en los problemas 1

5/21/2018 En Los Problemas 1

1/31

Ejercicios de 2.2

ResolucinEsta ecuacin es separable porque podemos separar las variables multiplicando ambos

lados por y dividir por .

Resolucin

Esta ecuacin no es separable porque no se puede expresar como unproducto

Resolucin

Resolucin


2/31

Resolucin

Resolucin

Resolucin

Integrando

Donde , es una ecuacin separable.


3/31

Resolucin

Integrando

Resolucin

|

|

|| || ||

Resolucin


4/31

Integrando

|| ||

Resolucin

Resolucin

Integrar


5/31

| | || [ || ]

Resolucion

Integrar

|| | |

( )Resolucion

Integrar


6/31

Resolucion

Integranr

Resolucion

||

| | Resolucion

Primero nos encontramos con una solucin general a la ecuacin separar las variables

y la integracin.


7/31

Integrar

| |

| |

Para encontrar utilizamos la primera condicin, y(0)=3. Por lo tanto, sustituimos de 3 para y,

0 para x en la ultima ecuacin.

Por lo tanto , finalmente, utilizamos , en unintervalo que contiene x=0 uno tiene

y asi

| | .

La solucin es:

+1

( )

Resolucion

| |

| |

||

Resolucion


8/31

Integrar

|| ||

Porque en el punto inicial . Sustituimos ahora la condicin inicial,

Por lo tanto , la respuesta esta dado por:

Resolucion

Integrar

Y se le da la solucio , de manera implcita, por o explicito por:

24) Separamos las variables e Integramos:


9/31

25) 28 3 9 0

dy dyx x y

dx dx

SolucinSea:

dyp dy pdx

dx

8 2 3 9 0 x p xp yDiferenciando

7 2 8

7 2 8

7 7 7 7

7 7

8 2 3 3 9 0

8 2 3 3 9 0

4 2 3 2 3 0 4 2 3 2 3 0

2 3 4 0 2 3 0 4 0

x p dx x pdp pdx xdp dy

x p dx x pdp pdx xdp pdx

dxp x p dx x x p dp p x p x x p

dp

dx dxx p p x x p p x

dp dp

Si 44

14 0 4 ln ln

dx dx dpp x p cx p

dp x p cx

Reemplazando4

1p

cx

en la ecuacin 8 2 3 9 0 x p xp y

Se tiene2

8 3 2 3

4 4 2 3

1 1 1 33 9 0 9 0 9 3 0

x x y y x c x y c

cx cx c cx

2 2

3 2 3 3 2

Si 3 9

0 1 0

k c k c

x k x y k x k y k

3 21 0 solucin general x k y k

Si 77

32 3 0

2 x p p

xReemplazando este valor en la ecuacin dada

tenemos:

2

8 6

7 7 6 6

3 3 1 13 9 0 0 4 1

2 2 4 4

x x y y y x y

x x x x

64 1 solucinsingular x y

26) 2 2 4 0

dy dyx y x

dx dx

Solucin


10/31

Sea: dy

p dy pdxdx

2 2 4 0 xp yp xDiferenciando

2

22

3 2 2 3

2 2 2 2

2 2

2 2 2 4 0

42 2 2 4 0

2

2 4 2 4 0

4 4 0 4 4 0

4 0 4 0 0

p dx xpdp ydp pdy dx

xp xp dx xpdp dp p pdx dx

p

p dx xp dp xp x dp p dx pdx

dpx p dp p p dx p x p p

dx

dp dpp p x p p x

dx dx

Si ln ln

dp dp dx

x p p cx p cxdx p x

Reemplazando p cx

en la ecuacin 2 2 4 0 xp yp x

Se tiene 2 2

2

2 42 4 0 0

yx cx y cx x x

c c

2

2

2 2 2 2 2

2 4Si:

0

k kc c

x ky k x ky k x k y k

2

solucin general

x k y k

Si 24 0 2 p p Reemplazando este valor en la ecuacin dada

tenemos:

2

2

Si 2; 2 2 2 4 0 0 2

Si 2; 2 2 2 4 0 0 2

p x y x x y x y x

p x y x x y x y x

2 , 2 solucinsingular y x y x 27)

2

4

3 0

dy dyx x ydx dx

SolucinSea:

dyp dy pdx

dx

4 23 0 x p xp yDiferenciando

3 2 4

3 3

3 3

12 6 0

2 6 1 6 1 0

6 1 2 0 6 1 0 2 0

x p dx x pdp pdx xdp pdx

x p pdx x p xdp


dp dp


11/31

Si 22

2 2 ln ln dx dp dx k

p x p cx pdp p x x

Reemplazando2

k

px

en la ecuacin 4 23 0 x p xp y

Se tiene

2

4 2 2

2 23 0 3 0 3 0 3 1

k k kx x y k y k x k yx xy k kx

x x x

3 1 solucin general xy k kx

Si 33

16 1 0

6 x p p

xReemplazando este valor en la ecuacin dada

tenemos:

2

4 2 2

3 3 2 2

1 1 1 1 13 0 3 0 0 12 1

6 6 36 6 12

x x y y yx x yx x x x

212 1 solucinsingular x y

28) 2 1 0

dy dyx x y y

dx dx

SolucinSea:

dyp dy pdx

dx

2 1 0 xp x y p yDiferenciando

2

22

2

2 2

2 0

12 0

1

12 0

1

2 1 0 2 1 0 0

p dx xpdp dx dy p x y dp dy

xp xpp dx xpdp dx pdx p x dp pdx

p

xp xpxp x dp

p

xp x xp dp xp x xp dp

Si 0 dp p K

Reemplazando p K

en la ecuacin 2 1 0 xp x y p y

Se tiene 2 1 0 xk x y k y

2 1 0 solucin general xk x y k y

Si 22 1 1

2 1 1 1 1 x p p p px x

Reemplazando este valor en

la ecuacin dada tenemos:


12/31

2

2 2 2

1 11 1 1 0

21 1 0

2 0 2 2 4

x x y yx x

x x yx x y y

x x x

x x y x x y x x y x x y

2

4 solucin singular x x y 29) 36 3 3 0

dy dyx x y

dx dx

SolucinSea:

dyp dy pdx

dx

6 3 3 3 0 x p xp yDiferenciando

5 3 6 2

5 3 6 2

5 2 5 2 5 2 5 2

5 2 5 2

6 3 3 3 3 0

6 3 3 3 3 0

2 1 1 0 2 1 1 0

1 2 0 1 0 2 0

x p dx x p dp pdx xdp dy

x p dx x p dp pdx xdp pdx


dp


dp dp

Si 2 22 0 2 ln ln dx dp dx k p x p cx pdp p x x

Reemplazando2

k

px

en la ecuacin 6 3 3 3 0 x p xp y

Se tiene 3

6 3 2

2 23 3 0 3 3 0 3 3

k k kx x y k y xy k xk

x x x

23 3 solucin general xy k xk

Si 5 2 5 25

11 0 1 x p x p p

xReemplazando este valor en la

ecuacin dada tenemos:

315

6 6 15 3 2

65 5

1 1 33 3 0 2 3 0 2 9 4

y xx x y x y x x y

xx x

3 29 4 solucinsingular x y

30) 36

dy dyy x x

dx dx

Solucin


13/31

Sea: dy

p dy pdxdx

6 3 y x p xpDiferenciando

5 3 6 2

5 3 6 2

5 2 5 2

5 2 5 2

5 2 5 2

6 3

6 3

2 3 1 3 1 0

2 3 1 3 1 0

3 1 2 0 3 1 0 2 0

dy x p dx x p dx pdx xdp

pdx x p dx x p dp pdx xdp

p x p dx x x p dp

dxp x p x x p

dp


dp dp

Si 22

2 0 2 ln ln dx dp dx k

p x p cx pdp p x x

Reemplazando p K

en la ecuacin 6 3 y x p xp

Se tiene 3

6 3 3 2

2 2 1

k k ky x x y k xy xk k xy k k x

x x x

2 1 solucin general xy k k x

Si 5 2 5 25

13 1 0 3 1

3

x p x p px

Reemplazando este valor en la

ecuacin dada tenemos:

3

15

6 6 6 625 5 15 5

2 2 2 2

215 15

26 6 15 2 12 3 22 2

1 1 1 127 3

3 3 27 3

27 2 27 2 27 4 27 4

y x x y x x yx x x

x x x x

yx x yx x x y x x y

3 227 4 solucinsingular x y

31)4 3

3

2 12 0

dy dy

x y xdx dx Solucin

Sea: dy

p dy pdxdx

4 3 32 12 0 xp yp x

Diferenciando


14/31

4 3 3 2 2

4 34 3 3 2 2

3

4 5 4 3 2

2 4 2 4 2 4 2 4

2 4 2 4

4 2 6 36 0

124 2 6 36 0

2

4 3 12 36 0

36 36 0 36 36 0

36 36 0

p dx xp dp p dy yp dp x dx

xp xp dx xp dp p pdx p dp x dx

p

xp dp p dx xp x dp px dx


dp

dx dxx p p x x p p

dp dp0x

Si ln ln dx dx dp

p x p cx p cxdp x p

Reemplazando p cx

en la ecuacin 4 3 32 12 0 xp yp x

Se tiene 4 3 3 2 4 3 3 4 2

2 12 0 2 12 0 2 12 x cx y cx x x c yc c y c x 3 4 22 12 solucin general c y c x

Si 2 4 4 236 0 36 6 x p p x p x Reemplazando este valor en la

ecuaci

n

dada

tenemos:

2 33 8 solucin singular y x

32) 3 2 1 0

dy dyx y

dx dx

SolucinSea:

dyp dy pdx

dx

3 2 1 0 xp ypDiferenciando

4 3 323 3

33 2 6 3 3 2 2 3 2 3

6 2 6 12 0 6 2 6 12 0

24 6 24 6 216 576 3 8

x x y x x x x y x x

x y x x x y y x y x


15/31

3 2 2

33 2 2

2

32

3 3

3 2 0

13 2 0

1

3 2 0

2 0 2 0 0

p dx xp dp p dy ypdp

xpp dx xp dp p pdx pdp

p

xp

xp dp dpp

xp dp xp dp

Si 0 dp p K

Reemplazando p K

en la ecuacin 3 2 1 0 xp yp

Se tiene 3 2 1 0 xk yk 3 2 1 0 solucin general xk yk

Si 3 3 3 22 0 2 xp xp px

Reemplazando este valor en la ecuacin

dada tenemos:

3 2 2 2

3 3 23 3 3

2 2 2 21 0 3 27 4 27

x y y y y xx x x x

3 24 27 solucinsingular y x

3.4

Mecnica Newtoniana

1.Un objeto de masa 5 kg se libera desde el reposo a 1000 m sobre el suelo y se le

permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la

resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, con constante deproporcionalidad b_ 50 N-s_m, determine la ecuacin de movimiento del objeto.

Cundo tocar el objeto al suelo?

Solucin

Este problema es un caso particular del Ejemplo 1 en la pgina 110 del texto. Por lo

tanto, podemos utilizar la frmula general (6) en la pgina 111 con m = 5, b = 50, y v 0=

v (0) = 0. Pero nosotros seguir la idea general de la Seccin 3.4, encuentre una

ecuacin de la mocin, y resolverlo.

Con los datos dados, la fuerza debida a la gravedad es F1= mg = 5g y la fuerza de

resistencia del aire esF2=-50V. Por lo tanto, la velocidad v (t) satisface


16/31

La separacin de las variables de rendimiento

| | Sustituyendo la condicin inicial, V (0) = 0, obtenemos C = -g/10, y as

.

La integracin de esta ecuacin rendimientos

y nos encontramos con C usando la condicin inicial x (0) = 0: Cuando el objeto llega al suelo, x (t) = 1,000 m. Por lo tanto resolvemos

(0.981) t + (0,0981) e-10t

- 0.0981 = 1.000, lo que da (t es negativo!) t 1,019.468

1.019 sec.

