sensibilização para novas reflexões na formação de professores sobre o uso de novas metodologias e um novo olhar na resolução das operações de frações com denominadores diferentes sem a utilização da ferramenta m.m.c.

Em Sá et al (2010), uma comunicação oral apresentada no X Encontro nacional de Educação Matemática, o objetivo foi avaliar a viabilidade de ensino da adição e subtração de frações por meio de atividades mediadas por uma calculadora virtual para frações.

A pesquisa foi realizada em uma turma de 4ª série de uma escola estadual de ensino fundamental e médio, localizada no bairro do Telégrafo, em Belém-Pará, composta por 24 alunos, nos meses de outubro de 2009 a janeiro de 2010, e obedeceu às seguintes etapas: diagnóstico inicial, elaboração das atividades,


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aplicação das atividades, fixação, diagnóstico final e análise dos resultados.

Para realizar um diagnóstico do conhecimento prévio dos alunos sobre as operações de adição e subtração com frações foi aplicado um formulário contendo questões sobre dados pessoais e 10 questões envolvendo as operações de adição e subtração de frações. Com a aplicação do pré-teste, verificou-se que a maioria dos discentes não conseguiu resolver corretamente as questões de adição e subtração de frações, muitos as deixando em branco e outros, quando tentavam fazê-lo, apenas davam como resposta números inteiros.

A pesquisa realizada pretendeu propor uma metodologia de ensino de frações mediada pela utilização de recursos tecnológicos (a máquina de calcular virtual), apresentar e analisar os resultados de sua aplicação em sala de aula.

Foram elaboradas quatro atividades de redescoberta, um jogo de baralho sobre adição e subtração de frações com o mesmo denominador e outro envolvendo as duas operações com denominadores iguais e diferentes. As atividades apresentavam adição e subtração de frações com denominadores iguais, adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Cada atividade possuía uma descrição com nome, objetivo e materiais utilizados (roteiro da atividade, lápis ou caneta e a máquina de calcular virtual), as questões para resolução, conclusão e fórmula.

Os autores, após análises, afirmam que em todas as questões houve um aumento significativo na porcentagem de acertos no pós-teste, em comparação com o pré-teste, apesar de alguns


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alunos ainda terem feito certas confusões entre procedimentos de resolução.

Moreira et al (2010), no evento X Encontro nacional de Educação Matemática, apresentado como comunicação cientifica, apresentam um estudo experimental com o objetivo de avaliar a viabilidade do ensino das operações por meio de atividades mediadas por uma calculadora virtual de fração a partir de problemas.

A metodologia do estudo se deu a partir de um pré-teste e um pós-teste que participaram do estudo 45 alunos do 6º ano do ensino fundamental de uma instituição pública estadual do município de Ananindeua-Pará, com faixa etária variando entre 9 e 11 anos. A pesquisa foi desenvolvida por meio das seguintes etapas: diagnóstico inicial; elaboração das atividades, aplicação das atividades, fixação, diagnóstico final e analise dos resultados.

Com os resultados do pré-teste, os autores realizaram a elaboração das atividades, sendo cinco atividades sobre adição e cinco sobre subtração de fração com denominadores diferentes, as quais foram desenvolvidas pelos alunos, no laboratório de informática, organizados em grupos de três pessoas e utilizando como recurso pedagógico a Calculadora de Fração (máquina virtual). A Calculadora de Fração é um software educativo, baseado em uma calculadora convencional.

Com o objetivo de avaliar os efeitos da aplicação das atividades propostas foi aplicado um pós-teste com as mesmas questões do pré-teste. Como resultados, Moreira et al (2010) indicam que o conteúdo trabalhado foi assimilado de forma significativa,


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sugerindo que o aprendizado ocorreu, com boa intensidade, pois tem-se um crescimento considerável das melhorias nas resoluções dos problemas, consequentemente nas construções dos algoritmos, com atividades mediadas pela Calculadora de Fração e sem o recurso do mmc.

No trabalho dos autores Pasuch, Barbosa e Bassani (2013) encontramos um relato com a proposta de inserção do lúdico como recurso didático no processo de ensino-aprendizagem, de modo a perceber sua importância na educação matemática. Construído na forma de oficina, foi elaborada por acadêmicas do curso de Matemática – Licenciatura do Instituto Federal Catarinense, realizada em uma Escola Básica da rede municipal, com 24 alunos da turma da 6ª série, em 2012.

O lúdico foi utilizado no ensino de frações, abordando: conceito, equivalência, simplificação, adição e as diferentes representações, com o objetivo de tornar as aulas atrativas e possibilitar a interação entre aluno/material-manipulável/professor. Os autores observaram que os alunos se interessavam em fazer as atividades propostas, bem como a questionar e participar compartilhando suas ideias, pois o fato de estarem brincando em grupo fazia com que eles se auxiliassem, desenvolvessem limites por obedecerem às regras das atividades e construíssem seu conhecimento, tornando a aula prazerosa.

Dessa forma, percebeu-se que se bem planejada a dinâmica da aula pelo professor, o lúdico pode ser inserido no ensino com expectativas de bons resultados, pois ele não só auxilia na dinâmica das aulas, como também pode ser utilizado na inserção


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de novos conteúdos ou para relacionar diferentes conceitos, ao mesmo tempo em que diverte e envolve os alunos.

A dissertação de Jesus (2013) teve como objetivo apresentar uma proposta de ensino de Frações, pautada na experimentação do aluno que se mostrava, conforme o autor, significativa e coerente com a etapa do desenvolvimento cognitivo dos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental.

Quanto à introdução do conteúdo de fração, o autor apresentou as cinco primeiras atividades. A primeira atividade apresentada tratava de Fração como Parte-todo, tinha como objetivo relacionar a unidade as suas partes fracionárias e assim, identificar Frações; a segunda atividade apresentava o mesmo objetivo da primeira. A terceira atividade era em forma de exercício e tinha como objetivo aprofundar o conteúdo de identificação de Frações, a quarta também possui o mesmo objetivo que a anterior. A atividade cinco busca reconhecer a função denominador trabalhando a reconstrução do inteiro a partir de suas partes.

