enhedscirklen og de trigonometriske funktioner - · pdf fileenhedscirklen og de...

Enhedscirklen ogde trigonometriske Funktioner

Frank Nasser

12. april 2011

c©2008-2011.Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som

abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis

ikke er den nyeste tilgængelige.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=25&Itemid=41

Indhold1 Introduktion 1

2 Enhedscirklen 2

3 De trigonometriske funktioner 33.1 Sinus og Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Store vinkler, negative vinkler og omløbsretning . . . 73.3 Egenskaber ved sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . 8

4 Flere trigonometriske funktioner 94.1 Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Tangens og enhedscirklen . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 Cotangens, Sekans og Cosekans . . . . . . . . . . . . 13

5 Retvinklede trekanter 145.1 Inverse trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . 17

6 Radianer 196.1 Radiantallet for en vinkel . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Omregning mellem grader og radianer . . . . . . . . . 206.3 Radiantal og enhedscirklen . . . . . . . . . . . . . . . 216.4 Det hele om igen . . . ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.5 Lommeregnere og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . 236.6 Lidt radianmagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.7 Nygrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Resumé

Vi definerer de trigonometriske grundfunktioner, sinus, co-sinus og tangens, ved hjælp af enhedscirklen i det todimen-sionale koordinatsystem, og vi beviser hvordan de opfører sigi forbindelse med retvinklede trekanter. Til sidst indfører viradianbegrebet.

1 IntroduktionDe trigonometriske funktioner er (som navnet antyder) meget nyt-tige når man arbejder med vinkler i trekanter. Men det er faktiskden allermindste grund til at de er vigtige. Det viser sig at de op-træder utroligt mange steder i naturen, når man skal beskrive fæ-nomener der „svinger“ og gentager sig selv „periodisk“ (vekselstrøm,lyd, lys, vibrationer, udsving omkring en ligevægtstilstand, ting derroterer. . . bare for at nævne nogle få.)1

Ikke nok med det: De trigonometriske funktioner følger også mednår man laver meget mere avanceret matematik: De spiller f.eks. envigtig rolle i forståelsen af de komplekse tal, hvor de har en megetsmuk sammenhæng2 med den naturlige eksponentialfunktion3. Og detviser sig at andre funktioner kan approksimeres med trigonometriskefunktioner ved hjælp af såkaldte Fourierrækker. Dette er en dyb oggrundlæggende forudsætning i kvantemekanik.

Alt dette var blot et forsøg på at vise at de trigonometriske funk-tioner kan bruges til noget. Nu skal vi i gang med at lære dem atkende.

Forudsætninger

Dokumentet kan i princippet læses af enhver der kender det todimen-sionale koordinatsystem. Det er dog en fordel hvis man allerede har

1Læs om harmoniske svingningsfunktioner her2Læs om Eulers identitet her3Læs om eksponentialfunktioner her

side 1


arbejdet med klassisk geometri (især trigonometri).

2 EnhedscirklenI vores definitioner skal vi bruge en vigtig delmængde af det todi-mensionale koordinatsystem, nemlig enhedscirklen. Den er defineretsom:

E = {(x; y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}Hvis man er vant til at arbejde med cirkler, genkender man straks

ligningen som:(x− 0)2 + (y − 0)2 = 12

og så er det klart at E er en cirkel (se figur 1) med centrum i origoog radius 1 (deraf navnet: „enhedscirklen“).

-2 -1 0 1 2

-2

-1

1

2

Figur 1: Enhedscirklen

side 2


3 De trigonometriske funktionerVi er nu klar til at definere de trigonometriske funktioner.

3.1 Sinus og CosinusDefinitionerne af sinus og cosinus er temmeligt indviklede. Hvis manskal forstå dem, er det vigtigt at holde overblikket over hvad derforegår: Vi er ude på at definere to såkaldte funktioner, som til enhvertænkelig vinkel udregner et tal der afhænger af vinklen. Sinus ogcosinus er altså ikke bare nogle tal, men derimod en slags „maskiner“,der udregner et tal, hver gang man propper en vinkel ind i dem.

