UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMATICAS

ESCUELA DE INGENIERIA EN SISTEMAS

LOS LÍMITES Y SU APLICACIÓN EN LAS ASINTOTAS

TECNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS

ENSAYO

ING. JOSÉ CEVALLOS SALAZAR

DOCENTE

ROLANDO ZARES MARQUEZ

ALUMNO

INTRODUCCION

Muchas veces las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o

disminuyendo) constantemente el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a

estabilizarse, tendiendo a un número Real (que es el límite). En el caso mostrado se

observa sus principales asíntotas que son la asíntota horizontal y vertical .

Vemos como obtenemos asíntota horizontal y vertical en una misma grafica

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ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS

DESARROLLO APLICACIONES DEL LÍMITE ASÍNTOTAS Si existen, corresponden a líneas rectas que determinan valores a los cuales la

funcióntiende, pero nunca llega a tomarlos. Existen Asíntotas Horizontales, Asíntotas

Verticales y Asíntotas Oblicuas, donde las dos primeras corresponden a aplicaciones

particulares de la teoría de Límites.

ASINTOTA HORIZONTAL

Si existe este tipo de asíntota para lafunción que se evalúa, esta corresponde al valor a

que toma y, cuando x ®µ, y corresponde a la línea horizontal y = a

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La asíntota horizontal existe cuando se cumple la siguiente igualdad:

Características y pasos para calcular asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o

muy pequeña

1. Calculamos el límite de la función cuando tiende a infinito.

Si existe el límite (valor finito), el valor del límite es una asíntota horizontal

Lim f(x)=b se escribe y=b

x->

2. Son rectas paralelas al eje OX .Se escriben y= valor de la asíntota horizontal

3. Las funciones racionales tienen asíntota horizontal en estos casos:

=> 1. Cuando el numerador y el denominador son del mismo grado

2.Cuando el grado del denominador es mayor que el grado del numerador.

4. Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en y=0

EJEMPLO

Hay una asíntota horizontal en y=1

Para saber si la función tiende a uno por arriba o por abajo damos valores “grandes y pequeño” a x

La función se acerca a uno por arriba de la asíntota para x- >+

La función se acerca a uno por abajo para x-> -

Ver su grafica en el ejemplo de asíntotas verificables en funciones racionales

Hay una asíntota horizontal en y=0 que es la ecuación del eje OX

ASINTOTA VERTICAL

Si existe, se presenta en funciones racionales de la forma y corresponde aquellos valores para los

cuales se indetermina la función para cuando q(x) = 0 , o mediante la interpretación del siguiente

limite

Características y pasos para calcular asíntotas verticales

1. Calculamos el dominio de la función

2. Tomamos , para los valores de x que no pertenece al dominio , si el límite nos da

infinito , en esos valores hay una asíntota vertical

3. Para saber a que tiende la función hay que tener tomar el o los limites laterales , la

solución puede ser ±

4. Son rectas paralelas al eje OY, se escriben x= valor de la asíntota vertical

Funciones racionales: indeterminación

Funciones logarítmica.

Función tangente.

ASINTOTA OBLICUA

Aunque la Asíntota Oblicua no representa una aplicación del Límite como tal, se incluyeen este

capítulo por tratarse de una característica más de la gráfica de una expresión y tiene

comportamiento similar al definido para las asíntotas Horizontal y vertical.

Se presenta en expresiones de la forma

La Asíntota Oblicua representa el resultado de realizar la división que se estápresentando en el

enunciado de la expresión, y cuando se presenta, este resultado se puede interpretar como, una

parte entera que corresponde a la definición de la asíntota Oblicua, más una fracción que

corresponde a el valor que hace falta para pasar de la asíntota a la función f (x).

Hay que tener en cuenta que debido a que la Asíntota Oblicua se define como el resultado de

realizar la división entre las expresiones que componen el polinomio, y dado que el grado del

Numerador excede en uno ( 1 ) el grado del Denominador, el resultado siempre será la expresión

de una función lineal, es decir, un expresión de grado uno ( 1 ).

Lo anterior quiere decir que una Asíntota Oblicua se puede entender así:

Dada la expresión.Donde el grado del Polinomio del Numerador es dos ( 2 ) y el grado del

polinomio del Denominador es ( 1 ), entonces se cumple la definición que dice que el grado del

polinomio del Numerador debe exceder en uno el grado del polinomio del denominador lego se

presume que existe entonces una Asíntota Oblicua.

Se dice que la gráfica de una funciónracional tiene

Asíntota Oblicuo si el máximo exponente de la variable

independiente del polinomio del numeradorexcede en

uno (1) el máximo exponente de la variable

independiente en el polinomio del denominador

Para determinar cual es la Asíntota Oblicua se realiza la división que se tiene indicada en Obteniendo como resultado Esta interpretación se puede expresar como

Esta expresión puede ser analizada gráficamente mediante la siguiente representación, en donde

se ha indicado cual es la Asíntota Oblicua, y para un valor cualquiera de “x” se ha realizado un

análisis de la expresión, descomponiendo el valor de “y”, para la parte entera (Asíntota) y para la

parte fraccionaria (Residuo), así:

TECNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS

La gráfica de la función tiene una asíntota

horizontal en y = 0.

Si analiza uno un poco el límite calculado, se

da uno cuenta que existe una diferencia entre el

límite hacia oo y el de -oo.

Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo,

se divide entre un número muy grande positivo,

lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca

uno a cero, por los valores positivos.

Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -

oo, se divide entre un número negativo muy

grande, y la división tiende a cero, pero por

valores negativos.

Estas dos observaciones son de gran importancia,

ya que nos pueden dar información de por dónde

se acerca la curva a la asíntota horizontal.

En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba.

En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.

OJO: Analícese la siguiente función, que

cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse

a la asíntota por arriba viniendo de abajo.

La función tiende a 0 cuando x tiende a valores

muy grandes o muy negativos.

Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores

muy grandes la función tiende a cero pero

manifestando valores positivos. Esto implica,

que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.

Por otro lado, si x tiende a valores muy

negativos, la función tiende a cero, pero por

valores negativos, lo cual nos indicaría, que se

acerca a la asíntota horizontal por abajo.

Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

En la gráfica se alcanza a distinguir, que del lado

derecho, la función va por encima del eje "x", en

cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo.

OJO: Esto tiene implicaciones serias para la

función. Después de cruzar la asíntota horizontal,

debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya

que de otra manera no podría acercarse a la

asíntota horizontal en y = 0

La función tiene una asíntota horizontal en

y = 0

Los dos límites tienden a cero, si hacemos el

estudio, como en el primer problema, vemos que

los dos límites se acercan a cero por arriba. (Ver

gráfica)

GRADO DEL NUMERADOR IGUAL AL GRADO DEL DENOMINADOR

Asíntota horizontal en

y = 3

Haciendo la división de polinomios, se llega a:

, y se puede deducir, que la

parte fraccionaria:

Suma una cierta cantidad al 3, cuando x tiende

a oo, aunque siempre más pequeña.

Resta una cierta cantidad al 3, cuando x tuende

a -oo, aunque cada vez más cercana a cero.

Si suma una cierta cantidad, se acerca al 3 por

valores mayores que el 3, o sea, por arriba.

Si resta cierta cantidad, se acerca al 3 por valores

menores que el 3, por lo tanto, se acerca a la

asíntota por abajo.

OJO: A veces las gráficas pueden ser un poco

engañosas, ya que la escala es reducida y no se

alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede

hacer un análisis de cruce con las asíntotas

horizontales.

Tiene una asíntota horizontal en y = 2

A la hora de hacer uan división de polinomios,

se obtiene una parte entera, que es 2, misma

que es la asíntota horizontal.(Esto se debe a

que los grados del numerador y denominador,

son iguales)

Cabe hacer un análisis de la importancia de los

coeficientes de los términos de mayor grado

tanto en el numerador como en el

denominador.

Nótese que conforme el grado del numerador y

el grado del denominador crece, las gráficas son

más complejas. Esta gráfica presenta dos

asíntotas verticales, una horizontal y dos

intersecciones con los ejes.

FUNCIONES NO RACIONAL CON ASÍNTOTAS HORIZONTALES

La función exponencial:

, tiene una asíntota horizontal

unilateral, sólo cuando x tiende a infinito, ya

que su límite es 2. Por lo tanto la recta y = 2 es

la asíntota horizontal. La gráfica de la función

se acerca a la recta y=2, por abajo, ya que

siempre se va a restar una cantidad al 2

conforme crezca x.

Al calcular los límites hacia más y menos

infinito, se puede ver, que no son iguales, que

uno tiende a 2 y el otro a menos infinito.

, este primer límite nos

dice que hay una asíntota horizontal unilateral,

sólo hacia la derecha de la función.

, este límite nos indica,

que la función no tiene asíntota horizontal

hacia la izquierda, que la función decrece

rápidamente. No hay que confundir este hecho

con el de una asíntota vertical, ya que la

función no la tiene. No hay valor para el cual

la función no esté definida.

La función:

, presenta una asíntota horizontal

hacia ambos lados de la función.

Esto se debe a que los límites de la función

cuando x tiende a más o menos infinito, los

dos son cero. Por lo tanto la asíntota

horizontal se encuentra en y = 0, o sea, el eje

"x".

El límite cuando x tiende a más infinito, es:

El límite cuando x tiende a menos infinito, es:

Nótese que la función aparte de tener una

asíntota horizontal presenta un máximo y

además dos puntos de inflexión, sin los cuales

no se podría acercar asintóticamente al eje "x".

La función logarítmica

, tiene, aparte de varias

peculiaridades, que habría que analizar

posteriormente, una asíntota hrizontal

unilateral en y = 0, o sea, el eje "x" funciona

con asíntota.

Este límite nos dice, que existe esa asíntota

horizontal.

Es evidente, que x no puede tender hacia

menos infinito, ya que el ln de números

negativos no existe.

Así también queda claro, que la función no

está definida para ningín valor negativo de x.

Tampoco está definida para x = 0. Sólo se

puede calcular el límite cuando x tiende a o

por la derecha:

CONCLUSIÓN

Concluyo este ensayo enfocado en las técnicas para graficar las asíntotas porque es

donde se practica su teoría entonces:

Si se calcula el límite cuando x tiende hacia, se divide entre un número muy

grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por

los valores positivos.

Cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero

manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota

horizontal por arriba

Después de cruzar la asíntota horizontal, debe tener un máximo y un punto de

inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y

= 0.

A veces las gráficas pueden ser un poco engañosas, ya que la escala es reducida

y no se alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede hacer un análisis de cruce

con las asíntotas horizontales

BIBLIOGRAFIA

http://www.vadenumeros.es/primero/asintotas-verticales.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/AsintotasVerticalesHorizontalesUOblicuas

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Limites/Asintotas.pdf

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