Com relação à equivalência de Frações, foram apresentadas as atividades de 6 a 9: a atividade seis tinha como objetivo a conceituação de frações equivalentes; a sete idem a seis utilizando o círculo; a oito buscou a identificação de Frações decimais equivalentes; a nove, concluir a operação matemática envolvida no processo de equivalência de Frações.

No que concerne às operações com Frações, o autor propôs as atividades 10, 11 e 12. Na atividade 10, o autor buscou introduzir a noção de adição e subtração de Frações, relacionando a parte do inteiro que cada um representa; na atividade 11 o objetivo era de


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efetuar a adição e subtração de Frações através da representação de seus termos; na 12, além das operações, o reconhecimento de Frações equivalentes ou com denominadores diferentes para a resolução destes cálculos.

Lopes e Patricio (2013), no evento X Encontro nacional de Educação Matemática, apresentaram o estudo: “O uso de jogos no ensino de Fração” na forma de comunicação oral, com o objetivo de apresentar uma compilação de três jogos que envolvem o conteúdo de frações. Os autores buscaram contribuir para uma prática mais lúdica por parte do professor, de modo que o mesmo possa introduzir o conteúdo e fixá-lo utilizando-se de um destes jogos apresentados ou mesmo de todos.

O primeiro jogo proposto consistiu em um baralho cujas cartas eram geradas por todas as frações determinadas por dois dados, um maior que representaria o numerador e um menor que representaria o denominador, o qual foi testado com alguns alunos da 6ª série, 7º ano, em paralelo ao assunto que estavam vendo em sala de aula. Lopes e Fabricio (2013) indicam que os alunos conseguiram a partir do jogo fixar o conceito de fração e sua inversa, além de lerem a fração de forma correta identificando numerador e denominador.

O segundo jogo se tratava de um Dominó de Frações Equivalentes, no qual as peças do dominó convencional são substituídas por peças de frações equivalentes e representações gráficas e o terceiro jogo foi composto por um baralho com 32 cartas, uma tabela com tiras de frações e as regras do jogo para cada grupo, que no momento ainda não haviam sido aplicados.


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Os autores afirmam que além do aprendizado matemático, os alunos se divertiam e partilhavam conhecimento. Os alunos ficaram entusiasmados com a atividade lúdica a ponto de pedirem para que atividades deste tipo fossem realizadas mais vezes. Ao submeter os alunos a uma lista de exercícios de fixação os autores concluíram que eles aprenderam.

O artigo de Schmitt, Quartieri e Oliveira (2014), foi construído a partir do relato que descreveu uma experiência desenvolvida com alunos do 5º ano do Ensino Fundamental da Educação Básica na qual se utilizou a tendência Investigação Matemática no contexto do ensino de frações. O objetivo deste trabalho foi introduzir frações de forma não tradicional, desenvolvendo atividades de cunho investigativo e concreto, de maneira que os alunos participassem do processo e elaborassem conclusões, incentivando o trabalho de equipe e a escrita na aula de matemática.

Os autores apontaram como problema de pesquisa teve-se: Que conjecturas alunos do 5º ano apresentam ao trabalharem com atividades envolvendo investigação matemática e o assunto frações?

O material de coleta de dados da pesquisa constituiu-se dos diários de campo da professora, e de cadernos dos alunos com observações realizadas no decorrer das atividades, de uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola filantrópica localizada no município de Roca Sales-RS, que atende alunos do maternal até o 3º ano do Ensino Médio. A turma em estudo era constituída de 22 alunos sendo 11 meninos e 11 meninas, entre 10


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e 13 anos, os quais eram muito criativos e esforçados, destacam os autores.

A primeira atividade realizada foi com dobraduras e recortes, relacionada com eixos de simetria; a segunda aula foi explorado o conteúdo de frações de quantidades discretas; na terceira aula trabalhou-se com a determinação de uma fração de uma quantidade; na quarta aula foi explorada a representação das frações. Com essas atividades, os autores encerraram o trabalho com frações por meio da metodologia Investigação Matemática com a turma do 5º ano e passaram à análise dos dados coletados ao longo das atividades.

Como resultados observou-se que os alunos gostaram das atividades e demonstraram criatividade na realização das atividades, chegando às respostas sem solicitar auxílio da professora e perceberam as regularidades que aconteciam nas questões e quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos, o destaque foi em relação à escrita das conclusões no caderno, pois tinham muito receio de estarem escrevendo errado.

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA POR ATIVIDADES

Segundo Sá (2019) o ensino de matemática por atividades foi uma consequência da reação a abordagem de ensino tradicional onde o protagonismo do processo de ensino, aprendizagem e avaliação é conferido exclusivamente ao professor. A atividade no ensino de uma maneira geral é registrada, segundo Loss (2016


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apud Sá 2019)), durante o movimento da Escola Nova que foi uma reação à escola tradicional que fazia uso predominante da exposição oral.

O movimento da Escola Nova trouxe a proposta da aprendizagem por descoberta que Segundo Cálciz (2011, p. 5) foi Jerome Bruner quem a propôs por meio da publicação da sua Teoria da Categorização em que concorda com Vygotsky quando ressaltou o papel da atividade com parte essencial de todo processo de aprendizagem. De acordo com Escudero (2011) outro defensor do ensino por descoberta foi o filosofo funcionalista John Dewey (SÁ, 2019, p.15)

CARACTERÍSTICAS DO ENSINO DE MATEMÁTICA POR ATIVIDADES

De acordo com Sá (2019, p.16) o ensino por atividades tem as seguintes características:

É diretivoTem compromisso com o conteúdo;Tem compromisso com o desenvolvimento de habilidades

para além do conteúdo;É estruturadoÉ sequencialNão está necessariamente associado à resolução de

problemasLeva em consideração os conhecimentos prévios dos

estudantesOs resultados são institucionalizados ao final da atividade


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Não dispensa a participação do professorÉ adequado para formação de conceitos e acesso a resultados

operacionais ou algorítmicos.É iterativo entre estudantes e professor. Segundo o autor essas características do ensino de

matemática por atividades distingue-o das demais tendências e justifica ser acrescentado ao rol das tendências em Educação Matemática.