Hvis v betegner en eller anden vinkel, så vil vi skrive de tal somsinus og cosinus udregner som:

sin(v)

ogcos(v)

Det læses som henholdsvis: „sinus til v“ og „cosinus til v“.Nu er vi klar til at definere hvordan disse funktioner fungerer:

Definition 1

Hvis v er en vinkel, så beregnes sin(v) og cos(v) på følgende måde:

1. Indtegn vinklen i det todimensionelle koordinatsystem, så-dan at vinkelspidsen ligger i origo, og højre ben peger langsmed x-aksen i den positive retning. (Se figur 2.)

2. Nu vil venstre ben af vinklen pege i en eller anden retning, oghvis man fortsætter i den retning vil man på et tidspunktskære enhedscirklen. Lad P betegne dette skæringspunkt.(Se figur 3.)

side 3


3. cos(v) er pr. definition førstekoordinaten til P .

4. sin(v) er pr. definition andenkoordinaten til P .

-2 -1 0 1 2

-2

-1

1

2

v

Figur 2: Enhedscirklen med en indtegnet vinkel

Eksempel 1

Vi vil beregne cosinus og sinus til en vinkel på 45◦. Derfor ind-tegnes vinklen i et koordinatsystem som beskrevet i definitionen.Dette er gjort på figur 4 nedenfor.

Det kan ses på figuren at cos(45◦) og sin(45◦) er præcis ligestore (hvorfor?), og at deres fælles værdi er omkring:

cos(45◦) = sin(45◦) ≈ 0,71

side 4


-2 -1 0 1 2

-2

-1

1

2

v

P

cos(v)

sin(v)

Figur 3: Definitionen af cosinus og sinus til en vinkel v

Det er dog aldrig tilstrækkeligt med en omtrentlig aflæsningpå en tegning. Vi kan i stedet bestemme den nøjagtige værdi vedat være lidt smarte. Kald i første omgang den fælles værdi afcos(45◦) og sin(45◦) for x.

På figur 4 er der således en retvinklet trekant (find den!), hvorbegge kateterne er x lange. Eftersom hypotenusen i denne tre-kant er en radius i enhedscirklen, har den længde 1. Pythagoras’sætning siger derfor at:

x2 + x2 = 12

dvs.2x2 = 1

dvs.x2 = 1

2

side 5


dvs.

x =√

12 ≈ 0,7071

-1 0 1

-1

1

45ox

x

1

Figur 4: Beregning af cosinus og sinus til 45◦

Øvelse 1

Beregn følgende værdier af cosinus og sinus. I de tilfælde hvorværdien ikke kan aflæses præcist, aflæs da en cirkaværdi og sam-menlign med lommeregnerens resultat.

Vigtigt: Husk at din lommeregner skal være indstillet til atmåle vinkler i grader ! Det kan du læse mere om i afsnit 6.

side 6


cos(0◦) , sin(0◦)cos(90◦) , sin(90◦)cos(180◦) , sin(180◦)cos(360◦) , sin(360◦)cos(60◦) , sin(60◦)cos(81◦) , sin(205◦)

3.2 Store vinkler, negative vinkler og omløbsret-ning

Hvis man får en god fornemmelse af hvordan den givne vinkel ganskeenkelt flytter punktet P rundt på enhedscirklen, så er det ikke sværtat gætte hvordan vi skal definere cosinus og sinus til vinkler der erstørre end 360◦ — eller til vinkler der er negative.

Vi vedtager at en vinkel på over 360◦ skal forstås som at punktetP kører mere end en hel omgang rundt på enhedscirklen, men atcosinus og sinus stadig bare skal være koordinaterne til det punkthvor P „lander“ på enhedscirklen. På den måde vil en vinkel på 410◦

f.eks. se ud på præcis samme måde som en vinkel på 50◦ når denindtegnes, og derfor er cosinus og sinus til 410◦ præcis det sammesom til 50◦.

