en mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et...
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En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par lesvecteurs position et vitesse.Il est décrit par une fonction d'onde, notée
€
HΨ = E.ΨE est l ’énergie associée à la fonction d’onde
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En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par lesvecteurs position et vitesse.Il est décrit par une fonction d'onde, notée
€
HΨ = E.ΨE est l ’énergie associée à la fonction d’onde
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En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par lesvecteurs position et vitesse.Il est décrit par une fonction d'onde, notée
€
HΨ = E.ΨH est l’hamiltonien, opérateur mathématique qui est caractéristique
de l’électron (quantité de mouvement, énergie potentielle)E est l ’énergie associée à la fonction d’onde
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En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par lesvecteurs position et vitesse.Il est décrit par une fonction d'onde, notée
€
HΨ = E.ΨH est l’hamiltonien, opérateur mathématique qui est caractéristique
de l’électron (quantité de mouvement, énergie potentielle)E est l ’énergie associée à la fonction d’onde
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€
H =d
dx Ψ = eλ.x
€
HΨ = E.Ψ
€
HΨ = λ.eλ.x = λ.Ψ
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€
H =d
dx Ψ = eλ.x
€
HΨ = E.Ψ
€
HΨ = λ.eλ.x = λ.Ψ
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La mécanique quantique n’est pas déterministe
€
HΨ = E.Ψ
On ne peut estimer qu’une certaine probabilité de rencontrerl’électron dans une certaine région de l’espace.
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d petit élément de volume
d = r2.sin.dr.d.d
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d petit élément de volume
d = r2.sin.dr.d.d
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La mécanique quantique n’est pas déterministe
€
HΨ = E.Ψ
On ne peut estimer qu’une certaine probabilité de rencontrerl’électron dans une certaine région de l’espace.
||2 représente la densité de probabilité de présence de l'électron
La probabilité dP de trouver l'électron dans un volume infinitésimald centré autour d'un point M0 de coordonnées (x0, y0, z0) vaut
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
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La mécanique quantique n’est pas déterministe
€
HΨ = E.Ψ
On ne peut estimer qu’une certaine probabilité de rencontrerl’électron dans une certaine région de l’espace.
||2 représente la densité de probabilité de présence de l'électron
La probabilité dP de trouver l'électron dans un volume infinitésimald centré autour d'un point M0 de coordonnées (x0, y0, z0) vaut
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
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d petit élément de volume
d = r2.sin.dr.d.d
dP = ||2.d
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La mécanique quantique n’est pas déterministe
€
HΨ = E.Ψ
On ne peut estimer qu’une certaine probabilité de rencontrerl’électron dans une certaine région de l’espace.
||2 représente la densité de probabilité de présence de l'électron
La probabilité dP de trouver l'électron dans un volume infinitésimald centré autour d'un point M0 de coordonnées (x0, y0, z0) vaut
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
m : projeté orthogonal de M dans le plan [xOy] (plan équatorial)
Om = r.sin
x
z
y
ϕ
( , , )M x y z
r
= .x r sin .cos ϕ
= .y r sin .sin ϕ
= .z r cos
r ∈ [0, ∞ [
∈ [0, Π ] ( - )co latitude
ϕ ∈ [0, 2 Π ] ( )longitude
O
m
Symétrie sphérique
(r,θ,ϕ) On écrit la fonction d’onde sous lal forme
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre que (r,,) s’écrit sous la forme (r,θ,ϕ) = R(r).Y(θ,ϕ)
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre que (r,,) s’écrit sous la forme (r,θ,ϕ) = R(r).Y(θ,ϕ)