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Capítulo 2ATIVIDADES PROPOSTAS

ATIVIDADE 1

Título: O conceito de Fração

Objetivo: Conceituar de Fração

Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno, Folhas de papel A4, caneta ou lápis.

Procedimento:

• Utilize as folhas de Papel A4 para responder às perguntas abaixo:

• Pegue as folhas de Papel A4 e divida-as ao meio no sentido do comprimento para obter uma tira de papel. Conforme imagem abaixo:


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•Nesta tira, considere e escreva: Um inteiro ou Um todo.

Um inteiro ou Um todo

• Pegue um inteiro e dívida, no sentido da largura, em duas partes iguais, conforme imagem abaixo:

• Responda às perguntas:1) Que nome você daria a cada uma das partes obtidas?

2) Como se obtém a metade de um inteiro?

3) Quantas metades cabem em um inteiro?

• Pegue um inteiro e dívida em três partes iguais • Responda às perguntas:

4) Que nome você daria a cada parte obtida?

5) Como se obtém a terça parte de um inteiro?

6) Quantos terços cabem em um inteiro?


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• Pegue um inteiro e dívida em quatro partes iguais • Responda às perguntas:

7) Qual é o nome de cada parte obtida?

8) Como se obtém um quarto de um inteiro?

9) Quantos quartos cabem em um inteiro?

• Pegue um inteiro e divida-o em cinco partes iguais • Responda às perguntas:

10) Qual é o nome de cada parte obtida?

11) Como se obtém um quinto ou a quinta parte de um inteiro?

12) Quantos quintos cabem em um inteiro?

• A metade, a terça parte, um quarto e um quinto de um inteiro são exemplos de Frações de um inteiro.• A palavra Fração tem origem do latim Fraction e significa parte de um todo. Este é o significado etimológico da palavra Fração. • Em Matemática, a palavra Fração significa Parte de um todo que foi dividido igualmente.• Responda:

13) O que é necessário fazer para obter uma fração de um todo?


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14) Quanto é a terça parte de 15?

15) Quanto é a metade de 20?

16) Quanto é a quarta parte de 8?

17) Quanto é a sexta parte de 36?

18) Quanto é a quinta parte de 20?

19) Quanto é a metade de 100?

O que são Frações?

Atividade 2

Título: Representação de Frações

Objetivo: Descobrir como se representa Frações.

Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da atividade para o aluno, caneta ou lápis.

Procedimento:• Responda às perguntas abaixo:

1) Observe as figuras e informe que Fração de cada uma dela é a parte pintada:


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2) Pinte o que se pede nas figuras abaixo:


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Um pouco da História das FraçõesOs homens da Idade da Pedra não usavam frações, mas com

a chegada da Idade do Bronze, parece ter surgido a necessidade de um conceito e de uma notação para frações.

Os egípcios, em suas inscrições hieroglíficas, em monumentos e tumbas, utilizavam as frações unitárias com uma notação especial: “O inverso de um número inteiro era indicado colocando sobre a notação para o inteiro um sinal oval alongado”.

Para eles , por exemplo, era representado como . Além de haver frações com notações especiais, como:

; = x ; = Os egípcios usavam um método diferente para representar

aquelas frações que não eram unitárias, por exemplo: para representar a fração eles utilizavam a soma .

Os Babilônios, utilizando a numeração cuneiforme, posicional, com leitura da direita para esquerda, com notação sexagesimal, obtiveram um nível de superioridade matemática em relação aos egípcios. Para eles:

= era representado por Os gregos usavam as frações unitárias egípcias, as frações

sexagesimais da Babilônia, além das frações cuja notação se assemelha a nossa. Durante o período alexandrino, o hábito grego antigo de usar frações comuns com o numerador embaixo do denominador foi invertido, e foi nessa forma que os hindus o adotaram, sem a barra entre eles.

Para os gregos, o numerador recebia um acento e o denominador era repetido e recebia dois acentos,


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assim: = β’γ”γ”Posteriormente, os gregos começaram a usar como notação

o denominador acima do numerador, ainda sem o uso da barra, da seguinte maneira:

Na China operações com frações eram comuns, viam analogias com diferenças entre os sexos, referindo-se ao numerador como “filho” e ao denominador como “mãe”.

Os árabes, representados por Jamshid Al-Kashi, utilizavam as frações decimais, e percebendo sua importância e sua contribuição para este assunto, foi considerado o inventor das frações decimais.

Já na Idade Média, um matemático chamado Fibonacci usava regularmente a barra horizontal para Frações, o qual foi um dos primeiros a separar o numerador do denominador por um traço. Antes dessa época, quando as frações eram escritas em algarismos hindu-arábicos, o denominador era escrito embaixo do numerador, mas sem qualquer sinal de separação. Apenas no século XVI o uso da barra tornou-se comum.

=

Com base no texto acima, responda as questões a seguir:Na sua opinião, a maneira como os egípcios utilizavam

para representar as frações que não eram unitárias facilitava essa representação? Por quê?


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O que você acha do modo como os babilônios realizavam em seus cálculos com frações, sempre transformando o denominador em 60? Por quê?

Qual a diferença entre a notação que utilizamos atualmente para representar frações daquela utilizada pelos gregos nos dois momentos apresentados no texto?

