ELO ENTRE OS AMBIENTES DIMENSIONAIS E SUA PERCEPÇÃO ESPACIAL ATRAVÉS DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Carmeligia Marchini1 Carlos Henrique dos Santos2

RESUMO

A escolha do tema do objeto de estudo surgiu a partir de discussões

realizadas com o professor orientador nos encontros na IES proporcionados pelo

PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional). Através de situações

práticas vivenciadas em sala de aula, ao trabalharmos com cálculos na

geometria espacial, percebia-se uma grande dificuldade nas respostas dos

exercícios no cálculo das medidas de comprimento, áreas e volume, pois havia

dúvidas por parte de alguns alunos sobre quando utilizar a unidade de medida

simples, quadrada ou cúbica.

Chegamos à conclusão da necessidade de um trabalho exploratório

sobre a relação entre as dimensões: unidimensional, bidimensional e

tridimensional, tendo como escopo a assimilação dos conceitos e sua

operacionalidade. Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de estreitar a

distância entre o prescrito e o vivido estabelecendo as conexões entre os

ambientes dimensionais, através de estratégias que possibilitem aos alunos

compreender conceitos geométricos e, que esses conhecimentos estejam

articulados à capacidade de manipulação, à visualização e à experimentação.

Neste intuito utilizou-se de materiais concretos manipuláveis de forma a

proporcionar condições para que os alunos desenvolvam a percepção e

estabeleçam a relação entre as dimensões geométricas.

Palavras-Chaves: Geometria; elo entre as dimensões; unidades de

medidas; materiais manipuláveis.

1 Profª PDE 2009. Rede pública do Estado do PR. E-mail: thailian@ig.com.br

2 Profº Doutor da Universidade Federal do PR - orientador do projeto

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ABSTRACT

The choice of this theme of study arose from the discussions with our

teacher in the meetings at IES provided by PDE (Educational Development

Program). By practical situations experienced in daily classroom, when we

taught space geometry, it was clear the great difficulty in the exercises answers

concerning length, area and volume, there were also doubts, for some students

when they had to use the simple unit, square or cube.

We realized the necessity of a study about the three dimensional

relations: one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional, focusing on

the assimilation of their concepts and their operational ties. This work was

carried out in order to narrow the distances between the theory and practice,

trying to establish the connections of the dimensional environments using

strategies that could help the students to understand geometric concepts and

that this knowledge could provide the ability of manipulation, visualization and

experimentation. For this we used manipulative materials in order to provide the

conditions for the students develop the awareness and the relations among the

geometric dimensions.

Key Words: Geometry; link between the dimensions, unity measure,

manipulative materials.

Justificativa:

O presente artigo tem a intenção de discutir a arte de ensinar

matemática com o auxílio de materiais concretos manipuláveis,

descrevendo algumas atividades propostas e desenvolvidas com 30 alunos

da 8ª série “A” – turma 2009 - do Ensino Fundamental no Colégio Estadual

Teotônio Vilela – Ensino Fund. e Médio.

Este trabalho se inicia conceituando e diferenciando as dimensões

geométricas e, discutindo com o aluno que o homem se constrói no tempo e no

espaço, vivendo em um mundo espacialmente tridimensional, no qual a

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geometria está inserida. Discutindo ainda que, inúmeras situações requerem

percepção espacial, tanto em matemática como na leitura e na escrita.

O desenvolvimento da percepção espacial e sua compreensão concreta

são características fundamentais e necessárias para o vínculo entre teoria e

prática no estudo da geometria.

É importante registrar que os conceitos geométricos constituem parte

importante do currículo de matemática. Por meio deles, o aluno desenvolve

habilidades e conhecimentos que lhe permitem compreender, descrever e

representar de forma organizada o mundo em que vive. Assim é necessário

que utilize a geometria como uma das ferramentas para compreensão do

espaço que o cerca, pois esta o auxiliará a decodificar as imagens, a fazer e

analisar as representações geométricas que se encontram em seu cotidiano.

Essas habilidades permitirão o entendimento e a percepção das várias

dimensões, desde as presentes na Geometria Euclidiana e nas Não-

Euclidianas, auxiliando-os na formalização e no desenvolvimento de uma

intuição mais sofisticada necessária para aplicação na geometria dos fractais

(nos objetos de dimensões fracionárias).

É interessante salientar neste momento, que ao despertar um olhar

crítico à geometria e ao reconhecer os objetos tridimensionais para logo

identificar as figuras bidimensionais e vice-versa, isso estará manifestando

significativo caminho do espaço ao plano, estreitando o distanciamento entre o

prescrito e o vivido, estabelecendo conexões entre a matemática e outras

áreas do conhecimento.

Baseada na realidade do aluno e em textos torna-se necessário

relacionar a geometria escolar às suas atividades concretas, visto que a

geometria está profundamente ligada à vida do Homem, ajudando-o a resolver

os diversos problemas que poderá enfrentar no seu cotidiano, e talvez com isto

se explique o seu surgimento desde os tempos mais remotos.