R(r ) : fonction de la distance à l’origine= distance de l’électron au noyau
m : projeté orthogonal de M dans le plan [xOy] (plan équatorial)
Om = r.sin
x
z
y
ϕ
( , , )M x y z
r
= .x r sin .cos ϕ
= .y r sin .sin ϕ
= .z r cos
r ∈ [0, ∞ [
∈ [0, Π ] ( - )co latitude
ϕ ∈ [0, 2 Π ] ( )longitude
O
m
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre que (r,,) s’écrit sous la forme (r,θ,ϕ) = R(r).Y(θ,ϕ)
R(r ) : fonction de la distance à l’origine= distance de l’électron au noyau
Y(,) : fonction de la direction dans laquelleon regarde
m : projeté orthogonal de M dans le plan [xOy] (plan équatorial)
Om = r.sin
x
z
y
ϕ
( , , )M x y z
r
= .x r sin .cos ϕ
= .y r sin .sin ϕ
= .z r cos
r ∈ [0, ∞ [
∈ [0, Π ] ( - )co latitude
ϕ ∈ [0, 2 Π ] ( )longitude
O
m
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre que (r,,) s’écrit sous la forme (r,θ,ϕ) = R(r).Y(θ,ϕ)
R(r ) : fonction de la distance à l’origine= distance de l’électron au noyau
Y(,) : fonction de la direction dans laquelleon regarde
On montre que (r,,) dépend de 3 paramètres, ou encorenombres quantiques : n, l, m
n, l, m (r,θ,ϕ)
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre aussi que :
n,l,m (r,θ,ϕ) = Rn,l(r).Yl,m(θ,ϕ)
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre aussi que :
n,l,m (r,θ,ϕ) = Rn,l(r).Yl,m(θ,ϕ)
La condition impose que :
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre aussi que :
n,l,m (r,θ,ϕ) = Rn,l(r).Yl,m(θ,ϕ)
La condition impose que :
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).Yl,m
2 (θ,ϕ).r2.sinθ.dr.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre aussi que :
n,l,m (r,θ,ϕ) = Rn,l(r).Yl,m(θ,ϕ)
La condition impose que :
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).Yl,m
2 (θ,ϕ).r2.sinθ.dr.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫
€
Rn,l2 (r).r2.dr. Yl,m
2 (θ,ϕ).sinθ.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫donc
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre aussi que :
n,l,m (r,θ,ϕ) = Rn,l(r).Yl,m(θ,ϕ)
La condition impose que :
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).Yl,m
2 (θ,ϕ).r2.sinθ.dr.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫
€
Rn,l2 (r).r2.dr. Yl,m
2 (θ,ϕ).sinθ.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫donc
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
On montre aussi que :
n,l,m (r,θ,ϕ) = Rn,l(r).Yl,m(θ,ϕ)
La condition impose que :
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).Yl,m
2 (θ,ϕ).r2.sinθ.dr.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫
€
Rn,l2 (r).r2.dr. Yl,m
2 (θ,ϕ).sinθ.dθ.dϕϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫r= 0
∞
∫donc
Soit encore :
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
€
Yl,m2 (θ,ϕ).sinθ.dθ.dϕ
ϕ= 0
2Π
∫ =1θ= 0
Π
∫
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
Les nombres quantiques n, l, m (ou ml) :
n : entier naturel non nul (nombre quantique principal)l : entier naturel : 0 ≤ l ≤ n-1 (nombre quantique secondaire)m : entier relatif : - l ≤ m ≤ + l (nombre quantique magnétique)
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
Les nombres quantiques n, l, m (ou ml) :
n : entier naturel non nul (nombre quantique principal)l : entier naturel : 0 ≤ l ≤ n-1 (nombre quantique secondaire)m : entier relatif : - l ≤ m ≤ + l (nombre quantique magnétique)
Pour l’hydrogène, l’énergie ne dépend que de n, et on a En = - 13,6n2 (eV) .
Rappel :
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L’atome d’hydrogène en mécanique quantique
Les nombres quantiques n, l, m (ou ml) :
n : entier naturel non nul (nombre quantique principal)l : entier naturel : 0 ≤ l ≤ n-1 (nombre quantique secondaire)m : entier relatif : - l ≤ m ≤ + l (nombre quantique magnétique)
Pour l’hydrogène, l’énergie ne dépend que de n, et on a En = - 13,6n2 (eV) .
Pour les atomes polyélectroniques,on a vu que l’énergie dépendait de n et l.
