elipsa - mirjanaradovicsg.files.wordpress.com · elipsa t 2 m t 3 t 1 t 4 jednaČina elipse : b y a...
TRANSCRIPT
ELIPSA
T2 M
T3 T1
T4
JEDNAČINA ELIPSE :
b
y
a
x ili bayaxb
a-velika poluosa b-mala poluosa TEMENA ELIPSE T1(a,0), T2(0,b), T3 (-a,0), T4(0,-b)
c-LINEARNI EKSCENTRITET : bac FOKUSI (ŽIŽE) ELIPSE: ),c(F ,
e-NUMERIČKI EKSCENTRITET: a
ce
p-PARAMETAR ELIPSE : a
bp
DIREKTRISE ELIPSE: e
ax
USLOV DODIRA PRAVE I ELIPSE: nbka
JEDNAČINA TANGENTE ELIPSE U TAČKI A(x1,y1):
b
yy
a
xx
p b a
F1 F2
ZADACI: 1.Odrediti malu i veliku poluosu, koordinate fokusa, numerički ekscentritet, parametar i jednačine direktrisa elipse:
a) yx
5b25b
13a169a
125
y
169
x
14225
y169
4225
x25
4225:4225y169x25
2
2
22
22
22
12
169x:d
c
a
a
c
a
e
ax:d
13
25
a
bp
13
12
a
ce
0,12F
12c14425169bac
2/1
2
2/1
2
2/1
222
b) yx
3b9b
5a25a
19
y
25
x
1225
y25
225
x9
225:225y25x9
2
2
22
22
22
4
25x:d
c
a
e
ax:d
5
9
a
bp
5
4
a
ce
0,4F
4c16925bac
2/1
2
2/1
2
2/1
222
2.Odrediti jednačinu elipse ako je poznato:
a) dve tačke koje pripadaju elipsi ),(M),,(M
2222
2222
2222
2222
2222
22222
22221
222222
b11:ba11b275
ba36a144b500
ba25a144b225
4ba9a36b125
ba25a144b225
9baa4b9
125:M
25baa25
144b9:M
bayaxb:E
19
y
25
x:E
9b
b16144
b25144b9
b252525
144b9
a25
22
2
2
22
22
2
b)velika osa je 6 a numerički ekscentritet je
127
y4
9
x:E
1
4
27
y
9
x:E
4
27
4
99b
b94
9
bac
2
3c
2
1
3
c
2
1
a
c
2
1e
3a6a2
22
22
2
2
222
c)a+b=25 a linearni ekscentritet je 5
1144
y
169
x:E
12b25b13
13a26a2
1ba
25ba
25:25ba25
25ba
25baba
25ba
25ba
25ba
cba
25ba
5c
25ba
22
22
222
d)mala poluosa je 3 a tačka ),(M pripada elipsi
19
y
36
x:E
36aa5180
a9a4209
ba2a52bEM
3b
bayaxb:E
22
22
22
222222
222222
e) linearni ekscentritet je 4 a tačka ),(M pripada elipsi
14
y
20
x:E
20a416a
4b16bbb1616b16
b16a
bb16b16b15
b16a
baab15
b16a16ba
baab15bayaxb:EM
16ba4c
22
22
24422
22
2222
22
2222
2222
2222222222
22
f)rastojanja žiže od krajeva elipse su 7 i 1
T3 F1 T1
17
y
16
x:E
7bb169bac
314cOF4OT
4a8a2a2717TF
1TF
22
22222
11
31
11
O
F1
g)velika poluosa je a mala osa se vidi iz žiže pod uglom od 60°
13
y2
6
x:E
1
2
3
y
6
x:E
2
3
4
6b6b4
6bb3
b63b
bac
3bc
6a
22
22
22
22
22
222
h)rastojanje između žiža jednako je rastojanju između krajeva osa a mala poluosa je 3.
3b
c2FF21
222 cba - linearni ekscentritet
222 c4ba
19
y
15
x:E
15a045a3
c49a
c436a4
c49a
4c9a
22
22
22
22
22
22
3.U presečnim tačkama prave 5x-3y-14=0 i elipse x2+3y2=28 konstruisane su tangente na elipsu. Odrediti jednačine tih tangenti.