2. Un objeto de 400 libras se libera desde el reposo a 500 pies sobre el suelo y se lepermite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza en libras

debida a la resistencia del aire es _10y, donde y es la velocidad del objeto en pies/s,

determine la ecuacin de movimiento del objeto. En qu momento tocar el objeto

al suelo?

Este problema es un caso particular del Ejemplo 1 del texto. Por lo tanto, podemos utilizar el

frmula general (6) con

b = 10, y v0 = v (0) = 0. Pero sigamos la idea general de la Seccin 3.4, encontrar una ecuacindel movimiento, y resolverlo.

Con los datos dados, la fuerza debida a la gravedad es F1 = mg = 400 libras y la resistencia del

aire

fuerza es F2 =-10v lb Por lo tanto, la velocidad v (t) satisface

La separacin de las variables y la integracin de los rendimientos

||


17/31

Sustituyendo la condicin inicial, V (0) = 0, obtenemos C = -40, y as

La integracin de esta ecuacin rendimientos

y nos encontramos con que C = -50 mediante el uso de la condicin inicial, x (0) = 0. Por lo

tanto,

Cuando el objeto llega al suelo, x (t) = 500 pies Por lo tanto resolvemos

Como x (13) 500 a (positivo) solucin t [13, 14]. En este intervalo,e-0.8t es muy pequea, as que simplemente lo ignoran y resolver

40t - 50 = 500 t = 13,75 (seg).3. Si el objeto del problema 1 tiene una masa de 500 kg en vez de 5 kg, cundo tocar

al suelo? [Sugerencia: En este caso, el trmino exponencial es demasiado grande

como para ignorarlo. Use el mtodo de newton para aproximar el instante t en que

el objeto golpea el suelo (vase el apndice A)].Solucin

Para este problema, m = 500 kg, v0 = 0, g = 9,81 m/s2, y b = 50 kg / seg. Tambin

vemos que el objeto tiene 1.000 m de caer antes de que toque el suelo. Al conectar

estas variables en la ecuacin

(6) en la pgina 111 del texto da la ecuacin

Para saber cundo el objeto tocar el suelo, resolvemos x (t) = 1.000 para t. Por lo

tanto, nos tener

1000 = 98.1t + 981e-t/10

- 981 98.1t + 981e-t/10= 1981.En esta ecuacin, si dejamos de lado el trmino 981e

-t/10nos encontraremos con que

t20.2. Pero esto significa que hemos dejado de lado el trmino similar a 981e-2

132.8 que lo que vemos es a grande para ignorarlo.

Por lo tanto, debemos tratar de aproximar t. Vamos a utilizar el mtodo de Newton de

la ecuacin

f (t) = 98.1t + 981e-t/10

- 1981 = 0.


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(Si podemos encontrar una raz de esta ecuacin, habremos encontrado el t

queremos.) El mtodo de Newton genera una secuencia de aproximaciones dada por

la frmula

Como La ecuacin anterior seconvierte en recursiva

. (3.10)Para iniciar el proceso, vamos a t0 = 1981/98.1 20,19368, que era la aproximacin

obtuvimos cuando descuidamos el trmino exponencial. Entonces, por la ecuacin

(3.10) anterior tenemos

Para encontrar t2enchufamos este valor para t1en la ecuacin (3.10). Esto da T2

18.643753. Continuo este proceso, nos encontramos con que t3 18.643749. Desde t2

y t3estn de acuerdo con cuatro decimales, un aproximacin del tiempo que tarda el

objeto para golpear el suelo es t 18.6437 sec.

4. Si el objeto del problema 2 se libera desde el reposo a 30 pies sobre el suelo en vez de 500pies, cundo golpear el suelo? [Sugerencia: Utilice el mtodo de Newton para hallar t].