Escreva a Fração, com a notação atual, correspondente à parte pintada das figuras abaixo:

5. Maria fez um bolo e dividiu em 8 fatias para vende-las. Após a venda, sobraram apenas 2 fatias:

a. Que fração representa o número de fatias que foram vendidas?

b. Que fração representa o número de fatias que não foram vendidas?


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Uma caixa possui bolinhas azuis e vermelhas. Observe a imagem abaixo e responda:

Que fração representa o número de bolinhas vermelhas?Que fração representa o número de bolinhas azuis?

Uma caixa de ovos possui capacidade para 6 ovos. Observe a figura abaixo e responda:

Qual a fração que representa o número de ovos que foram consumidos?

Que Fração representa o número de ovos que estão na caixa?

Pedro possui um pacote com 15 bombons e quer distribuir igualmente entre seus três irmãos. Que fração representa a quantidade de bombons que cada irmão irá ganhar?


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Uma coleção possui 24 figurinhas. Escreva a Fração que representa a quantidade de:

12 figurinhas dessa coleção8 figurinhas dessa coleção6 figurinhas dessa coleção

Descubra a Fração que representa cada uma das situações abaixo:

Nove em cada dez atrizes usam a loção “Cheiro Bom”.Três em cada cinco pessoas consomem feijão diariamente.Oito a cada doze homens assistem o programa “TV Esporte”.De cada cem pessoas, vinte e cinco votam no candidato “Zé

da Praça. Após a resolução das tarefas acima, podemos concluir que:O total de partes que o todo foi divido em uma fração é

_____________A quantidade de partes considerada é ________________

Atividade 3


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Título: Equivalência de FraçõesObjetivo: Descobrir maneira de identificar e encontrar

Frações Equivalentes.Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da

atividade para o aluno, kit de Frações, caneta ou lápis.Procedimento:Utilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:Tente sobrepor dois quartos em um meio.Foi possível sobrepor?Anote o que acontece:As frações e representam a mesma parte do todo? Por

quê?

Sobreponha três sextos em um meio.Foi possível sobrepor?Anote o que acontece:As frações e representam a mesma parte do todo?

Sobreponha quatro oitavos em um meio.Foi possível sobrepor?Anote o que acontece:As frações e representam a mesma parte do todo?

Sobreponha cinco décimos em um meio.Foi possível sobrepor?Anote o que acontece:


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As frações e representam a mesma parte do todo?

Sobreponha seis doze avos em um meio.Foi possível sobrepor?Anote o que acontece:As frações e representam a mesma parte do todo?

Sobreponha quatro sextos em um meio.Foi possível sobrepor?Anote o que acontece:As frações e representam a mesma parte do todo?

Duas frações do mesmo inteiro que representam a mesma parte são

denominadas de Frações Equivalentes

Dê dois exemplos de frações equivalentes a ?

Dê dois exemplos de frações não equivalentes a ?





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O que são frações Equivalentes?

O que você faria para a partir da fração , obter ? Estas frações são equivalentes?







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Como se obtém frações Equivalentes?

Atividade 4Título: Simplificação de FraçõesObjetivo: Descobrir maneira de simplificar de Frações.Material: Roteiro da atividade para o professor, roteiro da

atividade para o aluno, kit de Frações, caneta ou lápis.Procedimento:Utilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:Considere a fração e encontre seis frações equivalentes

com termos menores.

O que é necessário realizar com os termos da fração para obter a fração , conforme imagem a seguir?

O que é necessário realizar com os termos da fração , para obter , conforme imagem a seguir?


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Considere a fração e encontre seis frações equivalentes com termos menores.

O que é necessário realizar com os termos da fração ,

para obter , conforme imagem a seguir?

O que é necessário realizar com os termos da fração , para obter , conforme imagem a seguir?

O que é necessário realizar com os termos da fração , para obter ?

O que é necessário realizar com os termos da fração ,


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para obter ?

Simplificar uma fração consiste em __________________.

Utilizando a simplificação, escreva frações equivalentes a:


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Como se simplifica uma fração?

Simplifique sucessivamente cada Fração a seguir até não ser mais possível simplificar:


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Quando simplificamos uma Fração até não ser mais possível dividir seus termos por qualquer número, obtemos, então, ________________.

Utilizando a simplificação, obtenha a fração irredutível de:


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70XII EPAEM -

Dona Maria fez um bolo de chocolate e um bolo de abacaxi. Do bolo de chocolate, Dona Maria vendeu e do bolo de abacaxi vendeu . De qual bolo Dona Maria vendeu a maior quantidade? Porquê?

14)Miguel dividiu seus carrinhos entre seus dois irmãos menores. João, ficou com dos carrinhos e Felipe com . Qual irmão ficou com a maior quantidade de carrinhos? Porquê?

Atividade 5

Título: Comparação de FraçõesObjetivo: Descobrir maneira de comparar Frações.Material: Roteiro da atividade, kit de Frações, caneta ou

lápis.Procedimento:1ª ParteUtilize o kit de Frações para realizar as tarefas abaixo:Considere o mesmo inteiro e responda:


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Quem é maior ou ?

Quem é maior ou ?

Quem é maior ou ? Quem é maior ou ?

Quem é maior ou ?


72XII EPAEM -

Descubra uma maneira de comparar Frações sem usar o KitConclusão

2ª Parte


73XII EPAEM -

Utilizando o Kit de Frações e considerando o mesmo inteiro, responda:


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Quem é maior ou ?

Quem é maior ou ?

Quem é maior ou ?

Quem é maior ou ?


75XII EPAEM -

Descubra uma maneira de comparar Frações sem usar o KitConclusão


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Agora, responda: quem é maior: ou ?Calcule o que se pede nas questões de 11 a 16 e complete os

espaços em branco na tabela:


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de 1500 e de 1000 de 900 e de 600 de 1800 e de 800 de 1200 e de 300 de 3000 e de 3000 de 600 e de 600


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INTEIRO INTEIRO CONCLUSÃO:

1500 1000Considerando

inteiros diferentes,

e podem ser

...........................