H.Eves (1969, citado por Gerdes.Paulus, 1992) afirma que as primeiras

considerações geométricas do Homem parecem ter tido a sua origem em

observações simples que provêm da habilidade humana de reconhecer forma

física e de comparar figuras e tamanhos. Aqui a capacidade de reconhecer e

comparar formas são assumidos como uma qualidade natural dos seres

humanos.

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A Geometria trata dessas formas, das suas propriedades e das suas

relações. Olhando à nossa volta, rapidamente tomamos consciência de que ela

está presente no mundo que nos rodeia, através de formas, desenhos e

propriedades geométricas.

Conforme citação de Eves nosso posicionamento no espaço permite-

nos orientarmos, analisarmos as formas e construirmos relações entre o

espaço geometricamente tridimensional que nos cerca. Esse conhecimento do

espaço de que nos apropriamos diretamente, sem um raciocínio lógico, formal,

constitui a intuição geométrica.

O primeiro contato que temos com a geometria se realiza assim, por

meio da intuição, esse conhecimento ao se transformar em ciência tem o

objetivo de analisar, organizar e sistematizar os conhecimentos espaciais.

São essas habilidades que darão ao indivíduo a possibilidade de ler as

representações pictóricas que costumam aparecer em um mapa, na planta de

uma cidade, de uma estrada, de um bairro. São também essas habilidades que

permitirão o entendimento das representações geométricas que estão

presentes na natureza, nas artes e nas edificações.

Para um ensino e aprendizagem significativos é fundamental valorizar o

ensino da geometria como parte integrante da matemática. A importância de

desenvolvê-la na escola é ressaltada nos Parâmetros Curriculares Nacionais

do Ensino Fundamental (1998, p. 51):

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.

Nesse mesmo contexto, os Parâmetros Curriculares Nacionais do

Ensino Médio ressaltam sobre a importância do ensino da geometria nas

escolas (1998, p. 123):

Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos na resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante deste tema, o aluno poderá desenvolver habilidades

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de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para problemas.

Segundo Souza (2001), pesquisas psicológicas indicam que a

aprendizagem geométrica é necessária ao desenvolvimento da criança, pois

inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em

Matemática como na leitura e na escrita.

As constatações acima evidenciam a necessidade de abordar os

conhecimentos geométricos, pois a Geometria pode ser considerada uma das

áreas do conhecimento que auxilia na compreensão, descrição e inter-relação

com o espaço em que se vive. Diante disso iremos abordar e estudar as formas

espaciais e as relações dos corpos reais, abstraindo o que é comum a eles,

porque todo corpo real tem sua forma, suas propriedades, dimensões e uma

posição em relação aos demais corpos.

As relações espaciais se manifestam em dimensões geometricamente

distintas nas quais produzimos conhecimentos. Portanto, quando se fala em

espaço, deve se perceber um espaço geometricamente multidimensional.

É importante ressaltar que, quando percebemos e estudamos esse

espaço, isto nos permite estabelecer conexões entre a Matemática e as outras

áreas do conhecimento.

Ao aprofundarmos o conhecimento do espaço, veremos que, mesmo

sendo distintos, os modos de compreensão e expressão realizada de forma

direta correspondente à intuição geométrica da natureza visual e, a realizada

de forma reflexiva, que corresponde à lógica da natureza verbal, são

complementos entre si. Prova disto é que o método desenvolvido na

sistematização da geometria atingiu um alto nível de formalização. No entanto

os conhecimentos de natureza geométrica são resultados das necessidades do

homem e da observação da natureza.

Segundo C.Alsina, C.Burguês, J.Mª Fortuny (1989, p.61)

Para alcançar uma perfeita compreensão das relações espaciais, o bom desenvolvimento da percepção visual é fundamental, pois a percepção visual exige o desenvolvimento de uma gama de competências, incluindo o conhecimento e o saber de como interpretar e ver.

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É de fundamental importância que propiciemos aos alunos condições

necessárias para o desenvolvimento dessas habilidades de maneira a facilitar

sua compreensão e percepção das formas e propriedades geométricas

presentes em seu cotidiano. Neste mesmo contexto, os Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (1999. p.257) ressaltam sobre a

importância das:

Habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas que podem ser desenvolvidos com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação de partes do mundo que o cerca.

Analisando o contexto do desenvolvimento de um trabalho adequado no

ensino da geometria é interessante refletirmos sobre nossa prática pedagógica,

revendo a forma de ensiná-la de maneira a tornar seu ensino significativo,

propiciando uma aprendizagem satisfatória. Diante dessa circunstância,

convêm citar que, a manipulação de formas geométricas torna os alunos mais

organizados, desenvolvem a coordenação motora e visual, melhora a leitura e

a compreensão de gráficos, mapas e outras informações visuais.

Neste sentido, buscamos utilizar estratégias que possibilitem aos alunos

compreender conceitos geométricos, e que esses conhecimentos estejam

articulados à capacidade de manipulação das fórmulas matemáticas, à

visualização e à experimentação por meios de materiais manipuláveis, de

forma a relacionarem as dimensões geométricas, desenvolvendo sua

percepção espacial.