Tilsvarende bestemmer vi at en negativ vinkel bare skal forståssom at P kører den modsatte vej (altså i urets retning) rundt påenhedscirklen.

På den måde bliver f.eks.

sin(−90◦) = sin(270◦) = sin(630◦) = −1

(Kig selv efter på enhedscirklen!)

side 7


Øvelse 2

Beregn følgende:cos(−36000◦)

Omløbsretning

Bemærk den lille detalje at negative vinkler svarer til at punktet Pbevæger sig rundt om enhedscirklen i urets retning — mens positivevinkler svarer til en bevægelse imod urets retning.

Dette er en lidt forvirrende detalje som man ganske enkelt skalvænne sig til. (Det er i virkeligheden uret som går den forkerte vejrundt.) Vi indrammer det lige som en definition:

Definition 2

I matematik bruges udtrykket positiv omløbsretning om en cirku-lær bevægelse som bevæger sig imod urets retning.

3.3 Egenskaber ved sinus og cosinusHvis du har forstået definition 1 er det ikke noget problem at indsefølgende egenskaber ved cosinus og sinus:

• cosinus og sinus giver altid værdier mellem −1 og 1.

• Hvis man kender cos(v) eller sin(v) til en vinkel v, så er deruendeligt mange muligheder for hvad v kan være. Som regel4vil to af disse muligheder ligge mellem 0◦ og 360◦.

4Den eneste undtagelse er hvis den kendte værdi af cos er −1 eller den kendteværdi af sin er 1 eller −1

side 8


• Hvis en vinkel er mellem 0◦ og 180◦ (som f.eks. vinkler i entrekant), og man kender cosinus til vinklen, så er der kun énmulighed for hvad den kan være.

• Hvis en vinkel er mellem 0◦ og 90◦ (som f.eks. vinkler i enretvinklet trekant), og man kender sinus til vinklen, så er derkun én mulighed for hvad den kan være.

Den næste sætning kan være enormt nyttig når man arbejder medtrigonometriske funktioner. Samtidigt er den utroligt nem at bevise(det handler bare om at kigge grundigt på definitionen af cosinus ogsinus).

Navnet er ikke en fornærmelse, men derimod en beskrivelse afhvordan mange matematikere har følt sig når de på et kritisk tids-punkt har glemt at bruge denne sætning.

Sætning 1 („Idiotformlen“)

For enhver vinkel v gælder at:

cos(v)2 + sin(v)2 = 1

Bevis. Eftersom punktet P (se definition 1) ligger på enhedscirklen,vil dets koordinater opfylde enhedscirklens ligning:

x2 + y2 = 1

Men P ’s koordinater er jo lige præcis cos(v) og sin(v).

4 Flere trigonometriske funktionerSinus og cosinus er langt de vigtigste af de trigonometriske funktioner.Der findes dog hele fire andre, som blandt andet er nyttige når man

side 9


laver såkaldte integraler5. Den mest kendte af disse hedder tangens,og den er faktisk navngivet af en dansk matematiker6.

4.1 TangensDefinitionen af tangens er meget simpel når først sinus og cosinus erdefineret:

Definition 3

Hvis v er en vinkel, hvor cos(v) 6= 0, så definerer vi:

tan(v) = sin(v)cos(v)

Bemærk at tangens ikke er defineret til vinkler hvor cosinus givernul! Derfor vil lommeregneren lave en fejlmeddelelse hvis man bederden om f.eks. at beregne tan(90◦).

Øvelse 3

Angiv fire forskellige vinkler v hvortil tangens ikke er defineret.

4.2 Tangens og enhedscirklenSelvom man ikke har brug for enhedscirklen til at definere tangens,så har de to ting alligevel meget med hinanden at gøre. For at forstådette, skal vi læse figur 3 på en lidt anden måde.