. Uso de la ecuacin del movimiento del objeto encontrado en el problema 2, se resuelve la

ecuacin

Esta vez, la solucin pertenece a [1, 2] y, por lo tanto, no podemos ignorar el exponencial

plazo. Por lo tanto, se utiliza el mtodo de Newton (vase el apndice A en el texto) para

aproximar la

solucin. Aplicamos la frmula recursiva

con

y una estimacin inicial t1 = 1. Los clculos de rendimiento

= 1, g (t1) -17.53355;t2= 1.79601, g (t2) 3.72461;


19/31

t3= 1,67386, g (t3) 0.05864;

t4= 1,67187, g (t4) 0,000017.

Por lo tanto, el objeto cay al suelo despus de aproximadamente 1,67 seg.

5. Un objeto de masa 5 kg recibe una velocidad inicial hacia abajo de 50 m/s y luego sele permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons

debida a la resistencia del aire es _10y, donde y es la velocidad del objeto en m/s.

Determine la ecuacin de movimiento del objeto. Si el objeto est inicialmente a 500

m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpear el suelo.

Se procede de manera similar a la solucin del problema 1 para obtener

F1= 5 g, F2=-10g

La solucin de este problema inicial el valor de rendimiento

Ahora nos integramos v (t) para obtener la ecuacin del movimiento del objeto:

Donde C es tal que x (0) = 0. Informtica

Respondemos a la primera pregunta de este problema, es decir, .Respondiendo a la segunda pregunta, se resuelve la ecuacin x (t) = 500 para

encontrar tiempo t cuando el objeto pasa de 500 m, por lo que golpea el suelo.

4.905t + 22,5475-22,5475 e-2t = 500 t 97.34 (segundos).


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6. Un objeto de masa 8 kg recibe una velocidad inicial hacia arriba de 20 m/s y luego sele permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons

debida a la resistencia del aire es _16y, donde y es la velocidad del objeto en m/s.

Determine la ecuacin de movimiento del objeto. Si el objeto est en un principio a100 m sobre el suelo, determine el momento en que el objeto golpear el suelo.

. Podemos utilizar el modelo presentado en el ejemplo 1 del texto con m = 8, b = 16, g = 9,81,

y la velocidad inicial v0 = -20 (el signo negativo se debe a la direccin hacia arriba). la

frmula (6) se obtiene

Dado que el objeto se libera 100 m por encima del suelo, se determina cuando el objeto

golpea el suelo mediante el establecimiento de x (t) = 100 y resolviendo para t. Desde la raz

(positivo) pertenece al [20, 24] (porque x (20) 100), se puede omitir el

exponencial trmino en x (t) y resolver

7. Una paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja de un helicptero que vuela a 2000 m

sobre el suelo y cae hacia ste bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza

debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la paracaidista, con la

constante de proporcionalidad b1 _ 30 N-s/m cuando el paracadas est cerrado y b2 _ 90 N-

s/m cuando se abre. Si el paracadas no se abre hasta que la velocidad de la paracaidista es

de 20 m/s, despus de cuntos segundos llegar ella al suelo?

Desde la fuerza de resistencia del aire tiene diferentes coeficientes deproporcionalidad para cerrado y para abierto chute, necesitamos dos ecuaciones

diferenciales que describen el movimiento. Deje x1 (t), x1 (0) = 0, denotan la distancia

que el paracaidista ha cado en t segundos, y dejar v1 (t) = dx / dt denota su velocidad.

Con m = 75, b = b1= 30 N-seg / m, y v0= 0, el problema de valor inicial (4) en

pgina 111 del texto se convierte en

Esta es una ecuacin lineal. Resolviendo los rendimientos

( )


21/31

( )

|

Para encontrar el tiempo t*cuando se abre el paracadas, se resuelve

( ) Por este tiempo el paracaidista ha cado

y por lo que ella es 2000 a 53,62 = 1.946,38 m por encima del suelo. Ajuste de la

segunda ecuacin, paraconveniencia restablecer el tiempo t. Denotando por x2 (t) la distancia aprobado por el

paracaidista de el momento en que se abre el conducto, y por v2 (t): = x?

2 (t) - su velocidad, tenemos

Resolviendo, obtenemos

[ ] |

Con el abierto chute, el paracaidista cae 1.946,38 m. Se necesita t*Segundo, donde t*

satisface

x2(t*) = 1946,38. Resolviendo los rendimientos Por lo tanto, el paracaidista golpear el suelo despus de t* + t* 241,1 segundos.