PERCEPÇÃO ESPACIAL

A percepção espacial desempenha um papel fundamental para que se

reconheçam formas, propriedades geométricas, transformações e relações

espaciais. Com uma boa formação na percepção espacial estaremos aptos a

compreender melhor o mundo físico em que vivemos, melhorando nossa

adaptação nesse mundo espacialmente tridimensional.

Segundo C.Alsina, C.Burguês, J.Mª Fortuny (1989, p.16)

A percepção espacial pode ser comparada com a interpretação de um texto escrito. Da mesma forma que no processo de leitura

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são agrupados as palavras em frases, para a obtenção de um entendimento global da informação, na percepção espacial trata-se de obter uma mensagem através de uma interpretação e visualização das formas e relações das propriedades geométricas espaciais.

A geometria, dentre outras, desenvolve a capacidade de ativar as

estruturas mentais, facilitando a passagem do estágio das operações concretas

para o das operações formais. Para que se tenha uma significativa

aprendizagem geométrica do espaço, é necessário fazer uma abstração das

formas explorando os objetos, onde esta exploração visual acompanhada da

manipulação, construção e compreensão da estrutura tornarão sua percepção

espacial completa.

As atividades de exploração espacial constituem um suporte adequado

do processo de aquisição do conceito espacial. As observações e

experimentações geométricas com os objetos e elementos da natureza,

propiciam um conhecimento e estruturação das noções espaciais.

À medida que um indivíduo vivencia o espaço através, principalmente,

da visão e do tato, os quais contribuem para a elaboração dos conceitos de

forma, proporção, posição e orientação, ele desenvolve sua percepção de

espaço tridimensional.

Para comunicar e expressar a informação espacial que é imprescindível

para observar objetos tridimensionais é de grande utilidade representar as

formas planas ou bidimensionais necessárias para desenvolver e completar a

percepção do espaço.

Parafraseando, C.Alsina, C. Burguês, J.Mª Fortuny (1989) os níveis de

organização espacial devem partir da construção de atividades. O conceito

geométrico de espaço não é dado anteriormente, mas é construído

mentalmente, depois de fazer operações adequadas. Assim, a percepção de

espaço não é uma simples cópia da realidade, mas é o resultado de atividades

organizacionais e de codificação de informações sensoriais.

Entendemos o aluno como ser ativo da construção do conhecimento dos

conceitos geométricos no processo de ensino e aprendizagem, por isso de

maneira a agregar, enriquecer e contribuir com uma aprendizagem significativa

do aluno buscou articulá-la à visualização e experimentação por meio de

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materiais concretos, visando facilitar sua percepção espacial. Com este intuito,

buscamos propor atividades valorizando o princípio da contextualização por

meio da visualização, construção e manipulação dos sólidos geométricos e sua

relação com as figuras bidimensionais e vice-versa.

Desenvolvimento

No estudo da evolução da percepção espacial, R. Pallascio (citado por

C.Alsina, C.Burguês, J.Mª Fortuny R.) apresenta cinco fases: a exibição, a

estruturação, a tradução, a determinação e a classificação.

Cada uma dessas etapas inclui ações que vão desde o reconhecimento

de objetos até a aplicação das propriedades matemáticas e a classificação

desses objetos. Os níveis de dificuldade das ações vão aumentando quando

passam de uma fase para outra, assim, há um progressivo desenvolvimento da

percepção espacial. A tipologia dessas etapas é definida como segue:

l) A visualização: Depois de ter observado um objeto, sua visualização

é a memorização de potência (suficiente) de imagens parciais, a fim de

reconhecer objetos pela mesma ou similar mudança de posição ou escalas,

entre uma variedade de objetos com o mesmo esquema.

2) A estruturação: Após visualizar um objeto, o estabelecimento de sua

estrutura é a capacidade de reconhecer e reconstruir o objeto com base nos

elementos constitutivos.

3) A tradução: Consiste em poder reconhecer um objeto de uma

descrição literária e vice-versa.

4) A Identificação: Consiste em poder reconhecer a existência de uma

descrição das suas relações métricas.

5) A classificação: É constituída por classes capazes de reconhecer

objetos equivalentes de acordo com diferentes critérios para a classificação.

As atividades desenvolvidas buscam garantir a participação produtiva do

aluno, permitindo que transformem e desenvolvam habilidades de: observar

(visualização), abstrair (estruturação), comunicar (tradução) e de organizar

(identificação e classificação).

Contemplamos idéias que possibilitam aos alunos da 8ª série do Ensino

fundamental, por meio da visualização e manipulação de materiais concretos,

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compreender e interpretar geometricamente o conceito espacial, para que

tenham uma melhor percepção de mundo tridimensional e sua relação com o

plano bidimensional.

Durante essa prática pedagógica desenvolvemos conteúdos

relacionados à Geometria Plana e Espacial, entre eles: ponto, reta, posição de

retas, plano, estudo dos poliedros regulares, área e volume.

Acreditando que o aluno não possa ser passivo diante das atividades

propostas, mas, autores das construções que dão sentido ao conhecimento

matemático, no sentido de possibilitar ao aluno o „fazer matemática‟, a prática

se deu através da relação entre a figura bidimensional e a construção do objeto

tridimensional (os poliedros regulares).