5Læs om integration ved substitution her6Tangens blev opfundet i Perserriget omkring år 800, men den blev først ind-

ført og navngivet i Europæisk matematik i 1583 af danskeren, Thomas Fincke.

side 10


-1 0 1 2

-1

1

2

v

tan(v)

Figur 5: Den geometriske betydning af tangens til en vinkel v

På figur 5 har vi indtegnet en vinkel v, hvor cos(v) ikke er nul, ikoordinatsystemet, og samtidigt forlænget vinklens venstre ben, ind-til det skærer den lodrette tangent til enhedscirklen som er givet vedligningen:

x = 1

Det viser sig at tan(v) angiver i hvilken højde at vinklens venstreben skærer denne tangent. (Deraf navnet „tangens“).

Hvis vi skal indse at dette er rigtigt, skal vi lige have cosinus ogsinus med ind i historien. (Se figur 6.)

Lad os kalde cos(v) for ∆x og sin(v) for ∆y. Nu kan vi nemlig sehvad tan(v) betyder, nemlig:

tan(v) = sin(v)cos(v) = ∆y

∆x

—Altså hældningen af vinklens venstre ben! Dermed er det klart at

side 11


-1 1 2

-1

1

2

v

tan(v)

cos(v)

sin(v)

Figur 6: Den geometriske betydning af tangens til en vinkel v

hvis man går 1 til højre i koordinatsystemet så vil venstre ben stigemed præcis tan(v) som vist på figur 5.

Dette indrammer vi lige i en sætning:

Sætning 2

Hvis v er en vinkel, hvor cos(v) 6= 0, så angiver tan(v) hældningenaf vinklens venstre ben, når den indtegnes i et koordinatsystemsom beskrevet i definition 1.

Øvelse 4

Gennemgå alle påstandene og tegn alle tegningerne i dette afsniti nogle tilfælde hvor vinklen v ikke er mellem 0◦ og 90◦. (Prøv

side 12


f.eks. med v = 120◦.) Læg mærke til at cosinus og/eller sinus idisse tilfælde bliver negative!

4.3 Cotangens, Sekans og CosekansDe sidste tre trigonometriske funktioner er næsten ukendte i Dan-mark, men de bruges flittigt i matematikundervisningen i f.eks. USA.De hedder cot (udtales: cotangens), sec (udtales: sekans) og csc (ud-tales: cosekans), og de er defineret ved:

cot(v) = 1tan(v)

sec(v) = 1cos(v)

csc(v) = 1sin(v)

Eftersom disse tre funktioner blot er reciprokke værdier af de„rigtige“ trigonometriske funktioner, kan man godt argumentere forat de ikke behøver af have navne. Vi skal da hellere ikke bruge demtil noget som helst, og den eneste grund til at vi nævner dem her erat de ofte findes som taster på amerikanske lommeregnere.

side 13


5 Retvinklede trekanterVi fortsætter med at vise hvordan de trigonometriske funktioner si-nus, cosinus og tangens giver en sammenhæng mellem vinkler og sideri en retvinklet trekant.

Husk at Pythagoras´ sætning giver en sammenhæng mellem detre sider. Dermed kan den bruges til at finde en af siderne hvis mankender de to andre.

De sammenhænge vi nu skal bevise handler alle tre om en vinkelog to af siderne. Derfor kan de bruges til at bestemme enten en side-længde (hvis man i forvejen kender en sidelængde og en vinkel) elleren vinkel (hvis man i forvejen kender to sidelængder)7.

Sætning 3

Hvis A er en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant, a erlængden af den katete som står modsat A, b er længden af denkatete som udgår fra A og c er længden af hypotenusen (se figur7), så er:

cos(A) = b

c

sin(A) = a

c

tan(A) = a

b

Bevis. Vi starter med at skalere den givne trekant, idet alle sidelæng-derne divideres med c. Dermed opstår en trekant som er ensvinkletmed den første, men hvor hypotenusen har længde 1 (se figur 8).