8. Un paracaidista cuya masa es de 100 kg se arroja de un helicptero que vuela a 3000 m

sobre el suelo y cae bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la

resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con la constante de

proporcionalidad b3 _ 20 N-s/m cuando el paracadas est cerrado y b4 _ 100 N-s/m cuando

se abre. Si el paracadas no se abre hasta 30 segundos despus de que el paracaidista sale

del helicptero, despus de cuntos segundos llegar l al suelo? Si el paracadas

no se abre hasta 1 minuto despus de que el paracaidista sale del helicptero, despus de

cuntos segundos llegar l al suelo?


22/31

Dado que la fuerza de resistencia del aire tiene diferentes coeficientes de proporcionalidad por

cerrado y para canaleta abierta, necesitamos dos ecuaciones diferenciales que describen el

movimiento. Deje x1(t),

x1 (0) = 0, denotan la distancia que el paracaidista se ha reducido en t segundos con la tolva

cerrados, y dejar v1(t) = dx1(t) / dt denotan su velocidad. Con m = 100, b = b1 = 20 N-s / m, yv0 = 0 el problema de valor inicial (4) del texto se convierte en

Esta es una ecuacin lineal. Resolver los rendimientos

( )| Cuando el paracaidista abre el conducto T1 = 30 seg despus de dejar el helicptero, que es

3000 - x1(30) 1,773.14

metros sobre el suelo y viajar a una velocidad

v1(30) 48.93 (m / seg).

Ajuste de la segunda ecuacin, por conveniencia restablecer el tiempo t. Denotando por x2 (t)la distanciarse aprobada por el paracaidista durante t segundos desde el momento en que se

abre el paracadas, y dejar que v2 (t) = dx2(t) / dt, tenemos

Resolviendo, obtenemos

|

Con el abierto chute, el paracaidista cae 1.773,14 m. Resolver x2(t) = 1.773,14 t derendimientos


23/31

9.81t - 39.12e-t+ 39,12 = 1.773,14 t2 176,76 (seg).

Por lo tanto, el paracaidista golpear el suelo t1+ t2= 30 + 176,76 = 206,76 segundos despus

cayendo desde el helicptero.

Repitiendo los clculos anteriores con t1 = 60, obtenemos

v1(60) 49.05,

X1(60) = 2697,75,

v2(t) = 9,81 + 39.24e-t,

x2 (t) = 9.81t - 39.24e-t+ 39.24.

Resolver x2(t) = 3.000 hasta 2.697,75 = 302,25 t de rendimientos t 2 26.81 para que el

paracaidista aterrizar despus de t1+ t2= 86.81 (segundos).

9.Un objeto con masa de 100 kg se lanza desde el reposo de una lancha hacia el agua y se

deja hundir. Aunque la gravedad jala el objeto hacia abajo, una fuerza de flotacin de 1_40

veces el peso del objeto lo empuja hacia arriba (peso _ mg). Si suponemos que la resistencia

del agua ejerce sobre el objeto una fuerza proporcional a la velocidad del objeto, con

constante de proporcionalidad 10 N-s/m, determine la ecuacin de movimiento del objeto.

Despus de

Cuntos segundos ocurrir que la velocidad del objeto es igual a 70 m/s?

Este problema es similar a la del Ejemplo 1 en la pgina 110 del texto con la adicin de

una flotabilidad fuerza de magnitud (1/40) mg. Si dejamos que x (t) la distancia por

debajo del agua en el momento t y v (t) de la velocidad, entonces la fuerza total que

acta sobre el objeto es: Se nos ha dado m = 100 kg, g = 9,81 m/s2, y b = 10 kg / seg. Aplicando Segunda de

Newton

Ley da Resolviendo esta ecuacin por separacin de variables, tenemos

v (t) = 95.65 + Ce-t/10

.