Amilcar (2003, p.81) pautado nas teorias de Piaget, em sua dissertação

de mestrado “Ensino e aprendizagem da Geometria através das formas e

visualização espacial”, relata a opinião dos alunos sobre a visualização que o

material didático proporciona:

“Pode-se comprovar através da opinião dos alunos que, a visualização que o material didático manipulável proporciona, pode facilitar a assimilação dos conteúdos da Geometria, que o aluno ao manusear o material está construindo seu próprio conhecimento e seus próprios conceitos de Geometria através da visualização das formas geométricas.”

No sentido de valorizar a experiência e a manipulação de materiais

concretos como ponto de partida na relação entre as dimensões, buscou-se

práticas pedagógicas que tenham significado para o aluno e possam mobilizá-

lo a aprender num processo ativo.

Neste contexto, Amílcar (2003) ressalta a importância da utilização de

materiais didáticos manipuláveis, favorecendo sua aplicação prática na

construção dos conceitos envolvidos. Entende-se que a visualização

tridimensional que o material manipulável proporciona, facilita a assimilação

dos conteúdos, pois tudo que é próximo de sua realidade contribui para a

compreensão e criação de seu próprio conhecimento e conceitos do espaço

geométrico.

Buscamos favorecer o ensino e aprendizagem das relações espaciais,

articulando a percepção visual e a experimentação por meio de materiais

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manipuláveis que priorizem e oportunizem ao aluno a compreender e

transformar sua realidade, contextualizando teoria e prática.

Relato das experiências:

Entendemos que a idéia de contextualização requer a intervenção do

aluno no processo de aprendizagem, fazendo as conexões entre os

conhecimentos. Organizamos esse trabalho pedagógico de forma a propor

condições para que ele o aprenda de forma significativa e faça as conexões

necessárias entre as dimensões.

1º momento – Atividade exploratória: observação, manipulação e

desenvolvimento da percepção espacial: (30/09/2009 e 01/10/2009)

Para que houvesse uma relação entre objetos geométricos do cotidiano

do aluno, buscamos propor condições para que ele relacionasse esses sólidos

geométricos com a figura plana e/ou a foto de um objeto de seu cotidiano. Para

a realização dessa tarefa organizou-se uma mostra em que haviam figuras das

obras do autor Escher, cartazes com figuras planas planificadas e objetos de

formas tridimensionais, os poliedros regulares.

Esta mostra buscou possibilitar aos alunos atividades exploratórias,

como visualização, manipulação e questionamentos sobre a relação entre

figuras geométricas planas com sólido geométrico, e ainda, proporcionar

condições para que o aluno pudesse relacionar o contorno das faces de um

poliedro com as figuras geométricas planas como recursos na visualização e

percepção espacial.

Figuras das obras do autor Escher utilizadas na mostra:

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Fonte: http://www.epo.pt/mat/escher/obras_de_escher.htm Originalmente publicado em Ciência Hoje das Crianças (1986) escrito por Sheila Kaplan.

Através da mediação do professor, como meio de aprofundar os

conhecimentos dos alunos, após serem combinados os critérios para a

classificação do bidimensional e do tridimensional, foram levantados alguns

questionamentos como:

- Quais são as semelhanças entre a representação tridimensional com a

figura bidimensional?

- Depois de realizadas as observações necessárias conseguem

reconhecer e realizar a diferenciação entre o corpo e figura?

- Elabore um desenho do corpo sólido observado representando a sua

percepção sobre tri dimensão.

- Visando à apropriação da forma do corpo sólido, desenhe-o

planificado;

- Utilizando os materiais necessários, transforme o desenho de

observação na forma tridimensional.

Após o aluno ter observado, comparado a figura bidimensional com o

corpo sólido (o tridimensional) e, transformado o desenho de observação num

sólido geométrico teremos parâmetro para verificar se o aluno:

- Percebeu a relação entre a forma da figura plana com o objeto

concreto.

- Interpretou geometricamente o objeto percebendo sua constituição de

forma, proporção, posição e orientação.

- Estabeleceu o elo entre os conceitos, linguagens, representações e

conhecimentos matemáticos das dimensões.

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2º momento - Abstração das propriedades matemáticas: Elo entre o uni

e o bidimensional: (06/10/2009 à 08/10/2009)

Após a etapa de: observar (visualização), abstrair (estruturação),

comunicar (tradução) e de organizar (identificação e classificação), passamos

para o processo de abstração das propriedades matemáticas dos sólidos

geométricos fazendo a relação entre:

*Vértice: representado pelo ponto;

*Arestas: representado pela reta;

*Faces: representado pela figura plana;

Partindo da definição de Euclides, sobre os três conceitos primitivos:

pontos, retas e planos, temos:

Existem figuras que não têm dimensão, é o caso dos pontos: Ponto é

“aquilo que não tem partes”.

Uma reta, por sua vez, é algo com uma única dimensão: Reta é “um

comprimento sem espessura”, que repousa equilibradamente sobre seus

próprios pontos.

Buscamos abordar desde a figura sem dimensão (tendo como entidade

geométrica o ponto), as figuras unidimensionais (tendo como entidade

geométrica a reta) até as figuras bidimensionais (tendo como entidade

geométrica: o plano).