Denne trekant indtegnes nu i koordinatsystemet, sådan at vinklenA placeres i origo, og den hosliggende katete lægges ud langs x-aksen.

7Se nogle eksempler på problemløsning i retvinklede trekanter her

side 14


A

ac

b

Figur 7: Navngivning af sider og vinkel i sætning 3

A

a/c1

b/c

Figur 8: Den skalerede trekant fra sætning 3

På den måde passer tegningen perfekt sammen med enhedscirklen (sefigur 9).

Hvis vi sammenholder figur 9 med definitionen af sinus og cosinus(se f.eks. figur 6), er det klart at:

cos(A) = b

c

side 15


-1 1

-1

1

A

b/c

a/c

Figur 9: Den skalerede trekant indtegnet i koordinatsystemet

ogsin(A) = a

c

Den sidste påstand er bare lidt brøkregning:

tan(A) = sin(A)cos(A) =

acbc

= a

c· cb

= a

b

Bemærkninger

• Bemærk at man altid kan få en retvinklet trekant med en givenvinkel til at vende sådan som det er vist på figur 7 alene ved atdreje og eventuelt spejle den givne trekant. — Altså med denrette vinkel nederst til højre og den angivne vinkel nederst tilvenstre.

side 16


• Det er en god ide at lære sætning 3 udenad, uden at læse bog-staverne. Således bør man huske de tre påstande som følgende:

– Cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den „hos-liggende“ katete divideret med hypotenusen.

– Sinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den „mod-stående“ katete divideret med hypotenusen.

– Tangens til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den„modstående“ katete divideret med den „hosliggende“.

• Bemærk at ordene „hosliggende“ og „modstående“ ovenfor for-tæller hvordan den omtalte katete ligger i forhold til den omtal-te vinkel. Man kan således først benytte disse to ord når manhar besluttet hvilken vinkel man vil kigge på.

5.1 Inverse trigonometriske funktionerOfte står man i en situation8, hvor man kender værdien af entensinus, cosinus eller tangens til en vinkel, men vi mangler at vide hvadselve vinklen er.

Hvis man forestiller sig de trigonometriske funktioner som nogle„maskiner“ der beregner et tal hver gang man propper en vinkel indi dem, så svarer vores situation til at der er kommet et tal ud af en afdisse maskiner, men vi har „glemt“ hvilken vinkel der blev proppetind.

Løsningen på problemet svarer til at man tager det tal som erkommet ud, og kører det baglæns igennem maskinen, sådan at denoprindelige vinkel bliver gendannet.

De „baglæns“ udgaver af de trigonometriske funktioner kaldes deinverse trigonometriske funktioner, og de skrives som:

sin−1

8Se nogle konkrete eksempler her

side 17


cos−1

ogtan−1

(Man læser dem som f.eks. „sinus i minus første“ eller „invers sinus“.)Hvordan disse „baglæns“ funktioner er defineret skal vi ikke kom-

me ind på her9. I stedet vil vi blot nævne at de findes som knapperpå de fleste lommeregnere, og give et eksempel på hvordan de virker:

Eksempel 2

En vinkel v fra en retvinklet trekant opfører sig sådan at:

cos(v) = 23

For at beregne selve vinklen, bruger vi den inverse cosinus:

v = cos−1(2

3

)≈ 48,19◦

(Beregn selv cosinus til denne vinkel og se at det passer.)

Advarsel!

Inden du kaster dig ud i at bruge de inverse trigonometriske funktio-ner, så bør du lige huske hvad vi opdagede i afsnit 3.3:

To forskellige vinkler kan godt give den samme værdiaf cosinus, sinus og tangens!

Heldigvis er det sådan at hvis en vinkel er mellem 0◦ og 90◦, ogman kender værdien af enten cosinus, sinus eller tangens til denne

9Det kræver nemlig at man ved lidt mere om funktionsbegrebet. Du kan læseom konstruktionen af de inverse trigonometriske funktioner her

side 18


vinkel, så er der kun en mulighed for hvad den kan være. —Og det erdenne mulighed som de inverse trigonometriske funktioner beregner.