Dado que V (0) = 0, nos encontramos con C = -95,65 y, por lo tanto,

v (t) = 95,65 - 95.65e-t/10

.La integracin de los rendimientos

x (t) = 95.65t - 956.5e-t/10

+ C1.

Usando el hecho de que x (0) = 0, encontramos C1 = -956,5. Por lo tanto, la ecuacin

de movimiento de la

objeto es

x (t) = 95.65t - 956.5e-t/10

- 956.5.

Para determinar cuando el objeto se desplaza a la velocidad de 70 m / seg, resolvemos

v (t) = 70.

Es decir,

70 = 95,65 - 95,65 = 95.65e-t/10(1 - e-t/10)


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10.Un objeto con masa de 2 kg se lanza desde el reposo de una plataforma a 30 m sobre el

agua y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Despus de que el objeto golpea elagua, comienza a hundirse, con la gravedad jalndolo hacia abajo y una fuerza de flotacin

empujndolo hacia arriba. Suponga que la fuerza de gravedad es constante, que no hay

cambios en

el momento del objeto al golpear el agua, que la fuerza de flotacin es 1_2 del peso (peso _

mg), y que la fuerza debida a la resistencia del aire o del agua es proporcional a la velocidad

del objeto, con constante de proporcionalidad b1 _ 10 N-s/m en el aire y b2 _ 100 N-s/m en

el agua. determine la ecuacin de movimiento del objeto. Cul es la velocidad del objeto 1

minuto despus de ser arrojado?

El movimiento del objeto se rige por dos ecuaciones diferentes. La primera ecuacin describe

el movimiento en el aire, el segundo corresponde al movimiento en el agua.

Para el movimiento en el aire, dejamos que x1 (t) la distancia del objeto a la plataforma y

denotan por v1(t) = x1(t) su velocidad en el tiempo t. Aqu podemos utilizar el modelo descrito

en el Ejemplo 1 del texto con m = 2, b = b1= 10, V0= v1(0) = 0, y g = 9,81. Por lo tanto,

utilizando las frmulas (5) y (6), obtenemos

Por lo tanto, la solucin de

x1(t) = 1.962t - 0,392 (1 - e-5t

)= 30, obtenemos t 15.5 segundos para el momento en que el

objeto cay al agua. La velocidad de la objeto en este momento era

v1(15,5) = 1,962 (1 - e-5 (15,5)

) 1.962.

Ahora nos vamos al movimiento del objeto en el agua. Para mayor comodidad, reiniciamos el

tiempo.

Denotando por x2(t) la distancia pasado por el objeto a partir de la superficie del agua y por v2

(t)

- Su velocidad en (retroceso) el tiempo t, obtenemos condiciones iniciales

v2(0) = 1,962, x2(0) = 0.

Para este movimiento, adems de la fuerza de gravedad Fg= mg y la fuerza de resistencia

Fr =-100v, la fuerza de flotabilidad Fb= - se presenta (1/2) mg. Por lo tanto, el rendimiento de la

segunda ley de NEWTON.


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La solucin de la primera ecuacin y usando la condicin de rendimientos iniciales

v2(t) = 0.098 + Ce-50t

,

v2(0) = 0,098 + C = 1,962 C = 1,864 v2(t) = 0,098 + 1.864e

-50t

Combinando las frmulas obtenidas para el movimiento del objeto en el aire y en el agua y

teniendo en cuenta el cambio de hora realizada, se obtiene la siguiente frmula para el

distancia del objeto a la plataforma

, 1 min despus de que el objeto fue puesto en libertad, que viaj en el agua durante 60 a 15,5 =44,5 seg.

Por lo tanto, tena la velocidad

v2(44.5) 0.098 (m / seg).

12.Un proyectil con masa de 2 kg se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 200 m/s.

La magnitud de la fuerza sobre el proyectil debida a la resistencia del aire es y20. En qu

momento alcanzar el proyectil su mxima altura sobre el suelo? Cul es esa mxima

altura?Se denota por x (t) la distancia de la cscara al suelo en el momento t, y dejamos que v (t) =

x (t)

ser su velocidad. La eleccin de la direccin positiva hacia arriba, tenemos las condiciones

iniciales

x (0) = 0,

V (0) = 200.