900 600

1800 800Considerando

inteiros diferentes,

e podem ser

...........................

1200 300

3000 3000Considerando inteiros iguais,

e podem ser

...........................600 600

A comparação de Frações de inteiros diferentes é realizada da mesma forma que de frações de mesmo inteiro?

1) Qual fração de um mesmo inteiro é maior?a)


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b) ou

c) ou

d) ou

e) ou


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2) O que devemos observar antes de realizar a comparação entre duas ou mais frações?

Como se faz para comparar frações?


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Atividade 6

Titulo: Adição de fração com denominadores iguais

Objetivo: descobrir uma maneira de determinar a adição de frações com denominadores iguais.

Material: Roteiro da atividade, caneta ou lápis.

Procedimento:

Determine o valor de cada adição a seguir.

a) 2 + 1 = f) 2 + 1 =

4 4 4 4

b) 3 + 1 = g) 7 + 2

5 5 12 12

c) 3 + 2 = h) 2 + 3 =

7 7 6 6

d) 4 + 3 = i) 1 + 3 =

10 10 5 5

e) 6 + 2 = j) 6 + 1 =

9 9 8 8

Descubra uma maneira mais rápida de adicionar frações!

CONCLUSÃO:


83XII EPAEM -

Atividade 7

Titulo: Subtração de frações com denominadores iguais

Objetivo: descobrir uma maneira de determinar a subtração de frações com denominadores iguais.


Procedimento:

Determine o valor das subtrações abaixo.

a) 3 - 1 f) 7 - 4

5 5 10 10

b) 4 - 2 g) 4 - 1

7 7 8 8

c) 7 - 6 h) 6 - 5

8 8 7 7

d) 2 - 1 i) 2 - 1

9 9 10 10

e) 4 - 3 j) 4 - 2

7 7 6 6

Descubra uma maneira mais rápida de calcular.

CONCLUSÃO:


84XII EPAEM -

Atividade 8

Titulo: Adição de fração com denominadores diferentes

Objetivo: descobrir uma maneira de determinar a adição de frações com denominadores diferentes.


Procedimento:

Determine o valor de cada adição a seguir.

a) 1 + 1 f) 2 + 1

2 4 3 4

b) 1 + 1 g) 2 + 2

4 3 4 5

c) 1 + 1 h) 2 + 3

2 5 6 5

d) 1 + 1 i) 3 + 2

5 6 4 8

e) 1 + 1 j) 4 + 2

7 4 9 4

Descubra uma maneira de calcular sem usar o desenho.

CONCLUSÃOEsta atividade tem como suporte os seguintes procedimentos

que devem ser apresentados ao longo da realização da atividade à medida que cada situação for surgindo.


85XII EPAEM -

Exemplo: ½ + 1/3

Já no caso de ½ + 1/3, temos que contar com auxílio da representação gráfica, para obter o resultado.

Façamos assim:

Tomemos o inteiro como retângulo abaixo.

Dividimos ao meio, no sentido vertical e em terços no sentido horizontal.

Destaquemos na figura, a parte correspondente a ½ e a parte correspondente a 1/3.

Como podemos observar em ½, tem 3 retângulos menores e em 1/3, ou seja, ½ corresponde a 3 retângulos 1/3 a 2 retângulos.

Como o nosso objetivo é adicionar ½ + 1/3, basta tomar 3 retângulos, o eu corresponde a ½, e depois tomar mais 2 retângulos, o que corresponde a 1/3, ou seja, tomar 5 retângulos.

Observando novamente a figura, podemos concluir que cada retângulo corresponde a 1/6 do inteiro como ½ + 1/3 corresponde a 5 retângulos, então temos: ½ + 1/3 = 5/6.

Vejamos, agora: 2/3 + ¼

Façamos como no exemplo acima:


86XII EPAEM -

Dividimos o nosso inteiro em terços no sentido vertical e em quartas no sentido horizontal, como mostra a figura O;

Destaquemos na figura a parte correspondente a 2/3 e a ¼;

Como é fácil observar, na parte correspondente a 2/3, temos 8 retângulos e na parte correspondente a ¼, temos 3 retângulos.

Como nosso objetivo é adicionar 2/3 com ¼, basta que tomar 8 e mais 3 e teremos o equivalente a 2/3 + ¼.

Como a figura toda está dividida em 12 retângulos, cada retângulo equivale a 1/12 do inteiro e 2/3 + ¼ corresponde a 11 dos 12 retângulos, podemos concluir que: 2/3 + ¼ = 11/12.

Vejamos mais um exemplo: 2/5 + 3/6

Como nos exemplos anteriores:

Dividamos o nosso inteiro em quintos no sentido vertical e em sextos no sentido horizontal;

Destaquemos no inteiro 2/5 e 3/6 pela figura observamos que 2/5 corresponde a 12 retângulos e 3/6 a 15 retângulos.


87XII EPAEM -

Atividade 9

Titulo: Subtração de frações com denominadores diferentes

Objetivo: descobrir uma maneira de determinar a subtração de frações com denominadores diferentes.


Procedimento:

Determine o valor de cada subtração a seguir.

a) 1 - 1 f) 4 - 2

2 4 5 6

b) 1 - 1 g) 2 - 2

3 5 3 4

c) 2 - 1 h) 2 - 1

4 8 4 5

d) 3 - 1 i) 5 - 2

4 3 5 4

e) 2 - 3 j) 3 - 2

3 6 6 8


88XII EPAEM -

Descubra uma maneira mais rápido de calcular

CONCLUSÃO:

Esta atividade tem como suporte os seguintes procedimentos que devem ser apresentados ao longo da realização da atividade à medida que cada situação for surgindo.