Moralen er derfor:

Så længe vi arbejder med vinkler fra retvinkledetrekanter, så kan vi uden problemer bruge de inversetrigonometriske funktioner som baglæns udgaver

af de trigonometriske funktioner.

6 RadianerVi slutter med en definition, nemlig af det såkaldte radiantal for envinkel. Det viser sig at „grader“ slet ikke er den bedste måde at angivestørrelsen af en vinkel på. Hvis man tænker lidt over det, så er detegentlig ret tilfældigt10 at „en hel omgang“ lige præcis skal angivesmed tallet 360 og at „en ret vinkel“ skal angives med tallet 90.

Vi vil derfor indføre en ny måde at „måle“ vinkler på. I førsteomgang virker den nok mindst lige så tilfældig som gradtallet, mendet viser sig senere11 at det er den helt rigtige måde, fordi vi her-med opnår det helt rigtige forhold mellem størrelsen af den variable(vinklen) og funktionsværdierne af de trigonometriske funktioner.

6.1 Radiantallet for en vinkelBabylonerne vedtog engang for 3500 år siden at „en hel omgang“skulle skrives som:

360◦

10Den historiske forklaring har noget at gøre med at de gamle Babylonere havdelidt af en fetish med tallet 60 (måske fordi det kan deles med både 2, 3, 4, 5 og6 uden at man behøver at bruge brøker).

11Mere præcist: I det øjeblik vil begynder at behandle de trigonometriske funk-tioner som funktioner. Du kan læse om de trigonometriske funktioner i forbindelsemed funktionsbegrebet her

side 19


Dermed var det logisk hvordan man skulle angive dele af en hel om-gang. F.eks. skulle en kvart omgang (også kendt som en ret vinkel)skrives som en fjerdedel af 360◦, altså 90◦.

På præcis samme måde vil vi nu lave en helt anden beslutning,nemlig at „en hel omgang“ skal skrives som:

2π

— altså et irrationelt tal som cirka er lig 6,28. Således skal „en halvomgang“ fremover skrives som halvdelen, altså:

π

— og en ret vinkel skal skrives som:π

2

Når vi angiver vinkler på denne måde, siger man at vinklen er „an-givet i radianer“ eller at vi oplyser vinklens „radiantal“.

Bemærk at der ikke er noget symbol som betyder „radianer“. Manangiver slet og ret et tal, og siger at dette er vinklens størrelse. Påden måde vil vi fremover f.eks. oplyse at v er en vinkel, og at

v = π

4

(Kan du allerede se hvor stor denne vinkel er?)

6.2 Omregning mellem grader og radianerSkulle man være uheldig at få oplyst en vinkel „på den forkerte måde“er det heldigvis nemt at omregne mellem gradtal og radiantal for envinkel.

side 20


Sætning 4 (Omregning mellem radianer og grader)

Hvis v er en vinkel som er angivet i grader, så får man densradiantal ved at dividere gradtallet med 360 og derefter gange med2π.

Hvis v er en vinkel som er angivet i radianer, så får man densgradtal ved at dividere med 2π og gange med 360.

Prøv selv efter med vinklerne: 360◦, 180◦ og 90◦. Bliv ved indtildu kan se systemet.

Øvelse 5

Tag en god, gammeldags vinkelmåler (eller bare en tegning afen — se figur 10) hvor vinklerne er angivet i grader. Slet alledisse vinkelmål og marker i stedet nogle udvalgte vinkler, angiveti radianer.

Sørg for at følgende vinkler er markeret: 0, π4 , 1, π2 , 2, 3π4 , 3 og

π.

6.3 Radiantal og enhedscirklenDet første tegn på at radiantallet er den „rigtige“ måde at angivevinkler på er at det passer fint sammen med enhedscirklen.