Hay dos fuerzas que actan sobre la cscara: la fuerza de la gravedad F g= mg (con el negativo

firmar debido a la direccin positiva hacia arriba) y la fuerza de resistencia del aire F r= -v/20(con el signo negativo debido a la resistencia del aire acta en oposicin a la mocin). Por lo

tanto, obtener una ecuacin

Resolviendo esta rendimientos de ecuaciones lineales

v (t) =-40g + Ce-t/40= -392,4 + Ce-t/40

Teniendo en cuenta la condicin inicial, encontramos C.

200 = V (0) = -392,4 + C C = 592,4 v (t) = -392,4 + 592.4e-t/40

En el punto de mxima altura, v (t) = 0. Solucin


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v (t) = -392,4 + 592.4e-t/40

= 0 llegamos a la conclusin de que laconcha alcanza su altura mxima de 16.476 segundos despus de la inyeccin. Desde

Sustituyendo t = 16,476, encontramos que la altura mxima de la concha es:

x (16.476) 1534.81 (m).

13.

Resolucin

:

*

+


27/31

14.

Resolucin

15.


28/31

Resolucin

El total de la teorema ejercida en el volante es la suma de la motor y el retardo debido a la

friccion

Con la segunda ley de Newton tenemos:

16.

Resolucin

[ ] | | ( )

|


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( )

17. En el problema 16, sean I_ 50 kg-m2 y el momento de retraso igual a 5 N-m. Si el motor se

apaga con la velocidad angular en 225 radianes/segundo, determine el tiempo que tardar en

detenerse por completo el volante.

Este problema es un caso particular del Ejemplo 1 en la pgina 110 del texto. Por lo tanto,

podemos utilizar la frmula general (6) en la pgina 111 con m = 5, b = 50, y v0 = v (0) = 0.

Pero nosotros seguir la idea general de la Seccin 3.4, encuentre una ecuacin de la mocin, y

resolverlo.

F2 =-50v

| | Sustituyendo: v(0)=0 tendremos C=-g/10 y Integrando

18. Cuando un objeto se desliza en una superficie, encuentra una fuerza de resistencia llamada

friccin. Esta fuerza tiene magnitud mN, donde m es el coeficiente de friccin cintica y N es

la magnitud de la fuerza normal aplicada por la superficie al objeto. Suponga que un objeto de

masa 30 kg se libera desde la parte superior de un plano inclinado 30 con la horizontal (vase

la figura 3.11). Suponga que la fuerza gravitacional es constante, que la resistencia del aire es

despreciable y que el coeficiente de friccin cintica es m _ 0.2. Determine la ecuacin de

movimiento para el objeto conforme se desliza en el plano. Si la superficie superior del plano

tiene una longitud de 5 m, cul es la velocidad del objeto al llegar al fondo? del objeto.

Cunto tiempo tardar el objeto en llegar a la parte inferior del plano inclinado si la rampa

mide 10 m de largo?


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19. Un objeto con masa de 60 kg parte del reposo en la parte superior de un plano inclinado a

45. Suponga que el coeficiente de friccin cintica es 0.05 (vase el problema 18). Si la fuerzadebida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, digamos, 3y,

determine la ecuacin de movimiento del objeto. Cunto tiempo tardar el objeto en llegar a

la parte inferior del plano inclinado si la rampa mide 10 m de largo?

20. Un objeto en reposo en un plano inclinado no se deslizar hasta que la componente de la

fuerza ravitacional hacia abajo de la rampa sea suficiente para superar la fuerza debida a la

friccin esttica. La friccin esttica queda descrita mediante una ley experimental similar al

caso de la friccin cintica (problema 18); tiene una magnitud de a lo ms mN, donde m es el

coeficiente de friccin esttica y N es, de nuevo, la magnitud de la fuerza normal ejercida por

la superficie sobre el objeto. Si el plano est inclinado un ngulo , determine el valor crtico 0tal que el objeto se deslizar si 0 pero no se mover para 0.


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en los problemas 1

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