• Subtração de frações com denominadores diferentes.Ex.: 1 - 1

2 3

Já no caso de ½ - 1/3, teremos, novamente, que contar com o auxílio da representação gráfica para obter o resultado.

Façamos assim:

Tomemos o retângulo ao lado como nosso inteiro,

Dividamô-lo ao meio no sentido vertical e em terços

No sentido horizontal e destaquemos as partes

Correspondentes a ½ e 1/3 respectivamente;

Marquemos com os retângulos correspondentes a ½,


89XII EPAEM -

Como podemos observar em ½ tem 3 retângulos e em 1/3 tem 2 retângulos. Ou seja ½ corresponde a 3 retângulos e 1/3 a 2 retângulos.

Como nosso objetivo é subtrair 1/3 de ½, basta tomar 2 retângulos da parte correspondente a ½, marcando os dois retângulos com ,

Assim cada retângulo com dois tipos de marcação corresponderá a um retângulo retirado.

Observamos que cada retângulo correspondente a 1/6 do retângulo maior e que sobrou apenas um retângulo (com apenas um tipo de risco), na parte correspondente a ½. Então: ½ - 1/3 = 1/6.

Vejamos 2/3 – ¼, como mais um exemplo.

Tomemos o retângulo ao lado como nosso inteiro,


90XII EPAEM -

Dividamô-lo em terços no sentido vertical e em quartos no sentido horizontal e destaquemos as partes correspondentes a 2/3 e ¼,

)

Marquemos com os retângulos correspondentes a 2/3,

Como podemos observar em 2/3 tem 8 retângulos e em ¼ há 3 retângulos. Ou seja 2/3 corresponde a 8 retângulos e ¼ a 3 retângulos.

Como o nosso objetivo é subtrair ¼ de 2/3, basta tomar 3 retângulos da parte correspondente a 2/3, marcando os três retângulos por .

Assim cada retângulo com dois tipos de risco corresponderá a um retângulo retirado.

Pela imagem observamos que cada retângulo correspondente a 1/12

do nosso inteiro e que sobraram cinco retângulos com apenas um tipo


91XII EPAEM -

de risco. Então: 2/3 – ¼ = 5/12 .

Outro exemplo: 4/4 – 2/5 .

Tomemos o retângulo o como nosso inteiro

Dividamos-lo em quartos no sentido vertical e em quintos no sentido horizontal e destaquemos as partes correspondentes a 4/4 e 2/5 respectivamente.

2

4

5

4

Marquemos com os retângulos correspondentes a 2/5,

2

4

5

4

Novamente podemos observar pela figura anterior que 4/4 corresponde a 20 retângulos e 2/5 corresponde a 8 retângulos.

Como o nosso objetivo é subtrair 2/5 de 4/4, basta tomar 8 retângulos da parte correspondente a 4/4, marcando oito retângulos assim


92XII EPAEM -

2

4

5

4

É fácil observarmos pela figura que cada retângulo corresponde a 1/20 do nosso inteiro e que sobraram 12 retângulos com apenas um tipo de risco. Então: 4/4 – 2/5 = 12/20 .

Atividade 10

Título: Multiplicação de frações

Objetivo: descobrir uma maneira de determinar a multiplicação de frações.


Procedimento:

Determine o valor de cada multiplicação a seguir.

a) 1 x 1 f) 2 x 3

2 5 4 7

b) 1 x 1 g) 3 x 2

3 4 4 5

c) 1 x 1 h) 2 x 4

6 2 3 6

d) 2 x 1 i) 5 x 6


93XII EPAEM -

5 5 7 8

e) 3 x 1 j) 2 x 4

5 4 8 5

Descubra uma maneira de calcular sem auxílio da figura.

CONCLUSÃO:


Para calcular, um quarto de meio (¼ x ½), será necessário contar com o auxílio da representação gráfica para obter o resultado.

Façamos assim:

Tomemos o inteiro como retângulo a seguir

Dividamos ao meio no sentido vertical,

Dividamos a parte correspondente a um meio em quartos e destaquemos um dos quartos,


94XII EPAEM -

prolongando as linhas horizontais, é fácil de observar que a parte hachuriada corresponde a um quarto de meio, ou seja, ¼ x ½, que pela figura a parte hachuriada corresponde a 1/8 do inteiro.

Logo ¼ x ½ = 1/8.

Vejamos como calcular um meio de três quintos (1/2 x 3/5).

Usando o mesmo raciocínio:

Dividamos o inteiro em quintos, no sentido Vertical,

Destaquemos três dos cinco quintos, Fig.

Dividamos os 3/5 em duas partes iguais, no sentido

Horizontal, e destacamos uma das partes, . 3)


95XII EPAEM -

Observando a figura é fácil concluir que a parte hachuria corresponde a um meio dos três quintos do inteiro, prolongando a linha horizontal, é fácil concluir que a parte hachuriada corresponde a um meio dos três quintos do inteiro, ou seja, ½ x 3/5, como pela fig. 4) essa parte corresponde a 3/10 do inteiro.

Então, ½ x 3/5 = 3/10.

Agora determinemos quatro sextos de dois terços, ou seja 4/6 x 2/3. O raciocínio será o mesmo:

Dividamos o inteiro em terços, no sentido vertical;

Destaquemos dois dos terços;

Dividamos o inteiro 2/3 destacados em

sextos na horizontal e destaquemos quatro

dos mesmos,

Prolongando os traços horizontais, é fácil concluir que a parte


96XII EPAEM -

hachuriada corresponde a 46 dos 2/3, ou a 4/6 x 2/3, como essa parte é equivalente a 8/18 do inteiro,

logo 4/6 x 2/3 = 8/18 .

Atividade 11Título: Divisão de frações Objetivo: descobrir uma maneira de determinar a divisão de frações.