Dos resultados das noções geométricas inicialmente estabelecidas,

conclui-se que um plano fica determinado:

1º) Por três pontos não em linha reta;

2º) Por uma reta e um ponto exterior a essa reta;

3º) Por duas retas distintas que tem um ponto comum;

4º) Por duas retas paralelas.

Plano é o que tem apenas comprimento e largura, uma superfície com

duas dimensões.

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Para que houvesse a sistematização das propriedades matemáticas,

retomamos o conceito inicial sobre retas, focando sua única dimensão, o

comprimento, no intuito de esclarecer qual unidade de medida a ser utilizada

quando se calcula a medida do comprimento da “aresta” de um poliedro.

O próximo passo buscou a relação entre a reta, o unidimensional, com a

figura plana, o bidimensional em suas duas dimensões, comprimento e largura.

Ao trabalharmos a figura bidimensional, focamos as posições relativas entre

duas retas, os seus ângulos, a medida do comprimento de suas arestas e a

escolha de uma unidade de medida, o cálculo da área da superfície da figura

planificada, bem como a utilização da unidade de medida apropriada (ao

quadrado). Neste momento foi feita a exploração da figura planificada

(bidimensional) de cada poliedro regular, motivando a utilização das fórmulas

algébricas, através da dedução heurística das fórmulas no cálculo das medidas

das áreas das superfícies das faces e da superfície poliédrica (foi alertado que

posteriormente seria feita a construção do poliedro regular com as mesmas

dimensões das figuras planas, por isso deveriam refletir sobre as medidas

utilizadas). Buscou-se identificar em cada figura plana do poliedro regular a

medida de seus ângulos e sua classificação, bem como a posição relativa entre

duas retas. No cubo e no tetraedro além da medida da superfície também foi

calculado o volume desses sólidos, utilizando a unidade de medida (cúbica) e

fazendo a conversão entre as unidades cm3 e litros.

3º momento – Estreitando o caminho entre teoria (cálculos

matemáticos) e a prática através dos materiais concretos (construção dos

poliedros regulares): Elo entre os ambientes dimensionais (14/10/2009 e

15/10/2009)

Finalizada a parte do elo entre as dimensões uni e bi partiu-se para a

construção dos sólidos geométricos, os poliedros regulares, em suas três

dimensões: comprimento, largura e altura, onde relacionaram o poliedro regular

com a figura plana, direcionando para análise e percepção entre a figura

bidimensional e a face do sólido e que se não houvesse tais faces o corpo

(sólido geométrico) não existiria.

Procurando aliar teoria e prática, os alunos fizeram a construção dos

poliedros regulares utilizando de materiais diversos como: papel cartão,

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madeira, palito de churrasco, vidro e aço inox. (Foi lembrado aos alunos que

deveriam construir os poliedros regulares com as mesmas medidas da figura

planificada, para que pudéssemos comparar a quantidade de material utilizado

com os cálculos das superfícies, bem como o cálculo do volume).

Com a finalidade de comparar os cálculos efetuados na figura plana com

a construção do poliedro regular foram levantados os seguintes

questionamentos:

- Identifique cada um dos poliedros regulares informando suas

particularidades em relação as suas faces e relacione-os com sua figura

planificada;

- Analise os ângulos existentes em cada um dos poliedros regulares e,

classifique-os quanto sua abertura;

- Identifique a posição entre duas retas presentes em cada poliedro, bem

como na figura planificada;

- Explorando a figura planificada (bidimensional) encontre a área de

cada face e da superfície poliédrica;

- Qual o material utilizado para a construção do poliedro? Qual a

quantidade de material utilizado para a construção dos poliedros?

- Se fossem revestir esses poliedros com papel contact, quanto gastaria

sabendo que o custo é de R$3,20 por metro?

- Encontre o volume do tetraedro e do cubo. Relacione o volume do

poliedro em relação a sua capacidade fazendo a conversão de cm3 em litros;

No sentido de validar uma proposta de um ensino e aprendizagem

significativa, buscou-se proporcionar aos alunos condições para que

estabelecessem e firmassem o elo entre as dimensões uni↔ bi ↔ tri, fazendo a

conexão entre teoria e prática através da utilização dos objetos tridimensionais

(os poliedros regulares) comprovando as propriedades matemáticas através

dos cálculos das medidas de comprimento, superfície e volume.

No manuseio do objeto tridimensional, o aluno utilizou-se de:

Pinos para a representação do vértice (ponto: algo sem dimensão);

Varetas para a representação das arestas (retas: unidimensional);

Figuras planas para a representação das faces (figura bidimensional)

na formação do poliedro regular (objeto tridimensional).

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Buscando ampliar o desenvolvimento da compreensão concreta do

aluno bem como o exercício do pensamento lógico dedutivo, foi utilizado de um

cubo construído de aço inox para que os alunos fizessem a demonstração e

comprovação do cálculo de seu volume. Os alunos fizeram a experiência de

comprovar o cálculo da medida da capacidade, encontrado na figura

planificada, despejando líquido de um litro de água para o cubo, demonstrando

a conversão realizada do cm3 em litros, relatando sua experiência.

