energia interna 𝐸(=𝐸𝑖 de gases ideais · energia interna média do gás ideal 1 2 𝐯2 =3...
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Em um gás IDEAL MONOATÔMICO (~ He, Ne, Ar, …) a energiaé puramente TRANSLACIONAL (1
2𝑚𝐯2)
Em um gás IDEAL POLIATÔMICO (~ H2, O2, H2O, CO2, …) a energia é TRANSLACIONAL + ROTACIONAL + VIBRACIONAL
Em um gás NÃO IDEAL há ainda a energia potencial de INTERAÇÃO entre átomos/moléculas
Em um gás IDEAL a energia é puramente INTRA-molecular
Energia de Translação média
𝑇 =𝑚 𝐯2
3𝑘𝐵12𝑚𝐯2 = 3
2𝑘𝐵𝑇
Essa é a energia de translação média por partícula do gás.
Apesar do modo como foi derivada, é válida mesmo para um gás real, e independente se o gás é monoatômico ou poliatômico.
Energia Cinética de moléculas RÍGIDAS
𝐕
𝐶
𝐾 =1
2𝑀𝐕2 + 𝐾𝑟𝑜𝑡
Energia cinética de translação do CM
Energia cinética de rotação em torno do
CM
Energia Cinética de Rotação
Porque se ignora a rotação ao longo do eixo de simetria?
𝐼𝑎
𝐼𝑏𝐼𝑐
𝐾𝑟𝑜𝑡 =12𝐼𝑎𝜔𝑎
2 + 12𝐼𝑏𝜔𝑏
2 + 12𝐼𝑐𝜔𝑐
2 𝐾𝑟𝑜𝑡 =12𝐼𝑎𝜔𝑎
2 + 12𝐼𝑏𝜔𝑏
2
Ia
Ib
𝐼𝑎
𝐼𝑏
Energia Interna Média do Gás Ideal
12𝑚𝐯2 = 3
2𝑘𝐵𝑇Cada molécula têm um 𝐯 diferente, porém
12𝐼𝜔2 = 1
2𝑘𝐵𝑇Cada molécula têm (𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐) diferente, porém
Portanto, ignorando a energia vibracional:
DEMAIS gases ideais (H2O, CH4, NH3,…): 𝐸 𝑇 =6𝑁𝑘𝐵𝑇
2
Gás ideal MONOATÔMICO (He, Ar, Ne, …): 𝐸 𝑇 =3𝑁𝑘𝐵𝑇
2
Gás Ideal LINEAR (CO2, H2, O2, N2, CO,…): 𝐸 𝑇 =5𝑁𝑘𝐵𝑇
2
As duas equações fundamentais dos gases ideais (sem vibração):
𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝐵𝑇 = 𝑛𝑅𝑇
𝐸 𝑇 =𝑓𝑁𝑘𝐵𝑇
2=𝑓𝑛𝑅𝑇
2𝑓 = {3,5,6}
SEM interação INTERMOLECULAR (gás ideal), a energia por partícula só depende de 𝑇 (isso acontece mesmo quando
se leva em conta 𝐸𝑣𝑖𝑏), 𝐸 𝑇,𝑁 = 𝑁𝜀 𝑇
COM interação INTERMOLECULAR (gás real), a energia por partícula também depende da distância média
intermolecular, 𝐸 𝑇,𝑁, 𝑉 = 𝑁𝜀(𝑇, 𝑉/𝑁)
Com ou sem interação, 𝐸 sempre cresce com 𝑇
Agora podemos calcular 𝑄 em qualquer processo envolvendo gases ideais
(ignorando vibrações moleculares)
𝑝
𝑉𝑉0
𝑝0
3𝑉0
2𝑝0
𝑊 = 3𝑝0𝑉0
6𝑇0
𝑝0𝑉0 = 𝑛𝑅𝑇0
∆𝐸 =𝑓𝑛𝑅(6𝑇0 − 𝑇0)
2=5𝑓𝑝0𝑉02
𝑄 = ∆𝐸 +𝑊 = 5𝑓2+3 𝑝0𝑉0
𝑇0