Procedimento:

Determine o valor de cada divisão a seguir.

a) 1 : 1 f) 2 : 1

5 4 2

b) 1 : 1 g) 3 : 2

4 4 8

c) 1 : 1 h) 2 : 4

2 4 3 6

d) 2 : 1 i) 5 : 6

5 5 7 8

e) 4 : 1 j) 2 : 4

5 4 8 5


97XII EPAEM -

Descubra uma maneira de calcular sem auxílio da figura.

CONCLUSÃO:


A ideia de dividir frações é semelhante à ideia de dividir número naturais, ou seja, é determinar quantas vezes uma certa quantidade pode ser tirada de outra.

Observe:

Por exemplo 54 :9, corresponde à pergunta: quantas vezes podemos tirar nove de cinquenta e quatro? Ou quantas vezes o nove cabe no 54?

Assim: 1 : ½, corresponde a pergunta: quantas vezes um meio cabe no inteiro? O que é fácil de ser calculado com o auxílio do desenho; vejamos

1 1

2 2

A observação da figura permite concluir que a fração ½ cabe duas vezes no inteiro logo 1 : ½ = 2.

Vejamos agora a questão abaixo

Quantas vezes 1/3 cabe em 2?

Solução:

Esta questão corresponde a seguinte pergunta quantas vezes 1/3 cabe


98XII EPAEM -

em 2? Ou seja precisamos realizar a seguinte divisão,

2 : 1/3

Consideramos os retângulos abaixo como dois inteiros, representando os dois inteiros que vão ser repartidos.

Em seguida dividimos os inteiros em seis partes iguais, obtemos a seguinte figura abaixo.

Representando a fração 1/3, destacando através de traços no sentido vertical, obtemos a figura abaixo.

1/3

Em seguida representamos a fração 1/3, destacando através de traços


99XII EPAEM -

no sentido vertical e horizontal alternados em cada retângulo da figura, obtemos a figura abaixo.

Observando a figura podemos concluir que cada retângulo corresponde 1/3 de dois.

Portanto dois dividido por1/3 representados em retângulos através de traços, correspondem a 6 retângulos. Isto é, 1/3 cabem 6 vezes em dois.

Logo, 2 : 1/3 = 6

Agora vejamos a seguinte questão!

Quantas vezes 2/3 cabe em 2?

Solução:

Esta questão corresponde a seguinte a seguinte divisão,

2 : 2/3

Consideramos os retângulos abaixo como um inteiro, representando os dois inteiros que vão ser divididos.


100XII EPAEM -

Em seguida dividimos os inteiros em seis partes iguais, obtemos a seguinte figura abaixo.

Representando a fração 2/3, destacando através de traços no sentido vertical, obtemos a figura abaixo.

2/3

Em seguida representamos a fração 2/3, destacando através de traços no sentido vertical e horizontal alternados em cada retângulo, obtemos a figura abaixo.


101XII EPAEM -

2/3 2/3 2/3

Observando a figura podemos concluir que 2/3 de hora corresponde a 2 retângulos cabem 3 vezes em duas horas.

Logo, 2 : 2 /3 = 3

Agora vejamos a seguinte situação!

Quantas vezes 1/6 cabe em ½ ?

Solução:

Esta pergunta corresponde a seguinte divisão

1/2 : 1/6

Consideramos o retângulo abaixo como um inteiro, representando o café que vai ser repartida.

Dividindo o inteiro em duas partes iguais, obtemos a figura:


102XII EPAEM -

Representando a fração 1/2 na figura, temos:

1/2

Em seguida, dividimos novamente a figura através de traços no sentido horizontal, representado a fração 1/6, obtemos a figura abaixo.


103XII EPAEM -

1/2

Observando a figura verificarmos que 1/2 corresponde 6 retângulos e 1/6 corresponde a 2 retângulos.

Representando a fração 1/6 correspondente a 2 retângulo na parte destacada da fração 1/2 por meio de traços, alternando os sentidos a cada dois retângulos, obtemos a figura abaixo.

1/2

Observando a figura podemos concluir que 1/6, representado por dois retângulos cabem 3 vezes em 1/2.

Logo, 1 /2 : 1/6 = 3 Agora vejamos a seguinte questão!Quantas vezes 1/6 cabe em ½ ?Solução:

Esta questão corresponde a seguinte divisão,

2 /3 : 1/6

Consideramos o retângulo abaixo como um inteiro, representando a torta que vai ser repartida.


104XII EPAEM -

Em seguida dividimos o inteiro em três partes iguais no sentido vertical, obtemos a seguinte figura abaixo.


105XII EPAEM -

Representando a fração 2/3 na figura temos:

2/3

2/3Em seguida, dividimos novamente a figura através de traços no sentido

horizontal, representando a fração 1/6, obtemos a figura abaixo.


106XII EPAEM -

2/3


Representando a fração 1/6 correspondente a 3 retângulos na parte destaca da fração 2/3 através de traços, alternado os sentidos a cada três retângulos, obtemos a figura abaixo.


107XII EPAEM -

2/3

Observando a figura podemos concluir que 1/6 representado por três retângulos cabem 4 vezes em 2/3.

Logo, 2/3 : 1/6 = 4

Quantas vezes 2/8 cabe em 3/6?

Solução:

Esta questão corresponde a seguinte divisão, 3/8 : 2/6


Em seguida dividimos o inteiro em sete partes iguais no sentido vertical, obtemos a seguinte figura abaixo.


108XII EPAEM -

Representando a fração 3/6 na figura temos:

3/6

Em seguida, dividimos novamente a figura através de traços no sentido horizontal, representando a fração 2/8, obtemos a figura abaixo.


109XII EPAEM -

Observando a figura verificarmos que 3/6 corresponde 24 retangulos e 2/8 correspondem a 12 quadrados.

Representando a fração 1/6 correspondente a 3 retângulo na parte destacada da fração 2/3 com traços, alternado os sentidos a cada doze retângulos, obtemos a figura abaixo. 3/6


110XII EPAEM -

3/6

Observando a figura podemos concluir que 2/8 representado por doze retângulos cabem 2 vezes em 3/6.