4º momento - Atividade exploratória: Elo entre as dimensões

20/10/2009

Partindo da necessidade de um trabalho exploratório sobre a relação

entre as dimensões, sabendo que a geometria auxilia o aluno na decodificação

das imagens, no desenvolvimento do conhecimento permitindo compreender,

descrever e representar de forma organizada o mundo em que vive, organizou-

se uma mostra pedagógica intitulada: “O elo entre as dimensões”, onde o aluno

pode estabelecer e aliar a teoria (cálculos matemáticos) com a prática

(construção e manipulação dos poliedros regulares).

No desenvolvimento dessa mostra, o aluno, como autor das construções

que dão sentido aos seus conhecimentos matemáticos, pode demonstrar sua

capacidade de manipulação das fórmulas matemáticas (nas figuras

bidimensionais dos poliedros regulares) articuladas à visualização e à

experimentação por meio de materiais concretos (os poliedros regulares)

relacionando as dimensões geométricas, através da expressão verbal e dos

cálculos da medida do comprimento, da área da superfície e do volume do

objeto tridimensional.

5º momento – Organização da mostra (21/10/2009 á 27/10/2009)

O primeiro procedimento para a organização desta mostra foi a divisão

das equipes e suas respectivas funções.

Cada equipe seria composta por quatro alunos e, na apresentação,

haveria um revezamento, pois um aluno de cada equipe seria o monitor

organizando a visitação à exposição (lembrando que esse monitor estaria

sendo revezado a cada apresentação).

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Foi apresentada a divisão das tarefas para cada equipe ficando livre

para optarem sobre qual tema gostaria de desenvolver e que, se houvesse

mais que uma equipe interessada pelo mesmo tema, seria feito um sorteio.

Ao chegarem a um consenso sobre a distribuição das tarefas mediadas

pelo professor, a mostra foi organizada da seguinte maneira:

1ª equipe - Introdução: Por esta equipe através da expressão verbal,

foi feito um relato sobre suas atividades exploratórias onde apresentaram a

figura da obra do autor Escher, cartazes com figuras planificadas e objetos

tridimensionais. Essa equipe era a responsável pela demonstração de como

ocorre o elo entre as dimensões, bem como dos conceitos primitivos dos

axiomas de Euclides: ponto, reta e plano.

2ª equipe - Utilização de uma maquete para o estabelecimento de

relações entre uma figura planificada e sua relação com o objeto

tridimensional: Através de uma maquete de madeira, os alunos fizeram a

relação entre a figura bidimensional planificada e o sólido correspondente,

objeto tridimensional. Esta maquete proporcionou condições para os alunos

perceberem o elo entre as dimensões, pois nela havia a figura de uma pirâmide

planificada sobre um fundo falso que ao ser montada passa do plano (parte)

para o espaço (objeto tridimensional – o todo), tendo a visão da figura

bidimensional transformando-se no objeto tridimensional e vice-versa. Puderam

perceber que esta figura bidimensional é composta pelas faces do corpo sólido,

levantando o questionamento de que se não houvesse uma face, o corpo

sólido não existiria. A partir da visualização da figura plana na maquete e da

manipulação na montagem da pirâmide (objeto tridimensional), demonstraram

que:

*Cada face é a representação de um plano;

*Cada aresta, a representação de uma reta;

*Cada vértice, a representação de um ponto.

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↔

Esta equipe também foi à responsável para esclarecer que a figura

bidimensional, com suas duas dimensões (comprimento e largura), nos dá

suporte para o estudo da medida da superfície enquanto o objeto

tridimensional, em suas três dimensões (comprimento, largura e altura) nos

amplia ao estuda da medida do volume.

Da 3ª até a 7ª equipe ficaram responsáveis pela definição do poliedro

regular como um sólido que tem todos os lados e todos os ângulos iguais, bem

como do significado da palavra Poliedro (poli – muitas e edro – faces), ou seja,

sólido de muitas faces. Na explicação referente aos poliedros regulares cada

equipe ficou responsável por esclarecer sobre: particularidade (tipo de face),

arestas, vértices, ângulos, posição de duas retas, área da face e da superfície

poliédrica de um poliedro regular. O intuito era de que cada equipe

relacionasse e levantasse questões que fazem parte do cotidiano de suas vidas

as quais ocorrem sem que as pessoas se dêem conta de que a resolução é

muito mais simples do que se imagina, e conhecendo esse universo estarão

aptas para responder questões como: quanto “cabe” de água neste pote?

(volume), quantos metros de piso eu compro? (metros quadrados – área da

superfície) que, apesar desta utilização, as pessoas não fazem muitas vezes, a

menor idéia do que está ocorrendo, não sabem o significado de área ou volume

de uma maneira formal, porém podem até conseguir ter uma idéia intuitiva

sobre isto.

Para que as equipes pudessem realizar suas funções de explicar e

estabelecer o “elo entre as dimensões” utilizaram-se de sólidos geométricos e

de suas planificações, de maneira que essas representações pudessem induzir

à visão espacial dos objetos tridimensionais representados em planos, sem

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prejuízo da diferenciação entre sólido e plano bem como entre objeto e

representação.