Oscilações Clássicas vs. Oscilações Quânticas
Quando ℎ𝑓 ≫ 𝑘𝐵𝑇, 𝐸𝑣𝑖𝑏 ~ 0
𝐸𝑣𝑖𝑏𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠 =
𝑚𝑣2
2+𝑘𝑥2
2=𝑘𝐴2
2
𝐸𝑣𝑖𝑏𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡
= ℎ𝑓(𝑛 + 12) 𝑛 = {0,1,2, … }
𝐸𝑣𝑖𝑏𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠 = 𝑘𝐵𝑇
𝐸𝑣𝑖𝑏𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡
= ℎ𝑓1
𝑒ℎ𝑓/𝑘𝐵𝑇 − 1+1
2
Quando ℎ𝑓 ≪ 𝑘𝐵𝑇, 𝐸𝑣𝑖𝑏 ~ 𝑘𝐵𝑇
Cadamodo
normal
H20
f = 1,15 x 1014 Hzf = 0,49 x 1014 Hz f = 1,18 x 1014 Hz
ℎ𝑓 = 6,63 × 10−34 J. s 0,49 × 1014 Hz = 3,25 × 10−20J
𝑘𝐵(300 K) = 4,14 × 10−21 J
C02
f = 0,41 x 1014 Hzf = 0,20 x 1014 Hz f = 0,72 x 1014 Hz
ℎ𝑓 = 6,63 × 10−34 J. s 0,20 × 1014 Hz = 1,32 × 10−20J
𝑘𝐵(300 K) = 4,14 × 10−21 J
CH4 (metano)
ℎ𝑓 = 6,63 × 10−34 J. s 0,41 × 1014 Hz = 2,72 × 10−20J
f = 0,48 x 1014 Hzf = 0,41 x 1014 Hz f = 0,91 x 1014 Hz f = 0,95 x 1014 Hz
𝑘𝐵(300 K) = 4,14 × 10−21 J
Em qualquer gás a alteração da temperatura é diferente caso o calor seja fornecido a pressão constante ou a volume constante.
A expansão do gás, no caso isobárico, gasta parte do calorrecebido para levantar o pistão.
O mesmo 𝑄, no caso isobárico, produz um ∆𝐸 menor e,
portanto, um Δ𝑇 menor: 𝐶𝑝𝑔𝑎𝑠
> 𝐶𝑉𝑔𝑎𝑠
Em um sólido/líquido a expansão é desprezível: 𝐶𝑝𝑠𝑜𝑙~ 𝐶𝑉
𝑠𝑜𝑙
Calor específico de gases em geral
Processo Isobárico
É a versão para gases da expansão/contração térmica de sólidos
Há uma alteração na temperatura, 𝑄 = 𝐶𝑝∆𝑇
𝑝
𝑉
𝑝𝑀
𝑝
𝑀
𝑝𝑀
𝑝
𝑀
No caso de um GÁS IDEAL (sem vibração)...
𝑓𝑁𝑘𝐵Δ𝑇
2= 𝑄 −𝑊
𝑝Δ𝑉
𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝐵𝑇 𝑝Δ𝑉 = 𝑁𝑘𝐵Δ𝑇
= 𝑁𝑘𝐵Δ𝑇
𝐶𝑝𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 = 𝐶𝑉
𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + 𝑁𝑘𝐵 = 𝐶𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 + 𝑛𝑅
Obs: verdade mesmo levando em conta vibrações
gás 𝑐𝑉𝑒𝑥𝑝
[J/K.mol]𝑐𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
[J/K.mol]
He 12,5 12,5
Ar 12,6 12,5
N2 20,7 20,8
O2 20,8 20,8
CO2 28,9 20,8
H2O 26,3 24,9
NH4 29,0 24,9
3𝑅/2
5𝑅/2
6𝑅/2
Quais as possíveis causas dos desvios da idealidade?
moléculas “complexas” 𝑐 grande
Processo Adiabático (𝑄 = 0)
𝑄 = 0, mas há alteração de Temperatura!