Rappel :
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Les orbitales atomiques
Les orbitales atomiques sont les solutions de l'équation de Schrödinger
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Les orbitales atomiques
Les orbitales atomiques sont les solutions de l'équation de Schrödinger
Les orbitales atomiques (OA) dépendent de trois variables il est impossible de les représenter en deux dimensions nécessité d'effectuer des représentations en coupe
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Les orbitales atomiques
Les orbitales atomiques sont les solutions de l'équation de Schrödinger
Les orbitales atomiques (OA) dépendent de trois variables il est impossible de les représenter en deux dimensions nécessité d'effectuer des représentations en coupe
(n,l,m) Nom
• n = 1 l = 0 m = 0 (1,0,0) 1s• n = 2 l = 0 m = 0 (2,0,0) 2s
l = 1 m = -1 (2,1,-1) 2p-1m = 0 (2,1,0) 2p0m = +1 (2,0,+1) 2p+1
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Les orbitales atomiques
Les orbitales atomiques sont les solutions de l'équation de Schrödinger
Les orbitales atomiques (OA) dépendent de trois variables il est impossible de les représenter en deux dimensions nécessité d'effectuer des représentations en coupe
(n,l,m) Nom
• n = 1 l = 0 m = 0 (1,0,0) 1s• n = 2 l = 0 m = 0 (2,0,0) 2s
l = 1 m = -1 (2,1,-1) 2p-1m = 0 (2,1,0) 2p0m = +1 (2,0,+1) 2p+1
2p-1, 2p0 et 2p+1 sont des fonctions complexesPar combinaisons linéaires, on obtient trois OA réelles :{2px , 2py , 2pz}
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Les orbitales atomiques
Les orbitales atomiques sont les solutions de l'équation de Schrödinger
Les orbitales atomiques (OA) dépendent de trois variables il est impossible de les représenter en deux dimensions nécessité d'effectuer des représentations en coupe
(n,l,m) Nom
• n = 1 l = 0 m = 0 (1,0,0) 1s• n = 2 l = 0 m = 0 (2,0,0) 2s
l = 1 m = -1 (2,1,-1) 2p-1m = 0 (2,1,0) 2p0m = +1 (2,0,+1) 2p+1
Les 5 orbitales de type d (n ≥ 3 ; l = 2 ; m = -2, -1, 0, +1, +2)subissent le même traitement, et sont notées sous les labelsdz2, dx2-y2, dxy, dyz et dxz
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Expressions des orbitales (n = 1 et 2)
1 s
=
1
4 Π
2
a0
3
e x p -
r
a0
2 s
=
1
4 Π
1
8 a0
3
2 -
r
a0
e x p -
r
2 a0
2 p x
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
s i n θ c o s ϕ
2 p y
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
s i n θ s i n ϕ
2 p z
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
c o s θ
![Page 38: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/38.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
![Page 39: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/39.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
![Page 40: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/40.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
||2 : densité de probabilitéde présence de l'électron
![Page 41: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/41.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
||2 : densité de probabilitéde présence de l'électron
densité de probabilitéde présence radialede l'électron
€
Rn,l2 (r).r2
![Page 42: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/42.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
||2 : densité de probabilitéde présence de l'électron
densité de probabilitéde présence radialede l'électron
€
Rn,l2 (r).r2
![Page 43: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/43.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
||2 : densité de probabilitéde présence de l'électron
densité de probabilitéde présence radialede l'électron
€
Rn,l2 (r).r2
€
dPr = Rn,l2 (r).r2.dr
![Page 44: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/44.jpg)
Etude de la partie radiale
r + dr
€
dPr = Rn,l2 (r).r2.dr est la probabilité
de présence de l’électron entre la sphère de rayon
r et r + dr
![Page 45: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/45.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
||2 : densité de probabilitéde présence de l'électron
densité de probabilitéde présence radialede l'électron
€
Rn,l2 (r).r2
€
dPr = Rn,l2 (r).r2.dr
€
dP
dτ= Ψ
2 densité de probabilitéde présence de l'électron
![Page 46: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/46.jpg)
Etude de la partie radiale
Notion de densité de probabilité radiale
dP = ||2.d
€
2.dτ
espace
∫∫∫ =1
€
Rn,l2 (r).r2.dr
r= 0
∞
∫ =1
||2 : densité de probabilitéde présence de l'électron
densité de probabilitéde présence radialede l'électron
€
Rn,l2 (r).r2
€
dPr = Rn,l2 (r).r2.dr
€
dP
dτ= Ψ
2 densité de probabilitéde présence de l'électron
€
dPr
dr= Rn,l
2 (r).r2densité de probabilitéde présence radialede l'électron
![Page 47: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/47.jpg)
Etude de la partie radiale
r + dr
€
dPr = Rn,l2 (r).r2.dr est la probabilité
de présence de l’électron entre la sphère de rayon
r et r + dr