Enhedscirklen har jo radius 1, og derfor er dens omkreds lig med:

2 · π · 1 = 2π

—Og det er lige præcis dette tal som vi har sat til at være radiantalletfor „en hel omgang“.

En "halv omgang"betegnes med halvdelen, altså π, og dette ersjovt nok halvdelen af enhedscirklens omkreds. Hvis man tænker lidtmere over dette, indser man følgende:

side 21


Figur 10: En vinkelmåler til brug i opgave 5

Sætning 5

En vinkels radiantal angiver hvor stor en bue på enhedscirklen denspænder over (se figur 11)

6.4 Det hele om igen . . . ?Nu har vi totalt omdefineret hvordan vinkler måles og angives. Be-tyder det så at alt hvad vi hidtil har sagt om vinkler skal laves om?Svaret på dette spørgsmål er heldigvis: „Nej, overhovedet ikke!“

Hvis man kigger grundigt efter i definitionerne og resultaternei dette dokument, så er de fuldkommen uafhængige af hvordan man

side 22


-1 1 2

-1

1

Buelængde: x

Figur 11: En vinkel med radiantal x, indtegnet i koordinatsystemet

måler vinkler. En vinkel er jo præcis den samme, uanset om vi kalderden 90◦ eller som π

2 , bare vi er enige om at det er en ret vinkel.Det eneste problem som kommer ud af det nye vinkelbegreb er

altså at man altid skal gøre det tydeligt hvilket af de to vinkelbegreberman arbejder med, når man kommunikerer. Men hvis bare man eromhyggelig med at skrive „grader“–tegnet hver eneste gang en vinkeler angivet i grader, så er der ingen risiko for misforståelser.

6.5 Lommeregnere og vinklerEn lommeregner kan beregne cosinus, sinus og tangens til vinkler. Ogden kan udregne vinkler ud fra deres cosinus–, sinus– og tangensvær-dier ved hjælp af de inverse trigonometriske funktioner. Men det eri begge tilfælde ekstremt vigtigt at fortælle lommeregneren hvordanvinkler skal angives.

Desværre har de fleste lommeregnere ikke mulighed for at skrive„grader“–tegnet. I stedet har de en indstillingsmulighed, hvor mankan fortælle om vinkler skal angives i grader eller i radianer. Hvisman her indstiller lommeregneren til „grader“, så vil lommeregneren

side 23


opfatte alle tal som gradtal for vinkler når man bruger de trigono-metriske funktioner, og den vil oplyse gradtallet for vinkler når manbruger de inverse trigonometriske funktioner.

Man man lave frygteligt mange sjove fejl hvis man ikke holder styrpå om ens lommeregner måler vinkler i grader eller radianer. Derforfremhæver vi følgende gode råd:

Hver eneste gang du rører ved tasternecos, sin, tan, cos−1, sin−1 eller tan−1

på lommeregneren, så kig efterom den regner i grader eller radianer!

De fleste lommeregnere har heldigvis deres vinkelindstilling op-lyst i displayet hele tiden. På engelsksprogede lommeregnere står der„deg“ (forkortelse for „degrees“) hvis den regner i grader, og „rad“(forkortelse for „radians“) hvis den regner i radianer. På dansksproge-de lommeregnere er det temmeligt forskelligt hvordan vinkelindstil-lingen angives. For en sikkerheds skyld giver vi her en mere sikkermetode:

Sætning 6

Hvis du vil tjekke om en lommeregner er indstillet til at målevinkler i grader eller radianer, så bed den om at beregne cosinustil enten:

360

eller30 · π ≈ 94,2477796

Hvis den førstnævnte beregning giver 1, så regner lommeregnereni grader. Hvis den sidstnævnte beregning giver 1, så regner lom-meregneren i radianer.

side 24


Øvelse 6

Udregn både:sin(12◦)

ogsin(12)

på en lommeregner. (Eftersom den sidste vinkel ikke er angivetmed et „grader“-tegn, skal den forstås som et radiantal.)