Logo, 3/6 : 2/8 = 2

Vejamos agora seguinte questão!

Quantas vezes 1/7 cabe em 1/4?

Solução:

Esta questão corresponde a seguinte divisão,

1/7 : 1/4



111XII EPAEM -

Representando a fração 1/7 no sentido vertical, obtemos a seguinte figura abaixo.

1/7

Representando a fração 1/4, destacando através de traços no sentido horizontal, obtemos a figura abaixo.

1/7


Representando a fração 1/4 correspondente a 7 retângulos na fração 1/7 através de traços no sentido vertical, obtemos a figura abaixo.


112XII EPAEM -

1/7

Observando a figura podemos concluir que dos sete retângulos correspondentes a fração 1/4, somente 4 retângulos podem ser representado na fração 1/7. Portanto, em 1/4 cabem apenas 4 dos 7 retângulos na fração 1/7.

Logo, 1 /7 : 1/4 = 4/7

CONSIDERAÇÕES FINAIS MOMENTÂNEAS

Este livro objetivou apresentar uma alternativa para a metodologia de ensino de frações com base no ensino de matemática por atividade.

Como foi apresentado é possível realizar o ensino de frações desde sua conceituação, passando pelas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão por meio da atividades que levam os estudantes a descobrirem regularidades e algoritmos que compõe o conhecimento relativo ao assunto frações.

A experiencia dos autores com o ensino de frações nessa modalidade nos permite afirmar que vale a pena realizar o ensino deste assunto por este caminho.

Esperamos que o material apresentado possa servir de guia para outros avanços na busca de alternativas metodológicas par ao ensino de matemática que sejam atraentes aos estudantes e ao mesmo tempo tenha consistência lógicomatemática. Essas duas características são importantes para toda proposta de ensino de matemática uma vez que satisfeita uma condição sem a outra o processo certamente será enfadonho ou de pouco valor para formação do conhecimento cientifico do estudante.

Vale ressaltar que o ensino de matemática por atividades, em particular o ensino de frações , pode ser fundamentado na Teoria da


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Atividade. A nossa experiencia diz que como professores não devemos nos

isolar , mas pelo contrário participar de eventos, discussões que envolvam professores de matemática e de outras disciplinas também para que nosso conhecimento profissional seja enriquecido por meio da troca de experiencias com outros colegas docentes. Dessa participação certamente muitas boas ideias terão origem e fortalecerão os participantes individualmente e coletivamente. Por que a união faz a força.

Um trabalho como este não é possível sem a cooperação de várias pessoas. Por este motivo aproveitamos a oportunidade para agradecer a Professora Talita Rodrigues de Sá pelo auxilio prestado para elaboração deste trabalho.

Agradecemos também a sua gentileza de ter dedicado uma parte de seu tempo para ler este trabalho sobre o ensino de frações por atividades que esperamos tenha lhe sido útil.


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REFERÊNCIAS

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SMITH, D. E. History of Mathematics. Vol. 1. New York: Dover Publications Inc., 1958.


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DADOS SOBRE OS AUTORES

Pedro Franco de Sá é Licenciado em Ciências do 1º grau, Licenciado em Matemática, Especialista em Ensino de Ciências, Especialista em

Matemática e Mestre em Matemática pela UFPA e Doutor em Educação pela UFRN. Foi professor da rede pública estadual de Educação do Pará. Foi professor fundador do CESUPA e da UNAMA. É professor Titular do Departamento de Matemática, Estatística e Informática da UEPA IES que também é professor fundador, onde foi Diretor do Centro de Ciências Sociais e Educação de 2012 a 2016. É professor fundador do mestrado e doutorado em Educação da UEPA, professor fundador do Mestrado em ensino de Matemática da UEPA e professor fundador da REAMEC. Em 1994 foi eleito o primeiro chefe do Departamento de Matemática, Estatística e Informática da UEPA, neste mesmo ano coordenou o curso de aperfeiçoamento em matemática do Programa Pró-Ciências, financiado pela CAPES/SECTAM, nos municípios de Belém, Conceição do Araguaia e Bragança. Curso este que deu origem a primeira turma do curso de especialização em Educação Matemática da UEPA em 1998, sob a coordenação do docente em questão. Em 1999 como coordenador do curso de licenciatura em matemática da UEPA interiorizou o referido curso, implantando-o nos municípios de Altamira, Conceição do Araguaia, Moju, Paragominas e São Miguel do Guamá. Ainda em 1999 foi o coordenador geral do I Encontro Paraense de Educação Matemática (EPAEM). Em 2005 implantou o curso de licenciatura em Matemática na modalidade a distância da UEPA, que foi o primeiro curso superior da instituição nesta modalidade, nos municípios de Conceição do Araguaia, Moju, Paragominas, São Miguel do Guamá e Salvaterra. Tem experiencia na área de Educação Matemática com ênfase em Ensino de Matemática por Atividades, Resolução de Problemas, Uso de Tecnologia em Aulas de matemática, em particular no uso da calculadora como recurso didático. Atualmente é líder do Grupo de Pesquisa em Cognição e Educação matemática da UEPA e coordenador do Seminário de Cognição em Educação Matemática que neste ano terá a sua décima consecutiva edição.


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Kamilly Suzany Félix Alves Possui graduação em Matemática pela Universidade do Estado do Pará (2010) e mestrado em Educação

pela Universidade do Estado do Pará (2018). Atua como professora substituta na Universidade do Estado do Pará. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Educação Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: Educação Matemática, Números, Operações Matemáticas e Metodologias de Ensino de Matemática.


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Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VIVolume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir da teoria antropológica do didático.Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e solo geométrico. Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do professor.Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensinoAutores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice dos Santos Fortaleza.

ensino de fraÇÕes por atividades · educação matemática – xii epaem. a partir do tema...

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