La probabilité de présence radiale
de l’électron à ladistance r s’écrit :
€
t2.Rn,l2(t).dt
0
r∫
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Etude de la partie radiale
r + dr
€
dPr = Rn,l2 (r).r2.dr est la probabilité
de présence de l’électron entre la sphère de rayon
r et r + dr
La probabilité de présence radiale
de l’électron à ladistance r s’écrit :
€
t2.Rn,l2(t).dt
0
r∫
![Page 49: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/49.jpg)
Densités de probabilité radiale
n = 1
![Page 50: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/50.jpg)
Densités de probabilité radiale
n = 2
![Page 51: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/51.jpg)
Densités de probabilité radiale
n = 3
![Page 52: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/52.jpg)
Etude de la partie radiale
Maximum pour la densité de probabilité radiale
€
dPr
dr= Rn,l
2 (r).r2
◊ n = 1 : r = a0
◊ n = 2 : r ≈ 5 a0
◊ n = 3 : r ≈ 11 a0
![Page 53: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/53.jpg)
Etude de la partie radiale
Maximum pour la densité de probabilité radiale
€
dPr
dr= Rn,l
2 (r).r2
◊ n = 1 : r = a0
◊ n = 2 : r ≈ 5 a0
◊ n = 3 : r ≈ 11 a0
Définition : le rayon d'une fonction propre est le rayon demaximum de densité de probabilité de présence radiale
![Page 54: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/54.jpg)
Etude de la partie radiale
Maximum pour la densité de probabilité radiale
€
dPr
dr= Rn,l
2 (r).r2
◊ n = 1 : r = a0
◊ n = 2 : r ≈ 5 a0
◊ n = 3 : r ≈ 11 a0
Définition : le rayon d'une fonction propre est le rayon demaximum de densité de probabilité de présence radiale
Le rayon d'une fonction propre◊ croît avec n◊ dépend peu de l
Plus les électrons sont sur une couche élevée, plus ils sont loins du noyau
![Page 55: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/55.jpg)
Etude de la partie angulaie
La partie radiale R(r) de la fonction propre permettait de visualiser "l'extension" du nuage électronique.
La partie angulaire permet de donner une idée des directions priviligiées pour la densité électronique
• Yl, m ne dépend pas de n résultats trouvés valables pour tout n.
• Yl, m = Yl, m ( ,) nécessité de tracer des fonction en coupe.
![Page 56: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/56.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale s
1 s
=
1
4 Π
2
a0
3
e x p -
r
a0
2 s
=
1
4 Π
1
8 a0
3
2 -
r
a0
e x p -
r
2 a0
![Page 57: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/57.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale s
1 s
=
1
4 Π
2
a0
3
e x p -
r
a0
2 s
=
1
4 Π
1
8 a0
3
2 -
r
a0
e x p -
r
2 a0
€
Y0,0(θ,ϕ) = Ys(θ,ϕ) =1
2 Π
![Page 58: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/58.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale s
+ou encore
+
O
y
z
1 s
=
1
4 Π
2
a0
3
e x p -
r
a0
2 s
=
1
4 Π
1
8 a0
3
2 -
r
a0
e x p -
r
2 a0
€
Y0,0(θ,ϕ) = Ys(θ,ϕ) =1
2 Π
![Page 59: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/59.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale pz
2 p z
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
c o s θ
![Page 60: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/60.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale pz
2 p z
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
c o s θ
€
Ypz(θ,ϕ) =
3
4Πcosθ
![Page 61: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/61.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale pz
2 p z
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
c o s θ
€
Ypz(θ,ϕ) =
3
4Πcosθ
m : projeté orthogonal de M dans le plan [xOy] (plan équatorial)
Om = r.sin
x
z
y
ϕ
( , , )M x y z
r
= .x r sin .cos ϕ
= .y r sin .sin ϕ
= .z r cos
r ∈ [0, ∞ [
∈ [0, Π ] ( - )co latitude
ϕ ∈ [0, 2 Π ] ( )longitude
O
m
![Page 62: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/62.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale pz
z
+
-
z
y
O
ou encore
+
-
2 p z
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
c o s θ
€
Ypz(θ,ϕ) =
3
4Πcosθ
![Page 63: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/63.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale py
2 p y
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
s i n θ s i n ϕ
![Page 64: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/64.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale py
2 p y
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
s i n θ s i n ϕ
€
Ypy(θ,ϕ) =
3
4Πsinθsinϕ
![Page 65: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/65.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale py
2 p y
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
s i n θ s i n ϕ
m : projeté orthogonal de M dans le plan [xOy] (plan équatorial)
Om = r.sin
x
z
y
ϕ
( , , )M x y z
r
= .x r sin .cos ϕ
= .y r sin .sin ϕ
= .z r cos
r ∈ [0, ∞ [
∈ [0, Π ] ( - )co latitude
ϕ ∈ [0, 2 Π ] ( )longitude
O
m
€
Ypy(θ,ϕ) =
3
4Πsinθsinϕ
![Page 66: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/66.jpg)