Øvelse 7

Udregn både:tan

((π

4

)◦)og

tan(π

4

)på en lommeregner. (Eftersom den sidste vinkel ikke er angivetmed et „grader“-tegn, skal den forstås som et radiantal.)

Øvelse 8

En lommeregner har oplyst at

cos−1(1

2

)= 1,0471975512

Hvilken vinkelangivelse er lommeregneren indstillet til?

Den næste opgave er meget, meget svær. Så hvis du ikke trængertil udfordringer, så spring den over.

side 25


Øvelse 9

En vinkel på 0◦ er præcis den samme som en vinkel på 0 (under-forstået: radianer). Derfor vil en lommeregner udregne:

cos(0) = 1

uanset om den er indstillet til at angive vinkler i grader ellerradianer.

1. Findes der andre tal end 0 som giver præcis den sammeværdi af cosinus, uanset om lommeregneren er indstillet tilat måle vinkler i grader eller radianer?

2. Findes der andre tal end 0 hvor cosinus giver værdien 1,uanset om lommeregneren er indstillet til at måle vinkler igrader eller radianer?

6.6 Lidt radianmagiHvis du stadig synes at radianbegrebet er fjollet, så prøv følgendelille eksperiment: Vi minder lige om definitionen af fakultet–tegnet:

Definition 4

Hvis n er et naturligt tal, så er n! (læses: „n-fakultet“) defineretsom:

n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1

F.eks. er:5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Her kommer eksperimentet:

side 26


Øvelse 10

Et eksperiment med radiantal:

1. Vælg en vinkel (frit valg!) og lad x være vinkels radiantal.

2. Udregn cos(x) og sin(x). (Husk at indstille lommeregnerentil at regne i radianer!)

3. Udregn følgende:

1− 12!x

2 + 14!x

4 − 16!x

6 + 18!x

8 − . . .

(Indse mønstret og tag så mange led med som du har lysttil.)

4. Udregn følgende:

x− 13!x

3 + 15!x

5 − 17!x

7 + 19!x

9 − . . .

(Indse mønstret, og tag så mange led med som du har lysttil.)

5. Hvordan tror du at lommeregneren beregner de trigonome-triske funktioner?

6.7 NygraderNogle totalt mærkelige mennesker fra Frankrig indførte på et tids-punkt omkring 1970 endnu et vinkelbegreb, nemlig de såkaldte ny-grader. Ideen var at „en hel omgang“ skulle angives med tallet

400

og at en ret vinkel således skulle angives med tallet 100.

side 27


Dette er en kandidat til den dummeste og mest ubrugelige defini-tion der nogensinde er lavet i matematik. Det bliver endnu værre afat „nygrader“ på engelsk (og fransk) forkortes: grad, hvilket minderfrygteligt meget som det danske ord „grader“ (der på både engelskog fransk forkortes: „deg“).

Forvirret? Det kan jeg godt forstå! Dette er grunden til at mansom regel vælger latinske eller græske navne til matematiske begreber,fordi sådanne ord lyder næsten ens på alle sprog. — Og grunden tilat man sjældent lader franskmænd navngive noget som helst. :)

Nygrader bliver stort set ikke brugt nogen steder (der findes dogundtagelser f.eks. i visse spejderbevægelser og i det franske artelleri).Men nogle lommeregnere har denne tredie indstillingsmulighed forvinkelangivelse, så vi nævner at den findes for at undgå forvirring iforbindelse med den slags lommeregnere.

Hvis din lommeregnere har en indstilling for vinklerder hedder „grad“, så lad være med at tro

at det betyder „grader“!

Kig i stedet på sætning 6 hvis du vil være sikker på hvilken indstil-ling din lommeregner bruger.

side 28

enhedscirklen og de trigonometriske funktioner - · pdf fileenhedscirklen og de...

Documents