As equipes ficaram assim distribuídas:

3ª equipe: Tetraedro;

4ª equipe: Cubo;

5ª equipe: Octaedro;

6ª equipe: Dodecaedro;

7ª equipe: Icosaedro.

8ª equipe: Por esta equipe, foi utilizado um cubo construído de aço inox

para que fizessem a comprovação do cálculo de seu volume. Os alunos

fizeram a experiência de comprovar o cálculo da medida da capacidade

encontrada na figura planificada, onde foi despejado líquido de um litro de água

para o cubo, demonstrando a conversão realizada da unidade de medida do

cm3 em litros, relatando sua experiência.

Com o intuito de explicar o porquê do “cúbico” eles utilizaram do “cubo

mágico” para a demonstração da quantidade de cubos existentes no

comprimento, na largura e na altura, fazendo a relação com a medida de

capacidade do cubo.

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Análise da proposta:

1 – Em relação à construção do poliedro regular:

O trabalho com a manipulação de materiais concretos proporcionou ao

aluno certa satisfação e conforto, pois fugiu da mesmice das aulas tradicionais.

Porém nosso desafio foi que esse trabalho não se tornasse meramente

artístico e sim que tivesse significados em relação aos conceitos matemáticos.

Por isso, o cuidado em direcionar os questionamentos referentes à construção

dos poliedros e as análises de suas faces, podendo também ampliar os

questionamentos, como por exemplo: Qual o número mínimo e máximo de

faces em um poliedro? Quantas faces quadradas seriam necessárias? E se as

faces fossem triangulares, quantas faces no mínimo seriam necessárias para o

poliedro existir? E qual seria o número máximo? Etc.

Neste momento, nós professores devemos ter uma postura de

mediadores, proporcionando condições aos alunos de desenvolverem

habilidades de relacionar a prática com suas propriedades matemáticas para

que não haja um trabalho desarticulado tornando-se enfadonho e sem

significado.

Não se pode dizer que houve pontos negativos, mas sim pontos a serem

melhorados. O pouco tempo nas aulas, de aproximadamente 50 minutos para

atender a todos é um ponto a ser repensado, pois há uma quebra nas

organizações das idéias. Por outro lado, pedir para que os alunos, trabalhando

em grupo, fizessem a construção dos sólidos geométricos em casa não surgiria

o mesmo efeito, visto que alguém poderia sair sobrecarregado e/ou ainda o

grupo poderia sair prejudicado se alguém de sua equipe não entregasse a

parte que lhe foi atribuída.

No desenvolvimento dessa atividade pode-se perceber o interesse por

parte dos alunos em realizá-la, pois demonstraram comprometimento na

construção dos poliedros regulares e de seus respectivos cálculos.

Depoimentos de alguns alunos em relação ao trabalho:

Aluna L(L.M.): “Foi bem trabalhoso e todos “colaborou”, todos se

ajudaram, ficou bem “caprichoso”, achei muito bom e divertido, curti

“demas” fazer o trabalho apesar das dificuldades.”

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Aluno G (G.H.G): “Foi muito interessante fazer esse trabalho, foi

muito legal “juntar” com os amigos em casa para fazer o trabalho, cada

um fazendo seus poliedros, um ajudando o outro a colar, outro ajudando

a fazer o desenho, os cálculos, foi muito legal mesmo.”

Aluna B (Bia): “A dificuldade que eu encontrei foi de colar algumas

partes, entre os comentários foi “meio” difícil no grupo porque houve

muitos problemas por causa de pouca coisa, “mais” no final tudo saiu

bem.

Percebeu-se nessa atividade, que a maior dificuldade dos alunos era na

ampliação dos desenhos, pois a maioria não tinha domínio na utilização do

transferidor. O maior problema que encontraram foi na montagem do

dodecaedro e do icosaedro, pois alegavam sobre a dificuldade na colagem das

últimas faces.

Depoimento de alunos:

Aluno A (A.F.X): “Minha dificuldade era usar o transferidor “mais”

daí a professora explicou como usava e eu aprendi, eu gostei de fazer o

desenho achei muito massa não gostei de ter que fazer a montagem

muito ruim tinha que colar...”

Aluna I. (I.S.M.E): “O trabalho foi legal de fazer, foi um teste de

raciocínio e paciência ao mesmo tempo, foi uma atividade muito

interessante mais complicada ao mesmo tempo, tivemos que usar muito a

cabeça, e as vezes dava vontade de desistir mas conseguimos terminar.”

Aluno J (J.P.): “O Octaedro foi onde eu e meu grupo encontramos

mais dificuldade porque a professora mandou “ajente” terminar em casa

então eu fiquei com essa responsabilidade, não foi nada fácil fazer porque

eu não tinha transferidor então iria sair tudo errado então depois de usar

uma “cartulina” tive uma idéia “disidi” usar o compasso “medi ele” na

régua e deixei na abertura correta e no final eu consegui fazer.