𝑝
𝑉
Compressão/expansão do pistão isolado termicamente.
Como trocas de calor são lentas, compressões/expansõesrápidas são processos adiabáticos, embora abruptos (os
estados intermediários não são de equilíbrio).
Toda EXPANSÃO adiabática (𝑊 > 0, Δ𝐸 < 0) DIMINUI 𝑇
Toda COMPRESSÃO adiabática (𝑊 < 0, Δ𝐸 > 0) AUMENTA 𝑇
Processos Adiabáticos em gases em geral
Applet “gas-properties”. Ilustrar compressão adiabática Ilustrar expansão adiabática (porque não funciona se for
muuuito rápido)?
Em quanto tempo teria que elevar o pistão de 1 cm para que a expansão fosse livre, ao invés de adiabática?
1 cm
∆𝑡~ 500 m/s ∆𝑡 ~ 0,02 ms
Pausa matemática: Relação entre variações de 𝑝, 𝑉 e 𝑇 no gás ideal
𝑝
𝑉
(𝑝, 𝑉, 𝑇)
(𝑝 + 𝑑𝑝, 𝑉 + 𝑑𝑉, 𝑇 + 𝑑𝑇)
𝑝 + 𝑑𝑝 𝑉 + 𝑑𝑉 = 𝑛𝑅(𝑇 + 𝑑𝑇)
𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝 = 𝑛𝑅𝑑𝑇
Processo adiabáticos ideais no plano 𝑝𝑉
𝐶𝑝
𝐶𝑉𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝 = 0
𝐶𝑉(𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝)
𝑛𝑅= −𝑝𝑑𝑉
𝐶𝑉𝑑𝑇 = −𝑝𝑑𝑉
𝑑𝐸 = −𝑊𝐸 𝑇 =
𝑓𝑛𝑅𝑇
2
𝐶𝑝 = 𝐶𝑉 + 𝑛𝑅
= 𝐶𝑉𝑇
𝑝𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑝 = 𝑛𝑅𝑑𝑇
𝛾
𝛾 e 𝑓 são duas alternativas para caracterizar o TIPO de gás ideal (sem vibração)
Tipo 𝑓 𝑐𝑝/𝑐𝑉 𝛾
Monoatômico 3 (5𝑅𝑇/2)
(3𝑅𝑇/2)
5
3
Linear 5 (7𝑅𝑇/2)
(5𝑅𝑇/2)
7
5
Outro 6 (8𝑅𝑇/2)
(6𝑅𝑇/2)
4
3
𝛾 =𝑓 + 2
𝑓
𝑓 =2
𝛾 − 1
1 mol de O2 (ideal) a 310 K se expande: (a) isotermicamente; (b) adiabaticamente, de 12 L → 19 L. Compare as temperaturas finais. Compare os trabalhos
(𝑇𝑓)𝑖𝑠𝑜𝑡= 310 K
𝑓 = 5, 𝛾 = 75
𝑝𝑉𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑇𝑉𝛾−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑝1−𝛾𝑇𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
310 K 12 L 2/5 = (𝑇𝑓) 19 L2/5 (𝑇𝑓)𝑎𝑑𝑖𝑎= 258 K
𝑝𝑖
𝑝𝑓
𝑉𝑖 𝑉𝑓
𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑉
𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑉1,4
𝑝𝑓
𝑊 = 𝑉𝑖
𝑉𝑓
𝑝𝑑𝑉
= 𝑉𝑖
𝑉𝑓𝑛𝑅𝑇𝑉𝑑𝑉
= 𝑛𝑅𝑇(log 𝑉𝑓 − log𝑉𝑖)
𝑊𝑖𝑠𝑜𝑡 = 𝑛𝑅𝑇 log𝑉𝑓𝑉𝑖
Trabalho na expansão ISOTÉRMICA
𝑊 = 1 8,3145 J/K 310 K log 1912
= 1184 J