-presečne tačke: tangenta u tački A: tangemta u tački B:
2,4B;3,1A
2y4x
3y1x
2
35
2
16255x
04x5x
28:0112x140x28
84196x140x25x3
3283
196x140x25x
289
196x140x253x
283
14x53x
28y3x
3
14x5y014y3x5
22
11
2/1
2
2
22
22
22
22
22
28y9x:t
28yy3xx:t
28y3x:E
A
AAA
22
14y3x2:t
2:28y6x4:t
28yy3xx:t
28y3x:E
B
B
BBB
22
4.Napisati jednačine tangenti date elipse koje su normalne na datu pravu: a) 2x2+3y2=35, p: 3x-8y-24=0
nxky:.t
3
8k1kkpt
8
3k3x
8
3y024y8x3:p
3
35b;
2
35a1
3
35
y
2
35
x1
35
y3
35
x2
35:35y3x2:E
t
tpt
p
222222
22
Tangenta mora da zadovoljava uslov dodira:
3
35x
3
8y:t
3
35x
3
8y:t
3
35n
;3
35n
9
1225
9
105
9
3235nn
3
35
9
64
2
35nbka
2
1
2
1
22222t
2
b) x2+2y2=54, p: x+y-4=0
nxky:.t
1k1kkpt
1k4xy04yx:p
27b;54a127
y
54
x1
54
y2
54
x
54:54y2x:E
t
tpt
p
222222
22
Tangenta mora da zadovoljava uslov dodira:
9xy:t
9xy:t
9n
;9n
81nn27154nbka
2
1
2
1
22222t
2
5.Odrediti ugao pod kojim se elipsa a)3x2+y2=48 vidi iz tačke P(8,0).
*treba odrediti ugao između tangenti iz tačke P na elipsu, tj. treba odrediti koeficijente pravca tih tangenti
1kk1k;1k
1kk4848k6448k16nbka3
k8nnk80tP
nkxy:.t2
48b;16a148
y
16
x
48:48yx3:E1
2121
22222222
2222
22
=> ugao između tangenti je 90° odnosno ugao pod kojim se elipsa vidi iz tačke P je 90°.
b) x2+4y2=100 vidi iz tačke P(2,7)
8
3k;
3
2k
48
257
48
576497k
06k7k24
4:/024k28k96
k4k284925k100
k2725k100
nbka3
k27nnk27:tP
nkxy:t2
25b;100a125
y
100
x
100:100y4x:E1
212/1
2
2
22
22
2222
2222
22
18
25arctg
18
25
4
324
25
8
3
3
21
3
2
8
3
tg
kk1
kktg3
21
12
φ
φ
φ
6.Napisati jednačinu elipse ako su poznate dve njene tangente: *obe tangente moraju zadovoljavati uslov dodira prave i elipse a) x+y-8=0 i x+3y+16=0
256b9a9
256ba
9
1
nbka
3
16n;
3
1k
3
16x
3
1y
016y3x2
64ba
nbka
8n;1k8xy
08yx1
2222
2222
22
2222
124
y
40
x:E
40a6424a
24b192b8
256b9a
64ba
256b9a
164ba
3
22
22
22
22
22
22
22
b) 4x+5y-25=0 i 9x+20y-75=0.
562b25a16
2525ba25
16
nbka
5n;5
4k5x
5
4y
025y5x41
22
22
2222
5625b400a81
40016
225ba
400
81
nbka
4
15n;
20
9k
4
15x
20
9
20
75x
20
9y
075y20x92
22
22
2222
19
y
25
x:E
9b
25b16
25b2525
16
25a
4375a175
5625b400a81
10000b400a256
5625b400a81
16625b25a16
3
22
2
2
2
2
2
22
22
22
22
7.Napisati jednačine zajedničkih tangenti dve elipse 9x2+16y2=144 i 16x2+9y2=144.
22
2222
22
22
2222
2222
22
n16k9
16b;9a116
y
9
x
144:/144y9x162
n9k16
nbka
9b;16a19
y
16
x
144:/144x16x91
5n25nn1619
1k1k07k7
n16k9
n9k16
n16k9
1n9k16
3
22
22
22
22
22
22
5xy:t
5xy:t
5xy:t
5xy:t
4
4
3
2
1
8.Napisati jednačinu one tetive date elipse koja je datom tačkom prepolovljena:
a) 4x2+9y2=36, M(1,1)
2yy12
yy
2xx12
xx
ABs1,1M
y,xB;y,xA
2121
2121
2211
36y9x4
36y9x4
36y9x4EB
136y9x4EA
22
22
21
21
22
22
21
21
9
4
18
8k8k18
8xx
yy18
xx:xx8yy18
0yy18xx8
0yyyy9xxxx4
0yy9xx4
0y9y9x4x4
12
12
121212
1212
12121212
21
22
21
22
21
22
21
22
2yy
2xx
21
21
Jednačina tetive kroz tačku M(1,1)
9
13x
9
4y
19
4x
9
4y
1x9
41y
12
12
xx
yyk
b) 16x2+25y2=400, M(2,1)
2yy12
yy
4xx22
xx
ABs1,2M
y,xB;y,xA
2121
2121
2211
121212
1212
12121212
21
22
21
22
21
22
21
22
22
2
21
21
22
22
21
21
xx:/xx64yy50
0yy50xx64
0yyyy25xxxx16
0yy25xx16
0y25y25x16xj16
400y25x16
400y25x16
400y25x16EB
1400y25x16EA
2yy
4xx
21
21
25
32
50
64k
64k50
64xx
yy50
12
12
Jednačina tetive kroz tačku M(2,1)
25
89x
25
32y
125
64x
25
32y
2x25
321y