Realizar um trabalho como esse, com o aluno articulando teoria e

prática, precisa de um comprometimento por ambas as partes, o professor

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como motivador, questionador e auxiliador de todo o processo do ensino e

aprendizagem e, o aluno como ser ativo, agindo de forma crítica na construção

do conhecimento, tomando iniciativas para superar as dificuldades encontrando

soluções adequadas.

Diante dos trabalhos apresentados pelos alunos e dos comentários

como os citados acima, pode-se afirmar que o objetivo do trabalho foi atingido

com sucesso e com a certeza de que podemos melhorar a cada dia nossa

prática pedagógica.

2 - Em relação à mostra sobre: “O Elo entre as dimensões”

Nosso propósito nessa mostra pedagógica foi possibilitar o

desenvolvimento da criatividade do aluno, viabilizando e aprimorando seu

processo de aprendizagem, utilizando-se de sólidos geométricos na percepção

e relação entre as dimensões.

O escopo de impulsionar a autonomia do pensamento no desígnio da

reflexão e da percepção da relação entre as dimensões foi alcançado, prova

disso foi à postura da maioria dos alunos na apresentação desta mostra. Ainda,

nas discussões antecedentes à mostra, mediadas em sala de aula, percebeu-

se que os alunos se sentiram desafiados e motivados, relacionando suas

experiências com materiais concretos no contexto de seu cotidiano como:

utilização de um cubo de 10 cm de aresta e uma garrafa com capacidade de 1

litro, podendo ser ampliada a discussão e experimentação comparando a

capacidade do cubo em frascos de diferentes formas, a quantidade de litros de

água que cabe em uma caixa d‟àgua e de como se calcula a quantia de piso a

ser colocado numa sala de aula, ampliando a visão a respeito das fórmulas

matemáticas relativas a esses temas.

Depoimento de alguns alunos evidenciando a compreensão entre

planificação e o sólido correspondente, onde, em relação à dependência,

entendem que: “A área depende do comprimento e da largura”; “O volume

depende do comprimento, largura e altura”.

Aluno (G.B.C): “ Cada “dimensão” depende da outra para existir. O

interessante é que essa mostra foi como o trabalho em grupo, como se

fosse as “dimensões” uma depende da outra se uma não existir não

existira a outra”.

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Aluno (G.H.H): “Esse trabalho ajudou a entender um pouco mais

sobre as dimensões, “uma depende” da outra para existir. O

unidimensional, serve para “descobrir” o comprimento das retas - o

bidimensional, na figura plana descobrimos a área e o tridimensional sai

da figura plana e ganha corpo ficando em relevo, formando a figura 3D-

achamos o volume.”

Nesta atividade buscou-se levar em consideração os desafios inerentes

ao ensino da matemática, os quais enfatizam a importância de ações voltadas

à elaboração e investigação de novas propostas de trabalho que visem

despertar no aluno sua visão crítica agindo como ser ativo no processo de

ensino e aprendizagem.

O gráfico abaixo sintetiza o resultado da assimilação dos conceitos, das

relações entre as dimensões e sua operacionalidade.

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Conclusão

As experiências relatadas neste trabalho nos mostraram evidências da

possibilidade real de oferecer aos alunos condições para que participem

ativamente de todo o processo de construção de seu conhecimento. A

utilização do material concreto, o sólido geométrico, proporcionou aulas de

matemática mais interativas, que despertaram curiosidades, estimularam os

alunos a fazerem perguntas e descobrirem alternativas nas construções dos

poliedros fazendo o elo entre as dimensões. Porém entendemos que, essas

construções devam estar num patamar superior ao da mera manipulação de

objetos, deixando de ser apenas o que é percebido para ser o construído

internamente.

Pensamos que o projeto em si tem suas potencialidades, mas se não

houver a mediação do professor, o material concreto, por si só, não contribuirá

para o processo de ensino e aprendizagem, portanto devemos proporcionar

aos alunos condições para que eles investiguem e observem as propriedades

existentes nos objetos geométricos e as relações entre as dimensões.

Para finalizar, acreditamos que o professor deva ser um mediador,

orientador e instigador das descobertas e, o aluno construtor do seu

conhecimento, deixando sua posição passiva e assumindo um papel ativo,

criativo e autônomo.

Sob esse enfoque esperamos fomentar novas discussões e olhares em

relação à Geometria e sobre o “Elo entre as dimensões”.

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Referências:

BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: Ministério da

Educação, 1999.

C.ALSINA, C. BURGUÊS, J.Mª FORTUNY. Invitación a La Geometria.

Barcelona. Editorial Síntesis. S.A, 1889.

DIRETRIZES Curriculares da Educação fundamental da rede de Educação Básica do Estado do Paraná (org) Curitiba – Produzido pela Secretaria do Estado do Pr.

GIOPPO. Christiane, SILVA. Ricardo V., BARRA. Vilma M.M, A Avaliação em Ciências Naturais no Ensino Fundamental. Curitiba. Editora UFPR, 2006.

LEVANDOSKI, Amilcar A. Dissertação do mestrado: Ensino e Aprendizagem da Geometria através das Formas e Visualização Espacial. 2003

MACHADO. Nilson José. Matemática e Realidade. São Paulo. Editora Cortez, 5ª edição, 2001