Partie angulaire d’une orbitale py
2 p y
=
1
2 6 a0
3
r
a0
e x p -
r
2 a0
3
4 Π
s i n θ s i n ϕ
€
Ypy(θ,ϕ) =
3
4Πsinθsinϕ
Exemple : la partie angulaire de l'orbitale py
:
y
+
O
-
![Page 67: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/67.jpg)
Les courbes d’isodensité électronique
Idée : avoir accès à l’allure de la densité électronique associée à chaque fonction d’onde
![Page 68: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/68.jpg)
Les courbes d’isodensité électronique
Idée : avoir accès à l’allure de la densité électronique associée à chaque fonction d’onde
€
dP
dτ= Ψ
2 densité de probabilitéde présence de l'électron
![Page 69: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/69.jpg)
Les courbes d’isodensité électronique
Idée : avoir accès à l’allure de la densité électronique associée à chaque fonction d’onde
€
dP
dτ= Ψ
2 densité de probabilitéde présence de l'électron
Définition : Les courbes d'isodensité électronique sont des surfaces pour lesquelles ||2 = k
![Page 70: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/70.jpg)
Courbes d’isodensité électronique d’une orbitale pz
(Tracé sur MAPLE)
![Page 71: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/71.jpg)
Les courbes d’isodensité électronique
z
-
+
z
partie angulaire courbes d’isodensité électronique
![Page 72: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/72.jpg)
Les courbes d’isodensité électronique
z
-
+
z
partie angulaire courbes d’isodensité électronique
C'est la représentation des courbes d'isodensité qui donne la meilleure idée de l'extension spatiale de la densité électronique pour chaque orbitale
![Page 73: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/73.jpg)
Représentation d’une orbitaleEn pratique, pour représenter une orbitale :
• On schématise la forme d'une courbe d'isodensité électronique.• On affecte aux lobes dessinés les signes de la partie angulaire correspondante :
◊ En indiquant explicitement le signe.◊ En grisant la partie positive et en laissant blanche la partie négative.◊ En hachurant la partie positive et en laissant blanche la partie négative.
![Page 74: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/74.jpg)
Représentation d’une orbitale
z
-
+
z
z
y
x
En pratique, pour représenter une orbitale :
• On schématise la forme d'une courbe d'isodensité électronique.• On affecte aux lobes dessinés les signes de la partie angulaire correspondante :
◊ En indiquant explicitement le signe.◊ En grisant la partie positive et en laissant blanche la partie négative.◊ En hachurant la partie positive et en laissant blanche la partie négative.
![Page 75: En mécanique quantique, l'électron n'est plus décrit par les vecteurs position et vitesse. Il est décrit par une fonction d'onde, notée E est l ’énergie](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062512/551d9ddd497959293b8e8e5c/html5/thumbnails/75.jpg)
Représentation d’une orbitale s
orbitale s
x
y
z
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Représentation d’une orbitale s
x
y
z
Partie angulaire d’une orbitale de type s (Tracé sur MAPLE)
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Représentation des orbitales p
orbitale pz
orbitale py
orbitale px
x
y
z
x
y
z
x
y
z
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Représentation des orbitales p
x
y
z
Partie angulaire d’une orbitale de type pz
(Tracé sur MAPLE)
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Représentation des orbitales d
Les orbitales dxy
ont des
amplitudes maximales le long
des bissectrices des avex x et
y. Elles sont positives lorsque
x et y sont de même signe,
négatives sinon :
orbitale dxy
x
y
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x
y
z
Représentation des orbitales d
Partie angulaire d’une orbitale de type dxy
(Tracé sur MAPLE)
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Représentation des orbitales d
Les orbitales dxz
et dy z
présentent des propriétés
analogues :
z
y
orbitale dyz
z
x
orbitale dxz
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Représentation des orbitales d
Les orbitales dx
2-y
2 se
déduisent de l’orbitale dxy
par
simple rotation de 45° (lobe
positif selon x, lobe négatif
selon y) :
y
x
orbitale dx
2
-y
2
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x
y
z
Représentation des orbitales d
Partie angulaire d’une orbitale de type dx 2-y 2
(Tracé sur MAPLE)
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Représentation des orbitales d
Les orbitales dz
2 ont une
forme nettement différente de
celles des autres : un lobe
positif le long de l’axe des z,
et comme un disque négatif
symétrique par rapport au
plan xOy :
orbitale dz
2
x
y
z
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x
y
zReprésentation des orbitales d
Partie angulaire d’une orbitale de type dz 2
(Tracé sur MAPLE)
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Représentation des orbitales d
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